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STRUCTURES ADDITIVESET COMPLEXITEPSYCHOGENETIQUE
La solution des problèmes d'arithmétique élémentairen'a pas été beaucoup étudiée par les psychologues. C'estpourtant une étude intéressante; non seulement à causede ses applications possibles, mais aussi parce qu'ellepermet d'illustrer certaines questions théoriques géné~
raies de ta solution de problème.
LOI DE COMPOSITION INTERNE ET TRANSfORMATION
La présentation classique des opérations arithmétiques élémentaires est fondée sur la notion de loi decomposition interne binaire
a + b = ca-b=ca x b ;;;;;; ca : b ;;;; c
o8.ns toutes ces équations, c est considéré comme unnombre de même nature que a et b et comme lerésultat de leur composition.
Cette conception mathématique, développée surtoutpour l'addition et la multiplication, ne permet pas de
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traiter aussi simplement la soustraction et la division. Eneffet, si l'on prend par exemple comme ensemble deréférence l'ensemble des nombres naturels (nombresentiers positifs), la soustraction de deux nombresnaturels a et b ne donne un nombre naturel que si aest plus grand que b ou égal à b; et la division dea par b ne donne un nombre ne.turel que si a est unmultiple de b ; il s'en suit que la soustraction et la divisionne sont pas des lois internes pour l'ensemble desnaturels.
L'étude des problèmes d'arithmétique élémentaire meten évidence beaucoup d'autres difficultés, qui montrentl'insuffisance, sinon l'inaéquation, de la notion de loiinterne pour caractériser certaines relations numériques.
Nous nous contenterons dans cet article d'étudier lesproblèmes de type additif, en désignant ainsi les problèmes dont la solution n'implique que des additions oudes soustractions. Nous voulons donner cependant unexemple de problème de type multiplicatif qui montreque les questions soulevées ici sont des questions généI"ales. Cet exerr:ple met en évidence que certai~les relationsmultiplicatives ne portent pas sur trois éléments a, b et ccomme on pourrait [e croire mais font intervenir en faitquatre quantités; il montre également que Jes nombres enrelation ont un statut profondément différent.
Soit le problème suivant:«J'ai 13 sacs de 12 billes chacun. Combien ai-je debilles en tout?"Traduisons par un schéma sagittal les re:ations qui
sont contenues dans l'énoncé, en désignant par x laquantité de billes recherchée.« 12 billes chacun» 1 sac - 0,12 billes«J'ai 3 sacs. Combien ai-jede billes en tout» 3 sacs -----)0 x billes
On voit clairement qu'il y a quatre quantités et nonpas trois. Ecrivons dans un tableau ces quatre quantitéset les deux solutions possibles du problème:
blIIOG
1-----·12
@3 X
Le statut des différents nombres du tableau est trèsdifférent:
- 1, 3 représentent des vecteurs du premier espace(sacs)
- 12, x représentent des vecteurs du secondespaces (biiles)
- x3 représente un scalaire
- x 12 représente une fonction du premier espacedans le second.
Les deux solutions possibles;
• Multiplier le vecteur 12 billes par le scalaire x3
• Multiplier le vecteur 3 sacs par la fonction x12billes/sacs
font intervenir des notions différentes qu'on ne peut pasconsidérer comme identiques.
Mais revenons aux problèmes de type additif.
Les réflexions qui suivent sont fondées principalementsur Je fait que de nombreux problèmes de type additiffont intervenir un déroulement temporel et que lesdifférents nombres en jeu ne sauraient être mis sur lemême pian: certains représentent des états, d'autresreprésentent des transformations.
Par exemple:
4C J'ai 3 francs en poche, ma mère me donne 2 francs.
Combien ai-je en tout?»
- 3 représente l'état de mes ressources finanCières,c'est une mesure (nécessairement positive ounulle) de ces ressources.
- 2 représente une transformation de ces ressources.Ici une transformation positive... mals il aurait pus'agir d'une transformation négative (dépense ouperte).
I! est important de respecter cette différence destatut dans l'analyse des relations numériques, différencequi se traduit notamment par le fait que les états sontla plus souvent des mesures, donc des nombres positifs(des naturels si on s'en tient aux nombres entiers)tandis que les transformations sont des nombres positifsou négatifs (des relatifs si on s'en tient aux entiers).
Nous utiliserons la représentation suivante;
Exemple: If Il Y a 4 garçons et 3 filles autour de latable. Combien y a-t-il d'enfants en tout? »
Il peut arriver que les états soient eux..mêmes desrelations et doivent être représentés par des nombresrelatifs.
Example : «J'al un crédit de 300 francs à ma banque.
Je tire un chèque de 400 francs. Quelle estla situation de mon compte?»
Il peut arriver que l'opération de composition portedirectement sur des transformations.
Exemple: «J'ai gagné 10 billes hier et j'en ai perdu 16aujourd'hui. Combien en ai-je gagné ou perduen tout?
Nous distinguerons cinq grandes catégories darelations:
1. Deux mesures se composent en une troisième
Il. Une transformation opère sur une mesure pour donnerune mesure:
III. Deux transformations Se composent en une troisième:
--------~D
La flèche indique le sens de la transformation d'unétat à l'autre, le cercle marque les nombres relatifs, lerectangle marque les nombres naturels.
Elat [!"lilial 'Transformation
@Etat final
IV. Une transformation opère sur un état relatif pourdonner un état relatif:
®0----,0V. Oeux états relat'lfs se composent en un troisième:
LES CINQ GRANDES CATEGORIESDE RELATIONS NUMERIQUES ADDITIVES
Pour général qu'il soit, le schéma qui précède nerend pas compte de toutes les situations possibles.
11 peut arriver qu'il n'y ait aucun déroulement tem~
porel et que l'opératlon de composition porte exclusivement sur des états.
Nous allons donner cinq exemples qui lIIustrent bIences distinctions. Pour simplifier, nous nous en tiendrons
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à des nombres entiers, et à un seul contenu, le jeu debilles.
