ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ

ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Υ∆ΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ

AΣΚΗΣΕΙΣ

Υ∆ΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΩΝ

∆ΗΜΗΤΡΙΟΣ Ε. ΠΑΠΑΝΤΩΝΗΣ, Καθηγητής Ε.Μ.Π.

Αθήνα, Μάρτιος 2012

1

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το τεύχος αυτό των βοηθητικών σηµειώσεων του µαθήµατος Υδροδυναµικών

Μηχανών Ι περιλαµβάνει εκφωνήσεις και λυµένα παραδείγµατα που καλύπτουν το

περιεχόµενο του µαθήµατος.

Οι ασκήσεις καλύπτουν ολόκληρο το γνωστικό περιεχόµενο του µαθήµατος και θα

βοηθήσουν σηµαντικά στην κατανόηση και εµπέδωση των εννοιών του µαθήµατος.

Οι παραποµπές στα διαγράµµατα και τις σχέσεις αναφέρονται στο βιβλίο του

µαθήµατος.

Όλες οι ασκήσεις είναι πρωτότυπες και προέρχονται,σχεδόν όλες, από τις γραπτές

εξετάσεις του µαθήµατος Υδροδυναµικών Μηχανών Ι της περιόδου από το 1981 έως

και το 2001. Εκτός από κάποιες εισαγωγικές ασκήσεις, οι περισσότερες προέρχονται

από την σχηµατοποήση πραγµατικών εφαρµογών Για τον λόγο αυτό δεν επιτρέπω

την ανατύπωση ή την έκδοση µέρους των ασκήσεων αυτών χωρίς την έγγραφη

συναίνεση µου.

Η έκδοση του Ιαν. 2002 σε σύγκριση µε την παρούσα (Μαρτιος 2012) δεν διαφέρει

παρά στο ότι στην τελευταία έχουν ανασχεδιασθεί τα σχήµατα και έχουν διορθωθεί

κάποια τυπογραφικά λάθη.

Ιανουάριος 2002, Μάρτιος 2012

∆ηµήτριος. Παπαντώνης

2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υ∆ΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Σελίδα

1 Ασκήσεις στις αντλίες 3

1.1 Αλυτες ασκήσεις (εκφωνήσεις) 3

1.2 Λυµένα παραδείγµατα 33

2 Aσκήσεις στους υδροστροβίλους 81

2.1 Αλυτες ασκήσεις (εκφωνήσεις) 81

2.2 Λυµένα παραδείγµατα 85

3 Ερωτήσεις θεωρητικές και κρίσεως 99

3

1 AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΤΛΙΕΣ

1.1 Αλυτες ασκήσεις (εκφωνήσεις)

AΣΚΗΣΗ 1.1.1

Από την αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος σχηµατίζεται ο κατακόρυφος

πίδακας Π. Η αντλητική εγκατάσταση περιλαµβάνει την φυγόκεντρη αντλία Α,

δεξαµενή αναρρόφησης Θ και ενδιάµεση δεξαµενή ∆ η οποία συγκοινωνεί µε την

οριζόντια σωλήνωση ΒΠ µέσω της κατακόρυφης διακλάδωσης ΕΓ. Η δεξαµενή ∆

στην µόνιµη λειτουργία ούτε τροφοδοτεί ούτε τροφοδοτείται µε νερό (εξηγείστε

το γιατί) και χρησιµεύει ως εφεδρεία για την περίπτωση βλάβης της αντλίας. Στην

περίπτωση αυτή η βαλβίδα αντεπιστροφής Β κλείνει αυτόµατα. Εάν η αντλία

παρέχει 125 m3/h, ζητούνται:

α) Το ύψος hπ του πίδακα εάν υποτεθεί οτι είναι ίσο προς το 60% του αντίστοιχου

θεωρητικού (εάν δηλαδή δεν υπήρχαν οι διάφορες απώλειες συνεκτικότητας κλπ).

β) Το υψος h του νερού στην δεξαµενή ∆.

γ) Η απαιτούµενη ισχύς στον άξονα της αντλίας σε KW εάν υποτεθεί οτι ο ολικός

βαθµός απόδοσής της είναι ίσος προς 0,60.

δ) Σε περίπτωση βλάβης της αντλίας, µε την βαλβίδα Β κλειστή, το ύψος hπ του

πίδακα θα παραµείνει το ίδιο µε αυτό του α ερωτήµατος; Υπολογείστε την νέα

τιµή του hπ.

h

5 m (∆)

Γ

hπ

100 m 100 m

2 m

20 m

B(A)

Ε

Σ

∆ίνονται: Ολοι οι σωλήνες είναι χαλύβδινοι, συγκολλητοί, εσωτ. διαµέτρου 100

mm. Η διάµετρος του στοµίου Π είναι ίση προς dπ=50 mm. Οι υδραυλικές

απώλειες του στοµίου αναρρόφησης Σ και της βαλβίδας Β είναι ίσες προς:

δhΣ=δhΒ=1,28 mΣΥ για παροχή 100 m3/h. Οι υδραυλικές απώλειες της

διακλάδωσης Γ και των λοιπών εξαρτηµάτων θεωρούνται αµελητέες.

∆ίνονται επίσης: ειδικό βάρος και θερµοκρασία του νερού γ=1000 Kp/m3, θ=20 οC, επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec

2.

4

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.2

Στην αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος, η αντλία Α αντλεί νερό

θερµοκρασίας 20oC από την δεξαµενή (1) προς την δεξαµενή (2) µέσω

σωλήνωσης και του αποκλίνοντος ακροφυσίου Ε. Στην διακλάδωση Γ συνδέεται

κατακόρυφος σωλήνας Γ∆ που καταλήγει στο συγκλίνον ακροφύσιο ∆, διαµέτρων

30 mm/60 mm. Eάν η χαρακτηριστική της αντλίας θεωρηθεί ως ευθεία κλίσεως :

dH/dQ=-1/3 (H σε mΣΥ και Q σε m3/h) που διέρχεται από το σηµείο :

Η=120 mΣΥ, Q=290 m3/h, ζητούνται:

α) Το σηµείο λειτουργίας της αντλίας και η ισχύς που απορροφά σε KW

θεωρώντας βαθµό απόδοσης η=0,75.

β) Η παροχή από το ακροφύσιο ∆.

2,0 mr=2D

4 m3 m

(1)

(A)

B20 m 100 m

EΓ

∆

60 m 70 m

∆ίνονται: Εσ. διάµετρος των σωλήνων ΒΕ και αναρρόφησης D=100 mm. Eσ.

διάµετρος σωλήνος Γ∆ ίση προς d=60 mm. Αποκλίνον ακροφύσιο Ε διαµέτρων

100 mm/200 mm του οποίου ο βαθµός ανάκτησης λαµβάνεται ίσος προς 0,80.

Απώλειες στοµίου αναρρόφησης 0,50 mΣΥ. Οι απώλειες της διακλάδωσης Γ

θεωρούνται αµελητέες. Σωληνώσεις από χυτοσίδηρο.

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.3

Για την αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος δίνονται οι χαρακτηριστικές

καµπύλες (Η,Q) των αντλιών Α,Β,Γ.

Ζητούνται: α) Το σηµείο λειτουργίας κάθε αντλίας.

β) Ποιά πρέπει να είναι η τιµή του συντελεστή αντίστασης ζ της βαλβίδας ∆ για

την οποία η παροχή της αντλίας Β αυξάνεται κατά 20% ως προς αυτή του

προηγούµενου ερωτήµατος. Ποιά είναι τα νέα σηµεία λειτουργίας των τριών

αντλιών.

γ) Εάν αντί της βαλβίδας ∆, για να επιτευχθεί αύξηση της παροχής της αντλίας Β

κατά 20% (ως προς αυτή του ερωτήµατος α) τοποθετηθεί παράλληλος αγωγός

(βλέπε σχήµα), ζητείται η τιµή του συντελεστή αντίστασης ζ'2,3 του πρόσθετου

5

κλάδου και τα νέα σηµεία λειτουργίας των αντλιών. Η στάθµη του σηµείου 3'

είναι η ίδια µε αυτή του σηµείου 3.

∆ίνονται επίσης οι συντελεστές ζ των συνολικών υδραυλικών αντιστάσεων

(συµπεριλαµβάνονται οι αντίστοιχες απώλειες εξόδου). Οι υδραυλικές απώλειες

του κόµβου θεωρούνται αµελητέες.

ζ12=5·10-4

ζ23=30·10-4

ζ24=50·10-4

όπου δh=ζ·Q2

(για δh σε mΣΥ

και Q σε m3/h)

9 m

13 m

3'

3

ζ23'

(Β)

(Α)

∆

2

4ζ

24

(1)

ζ12

(Γ)

ζ23

Χαρακτηριστικές καµπύλες (H,Q) των αντλιών Α, Β και Γ

Q (m3/h) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

HA (mΣΥ) 9,50 9,45 9,40 9,30 9,05 8,80 8,40 8,00 7,55 7,0

ΗΒ (mΣΥ) 8,00 7,80 7,60 7,30 6,90 6,40 5,85 5,20

ΗΓ (mΣΥ) 15,0 15,0 14,6 14,0 13,1 11,8 10,4

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.4

∆ύο ταυτόσηµα αντλητικά συγκροτήµατα Α και Β αντλούν νερό από τις λίµνες (1)

και (2) αντίστοιχα των οποίων η στάθµη διαφέρει κατά 10 m. Το νερό, µε κοινό

κλάδο από τον κόµβο Ε, καταθλίβεται στην τεχνητή λίµνη (3), της οποίας η

στάθµη είναι κατά 50 m υψηλότερη από αυτή της λίµνης (1).

Ζητουνται: α) Το σηµείο λειτουργίας κάθε αντλίας όταν λειτουργούν ταυτόχρονα

(Η,Q,η και Ν).

β) Εάν ο ηλεκτροκινητήρας της αντλίας Α τεθεί εκτός λειτουργίας, ποιό θα είναι

το σηµείο λειτουργίας της αντλίας Β εάν η πρόσθετη αντίσταση της αντλίας Α,

6

όταν στρέφεται αντίστροφα λόγω της αρνητικής παροχής είναι ίση προς:

δhfA=QA2/100 (δhfA σε mΣΥ και QA σε m

3/h).

∆ίνονται: Η χαρακτηριστική (Η,Q,η) των αντλιών:

Q (m3/h) 0 100 160 220 260 290 310

H (mΣΥ) 97,5 95,0 87,5 70,0 50,0 30,0 10,0

η (%) 0 70 75 70 60 40 15

Οι συντελεστές αντίστασης των κλάδων είναι: ζ1=ζ2=5·10-4 και ζ3=1,25·10

-4

όπου δhf=ζ·Q2 µε δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h.

10 m

50 m

(A)

(B)

ζ1

ζ2

ζ3

(1)

(3)

E

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.5

Στην αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος η αντλία στρέφεται στις κανονικές της

στροφές n=2000 RPM και ανυψώνει το νερό κατά 40 m.

(Α)

h=40 m

Zητούνται: α) Το σηµείο λειτουργίας της αντλίας, δηλ. Η,Q,η και Ν σε KW.

β) Η ταχύτητα περιστροφής n1 της αντλίας για την οποία η αντλία λειτουργεί µε

τον µέγιστο βαθµό απόδοσης, καθώς και το αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας της.

∆ίνονται: Οι συνολικές υδραυλικές απώλειες της σωλήνωσης εκφράζονται ως:

δhf=ζ · Q2 µε ζ=0,002 για δhf σε mΣΥ και Q σε m

3/h. Tο ειδικό βάρος του νερού

είναι: γ=1000 Kp/m3. ∆ίνεται ακόµη η χαρακτηριστική (Η,Q,η) της αντλίας στις

κανονικές στροφές n=2000 RPM ενώ είναι ακόµη γνωστό οτι ο βαθµός απόδοσης

πέφτει γραµµικά κατά 1% για διαφορά στροφών ±100 RPM από τις κανονικές.

7

Q (m3/h) 40 60 75 90 110

H (mΣΥ) 79,5 74,5 70,0 65,0 55,5

η (%) 59 66 67,5 64,5 52

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.6

Αρδευτικό δίκτυο που βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε οριζόντιο επίπεδο

τροφοδοτείται από δύο ταυτόσηµες αντλίες 1 και 2, παράλληλα συνδεδεµένες

µέσω της δεξαµενής (∆). Η δεξαµενή αυτή τροφοδοτείται από σωλήνωση

οπλισµένου σκυρόδεµατος εσ. διαµέτρου D=500 mm, σχετικής τραχύτητας 0,001,

µε µήκος αναρρόφησης 20 m και κατάθλιψης 100 m.

Οι υδραυλικές απώλειες του αρδευτικού δικτύου, κατάντι του σηµείου Β,

εκφράζονται από την σχέση: δhf2=ζ2·Q2, οι απώλειες του στοµίου αναρρόφησης Σ

από την σχέση: δhf1=ζ1·Q2, µε ζ2=15 και ζ1=0,5 για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/sec.

Οι απώλειες των κόµβων θεωρούνται αµελητέες.

∆ίνονται επίσης οι χαρακτηριστικές καµπύλες (Η,Q,η) των αντλιών στις n=485

RPM

Q (m3/sec) 0 0,4 0,7 1,0 1,3

H (mΣΥ) 34,0 30,2 25,5 18,0 7,7

η (-) 0 0,60 0,85 0,80 0,50

10 m

(1) (2)

Σ

h(∆)

Γ

Α

B

Προςαρδευτικόδίκτυο

Z

Ζητείται: α) Το σηµείο λειτουργίας των αντλιών (Η,Q,η και Ν) όταν λειτουργούν

στις n=485 RPM.

β) Εάν µεταβληθούν οι στροφές της αντλίας 2 έτσι ώστε η παροχή της αντλίας 1

γίνει ίση προς 0,2 m3/sec ζητούνται: το σηµείο λειτουργίας των αντλιών 1 και 2

και οι στροφές της 2, ο βαθµός απόδοσης και η χαρακτηριστική του

συγκροτήµατος των αντλιών 1 και 2.

γ) Η τιµή του συντελεστού ζ τοπικής αντίστασης η οποία εάν τοποθετηθεί µεταξύ

Α και Ζ προκαλεί µηδενισµό της παροχής της αντλίας 1 όταν η αντλία 2 στρέφεται

8

µε την ταχύτητα περιστροφής του προηγούµενου ερωτήµατος. Να καθορισθεί

επίσης το νέο σηµείο λειτουργίας της αντλίας 2.

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.7 (Από την εξέταση της 16.9.1982)

Στο σχήµα εικονίζεται δίκτυο πυρόσβεσης που καλύπτει τις ζώνες Α και Β και το

οποίο τροφοδοτείται από αντλιοστάσιο που περιλαµβάνει δύο ταυτόσηµες αντλίες,

παράλληλα συνδεδεµένες, και δεξαµενή αποθήκευσης του νερού.

Ζητούνται: α) Όταν εκδηλώνεται πυρκαγιά στην ζώνη Β λειτουργεί µόνο η αντλία

1. Να ευρεθεί το σηµείο λειτουργίας και η ισχύς την οποία απορροφά η αντλία 1

όταν η στάθµη του νερού στην δεξαµενή είναι +4,0 m. Eλέγξατε την λειτουργία

της αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης για τις περιπτώσεις όπου η στάθµη του

νερού έχει την ανώτατη τιµή +4,0 m και την κατώτατη τιµή +0,25 m. Υπάρχει

κίνδυνος σπηλαίωσης της αντλίας µετά από παρατεταµένη λειτουργία του

δικτύου; Εάν ναι τί προτείνετε για την αποφυγή του λαµβάνοντας υπόψη οτι το

αντλιοστάσιο διαθέτει δύο αντλίες; ∆ικαιολογήσατε την απάντηση σας.

β) Για ταυτόχρονη πυρόσβεση στις ζώνες Α και Β απαιτείται η ταυτόχρονη

λειτουργία των αντλιών 1 και 2. Να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής της

αντλίας 2 έτσι ώστε, κατά την παράλληλη λειτουργία των αντλιών 1 και 2 και µε

ζe1=7 · 10-6

ζε2=1,2 · 10-5

ζα1=6 · 10-6

ζα2=1 · 10-5

ζΑ=2,3 · 10-4

ζΒ=8 · 10-5

όπου δhf=ζ · Q2

µε δhf σε mΣΥ

και Q σε m3/h

5m

5 m

(2)

(1) ζe1

ζe2

ζa1

ζa2

ζ1

ΤΟΜΗ Γ-Γ

ζe1,2

ζa1,2

Γ Γ

z=0,5 m

zmax

=4 m

ΖΩΝΗ "Α"

ΗΑ

ΗΒ

ζΒ ΖΩΝΗ "Β"

ζ1

Α

Κ

στάθµη της δεξαµενής στο 0,25 m, η αντλία 1 να λειτουργεί οριακά από πλευράς

σπηλαίωσης. Να ευρεθεί επίσης το σηµείο λειτουργίας της αντλίας 2, η ισχύς την

οποία απορροφά και να ελεγχθεί η λειτουργία της από πλευράς σπηλαίωσης.

∆ίνονται: Θερµοκρασία του νερού: θ=20 oC, ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ. Οι

τιµές των συντελεστών ζ των κλάδων δίνονται στο σχήµα, όπου η αντίστοιχη

9

υδραυλική απώλεια εκφράζεται ως δhf=ζ·Q2, για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h. Οι

απώλειες στις διακλαδώσεις θεωρούνται αµελητέες.

Η χαρακτηριστική (Η,Q,η%) της µονοβάθµιας φυγόκεντρης αντλίας 1 στις

κανονικές στροφές της n=1210 RPM στις οποίες και λειτουργεί:

Q (m3/h) 0 200 300 350 400 600 785

H (mΣΥ) 56,5 53,7 51,0 49,0 46,0 36,5 0,0

η (%) 0,0 66,0 76,0 78,0 76,0 28,0 0,0

AΣΚΗΣΗ 1.1.8 (Από την εξέταση της 12.9 1983)

Στο σχήµα παριστάνεται το δίκτυο ψύξεως χηµικής βιοµηχανίας που

περιλαµβάνει: δεξαµενή κρύου νερού θερµοκρασίας 20oC και σταθερής στάθµης,

φυγόκεντρη αντλία της οποίας δίνονται οι χαρακτηριστικές καµπύλες στις n=3000

RPM όπου και λειτουργεί και δύο κύριες καταναλώσεις από τις οποίες, το ζεστό

πλέον νερό, καταλήγει σε δεξαµενή στάθµης +15 m, από όπου το νερό επιστρέφει

στον πύργο ψύξεως.

Ζητουνται: α) Να ευρεθεί η παροχή Q1 και Q2 και να υπολογισθεί η ισχύς την

οποία απορροφά η αντλία (η βάννα Β3 είναι πλήρως κλειστή).

β) Σε µία φάση λειτουργίας της βιοµηχανίας είναι επιθυµητή η µείωση της

συνολικής παροχής (Q1+Q2) κατά 30%. Για τον λόγο αυτόν εξετάζονται οι

ακόλουθες περιπτώσεις:

− β1) κλείσιµο της βάννας Β1 ή της Β2, δηλ. αύξηση κατά δζ του συντελεστού

αντίστασης του αντίστοιχου κλάδου. Ποιός από τους δύο αυτούς χειρισµούς

πρέπει να προτιµηθεί και γιατί;

− β2) Μεταβολή της ταχύτητας περιστροφής της αντλίας. Ποιά πρέπει να είναι

η νέα τιµή της;

− β3) Τοποθέτηση κλάδου by-pass του οποίου να ευρεθεί η τιµή του

συντελεστή αντίστασης, συµπεριλαµβάνοντας την βάννα Β3, η οποία δεν

είναι πλέον κλειστή.

Ποιά από τις τρεις παραπάνω λύσεις β1, β2 και β3 είναι προτιµότερη λαµβάνοντας

ως κριτήριο την απορροφούµενη ισχύ της αντλίας και την ασφάλεια λειτουργίας

ως προς την σπηλαίωση.

∆ίνονται: ειδικό βάρος του νερού γ=1000 Kp/m3, ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10

mΣΥ. Οι συντελεστές ζ των απωλειών στους κλάδους του δικτύου δhf=ζ·Q2, για

δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h, δίνονται στο σχήµα. Οι απώλειες στις διακλαδώσεις

θεωρούνται αµελητέες.

10

ζ1=1,1·10-2 ζ2=3,4·10-3

ζe=5,0·10-4

ζa=15,0·10-4

z=5 m

θ=20 οC

B1

B3

B2

ζe

ζa

ζ3

Κλάδοςby-pass

Q1

Q2

z=15 m

θ=45 οC

Προς πύργοψύξεως

ζ2

ζ1

∆εξαµενήκρύου νερού

Εναλλάκτες

E

Χαρακτηριστική (H,Q,η) της αντλίας στις n=3000 RPM:

Q (m3/h) 0 20 40 50 60 80 100

H (mΣΥ) 31,0 29,0 25,7 23,5 20,8 13,5 0,0

η (%) 0,0 48,5 75,5 81,0 76,5 47,0 0,0

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.9 (Από την εξέταση της 13.1.1984)

Στο σχήµα παριστάνεται το κύκλωµα ψύξεως χηµικής βιοµηχανίας που

περιλαµβάνει δεξαµενή κρύου νερού θερµοκρασίας 20oC και φυγόκεντρη αντλία 1

της οποίας δίνεται η χαρακτηριστική στις n=3000 RPM όπου και λειτουργεί. Το

δίκτυο είχε αρχικά µία µόνη κατανάλωση, τον κλάδο Α, όµως λόγω επεκτάσεως

της βιοµηχανίας προβλέπεται η επέκταση του δικτύου µε την προσθήκη του

κλάδου Β. Οι στάθµες των αντίστοιχων δεξαµενών Α και Β είναι σταθερές.

ζe=7,0·10-4

ζa=0,50·10-4

ζA=55,6·10-4

ζB=27,8·10-4

(Β)

(Α)

ζΑ

ζΒ

ζaζ

e

(2) (1)

z∆=2,5 m

zA=10 m

zB=15 m

z=0,75 m

Κ

Ζητούνται: α) Να ευρεθεί το σηµείο λειτουργίας και να ελεγχθεί η λειτουργία της

αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης όταν υπάρχει µόνο ο κλάδος Α.

β) Μετά την προσθήκη της κατανάλωσης Β να ευρεθεί η παροχή προς τις δύο

καταναλώσεις και να ελεγχθεί η λειτουργία της αντλίας ως προς σπηλαίωση.

