A Continuum Mechanics Approach to Some Problems in Subcritical Crack Propagation

8/10/2019 A Continuum Mechanics Approach to Some Problems in Subcritical Crack Propagation

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International Journal o f Fracture 63:27 57 1993.

~ 1993 Klu wer Academ ic Publishers. Printed in the Netherland s. 27

continuum mechanics approach to some problems in subcritical

crack propagation

FRANCESCO COSTANZO and DAVID H. ALLEN

Center fo r Mech anics o f Composites, Texas Engineering Experim ent Station,

The T exas A M U niversity System, College Station, Texas 77843-3141, USA

Received 24 November 1992; accepted in revised form 20 July 1993

Abstract The results of the so-called energetic approach to fracture for the cases of a sharp crack without and with a

cohesive zone are briefly reviewed with particular a tten tion to the crack tip singularity analysis and to the issue of

energy dissipation due to crack propagation. The case of a crack with a cohesive zone removing all thermomechanical

singularities is then further analyzed focusing the attention on the question of the thermodynamic admissibility of

subcritical crack growth and o n some of the hypotheses that lead to the derivation of subcritical crack growth laws. A

two-phase cohesive zone model for discontinuous crack growth is presented and its thermodynamics analyzed followed

by an example of its possible application.

1 Introduction

Subcritical crack growth SCG), under both general and cyclic loading conditions, is a

phenomenon that has been receiving more and more attention during the last forty years.

Starting with early investigations mainly on fatigue in metals [1-9], current research covers a

wide variety of materials, especially those such as polymers [9-13] and ceramics [14] that are

becoming important in the fabrication of composites. The phenomena of interest also include

phase transformation toughening and discontinuous crack propagation in polymers, R-

toughening by crack bridging in ceramics and interface evolution and degradation both at

fiber-matrix interfaces in fiber reinforced composites and at the lamina-lamina interface in

laminated composites. In all these phenomena experimental research has shown the existence

of a zone, often referred to as a cohesive zone or damage zone located at the crack tip, whose

special behavior relieves the stress and/or strain singularity that otherwise would be predicted

at the crack tip of a sharp crack and allows for some inelastic behavior to occur.

From the theoretical standpoint, the problem is that of relating crack growth to the load

history. In this sense, fundamental understanding has been provided by the energetic approach

to fracture [15 32] that showed [15 19] how subcritical crack propagation is strictly related to

the rate of energy dissipation in the vicinity of the crack front, although the distinction between

the surroundings of the crack, generically referred to as a process zone and the rest of the body

is often unclear. Such an ambiguity leads also to inconsistencies in the development of a

thermodynamic theory of fracture. In fact, several theoretical studies in the continuum

thermodynamics of fracture, especially those by Cherepanov [15, 21] and Rice [22 23] and,

more recently, Gurtin [24-25] and Nguyen [27-32] have shown that, independently of the

global or local around the tip) constitutive assumptions, a sharp crack with no cohesive zone

i.e. a system of cohesive forces acting on the crack surface) is constrained to evolve according

to the Griffith criterion [20], the lat ter being a direct consequence of the second law of

thermodynamics. This result is in open contrast with many of the results obtained in fatigue,


2/31

28 F Costanzo and D H Allen

s i n ce fa t i g u e p r o p a g a t i o n l a w s in g e n e r a l d e s c r i b e a ty p e o f s u b s c r i ti c a l e v o l u t i o n . M o r e o v e r ,

m o s t o f t h e f at i g u e la w s o b t a i n e d u s i n g a n e n e r g e t i c a p p r o a c h a r e d e r i v e d u s i n g o n l y t h e f i rs t

p r i n ci p le o f t h e r m o d y n a m i c s w i t h o u t c h e c k i n g f o r th e a c t u a l t h e r m o d y n a m i c a d m i s s ib i li ty o f

t h e p r o ce s s. F r o m a t h e o r e ti c a l v i e w p o i n t t h e r m o d y n a m i c s c a n o n l y p r o v i d e r e s t ri c t io n s t o

e v o l u t i o n l a w s i n t h e fo r m o f i n e q u a l i t ie s [ 3 3 3 4 ] b u t n o t t h e e v o l u t i o n l aw s t h e m s e l v e s u n le s s

f u r t h e r a s s u m p t i o n s a r e m a d e .

A n o t h e r p r o b l e m t h a t c o n c e r n s c ra c k s w i t h o u t c o h e s i v e z o n e s t h u s w it h a cr a c k t ip

s i n g u l a r i t y f o r a h n o s t a ll t h e r m o m e c h a n i c a l f ie ld s ) is th e l o s s o f m e a n i n g o f t h e f r a c t u r e

p a r a m e t e r G e n e r g y r e le a s e ra t e ) f o r a l m o s t e v e r y m a t e r i a l s y s t e m w i t h c o n s t i t u t i v e b e h a v i o r

o t h e r t h a n t h e r m o e l a s t i c o r a t l e a s t a s y m p t o t i c a l l y t h e r m o e l a s t i c [ 3 5 - 3 6 , 2 9 ] . T h e s o l u t i o n t o

t h i s l a t t e r p r o b l e m a s s u g g e s t e d b y N g u y e n [ 3 2 ] a g a i n d o e s n o t s e e m t o a l l o w f o r s u b c r i t i c a l

c r a c k p r o p a g a t i o n .

T h e p r e s e n t r e s ea r c h e f fo r t, b y i n t r o d u c i n g a c o h e s i v e z o n e i n t o a c o n t i n u u m m e c h a n i c s

m o d e l , f o c u se s o n t h e q u e s t i o n o f t h e r m o d y n a m i c a l a d m i s si b il it y o f s u b c ri ti c a l c r a c k p r o p a g a -

t i o n a n d d e v e l o p s a t h e r m o d y n a m i c a l l y c o n s i s t e n t d e s c r i p ti o n o f th e p r o b l e m . T h e a n a ly s i s is

c a r r i e d o u t i n a g e n e r a l w a y a n d , i n p r i n c i p l e , i t i s i n t e n d e d t o b e a p p l i c a b l e t o a n y m a t e r i a l

s y s t e m , e s p e c i a l ly o n e i n w h i c h t h e e v o l u t i o n o f a d a m a g e z o n e is d e f a c t o c o n s t r a i n e d i n t o a

v e r y n a r r o w b a n d , s u c h a s t h e m a t r i x - f ib e r i n t er f a c e i n f i b e r r e i n f o r c e d c o m p o s i t e s o r a m a t r i x

c r a c k t h a t r u n s b e t w e e n a d j a c e n t p l a n e s o f f i b er s o r b e t w e e n t w o a d j a c e n t l a m i n a e i n a

l a m i n a t e d c o m p o s i t e . S i n c e t h e p r e s e n t w o r k e x t e n d s c o n c e p t s a n d r e s u l t s m a i n l y f r o m t h e

w o r k s o f G u r t i n [ 2 4 -- 2 6 ] a n d N g u y e n [ 2 7 3 2 ] , a s h o r t s u m m a r y o f s u c h c o n c e p t s is p r e s e n t e d .

A f t e r p o s t u l a t i n g t h e p r e s e n c e o f a c o h e s i v e z o n e a h e a d o f t h e c r a c k t i p , t h e c i r c u m s t a n c e s

u n d e r w h i c h S C G is th e r m o d y n a m i c a l l y a d m i s si b l e w ill b e d is c us s ed , T h e a s s u m p t i o n s l e a d in g

t o t h e d e r i v a t i o n o f t h e t r a d i t i o n a l f o r m o f f a t ig u e g r o w t h l a w s a r e a l s o d i s c u s s e d a n d a

s i m i l a r f o r m f o r a d i s c o n t i n u o u s c r a c k g r o w t h l a w w i ll b e o b t a i n e d . T h e p u r p o s e o f s u c h a

d i s c u s s i o n , w h i c h i s n o t m e a n t t o p r o p o s e a m e t h o d o l o g y f o r d e t e r m i n i n g f a t i g u e c r a c k

p r o p a g a t i o n l a w s , i s t w o f o l d : o n o n e h a n d i t i n t e n d s t o s h o w t h a t t h e a p p r o a c h p r e s e n t e d

h e r e i n m a i n t a i n s c o n s i s t e n c y w i t h k n o w n r e su l ts ; o n t h e o t h e r h a n d i t e x p l i c it l y s h o w s , f ro m a

t h e r m o d y n a m i c s t a n d p o i n t , t h e t y p e a n d n u m b e r o f a s s u m p t i o n s t h a t a r e n e c e s sa r y f o r t h e

d e r i v a t i o n s o f t h o s e l a w s , th u s j u s t i fy i n g t h e n e e d f o r f u r t h e r r e s e a r c h a n d m o r e g e n e r a l

r e su l ts . T h e p a p e r c o n c l u d e s w i t h a s i m p l e e x a m p l e t o s h o w t h e t re n d o f d i s c o n t i n u o u s c r a c k

g r o w t h .

2 A s u m m a r y o f s o m e i m p o r t a n t r e s u l ts o f t h e c o n t i n u u m t h e r m o d y n a m i c s a p p r o a c h t o f r a c tu r e

I n th i s s ec t io n s o m e o f t h e m o s t i m p o r t a n t r e su l ts o f t h e c o n t i n u u m t h e r m o d y n a m i c s a p p r o a c h

t o f r a c t u r e a r e b r i e fl y s t a t e d a n d d i s c u ss e d . T h e i n t e n t o f th i s s u m m a r y i s t o i n d i c a t e s o m e o f th e

q u e s t i o n s t h a t h a v e r e m a i n e d s o fa r u n a n s w e r e d a n d t o p r o v i d e a b a c k g r o u n d t o a l lo w f o r t h e

n e c e s s a r y c o m p a r i s o n s w i t h t h e n e w r e s u l ts p r e s e n t e d i n S e c t i o n 3. T h e n o t a t i o n u s e d

t h r o u g h o u t t h e p a p e r a n d s o m e b a s i c d e fi n it i o n s a r e a ls o i n t r o d u c e d h e r e .

A l t h o u g h i n o r d e r t o p r o v i d e a c o m p r e h e n s i v e s u m m a r y o f t h e th e r m o d y n a m i c s a p p r o a c h t o

f r a c t u r e t h e e a r ly w o r k s o f G r i f f i th [ 2 0 ] , t h o s e o f C h e r e p a n o v [ 1 5 ] , R i c e 1-2 2- 23 ] a n d m a n y

o t h e r s s h o u l d b e m e n t i o n e d , f o r t h e s a k e o f c o n c i s e n e s s t h e re s u l t s s ta t e d h e r e a n d t h e f o r m w i th

w h i c h t h e y w il l b e p r e s en t e d b e l o n g m a i n l y t o t h e w o r k s o f G u r t i n [ 2 4 - 2 6 ] a n d t o t h o s e o f

N g u y e n [ 2 7 3 2 ].


3/31

P r o b l e m s i n s u b c r i t i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n

2 9

2 .1 . B a s i c e q u a t i o n s

T h e f ir s t t w o l a w s o f t h e r m o d y n a m i c s , i n t h e p o i n t w i s e f o r m , r e a d [ -3 7]

P u : ~ T i j ~ ij - - q i , i J r- p r ,

1 )

P ~ + ~ ,~

2 )

w h e r e u = U ( X k , t ) i s t h e s p e c i f i c i n t e r n a l e n e r g y ; p = ( X k , t ) i s t h e d e n s i t y ; s = S ( X k , t ) i s t h e t o t a l )

s p e c i f ic e n t r o p y ; T =

T ( X k , t )

i s t h e a b s o l u t e t e m p e r a t u r e ; c rq =

a ~ j ( X k , t )

i s t h e C a u c h y s t r es s

t e n s o r ; e ~j = e q ( X k , t ) i s t h e s m a l l s t r a i n t e n s o r ; q i = q i ( X k , t ) i s t h e h e a t f l u x ; r = r ( X k , t ) i s t h e h e a t

s o u r c e .