1. J'ai 5 billes en verre, 3 billes en acier, 8 billes entout.
problèmes. Aussi bien cet article ne vlse+il pas à trai~e.rcomplètement la solution des problèmes de type additIfmais seulement à en étudier quelques aspects fondamentaux et à fournir un cadre théorique aux multiples expériences possibles.
@8--0
Comme nous n'étudierons pas ici toutes les classesde problèmes possibles nous n'aborderons pas non plustous les calculs relationnels qui sont mis en œuvre dansl'arithmétique élémentaire.
• Il est facile de voir cependant que la premièrecatégorie de relations numériques distinguée plus hautdonne lieu à deux classes de problèmes:
_ connaissant les deux mesures élémentaires, trouver leurcomposée;
_ connaissant la mesure composée et une mesure élémen-taire, trouver l'autre;
chacune de ces classes de problèmes se subdivise ensous-classes d'inégale difficulté selon la grandeur de~
nombres en jeu, selon leur valeur relative, selon qu'ilssont entiers ou décimaux, selon le contenu des énoncés,etc...
• La seconde catégorie de relations numériquesdonne lieu à six grandes classes de problèmes (troisclasses qui se subdivisent chacune en deux selon quela transformation est positive ou négative):
o connaissant l'état initial et la transformation, trouverl'état final;
• connaissant l'état initial et l'état final, trouver latransformation;
• connaissant l'état final et la transformation, trouverl'état initial.
Là encore chacune de ces six classes se subdiviseen sous-classes d'inégale difficulté selon la grandeur absolue et relative des nombres en jou, selon qu'ils sontc:1ti8rs ou décimaux, selon le contenu des énoncés, selonl'ordre, la redondance, la forme syntaxiq'..ie des informations données...
• La troisième catégorie de relations numériquesdonne lieu à deux grandes classes de problèmes:
o connaissant les deux tranSformations élémentaires,trouver leur composée;
o connaissant la transformation composée et l'une dastransformations élémentaires, trouver J'autre.
Mais la gr8.ndeur relative des nombres en jeu intervient ici de façon plus décisive que dans les casprécédents du fait qu'ils peuvent être positifs ou négatifs.C'est ainsi que la classe de problèmes se subdivise en
RELATIONS NUMERIQUES ET CALCUL RELATIONNEL
2c partie1r<1 partie
+3, -5 et -2 sont des nombres relatifs.
IV. Je dois 7 billes à Paul. Je lui en rends 4. Je ne lui endois plus que G.
-7, +4 et -3 sont des nombres relatifs.
A partir de cette analyse il est facile de montrer lad~\fersité des problèmes d'arithmétique élémentaire qu'onpeut poser.
Nous ne pouvons pas le faire exhaustivement dansle cadre de cet article et nous n'avons d'aiJ!eurs recueillide données expérimentales que sur quelques 'classes de
-7, +4 et -3 sont des nombres relatifs.
V. Je dois 7 billes à Paul, il m'en doit 4. Par conséquentje lui en dois 3.
@Œ]---ill
7 et 4 sont des nombres naturels, -3 est un nombre relatif.
III. Je joue une partie et je gagne 3 billes. Je joue uneseconde partie et j'en perds 5. En tout j'ai perdu2 billes.
5, 3 et 8 sont des nombres naturels.
II. J'avais 7 billes. Je joue une partie et je perds 3 billes.J'en ai maintenant 4.
20
F T
La question porte sur
[j]--------IIJ
Pierre a 6 billes
Il joue une partie et il perd 4 billes- Combien de billes a-t-il après la partie?
Etat finalTransformation
Claude
PiQrre Bertrand
Etat Initiai
Schéma ETE (Etat-transformation-état)
T>O
T<O
Sur les six grandes classes de problèmes possibles,rappelées dans le tableau ci-dessous, nous n'en avonsretenues que trois; les problèmes correspondants sontdésignés par les prénoms (de garçons) que nous avonsutilisés dans les énoncés.
Claude a 5 bures
Il joue une partie
Après la partie, il a 9 billes
Que s'est-il passé au cours de la partie?
Bertrand joue une partie de billes
Il perd 7 billes
Après ia partie, il a 3 billes
Combien de billes avait-il avant la partie?
plusieurs sous-classes, de nature assez différente quantau calcul relationnel qu'implique leur solution:
• deux transformations élémentaires positives;
• deux transformations élémentaires négatives;
• deux transformations élémentaires de signe différentdont fa composée est positive;
• deux transformations élémentaires de signe différentdont la composée est négative.
Quant à la seconde classe de problèmes (connaissantla transformation composée et J'une des transformationsélémentaires, trouver l'autre) elle se subdivise égalementen plusieurs sous-classes, que nous verrons plus loin àl'occasion de l'exposé du plan expérimental que nousavons suivi.
Là encore iJ faudrait faire intervenir d'autres subdivisions selon le caractère des nombres, le contenu desénoncés, la forme et l'ordre des informations...
Nous nous arrêterons là et ne poursuivrons pasl'analyse; nous laisseons délibérément de côté les deuxdernières catégories de relations numériques. JI est claircependant, à ce point de l'exposé, que la solution deces différentes classes de problèmes n'implique pas lesmêmes opérations. On ne saurait en effet mettre sur lemême plan, la composition de deux états, l'applicationd'une transformation directe à un état, la composition dedeux transformations, l'application d'une transformationinverse à un état, la recherche de la différence de deuxétats, etc... etc...
En d'autres termGs, la solution de ces différentesclasses de problèmes n'implique pas les mêmes calculsrelationnels. L'expérience qui est rapportée ici a peur butde montrer quelques différences parmi les plus importantes.
PLAN EXPERIMENTALSchéma TTT (Transfo rmation-transformation-transformation)
Etat initial 1re transfo Etat interm. 2e transfo Etat flna;
Notre but étant, dans un premier temps, de faireapparaître Jes différences entre la seconde et la troisième categorie de relations numériques, c'est-à-direentfe le schéma étaHransformation~état et le schématransformation-transformation-transformation, nous avonschoisi des problèmes cxclœivement dans ces c18uxcatégories. Encore nous sommes-nous limités à lin petitnombre d'entre eux. i cr cas. Trouver T3 connaissant 11 et T2.