11

γ) Με σκοπό την λειτουργία της αντλίας 1 σε ασφαλή περιοχή ως προς σπηλαίωση

αποφασίζεται η τοποθέτηση αντλίας 2, γεωµετρικά όµοιας προς την 1 και η οποία

θα τοποθετηθεί ανάντι της 1, εν σειρά προς αυτήν. Η επιλογή της 2 γίνεται ώστε

και οι δύο αντλίες να λειτουργούν στο κανονικό σηµείο λειτουργίας τους για τις

αντίστοιχες στροφές. Να ευρεθεί η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας 2 και ο

λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας ως προς την 1. Να ελεγχθεί η λειτουργία των

αντλιών 1 και 2 ως προς σπηλαίωση.

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ και οι συντελεστές ζ των απωλειών

των διαφόρων κλάδων: Οι συντελεστές ζ των απωλειών στους κλάδους του

δικτύου (δhf=ζ · Q2, για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h) δίνονται στο σχήµα.

Χαρακτηριστική (Η,Q,η) της αντλίας 1 στις n=3000 RPM:

Q (m3/h) 0 40 80 110 120 160 210

H (mΣΥ) 32,5 31,8 28,8 25,0 23,7 16,0 0,0

η (%) 0,0 48,5 75,5 81,0 76,5 47,0 0,0

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.10 (Από την εξέταση της 14.6.1984)

Στό σχήµα παριστάνεται το κύκλωµα ψύξεως χηµικής βιοµηχανίας στο οποίο το

νερό αναρροφάται από παρακείµενο ποταµό µέσω του αντλιοστασίου Α από όπου

καταθλίβεται προς τον πύργο ψύξεως, αφού προηγουµένως περάσει από τους

εναλλάκτες. Η στάθµη του ποταµού µεταβάλλεται κατά την διάρκεια του έτους

µεταξύ της ελάχιστης τιµής zmin=-5 m, που συµβαίνει το καλοκαίρι, και την

µέγιστη zmax=-2 m η οποία συµβαίνει τον χειµώνα. Η βιοµηχανία παρουσιάζει την

µεγαλύτερη ζήτηση νερού κατά την καλοκαιρινή περίοδο.

ζ1=8·10-6

ζ2=22,6·10-6

(βάννα Β

πλήρως

ανοικτή)

z=0

e aAζ

1

zΑ

ζ2

z=15 m

zπ

Εναλλάκτεςθερµότητας

Πύργος ψύξεως

B

Ζητούνται: α) Να υπολογισθεί η µέγιστη στάθµη zA τοποθέτησης της αντλίας ώστε

η λειτουργία της, στην δυσµενέστερη από πλευράς σπηλαίωσης περίπτωση (ποιά

12

είναι αυτή και πότε συµβαίνει;) να παρουσιάζει ασφάλεια λειτουργίας (χρήση

στατιστικών στοιχείων)

β) Πόσο πρέπει να αυξηθεί ο συντελεστής αντίστασης του κλάδου της κατάθλιψης

(πχ. µε χειρισµό στην βάννα Β) ώστε κατά την χειµερινή περίοδο να επιτυγχάνεται

µείωση της παροχής κατά 30% σε σύγκριση µε αυτή της θερινής περιόδου. Ποιά

είναι η ισχύς που απορροφάται από την αντλία;

γ) Εάν αντί να στραγγαλίζεται η παροχή µε την βάννα Β χρησιµοποιηθεί

κινητήρας µεταβλητής ταχύτητας περιστροφής, ποιές πρέπει να είναι οι στροφές

για να επιτευχθεί η επιθυµητή παροχή της χειµερινής περιόδου και ποιά είναι η

αντίστοιχη ισχύς που απορροφά η αντλία. Σχολιάσατε από οικονοµοτεχνικής

πλευρά τις δύο αυτές λύσεις για την µείωση της παροχής: στραγγαλισµός της

παροχής ή κινητήρας µεταβλητών στροφών.

∆ίνονται: Θερµοκρασία του νερού του ποταµού κατά την χειµερινή περίοδο

θ=12οC και κατά την θερινή 20

οC. Ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ. Οι

υδραυλικές απώλειες των κλάδων εκφράζονται ως: δhf=ζ · Q2, για δhf σε mΣΥ και

Q σε m3/h, ενώ οι τιµές των συντελεστών ζ δίνονται στο σχήµα.

Χαρακτηριστική (Η,Q,η) της αντλίας στις: n=1450 RPM, όπου και λειτουργεί:

Q (m3/h) 0 200 400 600 800 1000 1200

H (mΣΥ) 50,0 47,5 43,2 38,0 30,5 18,3 0,0

η (%) 0,0 43,0 68,0 78,0 67,0 43,0 0,0

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.11 (Από την εξέταση της 27.8.1985)

Η αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος τροφοδοτεί µε νερό τις δεξαµενές Α και

Β ύδρευσης δύο κοινοτήτων µέσω φυγόκεντρης αντλίας 6 βαθµίδων.

α) Ζητείται ο συντελεστής αντίστασης ζA του κλάδου που τροφοδοτεί την

δεξαµενή Α έτσι ώστε όταν η παροχή προς την Β είναι 100 m3/h η παροχή προς

την Α να είναι 119 m3/h. Για την τιµή αυτή του ζA να ευρεθεί η παροχή προς κάθε

δεξαµενή όταν λειτουργεί η αντλία στις n=1500 RPM καθώς και η ισχύς την οποία

αυτή απορροφά.

β) Εξετάζεται η δυνατότητα αύξησης της παροχής προς την δεξαµενή Β κατά 30%

µε τους εξής δύο τρόπους, χωρίς να ενδιαφέρει η αντίστοιχη µεταβολή της

παροχής προς την δεξαµενή Α.

− β1) Με την τοποθέτηση νέου κλάδου, παράλληλου προς τον υπάρχοντα από

το σηµείο της διακλάδωσης Ε µέχρι την δεξαµενή Β. Να υπολογισθεί ο

συντελεστής αντίστασης του νέου κλάδου, η παροχή προς κάθε δεξαµενή, η

απορροφούµενη ισχύς της αντλίας και να ελεγχθεί η λειτουργία της ως προς

σπηλαίωση.

13

− β2) Με την αντικατάσταση της αντλίας µε νέα, γεωµετρικά όµοια προς την

αρχική. Ζητείται να υπολογισθεί ο λόγος οµοιότητας της νέας αντλίας ως

προς την αρχική, η ταχύτητα περιστροφής της και η απορροφούµενη ισχύς

ώστε η νέα αντλία να λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της.

ζe=1·10-4

ζa=9·10-4

ζB=2,041·10-3

z=5 m

ζe ζ

a

ζΑ

ζΒ

(B)

(A)

zA=100 m

zB=150 m

z=0 m

E

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, θερµοκρασία νερού θ=20 οC. Οι

υδραυλικές απώλειες των κλάδων εκφράζονται ως: δhf=ζ · Q2, όπου η τιµή των

συντελεστών ζ δίνονται στο σχήµα για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h. Επίσης η

χαρακτηριστική (Η,Q,η) της αντλίας στις n=1500 RPM

Q (m3/h) 0 50 100 150 200 250 300

H (mΣΥ) 343 335 320 300 278 221 172

η (%) 0 40 60 70 77 72 63

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.12 (Από την εξέταση της 13.6.1987)

Στην αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος οι αντλίες 1 και 2 είναι γεωµετρικά

όµοιες µεταξύ τους µε λόγο οµοιότητας: D1/D2=2. ∆ίνονται οι χαρακτηριστικές

καµπύλες λειτουργίας (Η,Q,η) της αντλίας 1 στις n=1450 RPM στις οποίες και

λειτουργεί:

Q (m3/h) 0 400 600 800 1000 1200 1400

H (mΣΥ) 50,0 46,5 42,5 37,0 29,5 18,5 0,0

η (%) 0 63,5 75,5 80,0 70,0 49,0 0,0

Ζητούνται: α) Οταν λειτουργεί µόνο η αντλία 1 να ευρεθεί το σηµείο λειτουργίας,

η απορροφούµενη ισχύς σε KW και η µέγιστη απόσταση LA1 εγκατάστασης της

αντλίας 1 από την δεξαµενή (Α) έτσι ώστε η λειτουργία της να είναι ασφαλής ως

προς σπηλαίωση.

14

β) Η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας 2 για την οποία, όταν ήδη λειτουργεί η

αντλία 1, η αντλία 2 µόλις να αρχίζει να δίνει παροχή στο δίκτυο.

γ) Εάν η ταχύτητα περιστροφής της 2 είναι n2=2500 RPM και λειτουργούν και οι

δύο αντλίες 1 και 2 ζητείται το σηµείο λειτουργίας κάθε αντλίας και η

απορροφούµενη ισχύς.

ζAK=2,065·10-5

ζBK=5,0·10-5

ζKΓ=0,50·10-5

LA1

(1)

(2)

(B)

(A)

zA=15 m

zB=20 m

(Γ)

zΓ=30 m

3 mA

B

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, θερµοκρασία του νερού θ=15 οC. Οι

υδραυλικές απώλειες των κλάδων του δικτύου εκφράζονται ως δhf=ζ·Q2, όπου οι

τιµές των συντελεστών ζ δίνονται στο σχήµα για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h. Το

συνολικό µήκος του αγωγού ΑΚ είναι 2000 m και το ποσοστό των εντοπισµένων

προς τις γραµµικές απώλειες θεωρείται αµελητέο.

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.13 (Από την εξέταση της 23.6.1988)

Στο σχήµα παριστάνεται η διάταξη δικτύου ψύξεως βιοµηχανίας η οποία

περιλαµβάνει την δεξαµενή (1) κρύου νερού θερµοκρασίας 20 oC, την δεξαµενή

(2) από την οποία το νερό οδηγείται στους πύργους ψύξεως και την αντλία Α της

οποίας δίνονται οι χαρακτηριστικές καµπύλες λειτουργίας στις n=1450 RPM όπου

και λειτουργεί. Οι στάθµες των δεξαµενών θεωρούνται σταθερές.

ζe=4,0·10-5

ζa=4,0·10-5

ζc=3,37·10-4

d=125 mm

MA

z=120 m ζe

ζa

E

ζc

Eναλλάκτεςz=128 m

(2)

(1)Κλάδος by-pass

15

Ζητούνται: α) Το σηµείο λειτουργίας της αντλίας, η απορροφούµενη ισχύς σε KW

και η ένδειξη του µανοµέτρου στην κατάθλιψη της αντλίας.

β) Με σκοπό την µείωση της παροχής κρύου νερού προς τους εναλλάκτες κατά

30% ως προς αυτή του προηγούµενου ερωτήµατος τοποθετείται κλάδος by-pass

του οποίου ζητείται η τιµή του συντελεστού αντίστασης ζb.

γ) Ποιά είναι η ακραία τιµή (µέγιστη ή ελάχιστη και γιατί;) του συντελεστή

αντίστασης ζb του κλάδου by-pass για την οποία η λειτουργία της αντλίας Α

αρχίζει να γίνεται επισφαλής από πλευράς σπηλαίωσης.

δ) Λόγω γήρανσης των εναλλακτών και άλλων µετατροπών ο αντίστοιχος

συντελεστής αντιστάσεως ζc αυξάνεται κατά 50% ως προς την αρχική του τιµή.

Με σκοπό την επαναφορά της παροχής σε αυτή του α ερωτήµατος εξετάζεται η εν

σειρά τοποθέτηση αντλίας Β, ταυτόσηµης µε την Α της οποίας ζητείται η ταχύτητα

περιστροφής της και η απορροφούµενη από αυτήν ισχύς (ο κλάδος by-pass είναι

κλειστός).

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ. Οι υδραυλικές απώλειες των κλάδων

εκφράζονται ως : δhf=ζ·Q2 όπου οι τιµές των συντελεστών ζ δίνονται στο σχήµα

για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h.

Χαρακτηριστική της αντλίας Α στις n=1450 RPM:

Q (m3/h) 0 80 120 160 200 240 300

H (mΣΥ) 30,0 28,0 26,3 23,6 19,8 14,0 0,0

η (%) 0 64,5 74,0 76,5 70,0 53,0 0,0

AΣΚΗΣΗ 1.1.14 (Από την εξέταση της 13.9.1988)

Στο κύκλωµα ψύξεως υδρόψυκτου κινητήρα εσωτερικής καύσεως το οποίο

παριστάνεται στο σχήµα, το νερό διακινείται από φυγόκεντρη αντλία που

στρέφεται από τον ίδιο τον κινητήρα µέσω σταθερής µετάδοσης. Το κύκλωµα

περιλαµβάνει διακλάδωση µέσω της οποίας το νερό οδηγείται στο ψυγείο και της

οποίας η αντίσταση (και άρα και η παροχή) ρυθµίζεται αυτόµατα, ανάλογα µε την

θερµοκρασία του νερού µέσω της θερµοστατικής βαλβίδας. Οι υπόλοιπες

αντιστάσεις του δικτύου είναι σταθερές και δεδοµένες. Το κύκλωµα, κατάντι της

θερµοστατικής βαλβίδας, συνδέεται µε δοχείο εκτόνωσης το οποίο βρίσκεται σε

ατµοσφαιρική πίεση.

Ζητούνται: α) Να δείξετε ότι για µία ορισµένη τιµή της αντίστασης ζV της

θερµοστατικής βαλβίδας, ο λόγος της παροχής της αντλίας προς την παροχή που

διέρχεται από το ψυγείο είναι σταθερός και ανεξάρτητος της ταχύτητας

περιστροφής της αντλίας. Επίσης δείξατε οτι για σταθερή τιµή της ταχύτητας

16

περιστροφής της αντλίας, όσο µειώνεται η αντίσταση ζV της θερµοστατικής

βαλβίδας, η παροχή της αντλίας αυξάνεται.

ζc=ζe=ζb=6·10-3

ζa=48·10-3

β) Ποιά είναι η παροχή προς το ψυγείο, η παροχή της αντλίας και η ισχύς την

οποία απορροφά όταν στρέφεται στις n=2000 RPM και η αντίσταση της

θερµοστατικής βαλβίδας είναι ίση προς: ζV=2·ζb. Ελέγξατε την λειτουργία της

αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης.

γ) Η αντίσταση της θερµοστατικής βαλβίδας µεταβάλλεται από ζV=0-∝ και η

ταχύτητα περιστροφής της αντλίας από: n=1000-4000 RPM. Καθορίσατε στο

διάγραµµα (Η,Q) την περιοχή των σηµείων λειτουργίας της αντλίας που

αντιστοιχεί. Ποιό από αυτά είναι το δυσµενέστερο από πλευράς σπηλαίωσης της

αντλίας και γιατί.

δ) Εξετάζεται η αντικατάσταση της αντλίας µε άλλη, γεωµετρικά όµοια προς την

αρχική και η οποία να λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της όταν

ζV=2·ζb. Εάν η κανονική παροχή της είναι ίση προς Q=12 m3/h να ευρεθεί ο λόγος

οµοιότητας ως προς την αρχική αντλία και η ταχύτητα περιστροφής της.

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, θερµοκρασία του νερού στην

αναρρόφηση της αντλίας θ=80 οC. Οι υδραυλικές απώλειες των κλάδων

εκφράζονται ως: δhf=ζ·Q2. Οι τιµές των συντελεστών ζ δίνονται στο σχήµα, για Q

σε m3/h και δhf σε mΣΥ.

Xαρακτηριστική καµπύλη λειτουργίας στις n=2000 RPM:

Q (m3/h) 0 4 8 12 16 18

H (mΣΥ) 10,0 9,5 8,2 5,8 2,6 0,0

η (%) 0 51,0 70,0 58,0 27,5 0,0

17

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.15 (Από την εξέταση της 13.6.1989)

Οι ανάγκες υδροδότησης ξενοδοχειακού συγκροτήµατος καλύπτονται από την

αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος. Η αντλία, της οποίας οι χαρακτηριστικές

καµπύλες λειτουργίας στις n=2900 RPM όπου και λειτουργεί είναι δεδοµένες,

αναρροφά νερό από την δεξαµενή Α και τροφοδοτεί την δεξαµενή (2) που

βρίσκεται στην οροφή του ξενοδοχείου (ουσιαστικά σταθερής στάθµης) και

συντριβάνι (πίδακα) στον κήπο του ξενοδοχείου. Η δεξαµενή της οροφής είναι

εφοδιασµένη µε πλωτήρα ο οποίος διακόπτει την αντίστοιχη παροχή όταν η

δεξαµενή γεµίσει, οπότε τροφοδοτεί µόνο το συντριβάνι του οποίου η διάµετρος

του ακροφυσίου είναι ίση προς dσ=4 cm. Και στις δύο περιπτώσεις λειτουργίας το

ύψος του πίδακα πρέπει να είναι σταθερό και ίσο προς hπ=2,5 m, λαµβάνοντας

υπόψη ότι είναι ίσος προς το 60 % του αντίστοιχου θεωρητικού (απώλειες

συνεκτικότητας, τύρβης κλπ.), γεγονός που επιτυγχάνεται µε αυτόµατο άνοιγµα ή

κλείσιµο της βάννας Β1.

ζe=ζa=8,967·10-4

ζ1=3,587·10-3

ζ2=2,50·10-2

(2)

ζ1

ζ2

ζaζ

e

z=0 mz

1=15 m

z2=40 m

(A)

d=85 mm

M

hπΒ1

z=-2 m

E

Ζητούνται: α) Όταν το αντλητικό συγκρότηµα τροφοδοτεί µόνο το συντριβάνι

ζητείται το σηµείο λειτουργίας της αντλίας, η απορροφούµενη από αυτή ισχύς, η

τιµή του συντελεστού αντίστασης ζB1 της βάννας και η ένδειξη του µανοµέτρου

Μ.

β) Όταν το αντλητικό συγκρότηµα τροφοδοτεί και την δεξαµενή (2) ζητείται το

σηµείο λειτουργίας της αντλίας, η απορροφούµενη από αυτήν ισχύς και η τιµή του

συντελεστού αντίστασης ζB1 της βάννας.

γ) Να γίνει έλεγχος της λειτουργίας της αντλίας σε σπηλαίωση στην δυσµενέστερη

περίπτωση λειτουργίας κάνοντας χρήση των στατιστικών στοιχείων και

λαµβάνοντας υπόψη οτι η αντλία είναι 3-βάθµια.

δ) Στην περίπτωση όπου λειτουργεί µόνο το συντριβάνι εξετάζεται η περίπτωση

αλλαγής της ταχύτητας περιστροφής της αντλίας µε σκοπό την εξοικονόµηση

ενέργειας. Ζητείται η κατάλληλη ταχύτητα περιστροφής της αντλίας, το νέο

σηµείο λειτουργίας και η απορροφούµενη από αυτήν ισχύς όταν η βάννα Β1 είναι

είναι πλήρως ανοικτή (ζB1=0).

∆ίνονται: Οι χαρακτηριστικές καµπύλες λειτουργίας (Η,Q,η) της αντλίας στις

n=2900 RPM:

18

Q (m3/h) 0 20 30 40 50 60 80

H (mΣΥ) 120,0 106,0 96,5 85,0 69,5 52,5 0,0

η (%) 0 65,0 72,0 75,0 69,5 57,0 0,0

ατµοσφαιρική πίεση : Ηα=10 mΣΥ, ειδικό βάρος του νερού: γ=1000 Κp/m3,

θερµοκρασία νερού: θ=20 οC, επιτάχυνση της βαρύτητας: g=9,81 m/sec

2. Οι

υδραυλικές απώλειες εκφράζονται ως: δhf=ζ·Q2 όπου οι τιµές των συντελεστών ζ

δίνονται στο σχήµα για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h.

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.16 (Από την εξέταση της 12.6.1990)

Η δεξαµενή (2) του σχήµατος τροφοδοτεί µε νερό ψύξεως χηµική βιοµηχανία

µέσω αγωγού βαρύτητας από την ανάντι δεξαµενή (1). Στο άκρο του αγωγού

βαρύτητας υπάρχει βάννα η οποία κλείνει από πλωτήρα όταν η στάθµη της ανεβεί

(όταν δηλαδή η απορροφούµενη από την βιοµηχανία παροχή είναι µικρότερη από

την παροχή Q του αγωγού). Μετά από επέκταση της βιοµηχανίας, µε σκοπό την

αύξηση της παροχής αποφασίζεται η εγκατάσταση στον αγωγό αντλίας

προωθητικής (booster), τοποθετηµένης σε διακλάδωση του αγωγού µε βαλβίδες

αντεπιστροφής, όπως φαίνεται στο σχήµα, έτσι ώστε όταν η ζητούµενη παροχή

είναι µικρή το νερό ρέει υπό βαρύτητα αλλοιώς τίθεται σε λειτουργία η αντλία

booster.

∆ίνονται: Η χαρακτηριστική (H,Q,η) της αντλίας στις n=1450 RPM όπου και

λειτουργεί:

Q (m3/h) 0 200 300 400 500 600 700

H (mΣΥ) 100,0 92,0 98,5 77,5 68,0 57,0 45,0

η (%) 0 65,0 78,0 85,0 78,0 64,0 42,0

− Ατµοσφαιρική πίεση ΗB=10 mΣΥ, επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2,

θερµοκρασία του νερού θ=20 oC.

− Μήκος του αγωγού L=10.000 m, εσωτερική διάµετρος D=0,40 m.

− Συντελεστής απωλειών του αγωγού, όταν η βάννα στο άκρο του είναι

ανοικτή ζ=4,30·10-4 (δhf=ζ·Q2, δhf σε mΣΥ, Q σε m3/h).

− Οι απώλειες µεταξύ των σηµείων Α και Β θεωρούνται αµελητέες.

Ζητούνται: α) Η παροχή που διακινείται υπό βαρύτητα και µόνο, η παροχή όταν

λειτουργεί η αντλία και η ισχύς την οποία απορροφά. Και στις δύο περιπτώσεις να

χαραχθεί σχηµατικά η πιεζοµετρική γραµµή (Η'=p/ρg+z) κατά µήκος του αγωγού.

19

β) Υποθέτοντας οτι η κλίση του αγωγού είναι οµοιόµορφη ποιά είναι η µέγιστη

απόσταση από την αρχή του αγωγού ώστε η ως άνω λειτουργία της αντλίας να

είναι ασφαλής όσον αφορά την σπηλαίωση (εργασθείτε µε στατιστικά στοιχεία).

Η θέση της αντλίας κατά µήκος του αγωγού, εκτός από την σπηλαίωση, επηρεάζει

το σηµείο λειτουργίας της και γιατί;

γ) Εάν η αντλία τοποθετηθεί 150 m από την αρχή του αγωγού ποιά θα είναι η

ένδειξη µανοµέτρου που τοποθετείται στο σηµείο Β της σύνδεσης όταν ο αγωγός

λειτουργεί υπό βαρύτητα και µόνο και όταν λειτουργεί η αντλία.