T h e d o t o v e r a g e n e r i c v a r i a b l e r e p r e s e n t s t h e m a t e r i a l t i m e d e r i v a t i v e

d / d t

a n d

X k

i s t h e

p o s i t i o n v e c t o r . I n a d d i t i o n t o 1 ) a n d 2 ) w e a l s o h a v e

a j i , j + P f i = 0 ,

1 U

~ i j : 2 ( i , j - J - U j , i ) ,

3 )

4 )

w h e r e f ~ f i X k , t ) a n d u i = U i ( X k , t) a r e t h e b o d y f o r c e a n d t h e d i s p l a c e m e n t v e c t o r f ie ld s ,

r e s p e c t iv e l y . A s f o r t h e p o i n t w i s e m a t e r i a l b e h a v i o r , w e a s s u m e t h a t i t is d e s c r i b e d b y t h e

f o l l o w i n g s e t o f e q u a t i o n s [ 3 3 ] :

O i j : ( T i j ( ~ k l , T , ~ n ) ,

q i = q i ~ k l , T , T , k , ~ n ) ,

u = u (e k , , T , ~ ) ,

s = s ( e k . T , ~ ) ,

s u c h t h a t

(5 )

~ h ~ h

P 8 ~ q ' - - -

i j = - - s = ~ ? T ' 6 )

w h e r e

h = h ( X k , t )

i s t h e H e l m h o l t z f r ee e n e r g y

h = - u - T s , 7)

a n d

~ = ~ ( X k , t )

i s a se t o f N i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e s n = 1 . . . . N ) w h o s e e v o l u t i o n i s g o v e r n e d

b y N r a t e l a w s o f t h e t y p e

~ = f~n ekZ T, ~tm); n , m = 1 . . . , N . 8 )


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30

F . C o s t a n z o a n d D . H . A l l e n

I n p a r t i c u l a r , w e w i l l a s s u m e t h a t t h e F o u r i e r h e a t c o n d u c t i o n l a w c a n b e u s e d a s t h e s e c o n d o f

5)

qi = - k T i ,

19)

w h e r e k is a m a t e r i a l p r o p e r t y t h a t c a n b e a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e a n d p o s s i b l y o f t h e

I S V s . I n o r d e r t o d i s t i n g u i s h t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n d u e t o i n e l a s t i c b e h a v i o r f r o m t h a t

d u e t o o t h e r c a u s e s s u c h a s c r a c k p r o p a g a t i o n , i t i s c o n v e n i e n t t o d e f i n e a f u n c t i o n

r/m ic, r e p r e s e n t in g t h e p o i n t w i se e n t r o p y p r o d u c t i o n d u e t o m i c r o s t r u c t u r a l r e a r r a n g e m e n t s

only, i .e .

~ i

r , i

D01 = D0mie T2 , 10)

w h e r e r/I i s t h e i n t ri n s ic e n t r o p y p r o d u c t i o n

= o 7

, i

l l )

a n d t h e s e c o n d t e r m o n t h e r ig h t h a n d s i de o f lO ) r e p r e s e n t s t h e e n t r o p y p r o d u c t i o n d u e t o h e a t

c o n d u c t i o n a l o n e . F r o m 1 0) a n d 1 l ) i t f o l lo w s t h a t

P micT = , o ~ T + q i .i p r .

12)

A s s u m i n g a :~ tr on g f o r m f o r t h e s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s , w e h a v e [ 3 7 ]

D0mic ~ :

q i T i

T2 /> 0. 13)

W i t h r e f e r e n c e t o F ig . I , t h e s y s t e m a n a l y z e d w i ll b e a b o d y B , w i t h e x t e r n a l b o u n d a r y ? B .

F o r s i m p l i c it y w e w il l a s s u m e t h a t B is a t w o - d i m e n s i o n a l b o d y ; t h e e x t e n s i o n o f t h e r e s u l ts t o

t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s e i s n o t d i f f i c u l t . B c o n t a i n s a c r a c k r e p r e s e n t e d b y a s m o o t h l i n e o f

d i s c o n t i n u i t y C t ) s u c h t h a t

O t): {xk ~):0 ~ ~ ~ / t)},

1 4 )

w h e r e ~ is a c u r v i l i n e a r a b s c i s s a o n t h e c r a c k l i n e a n d 1 =

I t )

is th e s c a l a r m e a s u r e o f t h e c r a c k

l e n g t h . A t a p o i n t x k e C t) a u n i t n o r m a l v~ = v ~ ~ ) i s d e f i n e d . T h e c r a c k t i p i s a l l o w e d t o m o v e

wi th a ve loc i ty c~

c i = [e i

~15)

w h e r e e i i s a u n i t v e c t o r w i t h t h e s a m e o r i e n t a t i o n a s t h e c r a c k v e l o c i ty . P o i n t s o n t h e c r a c k l in e

n o t t o b e c o n f u s e d w i t h t h e c r a c k f a c es ) a c t a s p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t y f o r th e v a r i o u s f ie ld

v a r i a b l e s . F o l l o w i n g t h e s t a n d a r d n o t a t i o n u s e d in t h e s t u d y o f s i n g u l a r s u r f a c e s [ 3 8 - 3 9 ] , f o r a


5/31

Prob lems in subcri t i cal crack propag at ion 31

I

F i g 1

Crack without a cohesive zone

gen er ic f i e ld va r iable 4>, l e t

p + - = l i m o X k + ~ V k , t); ~ e R +, X k e C t ) - - l t ) ,

~ 0

_ q ~ - = [ ~ ] .

16)

B y t h e a b o v e d e f i n i ti o n , e a c h f i e ld v a r ia b l e i s a l l o w e d t o s u f fe r a t m o s t a j u m p d i s c o n t i n u i t y

a c r o s s t h e i n t e r i o r o f t h e c r a c k s u r f a ce . T h e b e h a v i o r o f su c h v a r i a b l es i n t h e n e i g h b o r h o o d o f

t he c ra c k t i p wi ll be d i sc usse d se pa ra t e l y fo r e a c h va r i a b l e i f a nd wh e n t he p ro b l e m is

e n c o u n t e r e d . F o l l o w i n g G u r t i n [ 2 4 - 2 5 ] w e d e f in e a c ir c le D 0 o f r a d iu s 6 , w i t h c e n t e r a t t h e c r a c k

t i p a nd t r a ns l a t i ng w i t h t he c ra c k t i p it se lf . Thu s , a l l po i n t s on t he bo un da ry 0D0 of D0 a re

c h a r a c t e r i z e d b y t h e s a m e v e l o c i ty v e c t o r as t h a t o f th e c r a c k t ip . T h e u n i t n o r m a l v e c t o r t o ~ D 6 ,

ou t wa rd wi t h r e spe c t t o Do, wi l l be c a l l e d mi , a s shown i n F i g . 1 .

2 .2 . The rmo dy nam i c s o f a c rac k w i t hou t a c ohes i ve zone

I n t h i s se c t io n t h e k e y r e s u l ts o f t h e c o n t i n u u m t h e r m o d y n a m i c s a n a ly s i s o f a m o v i n g s h a r p

c r a c k w i t h o u t a c o h e s iv e z o n e a r e s t a te d . F o r a c o m p l e t e d e r i v a t i o n o f t h e r e l a ti o n s h i p s r e p o r t e d

h e r e s e e t h e w o r k s b y G u r t i n [ 2 4 2 5 ] a n d t h o s e b y N g u y e n [ 2 8 - 2 9 ] .


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32 F . C o s t a n z o a n d D . H . A l le n

B e f o r e p r o c e e d i n g f u r t h e r , it is i m p o r t a n t t o r e c a l l t h a t t h e a b s e n c e o f a c o h e s i v e z o n e c a u s e s

m a n y t h e r m o m e c h a n i c a l f ie l ds to h a v e s i n g u l a ri t ie s a t t h e c r a c k t i p . T h u s , i t is o f u t m o s t

i m p o r t a n c e t o b e a w a r e o f t h e fa c t t h a t s o m e a s s u m p t i o n s m u s t b e s t a t e d t o c o n s t r a i n t h e

b e h a v i o r o f t h e s i n g u l a r f i el d s i n o r d e r t o a v o i d a v i o l a t i o n o f th e c o n s e r v a t i o n l a w s . S u c h

a s s u m p t i o n s a r e s t a t e d h e r e in t h e f o r m g i v e n b y N g u y e n [ 2 9 ] ; f o r a n i n - d e p t h a n a l y s i s o f t h e

m e a n i n g o f t h e s e h y p o t h e s e s se e t h e d is c u s s i o n s b y G u r t i n [ 2 4 2 5 ] , N g u y e n [ 2 8 - 2 9 , 3 2 ] ,

N g u y e n a n d S t o l z [4 0 ] a n d M i c h e l a n d N g u y e n [ 4 1 ].

T h e s e a s s u m p t i o n s a r e :

A s s u m p t i o n A 1. T h e f u n c t i o n s D0micT T S a n d s T a r e L e b e s g u e i n t e g r a b l e i n B ( t ) f o r a lm os t a l l t.

A s s u m p t i o n A 2. T h e t r a n s p o r t c o n d i t i o n o f t h e s i n g u l a r i t y f o r a p h y s i c a l q u a n t i t y g i s

,q = - c i , q . ; + m o r e r e gu la r , i n t e g r a b l e t e r m s

i .e . t he d om ina n t t e r m of ,0 i s e xa c t ly - c ~ .q . ;, whe r e c~ i s de f ine d by 15), f o r a lm os t a l l t.

H e n c e f o r t h , a s s u m i n g t h a t b o t h A 1 a n d A 2 a r e s a ti s fi e d , t h e fi rs t l a w o f t h e r m o d y n a m i c s f o r

t h e c r a c k t i p a l o n e , i.e . f o r th e c r a c k t i p s e e n a s a t h e r m o d y n a m i c s y s t e m p e r s e, c a n b e p r o v e n t o

t a k e o n t h e f o l l o w i n g f o rm :

/~,. =- li m [ pucimi - a j i n Z j C k l d i , k - - q i m i )

dS ,

~ 0 , J d D 6

17

w h e r e / ~ c is t h e r a t e w i t h w h i c h t h e c r a c k t i p e x c h a n g e s e n e r g y w i t h t h e r e s t o f t h e b o d y . E,. is a

f u n c t i o n o f t h e e n e r g y r e q u i r e d t o c r e a t e a n e w c r a c k s u r fa c e . T h e r e f o r e , l e tt i n g l (Xk, t ) , Xk ~ C t )

b e t h e s p e c if ic c ra c k s u r f a c e en e r g y , w e h a v e

E,, = 27 xk, t)[, 18a)

wh e r e 7 Xk , t ) i s a m a te r i a l p r o pe r ty . I t i s o f t e n su f f i c i e n t ly a c c u r a t e t o c o ns id e r 7 t o be a c on s t a n t

7 o b o t h i n s p a c e a n d t im e . M a k i n g t h i s l a t t e r a s s u m p t i o n r e s u l ts i n

/~. = 270 [ 18 b)

C o n s i d e r i n g 1 8 ) a n d 1 5 ), E q n . 1 7) c a n b e r e w r i t t e n a s f o l lo w s

F

G - 2 ) , o ) { = l i m |

q i m i

d S ,

i J ~ O , Jf A , D 6

19)

w h e r e G i s d e f i n e d t o b e t h e e n e r g y r e l e a s e r a t e

G

=- l im ei I pu mi - a j k mi Uk . i )

d S .

6 4 0 j ? D o

120

N o t e t h a t t h e i n t e g r a n d s i n 1 9) a n d 2 0) m u s t b e s in g u l a r o f o r d e r 1 / r a t t he c r a c k t i p f o r t he

c o r r e s p o n d i n g i n t e g r a l s n o t t o v a n i s h , w h e r e , w i th r e s p e c t to a p o l a r c o o r d i n a t e r e f e r e n c e s e t

w i th o r ig in a t t he c r a c k t i p , r i s t he d i s t a nc e f r om the c r a c k t i p i t s e l f .