Nous avons égaiement porté notre attention sur unevariété de problèmes qui nous semblaient particulièrementdifficiles pour les enfants de l'école élémentaire, ceuxqui consistent à rechercher une transformation élémenta.ire connaissant l'autre et leur composée.
Sur les six grandes classes de problGmes possibles,rappelées dans le tableau ci-dessous, nous n'en avonsretenues que deux, celles correspondant à Paul et Laurent;la troisième, désignée par Michel, n'a été utilisée quedans quelques groupes d'enfants.
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T2 >O T!<O
Paul IT,I>IT,!-----
Michel IT,I<IT,I
IT11<!T2'
----- Laurent
liT, ,1>1 Tlli
Paul joue deux parties de billes.
A la première partie, il gagne 6 bUlesA la deuxième partie, il perd 4 billes
Que s'est-il passé en tout?
Laurent joue deux parties de billes.
A la première partie, il perd 2 billes
A la deuxième partie, il perd 5 bllles
Que s'est-il passé en tout?
MIchel joue deux parties de billes.
A la première partie, il gagne 4 billes
A la deuxième partie, il perd 6 bllles
Que s'est-il passé en tout?
2e cas. Trouver T2 connaissant T1 et T3.
Nous avons distingué, huit grandes classes de problèmes possibles, selon le signe de T1 et de T3 (4possibilités) et selon la grandeur relative, en valeurabsolue, de T1 et T3 (2 possibilités), soit au total4 x .2 ::::; 8 possibilités. En effet, les relations numériques en jeu sont différentes si les deux transformationsT1 et T3 sont toutes deux positives, toutes deux négatives ou de signe différent. Et e~les sont également différentes lorsque T1 est plus petit ou plus grand que T3en valeur absolue. D'où le tableau suivant dont nous avonsretenu 5 cas.
----Christian Jacques Olivier
Didier Vincent
-
Christian joue deux parties de billes.
A la première partie il gagne 5 billes.
Il joue une deuxième partie.
Après ces deux parties, il a gagné en tout 9 billes.Que s'est-il passé à la deuxième partie?
32
Jacques joue deux parties de billes.
" la première partie, il perd 5 blJles.
11 joue une deuxième partie.
Après ces deux parties, il a perdu en tout 8 billes.
Que s'est-il passé à la deuxième partie?
Didier joue deux parties de billes.
A la première partie, il perd 7 billes.
Il joue une deuxième partie.
Après ces deux parties, il a perdu en tout 4 billes.
Que s'est-il passé à la deuxième partie?
Olivier joue deux parties de billes.
A la première partie il gagne 2 billes.
Il joue une deuxième partie.
Après ces deux parties, il a perdu en tout 7 billes.
Que s'est-il passé à la deuxième partie?
Vincant joue deux parties de billes.A la première partie, H gagne 8 blUes.
Il joue une deuxième partie.
Après ces deux parties, il a perdu en tout 2 bliles.
Que s'est-if passé à la deuxième partie?
3e cas. Trouver Ti connaissant T2 et T3
Nous n'avons retenu qu'un seul cas pa.rmi les huitpossibles :
Bruno joue deux parties de billes.
II joue une première partie puis une deuxième.
A la deuxième partie, il perd 7 billes.
Après ces deux parties il a gagné en tout 3 billes
Que s'esHI passé à la première partie?
D'autres classes de problèmes auraient pu êtrechoisies que celles qui ont été retenues ici, d'autresnombres (notamment des grands nombres), d'autrescontenus, d'autres formes d'énoncés. C'est ce qui devraitêtre fait dans une étude complète de la solution desproblèmes de type additif. Nous n'avons retenu qu'unseul contenu, celui du jeu de billes, et nous avonsstandardIsé au maximum les énoncés, de façon à rendre
Modalités de passation:
Les énoncés étaient présentés sur une petite fichede carton, écrits en gros et à la main, à l'encre bleue.Les informations importantes étaient écrites à l'encrerouge (elles sont en gras dans le texte de cet article).L'expérimentateur lisait l'énoncé à volx haute et laissaitle carton sous les yeux de l'enfant. L'épreuve était doncentièrement verbale et l'enfant pouvait seulement comptersur ses doigts ou se donner une représentation Imagéedu problème: certaIns enfants ont d'al11eurs décrit cette
aussi peu contestable que possible la comparaison desrésultats. Nous n'avons utilisé que des petits nombresafin de poser dans toute son ampleur la question ducalcul relationnel, sans interférence avec d'autres aspectsde fa solution de problème (calcul numérique, carculmenta!...).
Le choix des différents problèmes retenus n'est paségalement motivé. On remarquera cependant que sixproblèmes sur les onze présentés permettent de faire unecomparais0n systématique entre le schéma ETE et leschéma TTT. Ce sont les problèmes suivants:
Sujets
140 enfants ont passé l'expérience, 28 par niveauscolaire (il existe en France, cinq niveaux scolaires dansJ'enseignement du premier degré qui accueille Jes enfantsde 6 à 11-12 ans). Ce sont le cours préparatoire (CP), lecours élémentaire première et deuxième année (CE1 etCE2), le cours moyen première et deuxième année(CM1 et CM2).
