1

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

A. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

1. Pengertian Program Linier

Dalam kegiatan produksi dan perdagangan, baik pada industri skala besar maupun kecil

tidak terlepas dari masalah laba yang harus diperoleh oleh perusahaan tersebut. Tujuan

utamanya adalah untuk memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya dengan me-

minimum-kan pengeluarannya (biaya bahan baku, biaya proses produksi, gaji karyawan,

transportasi, dan lain-lain). Untuk maksud tersebut biasanya pihak manajemen perusahaan

membuat beberapa kemungkinan dalam menentukan strategi yang harus ditempuh untuk

mencapai tujuan di atas. Misalnya, dalam memproduksi 2 (dua) macam barang dengan

biaya dan keuntungan berbeda. Pihak perusahaan dapat menghitung keuntungan yang

mungkin dapat diperoleh sebesar-besarnya dengan memperhatikan bahan yang diperlukan,

keuntungan per unit, biaya transportasi, dan lain-lain.

Untuk menyelesaikan masalah tersebut digunakan program linier. Program linier

diartikan sebagai cara untuk menyelesaikan suatu persoalan (penyelesaian optimum)

dengan menggunakan metode matematik yang dirumuskan dalam bentuk persamaan-

persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linier. Untuk mendapatkan penyelesaian

optimum tersebut digunakan metode grafik yang diterapkan pada program linier sederhana

yang terdiri dari dua variable dengan cara uji titik pojok atau garis selidik pada daerah

himpunan penyelesaian.

2. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier satu variable sudah dibahas ketika

masih di SMP. Untuk mengingat kembali tentang materi tersebut, perhatikan beberapa

contoh di bawah ini.

Contoh Soal 1 Tentukan daerah penyelesaian dari

a. 0≥x

b. 0≥y

c. x < 2

d. 42 ≤≤ x

2

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

Jawab :

a. 0≥x mempunyai persamaan x = 0, ini merupakan garis lurus, yang berimpit dengan

sumbu y. Daerah penyelesaiannya yaitu daerah di sebelah kanan garis atau sumbu y

karena yang diminta adalah untuk 0≥x . Daerah penyelesaian ditunjukkan pada

gambar a (lihat di bawah).

b. 0≥y mempunyai persamaan y = 0, ini merupakan garis lurus, yang berimpit dengan

sumbu x. Daerah penyelesaiannya yaitu daerah di sebelah atas garis atau sumbu x

karena yang diminta adalah untuk 0≥y . Daerah penyelesaian ditunjukkan pada

gambar b (lihat di bawah).

c. x < 2 mempunyai persamaan x = 2. Daerah penyelesaiannya yaitu daerah di sebelah

kiri garis (garis putus-putus) karena yang diminta adalah untuk x < 2. Daerah

penyelesaian ditunjukkan pada gambar c (lihat di bawah)

d. 42 ≤≤ x mempunyai persamaan x = 2 dan x = 4. Daerah penyelesaiannya adalah

daerah diantara kedua garis tersebut. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar

d (lihat di bawah).

3. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu pertidaksamaan yang memuat dua peubah

misalnya x dan y. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dapat disajikan dalam

bidang kartesius. Bentuk-bentuk pertidaksamaan linier adalah :

cbyax ≤+ , cbyax ≥+ , byax + < c, atau byax + > c

(a)

HP

Y

0 X

(b)

HP

Y

0 X

(c)

HP

Y

0 X 2

(d)

HP

Y

0 X 2 4

Gambar. Grafik Himpunan Daerah Penyelesaian

3

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

Langkah-langkah yang ditempuh untuk menyelesaikan daerah himpunan penyelesaian

pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai berikut :

a. Gambarlah garis cbyax =+ , pada bidang kartesius dengan cara mencari titik-titik

potong grafik dengan sumbu x (y = 0) dan sumbu y (x = 0).

b. Ambil titik sembarang ( )11, yxP yang bukan terletak pada garis tersebut, kemudian

dihitung nilai dari 11 byax + . Nilai dari 11 byax + ini dibandingkan dengan nilai c.

c. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan cbyax ≤+ ditentukan sebagai berikut:

• Jika 11 byax + < c, maka daerah yang memuat P merupakan daerah penyelesaian.

• Jika 11 byax + > c, maka daerah yang memuat P bukan merupakan daerah

penyelesaian.

d. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan cbyax ≥+ ditentukan sebagai berikut

• Jika 11 byax + > c, maka daerah yang memuat P merupakan daerah penyelesaian.

• Jika 11 byax + < c, maka daerah yang memuat P bukan merupakan daerah

penyelesaian.

e. Daerah yang bukan penyelesaian merupakan penyelesaian yang diberi arsiran,

sehingga daerah penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran (bersih). Hal ini

sangat membantu pada saat menentukan daerah yang memenuhi terhadap beberapa

pertidaksamaan.

f. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan yang memuat tanda “sama dengan” ( ≤

atau ≥ ) digambar dengan garis penuh, sedangkan daerah penyelesaian pertidaksamaan

yang tidak memuat tanda sama dengan (< atau >) digambar dengan garis putus-putus.

Contoh Soal 2 Tentukan daerah penyelesaian dari :

a. 42 ≤+ yx

b. 632 ≥− yx

Jawab :

Untuk menyelesaikan contoh di atas, gambarkan terlebih dahulu grafik masing-masing

garisnya dengan cara mencari titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.