7/31

P r o b l e m s i n s u b c r i t i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n 33

T h e s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s f o r t h e b o d y B a n d t h e c r a ck t ip a l o n e , re s p e c ti v e ly , c a n

b e p r o v e d t o t a k e o n t h e f o r m :

s p

l m i ~ T d A ~ 0; (G -- 27o)[~> 0. (21)

R e m a r k 2 . 1 .

Th e se c o nd o f (21) i s no t h i n g b u t t he Gr i f f i t h c r it e r ion :

i > 0 if G / > 2 7 o .

Sub c r i t ic a l c ra c k grow t h , i .e . [ > 0 a n d 0 < G < 27o , v i o l a te s t he se c o nd cO (21) a nd a s suc h i s

n o t t h e r m o d y n a m i c a l l y a d m i s s ib l e f o r t h e c o n d i t i o n s d e s c r i b e d a b o v e ( i .e . n o c o h e s iv e z o ne ). I t

i s i m p o r t a n t t o r e a li z e t h a t r e l a t i o n s h i p s ( 2 1 ) a r e i n d e p e n d e n t o f th e c h o s e n c o n s t i t u t iv e

e q u a t i o n s a s l o n g a s t h e r e s u l t in g t h e r m o m e c h a n i c a l f ie ld s sa t is f y a s s u m p t i o n s A 1 a n d A 2 , a n d

t ha t t he y a re a d i re c t c onse q ue n c e o f ha v i ng a s su me d t ha t t he c ra c k t i p i s sha rp , i .e . r e pre se n t e d

b y a s i n g l e g e o m e t r i c a l p o i n t T h u s , t h e o r i e s t h a t i n t r o d u c e a d a m a g e d z o n e a r o u n d t h e c r a c k

(wi t h spe c i a l c ons t i t u t i ve be ha v i or ) bu t t ha t s t i l l c ons i de r t he c ra c k t i p a s a s i ng l e po i n t i n

g e n e r a l w i ll n o t r e s u l t i n t h e r m o d y n a m i c a l a d m i s s i b i li t y o f S C G .

R e m a r k 2 . 2 . T h e t e m p e r a t u r e b e h a v i o r a t t h e c r a c k t i p is es s e n t ia l ly d e t e r m i n e d b y a s s u m p t i o n s

A 1 a n d A 2 r a t h e r t h a n t h e h e a t c o n d u c t i o n l a w a s su m e d I n f a c t, f o r th e r i g h t h a n d s id e o f ( 19 )

n o t t o v a n i s h i t i s n e c es s a r y t h a t t h e h e a t f l u x b e s i n g u l a r o f o r d e r 1/r. Thu s , i f we ha ve a he a t

c o n d u c t i o n l a w i n w h i c h t h e h e a t f l u x i s p r o p o r t i o n a l t o t h e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t , t h e n t h e

t e m p e r a t u r e f ie ld is s i n g u l a r a t t h e c r a c k t i p, a n d t h e s i n g u l a r i t y m u s t b e w e a k e r t h a n

1/r.

In

p a r t i c u l a r , i f t h e F o u r i e r l a w o f h e a t c o n d u c t i o n is a s s u m e d , t h e n T i s s i n g u l a r o f o r d e r l o g ( r)

[29 , 42-43]

T - G ~ / _ ~ /o ) l l og r + m ore re gu l a r t e rms

(22)

T h e a b o v e e q u a t i o n s h o w s t h a t T h a s t h e s i g n o f ( G - 2 7 o) / . T h i s r e s u lt r e i n fo r c e s th e

s i g n if i ca n c e o f ( 2 1 ) a n d w h a t w a s d i s c u ss e d i n R e m a r k 2 .1 s i n c e s u b c ri t ic a l c r a c k g r o w t h w o u l d

i m p l y t h a t t h e a b s o l u t e t e m p e r a t u r e b e c o m e s i n f i n i t e a n d n e g a t i v e a t t h e c r a c k t i p . T h i s i s

c l e a rl y t h e r m o d y n a m i c a l l y a n d p h y s i c a l l y i n c o r r ec t . N o t e t h a t r e l a ti o n s h i p s ( 2 1 ) a n d ( 2 2) s u g g e s t

t h e i n t e r e s ti n g i n t e r p r e t a t i o n o f a m o v i n g c r a c k t ip a s a m o v i n g h e a t s o u r c e, a n d t h is i s

c o n s i s t e n t w i t h n u m e r o u s o b s e r v a t i o n s o f i n t e n s e h e a t i n g a h e a d o f a p r o p a g a t i n g c r a c k [ 4 2 - 4 3 ] .

R e m a r k 2 . 3 . T h r o u g h s i n g u l a r i t y a n a l y s i s v a r i o u s a u t h o r s , s u c h a s R i c e [ 3 5] , K f o u r i a n d R i c e

[ 3 6 ] a n d N g u y e n [ 2 8 - 2 9 ] , h a v e s h o w n t h a t t h e q u a n t i t y G is a u t o m a t i c a l l y n u l l f o r t h e r u n n i n g

c r a c k p r o b l e m , f o r a l m o s t e v e r y t y p e o f m a t e r i a l b e h a v i o r e x c e p t t h e t h e r m o e l a s t i c o n e . I n o t h e r

words , t he qua n t i t y G, a s a f r a c t u re pa ra me t e r , i s me a ni ng l e s s i n mos t c a se s , suc h a s i n

v i sc op l a s t i c i ty . Ng uy e n ha s a l so sho wn t ha t t h i s is due t o t he fa c t t ha t G (a s g i ve n in (20) ) is

d e t e r m i n e d u n d e r t h e e r r o n e o u s a s s u m p t i o n t h a t t h e f i el d e q u a t i o n s r e m a i n e v e r y w h e r e e ll ip t ic .

I n [ 4 4 ] , f o r a n o n l i n e a r e l a st ic m a t e r ia l , th e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f t h e c r ac k p r o p a g a t i o n

p r o b l e m h a v e b e e n s h o w n t o c h a n g e t h e i r n a t u r e , b e c o m i n g l o c a l ly h y p e r b o l i c a n d t h e r e fo r e


8/31

34

F . C o s t a n z o a n d D . H . A l l e n

r e s u l t i n g i n d i s c o n t i n u i t y s u r f a c e s o r i g i n a t i n g f r o m t h e c r a c k t i p . N g u y e n [ 3 2 3 h a s s h o w n t h a t

t h is m a y a l s o h a p p e n f o r a n e l a s ti c - p e r fe c t l y p l a s t ic m a t e r i a l , a s c o n f i r m e d i n [ 4 1 ] . T h i s m a k e s i t

n e c e s s a r y t o m o d i f y t h e d e f i n i t i o n o f t h e c r a c k d r i v i n g f o r c e t o a c c o u n t f o r t h e p r e s e n c e o f t h e

m e n t i o n e d d i s c o n t i n u i t y s u r f a c e s . S u c h a n a p p r o a c h l e a v e s i n e q u a l i t i e s ( 2 1 ) s u b s t a n t i a l l y

u n c h a n g e d . T h u s , i t s t i l l d o e s n o t a l l o w f o r s u b c r i t i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n . I t m u s t b e m e n t i o n e d

t h a t o t h e r a u t h o r s s u c h as K f o u r i [ 4 5 ] a n d K f o u r i a n d R i c e [3 6 ] , a t t e m p t e d t o o v e r c o m e th e

d i ff ic u lt ie s c o n c e r n i n g t h e c o m p u t a t i o n o f G t h r o u g h t h e C r a c k C l o s u r e W o r k ( C C W ) a p p r o a c h .

T h e C C W i s a w e l l e s t a b l i s h e d t e c h n i q u e u s e d f o r c o m p u t i n g G i n l i n e a r e l a s t i c f r a c t u r e

m e c h a n i c s . S u c h a t e c h n i q u e i s b a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n t h a t , f o r a c r a c k o f l e n g t h l , t h e

q u a n t i t y G d l e q u a l s t h e e n e r g y n e c e s s a ry t o c l o se a n a m o u n t d l of a c r a c k o f i n i t i a l l e ng th I + dl.

I n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , G i s a c t u a l l y c o m p u t e d c o n s i d e r i n g t w o c r a c k c o n f i g u r a t i o n s ,

r e s p e c ti v e l y , o f l e n g t h 1 a n d l + A l, w h e r e A / i s a c o n v e n i e n t l y s m a l l f in i te c r a c k i n c r e m e n t , a n d

t h e n e v a l u a t i n g t h e e n e r g y n e c e s s a r y t o c l o s e t h e c r a c k w i t h l e n g t h / + A1 o f t h e ( fi n it e) a m o u n t

Al . I de a l ly , i n t he e l a s t i c c a se , t he sm a l l e r t he i nc r e m e nt A l t he be t t e r t he a ppr ox im a t ion . I n [ 36 ,

453 it is show n tha t , i n t he e l a s t i c - pe r f e c t ly p l a s t i c c a se , G ~ 0 a s AI - -, 0 bu t a l so t h a t G t e nds t o

a f i n i te non - nu l l va lu e w he n i t is e va lua t e d f o r A1 = Aa , wh e r e Aa i s a c ha r a c t e r i s t i c c r a c k

i n c r e m e n t . I n t h i s c a s e c r a c k p r o p a g a t i o n i s se e n a s th e r e s u l t a n t o f a s e ri e s o f q u a n t i z e d g r o w t h

s t e ps o f s i ze Aa . T h e l a t t e r r e p r e se n t s t he c r i t ic a l m in im um s i ze o f suc h s t e ps . Suc h a t he or y i s

a l s o i n d i r e c tl y b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e e x i st s a c o h e s i v e fo r c e s y s te m o f th e

D u g d a l e - B a r e n b l a t t [ 4 6 - 4 7 ] t y p e a t th e c ra c k t ip .

R e m a r k 2 . 4 .

I n R e m a r k 2 .1 s u b c r i t ic a l c r a c k g r o w t h ( S C G ) h a s b e e n d e fi n e d b y t h e c o n d i t i o n s

[ > 0 ; G < G c r , (23 )

w h e r e G cr is t h e c r i t ic a l e n e r g y r e l ea s e r a t e . S u b c r i t i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n i s o f g r e a t i n t e r e s t i n

t h e s t u d y o f f a ti g u e . S u c h a p h e n o m e n o n is n o t p o s s i b l e w h e n t h e r e is n o c o h e s i v e z o n e

a c c o r d i n g t o t h e r e s u l t s p r e s e n t e d s o f a r d u e t o r e s t r i c t i o n s i m p o s e d b y t h e s e c o n d l a w a s g i v e n

i n (2 1) . S C G w o u l d i n s t e a d b e a n a d m i s s i b le p h e n o m e n o n i f t h e r e s t r i c t io n o f t h e s e c o n d l aw

w e r e t h a t g i v e n b y t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t y

f p

i m i c T d A + G 2 ? o ) / > ~0.

24)

I n f a c t c on d i t i o ns ( 23) a nd ( 24) c a n be sa t i s f i e d s im u l t a ne ou s ly i f t he f i r s t t e r m of ( 24) is l a r ge

e n o u g h t o o v e r c o m e t h e n e g a ti v e c o n t r i b u t i o n d u e t o t h e s e c o n d t e r m . A s f o r t h e i n t e r p r e t a t i o n

o f t h e c r a c k n e g a t i v e d i s s i p a t io n , w e c a n s a y t h a t s u c h a t e r m is in f ac t th e r a t e a t w h i c h e n e r g y

is b e i n g s t o r e d , t h r o u g h n e w c r a c k s u r f a c e p r o d u c t i o n , i n t h e f o r m o f s u r f a c e e n e r g y . I n o t h e r

w o r d s , p a r t o f t h e h e a t g e n e r a t e d b y m i c r o s t r u c t u r a l d i s si p a ti v e m e c h a n i s m s is a b s o r b e d a n d

s t o r e d d u r i n g t h e c r e a t i o n o f a n e w c r a c k s u r f ac e . S u c h a n i n t e r p r e t a t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e

t h e o r y o f t h e r m a l l y a c t i v a t e d f r a c t u r e [ 4 8 ] . A c l a ss i ca l e x a m p l e o f a d i s s i p a t i o n m e c h a n i s m

a c c o m p a n i e d b y e n e r g y s t o r i n g m e c h a n i s m s i s p l a s t ic f lo w , p a r t i c u l a r l y i n p o l y c r y s t a l s [ 4 9 ]. I t is

i n fa c t w el l k n o w n t h a t i n p la s t ic d e f o r m a t i o n s s o m e o f t h e e n e r g y is a c t u a l l y s t o r e d i n

d i s l o c a t i o n c o r e s , re s i d u a l s t r es s f ie ld s , p h a s e t r a n s f o r m a t i o n s , e t c. T h e e n e r g y s t o r e d i n f r a c t u r e

m a y b e re l e a se d b a c k i n t o t h e b u l k o f t h e b o d y d u r i n g h e a l i n g a n d c o n s o l i d a t i o n p r o c e s s e s.