A

B

z=125 m

z=120 m

(2)

z=45 mΑντλία Πλωτήρας

δ) Ποιά πρέπει να είναι η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας ώστε η παροχή του

αγωγού να γίνει ίση προς Q=650 m3/h και ποιά είναι η ισχύς την οποία απορροφά

η αντλία στο νέο σηµείο λειτουργίας της.

ε) Εάν η αντλία αντικατασταθεί µε δύο άλλες ταυτόσηµες, γεωµετρικά όµοιες µε

την αρχική να ευρεθεί ο λόγος οµοιότητας και η ταχύτητα περιστροφής τους ώστε

όταν λειτουργούν i) παράλληλα και ii) εν σειρά, να επιτυγχάνεται η παροχή του α

ερωτήµατος και το σηµείο λειτουργίας τους να είναι το κανονικό. Ποιά από τις

δύο λύσεις (παράλληλη ή εν σειρά λειτουργία) είναι συµφερότερη από

οικονοµικής πλευράς.

AΣΚΗΣΗ 1.1.17 (Από την εξέταση της 20.6.1991)

Στο σχήµα δίνεται σταθµός φορτώσεως βυτιοφόρων µε νερό από δεξαµενή.

Περιλαµβάνει φυγόκεντρη αντλία της οποίας δίνεται η χαρακτηριστική

λειτουργίας στις n=1500 RPM όπου και λειτουργεί. ∆ίνονται επίσης οι

συντελεστές ζ απωλειών των κλάδων (δhf=ζ·Q2), για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h.

Q (m3/h) 0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0

H (mΣΥ) 11,0 10,5 10,0 9,3 8,5 7,5 6,5

η (%) 0 58,0 70,0 75,0 73,0 67,0 60,0

20

∆ίνονται επίσης η θερµοκρασία του νερού, θ=20 oC, η ατµοσφαιρική πίεση ΗB =

10 mΣΥ και οι συντελεστές απωλειών των κλάδων (δhf = ζ·Q2, για δhf σε mΣΥ

και Q σε m3/h), ζe = 0,5·10–3, ζa = 1,2·10–3, ζ1 = 1,62·10–3.

E

ζ1 ζ

1z=6 mζ

a

ζe

zA

0,50 m

(A)

Ζητούνται: α) Το σηµείο λειτουργίας της αντλίας εάν τροφοδοτούνται 1 ή 2

βυτιοφόρα ταυτόχρονα και η στάθµη της δεξαµενής είναι z=2 m. Στην

δυσµενέστερη από πλευράς σπηλαίωσης περίπτωση να γίνει έλεγχος ασφαλούς

λειτουργίας ως προς την σπηλαίωση.

Με σκοπό την επέκταση του σταθµού ώστε να είναι δυνατή η φόρτωση µέχρι 3

βυτιοφόρων συγχρόνως από τον κοινό κόµβο Ε µε διακλάδωσεις αντίστασης ζ1

εξετάζονται οι ακόλουθες λύσεις:

β) η αύξηση της ταχύτητας περιστροφής της αντλίας µέσω κινητήρα µεταβλητών

στροφών. Ποιά πρέπει να είναι η ταχύτητα περιστροφής και η ισχύς που

απορροφάται από την αντλία ώστε για z=6 m η παροχή προς κάθε βυτιοφόρο να

είναι ίση προς 30 m3/h.

γ) η τοποθέτηση άλλης µίας αντλίας ταυτόσηµης µε τη αρχική. Η πρόσθετη αντλία

πρέπει να εγκατασταθεί εν σειρά ή παράλληλα προς την αρχική και γιατί; Στην

περίπτωση παράλληλης λειτουργίας ζητείται το σηµείο λειτουργίας της κάθε

αντλίας και η παροχή προς κάθε βυτιοφόρο όταν η στάθµη της δεξαµενής είναι

z=6 m.

δ) η αντικατάσταση της αρχικής αντλίας µε µία όµοια προς αυτή αντλία ώστε

όταν τροφοδοτούνται και τα 3 βυτιοφόρα µε z=6 m, η παροχή προς κάθε ένα να

είναι ίση προς 30 m3/h και το σηµείο λειτουργίας της να είναι το κανονικό. Ποιός

είναι ο λόγος γεωµετρικής οµοιότητας και η ταχύτητα περιστροφής της νέας

αντλίας;

∆ίνονται: θερµοκρασία του νερού θ=20 oC, ατµοσφαιρική πίεση ΗB=10 mΣΥ

21

AΣΚΗΣΗ 1.1.18 (Από την εξέταση της 22.6.1992)

Στο σχήµα δίνεται η διάταξη άντλησης-διακίνησης του υγρού φορτίου µεγάλου

δεξαµενόπλοιου το αντλιοστάσιο του οποίου είναι εφοδιασµένο µε µονοβάθµιες

φυγόκεντρες αντλίες µεταβλητής ταχύτητας περιστροφής. Οι δεξαµενές του

πλοίου είναι ορθογωνικές µήκους 60 m και υψους 22 m.

Κατά την διαδιακασία µετάγγισης που γίνεται για λόγους αύξησης της ευστάθειας

του σκάφους αντλείται υγρό φορτίο από την δεξαµενή Α προς την δεξαµενή Β

µέσω της κύριας αντλίας φορτίου. Η αρχική στάθµης της δεξαµενής Α είναι ίση

προς zA=0 m, η αρχική στάθµη της δεξαµενής Β είναι ίση προς zB=-18 m ενώ η

τελική στάθµη της δεξαµενής Α είναι ίση προς zAmin=-16,0 m. Τα στόµια

αναρρόφησης και κατάθλιψης ευρίσκονται στην στάθµη –20 m.

Ζητούνται α) Οταν η κύρια αντλία στρέφεται στις n=900 RPM να υπολογισθεί η

διακινούµενη παροχή και η απορροφούµενη ισχύς από την αντλία κατά την

έναρξη και το τέλος της µετάγγισης καθώς και η διάρκεια της µετάγγισης. Για τον

υπολογισµό της διάρκειας της µετάγγισης να θεωρηθεί ότι σε πρώτη προσέγγιση η

χρονική µεταβολή της παροχής είναι γραµµική.

ζe=1,50·10-6

ζa=3,50·10-6

22 m

22 mB

A

ζa ζ

e

60 m60 m

β) Εάν η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας γίνει 700 RPM να υπολογισθεί η

διάρκεια της µετάγγισης και η απορροφόυµενη από την αντλία ισχύς κατά την

έναρξη της µετάγγισης.

γ) Να γίνει έλεγχος της λειτουργίας της αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης στις

δύο ακραίες καταστάσεις λειτουργίας της αντλίας (έναρξη και τέλος της

µετάγγισης) όταν η αντλία στρέφεται στις 900 RPM. Εργασθείτε µε στατιστικά

στοιχεία. Η στάθµη της αντλίας είναι ίση προς zP=-18 m. Για την περίπτωση β και

όταν η αντλία στρέφεται στις 700 RPM η λειτουργία της είναι δυσµενέστερη από

πλευράς σπηλαίωσης (ναι ή όχι και γιατί)

δ) Για ποιά ταχύτητα περιστροφής της αντλίας η λειτουργία της κατά το τέλος της

µετάγγισης θα γίνεται µε τον µέγιστο βαθµό απόδοσης. Ποιά είναι η αντίστοιχη

παροχή και απορροφούµενη ισχύς;

ε ) Μελετάται η αντικατάσταση της κύριας αντλίας µε άλλη γεωµετρικά όµοια

προς την αρχική έτσι ώστε κατά την έναρξη της µετάγγισης να λειτουργεί στο

κανονικό σηµείο λειτουργίας της και η διακινούµενη παροχή να είναι ίση προς

4000 m3/h.Να υπολογισθεί ο λόγος οµοιότητας, η ταχύτητα περιστροφής και η

22

απορροφούµενη ισχύς της νέας αντλίας.

∆ίνονται: - πυκνότητα του αντλούµενου υγρού ρ=860 Kg/m3

- τάση ατµών του υγρού ΗS=0,45 mΣΥγρού

- οι τιµές των συντελεστών απωλειών των διαφόρων κλάδων δίνονται στο σχήµα

όπου οι υδραυλικές απώλειες εκφράζονται ως: δh=ζ·Q2 µε δh σε mΣΥγρού και

Q σε m3/h

- οι χαρακτηριστικές καµπύλες (Η,Q,η) της αντλίας στις n=900 RPM (η αντλία

είναι πολυβάθµια µε 3 βαθµίδες εν σειρά)

Q (m3/h) 0 1000 2000 3000 4000 5000

H (mΣΥ) 112 110 107 92 65 30

η 0 0,75 0,85 0,70 0,45 0,160

AΣΚΗΣΗ 1.1.19 (Από την εξέταση της 5.10.1992)

Στο σχήµα δίνεται σχηµατικά αντλητική εγκατάσταση που τροφοδοτεί συστοιχία

ταυτόσηµων πιδάκων που αποµονώνονται ή όχι µέσω ηλεκτροβαννών ON-OFF. H

διάµετρος του στοµίου κάθε πίδακα είναι ίση προς dσ=4 cm ενώ οι υδραυλικές

απώλειες στα ακροφύσια θεωρούνται αµελητέες. Το ύψος του πίδακα λαµβάνεται

ίσο προς το 70 % του αντίστοιχου θεωρητικού.

ζ1 = 1,0·10–4

ζ2 = 8,0·10–4

ζ3 = 2,2·10–4

δhf = ζ · Q2

δhf σε mΣΥ

Q σε m3/h

z2=64 m

z1=40 m

zα

ζ2

ζ3

ζ3

ζ1

Ζητούνται: α) Να χαραχθεί το διάγραµµα ύψους του πίδακα συναρτήσει του

αριθµού ν των πιδάκων που τροφοδοτούνται για ν=1,2 και 3. Να υπολογισθεί η

απορροφούµενη ισχύς από την αντλία για ν=3.

β) Να υπολογισθεί η µέγιστη επιτρεπόµενη στάθµη τοποθέτησης της αντλίας ώστε

στην δυσµενέστερη από πλευράς σπηλαίωσης περίπτωση (ν=1,2,ή 3) η λειτουργία

να είναι ασφαλής από πλευράς σπηλαίωσης. Να γίνει χρήση στατιστικών

στοιχείων και να ληφθεί υπόψη ότι η αντλία είναι πολυβάθµια µε 4 βαθµίδες.

γ) Να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας για την οποια µόλις

αρχίζουν να τροφοδοτούνται οι πίδακες. Η ταχύτητα αυτή είναι ή όχι ανεξάρτητη

23

του πλήθους των πιδάκων που τροφοδοτούνται και γιατί; Επίσης να υπολογισθεί η

ταχύτητα περιστροφής της αντλίας για της οποία µε ν=3 η αντλία λειτουργεί µε

τον µέγιστο βαθµό απόδοσης.

δ) Με σκοπό την αύξηση του ύψους των πιδάκων εξετάζεται η εγκατάσταση

αντλίας ταυτόσηµης µε την αρχική συνδεδεµένη µε αυτή εν σειρά ή παράλληλα.

Και οι δύο αντλίες στρέφονται στις n=1450 RPM. Για ν=3 να υπολογισθεί το ύψος

των πιδάκων και η συνολικά απορροφούµενη ισχύς από τις αντλίες για κάθε µία

από τις δύο περιπτώσεις (παράλληλα και εν σειρά σύνδεση των δύο αντλιών.

ε) Εξετάζεται η αντικατάσταση της αντλίας µε άλλη γεωετρικά όµοια έτσι ώστε

για ν=3 η λειτουργία της αντλίας να γίνεται µε τον µέγιστο βαθµό απόδοσης και

µε ύψος των πιδάκων κατά 20 % µεγαλύτερο αυτού του α ερωτήµατος. Να

υπολογσθεί ο λόγος οµοιότητας και η ταχύτητα περιστροφής της όµοιας αντλίας.

∆ίνονται: – οι χαρακτηριστικές καµπύλες (Q,H,η) της αντλίας στις n=1450 RPM

Q (m3/h) 0 40 80 120 160 200

H (mΣΥ) 90 84 74 60 42 37

η 0 0,52 0,75 0,78 0,60 0,38

− ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10 mΣΥ

− θερµοκρασία του νερού στην έξοδο από τον πύργο ψύξεως θ=15 οC

− οι συντελεστές ζ υδραυλικών απωλειών των κλάδων, όπου οι αντίστοιχες

απώλειες εκφράζονται ως δhf=ζ·Q2 , µε δhf σε mΣΥ και Q

σε m

3/h, δίνονται

στο σχήµα.

AΣΚΗΣΗ 1.1.20 (Από την εξέταση της 27.9.1995)

Η αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος τροφοδοτεί την δεξαµενή ύδρευσης ενός

οικισµού. Το αντλιoστάσιο περιλαµβάνει δύο ταυτόσηµες αντλίες, παράλληλα

συνδεδεµένες και των οποίων η ταχύτητα περιστροφής είναι n=1450 RPM. Η

δεξαµενή τροφοδοτεί µε νερό τον οικισµό µε παροχή Qd η οποία µεταβάλλεται

ανάλογα µε την ζήτηση των καταναλωτών µεταξύ 0 και 1,0 m3/sec. H λειτουργία

του αντλιοστασίου γίνεται αυτόµατα µέσω της στάθµης z ως εξής:

− για z1 < z < z2 λειτουργούν και οι δύο αντλίες

− για z2 < z < z3 λειτουργεί η µία από τις δύο αντλίες

− για z> z3 δεν λειτουργεί καµµία αντλία

−

Oι απώλειες στην κατάθλιψη των αντλιών µέχρι τον κοινό κόµβο θεωρούνται

αµελητέες

24

ζe=4

ζa=14

δhf=ζ·Q2

(δhf σε mΣΥ

και

Q σε

m3/sec)

ζe

ζa

z2=185 m

z1=180 m

z=135 m

Qd

z3=190 m

D=0,6 m

M

ζe

(Α)

zA=140 m

Ζητούνται: α) Ποιές είναι οι ακραίες τιµές της παροχής ύδρευσης Qd ώστε

η στάθµη z της δεξαµενής να διατηρείται µεταξύ των τιµών z2 και z3. Για τις

δύο αυτές ακραίες τιµές να υπολογισθεί η ένδειξη του µανοµέτρου Μ, η

ισχύς που απορροφά το αντλιοστάσιο και το κόστος της άντλησης 1 m3

νερού, λαµβάνοντας υπόψη ότι το κόστος της ηλεκτρικής ενέργειας είναι

0,06 €/ΚWh

β) Ποιές είναι οι ακραίες τιµές της παροχής Qd για τις οποίες η στάθµη της

δεξαµενής κυµαίνεται µεταξύ των τιµών z1 και z2. Υπάρχει κίνδυνος

εκκένωσης της δεξαµενής (δικαιολογήστε την απάντηση σας);

γ) Να ελεγχθεί η λειτουργία των αντλιών από πλευράς σπηλαίωσης στην

δυσµενέστερη από πλευράς σπηλαίωσης περίπτωση των προηγουµένων

ερωτηµάτων α και β (ποιά είναι αυτή και γιατί). Να ληφθεί υπόψη ότι

πρόκειται για αντλίες διπλής αναρρόφησης.

Λόγω επέκτασης του οικισµού προβλέπεται ότι η µέγιστη τιµή της

κατανάλωσης θα φθάσει την τιµή του Qd=1,5 m3/sec. Για τον λόγο αυτόν

εξετάζεται η αύξηση της δυναµικότητας του αντλιοστασίου είτε µε αλλαγή

της ταχύτητας περιστροφής των αντλιών είτε µε την αντικατάσταση τους µε

γεωµετρικά όµοιες αντλίες.

δ) Να υπολογισθεί η ελάχιστη ταχύτητα περιστροφής των αντλιών ώστε να

καλύπτεται η νέα µέγιστη παροχή ύδρευσης καθώς και η αντίστοιχη

απορροφούµενη ισχύς.

ε) Να υπολογισθεί ο λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας και η ταχύτητα

περιστροφής των γεωµετρικά όµοιων αντλιών ώστε να καλύπτεται η νέα

µέγιστη παροχή ύδρευσης ενώ οι αντλίες θα λειτουργούν στο κανονικό

σηµείο λειτουργίας τους.

∆ίνονται: Πυκνότητα και πίεση ατµοποίησης του νερού ρ=1000 Κg/m3 και

ΗS=0,23 mΣΥ αντίστοιχα. Ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, επιτάχυνση

της βαρύτητας g=9,81 m/sec2

Χαρακτηριστικές καµπύλες κάθε αντλίας στις n=1450 RPM

25

Q (m3/s) 0 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,2

H (mΣΥ) 80,0 70,0 66,0 60,5 45,0 27,0 0,0

η (%) 0 77,5 80,0 76,0 59,0 35,0 0,0

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.21 (Από την εξέταση της 18.6.1996)

Η πλωτή ναυπηγική δεξαµενή του σχήµατος είναι εφοδιασµένη µε 4 ταυτόσηµα

αντλητικά συγκροτήµατα (τα οποία λειτουργούν ανεξάρτητα µεταξύ τους) µέσω

των οποίων εκκενώνει το νερό στο εσωτερικό της µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται

η στάθµη της ως προς την στάθµη της θάλασσας, η οποία θεωρείται και ως στάθµη

αναφοράς. Όταν η δεξαµενή είναι βυθισµένη η στάθµη του πυθµένα της είναι ίση

προς zπ=-10 m και η στάθµη του νερού στο εσωτερικό της ίση προς zα=-1,0 m.

Στην κατάσταση αυτή εισέρχεται το πλοίο στην δεξαµενή, κλείνουν τα

θυροφράγµατα και τίθενται σε λειτουργία οι αντλίες εκκένωσης, οπότε η δεξαµενή

αρχίζει αναδύεται. Η λειτουργία αυτή διακόπτεται όταν η στάθµη του πυθµένα της

δεξαµενής γίνει ίση προς zπ=0,50 m, οπότε η στάθµη του νερού στο εσωτερικό της

είναι ίση προς zα=-2 m.

ζe = 2

ζa = 11

δhf = ζ·Q2

δhf σε mΣΥ

Q σε m3/sec

ζe

ζa

zπ

2 m

zα

z=0z=0

zα

∆ίνονται:

− Η χαρακτηριστική (Q,H,η) της αντλίας στις n=1000 RPM όπου και λειτουργεί

Q(m3/s) 0 0,2 0,4 0,6 0,7 0,8 1,0 1,2 1,4

H(mΣΥ) 15,0 14,07 12,90 11,15 10,28 9,11 6,57 3,40 0

η (-) 0 0,54 0,775 0,875 0,88 0,862 0,725 0,44 0

− οι συντελεστές απωλειών των κλάδων αναρρόφησης και κατάθλιψης ζeκαι ζa

26

αντίστοιχα, όπου οι αντίστοιχες υδραυλικές απώλειες εκφράζονται ως:

δh=ζ·Q2, µε δh σε mΣΥ και Q σε m

3/s

− τάση ατµών του νερού Ηs=0.23 mΣΥ

− ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ= 10 mΣΥ

Ζητούνται: α) Το σηµείο λειτουργίας της αντλίας στις δύο ακραίες καταστάσεις

λειτουργίας (δεξαµενή βυθισµένη και δεξαµενή στην µέγιστη στάθµη) καθώς και

η αντίστοιχη ισχύς που απορροφάται.

β) Να ελεχθεί η λειτουργία της αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης στις δύο

προηγούµενες καταστάσεις λειτουργίας. Στην περίπτωση κατά την οποία η

λειτουργία της αντλίας σε µία από τις ακραίες περιπτώσεις είναι προβληµατική να

ελέγξετε εάν και κατά πόσο η εγκατάσταση αντλιών διπλής αναρρόφησης ή

αντλιών µε περισσότερες βαθµίδες βελτίωνει την κατάσταση.

γ) Να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας και η αντίστοιχη ισχύς

έτσι ώστε η παροχή της στο τέλος της λειτουργίας της (µέγιστη στάθµη) να είναι η

ίδια µε αυτή στην αρχή της λειτουργίας της.

δ) Να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής και ο λόγος οµοιότητας αντλίας,

γεωµετρικά όµοιας µε την δεδοµένη, η λειτουργία της οποίας κατά το ξεκίνηµα

και µε παροχή Q=1,0 m3/s να αντιστοιχεί στον µέγιστο βαθµό απόδοσης.

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.22 (Από την εξέταση της 29.6.1999)

Στην αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος η αντλία διακινεί νερό ψύξεως στους

εναλλάκτες Ε1 και Ε2 και τον πύργο ψύξεως που βρίσκεται στην οροφή του

κτιρίου. Στον κλάδο του εναλλάκτη 1 τοποθετείται ρυθµιστική βάννα η οποία

προκαλεί υδραυλικές απώλειες που εκφράζονται ως δhB1=ζΒ1 · Q2 , όπου Q η

διερχόµενη από αυτή παροχή και ζΒ1 ο συντελεστής απωλειών της βάννας, η τιµή

του οποίου εξαρτάται από το άνοιγµά της.

ζe=8,9·10-5

ζa1=2,0·10-5

ζa2=1,6·10-4

ζ1=7,5·10-4

ζ2=2,4·10-3

δhf=ζ·Q2 µε

δhf σε mΣΥ

και

Q σε m

3/h

z=6 m

z=8 m

ζΒ1

ζ1

ζ2

ζa1

ζa2

ζe

E1

E2

Πύργος ψύξεως

Εναλλάκτεςθερµότητας

27

Ζητούνται α) Όταν η βάννα Β1 είναι πλήρως ανοικτή (ζΒ1=0) να υπολογισθεί ο

λόγος των παροχών προς τους δύο εναλλάκτες, η παροχή προς κάθε εναλλάκτη

και το σηµείο λειτουργίας της αντλίας (παροχή, ολικό ύψος και απορροφούµενη

ισχύς) όταν η ταχύτητα περιστροφής της είναι 1450 RPM. H θερµοκρασιακή

διαφορά του νερού µεταξύ εισόδου και εξόδου από τους εναλλάκτες δεν θα ληφθεί

υπόψη όµως να σχολιάσετε εάν αυτή είναι ευνοϊκή ή δυσµενής για την διακίνηση

του νερού στο δίκτυο των σωληνώσεων.