La moitié des enfants qui ont passé l'expérienceétait formée d'élèves d'une école expérimentale mixte,dans laquelle est donné un enseignement rénové demathématiques, t'autre moitié était formée d'élèves de deuxécoles communales ordinaires non mixtes. Chaque grouped'enfants comprend autant de filles que de garçons.Pour chaque niveau scolaire, le groupe de 28 enfants serépartit donc de la façon suivante:
Garçons Filles
ETE
PierreBertrandClaude
EAB(Ecole expérir:19nta\e)
COM(Ecole communale ordinaire)
TTT
PaulBrunoChristian
7 1 ï
7 7
représentation (<< je fais des petits points, j'en barre 4 etj'en vois 2 »). Les enfants ne disposaient notammentd'aucun schéma sagittal analogue à celui que nousutilisons dans cet article et qui est utilisé dansl'enseignement rénové des mathématiques à "écoleexpérimentale. L'ordre de passation des problèmes étaittiré au sort, j'enfant tirant lui-même d'une urne les papierssur lesquels figuraient les prénoms correspondants auxdifférents problèmes. Une variation systématique de "ordredes items nous aurait conduit à un plan expérimentaltrop lourd. Nous avons cependant noté l'ordre de passationpour chaque sujet et nolis nous y sommes référés pourl'explication de certaines réponses (écarts à la hiérar~
chie).
les réponses fausses n'étaient pas corrigées parl'expérimentateur, qui se contentait de relire l'énoncé oula question. On demandait à l'enfant comment il avaittrouvé la réponse.
L'expérience a été menée d'abord avec les enfantsdu plus haut niveau scolaire (CM2), puis avec ceux dunlveau immédiatement inférieur, en descendant ainsijusqu'au groupe le plus jeune. Cela a permis d'aban~
donner en cours de route les problèmes trop difficileset d'alléger ainsi l'épreuve pour les plus petits.
RESULTATS
Le Tableau 1 donne les résultats détaiffés par problème et par groupe d'enfant. On peut lire dans chaquecase [e nombre de réussites obtenu dans chaque groupe,Je nombre maximum possible étant 7 (effectif de chaquegroupe d'enlant).
On a effectué des totalisatlons partielles par niveauscolaire (chiffres gras).
Toutefois plusieurs problèmes n'ont pas été posésaux enfants les plus jeunes, à cause de leur difficulté tropgrande (Didier, Olivier, Vincent). Quant au problème« Michel» il n'a été présenté qU'à certains enfants deCM2 qui, par contre, n'ont pas eu à résoudre le problème« Laurent". Les résultats globaux des cinq dernièreslignes, qui figurent dans la dernière colonne à drojte, nedoivent donc pas être rapportés à l'effectif total desujets (140) mais seulement à un nombre inférieur à 140qui est d'ailleurs indiqUé.
Comparaison du schéma ETE et du schéma TTT
Six problèmes permettent de faire cette comparaison.La comparaison des réussites au problème Pierre
et au problème Paul permet en effet de voir la difflcultérelative de la recherche de l'état final et de la recherched'une transformation composée alors que "opération àeffectuer est la même dans les deux cas.
33
•
TABLEAU 1
Nombre de réussites par problème et pat groupe d'enfant(détail selon sexe, école, niveau scolaire)
~
CP CE' CE2 CM' CM2
F G Total F G Total F G Total F G Total F G Total
EAB CDM EAB COM EAB COM EAB cDM EAB CDM EAB CDM EAB COM EAB CDM EAB COM EAB COM
---------------------------------- ----------------Pierre 3 2 3 6 14 6 4 7 7 2. 7 6 7 7 27 7 6 7 7 27 7 7 7 6 27 '"---------------------~-- ------------------------Paul 2 1 1 4 8 2 3 6 3 ,. 7 4 7 6 2. 6 5 4 6 21 5 4 7 7 23 90
1 1
------------------------------------------,------Ëlertrand 0 1 2 4 3 3 5 4 15 6 7 7 7 27 6 6 6 7 25 6 7 _'_1_7
_26 '7
Bruno 0 1_' 0 0 1 0 0 1 1 2 2 0 1 4 7 . 1 2 3 2 8 5 0 3 5 13 31
Claude 1 1 2 1 5 2 3 5 6 16 6 5 6 7 2' 7 7 7 7 28 7 5 7 7 26 99
------------------------ -----------,------------ ----ChrÎstian 0 1 1 0 2 2 2 5 4 13 7 3 5 6 21 7 6
_71_7 27 7 7 7 7 28 91
--------Jacques 0 1 1 0 2 2 1 4 . 4 11 4 2 5. 6 17 6 5
_7[_523 7 5
_"\_624 77
--,--Didier 0 1 1 1 3 3 2 4 3 12 6 2 4 4 16 7 6 6 5 24 551112
---- --------Olivier 1 1 2 2 6 0 0 4 2 • 12/56
---------------------------------------------- ~------Vincent 0 0 2 0 2 2 1 2 3 • 10/56
--------------------------------------------------Laurent 1 1 0 0 2 1 5 3 2 11 4 3 5 7 ,. 7 5 7 • 25 213 5 7110 64/122
-------- ---- --------------------------------------Michel 5 6 214 13/18 13/18
--------------------------------------------------Effectif deréférence 7 7 7 7 28 7 7 7 7 28 7 7 7 7 2. 7 7 7 7 28 7 7 7
17 28 140
C.P. : cours préparatoire - CE,.. CE. : cours élémanUllra {1'· el 2' année). CM, CM,. COurs moyen (1'" et 2" année)EAB : Ecole A.ctlve BIlingue (e~pér;men!ale) • COM Ecole communale ordinaire
Pierre
@ŒI Œl
Paul
@ ~
D--::=-D-y0
De même la comparaison des réussites au problèmeBertrand et au problème Bruno permet de voir ladifficulté relative de la recherche de l'état initial et dela recherche de la première transformation élémentaire.
28
2.
14
7
Tableau"
Comparaison des problèmes ETE el TTT
Pierre (ETE).,// ............. __ ..._. Paul [fIT)
/ ............./
/1
/~/
//
~
Bertrand Bruno
~....__- Bertrand (ETE).
Gi r-;-,Œl---' t1.Jo (])
Q::::-D-Y@
28
CP CE, CE, CM, CM,
Enfin la comparaison des réussites au problèmeClaude et au problème Christian permet de voir la difficulté relative de la recherche de la transformation dansle schéma ETE et de la recherche de la deuxièmetransformation élémentaire dans le schéma TIT.
Le tableau Il résume sous forme graphique lesrésultats obtenus. Il fait bien apparaitre la difficulté plusgrande des problèmes TTT par rapport aux problèmesETE correspondants.