9/31

P r o b l e m s i n s u b c r i t i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n

35

S u r f a c e e n e r g y i s i n f a ct a n e s s e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e d r i v i n g f o r c e i n s i n t e ri n g [ 5 0 ] . N o t e

t h a t , a s s u m i n g t h a t t h e s e c o n d l a w h o l d s i n t h e f o r m g i v e n i n ( 2 4 ) b u t n o t i n ( 2 1 ) , S C G

a p p e a r s t o b e p o s s i b le o n l y w h e n s o m e v o l u m e t r i c d i s s ip a t i o n i s p r e s e n t, i n o r d e r t o c o m p e n -

s a t e f o r t h e n e g a t i v e c o n t r i b u t i o n d u e t o t h e c r a c k a d v a n c e m e n t [ 1 8 ] . T h u s , e v e n u n d e r t h e

a s s u m p t i o n t h a t i n e q u a l i t y (2 4) h o ld s , t h e p r e s e n t t h e r m o d y n a m i c a n a l y si s is u n a b l e t o c o p e

w i t h t h e p r o b l e m o f S C G i n c e r a m i c m a t e r i a l s t h a t b e h a v e i n a v i rt u a l l y p e r fe c t l y b r i t tl e

f a s h i o n .

I n S e c t i o n 3 it w il l b e s h o w n t h a t S C G c a n o c c u r e v e n u n d e r t h e r e s t r ic t i o n s o f (2 1 ) w h e n a

d i s s i p a t i v e c o h e s i v e z o n e i s p r e s e n t a h e a d o f t h e c r a c k t i p o r , in o t h e r w o r d s , w h e n t h e c r a c k

t i p i s n o l o n g e r c o n s i d e r e d t o b e a s i n g l e g e o m e t r i c a l p o i n t b u t a f i n i t e l e n g t h c r a c k l i n e

s e g m e n t t h a t c a n d i s p l a y a s p e c ia l c h a r a c t e r i s t ic b e h a v i o r o f i ts o w n . T h e d i s s i p a t i o n a n a l y s i s

f o r a c r a c k w i t h a c o h e s i v e z o n e w i ll s h o w t h a t , i n su c h a c a s e , n o p r o b l e m s a r i se c o n c e r n i n g

t h e t e m p e r a t u r e f ie ld a n d t h a t a c o n t i n u u m t h e r m o d y n a m i c t h e o r y c o n s is t e n t w i t h S C G i n

b r i t t l e m a t e r i a l s c a n b e p r o v i d e d .

2 .3 . Th e r m o d y n a m i c s o f a c r a c k w i t h a c o h e s i v e z o n e

A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e a n a ly s i s o f t h e r u n n i n g c r a c k p r o b l e m ( w i t h o u t a c o h e s i v e z o n e )

p r e s e n t s m a j o r d i f f i cu l t ie s i n t h a t t h e p a r a m e t e r G b e c o m e s m e a n i n g l e s s e x c e p t f o r m a t e r i a l s

t h a t b e h a v e , a t l e a s t a s y m p t o t i c a l l y , a s if t h e y w e r e t h e r m o e l a s t i c . M o r e o v e r , t h e d i s s i p a -

t i o n a n a l y s i s l e a d s t o u n c e r t a i n r e s u l t s e s p e c i a l l y a s f a r a s t h e t e m p e r a t u r e f i e l d i s c o n -

c e r n e d . A w a y t o o v e r c o m e s o m e o f t h e s e d if fi c u lt ie s , w h i l e r e m a i n i n g i n t h e f r a m e w o r k o f

c o n t i n u u m t h e r m o d y n a m i c s , i s t o p o s t u l a t e t h e e x i s te n c e o f a c o h e s i v e z o n e (c .z .) a h e a d o f t h e

c r a c k t i p .

W i t h r e f e r e n c e t o F i g . 2 , a c o h e s i v e z o n e i s d e f in e d a s a p o r t i o n o f t h e c r a c k l i n e

C( t ) : {~:0 ~< ~ ~< f l( t)} (a m or e for m al de f ini t ion i s giv en la te r ) suc h th a t a lo ng ~( t) ~< ~ ~~ O.

t i

(36j

F r o m a p h y s i c a l v i e w p o i n t , i n e q u a l i t y ( 3 6 ) i m p l i e s t h a t t h e c . z . i s c o n s t r a i n e d t o b e h a v e i n a

s t r ic t l y d i s s i p a t iv e w a y o r , i n o t h e r w o r d s , t h a t t h e c .z . c a n o n l y d i s s i p a t e e n e r g y d u r i n g i ts

e v o l u t i o n . I n S e c t i o n 3 w e w i l l s h o w t h a t s u b c r i t i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n i s t h e r m o d y n a m i c a l l y

a d m i s s i b l e e v e n u n d e r t h i s s t r o n g e r a s s u m p t i o n . N o t e a l s o t h a t i n e q u a l i t y ( 3 6 ) i s p h y s i c a l l y

s u p p o r t e d b y R e m a r k 2 .2 c o n c e r n i n g t h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n o f a z o n e o f i n te n s e h e a t i n g

a h e a d o f a p r o p a g a t i n g c r a c k ; t h u s ( 36 ) p r e s e r v e s th e n o t i o n o f a m o v i n g c r a c k t i p a s a m o v i n g

h e a t s o u r c e .

R e m a r k 2 6 I n e q u a l i t y ( 34 ) c a n b e r e w r i t t e n i n t e r m s o f th e f r e e e n e r g y

0 2 = ~ ; 3 ; - ,/ - ; ~ / > o .

(37)

T h i s l a t t e r i n e q u a l i t y a l l o w s f o r th e d e r i v a t i o n o f t h e c .z . c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o l l o w i n g a

C o l e m a n - N o l l [ 5 2 ] a p p r o a c h . G u r t i n [ 2 6 ] h a s p r e se n t e d t h e f o r m u l a t i o n o f c o n s t i tu t i v e

e q u a t i o n s f o r b o t h e l a s ti c a n d v i s c o e la s t ic c .z .

3 D i s s i p a t i o n a n a l y s i s fo r a c r a c k w i t h a c o h e s iv e z o n e

T h e t h e r m o d y n a m i c a n a l y s is o f t h e c o h e s iv e z o n e p r e s e n t e d [ 2 6 ], w h i c h , to t h e a u t h o rs

k n o w l e d g e is t h e m o s t r i g o r o u s o f t h e k i n d , d o e s n o t a d d r e s s t h e i s su e o f t h e t h e r m o d y n a m i c

a d m i s s i b i l i ty o f s u b c r it i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n , b u t r a t h e r i t f o c u s e s o n t h e e x t e n s i o n o f a g e n e r a l

t h e r m o d y n a m i c s f r a m e w o r k f o r t h e d e v e l o p m e n t o f c o n s ti t u ti v e e q u a t i o n s f o r a c .z . T h u s , w i th

t h e i n te n t o f in v e s t ig a t in g u n d e r w h a t c i r c u m s t a n c e s S C G is i n d e e d t h e r m o d y n a m i c a l l y

a d m i s s i b l e , i n t h i s s e c t i o n t h e p r e s e n t a u t h o r s w i l l s h o w h o w t h e f i r s t a n d s e c o n d l a w o f

t h e r m o d y n a m i c s f o r t h e c . z . a l o n e c a n b e e x t e n d e d t o a d d r e s s s u c h a q u e s t i o n . W e w i l l t h e n

d i s c u ss s o m e o f th e c o n c l u s i o n s t h a t c a n b e i n f e rr e d b y t h e d e r i v e d a d m i s s i b i l i ty c o n d i t i o n , a n d


13/31

Problems in subcri t i cal crack propagat ion 39

a n a l y z e t h e e n e r g e t i c s o f a f e w s ig n i f i c an t c a s e s o f c o h e s i v e z o n e e v o l u t i o n . T h e a n a l y s i s b e g i n s

w i t h t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t h e r m o d y n a m i c f o r c e o r w o r k c o n j u g a t e t o t h e k in e m a t i c

va r i a b l e ~ , s i nc e , a s a c on se q ue n c e o f de f in i t i ons 27) a nd 28) t ha t s e t e fl , t ) = 0 a nd r p f l, t ) = 0 ,

i s t h e o n l y i n d e p e n d e n t s t a t e v a r i a b l e a t t h e g l o b a l l e v e l t h a t c h a r a c t e r i z e s t h e c . z . g r o w t h

p r o c e s s .

3 . I . M ode l de v e lopme nt

I n o r d e r t o p r o p e r l y c h a r a c t e r iz e t h e t h e r m o d y n a m i c f o rc e c o n j u g a t e t o t h e r a t e o f a , t h e r a te o f

c h a n g e o f a ll t h e t h e r m o d y n a m i c q u a n t i ti e s o f i n t er e s t m u s t b e d e c o m p o s e d i n t o a p a r t d u e

s o l el y to t h e c h a n g e o f ~ a n d a p a r t d u e t o t h e c h a n g e o f t h e o t h e r g l o b a l i n d e p e n d e n t s t a te

v a r i a b l e s , e . g . t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S i n c e a i s a g l o b a l i n d e p e n d e n t s t a t e v a r i a b l e [ 3 4 ] , a n y

g e n e r i c d e p e n d e n t v a r i a b l e q~ c a n b e w r i t t e n a s e x p l i c it l y d e p e n d e n t o n ~ [ 3 4 ]

~ x k , t ) = ~ x k , ~ t ) , t ) .

H e n c e , t h e m a t e r i a l t i m e d e r i v a t i v e o f ~b c a n b e m o r e c o n v e n i e n t l y r e w r i t t e n a s f o l l o w s

0~

38)

39)

I n o r d e r t o p r o c e e d f u r t h e r i n t o t h e a n a l y s is , w e n o w n e e d t o s p e c if y a s e t o f c .z . c o n s t i t u t i v e

e q u a t i o n s . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i ty a n d c o m p l e t e n e s s i.e . t o s t u d y a c .z . w i t h i n t e r n a l

d i s s i p a t i v e m e c h a n i s m s ) w e w i ll u s e th e s e t o f c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s i n t r o d u c e d b e l o w , i n s p i r e d

b y a n e l e m e n t a r y t h e o r y o f p l a st ic i ty .