β) Να δείξετε ότι για σταθερή τιµή του συντελεστή απωλειών ζΒ1 της βάννας Β1 ο

λόγος των παροχών προς τους δύο εναλλάκτες είναι σταθερός και ανεξάρτητος της

ταχύτητας περιστροφής της αντλίας. Να υπολογισθεί η τιµή του ζΒ1 για την οποία

ο λόγος των παροχών στους εναλλάκτες γίνεται ίσος προς Q1/Q2=1,25

γ) Εάν η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας µεταβάλλεται από 750 ως 2000 RPM

και η τιµή του ζΒ1 από µηδέν (βάννα πλήρως ανοικτή) έως άπειρο (βάννα πλήρως

κλειστή) να υπολογισθεί η περιοχή µεταβολής της παροχής Q2 προς τον

εναλλάκτη 2. ∆ώστε πρόχειρο διάγραµµα της µεταβολής της παροχής Q2

συναρτήσει του ζΒ1 για σταθερή ταχύτητα περιστροφής της αντλίας και διάγραµµα

της µεταβολής της παροχής Q2 συναρτήσει της ταχύτητας περιστροφής της

αντλίας για σταθερή τιµή του ζΒ1.

δ) Να ελεχθεί η λειτουργία της αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης στην

δυσµενέστερη από τις προηγούµενες περιπτώσεις λειτουργίας αφού

προηγουµένως εξηγήσετε την επιλογή της δυσµενέστερης περίπτωσης λειτουργίας

από πλευράς σπηλαίωσης.

ε) Εξετάζεται η αντικατάσταση της αντλίας µε δύο ταυτόσηµες µεταξύ τους

αντλίες, παράλληλα συνδεδεµένες και γεωµετρικά όµοιες προς την αρχική. Να

υπολογισθεί ο λόγος οµοιότητας προς την αρχική εάν η ταχύτητα περιστροφής

τους είναι 1450 RPM, λειτουργούν στο κανονικό σηµείο λειτουργίας τους µε

συνολική παροχή είναι ίση προς 160 m3/h όταν ζΒ1=0.

∆ίνονται: – οι χαρακτηριστικές καµπύλες (Q,H,η) της αντλίας στις n=1450 RPM

Q (m3/h) 0 50 100 125 150 200 260

H (mΣΥ) 23,0 22,0 20,0 18,5 16,3 10,5 0,0

η (%) 0 52,0 71,0 76,0 72,0 55,0 0,0

− ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10 mΣΥ

− θερµοκρασία του νερού στην έξοδο από τον πύργο ψύξεως θ=15 οC

− οι συντελεστές ζ υδραυλικών απωλειών των κλάδων, όπου οι αντίστοιχες

απώλειες εκφράζονται ως δhf=ζ · Q2 , µε δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h,

δίνονται στο σχήµα.

28

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.23 (Από την εξέταση της 29.9.1999)

Στην αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος η δεξαµενή ύδρευσης µικρής

επαρχιακής πόλεως τροφοδοτείται από δύο γεωτρήσεις µέσω των αντλιών Α1 και

Α2. Κατά την χειµερινή περίοδο αρκεί η λειτουργία της αντλίας Α2 ενώ κατά την

θερινή κατά την οποία η ζήτηση νερού αυξάνεται λειτουργούν ταυτόχρονα και οι

δύο αντλίες Α1 και Α2. Η δεξαµενή ύδρευσης για λόγους απλοποίησης θεωρείται

ότι είναι σταθερής στάθµης.

Ζητούνται α) Όταν λειτουργεί µόνο η αντλία Α2 να ευρεθεί το σηµείο λειτουργίας

της καθώς και το κόστος ηλεκτρικής ενέργειας που απαιτείται για την άντληση

ενός m3 νερού εάν το τιµολόγιο ηλεκτρικής ενέργειας είναι 0,06 €/KWh.

β) Εξετάζεται η αύξηση της παροχής της αντλίας Α2 κατά 30% σε σχέση µε αυτή

του προηγούµενου ερωτήµατος λόγω αύξησης του πληθυσµού µέσω αλλαγής της

ταχύτητας περιστροφής της. Να υπολογισθεί η απαιτούµενη ταχύτητα

περιστροφής της αντλίας Α2. Να ελεγχθεί η λειτουργία της αντλίας Α2 από

πλευράς σπηλαίωσης στην δυσµενέστερη περίπτωση λειτουργίας (α ή β)

λαµβάνοντας υπόψη ότι η αντλία Α2 είναι 6-βάθµια (εργασθείτε µε στατιστικά

στοιχεία).

ζe1 = 1·10–3

ζa1 = 2·10–3

ζe2 = 1·10–3

ζa2 = 3·10–3

ζα = 4·10–3

δhf = ζ · Q2

δhf σε mΣΥ

Q σε m3/h

A1

zK=110 m

zΑ2

=72 m

ζe1

ζa2

ζa

z=220 m

d=100 mm

M

K

ζe2

z2=80 m

z1=100 m

A2

ζa1

γ) Κατά την θερινή περίοδο λειτουργούν ταυτόχρονα και οι δύο αντλίες Α1 και Α2

στην ονοµαστική ταχύτητα περιστροφής τους. Να ευρεθεί το σηµείο λειτουργίας

της κάθε αντλίας και η συνολική αντλούµενη παροχή, καθώς και η ένδειξη του

µανοµέτρου κατάντι του κόµβου Κ.

δ) Εάν λόγω υπεράντλησης οι στάθµες z1 και z2 µειωθούν κατά 5 µέτρα να

ευρεθεί το σηµείο λειτουργίας της κάθε αντλίας όταν λειτουργούν ταυτόχρονα

(όπως στο ερώτηµα δ). Ποιάς αντλίας είναι αναλογικά µικρότερη η µεταβολή της

παροχής και πώς αυτό εξηγείται λαµβάνοντας υπόψη την µορφή των

χαρακτηριστικών καµπυλών τους.

29

ε) Να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας Α2 από την οποία αρχίζει

οριακά να δίνει παροχή στην δεξαµενή ύδρευσης (η αντλία Α1 είναι εκτός

λειτουργίας). Επίσης να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας Α1 από

την οποία αρχίζει οριακά να συνεισφέρει παροχή όταν η αντλία Α2 ήδη λειτουργεί

στην ονοµαστική ταχύτητα περιστροφής της.

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10 mΣΥ, θερµοκρασία του νερού θ=15 οC, οι

συντελεστές ζ υδραυλικών απωλειών των κλάδων, όπου οι αντίστοιχες απώλειες

εκφράζονται ως δhf=ζ · Q2 , µε δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h, δίνονται στο σχήµα.

– οι χαρακτηριστικές καµπύλες (Q,H,η) των αντλιών στις n=1450 RPM

Αντλία Α1

Q (m3/h) 0 50 75 100 125 150 175

H (mΣΥ) 200,0 180,0 160,0 138,0 110,0 64,0 0,0

η (%) 0 67,0 76,0 80,0 67,0 44,0 0,0

Αντλία Α2

Q (m3/h) 0 10 15 20 25 30 35

H (mΣΥ) 220,0 182,0 162,0 136,0 112,0 65,0 0,0

η (%) 0 65,0 72,0 76,0 65,0 42,0 0,0

ΑΣΚΗΣΗ 1.1.24 (Από την εξέταση της 27.6.2000)

Στην διάταξη του σχήµατος το νερό αντλείται από την λίµνη (1) µέσω της αντλίας

Α1 και τροφοδοτεί την δεξαµενή (2) από την οποία οδηγείται µε βαρύτητα και την

προωθητική αντλία Α2 προς την διώρυγα (3), σταθερής στάθµης z3=274 m. Η

στάθµη στην λίµνη (1) µεταβάλλεται µεταξύ των ακραίων τιµών z1min=168 m και

z1max=178 m. Γιά την πλήρη αξιοποίηση του συστήµατος απαιτείται όπως η

στάθµη στην δεξαµενή (2) διατηρείται στην µέγιστη τιµή της, δηλ. z2=284 m

χωρίς το νερό να υπερχειλίζει από αυτήν. Η αντλία Α1 είναι πολυβάθµια µε 3 εν

σειρά βαθµίδες και λειτουργεί µε σταθερή ταχύτητα περιστροφής n=960 RPM.

Ζητούνται: α) Να υπολογισθεί η περιοχή λειτουργίας (παροχή, ολικό ύψος και

απορροφούµενη ισχύς) της αντλίας Α1.

β) Να καθορισθεί η µέγιστη επιτρεπόµενη στάθµη εγκατάστασης της αντλίας Α1

ώστε η λειτουργία της στην δυσµενέστερη από τις προηγούµενες κατάσταση

λειτουργίας της να είναι απαλλαγµένη σπηλαίωσης.

γ) Η αντλία Α2 λειτουργεί µε µεταβλητή ταχύτητα περιστροφής έτσι ώστε να

διοχετεύει προς την διώρυγα (3) όλη την ποσότητα του νερού που καταθλίβει η

30

αντλία Α1 στην δεξαµενή (2). Να υπολογισθεί η περιοχή λειτουργίας της αντλίας

Α2 (παροχή, ολικό ύψος απορροφούµενη ισχύς και ταχύτητα περιστροφής). Εάν

λόγω βλάβης η αντλία δεν λειτουργεί πόση είναι η παροχή µέσω βαρύτητας από

την δεξαµενή (2) προς την διώρυγα (3) και πόση είναι η παροχή που υπερχειλίζει

από την δεξαµενή (2).

Επειδή το ως άνω σύστηµα είναι δαπανηρό, καθώς απαιτεί την λειτουργία της

αντλίας Α2 µε µεταβλητές στροφές, εξετάζεται στην συνέχεια η ακόλουθη

παραλλαγή: η παροχή προς την δεξαµενή (2) διατηρείται σταθερή µέσω κλαδου

by-pass από την κατάθλιψη της αντλίας Α1 προς την δεξαµενή (1) και ο οποίος

φαίνεται στο σχήµα µε διακεκοµµένη γραµµή. Η αντλία Α2 λειτουργεί πλέον µε

σταθερή ταχύτητα περιστροφής και σταθερή παροχή, ίση προς αυτή µε την οποία

τροφοδοτείται η δεξαµενή (2).

δ) Να υπολογισθεί το απαιτούµενο εύρος του συντελεστού αντίστασης του κλάδου

by-pass (στον οποίο θα συµπεριλαµβάνονται οι απώλειες της δέσµης στην είσοδο

στην δεξαµενή (1)).

ε) Εάν η αντλία Α2 αντικατασταθεί µε άλλη γεωµετρικά όµοια προς την αρχική

έτσι ώστε να λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της, να υπολογισθεί ο

λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας και η ταχύτητα περιστροφής της.

z3=274 m

ζa

(1)

ζe

(2)

ζb

z1max

=178 m

z1min

=168 mζ

c

A1

A2

z

Kλάδος by-pass

∆ίνονται: Η θερµοκρασία του νερού θ = 15οC και η ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ = 10

mΣΥ, οι συντελεστές αντίστασης των κλάδων για δh = ζ · Q2 µε δh σε mΣΥ και Q

σε m3/h: ζe = 0,5·10–6, ζa = 2,3·10–6, ζb = 1,0·10–6, ζc = 1,6·10–6

και οι χαρακτηριστικές καµπύλες των αντλιών Α1 και Α2 στις n = 960 RPM:

Aντλία Α1

Q (m3/h) 0 720 1440 2160 2880 3600 4320 5040

H (mΣΥ) 160 159 157 148 138,5 126,5 110 90

η (-) 0 0,446 0,70 0,819 0,851 0,831 0,713 0,539

31

Aντλία Α2

Q (m3/h) 0 750 1500 2250 3000 3750 4500 5250

H (mΣΥ) 32 30,6 29,6 28,7 27,6 26,5 22 16,7

η (-) 0 0,230 0,434 0,600 0,743 0,832 0,858 0,619

AΣΚΗΣΗ 1.1.25 (Aπό την εξέταση της 20.9.2000)

Στην αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος τα αντλιοστάσια Α και Β αντλούν

νερό από την δεξαµενή (1) προς την δεξαµενή (3) µε την παρεµβολή του

υδατόπυργου (2). Οι στάθµες στις δεξαµενές (1) και (3) θεωρούνται σταθερές ενώ

η στάθµη του νερού στον υδατόπυργο µεταβάλλεται ανάλογα µε τις συνθήκες

λειτουργίας. Κάθε ένα από τα αντλιοστάσια Α και Β φέρει από 2 ταυτόσηµες

µεταξύ τους αντλίες, συνδεδεµένες παράλληλα. Οι αντλίες του αντλιοστασίου Β

είναι γεωµετρικά όµοιες προς αυτές του αντλιοστασίου Α. Οι αντλίες των

αντλιοστασίων Α και Β είναι 3-βάθµιες.

(2)

ζ2

z1=310 m

z3=674 m

B

(1)

Aζ1

z2

ζ3

ζ4

Ζητούνται: Οταν λειτουργεί από µία αντλία σε κάθε αντλιοστάσιο και η

διακινούµενη παροχή είναι ίση προς 1000 m3/h

α) Η στάθµη στον υδατόπυργο (2), η ισχύς που απορροφάται από την αντλία Α και

η µέγιστη στάθµη τοποθέτησης της αντλίας Α ώστε η λειτουργία της να είναι

ασφαλής ως προς την σπηλαίωση.

β) Ο λόγος οµοιότητας µεταξύ των αντλιών Α και Β εάν γιά την προηγούµενη

λειτουργία η αντλία Β λειτουργεί µε παροχή κατά 20% µεγαλύτερη από την

αντίστοιχη κανονική της. Ποιά πρέπει να είναι η ταχύτητα περιστροφής της και η

ισχύς την οποία απορροφά.

Όταν λειτουργούν και οι 4 αντλίες, οι µεν του αντλιοστασίου Α στις n=1500 RPM

οι δε του αντλιοστασίου Β στις n=1800 RPM (ο λόγος γεωµετρικής οµοιότητας

32

µεταξύ των αντλιών Β και Α θα ληφθεί ίσος προς αυτόν που υπολογίσθηκε στο

ερώτηµα β)

γ) η διακινούµενη παροχή, η στάθµη του νερού στον υδατόπυργο (2), η συνολικά

απορροφούµενη ισχύς και το κόστος ηλεκτρικής ενέργειας γιά την άντληση κάθε

m3

δ) Εάν η στάθµη των αντλιών του αντλιοστασίου Β είναι ίση προς 470 m να

ελεγχθεί η λειτουργία τoυς ως προς σπηλαίωση. Είναι ασφαλής η λειτουργία των

αντλιών Α ως προς σπηλαίωση για την µέγιστη στάθµη που καθορίσθηκε στο α

ερώτηµα.

∆ίνονται:

– Οι συντελεστές αντίστασης των κλάδων για δh = ζ·Q2 µε δh σε mΣΥ και Q σε

m3/h: ζ1 = 1,0·10

–6, ζ2 = 9,0·10

–6, ζ3 = 1,0·10

–6, ζ4 = 4,0·10

–6

– Η θερµοκρασία του νερού θ = 25 οC και η ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10 mΣΥ

– Το τιµολόγιο της ηλεκτρικής ενέργειας: 0,07 €/KWh

– Οι χαρακτηριστικές καµπύλες των αντλιών Α στις n=1500 rpm:

Aντλία Α

Q (m3/h) 0 600 1000 1200 1400

H (mΣΥ) 320 270 200 124 0

η (-) 0 0,60 0,75 0,60 0

33

1.2 Λυµένα παραδείγµατα

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.1 (Aπό την εξέταση της 14.1.1983)

Η αντλία 1 του υδροφόρου πλοίου λειτουργεί στις κανονικές της στροφές n=2100

RPM και τροφοδοτεί την δεξαµενή (∆). Λαµβάνοντας ως στάθµη αναφοράς την

στάθµη της θάλασσας, οι στάθµες του νερού µέσα στο υδροφόρο zY, του άξονα

της αντλίας za και του νερού στην δεξαµενή (∆) z∆ µεταβάλλονται µεταξύ των

ακόλουθων ορίων:

- Υδροφόρο γεµάτο: στάθµη νερού zΥ=+1,0 m, στάθµη άξονα zα=1,5 m

- Υδροφόρο άδειο : zΥ=-1,0 m, zα=3,0 m

- Στάθµη z∆ νερού στην δεξαµενή ∆: µέγιστη 35 m, ελάχιστη 30 m.

ζ1=4,39 · 10-5

ζ2=26,3 · 10-5

ζ3=13,2 · 10-5

ζ4=5,0 · 10-5

z=0 m

zY

ζ1

zα

(1)ζ

2

Ε

(∆)

ζ3

ζ4

zπ

(2)

Ζητούνται: α) Όταν λειτουργεί η αντλία 1 να ευρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη

παροχή από το υδροφόρο προς την δεξαµενή (∆) και να υπολογισθεί και στις δύο

περιπτώσεις η απορροφούµενη ισχύς στην άτρακτο της αντλίας.

β) Να εξετασθεί εάν υπάρχει κίνδυνος σπηλαίωσης στην λειτουργία της αντλίας

και σε ποιά περίπτωση (χρήση στατιστικών στοιχείων).

γ) Το νησί έχει επίσης µικρό πηγάδι µε νερό σταθερής στάθµης zπ=-4 m από όπου

αντλείται νερό προς την δεξαµενή (∆) µέσω της εµβαπτιζόµενης αντλίας 2, η

οποία είναι γεωµετρικά όµοια προς την 1. Ζητείται ο λόγος οµοιότητας καθώς και

οι στροφές της αντλίας 2 ώστε όταν λειτουργούν συγχρόνως οι αντλίες 1 και 2 µε

z∆=30 m, zΥ=+1,0 m, η παροχή της αντλίας 2 είναι 10 m3/h και ο βαθµός απόδοσης

της ίσος προς η2=0,71 (η κανονική παροχή της 2 είναι µεγαλύτερη των 10 m3/h).

∆ίνονται: Ειδικό βάρος του νερού γ=1000 Kp/m3, θερµοκρασία νερού του

υδροφόρου: µέγιστη 25οC (καλοκαίρι), ελάχιστη 10 οC (χειµ.).

Ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10 mΣΥ.

Οι υδραυλικές απώλειες των κλάδων εκφράζονται ως : δhf=ζ·Q2 και οι τιµές των

συντελεστών ζ για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/h δίνονται στο σχήµα.

Χαρακτηριστική (Η,Q,η) της αντλίας 1 στις n=2100 RPM:

34

Q (m3/h) 0 80 120 140 180 260 300

H (mΣΥ) 55,0 53,8 46,7 44,2 36,2 14,0 0,0

η (%) 0 58,0 73,0 75,0 64,0 26,5 0,0

Λύση α) Όταν λειτουργεί µόνη η αντλία του υδροφόρου το σηµείο λειτουργίας

της αντλίας προκύπτει ως το σηµείο τοµής της χαρακτηριστικής της αντλίας µε

την χαρακτηριστική της σωλήνωσης:

ΗΣ=(z∆-zΥ)+(ζ1+ζ2+ζ3) · Q2

Για σταθερές τιµές των συντελεστών ζ το σηµείο τοµής αντιστοιχεί σε τόσο

µεγαλύτερη παροχή όσο η υψοµετρική διαφορά h=(z∆-zΥ) είναι µικρότερη. Αρα η

µέγιστη παροχή θα λαµβάνει χώρα στην αρχή της άντλησης οπότε η στάθµη στη

δεξαµενή ∆ είναι ελάχιστη z∆=30 m και η στάθµη στην δεξαµενή του πλοίου είναι

µέγιστη zΥ=1.0 m. Aρα hmin=(30-1)=29 m. Αντίστοιχα η παροχή θα είναι ελάχιστη

στο τέλος της άντλησης οπότε hmax=35-(-1)=36 m.

-Mέγιστη παροχή: από την τοµή της χαρακτηριστικής της σωλήνωσης

ΗΣ1=hmin+Σζ · Q2=29+(4,39+26,3+13,2) · 10-5 · Q2=29+43,89 · 10-5 · Q2

µε την χαρακτηριστική της αντλίας 1 προκύπτει το ακόλουθο σηµείο λειτουργίας

που αντιστοιχεί στην µέγιστη παροχή του συστήµατος: Q=Qmax=162 m3/h, H=40

mΣΥ, η=0,70.

Άρα η απορροφούµενη ισχύς είναι ίση προς:

47,2670,01023600

162401000=

⋅⋅⋅⋅

==η

γ HQN ΚW

- Ελάχιστη παροχή: από την τοµή της χαρακτηριστικής της σωλήνωσης

HΣ=hµαχ+Σζ · Q2=36+43,89 · 10

-5 · Q

2

προκύπτει το ακόλουθο σηµείο λειτουργίας που αντιστοιχεί στην ελάχιστη

παροχή: Q=Qmin=140 m3/h, H=44,20 mΣΥ, η=0,75 από το οποίο προκύπτει

Ν=22,47 KW.

β) Η λειτουργία της αντλίας είναι ασφαλής από πλευράς σπηλαίωσης όταν ΗΘ >

Hκρ. Το καθαρό θετικό ύψος αναρρόφησης ΗΘ είναι ίσο προς:

ΗΘ=ΗΒ-he-δhfe-HS

Οι υδραυλικές απώλειες του κλάδου αναρρόφησης είναι ίσες προς :

δhfe=ζ1 · Q2

35

∆υσµενέστερη περίπτωση από πλευράς θερµοκρασίας του νερού είναι η θερινή

περίοδος όπου η θερµοκρασία του και άρα η αντίστοιχη τιµή της τάσης ατµών ΗS

είναι µέγιστη. Αρα εξετάζεται η περίπτωση:

θ=θmax=25oC για την οποία είναι: ΗS=0,336 mΣΥ

0 50 100 150 200 250 300Q (m3/h)

0

20

40

60

80

η

(%)

0 50 100 150 200 250 300Q (m3/h)

0

10

20

30

40

50

60

H

(mΣΥ

)

HΣ=36+43,89.10-5.Q2

10 m3/h

(H, Q)1

HΣ1=29+43,89.10-5.Q2

(1) HoE=1+H1-(ζ1+ζ2).Q12

(3) HoE=30+ζ3.Q2

Η τιµή του κρίσιµου ύψους σπηλαίωσης στο κανονικό σηµείο λειτουργίας Ηκρ

είναι ίση προς: Hκρ=σκρΗΚΣ, όπου η τιµή της παραµέτρου σκρ λαµβάνεται από το

στατιστικό διάγραµµα του σχήµατος 4.4 συναρτήσει της τιµής του ειδικού

αριθµού στροφών της αντλίας:

5,14492,44

1402100

75,0

5,0

4/3

2/1

===H

Qnnq

για την οποία είναι σκρ≈ 0,125. Άρα: ΗκρΚΣ=0,125 · 44,2=5,525 mΣΥ.