On peut même avoir une évaluation grossière dudécalage entre la réussite à deux problèmes homologuesdu schéma ETE et du schéma TTT, en considérant pourchaque problème le niveau où se situe le nombreavoisinant 50 Q/o de réussites. Dans le tableau en haut dela page suivante, ce nombre figure en caractère gras.
.... Bruno (TTr)J/
/
/'.....-----.....
//
/'---_ ........
CM,
_ ....... Chrislian (TTT~
Claude (ETE)
CM,CE,CE,
.//
//./
1/
/1
/~
//
1/
11
"
CP
7
7
21
21
14
28
14
ChristianClaude
®[§]---,ml
CP CE, CM, CM,
35
On constate de la sorte:Nombre de réu881\es
CP CE, CE~ CM, CM,
dé<:alage d'une année problèmes Pierre Pierre 14 2' 27 27 27- Uo entre les14 2' 21 23(ETE) et Pau 1 (TTT) Paul 8
- Uo d6calage de trois années les problèmes Bertrand , 15 27 25 26entre8 13Bertrand (ETE) et Bruno (TTT) Bruno 1 2 7
- Un très léger décalage, presque négligeable, entre les Claude 5 ,. 2' 2S 2.problèmes Claude (ETE) et Christian (TTT) Christian 2 13 21 27 28
Tableau III
Nombre de réussites oblenues aux différents problèmes ETE
• Sur la première ligne, le nombre total de réussites.• Sur la seconde ligne, les cInq nombres correspondant aux
cinq niveaux scolaires, du CP au CM.,. Le nombre avoIsinant50 % de réussites sont en caractères gràs.
On ne rencontre en effet pratiquement pas de sujetsqui réussissent au problème TTT et qui échouent au problème ETE correspondant, sauf toutefois pour les problèmes Claude et Christian dont nous avons déjà constatéla moindre différence.
Comparaison des problèmes ETE entre eux
L'expérience n'a pas été organisée pour faire cettecomparaison de façon systématique. En effet, un seulproblème fait intervenir une transformation positive(Claude) et deux font intervenir une transformation négative(Pierre et Bertrand).
Des résultats obtenus par ailleurs montrent que, pourune même transformation, la recherche de l'état final estplus facile, celle de l'état initial plus difficile, la recherchede la transformation étant d'une difficulté intermédiaire,
Les résultats obtenus dans cette expérience vont dansce sens, ainsi qu'on peut le constater dans le tableauIII ci-dessous.
Les calculs re,lationnels relatifs à la composition detransformations sont donc plus difficiles que ceux relatifsà l'application d'une transformation sur un état. Toutefoisles différences sont loin d'être homogènes et peuvent·entrainer un décalage impressionnant (Bertrand-Bruno)comme un décalage négligeable (Claude-Christian).
On verra dans la conclusion que les calculs relationnels nécessaires à la solution des différents problèmesTTT ne sont pas une simple «translation» des calculsrelationnels valables pour les problèmes ETE: en parti'culier, si la même procédure s'applique presqu'aussi bienà la recherche de T2 dans le cas TTT qu'à la recherchede la transformation dans le cas ETE, les procédures derecherche de Tl dans le cas TTT et de l'état initia! dansle cas ETE sont assez différentes.
Pour confirmer cette analyse des résultats bruts, nousavons établi les tableaux croisés des réussites (R) et deséchecs (E) à deux problèmes homologues du schéma ETEet du schéma TTT. Ces tableaux croisés confirment, sansqu'il soit besoin d'un test statistique la difficulté plusgrande des relations TTT.
Paul
A E
A
~119
Pierre
E 1 20 21
90 50 140
Brulto
A E
A ffij 97
Bertrand
E o 43 43
31 109 140
36
T > 0
T < 0
Christian
A E
A œ fJ9
Claude
E 5 36 41
06 49 140
La question porte surL'état final La transformation L'état initiai
Claude 995-16-24-28-26
Pierra 119 Bertrand 9714-24-27-27-27 4-15-27-25-26
On constate en effet un décalage d'une année entrela réussite au problème Pierre (recherche de l'état final)et la réussite aux deux autres problèmes. Mais la compa~
raison entre ces deux derniers problèmes, perd un peude sa signification du fait que le problème Claude faitintervenir une transformation positive et le problèmeBertrand une transformation négative.
Si on s'en tient aux deux problèmes Pierre etBertrand qui font tous les deux intervenir une transfor~
mation négative, on peut établir le tableau croisé desréussites (R) et des échecs (E), qui confirme la plus grandedifficulté de la recherche de l'état initial par rapport àla recherche de l'état final.
Dans la recherche de T3, nous n'avons retenu que Jesdeux problèmes Paul et Laurent, le troisième problèmeMichel n'ayant pas été soumis à un nombre suffisant desujets. La différence entre les deux problèmes est faibleet il semble que la difficulté de la composition de deuxtransformations négatives ne soit guère plus grande quecelle de la composition d'une transformation positive etd'une transformation négative plus petite en v~leur abso~
lue. Il faut remarquer surtout que ces deux problèmes sontà peu près au même niveau que le problème Christian.qui est le plus simple des problèmes consistant àrechercher T2 et dans lequel les transformations sonttoutes positives, T3 étant plus grand que Ti en valeurabsolue.
Bertrand
R E
R
~119
Pierre
E 7 14 21
Tableau V
Nombre de réus8ltes obtenues aux différents problèmes T1T
• Sur la première ligne, le nombre total de réussites (rapporté à 140'lorsqu'aucune autre indIcation n'existe).
• Au-dessous, les cInq nombres correspondant aux cinq niveauxscolaires du CP au CM2• Les nombres avoisinant 50 % de réussites·sont en caractères gras.
97 43 140 Recherche de T:I
En ordonnée, le nombre de réussites obtenues à chaque niveauscolaire.
Tableau IV
Comparaison des problèmes nT entre eux
Comparaison des problèmes TTT entre eux
Les résultats qu'on trouve présentés sous formegraphique dans le tableau IV et sous forme numériquedans le tableau V, permettent de constater qu'II existeune réelle hiérarchie de difficulté entre les différentsproblèmes selon le signe et la valeur absolue destransformations en jeu (cf. Tableaux IV et V).