C o n s i d e r t h e f o l lo w i n g d e c o m p o s i t i o n o f t h e c .z . o p e n i n g d i s p l a c e m e n t

6, = 6~ be,,

40)

wh e r e 6~ i s t he r e c o ve r a b l e p a r t o f t he op e n i ng d i sp l a c e m e nt , i . e. a l = 0 ~ 6~ = 0 , a nd 6 f is t he

p e r m a n e n t , u n r e c o v e r a b l e o n e . A l s o l e t

~, = ~, 6~, 0), 4 l)

s u c h t h a t

00 e0

- a i ; - ~ o . 4 2 )

c6i OO

T h u s , f r o m 3 7 ) w e o b t a i n

O , ~ = ~ 3 ~ > ~ 0 . 4 3 )

T h e a s s o c i a t e d f l o w ru l e is a s s u m e d t o b e g i v e n b y th e t r a d i t i o n a l f o r m

8 0

~ 2 - ~ , 4 4)


14/31

4 0 F . C o s t a n z o a n d D . H . A l l e n

w h e r e o) is a s s u m e d t o b e a c o n v e x f u n c t i o n r e p r e s e n t i n g t h e y i e l d su r f a c e fo r t h e c.z . T h e a b o v e

c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a r e n o t m e a n t t o d e s c r i b e a n y m a t e r i a l s y s t e m i n p a r t i c u l a r , w h i c h w o u l d

r e q u i r e m u c h m o r e c a r e fu l p h y s i c a l j u s t i fi c a t i o n s , b u t r a t h e r t h e y a r e p r o p o s e d s i m p l y t o s h o w

h o w t h e c . z . s t a t e e q u a t i o n s c a n b e m a n i p u l a t e d o n c e t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a r e k n o w n .

T he f i r s t l a w f o r t he c . z . c a n now be r e wr i t t e n i n a f o r m tha t e xp l i c i t l y p r e se n t s t he e ne r gy

c o n j u g a t e t o t h e v a r i a b l e 7 . F r o m ( 3 1) a n d ( 3 9) , u s i n g t h e t r a n s p o r t t h e o r e m [ 3 7 3 8 ] , w e o b t a i n

i de + G - R)~ = [q i ]v i d~ ,

(45)

w h e r e

G = / o -i ~d c~ : R = ~ d ~ ,

, ,) : , l t l ~ . 7 . - d ~ , ( t ) %

(46)

G i s t h e e n e r g y r e l e a s e r a t e a n d R i s t h e c r a c k a d v a n c e m e n t r e s i s t a n c e . I n a c c o r d a n c e w i t h a

c l a ss i c al i n t e r p r e t a t i o n , t h e f o r c e G R r e s u l ts t h e r e f o r e f r o m t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e

t h e r m o d y n a m i c f o rc e d r i v in g c r a c k p r o p a g a t i o n a n d t h e fo r c e r e si st in g t h e c ra c k a d v a n c e m e n t .

N o t e t h a t , i n g e n e r a l , R i s n o t a c o n s t a n t s i n c e i t d e p e n d s i m p l i c i t l y o n t h e t h e r m o d y n a m i c s t a t e

( d e f o r m a t i o n , t e m p e r a t u r e , e t c .) a t e a c h p o i n t i n t h e c .z . T h e q u a n t i t y R & w h e n p o s i t iv e ,

r e p r e s e n t s t h e e n e r g y t h a t i s b e i n g s t o r e d w i t h i n t h e c . z . d u r i n g t h e c . z . e v o l u t i o n , m a i n l y i n t h e

f o r m o f f r a c tu r e e n e r g y a n d e l as t ic s t r a in e n e r g y . T h e c r a c k a d v a n c e m e n t r e s is t a n ce d e p e n d e n c e

o n t h e c .z . t h e r m o d y n a m i c s t a te i s o n e o f s o u r c e o f t h e p h e n o m e n o n t h a t g o e s b y t h e n a m e o f

R - t o u g h e n i n g . A m o r e m e a n i n g f u l f o r m o f (4 5) c a n b e o b t a i n e d u s i n g (3 0) a n d ( 4 0 ) 4 4 3 ) t o

r e wr i t e t he i n t e gr a n d on t he l e ft ha n d s ide o f ( 45):

[~i ]vi = a i , ) ~ - ?~ = a i ? t (~t ' (47)

w h e r e [Oi]vi i s t h a t p a r t o f [q i ]v i t ha t i s i nde pe nde n t o f z c T hus , us ing ( 36) a nd ( 47) , E qn . ( 45) c a n

b e r e w r i t t e n a s f o l l o w s

[Oi)v~ d~ + (G R)~ = [q~ ]vi d >~ O.

, J ~ t ) J ~ t )

(48)

Re la t i on sh ip ( 48) i s sub s t a n t i a l l y a n a lo go us t o ( 19) a nd t he se c on d o f ( 21), a nd show s tha t t he c .z .

t o t a l d i s s ipa t i o n ( r i gh t h a nd s ide o f ( 48)) i s t he sum of two t e r m s : t he f i rs t is t he d i s s ip a t i on due

t o t h e c o n s t i t u t i v e b e h a v i o r o f th e c . z. , t h e s e c o n d is d u e t o a c t u a l f r a c tu r e . B y v i r t u e o f

de f in i t i on ( 47) , t he f i r s t t e r m in ( 48) , i s no t r e l a t e d t o c r a c k p r opa ga t ion bu t i s due t o t he t im e

c h a n g e o f t h e o t h e r g l o b a l s t a t e v a r i a b l e s s u c h a s , fo r e x a m p l e , t h e a p p l i e d l o a d s . I t i s c l e a r t h a t

t h e s i g n o f th e s e c o n d t e r m o n t h e l e ft h a n d s i de o f (4 8) c a n n o t b e e s t a b l is h e d a p r i o r i , t h u s ,

a c c or d ing t o ( 48) , s u b c r i ti c a l c ra c k p r o p a g a t i o n m a y i n d e e d o c c u r w h e n e v e r

f

t [O;]vi d~ > (R - G)~i > O.

t l

(49)


15/31

Problems in subcritical crack propagation 41

T h u s , r e w r i ti n g 4 8 ) a s f o l l o w s

( t )

R - 6 ) ~ = [ O i l y , - [ q , ] v z ) d , 5 0)

~(t)

a n d f r o m d e f i n i t i o n 4 7), w e s ee t h a t s u b c r i t i c a l c r a c k g r o w t h , w h e n i t o c c u r s , c a n b e v i e w e d a s a

h e a t a b s o r p t i o n m e c h a n i s m , w h e r e t h e p r i m a r y h e a t s o u r c e i s r e p r e s e n t e d b y i n e l a s t i c m e c h a n -

i s m s s u c h a s p l a s t i c it y t h a t a r e a c t iv e w i t h i n t h e c o h e s i v e z o n e . N o t e t h a t t h e r e s u l t p r e s e n t e d

h e r e is a b s o l u t e ly g e n e r a l a n d i n d e p e n d e n t o f t h e c h o s e n c o n s t i t u t i v e e q u a t io n s . T h i s c a n b e s e en

f r o m t h e f a c t th a t t h e t e r m [ ~ i ]v i i n 4 7 ) c a n b e d e f i n e d a l s o b y t h e e x p r e s s i o n o n t h e r i g h t h a n d

s i d e o f t h e e q u a l i t y s i gn , w h i c h is i n d e p e n d e n t o f t h e c .z . c o n s t i t u t i o n . F r o m i n e q u a l i t y 4 9 ) i t c a n

a l s o b e i n f e r re d t h a t i n o r d e r f o r S C G t o h a p p e n t h e r e is n e e d o f s o m e k i n d o f d i s s i p a t iv e

m e c h a n i s m r e f l e c te d i n t h e fi rs t t e r m o f 4 9 ) t h a t is a b l e t o d r i v e th e c r a c k p r o p a g a t i o n . T h i s

c o n s i d e r a t i o n is i m p o r t a n t f o r a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f S C G i n n e a r ly p e r f e c tl y b r i tt l e s y s te m s

w h e r e i t a p p e a r s t o b e c o n s i s t e n t w i t h e x p e r i m e n t a l f i n d i n g s t h a t r e v e a l t h e p r e s e n c e o f p h a s e

t r a n s f o r m a t i o n p h e n o m e n a a n d b r i d g i n g f o rc e sy s t e m s a h e a d o f a n a d v a n c i n g c r a c k 1 -5 3 5 4 ]. I n

o t h e r w o r d s , e v e n i n m a t e r ia l s w h o s e b u l k b e h a v i o r i s m a i n l y e la s ti c, S C G a n d / o r R - c u r v e

b e h a v i o r a r e p o s s i b l e d u e t o t h e p r e s e n c e o f a s m a l l d i s s ip a t i v e c.z . a n d t h u s w i t h a b e h a v i o r

v e r y d i ff e r e n t i n n a t u r e f r o m t h a t o f t h e b u l k . N o t e a l s o t h a t a s t r i c te r i n t e r p r e t a t i o n o f 4 9) l e a d s

t o t h e c o n c l u s i o n t h a t S C G c a n o n l y h a p p e n i n t h e p r e se n c e o f a c o h e s iv e z o n e. T h i s l a tt e r

i n t e r p r e t a t i o n , w h i c h i s o f c o u r s e l i m i t e d b y th e a s s u m p t i o n s u s e d t o d e r i v e 4 9) , c a n b e

c o n s i d e r e d m o r e p r o p e r l y a n i n v i t a t io n t o c h e c k f o r th e p r e s e n c e o f a c o h e s iv e z o n e w h e n

s u b c r it i ca l p r o p a g a t i o n i s o b s e r v e d r a t h e r t h a n a n e c e s s a ry r e q u i r e m e n t f o r S C G t o o c c u r .

R em a r k 3 1

A s m e n t i o n e d e a r l i er , ~ c a n b e t r e a t e d a s a g l o b a l i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e [ 3 4 ] w h o s e

p r e s e n c e i n t o th e p r o b l e m f o r m u l a t i o n s h o u l d b e a c c o m p a n i e d b y a c o r r e s p o n d i n g e v o l u t i o n

e q u a t i o n [ -3 3 -3 4 ]. I n o t h e r w o r d s , t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n f o r ~ c a n n o t b e s i m p l y d e r iv e d u s i n g

t h e c o n s e r v a t i o n l a w s a l r e a d y u s e d i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m , s u c h a s 5 0), b e c a u s e t h i s

w o u l d m a k e i t i m p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a c o r r e s p o n d i n g w e l l p o s e d b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m . O n

t h e o t h e r h a n d , a c r a c k e v o l u t i o n l a w a n d a w e ll p o s e d p r o b l e m c a n b e d e r i v e d u s in g a

t h e r m o d y n a m i c a n a l y si s s u c h a s t h e o n e p r e s e n t e d h e r e if s o m e a d d i t i o n a l a n d a d h o c

a s s u m p t i o n s a r e m a d e . C l e a rl y , t h e v a l i d it y o f s u c h a s s u m p t i o n s m u s t b e e v a l u a t e d d e p e n d i n g

o n t h e s p e c if ic p r o b l e m a t h a n d . T h i s m a t t e r w i ll b e m o r e e x t e n s i v e l y c o n s i d e r e d i n ca s e s 2 a n d 3

p r e s e n t e d b e l o w .

3 2 Simplified ex am ples

W e w i ll n o w a p p l y t h e a n a l y si s p r e s e n t e d s o f a r to t h r e e i m p o r t a n t c a s e s o f c r a c k p r o p a g a t i o n :

C A S E 1: s e lf s i m i l a r c r a c k p r o p a g a t i o n

C A S E 2 : s lo w c r a c k g r o w t h u n d e r g e n e r a l d e f o r m a t i o n o f th e c .z .

C A S E 3 : s lo w c r a c k g r o w t h u n d e r c y c l ic l o a d i n g

C a s e 1 . L e t A b e t h e l e n g t h o f th e c o h e s i v e z o n e o f a r e c t i l i n e a r c r a c k

A = ( t ) - ~ t ) . 5 1 )


16/31


17/31

P r o b l e m s i n s u b c r i ti c a l c r a c k p r o p a g a t i o n

43

c on s ide r a c a se i n w hic h q~ i s c o ns t a n t a lon g th e c .z . T h us , f r o m ( 34), ( 42) a nd ( 52) we ha v e

o

p - ~ - ~ = 0, (57)

a n d

J ,O = a ,3 e , = [q , ]v , .

(58)

E q u a t i o n ( 5 8 ) i l l u s t r a t e s t h e p o i n t . N o t e t h a t ( 5 7 ) i m p l i e s t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n i s i s e n t r o p i c

for the c .z .