4

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

a. 42 ≤+ yx , untuk mencari titik potong grafik tersebut dengana sumbu x dan sumbu y

dapat dicari dengan membuat tabel berikut.

x 0 2

y 4 0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (2, 0) dan (0, 4).

Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 42 ≤+ yx dan diperoleh 400.2 ≤+

(adalah benar). Karena benar, sehingga daerah yang terdapat pada titik P merupakan

daerah penyelesaian (daerah yang tidak diarsir) seperti yang ditunjukkan pada gambar

di bawah ini.

b. 632 ≥− yx untuk mencari titik potong dengan sumbu x dan y dapat dicari dengan cara

membuat tabel berikut.

x 0 3

y - 2 0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (0, - 2) dan (3, 0).

Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 632 ≥− yx dan diperoleh 60.30.2 ≥−

(adalah salah). Karena salah, sehingga daerah yang terdapat pada titik P bukan

merupakan daerah penyelesaian (daerahnya yang diarsir) seperti yang ditunjukkan

pada gambar di bawah ini.

HP

Y

X 0 2

4

42 =+ yx

632 =− yx

HP

Y

X 0

-2

3

5

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

Contoh Soal 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari 0≥x , 0≥y , 3≥+ yx , dan 63 ≥+ yx

Jawab : • 3≥+ yx mempunyai persamaan 3=+ yx dan titik potong grafik dengan sumbu

koordinat dapat dicari dengan tabel seperti berikut ini.

x 0 3

y 3 0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (3, 0) dan (0, 3).

Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 3≥+ yx dan diperoleh 300 ≥+ (adalah

salah). Karena salah, sehingga daerah yang terdapat pada titik P bukan merupakan

daerah penyelesaian (daerahnya yang diarsir) seperti yang ditunjukkan pada gambar di

bawah ini.

• 63 ≥+ yx mempunyai persamaan 63 =+ yx dan titik potong grafik dengan sumbu

koordinat dapat dicari dengan tabel seperti berikut ini

x 0 2

y 6 0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (2, 0) dan (0, 6).

Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 63 ≥+ yx dan diperoleh 600.3 ≥+

(adalah salah). Karena salah, sehingga daerah yang terdapat pada titik P bukan

merupakan daerah penyelesaian (daerahnya yang diarsir) seperti yang ditunjukkan

pada gambar di bawah ini.

HP

Y

X 0 2 3

3

6

63 =+ yx

3=+ yx

6

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

Contoh Soal 4

Jawab : Untuk menyelesaikan soal tersebut, yang pertama dilakukan adalah mencari titik pada

grafik di atas dengan menggunakan rumus persamaan garis yang melalui titik ( )11, yx dan

( )22 , yx sebagai berikut.

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−

=−−

Misalkan 1g , adalah sebuah garis yang melalui titik (1, 0) dan (0, 2), maka 1g adalah

1

1

210

1

02

0

12

1

12

1

−−=⇒

−−=

−−

⇒−−

=−− xyxy

xx

xx

yy

yy, dengan perkalian silang menjadi :

22 −=− xy atau 22 =+ yx

Dan 2g , adalah sebuah garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 1), maka 2g adalah

2

2

120

2

01

0

12

1

12

1

−−=⇒

−−=

−−

⇒−−

=−− xyxy

xx

xx

yy

yy, dengan perkalian silang menjadi :

22 −=− xy atau 22 =+ yx

Daerah yang diarsir terletak pada :

Sebelah kiri sumbu y, maka 0≥x

Sebelah bawah sumbu x, maka 0≥y

Sebelah atas garis 1g , maka 22 ≤+ yx

Sebelah atas garis 2g , maka 22 ≤+ yx

Daerah HP dari gambar di samping

merupakan himpunan penyelesaian dari

suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan

sistem pertidaksamaan grafik tersebut

0

2

2

1

1

HP

Y

X

Dengan demikian sistem

pertidaksamaan dari daerah

penyelesaian grafik di atas adalah :

0≥x

0≥y

22 ≤+ yx

22 ≤+ yx

7

Recreated by Heri Sudiana &

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

Untuk mencari persamaan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a, 0)

dan (0, b) dapat digunakan rumus

abaybx =+

Contoh penggunaan rumus tersebut dapat dilihat pada contoh di bawah ini.

Contoh Soal 5

Jawab :

• Persamaan garis 1g melalui titik (2, 0) dan (0, 4) adalah :

a = 2, dan b = 4, maka

824 =+⇒=+ yxabaybx

atau 42 =+ yx

• Persamaan garis 1g melalui titik (3, 0) dan (0, 2) adalah :

a = 3, dan b = 2, maka

632 =+⇒=+ yxabaybx

• Selain itu juga dibatasi oleh garis-garis x = 0 dan y = 0.

Daerah yang diarsir terletak pada :

Sebelah kiri sumbu y, maka 0≥x

Sebelah bawah sumbu x, maka 0≥y

Sebelah bawah garis 1g , maka 42 ≥+ yx

Sebelah bawah garis 2g , maka 632 ≥+ yx

Daerah HP dari gambar di samping

merupakan himpunan penyelesaian dari

suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan

sistem pertidaksamaan grafik tersebut

0 2

HP

2

4

y

x 3

Dengan demikian sistem

pertidaksamaan dari daerah

penyelesaian grafik di atas adalah :

0≥x

0≥y

42 ≥+ yx

632 ≥+ yx