Paut 9D
2-14-24-21-23
Laurent 64/122
2-11-19-25-7/10
-
Christian Jacques Olivier91 77 12/56
2-13-21 2-11-17 ,-,-,-6-6
27-28 23-24
Didier Vincent551112 10/56
.-3-12
16-24 .-.-.-2-8
Recherche de T2
T~<O
IT,I<IT,ICM,CM·,CE,CE·,CP
7
28
14
21
37
Recherche de Tl
IT,I>IT,[
Bruno 31
1-2-7-8-13
Dans la recherche de T2, une nette hiérarchie apparaîtentre les différents problèmes. Elle se traduit par undécalage qu'on peut estimer grossièrement.
a A un peu moins d'une année entre les problèmesChristian et Jacques.
"$ A une année entre les problèmes Jacques et Didier.
,a A plusieurs années entre les problèmes Didier et lesdeux derniers problèmes OlivIer et Vincent, qui sontmanifestement au-dessus du niveau de l'enseignementdu premier degré.
L'interprétation de ces résultats en termes de calcul'relationnel est assez simple comme on le verra dansla conclusion. La procédure de recherche d'une transformation élémentaire connaissant l'autre transformationélémentaire, est nécessairement différente selon que lesdiverses transformations données sont de même signeou de signe contraire: en effet dans le premier cas ontrouve sa valeur absolue par différence des valeursabsolues des deux autres transformations et dans lesecond cas par sommation.
Lorsque les deux transformations données sont demême signe, les procédures de «différence.. ou de« complément» qu'if est alors possible d'utiliser ne sontpas également naturelles, comma on peut le voir avec leproblème Didier où T3 est plus petit que T1 en valeurabsolue. Mais nous reviendrons sur cette question quandnous décrirons les différentes procédures possibles.
Nous n'avons établi de tableaux croisés et d'analysehiérarchique que pour les problèmes relevant de larecherche de T2. Comme ces problèmes n'ont pas été tousprésentés à tous les sujets, nous avons pris quelquesprécautions suppltlmentaires.
En premier lieu nous avons examiné les 56 sujets deCM1 et de CM2 quJ ont passé les cinq problèmes. Letableau VI donne le pattern des réussites et des échecsà ces cinq problèmes pour chacun des 56 sujets.
On peut observer une bonne hiérarchisation entre lesProblèmes Christian, Jacques, Didier et le groupe Olivjer~
Clément, ces deux derniers problèmes n'étant pashiérarchisés.
38
Tous les sujets qui réussissent le problème Jacquesréussissent le problème Christian. Presque tous ceux quiréussissent le problème Didier réussissent les problèmesJacques et Christian. Presque tous ceux qui réussissentl'un ou l'autre des problèmes Olivier et Vincent réussissentles trois premiers problèmes. On ne constate que cinqécarts à la hiérarchie (lignes ~8-48-49-50-51).
Pour les trois premiers problèmes Christian, Jacqueset Didier, on a également établi les tableaux croisés deréussites et d'échecs pour l'ensemble des sujets qui ontpassé les items cencernés.
Jacques
R E
R ffi 91
ChristIan
E 5 44 4.
77 63 140
DidIer
R E
R tE 75Jacques
E 6 31 37
55 57 112
DidIer
R E
R ffiB 89Chrlsflan
E 2 21 23
55 57 112
Ces tableaux confirment la bonne hIérarchie observéeplus haut puisqu'on trouve dans chaque cas un nombrerelativement petit de sujets qui s'écartent du modèlehiérarchique.
TABLEAU VI
Analyse hiérarchique des problèmes consIstant à rechercher T,
1Christian Jacques Didier Olivier Vincent
)1 + + + + +2 + + + + +
5 sujets 3 + + + + +4 + + + + +5 + + + + +
\6 + + + +7 + + + +
5 sujets)
8 + + + +9 + + + +
\ 10 + + + +
\11 + + + +12 + + + +
5 sujets 13 + + + +
1 14 + + + +15 + + + +16 + + +
i 17 + + +18 + + +1. + + +20 + + +21 + + +22 + + +23 + + +24 + + +
i 25 + + +22 sujets ) 26 + + +
27 + + +! 28 + + +
29 + + +
1
30 + + +31 + + +32 + + +33 + + +34 + + +35 + + +36 + + +37 + + +
1 sujet1
38 + +
(33 + + +40 + +41 + +42 + +
9 sujets
1
43 + +44 + +45 + +46 + +47 + +
) 4B + +3 sujets 49 + +
50 + +1 sujet 1 51 + +
\52 +
4 sujets 53 +) 54 +
55 +
1
Ce table8lU Indique les patterns de réussites et d'échecs des 56 sujets de CM1 et CM•.Une croix Indique la réussite; l'absence de croix l'échec.
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TABLEAU VII
Comparaison des réussites selon le sexe et selon le type d'école
G Ecole SexeF
CaM EAB caM EAB caM F GEAB
30/35 25/35 31/35 33/35 61/70 58/70 55/70 64/70Pierre ..................
22/35 17/35 25/35 26/35 47/70 43170 39170 51/70Paul ....................
Bertrand 21/35 24/35 25/35 27/35 46/70 51nO 45/70 52/70................:trI:."'
1';.j1j'Bruno 8/35 3135 8/35 12/35 16/70 15/70 11/70 20/70...................
~'
~;AClaude 23/35 21/35 27/35 28/35 50/70 49/70 44/70 55/70.................