C a s e 2 . D u r i n g r a p i d c r a c k p r o p a g a t i o n a s ig n i fi c an t t e m p e r a t u r e c o n c e n t r a t i o n i s o b s e r v e d a t

t h e c r a c k t i p a n d i ts v i c in i ti e s. D u r i n g s l o w c r a c k g r o w t h , i n s t e a d , t h e h e a t i n g i n t h e v i c i n i ty o f

t h e c r a c k t i p i s m u c h m o r e c o n t a i n e d . U p t o t h e p o i n t t h a t , i n s o m e i n s t a n c e s i t i s r e a s o n a b l e t o

a s s u m e t h a t t h e h e a t f lu x o u t o f t h e c r a c k t i p is n u ll . T h i s a s s u m p t i o n c a n b e g i v e n t h e f o l l o w i n g

m a t h e m a t i c a l f o r m :

f a u l [q i ] v l d~ = O. (59)

U

N o t e t h a t ( 5 9) d o e s n o t i m p l y t h a t t h e r e i s n o h e a t i n g a r o u n d t h e c r a c k t i p, it o n l y i m p l i e s th a t

t h e r e is n o c o n t r i b u t i o n t o t h a t h e a t i n g f r o m t h e m o v e m e n t o f t h e c o h e s iv e zo n e , o r, in o t h e r

w o r d s , t h a t t h e c o h e s i v e z o n e is n o t b e h a v i n g l i k e a l in e h e a t s o u r c e. H e a t i n g a r o u n d t h e

c o h e s i v e z o n e c a n s t il l o c c u r d u e t o t h e p r e s e n c e o f d i s s i p a t i o n m e c h a n i s m s w i t h i n t h e b u l k o f

t h e m a t e r i a l .

Subs t i t u t i ng ( 59) i n to ( 48) we ob ta in

) [ gh ] V i d ~ + G - R ) ~ = 0 . 6 0 )

U

Re c a l l i ng tha t t he f i r s t t e r m on the l e f t ha nd s ide r e pr e se n t s t he he a t f l ux due to c . z . i ne l a s t i c

d i s s i p a t i o n c o m p u t e d a t c o n s t a n t ~ a n d t h a t t h e r e f o r e i t c a n n o t b e n e g a t i v e , i n o r d e r f o r (6 0 ) t o

be sa t i s f ie d t he c r a c k e x t e n s ion p r oc e ss ( ~ > 0 ) m us t ne c e ss a r i l y be subc r i t i c a l , i. e. ( G - R) < 0 .

M o r e o v e r , u n d e r a s s u m p t i o n (5 9 ) i t i s p o s s i b l e t o d e r i v e t h e c r a c k e v o l u t i o n l a w d i r e c t l y f r o m

the f i r s t la w of t he r m od yn a m ic s f o r t he c . z. , i .e . ( 60). In f a c t , s inc e b o th t he f i r s t t e r m o n the l e f t

h a n d s id e o f (6 0) a n d t h e g e n e r a li z e d t h e r m o d y n a m i c f o r ce ( G - R ) a r e i n d e p e n d e n t o f t h e c ra c k

p r o p a g a t i o n r a t e , i t i s p o s s i b l e , u n d e r t h e c i r c u m s t a n c e , t o s o l v e ( 6 0 ) w i t h r e s p e c t t o t h e c r a c k

p r o p a g a t i o n r a t e t o o b t a i n

plo [Cl i]Vi d

(R - G) (61)

R e m a r k 3 . 3 .

Note t ha t ( 59) a l so im pl i e s t ha t , i n t h i s c a se , t he c . z . e vo lu t ion t a ke s p l a c e w i th no

n e t d i s s i p a t i o n , w h i c h m e a n s t h a t a ll o f t h e e n e r g y d i s s i p a t e d b y i n e l a s ti c m e c h a n i s m s i n t h e c .z .


18/31

44 F. Costanzo and D.H. Allen

is t h e n s t o r e d b y c r a c k p r o p a g a t i o n . I f, o n o n e h a n d , t h is a s s u m p t i o n a n d t h e re l a t i v e

c o n c l u s io n ) c a n b e s u p p o r t e d b y i n v o k i n g t h e p r in c i p le o f m i n i m u m e n t r o p y p r o d u c t i o n [ 1 8 ] ,

o n t h e o t h e r h a n d t h e f a c t s ti ll r e m a i n s t h a t t h e e v o l u t i o n l a w 6 1) i s a p i e ce o f i n f o r m a t i o n n o t

i n d e p e n d e n t o f t h e f ir s t l a w o f t h e r m o d y n a m i c s , a s it s h o u l d b e i n t h e c o n t e x t o f a m o r e r i g o r o u s

c o n s t i t u t i v e t h e o r y . I n t h is s e n s e a r e m a r k a b l e r e s u lt c o u l d b e t h a t o f s h o w i n g h o w 6 1) is

r e c o v e r a b l e f r o m a m o r e g e n e r a l e v o l u t i o n l a w w h e n ~ - + 0 , a s th e e v o l u t i o n o f t h e s y s t e m

b o d y - p l u s - c o h e s i v e - z o n e te n d s t o w a r d s a g l o b a l ly r e v e r si b le t r a n s f o r m a t i o n i n t h e t h e r m o s t a t i c

sense .

C a s e 3 . W h e n t h e b o d y i s su b j e c t e d t o c y c l i c l o a d i n g i t is p o s s ib l e t o p r o v i d e a s p e c i a l iz e d f o r m

o f t h e c r a c k g r o w t h r a t e i n t e rm s o f c r a c k a d v a n c e m e n t p e r c y c le . I n t e g r a t i n g 9 6 ) w i t h r e s p e c t

t o t i m e o v e r a l o a d c y c l e o f p e r i o d A t, w e o b t a i n

(RM -- GM)' 62)

wh e r e A :~ i s t he c r a c k g r ow th pe r c yc l e , a nd

= [~i ]v id~ dt = / / / c r i ~ , d~ dt . 63)

J , LJ~(( ,I J kJ=( ~ \

ct /

Also , GM a nd RM a r e , r e s p e c t iv e l y , t h e m e a n v a l u e s o f t h e e n e r g y r e l ea s e r a t e a n d o f th e c r a c k

a d v a n c e m e n t r e s i s t a n c e d u r i n g t h e c y c le , s u c h t h a t

t A t

RM -- GM)Ac~ = R - G),~idr . 64)

L a w s s u c h a s t h a t d e r i v e d a b o v e h a v e b e e n f o r m a l l y o b t a i n e d i n [1 6 1 9]. T h u s 6 2 ) i s n o t a n e w

r e s u l t f r o m t h e c o n c e p t u a l v i e w p o i n t e x c e p t fo r t h e f a c t t h a t i t s d e r i v a t i o n h a s b e n c a r r i e d o u t i n

a w a y c o n s i s t e n t w i t h a r i g o r o u s t h e r m o d y n a m i c a n a l y s i s a n d t h a t e a c h t e r m h a s b e e n

u n a m b i g u o u s l y d e f in e d . T h e m o s t s i g n i f i c a n t d i f f er e n c e w i t h o t h e r f a t i g u e g r o w t h l a w s i s t h e

p r e s e n c e i n th e n u m e r a t o r o f 6 2), e x p l i c it l y s h o w n i n 6 3) , o f a t e r m t h a t e x p l i c i t ly d e p e n d s o n

t h e t e m p e r a t u r e o f t h e c.z . T h e c .z . t e m p e r a t u r e , ju s t l i k e t h e t e m p e r a t u r e i n th e n e i g h b o r h o o d o f

t h e c .z ., is d e t e r m i n e d b y t h e d i s s i p a t i o n i n t h e b u l k o f t h e m a t e r i a l o u t s i d e t h e c .z . T h i s p o i n t

h a s n o t b e e n w i d e l y a d d r e s s e d i n t h e l i t e ra t u r e , e sp e c i a l ly a s fa r a s th e d e t e r m i n a t i o n o f t h e

t e m p e r a t u r e f ie ld a r o u n d t h e c ra c k t ip w h i ch w o u l d r e q u i r e th e s o l u t i o n o f a t w o w a y c o u p l e d

h e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m ) is c o n c e r n e d . A t t e m p t s t o e x p e r i m e n t a l ly d e t e rm i n e t h e e n e r g y

d i s s ip a t e d d u r i n g c r a c k p r o p a g a t i o n i n p o l y m e r s h a v e b e e n r ec e n t ly m a d e b y B o t s is a n d

c o - w o r k e r s [ 5 5 5 7 ] u ti l iz i n g th e t h e o r y d e v e l o p e d b y C h u d n o v s k y [ - 1 8 ]. S u c h a t h e o r y is

d i f f e re n t f r o m t h e o n e p r e s e n t e d h e r e in t h a t i t is b a s e d o n t h e e x i s t en c e o f a p r o c e s s z o n e a r o u n d

t h e c r a c k r a t h e r t h a n a c o h e s i v e z o n e . T h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e c o n s t i t u t iv e b e h a v i o r o f th e

c o h e s i v e z o n e i n s t e a d s t il l r e m a i n s a n o p e n i ss u e, a t t e m p t s t o d o s o h a v e b e e n m a d e p r i m a r i l y

f o r p o l y m e r i c m a t e r i a l s [ 5 8 6 3 ] . A s f o r m e t a l s, t h e u s u a l c h o i c e is t h e t r a d i t i o n a l D u g d a l e

m o d e l , p r o p e r l y m o d i f i e d f o r f a t i g u e a p p l i c a t i o n a s s u g g e s t e d b y B u d i a n s k y a n d H u t c h i n s o n

[ 64] .


19/31

P r o b l em s i n s u b cr i t i ca l c r a ck p r o p a g a t i o n 45

I n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , ( 6 2) is o f t e n u s e d i n a m u c h s i m p l if i ed f o r m . F o r e x a m p l e , i t is o f t e n

a s s u m e d t h a t

M

= G M a x

~t

RM = 270,

(65)

w h e r e G m a x i s t he m a x im um va lue o f G in a g ive n c yc le . T h us , ( 62) i s s im pl i f i e d t o

A A

As - (66)

27o - G~ax

w h e r e

A A = a i ~ - d ~ d t.

t L J 7 t)

(67)

A s c a n b e s e e n f r o m (6 7 ), A A i s t h e p a r t o f t h e p l a s t ic w o r k p e r c y c l e d o n e i n d e p e n d e n t l y o f a n

a d va nc e m e n t o f c~. I n s tud i e s i n m e ta l f a t i gue w i th sm a l l s c a l e y i e ld ing , it is usua l ly c o ns id e r e d

a c c e p t a b l e t o a p p r o x i m a t e G Max a n d A A a s fo l l o w s [ 1 5 - 1 6 , 1 9 ]

G M a x = a K ~ l a x

A A = b A K 4 (68)

w h e r e K M a x is t h e m a x i m u m v a l u e o f t h e s t r es s i n t e n s i t y f a c t o r a n d A K is t h e s t r es s i n t e n s i t y

f a c t o r r a n g e d u r i n g a c y c le ; a a n d b a r e c o n s t a n t s . T h u s , ( 66 ) i s t h e n r e w r i t t e n in t h e w e l l k n o w n

f o r m

A K 4

Ac~ = A 2

gc r - g2 a x ( 69)

w h e r e A is a c o n s t a n t t h a t a c c o u n t s f o r t h e g e o m e t r y o f t h e b o d y a n d K c r is t h e c r i ti c a l v a l u e o f

the s t r e s s i n t e ns i t y f a c to r .