36

Σε σηµεία λειτουργίας εκτός του κανονικού η τιµή του ύψους σπηλαίωσης

θεωρούµε οτι µεταβάλλεται µε το τετράγωνο της παροχή, δηλ. σύµφωνα µε την

σχέση:

Ηκρ=ΗκρΚΣ · (Q/QΚΣ)2

Στην συνέχεια εξετάζεται χωριστά η περίπτωση µέγιστης και ελάχιστης παροχής:

-Μέγιστη παροχή: είναι he=za-zY=1,50-1,0=0,50 mΣΥ, άρα

Ηκρ(Q=Qmax)=HκρΚΣ · (Qmax/QΚΣ)2=5,525 · (162/140)

2=7,398 mΣΥ.

Θα είναι λοιπόν:

ΗΘ=10-0,50-4,39 · 10-5

· 1622-0,336=8,011 mΣΥ > Hκρ(Q=Qmax)=7,398 mΣΥ.

Άρα η λειτουργία είναι ασφαλής ως προς την σπηλαίωση.

-Ελάχιστη παροχή: θα είναι he=3-(-1)=4,0 m. ∆εδοµένου οτι η ελάχιστη παροχή

συµπίπτει µε την κανονική θα είναι:

Ηκρ=ΗκρΚΣ=5,525 mΣΥ

Εποµένως:

ΗΘ=10-4,0-4,39 · 10-5

· 1402-0,336=4,80 mΣΥ < Hκρ=5,525 mΣΥ

Αρα η λειτουργία της αντλίας στην περίπτωση αυτή δεν είναι απαλλαγµένη

σπηλαίωσης.

γ) Για την περίπτωση όπου λειτουργεί και η αντλία 2 και για: z∆=30 m, zΥ=1,0 m

και zπ=-4,0 m, εκφράζεται το ολικό ύψος του κόµβου Ε από την εξίσωση

Bernoulli κατά τους κλάδους που συµβάλλουν σ' αυτόν, συµβολίζοντας µε Q1 την

παροχή της αντλίας 1 και µε Q2 την παροχή της αντλίας 2:

(1) ΗoE=1,0+Η1-(ζ1+ζ2) · Q12

(2) HoE=-4,0+H2-ζ4 · Q22

(3) ΗoE=30+ζ3 · Q2

ενώ από την αρχή της συνέχειας προκύπτει:

(4) Q=Q1+Q2

Τις εξισώσεις (1) και (3), δηλ. τις συναρτήσεις ΗoE=f(Q), είναι δυνατόν να τις

χαράξοµε στο διάγραµµα (Η,Q) για διάφορες τιµές της παροχής Q (Q,

συµπληρώνοντας τον ακόλουθο πίνακα:

Q (m3/h) 0 40 80 120 160 200

(1) HoE (mΣΥ) 56,0 54,0 49,78 43,27 33,43 20,0

(3) ΗoE (mΣΥ) 30,0 30,21 30,84 31,89 33,38 35,28

Με σκοπό την ικανοποίηση της εξίσωσης (4), γνωρίζοντας ότι είναι Q2=10 m3/h,

προσθέτοµε κατά παροχή στην καµπύλη (1) την παροχή Q2. Κατά συνέπεια η τοµή

της καµπύλης (1), µετατοπισµένης κατά την παροχή Q2, µε την καµπύλη (3) δίνει

το ζητούµενο σηµείο λειτουργίας, το οποίο είναι:

Q=Q1=Q2=170 m3/h και ΗoE=33,5 mΣΥ

∆εδοµένου ότι Q2=10 m3/h προκύπτει: Q1=160 m

3/h.

37

Από την εξίσωση (2) µε γνωστή την τιµή της ολικής πίεσης ΗoE στο σηµείο

λειτουργίας, επιλύοµε ως προς Η2 και προκύπτει:

ΗoE=33,5=-4,0+Η2-5 · 10-3

· Q22=33,5+4,0+5 · 10

-3 · 10

2=38 mΣΥ

Είναι λοιπόν : Q2=10 m3/h και Η2=38 mΣΥ

Το αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας της (1) προκύπτει από την χαρακτηριστική

(Η,Q,η) της αντλίας (1). Θα είναι το σηµείο που έχει βαθµό απόδοσης η=η2=0,71

µε Q < QΚΣ=140 m3/h. Πρόκειται για το σηµείο:

Q1'=112 m3/h και Η1'=47,7 mΣΥ

Τα σηµεία λειτουργίας (Η1',Q1') και (Η2,Q2) είναι αντίστοιχα σηµεία λειτουργίας

γεωµετρικά όµοιων αντλιών. Εφαρµόζονται λοιπόν οι σχέσεις οµοιότητας

θέτοντας: D2/D1=λ, τον λόγο οµοιότητας και n2/n1=µ τον λόγο των στροφών

οπότε θα είναι:

089286,0112

103

1

2

3

1

2

1

2 ==⋅=

= µλ

n

n

D

D

Q

Q

79665,07,47

3822

2

1

2

2

1

2

1

2 ==⋅=

= µλ

n

n

D

D

H

H

Επιλύοντας το σύστηµα των προηγούµενων δύο εξισώσεων ως προς λ και µ

προκύπτει: λ=D2/D1=0,3163 και µ=n2/n1=2,822 , από τα οποία:

n2=2,822 · 2100=5926 RPM.

AΣΚΗΣΗ 1.2.2 (Από την εξέταση της 6.9.1984)

Σε βιοµηχανία πετρελαιοειδών, σε µία φάση της επεξεργασίας, το υγρό από το

δοχείο (1), µέσω της αντλίας Α καταθλίβεται στα δοχεία (2) και (3), σύµφωνα µε

την διάταξη του σχήµατος. Στα δοχεία (1), (2) και (3) η στάθµη και η απόλυτη

πίεση διατηρούνται σταθερές µέσω ειδικών οργάνων.

Ζητούνται: α) Η παροχή προς τα δοχεία (2) και (3) καθώς και η ισχύς που

απορροφάται από την αντλία.

β) Να καθορισθεί η µέγιστη στάθµη τοποθέτησης της αντλίας Α έτσι ώστε η

λειτουργία της να είναι ασφαλής ως προς σπηλαίωση.

γ) Για την περίπτωση βλάβης της αντλίας Α υπάρχει εφεδρική αντλία, γεωµετρικά

όµοια προς την Α µέ λόγο οµοιότητας λ=1,20 (δηλαδή η εφεδρική αντλία είναι

µεγαλύτερη από την αντλία Α). Ποιά πρέπει να είναι η ταχύτητα περιστροφής της

εφεδρικής αντλίας ώστε τοποθετούµενη στην θέση της αντλίας Α να λειτουργεί

στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της µε παροχή ίση προς το 80% της παροχής της

Α (ερωτ. α). Στην περίπτωση εγκαταστάσεως της εφεδρικής αυτής αντλίας θα

38

υπάρχει πρόβληµα σπηλαίωσης; ∆ικαιολογείστε ποιοτικά την απάντησή σας.

Ποιά είναι τότε η ισχύς που απορροφάται από την εφεδρική αντλία.

∆ίνονται: Χαρακτηριστικά του υγρού : πυκνότητα ρ=900 Kg/m3, τάση ατµών

pS=0,30 Kp/cm2. Eπιτάχυνση της βαρύτητας: g=9,81 m/sec2. Οι υδραυλικές

απώλειες των κλάδων εκφράζονται ως: δhf=ζ · Q2, και οι τιµές των συντελεστών ζ

δίνονται στον πίνακα του σχήµατος για δhf σε mΣΥγρού και Q σε m3/h.

Χαρακτηριστική (Η,Q,η) της αντλίας Α στις n=3000 RPM όπου και λειτουργεί:

Q (m3/h) 0 20 40 65 80 100 115

H (mΣΥ) 87,5 86,0 82,6 70,0 57,5 32,5 0,0

η (%) 0 36,5 62,5 75,0 68,0 44,0 0,0

ζe=0,50 · 10-3

ζa=1,0 · 10-3

ζ2=5,52 · 10-3

ζ3=8,23 · 10-3

ζ3

ζ2

ζa

z=2 m

z=12 m

p=4 bar

p=4 bar

p=0,5 bar

(A)

(1)

(3)

ζe

ze

z=8 m

(2)

Λύση α) Οι διάφορες στατικές πιέσεις θα πρέπει να εκφρασθούν σε m στήλης του

υγρού σύµφωνα µε την σχέση: Η=p/ρg, όπου στις µονάδες του συστήµατος

ΜKSA η µονάδα πίεσης είναι το 1 Pa=1·10-5

bar. Αντίστοιχα η µονάδα της

πυκνότητας ρ είναι το Kg/m3 και η µονάδα του Η το m (στήλης υγρού).

Εκφράζεται η ολική πίεση του κόµβου Κ εφαρµόζοντας την εξίσωση Bernoulli

κατά του τρείς κλάδους που συγκλίνουν σ' αυτόν:

(1) ΗoK=Η1-(ζe+ζa) · Q2+2,0+HA=5,663-(0,5+1,0) · 10-3 · Q2 +2,0+HA

(2) HoK=H2+ζ2 · Q22+8,0 =45,304+5,52 · 10

-3 · Q2

2+8,0

(3) HoK=H3+ζ3 · Q32+12,0=45,304+8,23 · 10-3 · Q3

2+12,0

στις οποίες µε Ηi (i=1,2,3) συµβολίζεται η στατική πίεση στα δοχεία i=1,2,3

εκφρασµένη σε µέτρα στήλης του υγρού.

39

Εκφράζεται επίσης η εξίσωση της συνέχειας στον κόµβο Κ:

(4) Q=Q2+Q3

Οι εξισώσεις (1),(2) και (3) είναι δυνατόν να χαραχθούν στο διάγραµµα (Η,Q),

δηλ. χαράσσονται οι καµπύλες ΗoK=f(Q), για διάφορες τιµές της παροχής Q. Mε

σκοπό την ικανοποίηση της αρχής συνέχειας προστίθενται κατά παροχή οι

καµπύλες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις (2) και (3) και το σηµείο τοµής της

νέας καµπύλης µε την καµπύλη της (1) δίνει το σηµείο λειτουργίας της

εγκατάστασης και το οποίο είναι :

Q=71 m3/h, Q2=46 m

3/h και Q3=25 m

3/h.

0 20 40 60 80 100 120Q (m3/h)

0

20

40

60

80

η

(%)

0 20 40 60 80 100 120Q (m3/h)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

H

(mΣΥ

)

(H, Q)1

(1) HoK=7,663+HA-(ζe+ζa).Q2

(3) HoK=57,3+ζ3.Q3

2

(2) HoK=53,3+ζ2.Q3

2

(2)+(3)

Από την χαρακτηριστική της αντλίας, για Q=71 m3/h προκύπτει το oλικό ύψος και

ο βαθµός απόδοσης της αντλίας: ΗΑ=64 mΣΥγρού, η=,073. Άρα η ισχύς την

οποία απορροφά η αντλία είναι ίση προς:

40

26,1573,01023600

7164900=

⋅⋅⋅⋅

==η

γ HQN KW

(ελήφθη γ=ρ · g=900 · 9,81 Νt/m3=900 Kp/m

3)

β) Για να είναι ασφαλής η λειτουργία της αντλίας ως προς την σπηλαίωση θα

πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη: ΗΘ>Ηκρ, όπου το καθαρό θετικό ύψος

αναρρόφησης ορίζεται ως:

ΗΘ=Ηοe-ΗS=HE-he-δhfe-HS

στην οποία ΗE=0,50 ata=5,663 mΣYγρού, he=ze-zE=ze-2,0 (ze η ζητούµενη µέγιστη

στάθµη τοποθέτησης της αντλίας), και

δhfe=ζe Q2 =0,50·10-3 · 712=2,52 mΣΥγρoύ

οι υδραυλικές απώλειες στον κλάδο αναρρόφησης της αντλίας ενώ η τάση ατµών

του υγρού, εκφρασµένη σε mΣΥγρ θα είναι ίση προς:

ΗS=pS/(ρg)=0,3 · 105/(900 · 9,81)=3,4 mΣΥγρού

Θα είναι λοιπόν:

ΗΘ=5,663-(zε-2,0)-2,52-3,4=1,743-zε

Κάνοντας χρήση των στατιστικών στοιχείων και συγκεκριµένα της συσχέτισης:

σκρ=f(nq), υπολογίζεται η τιµή του ειδικού αριθµού στροφών:

60,108170

653000

75,0

5,0

4/3

2/1

===H

Qnnq

(για το κανονικό σηµείο λειτουργίας), οπότε από το σχετικό διάγραµµα

προκύπτει: σκρ≈ 0,07. Αρα το κρίσιµο ύψος σπηλαίωσης στο κανονικό σηµείο

λειτουργίας είναι ίσο προς:

ΗκρΚΣ=σκρ · ΗΚΣ=0,07 · 70=4,90 mΣΥγρού

και άρα η τιµή του Ηκρ στο σηµείο λειτουργίας είναι ίσο προς:

ΗκρΣΛ=ΗκρΚΣ · (QΣΛ/QΚΣ)2 =4,90 · (71/65)

2=5,846 mΣΥγρ.

Για να είναι η λειτουργία της αντλίας απαλλαγµένη σπηλαίωσης θα πρέπει:

ΗΘ>ΗκρΣΛ → 1,742-ze > 5,846 → ze < -4,104 m

δηλ. η µέγιστη επιτρεπόµενη στάθµη της αντλίας είναι ίση προς -4,104 m (ως προς

την θεωρηθείσα στάθµη αναφοράς).

γ) Η αντλία Α αντικαθίσταται µε µία άλλη, την Β, γεωµετρικά όµοια προς την Α,

µε λόγο οµοιότητας λ=1,20. Η παροχή της στο σηµείο λειτουργίας, το οποίο είναι

και το κανονικό, θα είναι ίση προς το 80% αυτής της αντλίας Α, δηλ.

QB=0,80 · Q=0,8 · 71=56,8 m3/h.

Οι εξισώσεις (1),(2) και (3) εξακολουθούν να ισχύουν, καθώς και η καµπύλη

(2+3), από την οποία για: QB=Q2+Q3=56,8 m3/h προκύπτει ΗoK=61 mΣΥγρ., οπότε

την εξίσωση (1), αντικαθιστώντας το ΗA µε ΗB θα είναι:

ΗoK=61=7,663-1,5 · 10-3 · 56,82+ΗB → ΗB=58,176 mΣΥγρ.

41

Το σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας Β (QB=56,8 m3/h, HB=58,176 mΣΥγρ), ως

κανονικό σηµείο λειτουργίας, θα είναι αντίστοιχο του κανονικού σηµείου

λειτουργίας της Α, δηλ. του σηµείου: QA=65 m3/h , HA=70 mΣΥγρ και θα έχουν

τον ίδιο βαθµό απόδοσης: η=0,75.

Μεταξύ των αντίστοιχων αυτών σηµείων λειτουργίας εφαρµόζονται οι σχέσεις

οµοιότητας:

⋅=

⋅=

=

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

n

n

n

n

n

n

D

D

Q

Q 33

3

2,1λ

από την οποία προκύπτει: nB=nA · (56,8/65)(1/1,2)3=3000 · 0,505=1.517 RPM.

H ισχύς που απορροφάται από την αντλία Β θα είναι ίση προς:

80,1075,01023600

176,588,56900=

⋅⋅⋅⋅

==η

γ HQN KW

Εάν η αντλία Β τοποθετηθεί στην στάθµη της αντλίας Α που υπολογίσθηκε στο

προηγούµενο ερώτηµα β, η λειτουργία της θα είναι οπωσδήποτε ασφαλής από

πλευράς σπηλαίωσης επειδή είναι: QB=56,8 m3/h < 71 m3/h οπότε µειώνεται η

τιµή του Ηκρ και παράλληλα αυξάνει το ΗΘ λόγω του ότι µειώνονται οι υδραυλικές

απώλειες του κλάδου αναρρόφησης.

AΣΚΗΣΗ 1.2.3 (Από την εξέταση της 8.6.1985)

Για την εκκένωση µόνιµης ναυπηγικής δεξαµενής από την στάθµη της θάλασσας

(z=0) µέχρι την στάθµη του δαπέδου της (z=-12 m) είναι εγκατεστηµένες οι εξής

αντλίες: κύρια αντλία εκκένωσης (1) της οποίας δίνονται οι χαρακτηριστικές

καµπύλες λειτουργίας (Η,Q και η) στις n=750 RPM στις οποίες και λειτουργεί, και

βοηθητική αντλία (2), γεωµετρικά όµοια µε την (1).

Η κύρια αντλία (1) λειτουργεί για την εκκένωση της δεξαµενής από την στάθµη

της θάλασσας µέχρι την στάθµη z=-10 m. Από την στάθµη αυτή και κάτω γίνεται

προβληµατική η λειτουργία της κύριας αντλίας (1) λόγω του κινδύνου

σπηλαίωσης και της ασταθούς λειτουργίας που οφείλεται στην αναρρόφηση αέρα

από την ελεύθερη επιφάνεια. Για τους λόγους αυτούς, από z=-10 m ως z=-12 m η

αντλία (1) σταµατά και τίθεται σε λειτουργία η (2). Η αναρρόφηση των αντλιών

(1) και (2) είναι ανεξάρτητη, αλλά η κατάθλιψη είναι κοινή.

Ζητούνται: α) Το σηµείο λειτουργίας της κύριας αντλίας (1) στην αρχή (z=0) και

στο τέλος (z=-10 m) της λειτουργίας της καθώς και η απορροφούµενη από αυτήν

ισχύς. Επίσης να ελεγχθεί η λειτουργία της αντλίας ως προς σπηλαίωση για z=-10

m.

42

β) Ο λόγος γεωµετρικής οµοιότητας της βοηθητικής αντλίας (2) ως προς την (1)

και η ταχύτητα περιστροφής της έτσι ώστε όταν η στάθµη της δεξαµενής είναι

z=-11 m να λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της και η παροχή της

είναι ίση προς 0,40 m3/sec. Στην στάθµη αυτή να υπολογισθεί η απορροφούµενη

ισχύς και να ελεχθεί η λειτουργία της ως προς σπηλαίωση.

ζa=5,50

ζe1=1,0

ζe2=2,0

zα=-12,5 m

ζe1

ζe2

(1) (2)

ζa

zA=0

z=-12

z

K

γ) Εξετάζεται η περίπτωση ταυτόχρονης λειτουργίας των αντλιών (1) και (2) από

την αρχή της εκκένωσης της δεξαµενής (z=0). Να καθορισθεί το σηµείο

λειτουργίας και η ισχύς που απορροφά κάθε αντλία στην στάθµη αυτή.

∆ίνονται: Χαρακτηριστική (Η,Q,η) της αντλίας (1) στις n=750 RPM

Q (m3/sec) 0 0,4 0,8 1,2 1,3 1,6 1,8

H (mΣΥ) 24,0 23,6 23,0 19,2 17,8 14,3 10,7

η (-) 0 0,57 0,79 0,82 0,84 0,67 0,42

-ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, θερµοκρασία του νερού θ=20οC. Οι τιµές των

συντελεστών ζ των υδραυλικών απωλειών δhf=ζ·Q2, για δhf σε mΣΥ και Q σε

m3/sec δίνονται στο σχήµα.

Λύση α) Όταν λειτουργεί µία από τις δύο αντλίες η χαρακτηριστική της

σωλήνωσης είναι:

ΗΣ=h+(ζe+ζa) · Q2=(0-z)+(ζe+ζa) · Q

2=-z+(ζe+ζa) · Q2

στην οποία µε z παριστάνεται η στάθµη αναρρόφησης, δηλ. η στάθµη του νερού

στην δεξαµενή και z=0=σταθ. η στάθµη κατάθλιψης, δηλ. η στάθµη της θάλασσας.

Στην αρχή της άντλησης είναι z=0, οπότε το σηµείο λειτουργίας προκύπτει από

την τοµή της χαρακτηριστικής της σωλήνωσης:

ΗΣ=(ζe1+ζa) · Q2

43

µε την χαρακτηριστική (Η,Q) της αντλίας (1). Προκύπτει λοιπόν: Q=1,525 m3/sec,

H=15,3 mΣΥ και η=0,75. Αρα η απορροφούµενη ισχύς είναι :

Ν= 305750102

52513151000

1000

819=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

,

,,QH,

ηγ

KW.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8Q (m3/sec)

0

20

40

60

80

100

η

(%)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8Q (m3/sec)

0

5

10

15

20

25

H

(mΣΥ

)

(H, Q)1

(3) HoK=ζa.Q2

HΣ=10+(ζe1+ζa).Q2 (1)+(2)

(H, Q)2

(1) HoK=H1-ζe1.Q2

HΣ=(ζe1+ζa).Q2

(2) HoK=H2-ζe2.Q2

Στο τέλος της λειτουργίας της αντλίας (1), δηλ. για z=-10 m, η τοµή της

χαρακτηριστικής της σωλήνωσης:

ΗΣ=-(-10)+(ζe1+ζa) · Q2

µε την χαρακτηριστική της αντλίας (1) δίνει το ακόλουθο σηµείο λειτουργίας:

Q=1,19 m3/sec, H=20,50 mΣΥ και η=0,81. Η αντίστοιχη απορροφούµενη ισχύς

προκύπτει ίση προς : Ν=295,27 KW.

44

Για τον έλεγχο της σπηλαίωσης στο τελευταίο αυτό σηµείο λειτουργίας µε βάση

τα στατιστικά στοιχεία υπολογίζεται αρχικά η τιµή του ειδικού αριθµού για n=750

RPM, Q=1,35 3600=4.860 m3/h και Η=17,8 mΣΥ:

4,033.68,17

4860750

75,0

5,0

4/3

2/1

===H

Qnnq

Για την τιµή αυτή του ειδικού αριθµού στροφών από το διάγραµµα του σχ. 4.4

προκύπτει σκρ=σκρ1≈ 0,70. Αρα στο κανονικό σηµείο θα είναι:

Ηκρ=σκρ · ΗΚΣ=0,70·17,80=12,46 mΣΥ.

Για το εξεταζόµενο σηµείο λειτουργίας, δηλ. για Q=1,18 m3/sec, θα είναι:

Ηκρ=ΗκρΚΣ ·

2

ΣKQ

Q=12,46·

2

351

181

,

, =9,52 mΣΥ.

Για το ίδιο σηµείο λειτουργίας, η τιµή του καθαρού θετικού ύψους αναρρόφησης

είναι ίση προς:

ΗΘ=Ηα-he-δhfe-HS=10-(-2.5)-1 · 1,252-0,239=12,5-1,5625-0,239=10,698 mΣΥ

Άρα είναι: ΗΘ=10,6985 > Ηκρ=9,52 mΣΥ οπότε η λειτουργία της αντλίας είναι

ασφαλής ως προς την σπηλαίωση.