Christian ............... 23/35 19/35 25/35 27/35 48/70 46/70 42170 52170
Jacques ................ 19/35 14/35 23/35 21/35 42/70 35/70 33/70 44/70
DIdier .................. 16/28 11/28 15/28 13/28 31/56 24/56 27/56 26156
Olivier .................. 1/14 1/14 8/14 4/14 7/28 5/28 2/28 10/28
VIncent ................ 2/14 1/14 4/14 3114 6/28 4/28 3/28 7/28
._---Laurent ................ 13128 14/28 17/31 20/35 30/59 34/63 27/56 37/66
Michel ................. 5/7 6/7 2/4 7/11 6/7 11/14 2/4
Les écarts au modèle hiérarchique
Une étude systématique des écarts au modèlehiérarchique a été faite pour l'ensemble des problèmes.Cette étude est trop longue pour être rapportée Ici en
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détail. Elie ne révèle que 30 cas d'écarts à la hjérar~
chie qui proviennent de 23 sujets. C'est-à-dire que 117sujets se comportent en tout point conformément aumodèle hiérarchique.
A côté de quelques erreurs de calcul, on trouve
qu'il s'agit là d'une question générale, qu'on peut soulever pour toutes les situations de solution de problèmeet pas seulement pour la solution de problèmes arithmétiques.
Sur la même opération arithmétique viennent seprojeter des calculs relationnels distincts qui sont loind'être équivalents entre eux. C'est ainsi que la mêmesoustraction 6 - 4 = 2 peut correspondre à la solutionde problèmes aussi différents que les problèmes suivants,en regard desquels nous avons indiqué Je schémacorrespondant et le calcul relationnel qu'implique leursolution.
Recherche d'unetransformationélémentaire, pardifférence de deuxtransformations(cas dIfférentdu précédent).
Calcul relationnel
ComPQsltlonde deuxtransformationsélémentaires(cas différentdu précédent).
Compositionde deuxtransformationsélément<\lres.
Application d'unetransformation à unétat.
Recherche d'u n etransformation pardifférence de deuxétats (cas où T >0).
Application d'Unetransformation réciproque (- 4) à unétat final pour trouver l'état InitiaI.
Recherche d'u netransformatIon pardifférence de deuxétats (cas où T <0).
Recherche d'unetransformationélémentaire. pardifférence de deuxtransformations.
Schéma
GD~
D-.@'D S:JJ8
J'al 8 bl1!es, Jeviens d'en gagner4.Combien en avalsje avant de jouer?
J'al gagné 6 billesà une premièrepartie, perdu 4 àla seconde. Ques'est-II passé entout?
J'ai perdu 6 billes D Qà une prem 1ère 0 ~partie, gagné 4 à 0-0 = ..nla seconde. Que ~
s'est-il passé en 0-tout?etc.
J'ai perdu 4 billes f:.\ 0à une première 0partie, et j'ai joué n~-Dn~une seconde partie.~J'ai perdu 6 billes (";:\.en tout. Que s'est- 6il passé à la se-conde partie?
J'al perdu 6 billesà une premièrepartie et j'al jouéune seconde partie.J'al perdu 4 billesen tout. Que s'estIl passé à la seconde partie?etc.
J'avals 8 billes,j'en al 4. Ques'est~lI passé?
J'avals 6 billes.j'en perds 4. Combien en al-Je maintenant?
J'avals 4 billes,j'en al 8. Ques'est~lJ passé?
Enoncé
LES CALCULS RELATIONNELSET LES PROCEDURES UTILISEES
Ainsi l'arithmétique élémentaire additive ne forme pasun bloc homogène mais se compose au contraire derelations hétérogènes qui sont traitées différemment parles enfants. Cette différenciation n'est d'ailleurs paspropre aux enfants du premier degré mals se retrouvechez les enfants du second degré, et même chez lesadultes.
L'analyse en termes de transformation et d'états etl'importance des différences constatées entre les différentes classes de problèmes permettent de considérer
surtout des biais de réponse: l'enfant fait systémati~
quement la même opération, addition ou soustraction,donnant ainsi éventuellement une réponse correcte à unproblème difficile et une réponse Incorrecte à un problème plus facile. Parfois un problème facile donne lieuà un échec parce qu'il est présenté après des problèmesplus difficiles déroutants pour l'enfant.
En ce qui concerne les biais de réponse, c'est surtoutchez les petits du CP au CE2 qu'on trouve l'additionsystématique, et seulement chez les grands du CM1 et duCM2 qu'on trouve la soustraction systématique.
Les différences entre écoles et entre sexes
Le tableau VII présente de façon synthétique lesrésultats obtenus selon l'école fréquentée et selon le sexe.On constate des différences relativement faibles.
Dans l'ensemble, si les garçons sont supérieurs auxfilles et les enfants de l'école expérimentale supérieurs àceux de l'école communale, cette différence peut tenirdans une large mesure à l'échantillonnage puisquel'école communale de filles (non mixte) donne toujoursde mauvais résultats. Dans l'école expérimentale (EcoleActive Bilingue), la différence entre filles et garçonsdiminue beaucoup (elle persiste cependant et on cons~
tate aussi plus d'écarts au modèle hiérarchique parmi[es filles: 15 contre 8).
On peut constater également la quasi équivalence desgarçons de l'école communale et de ceux de l'écoleexpérimentale.
Nous ne saurions nous aventurer dans l'hypothèsed'Une moindre différence entre filles et garçons lorsquel'école est mixte et expérimentale bien qu'il y ait là uneexplication possible des différences constatées. Nous neretiendrons donc de ces comparaisons que la grandeanalogie des résultats dans tous les groupes de niveau.Cela nous conduit à considérer que les contraintes liéesau développement sont dans cette affaire les plusdécisives.
41
Los cas que nous venons d'évoquer sont lornd'épuiser les cas possibles et l'on mesure ainsi l'ampleur des expériences qui seraient nécessaires.
D'autre part, il n'existe pas qu'une seule voie pourrésoudre un problème d'une classe donnée: le calculrelationnel indiqué en regard de chaque cas, dans laliste précédente, ne correspond qu'à une des méthodespossibles. Souvent les enfants recourent à des méthodesnon canoniques qu'il est intéressant d'étudier parcequ'elles révèlent une certaine compréhension des relationsen jeu et parce qu'elles préparent la découverte de lasolution canonique, valable dans tous les cas. On constate d'ailleurs une évolution génétique des procéduresutilisées.