N o t e t h a t w h e n t h e d e n o m i n a t o r o f (6 9) is c o n s t a n t t h e a d v a n c e m e n t p e r c y c le a p p e a r s t o b e

p r o p o r t i o n a l t o t h e f o u r t h p o w e r o f t h e s tr e ss i n t e n s i ty f a c t o r r an g e , w h i c h h a s b e e n e x p e r i m e n -

t a l l y v e r i fi e d b y P a r i s [ 2 - 3 ] . T h e d e r i v a t i o n o f (6 9) h a s b e e n p r e s e n t e d h e r e n o t o n l y t o s h o w

t h a t , a f t e r a g r e a t d e a l o f s i m p l i f y in g a s s u m p t i o n s a l a w o f t h e P a r i s t y p e c a n b e d e r i v e d , b u t a l s o

t o e x p l ic i tl y s h o w t h e n u m b e r a n d t y p e o f t h e m e n t i o n e d a s s u m p t i o n s . I n p a r t i c u l a r, t h e t h r e e

m a i n s i m p l i f y i n g h y p o t h e s e s b e h i n d ( 6 9 ) c o n s i s t o f :

( 1 ) a s s u m i n g t h a t t h e p r o c e s s i s g l o b a l l y n o n - d i s s i p a t i v e , a s d i s c u s s e d i n R e m a r k 3 . 3 ;

( 2) t h a t t h e r e s i s ta n c e t o c r a c k g r o w t h r e d u c e s t o a c o n s t a n t v a l u e , a s s h o w n i n (6 5) ; a n d

( 3) t h a t t h e p r o c e s s is i n d e p e n d e n t o f t h e t e m p e r a t u r e f i e ld a r o u n d t h e c r a c k a s c a n b e s e en b y

t h e c o m p a r i s o n o f (6 3) a n d (6 7) .

F o r t h e s e r e a s o n s t h e a u t h o r s f e e l t h a t t h e r e i s s t i l l a s t r o n g n e e d f o r t h e o r e t i c a l r e s e a r c h i n t h e

f ie l d o f f a t i g u e a n d e v o l u t i o n l a w s f o r c r a c k p r o p a g a t i o n i n g e n e r a l , a n d t h a t t h e a p p l i c a t i o n o f


20/31

46 F . Cos tanzo and D .H . A l l e n

c o n c e p t s f r o m g e n e r a l c o n s t i t u t i v e t h e o r i e s w i t h i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e s t o t h e p r o b l e m s

d i s c u s s e d h e r e c a n p r o v e q u i t e u s e f u l .

4 Discontinuous crack propagation

I n th i s s e c t io n w e i n t e n d t o d e m o n s t r a t e b y a s im p l e a n a l y s i s o f t h e p r o b l e m o f d i s c o n t i n u o u s

c r a c k p r o p a g a t i o n D C P ) t h e p o w e r o f t h e m o d e l p r o p o s e d h e r e in . F o r t h e c a s e o f D C P , t h e

s i m p l i f i e d e x a m p l e s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n d o n o t a p p e a r t o b e a d e q u a t e . T h u s , a

p r o p e r l y m o d i f i e d c o h e s i v e z o n e m o d e l w il l b e p r e s e n t e d a n d a n a l y z e d .

M i c r o s c o p i c a n a l y s e s o f s t r i a t i o n p a t t e r n s i n p o l y m e r s u n d e r c y c l i c l o a d i n g s [ 6 5 , 11 1 2 ] h a v e

s h o w n t h a t u n d e r c e r t a i n l o a d i n g c o n d i t i o n s ' fa t igue cracks progress across the spec imen in

d i sc on t inuous i nc re me nt s assoc ia t e d wi th a l arge nu mbe r ~] l oad ing c y c l es ' [ 65] . Suc h a

p h e n o m e n o n i s r e fe r re d t o a s d i s c o n t in u o u s c r a c k p r o p a g a t i o n D C P ) . W i t h r e fe r e n ce t o F i g . 3 ,

i t h a s b e e n s h o w n [ 6 5 , 1 1 1 2] t h a t D C P i n p o l y m e r s m a y t a k e p l a c e w h e n a s i n g le c r a z e z o n e

z o n e 1) is p r e s e n t t o g e t h e r w i t h y i e ld e d b u l k p o l y m e r z o n e 2) a h e a d o f t h e c r a c k t i p. D u r i n g

c y c l ic l o a d i n g t h e c r a c k t i p a t ~ c a n r e m a i n s t a t i o n a r y w h i l e th e c r a z e z o n e g r o w s c o n t i n u o u s l y .

W h e n s o m e c r i t i ca l c o n d i t i o n is a c h i e v e d , t y p i c a l ly w h e n t h e l e n g t h o f t h e c r a z e z o n e ~ - ~ is

r o u g h l y 9 0 - 1 0 0 p e r c e n t o f f l - : r u p t u r e p r o p a g a t e s a c r o s s t h e c r a z e a n d i t t y p i c a l l y s t o p s

wh e r e t he c r a c k t i p p os i t i o n a t [: wa s , p r io r t o t he f r a c tu r e e ve n t . D C P i s t he r e f o r e a fa i r l y

c o m p l e x n o n s e l f - s i m i l a r f r a c t u r e p h e n o m e n o n , i n t h a t a t t h e m a c r o s c o p i c s c a l e i t a p p e a r s l i k e

o r d i n a r y s u b c r i t i c a l c r a c k p r o p a g a t i o n w h e r e a s a t t h e c r a c k t i p s c a l e i t m a y d i s p l a y b o t h a

s u b c r i t ic a l a n d a n u n s t a b l e g r o w t h o f t h e c r a z e z o n e f o l l o w e d b y a n o t h e r t y p e o f u n s t a b l e

b e h a v i o r w h e n t h e s u d d e n r u p t u r e o f t h e m a t u r e c r a ze t a k es p l a c e. A n a d d i t i o n a l e l e m e n t o f

c o m p l e x i t y is r e p r e s e n t e d b y t h e f a c t t h a t t h e c r a c k g r o w t h m o d e w i ll, a t a c e r t a i n s t a g e,

u n d e r g o a t ra n s i t i o n f r o m D C P t o o r d i n a r y f a ti g u e c r a c k g r o w t h , i .e . a d v a n c e m e n t o f th e c r a c k

f r o n t a t e v e r y cy c le . M o r e o v e r , t h e f a c t t h a t t h e f r a c t u r e e n e r g y r e q u i r e d t o b r e a k t h e c r a z e

f ib r il s is ti m e d e p e n d e n t c a n n o t b e n e g l e c te d [ 6 2 ] , s i m i la r l y t o t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s o f t h e

PHASE 1 PHASE 2:

CRAZE ZONE YIELDED BULK POLYMER

/ /

F I. 3. Two-phasecohesivezon e model.


21/31


22/31

48 F . C o s t a n z o a n d D . H . A l l e n

A n a l o g o u s l y t o w h a t h a s b e e n d i s c u s s e d a b o u t ( 3 9 ) , w e n o w h a v e a s i t u a t i o n i n w h i c h a

ge ne r i c va r i a b l e ~b m a y be r e w r i t t e n a s a n e x p l i c i t f un c t i on no t o n ly o f ~ (t ) bu t a l so o f ~ (t ). T h us ,

t h e m a t e r i a l t i m e d e r i v a t i v e o f a g e n e r i c c.z . v a r i a b l e c a n b e w r i t te n a s

(?~b i + (?q5 ~ 0~b (74 )

Us ing ( 74) , t he f i r s t l a w i s m or e c onve n ie n t ly r e wr i t t e n a s f o l l ows

cri d g + ( G ~ - R ~ ) ~ + ( G ~ - R e ) ~ [ q i ] v i d (~ ,

j :~lt~ ? t i) t ~ J ~ut

(75)

wh e r e G~ a nd R~ a r e de f ine d e x a c t l y a s in (46), a nd , G~ a nd R~ a r e t he p ha se t r a n s f o r m a t io n

d r i v i n g f o r c e a n d r e s i s t a n c e r e s p e c t i v e l y

G ~ = I a i ~ d ~ ; R~ (76)

As f a r a s t he s e c o nd l a w i s c on c e r n e d , i t is c l e a r t ha t i n e qu a l i t y ( 37) s t il l ho lds i n e a c h o f t he tw o

p h a s e s , a n d t h a t t h e c . z . e v o l u t i o n i s g l o b a l l y c o n s t r a i n e d b y i n e q u a l i t y ( 3 6 ) .

W i t h i n t h e c o n t e x t o f a g l o b a l t h e r m o d y n a m i c a n a l y s i s [ 3 4 ] , th e q u a n t i t y G ~ - R ~ is th e

g e n e r a l i z e d t h e r m o d y n a m i c f o r c e a s s o c i a t e d w i t h t h e k i n e m a t i c v a r i a b l e 3 , j u s t a s G~ - R ~ is t h e

f lu x a s s o c i a t e d w i t h ~ . T h u s , t h e q u a n t i t y ( G - R ~ ) ~ r e p r e s e n t s t h e r a t e a t w h i c h m e c h a n i c a l

e n e r g y is d i s s i p a t e d b y t h e p r o p a g a t i o n o f p h a s e (e .g . c r a z e p r o p a g a t i o n ) . B a s e d o n th i s

o b s e r v a t i o n , o n e c a n d i s t in g u i s h t w o f u n d a m e n t a l t y p e s o f p h a s e 1 ( c ra z e ) p r o p a g a t i o n . T h e f i rs t

t ype , whic h w i l l be r e f e r r e d t o a s pha se I s e [ - p r o p a q a t i o n , i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g

c o n d i t i o n s :

> 0; G >~ R~. (77)

T h e s e c o n d t y p e , w h i c h w il l b e r e f e r r e d to a s p h a s e l

s u b c r i t i c a l p r o p a g a t i o n ,

i s c h a r a c t e r i z e d b y

t h e c o n d i t i o n s :

> 0; 0 < G~ < Re. (78)

I t is c l ea r t h a t i n t h e f ir s t c a s e, t h e p h a s e 1 p r o p a g a t i o n is in f a c t b e h a v i n g a s a d i s s i p a t i o n

m e c h a n i s m , w h e r e a s in t h e s e c o n d c a s e p h a s e 1 p r o p a g a t i o n is b e h a v i n g a s a n e n e r g y s t o r a g e

m e c h a n i s m , a s a l r e a d y d i s c u s s e d i n R e m a r k 2 . 4 i n S e c t i o n 2 . 2 .

B e f o r e a n a l y z i n g t h e s u b c r i t ic a l e v o l u t i o n o f p h a s e 1 , i t is i n t e r e s ti n g t o c o n s i d e r a c a s e o f

c r a c k p r o p a g a t i o n w i th p u r e t r a n s l a t i o n o f t h e t w o - p h a s e c .z . T h e a s s u m p t i o n s r e g a r d i n g t h is

t y p e o f c r a c k p r o p a g a t i o n h a v e a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d i n C a s e 1 o f S e c t i o n 3 . 2 . I n t h is p a r t i c u l a r

i n s t a n c e w e a l s o h a v e

~i = ~. (791


23/31

Th us , (75) c a n be s i mpl i f i e d to

f

( t )

[G* -- (27 + Z)]~ =

[q lJv i d~,

( t )

w h e r e

P r o b l em s i n s u b cr i t i ca l c r a ck p r o p a g a t i o n 49

8 o )

i ( a )

G* = a i df i . (81)

d & ( ) = 0

Fr om 80 ), wh en Z > 0 , we see t ha t t he ma te r ia l i s tough ened by t he presence o f a two -pha se

sys tem s ince i t behaves w i t h an appa ren t su r f ace ene rgy 2y* wh ich i s g rea te r t han t he su r face

e n e r g y 2 y i n t h e c r a c k t i p w a k e

2y* = 27 + Z. (82)

N o t e t h a t i n o r d e r f o r s u c h a n e v o l u t i o n t o b e t h e r m o d y n a m i c a l l y a d m i s s i b l e t h e fo l l o w i n g

c o n d i t i o n m u s t b e s a t i s f i e d

G* ~> 27* (83)

Th e re su l t i n (82) i s o f a c e r t a i n i mp or t a nc e be c a use i t o f fe rs a s t ron ge r j us t i f i c a t i on fo r t he s t u dy

o f a t w o - p h a s e c o h e s i v e z o n e . I n f a c t th e s t u d y o f s u c h a c .z . c o u l d b e o f g r e a t i n te r e s t n o t o n l y

f o r D C P b u t a l s o fo r th e u n d e r s t a n d i n g o f p h a s e t r a n s f o r m a t i o n t o u g h e n i n g p h e n o m e n a b o t h i n

p o l y m e r s a n d i n c e r a m i c s [ 5 3 - 5 4 , 6 7 ] .