β) Για z=-11 m και λειτουργία της αντλίας 2 µε παροχή Q2=0,40 m3/sec θα είναι:

ΗΣ=H2=-z+(ζe2+ζa) · Q2=11+7,5·0,402=12,2 mΣΥ

Το σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας 2 είναι λοιπόν αντίστοιχο του κανονικού

σηµείου λειτουργίας της αντλίας 1, δηλ. του: Η1=17,8 mΣΥ και Q1=1,35 m3/h.

Mεταξύ των κανονικών, και άρα αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας εφαρµόζονται

οι σχέσεις αλλαγής στροφών στις οποίες µε λ συµβολίζεται ο λόγος της

γεωµετρικής οµοιότητας λ=(D2/D1) και µε µ ο λόγος των στροφών µ=n2/n1:

µλ ⋅=

=== 3

1

2

3

1

2

1

2 2963,035,1

40,0

n

n

D

D

Q

Q

22

2

1

2

2

1

2

1

2 6854,08,17

2,12µλ ⋅=

===

n

n

D

D

H

H

Επιλύοντας το σύστηµα αυτό των εξισώσεων ως προς λ και µ προκύπτει:

λ=0,5982 και µ=n2/n1=1,3838 → n2=1,3838 · n1=1037,90 RPM.

Στο σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας 2, ως κανονικού θα είναι: η2=ηmax=0,82.

Άρα η ισχύς που απορροφάται από την αντλία 2 θα είναι ίση προς:

Ν2= 3558820102

4002121000

1000

819,

,

,,QH,=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

ηγ

KW.

45

Για τον έλεγχο λειτουργίας της αντλίας 2 ως προς σπηλαίωση λαµβάνεται υπόψη

οτι αυτή λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της και οτι είναι γεωµετρικά

όµοια προς την αντλία 1. Αρα θα είναι nq2=nq1 οπότε: σκρ2=σκρ1=0,70 και:

Ηκρ=σκρ · Η2=0,70 · 12,2=8,54 mΣΥ

Η τιµή του ΗΘ είναι ίση προς:

ΗΘ=Ηα-he-δhfe-HS=10-(12,5-11)-2 · 0,42-0,239=10,941 mΣΥ

∆εδοµένου οτι: ΗΘ > Hκρ=8,54 mΣΥ η λειτουργία της αντλίας 2 είναι ασφαλής ως

προς την σπηλαίωση.

γ) Υπολογίζεται αρχικά η χαρακτηριστική (Η,Q) της αντλίας 2, εφαρµόζοντας τις

σχέσεις οµοιότητας, για λ=0,5982 και µ=1,3838.

Q (m3/sec) 0,1185 0,237 0,40 0,574 0,0

H (mΣΥ) 16,10 15,08 12,20 7,40 6,40

Στην συνέχεια εκφράζεται η ολική πίεση στον κόµβο Κ (ως προς την

ατµοσφαιρική) εφαρµόζοντας την εξίσωση Bernoulli κατά τους τρεις κλάδους που

συµβάλλουν σ'αυτόν:

(1) ΗoK=Η1 – ζe1 · Q12

(2) HoK=H2 – ζe2 · Q22

(3) HoK=ζa · Q2

Στον κόµβο Κ η εξίσωση της συνέχειας εκφράζεται ως: Q=Q1+Q2. Οι καµπύλες

ΗoK=f(Q) χαράσσονται στο διάγραµµα (Η,Q), δίνοντας διάφορες τιµές στη

παροχή Q. Για την ικανοποίηση της εξίσωσης της συνέχειας προστίθενται κατά

παροχή οι καµπύλες (1) και (2) και η τοµή τους µε την καµπύλη (3) δίνει το

ζητούµενο σηµείο λειτουργίας.

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.4 (Από την εξέταση της 24.6.1986)

Στο σχήµα παριστάνεται η αντλητική εγκατάσταση υδροηλεκτρικού σταθµού

αποταµίευσης η οποία λειτουργεί κατά τις νυκτερινές ώρες για την άντληση νερού

από την κάτω λίµνη (1) προς την πάνω (2). Η εγκατάσταση περιλαµβάνει την

κύρια αντλία Α και την προωθητική Β που σκοπό έχει να εξασφαλίζει την σωστή

λειτουργία της Α ως προς την σπηλαίωση. Οι αντλίες Α και Β στρέφονται µε

n=750 και 1000 RPM αντίστοιχα στις οποίες δίνονται και οι χαρακτηριστικές

καµπύλες (Η,Q,η).

Ζητούνται: α) Το σηµείο λειτουργίας των αντλιών Α και Β, η συνολική

απορροφούµενη ισχύς και η ένδειξη του µανοµέτρου (στατική πίεση ως προς την

46

ατµοσφαιρική σε mΣΥ) που είναι τοποθετηµένο στην αναρρόφηση της αντλίας Α.

Ελέγξατε από πλευράς σπηλαίωσης την λειτουργία της αντλίας Α κάνοντας

χρήση των στατιστικών στοιχείων.

β) Ποιά πρέπει να είναι η νέα ταχύτητα περιστροφής της Β ώστε η αντλία Α να

λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της.

γ) Μελετάται η αντικατάσταση της Β µε αντλία γεωµετρικά όµοια προς αυτήν

έτσι ώστε οι αντλίες Α και Β να λειτουργούν στα κανονικά σηµεία λειτουργίας

τους. Ζητείται ο λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας και η ταχύτητα περιστροφής

της γεωµετρικά όµοιας αντλίας Β καθώς και η συνολική απορροφούµενη ισχύς.

Χαρακτηρίσατε τον τύπο των αντλιών Α και Β βάσει της τιµής του ειδικού

αριθµού στροφών.

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, θερµοκρασία νερού θ=15 οC,

επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2. Οι υδραυλικές απώλειες των κλάδων

εκφράζονται από την σχέση: δhf=ζ · Q2, και οι τιµές των συντελεστών ζ δίνονται

στο σχήµα. για δhf σε mΣΥ και Q σε m3/sec δίνονται στο σχήµα.

ζe=0,15

ζa=2,91

(2)

z=800 m

ζa

z=310 m

e

A

B

(1)

z=300 m

Χαρακτηριστικές (H,Q,η) των αντλιών Α και Β. H αντλία Α είναι 4-βάθµια.

Aντλία Α

Q (m3/sec) 0 2,0 4,0 4,75 6,0 8,0

H (mΣΥ) 800,0 675,0 520,0 450,0 325,0 0,0

η (-) 0 0,52 0,77 0,80 0,70 0,0

Αντλία Β

Q (m3/sec) 0 2,0 4,0 6,0 8,0

H (mΣΥ) 100,0 99,0 97,5 49,0 0,0

η (-) 0 0,63 0,80 0,60 0,0

47

Λύση α) Το σηµείο λειτουργίας προκύπτει από την τοµή της χαρατηριστικής της

σωλήνωσης:

ΗΣ = h+(ζe+ζa) · Q2=(800-300)+(0,15+2,91) · Q2

µε την χαρακτηριστική των αντλιών Α και Β η οποία προκύπτει από την καθ' ύψος

πρόσθεση των δύο χαρακτηριστικών (αντλίες Α και Β εν σειρά). Προκύπτει

λοιπόν το ακόλουθο σηµείο λειτουργίας:

Q=QA=QB=4,25 m3/h και ΗA=495 mΣΥ και ΗB=74,5 mΣΥ.

0 1 2 3 4 5 6 7 8Q (m3/sec)

0

20

40

60

80

100

η

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8Q (m3/sec)

0

100

200

300

400

500

600

700

800H

(m

ΣΥ

)

(H, Q)B

H=(119,04/4,752).Q2

HΣ=500+(ζe+ζa).Q2

(HA+HB, Q)

(η, Q)A(η, Q)Β

(H, Q)A

Οι αντίστοιχοι βαθµοί απόδοσης από τις καµπύλες (η,Q)A και (η,Q)B προκύπτει:

ηA=ηB=0,78 οπότε η απορροφούµενη ισχύς είναι:

ΝA= 3144226780102

2544951000

1000

819,.

,

,QH,=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

Α

ΑΑ

ηγ

KW

48

NB= 709793780102

2545741000

1000

819,.

,

,,QH,=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

Β

ΒΒ

ηγ

KW

Άρα η συνολική ισχύς είναι:

Ν=ΝA+ΝB=26.442,31+3.979,70 KW=30.422,0 KW=30,422 MW.

Με σκοπό τον υπολογισµό της στατικής πίεσης στην αναρρόφηση της αντλίας Α,

δηλ. στην διατοµή e του σχήµατος, εκφράζεται η ολική πίεση στο σηµείο αυτό

εφαρµόζοντας την γενικευµένη εξίσωση Bernoulli µεταξύ του σηµείου αυτού και

της δεξαµενής αναρρόφησης (κάτω λίµνη). Θα είναι λοιπόν:

Ηoe-Hα=z1+HΒ-δhfe=300+74,5-0,15·4,252=371,79 mΣΥ

Εξ ορισµού η ολική πίεση στην αναρρόφηση e ως προς την ατµοσφαιρική πίεση,

δηλ. η διαφορά: (Ηoe-Hα), είναι ίση προς:

Ηoe-Ηα=Ηe+ze+ce2/2g

όπου ce είναι η µέση ταχύτητα στον κλάδο της αναρρόφησης και η οποία είναι ίση

προς: ce=Q/Fe, όπου Fe=πD2/4=π · 1,0

2/4=0,7853 m

2. Άρα:

ce=4,25/0,7853=5,411 m/sec.

Στην προηγούµενη εξίσωση µε Ηe συµβολίζεται η ζητούµενη (σχετική) στατική

πίεση στην αναρρόφηση της αντλίας Α, δηλ. η στατική πίεση ως προς την

ατµοσφαιρική πίεση Ηα, εκφρασµένη σε mΣΥ. Επιλύοντας ως προς Ηe προκύπτει:

Ηe+310+5,4112/(2 · 9,81)=371,79 →

He=371,79-310-1,492=60,298 mΣΥ

Για τον έλεγχο της λειτουργίας της αντλίας Α ως προς σπηλαίωση υπολογίζεται

αρχικά η τιµή του ειδικού αριθµού στροφών των πτερωτών της αντλίας Α, το ύψος

της κάθε µίας, στο κανονικό σηµείο λειτουργίας, θα είναι ίσο προς :

ΗΑ1=ΗΑ/4=450/4=112,5 mΣΥ

2,839.25,112

)360075,4(750

75,0

5,0

4/3

2/1

=⋅

==H

Qnnq

για την οποία είναι: σκρ≈0,25. Αρα για το κανονικό σηµείο λειτουργίας της Α θα

είναι:

ΗκρΚΣ=σκρ · ΗΚΣ=0,25 · 112,5=28,125 mΣΥ

Για το εξεταζόµενο σηµείο λειτουργίας της αντλίας Α, λαµβάνοντας υπόψη οτι η

τιµή του κρίσιµου ύψους αναρρόφησης µεταβάλλεται ανάλογα µε το τετράγωνο

της παροχής θα είναι:

ΗκρΣΛ=ΗκρΚΣ (QΣΛ/QΚΣ)2=28,125 · (4,25/4,75)2=22,516 mΣΥ.

Η τιµή του καθαρού θετικού ύψους αναρρόφησης ΗΘ ορίζεται ως:

ΗΘ=Ηοe-HS=(Hα+ΗΒ)-he-δhfe-HS

στην οποία µε ΗB=74,5 mΣΥ συµβολίζεται το ολικό ύψος της αντλίας Β. Θα είναι

λοιπόν:

49

ΗΘ=10+74,5-(310-300)-0,15 · 4,252-0,207=74,5-2,709-0,207→

ΗΘ=71,584 mΣΥ

Άρα δεδοµένου οτι:

ΗΘ=71,584 mΣΥ > HκρΣΛ=22,516 mΣΥ

συνάγεται ότι υπάρχει σηµαντικό περιθώριο ασφάλειας για την λειτουργία της

αντλίας Α χωρίς σπηλαίωση.

β) Το κανονικό σηµείο λειτουργίας της αντλίας Α είναι:

QA=4,75 m3/sec, HA=450 mΣΥ

∆εδοµένου οτι οι αντλίες Α και Β είναι εν σειρά, η παροχή της αντλίας Β θα

πρέπει να είναι επίσης: Q'B=QA=Q=4,75 m3/sec. Για την παροχή αυτή, από την

χαρακτηριστική της σωλήνωσης προκύπτει οτι το άθροισµα των ολικών υψών των

αντλιών Α και Β πρέπει να είναι ίσο προς:

ΗΣ=ΗΑ+H΄Β=h+(ζe+ζa) · Q2=500+(0,15+2,91) · 4,75

2=569,04 mΣΥ.

Άρα: H'B=569,04-450=119,04 mΣΥ

To νέο αυτό σηµείο λειτουργίας της αντλίας Β :

QB'=4,75 m3/sec, HB'=119,04 mΣΥ

επιτυγχάνεται µε n'B στροφές της αντλίας Β. Θα πρέπει πρώτα να ευρεθεί το

σηµείο λειτουργίας στην δεδοµένη χαρακτηριστική (Η,Q) της αντλίας στις

nB=1000 RPM. Για τον σκοπό αυτό χαράσσεται η παραβολή των αντίστοιχων

σηµείων που διέρχεται από το σηµείο (Q'B,Η'B):

Η=κ ⋅ Q2= 2

2Q

'Q

'

B

⋅

Η Β = 2

2754

04119Q

,

,⋅

=5,276 · Q2

Από τη τοµή της παραβολής των αντίστοιχων σηµείων µε την χαρακτηριστική της

αντλίας Β των n=1000 RPM προκύπτει το εξής αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας:

Q=3,75 m3/sec και ΗB=76,0 mΣΥ.

Εφαρµόζοντας τις σχέσεις αλλαγής στροφών που ισχύουν µεταξύ αντίστοιχων

σηµείων λειτουργίας προκύπτει:

267,175,3

75,4''===

B

B

B

B

Q

Q

n

n

Άρα η ζητούµενη ταχύτητα περιστροφής της αντλίας Β είναι:

n'B=1,267 · nB=1267 RPM.

γ) Η αντλία Β αντικαθίσταται µε άλλη, γεωµετρικά όµοια προς αυτή η οποία,

όπως και η Α, θα λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της. Αρα η παροχή

θα είναι: Q=Q'B=QA=4,75 m3/sec, ενώ, σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα το

υψος της αντλίας Β πρέπει να είναι ίσο προς: Η'B=119,04 mΣΥ. Το σηµείο αυτό

λειτουργίας της αντλίας Β', γεωµετρικά όµοια προς την Β, θα είναι το κανονικό

της σηµείο λειτουργίας. Αρα θα είναι αντίστοιχο προς το δεδοµένο κανονικό

σηµείο λειτουργίας της Β στις n=1000 RPM και το οποίο είναι:

QB=4,0 m3/sec και ΗB=75 mΣΥ.

50

Μεταξύ των αντίστοιχων αυτών σηµείων λειτουργίας εφαρµόζονται οι νόµοι

οµοιότητας, οι οποίοι για λ=(D'B/DB), ο λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας, και

µ=n'B/nB, εκφράζονται ως:

µλ ⋅=== 31875,1

4

75,4'

B

B

Q

Q

225872,1

75

04,119'µλ ⋅===

B

B

H

H

Οι δύο αυτές εξισώσεις επιλυόµενες ως προς τους αγνώστους λ και µ δίνουν:

λ=0,971 και µ=1,2976 από την οποία: n'Β=1,2976 · nΒ=1287,6 RPM.

H ισχύς που απορροφάται από κάθε µία αντλία προκύπτει ίση προς:

85,194.2680,0102

75,44501000=

⋅⋅⋅

==A

AAA

QHN

ηγ

KW

4,929.680,0102

75,404,1191000''' =

⋅⋅⋅

==B

BBB

QHN

ηγ

KW

και η συνολική ισχύς είναι:

Ν=ΝΑ+ΝΒ=33.124,25 MW

Aπό την τιµή του ειδικού αριθµού στροφών της αντλίας Α: nqA=2839 και το

διάγραµµα του σχήµατος 4.4 προκύπτει ότι οι πτερωτές της αντλίας Α έχουν

είσοδο µεικτής ροής και έξοδο ακτινικής ροής.

Ο ειδικός αριθµός στροφών της αντλίας Β είναι ίσος προς:

708.45,97

)36000,4(1000

75,0

5,0

4/3

1

2/1

=⋅

==B

BBqB

H

Qnn

Άρα η αντλία Β είναι καθαρά µεικτής ροής, τόσο στην διατοµή εξόδου όσο και

στην διατοµή εισόδου.

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.5 (Από την εξέταση της 25.8.1986)

Στο σχήµα παριστάνεται η διάταξη των τροφοδοτικών αντλιών δοκιµαστηρίου

υδροδυναµικών µηχανών. Περιλαµβάνει δύο ταυτόσηµες φυγόκεντρες αντλίες

που, µέσω κινητήρων συνεχούς ρεύµατος, έχουν την δυνατότητα συνεχούς

µεταβολής των στροφών τους από 0 ως 1500 RPM, ανεξάρτητα η µία από την

άλλη. Οι αντλίες είναι παράλληλα συνδεδεµένες και ο άξονας τους είναι στην ίδια

στάθµη zα (στο σχήµα φαίνονται σε διαφορετική στάθµη για να είναι σαφής η

διάταξη). Αναρροφούν νερό από την δεξαµενή ηρεµίας, σταθερής στάθµης zK=5

m, και µέσω κοινού κλάδου, το καταθλίβουν στην άνω δεξαµενή, στην οποία η

51

στάθµη διατηρείται σταθερή µέσω υπερχειλιστή στην τιµή zΑ=19 m. Το νερό που

υπερχειλίζει επιστρέφει στην δεξαµενή ηρεµίας. Οι υδραυλικές απώλειες από την

κατάθλιψη των αντλιών µέχρι τον κόµβο όπου οι δύο κλάδοι της κατάθλιψης

ενώνονται θεωρούνται αµελητέες.

Ζητούνται: α) Όταν λειτουργεί η µία από τις δύο αντλίες ζητείται η ταχύτητα

περιστροφής της για την οποία µόλις αρχίζει να διακινεί το νερό και η ταχύτητα

περιστροφής της ώστε το σηµείο λειτουργίας της να αντιστοιχεί σε µέγιστη τιµή

του βαθµού απόδοσης.

β) Όταν η αντλία (1) στρέφεται µε n=1500 RPM ζητείται η ταχύτητα περιστροφής

της (2) για την οποία η (2) µόλις αρχίζει να διακινεί νερό. Να καθορισθεί η

στάθµη των αντλιών ώστε η λειτουργία αυτή να είναι ασφαλής από πλευράς και

να υπολογισθεί η ισχύς που απορροφάται από την (1).

γ) Όταν η αντλία (1) στρέφεται µε n=1500 RPM, ζητείται η ταχύτητα περιστροφής

της (2) για την οποία η παροχή της (2) είναι 400 m3/h και να υπολογισθεί η

απορροφούµενη ισχύς από την (1)

∆ίνονται: ∆ίνεται η χαρακτηριστική των αντλιών (Η,Q,η) στις n=1500 RPM.

Q (m3/h) 0 400 600 800 1000 1200 1500

H (mΣΥ) 40,0 39,0 37,5 34,0 28,0 19,0 0,0

η (%) 0 64,5 76,0 80,0 72,0 57,0 0,0

∆ίνονται επίσης: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, θερµοκρασία του νερού

θ=15οC. Oι υδραυλικές απώλειες των κλάδων εκφράζονται ως: δhf=ζ·Q2. Οι τιµές

των συντελεστών ζ για Q σε m3/h και δhf σε mΣΥ δίνονται στο σχήµα.

ζe=1,0 · 10-6

ζa=4,5 · 10-6

ζe

ζa

zΑ=19 m

Ε

ζe

(1)

(2)

zK=5 m

Λύση α) Η χαρακτηριστική της σωλήνωσης, όταν λειτουργεί µία αντλία, είναι:

ΗΣ=h+(ζe+ζa) · Q2 = (19-5)+(ζe+ζa ) · Q

2

52

και για το σηµείο λειτουργίας θα ισχύει: ΗΣ=Η, όπου µε Η παριστάνεται το ολικό

ύψος της αντλίας. Αρα η αντλία θα αρχίζει µόλις να διακινεί νερό στην

σωλήνωση (Q=0) όταν H=h, οπότε το σηµείο λειτουργίας της αντλίας είναι :

Q=0, H=Ho=h=zA-zK=19-5=14 mΣΥ.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600Q (m3/h)

0

20

40

60

80

η

(%)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600Q (m3/h)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

H

(mΣΥ

)

(H, Q)1

H=(34/8002).Q2

HΣ

(1) & 400 m3/h

(1) HoE=H1-ζe.Q2

(3) HoE=(zA-zK)+ζe.Q2

H=(24/4002).Q2

Τα αντίστοιχα σηµεία της αυτής αντλίας για λειτουργία µε διαφορετικές στροφές

βρίσκονται ως γνωστό σε παραβολές που διέρχονται από την αρχή των αξόνων

(Q=0, H=0) και το εξεταζόµενο σηµείο. Στην εξεταζόµενη περίπτωση το σηµείο

βρίσκεται στο άξονα Q=0, οπότε η παραβολή των αντίστοιχων σηµείων

εκφυλίζεται στον άξονα Q=0. Aρα, του ζητούµενου σηµείου λειτουργίας (Q'=0,

H'=14 mΣΥ στις n' στροφές) αντίστοιχο στις n=1500 RPM θα είναι το σηµείο

λειτουργίας: Q=0, H=40 mΣΥ. Μεταξύ των αντίστοιχων αυτών σηµείων

εφαρµόζεται η σχέση:

53

41,887)40/14(1500'1500

'

40

14'' 5,0

22

=⋅=→

=→

= nn

n

n

H

H RPM

Για την λειτουργία της αντλίας σε σηµείο λειτουργίας µε την µέγιστη τιµή του

ολικού βαθµού απόδοσης, σηµαίνει οτι η αντλία θα λειτουργεί σε σηµείο

λειτουργίας αντίστοιχο του κανονικού στις n=1500 RPM, δηλ.:

Q=800 m3/h, H=34,0 mΣΥ.

Επίσης το ζητουµενο σηµείο λειτουργίας θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση

της χαρακτηριστικής της σωλήνωσης:

ΗΣ=h+(ζe+ζa) · Q2 = (19-5)+(ζe+ζa ) · Q

2

και η οποία χαράσσεται στο διάγραµµα (Η,Q) για διάφορες τιµές της παροχής Q.