)) est exclu de passer en revue toutes les procéduresde solutions utilisées pour les différentes classes deproblèmes envisagés. Nous nous contenterons de quelques exemples en partant des problèmes Claude,Christian, Bertrand, Bruno et Didier.
Dans le cas Cfaude où il faut trouver la transformation,connaissant l'état initial et l'état final, on rencontre deuxprocédures distinctes permettant la réussite:
La procédure de «complément» qui consiste àrechercher directement et sans soustraction ce qu'il fautajouter à l'état initial pour trouver l'état final.
La procédure de «différence» qui consiste à sous~
traire l'état initial de l'état final, et qui suppose uncertain calcul relationnel: si la transformation fait passerde J'état initial à l'état final, arors elle est égare â feurdifférence.
Dans le cas Bertrand, où i/ faut trouver l'état initialconnaissant la transformation et l'état final, on rencontreégalement plusieurs procédures possibles:
la procédure canonique d',! inversion» qui consisteà inverser [a transformation directe et à l'appliquer à l'étatfinal.
la procédure de '! complément» qui est parfois utiliséeavec succès forsque fa transformation est positive, et quiconsiste à rechercher directement ce qu'il faut ajouter àla transformation pour trouver J'état fjnal : elle conduit icià l'échec pace que la transformation est négative.
La procédure de l'état initial hypothétique qui consisteà se donner un état initial, à appliquer la transformationdirecte, à obtenir un état final et à corriger l'hypothèsede départ en fonction du résultat obtenu (comparaison conclusion T, -1- 0 == .,. 10~ T. ,~ -1- 10
de l'état ainsi trouvé et de l'état final donné dansl'énoncé).
Il existe encore d'autres procédures qui conduisent â.l'échec (soustraction des deux nombres etc...). Ces pro~
cédures ont été étudiées avec pJus de détail parGraciela Ricco, Virginia Guzman et Elena Porra.
Dans le cas Christian où il faut trouver la transfor·mation T2 connaissant l'élémentaire T1 et la composéeT3, on rencontre deux procédures analogues aux pro·cédures de complément et de différence, rencontréesdans le cas Claude, ce qui explique le faible décalageobservé dans les performances à ces deux problèmes.Un certain décalage subsiste cependant qu'on ne peutexpliquer que par le niveau logique plus élevé des infor·mations données et du calcul relationnel nécessaire(composition de deux transformations au lieu d'appli·cation d'une transformation à un état).
Dans le cas Bruno où il faut trouver la transformationT1 connaissant j'élémentaire T2 et la composée T3, lesprocédures utilisées sont différentes de celles utiliséesdans le Cas Bertrand:
la première procédure consiste à annuler la trans~
formation négative ~ 7 par la transformation positiveopposée et à touver ainsi à quoi est équivalente latransformation T1. Le schéma ci-après montre différentsaspects de ce raisonnement.
"-'- nsp"ctdu raisonnement
2" flspectdu raisonnement
Application d'unetra.nsformationà un état relatif.@
G 0Je devais 6 billesà mon voisin declassE!. Je lui enrends 4. Combienlui en dOis-je encore?etc.
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la seconde procédure consiste à considérer que pourperdre 7 billes à la seconde partie Christian devait avoir7 billes (ou en avoir gagné 7 au moins à la premièrepartie). Comme il en a gagné 3 en tout, il faut qu'il enait gagné 7 + 3 := 10 à la première partie.
Cette procédure est assez analogue à la procédurede l'état initial hypothétique vue dans le cas Bertrand,mals l'hypothèse faite sur la première transformation estIci unique. D'autre part, l'enfant considère assez volontiersla première transformation comme Un état initial (avoir7 billes) ce qui l'aide à résoudre le problème maismontre en même temps la complexité logique moinsgrande de la notion d'état.
Il existe encore d'autres procédures qui conduisentle plus souvent à l'échec. En tous cas il n'y a pas, entreles problèmes Bertrand et Bruno, une transposition aussisimple des procédures utilisables qu'entre Jes problèmesClaude et Christian. D'où le décalage important desperformances.
Dans Je cas Didier (et ce sera notre dernier exemple)où il faut trouver T2 connaissant T1 et T3 (T1 et T3négatifs, IT31 < 111 J), la procédure de «( complément ')n'est pas utilisable sans précautions, puisque la valeurabsolue de T2 se calcule non pas dans le sens naturel(ce qu'il faut ajouter à IT11 pour trouver IT31) mais dansle sens inverse (ce qu'il faut ajouter à IT31 pour trouverIT11), et Il en va de même de la procédure de «diffé!j'ance ,). On ne saurait donc s'étonner de la réussiterelativement tardive de ce problème.
CONCLUSION
L'analyse théorique et expérimentale qui précèdedemeure évidemment partielle et schématique. Les compléments qu'elfe appelfe sont de plusieurs sortes:
o étude de tous les cas de relations (5 catégories)et de toutes les classes de problèmes;
• variation systématique du contenu des problèmes etde la forme des relations. Les relations peuventnotamment être formulées en termes de transformation (gagner, perdre, monter, descendre...) ou derelation (avoir en plus, en moins...);
• utilisation de nombres ne permettant pas l'utilisatondes procédures les plus élémentaires;
• variation systématique de la forme syntaxique etde l'ordre des informations données dans l'énoncé;
'. utilisation de situations réelles;'. étude de problèmes additifs complexes où se
retrouvent à titre de composantes, Jes cinq grandescatégories de relations que nous aVOns décrites;
Aussi bien cet articre ne cherche-t-f1 à fournîr qu'unepremière approche des problèmes posés et un cadrethéorique assez rigoureux pour que l'étude de la solutiondes problèmes d'arithmétique sorte Ge l'empirisme quila caractérise trop souvent.
Gérard VERGNAUD et Catherine DURANDC.N.R.S., Centre d'étude des processus
cognitifs et du langage,Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales, Paris.
Bibliographie
Rlcco (G.), Gurztnan {V.l, Porro (E). - Etude du raisonnementportant sur l'Inversion de transformations arithmétiques addItIves. - Document ronéoté du Centre d'Etude des ProcessusCognitifs et du Langage, Paris.