R e m a r k 4 . 1 . T h e t w o - p h a s e m o d e l p r e s e n t e d c a n b e s i m p l i f i e d i n s u c h a w a y t h a t o n l y o n e

pha se i s p re se n t i n t he c ohe s i ve z one a nd t ha t i t i s s t i l l pos s i b l e t o de sc r i be DC P. Suc h a

s i m p l i f ic a t io n i s a ch i e v e d b y p o s t u l a t i n g t h e e x i s te n c e o f a s i n g le p h a s e a n d b y c h a n g i n g ( 2 7) a n d

(28) as fol lows

f 2 y , 0 ~< ( ~< ~(t)

= ~ C , t ) , ~ t) ~< C ~ < / ~ t ) ,

~ z , ~ = / ~ t ) ,

(84)

~ o

, 0 ~< r/~ < ~(t)

~ 0 = ~ o ~ , t ) , ~ t ) ~ < C ~ < / ~ t ) ,

k ~ , ( = fl t),

8 5 )

whe re ~p i s t he c ra c k sur fa c e e n t ropy ou t s i de t he c . z . The c . z . e vo l u t i on i s t he n a na l yz e d us i ng

t h e s a m e p r o c e d u r e o u t l i n e d a b o v e .


24/31

50 F. Costanzo and D.H. Allen

4.2. A nalysis o f subcrit ical cohesive zone grow th du ring DCP

A s h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d i n t h e i n t r o d u c t i o n t o t h i s s e c t io n , D C P c o n s i s t s o f a t w o s t a g e

p r o c e s s: a g r a d u a l c .z . g r o w t h s t a g e 1 ) a c c o m p a n i e d b y a d e g r a d a t i o n o f t h e c .z . m a t e r i a l

p r o p e r t ie s , e v e n t u a l l y f o l lo w e d b y a n a c t u a l c r a c k g r o w t h s ta g e 2) t h r o u g h t h e d a m a g e d

p o r t i o n o f th e c .z . S t a g e 1 o f t h e e v o l u t i o n c a n t a k e p l a c e i n a s e l f - p r o p a g a t i n g o r i n a s u b c r i t i c a l

f a s h i o n . T h e f o r m e r c a s e i s t y p i c a l o f c ,z . g r o w t h u n d e r c r e e p c o n d i t i o n s , w h e r e a s t h e l a t t e r

a pp e a r s t o be m or e t yp i c a l o f c yc l i c l oa d ing . I n t h i s se c t i on we wi ll f oc us on c . z. subc r i t i c a l

g r o w t h d u r i n g c y c l i c l o a d i n g . S u c h a n e v o l u t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l lo w i n g c o n d i t i o n s :

= 0 ; ~ > 0 ; O < G ~ < R e 86)

U n d e r c o n d i t i o n s 8 6 ) a n d u s i n g 4 0 ) ~ 4 3 ) , E q n . 7 5) b e c o m e s

I l l t ) I l l t )

[Oi]vi d~ + G - R)~ = [q, ]v i d~,

d ~ t ) , J ~ t )

87)

w h e r e t h e f i rs t t e r m o n t h e l e ft h a n d s id e h a s b e e n d e f i n e d i n 4 7) . T h e a b o v e e q u a t i o n i s f o r m a l l y

s i m i l a r to 4 8) . T h u s , i f w e w e r e t o f o l l o w t h e p r o c e d u r e d i s c u s s e d i n C a s e 2 o f S e c t i o n 3 .2 , f o r t h e

c a s e w h e r e

~m [qi]vl d~ = 0, 88)

t)

a n d i n t e g r a t i n g w i t h r e s p e c t t o t i m e o v e r a c y c le , w e o b t a i n a r e s u l t fo r m a l l y s i m i l a r t o 6 2):

A

A~ = - 89)

R~,.,~

-

GeM

w h e r e A ~ is th e p h a s e b o u n d a r y a d v a n c e m e n t p e r c y c le . T h e n u m e r a t o r h a s b e e n d e f i n e d i n 6 3)

a n d

t + A t

zX~ G,~ - R ,~) -- [ G - R ~)4 d~ ] dr. 90)

, 31

T h e m e a n i n g o f t h e q u a n t i t i e s i n t h e n u m e r a t o r o f 8 9 ) h a s b e e n d i s c u s s e d i n C a s e 3 o f S e c t i o n

3 .2 , w h e r e w e h a v e a l so s h o w n t h a t e q u a t i o n s s u c h a s 8 9) c a n b e f u r t h e r s i m p l i fi e d f o r p r a c t i c a l

p u r p o s e s a c c o r d i n g t o t h e s e c o n d o f 6 5). I n s u c h c a s e s 8 9) b e c o m e s

A A

A ~ - 9 1 )

4.3. A sim ple example of DCP

T h e p u r p o s e o f t h is s e c t io n i s t o d e m o n s t r a t e t h e q u a l i ta t i v e e v o l u t i o n a r y t r e n d d e s c r ib e d b y

r e l a ti o n s h i p 9 1), T h u s , w e n o w p r o c e e d t o s o lv e a n e x t re m e l y s im p l e D C P p r o b l e m . T h e c h o i c e


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Problems in subcritical crack propagation 51

o f g e o m e t r y a n d m a t e r i a l p r o p e r t i e s b o t h f o r th e b o d y a n d t h e c o h e s i v e z o n e i s n o t i n t e n d e d t o

r e p r e s e n t a n y r e a l m a t e r i a l s y s t e m b u t r a t h e r is m a d e i n s u c h a w a y t h a t t h e r e s u lt i n g b o u n d a r y

v a l u e p r o b l e m c a n b e s o l v e d i n c l o s e d f o r m . I n p a r t i c u l a r , a s s h o w n i n F i g . 4 , t h e b o d y i s

a s s u m e d t o b e i n f in i t e ly e x t e n d e d a n d l i n e a r e la s ti c. F i g u r e 4 a l s o s h o w s t h e l o a d i n g c o n d i t i o n s ,

r e p r e s e n t e d b y a u n i f o r m t r a c t i o n d i s t r i b u t i o n i n t h e d i r e c ti o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e c r a c k p l a n e.

T h e c o h e s i v e z o n e h a s b e e n a s s u m e d t o b e h a v e , i n e a c h o f t h e p h a s e s , l ik e a D u g d a l e m o d e l .

E a c h p h a s e is t h e re f o r e c h a r a c t e ri z e d b y a u n i f o r m c o h e s i v e f o r ce d i s t r i b u t i o n o f k n o w n v a l u e ,

a s s h o w n i n F i g . 5. S u c h a n a p p r o a c h i s r a t h e r c o m m o n i n t h e s t u d y o f c r a z i n g in p o l y m e r s [ 12 ,

5 8 - 5 9 , 6 3 ] . T h e p r o b l e m o u t l i n e d w a s s o l v e d , i n c l o s e d f o r m , w i t h t h e u s e o f M u s k h e l i s h v i l i

c o m p l e x p o t e n t i a l s [ 6 8 ] , u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f p l a n e s t re s s d e f o r m a t i o n , u s i n g th e m a t e r i a l

c o n s t a n t s f o r P o l y s t y r e n e g i v e n in 1 -5 6 5 7 ] a n d s u m m a r i z e d i n T a b l e 1. T h e f o l lo w i n g e m p i r ic a l

i n s ta b i li ty c o n d i t i o n h a s b e e n c h o s e n : a n a d v a n c e m e n t o f ~ to t h e p o s i ti o n o c c u p i e d b y / / o c c u r s

w he n ~ - ~) ~> 0.95 /~ - c~). Suc h a c r i te r io n i s based on the o bse rva t ion s b y H ertzb erg e t a l.

1 -65] t ha t , fo r d i f fe re n t po l ym e rs , t he c ra z e z one a he a d of a c ra c k t i p se e ms t o be c o me uns t a b l e

du r i ng t he l a s t 10 pe rc e n t o f i ts li fe c yc l e, wh i c h c or re s pon ds rou gh l y t o a c ra z e de ve l o pm e nt

b e t w e e n 9 0 a n d 1 00 p e r c e n t o f t h e l e n g t h o f t h e e n t i re c o h e s i v e z o n e .

F i g u r e s 6 a - 6 e s h o w t h e t r e n d o f t w o c a s es o f D C P , o b t a i n e d w i t h t h e u s e o f 1 2 6 ) t o g e t h e r

w i t h t h e f o l lo w i n g a p p r o x i m a t i o n s

GeM = GeM .x; RCM = g. 92)

T h e r e s u lt s s h o w n i n F i g. 6 a a n d F i g . 6 b h a v e b e e n c o m p u t e d u s i n g 0 .1 M P a a s t h e v a lu e fo r t h e

m a x i m u m a p p l i e d l o a d T o a n d 5 .0 x 1 0 - 3 m a s th e v a l u e o f t h e in i t a l c r a c k l en g t h . T h e r e s u l ts

T t l

i~ i 5

T

q-

t -

Fig 4

Examplegeometryand load conditions.


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52 F C o s t a n z o a n d D H A l le n

O~

F i o 5 Two-phase Dugdale model.

F a b l e 1 Example material properties

Material properties Values

Young's modulus 2.2 GPa

, 18.0 MPa

1 2.0

30.0 J/m 2

f O c . Z .

i n F i g . 6 c a n d F i g . 6 d h a v e b e e n o b t a i n e d u s i n g t h e s a m e i n i t ia l c r a c k l e n g t h a n d a m a x i m u m

a p p l i e d l o a d t w i c e t h a t o f t h e p r e v i o u s c a se .

5 C o nc l us i o ns

I n th i s w o r k s o m e i m p o r t a n t t h e o r e t i c al re s u lt s o f t h e t h e r m o d y n a m i c a p p r o a c h t o f r a c tu r e h a v e

b e e n s u m m a r i z e d a n d e x t e n d e d t o t h e p r o b l e m o f s u b c r i t i c a l c r a c k g r o w t h o f a c ra c k w i t h a

c o h e s iv e zo n e . It h a s b e e n s h o w n t h a t t h e i n t r o d u c t i o n o f a c o h e s i v e z o n e i n t o t h e c o n t i n u u m

m e c h a n i c s d e s c r i p t i o n a l l o w s o n e t o o v e r c o m e s o m e d i f fi c u lt ie s r e g a r d i n g t h e d i s s i p a t io n

a n a l y s i s o f f r a c t u r e p r o c e ss e s w i t h o u t i n v o k i n g n o n - l o c a l m o d e l s . I n p a r t ic u l a r t h e is s u e o f t h e

t h e r m o d y n a m i c a d m i s s i b i li t y o f s u b c r i t ic a l c r a c k g r o w t h h a s b e e n a d d r e s s e d a n d t h e a d m i s s i b i l-

i t y c o n d i t i o n s d i s c u s se d . A n i n - d e p t h a n a l y s i s o f t h e h y p o t h e s e s u n d e r l y i n g t h e d e r i v a t i o n o f

c r a c k p r o p a g a t i o n l aw s u s i n g t h e r m o d y n a m i c s h a s a ls o b e e n p r e se n t e d . T h e t h e o r y h a s t h e n

b e e n ap p l i e d to t h e ca s e o f d i s c o n t i n u o u s c r a c k p r o p a g a t i o n l e a d in g t o a n a p p r o x i m a t e D C P

l a w w h o s e q u a l i t a t i v e b e h a v i o r h a s b e e n c o m p u t e d f o r a v e r y s i m p l e c a se . F u r t h e r s t u d y i s

c e r t a i n l y n e c e ss a r y e s p e c i a ll y t o o b t a i n a b e t t e r c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s

f o r t h e c o h e s i v e z o n e . A ls o t h e c o u p l i n g o f t h e t h e r m o d y n a m i c a n a l y s i s w i t h e l e m e n t s o f t h e

k i n

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A Continuum Mechanics Approach to Some Problems in Subcritical Crack Propagation