Άρα πρόκειται για το σηµείο τοµής της χαρακτηριστικής της σωλήνωσης µε την

παραβολή: Η=κ · Q2 που διέρχεται από το δεδοµένο κανονικό σηµείο λειτουργίας

της αντλίας στις n=1500 RPM, δηλ. την παραβολή:

Η= 2

2800

34Q⋅

Στο διάγραµµα (Η,Q) ως σηµείο τοµής προκύπτει το ακόλουθο: Q'=530 m3/h,

H'=15 mΣΥ. Για τον υπολογισµό της ταχύτητας περιστροφής που αντιστοιχεί

εφαρµόζεται η σχέση αλλαγής στροφών µεταξύ αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας:

75,993)800/530(1500'1500

'

800

530''=⋅=→

=→

= nn

n

n

Q

Q RPM

β) Η αντλία 1 λειτουργεί στις n=1500 RPM, ενώ η αντλία 2 µόλις αρχίζει να

διακινεί νερό στο δίκτυο. Άρα είναι οριακά: Q2=0 και κατά συνέπεια: Q=Q1, δηλ.

η λειτουργία της αντλίας 1 δεν επηρεάζεται από την λειτουργία της 2. Το σηµείο

λειτουργίας της αντλίας 1 θα προκύψει από την τοµή της χαρακτηριστικής της

σωλήνωσης ΗΣ=f(Q), µε την χαρακτηριστική της αντλίας στις n=1500 RPM στο

διάγραµµα (Η,Q). Προκύπτει λοιπόν :

Q1=1160 m3/h, H1=21,60 mΣΥ και η=0,61

Η ολική πίεση στον κόµβο Ε ως προς την ατµοσφαιρική, θεωρώντας ως στάθµη

αναφοράς την στάθµη zK, θα είναι ίση προς:

(κατά τον κλαδο της αντλίας 1) (1) ΗoE=Η1-ζe · Q12

(κατά τον κλάδο της αντλίας 2) (2) ΗoE=Η2-ζe · Q22

H εξίσωση (2) για Q2=0 γράφεται: (2') Ηoe=Η2

Για το σηµείο λειτουργίας της αντλίας 1: Q1=1160 m3/h και Η1=21,6 mΣΥ, από

την εξίσωση (1) προκύπτει:

ΗoE=21,6-1,0 · 10-6

· 11602=20,254 mΣΥ

οπότε σύµφωνα µε την εξίσωση (2'), για το σηµείο που η αντλία 2 µόλις αρχίζει να

διακινεί νερό θα είναι:

Η2=ΗoE=20,254 mΣΥ και Q2=0

54

Όπως και για το προηγούµενο ερώτηµα, αντίστοιχο αυτού του σηµείου

λειτουργίας στις n=1500 RPM είναι το σηµείο: Q=0, H=40 mΣΥ. Μεταξύ αυτών

των αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας εφαρµόζεται η σχέση αλλαγής στροφών:

4,1067150040

254,202

2

2

22 =→

=→

= n

n

n

n

H

H RPM

Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, όταν η αντλία 1 λειτουργεί στις n=1500 RPM, η

αντλία 2 αρχίζει να καταθλίβει νερό στο δίκτυο εάν στρέφεται µε ταχύτητα

περιστροφής µεγαλύτερη των n2=1067,4 RPM.

Υπολογίζεται στην συνέχεια η στάθµη zα ώστε η λειτουργία της αντλίας να είναι

ασφαλής από πλευράς σπηλαίωσης. Υπολογίζεται πρώτα η τιµή του καθαρού

θετικού ύψους αναρρόφησης: ΗΘ=Ηα-he-δhfe-HS

στην οποία είναι: Ηα=10 mΣΥ,

HS=0,182 mΣΥ (στους θ=15oC),

δhfe=ζe · Q2=1 · 10

-6 · 1160

2=1,3456 mΣΥ και

he=(zα-zΚ)

το ύψος αναρρόφησης, στο οποίο άγνωστη είναι η στάθµη zα των αντλιών.

Για να είναι ασφαλής η λειτουργία της αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης θα

πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη: ΗΘ > ΗκρΣΛ. Για τον υπολογισµό της τιµής του

ύψους σπηλαίωσης στο σηµείο λειτουργίας υπολογίζεται αρχικά η τιµή του Ηκρ

στο κανονικό σηµείο λειτουργίας, κάνοντας χρήση των στατιστικών στοιχείων,

και στην συνέχεια γίνεται διόρθωση στο σηµείο λειτουργίας θεωρώντας σε πρώτη

προσέγγιση οτι η τιµή του Ηκρ µεταβάλλεται µε το τετράγωνο της παροχής.

Υπολογίζεται η τιµή του ειδικού αριθµού στροφών:

012.334

8001500

75,0

5,0

4/3

2/1

===H

Qnnq

οπότε από το διάγραµµα του σχήµατος 4.4 προκύπτει: σκρ≈0,28. Αρα για το

κανονικό σηµείο λειτουργίας είναι: ΗκρΚΣ=σκρ · ΗΚΣ=0,28 · 34=9,52 mΣΥ.

Για το εξεταζόµενο σηµείο λειτουργίας θα είναι:

ΗκρΣΛ=ΗκρΚΣ ·

2

ΚΣ

ΣΛ

Q

Q =9,52 ·

2

800

1160

=2,1025 · 9,52=20,01 mΣΥ

Για να είναι η λειτουργία ασφαλής από πλευράς σπηλαίωσης θα πρέπει να

ικανοποιείται η συνθήκη:

ΗΘ > HκρΣΛ → 10-(zα-zΚ)-1,3456-0,182 > 20,01

(zα-zΚ) < -11,627 → zα < -11,267+5=-6,627 m.

Αρα η µέγιστη στάθµη zα της αντλίας για να είναι ασφαλής η λειτουργία της είναι

η zα=-6,627 m.

Η ισχύς την οποία απορροφά η αντλία 1 στο ως άνω σηµείο λειτουργίας της είναι:

55

86,11161,01023600

11606,211000=

⋅⋅⋅⋅

==η

γ HQN ΚW

γ) Όταν η αντλία 1 λειτουργεί µε n=1500 RPM ζητείται η ταχύτητα περιστροφής

της αντλίας 2 ώστε η παροχή Q2 να είναι ίση προς 400 m3/h. Εκφράζεται η ολική

πίεση στον κόµβο Ε ως προς την ατµοσφαιρική θεωρώντας ως στάθµη αναφοράς

την στάθµη zK:

(κλάδος αναρρόφησης της αντλίας 1) (1) ΗoE=Η1-ζe · Q12

(κλάδος αναρρόφησης της αντλίας 2) (2) ΗoE=Η2-ζe · Q22

(κλάδος της κατάθλιψης) (3) ΗoE=(zA-zK)+ζa · Q2

ενώ από την αρχή της συνέχειας στον κόµβο Ε θα είναι:

(4) Q=Q1+Q2

Τις καµπύλες (1) και (3) είναι δυνατόν να χαράξοµε στο διάγραµµα (Η,Q)

δίνοντας διάφορες τιµές στην παροχή Q και Q1.

∆εδοµένου οτι η παροχή Q2 είναι γνωστή και ίση µε Q2=400 m3/h, η αρχή της

συνέχειας είναι δυνατόν να εκφρασθεί προσθέτοντας στην καµπύλη (1) την

παροχή Q2, δηλ. µετατοπίζεται η καµπύλη (1) κατά 400 m3/h. H τοµή της

καµπύλης αυτής µε την (3) δίνει το ζητούµενο σηµείο λειτουργίας το οποίο είναι:

Q=Q1+Q2=1480 m3/h

Άρα: Q1=Q-Q2=1480-400=1080 m3/h

Για την τιµή αυτή του Q1 από την εξίσωση (1) προκύπτει: ΗoE=23,50 mΣΥ, οπότε

επιλύοντας την εξίσωση (2) ως προς Η2 προκύπτει το ολικό ύψος της αντλίας 2

στο εξεταζόµενο σηµείο λειτουργίας το οποίο είναι:

Q2=400 m3/h, H2=23,66 mΣΥ

Για τον υπολογισµό της ταχύτητας περιστροφής της αντλίας 2 εφαρµόζονται οι

σχέσεις µεταξύ αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας. Για την εύρεση του

αντίστοιχου σηµείου λειτουργίας στην χαρακτηριστική της αντλίας των n=1500

RPM χαράσσεται η παραβολή: Η=κ·Q2 που διέρχεται από το σηµείο λειτουργίας:

Q=Q2=400 m3/h, Η=H 2=23,66 mΣΥ

δηλ. η παραβολή:

Η=

2

400

6623, · Q

2=0,0001479 · Q

2

η τοµή της οποίας µε την χαρακτηριστική (Η,Q) των n=1500 RPM δίνει το

ακόλουθο αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας: Q=520 m3/h, H=38,5 mΣΥ.

Από την σχέση µεταξύ αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας στην περίπτωση αλλαγής

στροφών προκύπτει:

81153520

40015002

222 ,

Q

Qnn

n

n

Q

Q===→= RPM

56

Από την χαρακτηριστική της αντλίας για n=1500 RPM και για το σηµείο

λειτουργίας της αντλίας 1, δηλ. για: Q1=1080 m3/h αντιστοιχεί η τιµή του ολικού

βαθµού απόδοσης: η1=0,68. Αρα η ισχύς που απορροφάται από την αντλία 1 είναι:

131086801023600

108002510001 ,

,

,QHN =

⋅⋅⋅⋅

==η

γ KW

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.6 (Από την εξέταση της 12.9.1987)

Στην αντλητική εγκατάσταση ύδρευσης του σχήµατος οι αντλίες Α1 και Α2

τροφοδοτούν µε νερό την δεξαµενή (3) το οποίο αναρροφούν από τις δεξαµενές

(1) και (2) αντίστοιχα.

Ζητούνται: α) Οταν λειτουργεί µόνο η αντλία Α1, να ευρεθεί το σηµείο

λειτουργίας της, η ισχύς την οποία απορροφά, η ένδειξη του µανοµέτρου Μ στην

κατάθλιψη της και να ελεγχθεί η λειτουργία της ως προς την σπηλαίωση.

β) Οταν λειτουργεί µόνο η αντλία Α1, να ευρεθεί η ταχύτητα περιστροφής της

ώστε η παροχή να γίνει ίση προς 125 m3/h. Στο νέο αυτό σηµείο λειτουργίας η

αντλία Α1 λειτουργεί µε ασφάλεια ως προς την σπηλαίωση; (απαντήστε σε

σύγκριση µε το αντίστοιχο ερώτηµα της α) ερώτησης, χωρίς νέο υπολογισµό).

γ) Η αντλία Α2 είναι γεωµετρικά όµοια προς την Α1 και έχει το ίδιο πλήθος

βαθµίδων µε αυτή, δηλ. z=3. Να ευρεθεί ο λόγος οµοιότητας και η ταχύτητα

περιστροφής της Α2 έτσι ώστε όταν λειτουργούν και οι δύο αντλίες (η αντλία Α1

στις n=2900 RPM) η παροχή της Α2 να είναι ίση προς 80 m3/h και να λειτουργεί

µε τον µέγιστο βαθµό απόδοσης της.

ζe1 =6,53 · 10-5

ζΑ1Μ=6,53 · 10-5

ζΜΚ=1,959 · 10-4

ζΚΓ=3,265 · 10-4

ζ2Κ=6,0 · 10-4

A1

zΜ

=93 m

ζe1

z3=220 m

D=125 mm

M

K

z2=120 m

z1=100 m

A2

Γ

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση Ηα=10 mΣΥ, θερµοκρασία του νερού θ=20 οC,

επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2. Οι υδραυλικές απώλειες των κλάδων

εκφράζονται ως: δhf=ζ·Q2, όπου οι τιµές των συντελεστών αντιστάσεως ζ δίνονται

στο σχήµα, για Q σε m3/h και δhf σε mΣΥ.

Χαρακτηριστική της αντλίας Α1, η οποία έχει 3 βαθµίδες, στις n=2900 RPM, όπου

και λειτουργεί:

57

Q (m3/h) 0 100 140 200 250 300 320

H (mΣΥ) 220,0 200,0 180,0 143,0 100,0 30,0 0,0

η (%) 0 75,0 80,0 65,0 42,0 15,0 0,0

Λύση α) Όταν λειτουργεί µόνο η αντλία Α1 το σηµείο λειτουργίας προκύπτει ως

το σηµείο τοµής της χαρακτηριστικής (Η,Q) της αντλίας Α1 µε την

χαρακτηριστική της σωλήνωσης, αφού τότε Q=Q1:

ΗΣ=(z3-z1)+(ζe1+ζA!M+ζMK+ζKΓ) · Q2=120+6,53 10

-4 · Q

2

η οποία χαράσσεται στο διάγραµµα (Η,Q). Προκύπτει λoιπόν το εξής σηµείο

λειτουργίας της αντλίας Α1:

Q1=190 m3/h, H1=142,5 mΣΥ και βαθµός απόδοσης η1=0,66

Άρα η απορροφούµενη από την αντλία ισχύς είναι ίση προς:

5,11266,01023600

1905,1431000

1

111 =

⋅⋅⋅⋅

==η

γ QHN KW

Για τον υπολογισµό της ένδειξης του µανοµέτρου Μ στην κατάθλιψη της αντλίας,

υπολογίζεται αρχικά η τιµή της ολικής πίεσης ως προς την ατµοσφαιρική ΗoM

στην θέση αυτή εφαρµόζοντας την γενικευµένη εξίσωση Bernoulli:

HoM=z1+H1-(ζe1+ζA1M) · Q2=100+143,5-2 6,53 · 10

-5 · 190

2=238,80 mΣΥ

Εξ ορισµού η τιµή της ολικής πίεσης ΗoM είναι ίση προς:

ΗoM=zM+HM+cM2/(2g)

στην οποία µε ΗM παριστάνεται η ζητούµενη στατική πίεση, ως προς την

ατµοσφαιρική, εκφρασµένη σε mΣΥ, ενώ µε cΜ παριστάνεται η µέση ταχύτητα της

ροής στον αγωγό στο σηµείο της µέτρησης, δηλ.

cΜ=Q1/F1 , όπου F1=πD2/4=3,14 · 0,125

2/4=0,012272 m

2 και

Q1=190/3600=0,05278 m3/sec. Aρα : cM=4,30 m/sec, οπότε

HοΜ=93+HΜ+4,302/(2 · 9,81)=93+HΜ+0,9424=238,80 mΣΥ →

ΗΜ=144,86 mΣΥ

Για τον έλεγχο της λειτουργίας της αντλίας ως προς σπηλαίωση υπολογίζεται

πρώτα η τιµή του ειδικού αριθµού στροφών ως προς παροχή κάθε πτερωτής της

αντλίας Α1, δεδοµένου ότι ο έλεγχος ως προς την σπηλαίωση αφορά την πρώτη

πτερωτή της 3-βάθµιας αντλίας:

60,591.1)3/180(

1402900

75,0

5,0

4/3

2/1

===H

Qnnq

Από το διάγραµµα του σχήµατος 4.4 για nq=1591,6 προκύπτει σκρ ≈ 0,13 Αρα :

ΗκρΚΣ=σκρ (Η/3)=0,13 · 60=7,8 mΣΥ

58

Η τιµή του κρίσιµου ύψους σπηλαίωσης ΗκρΣΛ στο σηµείο λειτουργίας

υπολογίζεται θεωρώντας οτι η τιµή του Ηκρ µεταβάλλεται σε πρώτη προσέγγιση µε

το τετράγωνο της παροχής, δηλ.:

ΗκρΣΛ=ΗκρΚΣ

2

ΚΣ

ΣΛ

Q

Q=7,8 ·

2

140

190

=14,366 mΣΥ

Η τιµή του καθαρού θετικού ύψους αναρρόφησης ΗΘ στο σηµείο λειτουργίας είναι

ίση προς:

ΗΘ=Ηα-he-δhfe-HS=10-(93-100)-6,53 · 10-5

· 1902-0,239=14,404 mΣΥ

∆εδοµένου οτι: ΗΘ=14,404 mΣΥ < HκρΣΛ=14,366 mΣΥ

η ως άνω λειτουργία της αντλίας Α1 δεν είναι απαλλαγµένη σπηλαίωσης.

0 50 100 150 200 250 300 350Q (m3/h)

0

20

40

60

80

η

(%)

0 50 100 150 200 250 300 350Q (m3/h)

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

H

(mΣΥ

)

H=(130,2/1252).Q2

(H, Q)

HΣ1=120+3,265.10-4.[Q12+(Q1+80)2]

HΣ=120+6,53.10-4.Q2

59

β) Εφόσον λειτουργεί µόνο η αντλία Α1, εξακολουθεί να ισχύει η χαρακτηριστική

της σωλήνωσης ΗΣ. Άρα για την παροχή Q1'=125 m3/h, το ολικό υψος της αντλίας

είναι:

HΣ=Η1'=120+6,53 · 10-4

· 1252=130,2 mΣΥ

Για να ευρεθεί το αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας της αντλίας Α1 στις στροφές

n=2900 RPM, χαράσσεται στο διάγραµµα (Η,Q) η παραβολή των αντίστοιχων

σηµείων λειτουργίας, δηλ. η παραβολή της µορφής: Η=κ · Q2 που διέρχεται από το

σηµείο λειτουργίας: Q1'=125 m3/h και Η1'=130,2 mΣΥ. Ετσι η τοµή της

παραβολής:

Η=

2125

2130,· Q

2=0,008333 · Q

2

µε την χαρακτηριστική της αντλίας Α1 στις n=2900 RPM δίνει το ακόλουθο

αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας:

Q1=148 m3/h, H1=178 mΣΥ

Εφαρµόζοντας τώρα την σχέση µεταξύ αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας

υπολογίζεται η ζητούµενη ταχύτητα περιστροφής n1':

3,449.2148

1252900

''

''

1

111

1

1

1

1 ===→=Q

Qnn

n

n

Q

Q RPM

Το νέο αυτό σηµείο λειτουργίας είναι οπωσδήποτε ασφαλές ως προς σπηλαίωση,

αφού ήταν ήδη στο προηγούµενο ερώτηµα όπου η παροχή ήταν µεγαλύτερη. Στην

εξεταζόµενη περίπτωση, µε την µειωµένη παροχή η τιµή του ΗΘ είναι µεγαλύτερη

(µειώνονται οι απώλειες του κλάδου της αναρρόφησης) και το Ηκρ µειώνεται,

ενισχύοντας την ανισότητα: ΗΘ > Ηκρ.

γ) Zητείται ο λόγος οµοιότητας της αντλίας Α2, γεωµετρικά όµοιας ως προς την

Α1, ωστε η Α2 να παρέχει 80 m3/h. Το ερώτηµα αυτό είναι αντίστοιχο του γ

ερωτήµατος της προηγούµενης άσκησης και θα µπορούσε να επιλυθεί αντίστοιχα,

δηλ. εκφράζοντας την ολική πίεση στον κόµβο Κ και µε µετατόπιση της καµπύλης

ΗοΚ=f(Q1) κατά την παροχή Q2=80 m3/h. Στην άσκηση αυτή η επίλυση θα γίνει µε

ένα άλλο τρόπο, που όµως δεν έχει την γενικότητα του προηγούµενου.

Η χαρακτηριστική της σωλήνωσης που περιλαµβάνει τον κλαδο κατάθλιψης της

αντλίας Α1 και τον κοινό κλάδο ΚΓ, όταν λειτουργεί και η αντλία Α2 γράφεται:

ΗΣ1=(z3-z1)+(ζe1+ζA1M+ζMK) · Q12+ζΚΓ · (Q1+Q2)

2

Για Q2=80 m3/h, η προηγούµενη εξίσωση είναι µία συνάρτηση του Q1:

ΗΣ1=Η1=f(Q1), άρα µπορεί να χαραχθεί στο διάγραµµα (Η,Q) και η τοµή της µε

την χαρακτηριστική (H,Q) της αντλίας Α1 δίνει το σηµείο λειτουργίας της αντλίας

Α1. Από το διάγραµµα προκύπτει: Q1=177 m3/h και Η1=153 mΣΥ.

Για τον υπολογισµό του ύψους Η2 εφαρµόζεται η εξίσωση της σωλήνωσης που

περιλαµβάνει τον κλάδο κατάθλιψης της αντλίας 2 και τον κοινό κλάδο ΚΓ:

60

ΗΣ2=Η2=(z3-z2)+ζ2Κ · Q22+ζΚΓ · (Q1+Q2)

2

η οποία για Q2=80 m3/h και Q1=177 m

3/h δίνει:

ΗΣ2=Η2=(220-120)+6 · 10-4 · 802+3,265 · 10-4 · (177+80)2=125,4 mΣΥ.

Το σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας Α2 (Q2=80 m3/h, H2=125,4 mΣΥ), ως

σηµείο λειτουργίας µε τον µέγιστο βαθµό απόδοσης, είναι το κανονικό σηµείο

λειτουργίας της αντλίας Α2 και άρα θα είναι αντίστοιχο του κανονικού σηµείου

λειτουργίας της Α1, δηλ. του: Q1=140 m3/h, H1=180 mΣΥ, θεωρώντας ότι έχουν

το ίδιο πλήθος βαθµίδων.

Mεταξύ αυτών των αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας εφαρµόζονται οι σχέσεις

οµοιότητας, οι οποίες γράφονται ως εξής εάν ο λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας

συµβολισθεί µε λ=D2/D1 και ο λόγος των ταχυτήτων περιστροφής µε µ=n2/n1:

5714,0140

8033

1

2 ==→= µλµλQ

Q

69667,0180

4,1252222

1

2 ==→= µλµλH

H

Επιλύοντας τις δύο αυτές ως προς τους αγνώστους λ και µ προκύπτει:

λ=D2/D1≈ 0,8274 και µ=n2/n1 ≈ 1,0 από τα οποία:

n2≈ n1=2900 RPM.

Στο εξεταζόµενο σηµείο λειτουργίας της αντλίας Α2, το οποίο είναι και κανονικό

σηµείο λειτουργίας, θα είναι: η2=η1max=0,80. Aρα η ισχύς που απορροφάται από

την αντλία Α2 ισχύς είναι ίση προς:

15,3480,01023600

804,1251000

2

222 =

⋅⋅⋅⋅

==η

γ QHN ΚW

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.7 (Aπό την εξέταση της 13.6.1987)

Αντλία αξονικής ροής, κανονικού σηµείου λειτουργίας:

Η=6 mΣΥ και Q=2,2 m3/sec

έχει διάµετρο πλήµνης d=0,37 m, διάµετρο στεφάνης D=0,8 m και ταχύτητα

περιστροφής n=600 RPM. Yπολογίσατε την κλίση εξόδου β2 των πτερυγίων στην

πλήµνη και την στεφάνη θεωρώντας βαθµό απόδοσης της πτερύγωσης ηi=0,7 και

υδραυλικό βαθµό απόδοσης ηh=0,92.

Λύση Η µεσηµβρινή ταχύτητα στην πτερωτή είναι καθαρά αξονική οµοιόµορφη

και ίση προς:

cm=cm1=cm2=Q/Α

όπου Α η εγκάρσια διατοµή: Α=π(D2-d

2)/4=π · (0,8

2-0,37

2)=0,3951 m

2

Aρα: cm=2,2/0,3951=5,568 m/sec

61

Σύµφωνα µε την εξίσωση Euler των στροβιλοµηχανών, το ολικό ύψος της

πτερωτής αντλίας (στην γενική περίπτωση κατά την οποία είναι: cu1=0)

εκφράζεται ως:

−===

2

22

2

222 1β

ηηηηη ηηηtg

u/c

g

u

g

'cuHH n

iu

iu

στην οποία µε ηh συµβολίζεται ο υδραυλικός βαθµός απόδοσης, ίσος προς:

ηh=0,92.

Η γωνιακή ταχύτητα ω είναι ίση προς: µε ω=π n/30=π 600/30=62,83 rad/sec:

Για την πλήµνη: u2π=ω · d/2=62,83 · 0,37/2=11,624 m/sec

Aπό την προηγούµενη εξίσωση Euler µοναδικός άγνωστος είναι η ζητούµενη

κλίση β2:

6,0=0,7 · 0,92 ·

−

πβ 2

2 6241156851

819

62411

tg

,/,

,

, από την οποία:

tgβ2π=0,51447 → β2π=27,225 ο

Για την στεφάνη: u2σ=ωD/2=62,83 · 0,8/2=25,1327 m/sec, oπότε από την εξίσωση

Euler προκύπτει:

6,0=0,7 · 0,92 ·

−

σβ 2

2 13272556851

819

132725

tg

,/,

,

, από την οποία

tgβ2σ=0,225 → β2σ=12,67 ο

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.8 (Από την εξέταση της 12.9.1987)

Από την εργαστηριακή δοκιµή φυγόκεντρης αντλίας στις n=3000 RPM προκύπτει

για ένα σηµείο λειτουργίας : παροχή Q=42 m3/h, ολικό ύψος Η=45 mΣΥ και

απορροφούµενη ισχύς Ν=6,62 KW. Εκτιµώντας τον µηχανικό και ογκοµετρικό

βαθµούς απόδοσης ίσους προς: ηQ=ηm=0,98, ζητείται να χαραχθούν τα πραγµατικά

τρίγωνα ταχυτήτων στην είσοδο και έξοδο της πτερωτής σ' αυτό το σηµείο

λειτουργίας εάν τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της πτερωτής είναι τα ακόλουθα:

∆ιάµετρος εισόδου D1=65 mm, εξόδου D2=190 mm

Πλάτος εισόδου b1=27 mm, εξόδου b2=9 mm

Κλίση πτερυγίων στην είσοδο β1=20 o, στην έξοδο β2=22

o

Το πάχος των πτερυγίων θεωρείται αµελητέο.

Η παροχή Q=42 m3/h είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από την optimum και γιατί;

Λύση H γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της πτερωτής είναι:

ω=2πn/60=2 · 3000 /60=314,159 rad/sec

Οι περιφερειακές ταχύτητες είναι:

u1=ω D1/2=314,159 · 0,065/2=10,21 m/sec

u2=ω D2/2=314,159 · 0,190/2=29,845 m/sec

62

H παροχή διά µέσου της πτερωτής είναι:

Qu=Q/ηQ=42/0,98=42,857 m3/h

οπότε οι µέσες ορθές συνιστώσες της ταχύτητας είναι:

cn1=Qu/(πD1b1)=42,857/(3600 · π · 0,065 · 0,027)=2,159 m/sec

cn2=Qu/(πD2b2)=42,857/(3600 · π · 0,190 · 0,009)=2,216 m/sec

O ολικός βαθµός απόδοσης στο εξεταζόµενο σηµείο λειτουργίας είναι ίσος προς:

η=Ν

QHγ=

62,6

)1023600/()45421000( ⋅⋅⋅ =0,778

οπότε η τιµή του υδραυλικού βαθµού απόδοσης θα είναι ίση προς:

ηh=98,098,0

778,0

⋅=

⋅ mQ ηηη

=0,8098

Aπό την εξίσωση Euler για cu1=0 έχοµε:

−⋅⋅=

2

22

2

2 /1

βηη

tg

uc

g

uH n

hiu

η οποία επιλύεται ως προς τον βαθµό απόδοσης της πτερύγωσης ηi

Προκύπτει λοιπόν:

45=ηi · 0,8098 ·

−

)(tg

,/,

,

,ο22

8452921621

819

84529 2

→

ηi=0,7498

Εποµένως στο πραγµατικό τρίγωνο εξόδου η τιµή της περιφερειακής συνιστώσας

της ταχύτητας cu2 θα είναι ίση προς:

cu2=ηi cu2' όπου

cu2'=u2-)(tg

,,

)(tg

co

n

22

216284529

2

2 −=β

=24,353 m/sec.

Άρα: cu2=ηi cu2'= 0,7498 · 24,353=18,26 m/sec.

Είναι πλέον δυνατή η χάραξη του πραγµατικού τριγώνου εξόδου.

u1=10,21 m/sec

cn1

=c1=2,159 m/sec

w1β

1=11,94ο

cu2

=18,26 m/sec

cu2

'=24,353 m/sec

u2=29,845 m/sec

cn2

=2,216 m/sec

w2 c

2

c2'

5 m/sec

63

Όσον αφορά το τρίγωνο εισόδου αυτό είναι ορθογώνιο µε τις ορθές πλευρές τις u1

και c1=cn1=2,159 m/sec. H κλίση β1' της σχετικής ταχύτητας στην είσοδο είναι ίση

προς:

tg(β1')=2110

1592

1

1

,

,

u

cn = cn1/u1=0,2114 → β1'=11,94 o

∆εδοµένου ότι στο εξεταζόµενο σηµείο λειτουργίας η κλίση της σχετικής

ταχύτητας β1'=11,94 o είναι µικρότερη από την κλίση β1=20 o των πτερυγίων

συνάγεται ότι η παροχή των 42 m3/h είναι µικρότερη από την αντίστοιχη optimum

παροχή.

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.9 (Από την εξέταση της 20.6.1995)

Η αντλητική εγκατάσταση του σχήµατος τροφοδοτεί µε νερό την αρδευτική

δεξαµενή και κινείται από την ενέργεια που παράγει µία ανεµογεννήτρια.

Σηµειώνεται ότι η ηλεκτρική ισχύς Να που παράγεται από την ανεµογεννήτρια

µεταβάλλεται έντονα ανάλογα µε την ένταση του ανέµου και κυµαίνεται µεταξύ 0

και 40 KW, οπότε θα πρέπει σε κάθε χρονική στιγµή η αντλία να απορροφά την

ισχύ Ρα. Αυτό επιτυγχάνεται µέσω αυτοµατισµού που µεταβάλλει κατάλληλα την

ταχύτητα περιστροφής της αντλίας. Οι στάθµες αναρρόφησης και της δεξαµενής

κατάθλιψης θεωρούνται κατ' αρχήν ως σταθερές. Υπενθυµίζεται ότι σε κάθε

περίπτωση το σηµείο λειτουργίας της αντλίας θα πρέπει να είναι ταυτόχρονα και

σηµείο της χαρακτηριστικής της σωλήνωσης.

Ζητούνται: α) Να χαραχθεί (µε 4 τουλάχιστον σηµεία ) η καµπύλη της ταχύτητας

περιστροφής n (RPM) της αντλίας συναρτήσει της διακινούµενης παροχής Q. Για

ποιά ταχύτητα περιστροφής και πάνω αρχίζει η διακίνηση νερού. Εάν αυξηθεί η

υψοµετρική διαφορά µεταξύ κατάθλιψης και αναρρόφηση πώς αναµένεται να

µεταβληθεί η προηγούµενη καµπύλη (απαντήσατε ποιοτικά);

β) Να χαραχθεί η καµπύλη ισχύος εισόδου Να (σε KW) συναρτήσει της

διακινούµενης παροχής (για τις ίδιες τιµές µε αυτές του προηγούµενου

ερωτήµατος) και στην συνέχεια από τον συνδυασµό της καµπύλης αυτής µε την

καµπύλη (n,Q) του προηγούµενου ερωτήµατος να χαραχθεί η καµπύλη της

ταχύτητας περιστροφής n (RPM) συναρτήσει της ισχύος εισόδου Να, βάσει της

οποίας θα πρέπει να προγραµµατισθεί ο αυτοµατισµός της εγκατάστασης.

γ) Να υπολογισθεί η µέγιστη από πλευράς σπηλαίωσης στάθµη εγκατάστασης της

αντλίας ώστε η λειτουργία της να είναι απαλλαγµένη σπηλαίωσης στην

δυσµενέστερη από πλευράς σπηλαίωσης λειτουργία, αφού προηγουµένως

δικαιολογηθεί η επιλογή σας όσον αφορά την δυσµενέστερη περίπτωση.

δ) Εάν η αντλία αντικατασταθεί µε δύο ταυτόσηµες αντλίες γεωµετρικά όµοιες

προς την αρχική, παράλληλα συνδεδεµένες µεταξύ τους, να υπολογισθεί ο λόγος

οµοιότητας και η ταχύτητα περιστροφής τους όταν οι δύο αντλίες λειτουργούν στο

κανονικό σηµείο λειτουργίας τους απορροφώντας την µέγιστη ισχύ των 40 KW.

64

ζe=0,2 · 10-3

ζa=0,8 · 10-3

(δhf=ζ · Q2

µε δhf σε mΣΥ

και Q σε m3/h)

Να

Ανεµογεννήτρια

Ηλεκτροκινητήρας

zA=145 m

zE=120 m

ζe

ζa

Aντλία

∆ίνονται: πυκνότητα και πίεση ατµοποίησης του νερού ρ=1000 Kg/m

3, HS=0,25

mΣΥ αντίστοιχα, ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10 mΣΥ, και χαρακτηριστική (Q,H,η)

της αντλίας στις n=1500 RPM (στον ολικό βαθµό απόδοσης συµπεριλαµβάνεται ο

βαθµός απόδοσης του ηλεκτροκινητήρα της αντλίας).

Q (m3/h) 0 50 100 150 200 250 300

H (mΣΥ) 50,0 48,0 44,0 40,0 35,0 27,5 16,0

η (%) 0 42,0 67,0 76,0 80,0 67,0 44,0

Λύση α) Τα µόνα δυνατά σηµεία λειτουργίας της αντλητικής εγκατάστασης είναι

τα σηµεία λειτουργίας της χαρακτηριστικής ΗΣ της σωλήνωσης και η οποία

εκφράζεται ως:

ΗΣ=(zA-zE)+(ζe+ ζa) · Q2=(145-120)+(0,2+0,8) · 10-3 · Q2

τα οποία θα πρέπει να είναι και σηµεία λειτουργίας της αντλίας στην κατάληλη

κάθε φορά ταχύτητα περιστροφής. Με σκοπό την εύρεση της αντιστοιχίας µεταξύ

παροχής και ταχύτητας περιστροφής χαράσσονται παραβολές των αντίστοιχων

σηµείων λειτουργίας. Επιλέγεται να χαραχθούν οι παραβολές αντίστοιχων

σηµείων λειτουργίας που διέρχονται από τα ακόλουθα σηµεία της

χαρακτηριστικής (Q,H) της αντλίας στις n=no=1500 RPM: (Qo,Ho) (50,48),

(100,44) και (150,40) και οι οποίες είναι της µορφής Η=κ · Q2. Oι παραβολές

αυτές χαράσσονται στο διάγραµµα (H,Q) και τα σηµεία τοµής τους µε την

χαρακτηριστική της σωλήνωσης ΗΣ θα είναι τα αντίστοιχα σηµεία λειτουργίας.

Προκύπτουν έτσι τρία σηµεία λειτουργίας (H,Q) για κάθε ένα από τα οποια η

ταχύτητα περιστροφής που αντιστοιχεί προκύπτει από την εφαρµογή της σχέσης

αλλαγής στροφών για αντίστοιχα σηµεία λειτουργίας:

ooo Q

Qn

n

n

Q

Q⋅=→= 1500

65

Για κάθε ένα από αυτά τα σηµεία λειτουργίας ο βαθµός απόδοσης του αντλητικού

συγκροτήµατος η θα είναι ίσος µε αυτόν του αντίστοιχου σηµείου λειτουργίας στις

n=no=1500 RPM.

0 50 100 150 200 250 300Q (m3/h)

0

20

40

60

80

η

(%)

0 50 100 150 200 250 300Q (m3/h)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

H

(mΣΥ

)

(H, Q)

HΣ=25+10-3.Q2

H=

(48/5

02 ).

Q2

H=

(44/1

00

2 ).Q

2

H=(4

0/150

2 ). Q2

H.Q=11743

Το τέταρτο ζητούµενο είναι το σηµείο τοµής της χαρακτηριστικής της αντλίας στις

n=no=1500 RPM µε την χαρακτηριστική της σωλήνωσης και το οποίο προφανώς

είναι σηµείο λειτουργίας της αντλητικής εγκατάστασης στις ονοµαστικές στροφές

της αντλίας. Το σηµείο αυτό λειτουργίας είναι το ακόλουθο:

Q=130 m3/h, H=41,95 mΣΥ, η=0,715.

Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται:

- η παροχή Qo της χαρακτηριστικής στης αντλίας στις n=no=1500 RPMκαι

66

- τα αντίστοιχα σηµεία λειτουργίας τους (και σηµεία της χαρακτηριστικής της

σωλήνωσης) Q, H, n και η καθώς και η ισχύς Να που απορροφάται από το

αντλητικό συγκρότηµα (Ν=γHQ/η)

Qo (m3/h) Q (m

3/h) n (RPM) H (mΣΥ) η (-) Nα (KW)

50 39,5 1185 26,2 0,42 6,71

100 85,0 1275 32,2 0,67 10,8

130 130 1500 41,95 0,715 20,8

0 175 1750 55,5 0,76 34,8

Στο διάγραµµα που ακολουθεί δίνεται η ζητούµενη καµπύλη της ταχύτητας

περιστροφής n(RPM) (στήλη 3) συναρτήσει της διακινούµενης παροχής Q (m3/h)

(στήλη 2).

Όταν η αντλητική εγκατάσταση αρχίζει µόλις να διακινεί νερό (Q=0) το ολικό

ύψος της αντλίας είναι ίσο προς H=(zA-zE)=25 mΣΥ, όπως προκύπτει από την

χαρακτηριστική της σωλήνωσης, και θα είναι σηµείο λειτουργίας της αντλίας στην

ζητούµενη ταχύτητα περιστροφής n. Το σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας είναι

αντίστοιχο του σηµείου (Qo=0, Ho=50 mΣΥ) της χαρακτηριστικής της αντλίας στις

no=1500 RPM. Εφαρµόζεται λοιπόν η σχέση αλλαγής στροφών µεταξύ

αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας και προκύπτει:

66106050

251500

21212

,H

Hnn

n

n

Q

Q//

o

o

oo

=

⋅=

⋅=→

= RPM

Από την προηγούµενη ανάλυση προκύπτει ότι η αύξηση της υψοµετρικής

διαφοράς (zA-zE) θα πρέπει να συνοδεύεται από αύξηση της ταχύτητας

περιστροφής της αντλίας έτσι ώστε τα νέα σηµεία λειτουργίας της αντλίας να είναι

κάθε φορά σηµεία της νέας ανυψωµένης χαρακτηριστικής της σωλήνωσης.

0 50 100 150 200Q (m3/h)

1000

1200

1400

1600

1800

n

(rp

m)

∆ιάγραµµα παροχής-

ταχύτητας περιστροφής

67

0 50 100 150 200Q (m3/h)

0

10

20

30

40

Na

(K

W)

1000 1200 1400 1600 1800n (rpm)

0

10

20

30

40

Na

(K

W)

∆ιάγραµµα παροχής-ισχύος ∆ιάγραµµα στροφών-ισχύος

β) Στον πίνακα του προηγούµενου ερωτήµατος στα επιλεγµένα σηµεία

λειτουργίας, εκτός από την παροχή και την αντίστοιχη ταχύτητα περιστροφής,

υπολογίσθηκαν το ολικό ύψος της αντλίας Η, ο ολικός βαθµός απόδοσης και εξ

αυτών η ισχύς Να που απορροφάται από την αντλία. Στο διάγραµµα που ακολουθεί

δίνεται η ζητούµενη καµπύλη της απορροφούµενης ισχύος Να (στήλη 6)

συναρτήσει της διακινούµενης παροχής Q (στήλη 2). Προεκτείνοντας την

καµπύλη αυτή µέχρι την µέγιστη τιµή της ισχύος Να=40 KW προκύπτει ότι η

µέγιστη τιµή της παροχής είναι ίση προς Qmax=180 m3/h. Επίσης χαράσσεται η

καµπύλη της απορροφύµενης ισχύος Να συναρτήσει της ταχύτητας περιστροφής n

της αντλίας και η οποία δίνεται στο αντίστοιχο διάγραµµα. Η µέγιστη τιµή της

ταχύτητας περιστροφής αντιστοιχεί στην µέγιστη τιµή της ισχύος Να=40 KW και

από το διάγραµµα ισχύος-ταχύτητας περιστροφής προκύπτει nmax 1800≈ RPM

γ) Για να είναι ασφαλής από πλευράς σπηλαίωσης η λειτουργία της αντλίας πρέπει

να ισχύει η ακόλουθη ανισότητα µεταξύ του καθαρού θετικού ύψους

αναρρόφησης της εγκατάστασης ΗΘ και του κρίσιµου ύψους αναρρόφησης της

αντλίας Ηκρ:

ΗΘ>Ηκρ.

Το καθαρό θετικό ύψος αναρρόφησης της αντλητικής εγκατάστασης εκφράζεται

ως:

68

ΗΘ=HB-he-ζe · Q2-HS

στην οποία τα ΗΒ και HS είναι σταθερά και ίσα προς: ΗΒ=10 mΣΥ, HS=0,25 mΣΥ

αντίστοιχα. Αρα η τιµή του ΗΘ γίνεται ελάχιστη όταν η διακινούµενη παροχή είναι

µέγιστη και ίση προς Qmax=180 m3/h. Από την άλλη πλευρά η αύξηση της

παροχής, στην εξεταζόµενη περίπτωση συνοδεύεται µε αύξηση της ταχύτητας

περιστροφής (βλέπε διάγραµµα παροχής-στροφών) η οποία αντιστοιχεί σε αύξηση

του κρίσιµου ύψους σπηλαίωσης Ηκρ γεγονός που καθιστά ακόµη πιό δύσκολη την

ικανοποίηση της ανισότητας που εξασφαλίζει την λειτουργία χωρίς σπηλαίωση

της αντλίας. Άρα η δυσµενέστερη περίπτωση λειτουργίας είναι αυτή που

αντιστοιχεί στην µέγιστη παροχή : Qmax=180 m3/h, nmax=1800 RPM.

Για τον υπολογισµό της αντίστοιχης τιµής του Ηκρ υπολογίζεται αρχικά η τιµή του

στο κανονικό σηµείο λειτουργίας και στην ονοµαστικές στροφές no=1500 RPM

κάνοντας χρήση των στατιστικών στοιχείων µέσω της τιµής του ειδικού αριθµού

στροφών nq και η οποία είναι ίση προς:

2,474.12,44

1401500

75,0

5,0

4/3

2/1

===ΚΣ

ΚΣ

H

Qnnq

Από το διάγραµµα του σχήµατος 4.4 στην τιµή αυτή του nq αντιστοιχεί η

ακόλουθη τιµή της παραµέτρου σπηλαίωσης σκρ=0,13. Aρα το κρίσιµο ύψος

σπηλαίωσης στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της αντλίας και στις no=1500 RPM

είναι ίσο προς: ΗκρΚΣο=σκρ · ΗΚΣο=0,13 · 35=4,55 mΣΥ. Η τιµή του Ηκρ στο

κανονικό σηµείο λειτουργίας στις nmax=1800 RPM θεωρούµε ότι µεταβάλλεται

ανάλογα µε το τετράγωνο της ταχύτητας περιστροφής (εξ. 4.10) οπότε θα είναι:

ΗκρΚΣm=HκρΚΣο

2

o

max

n

n=4,55 ·

2

1500

1800

=6,552 mΣΥ

Και η οποία αντιστοιχεί στο ΚΣ της χαρακτηριστικής της αντλίας στις nmax=1800

RPM του οποίου η παροχή είναι ίση προς:

QΚΣm=QΚΣο

o

max

n

n=200 ·

1500

1800 =240 m3/h

∆εδοµένου ότι το σηµείο λειτουργίας µε παροχή Q=Qmax=180 m3/h στις nmax=1800

RPM δεν είναι το κανονικό σηµείο λειτουργίας της χαρακτηριστικής της αντλίας

στις nmax=1800 RPM θα πρέπει να γίνει η αντίστοιχη διόρθωση στην τιµή του Ηκρ

θεωρώντας οτι αυτό µεταβάλλεται ανάλογα προς το τετράγωνο της παροχής. Aρα

θα είναι:

Ηκρ= ΗκρΚΣm

2

ΚΣm

max

Q

Q=6,552 ·

2

240

180

=3,685 mΣΥ

Είναι τώρα δυνατός ο καθορισµός της µέγιστης επιτρεπόµενης στάθµης zα της

αντλίας. Θα πρέπει:

ΗΘ =HB-he-ζe·Q2-HS >Ηκρ→ 10-( zα-zE)-0,2 ·10-3 ·1802-0,25>3,685 →

69

119,59> zα → zαmax=119,59 m

δ) Eφόσον οι αντλίες λειτουργούν στο κανονικό σηµείο λειτουργίας τους ο

βαθµός απόδοσής τους θα είναι ίσος προς τον βαθµό απόδοσης της αρχικής,

γεωµετρικά όµοιας αντλίας. Θα είναι λοιπόν η=0,80.

Συµβολίζοντας µε Q΄ (σε m3/h) και H/ την παροχή και το ολικό ύψος της κάθε

αντλίας στο κανονικό σηµείο λειτουργίας τους, η ισχύς που απορροφάται και από

τις δύο µαζί θα είναι:

Να=2η

γ QH=40 KW →

2 ·8003600102

1000

,

'Q'H

⋅⋅

⋅⋅ = 40 → H΄·(2Q΄)=11750,4

Στο διάγραµµα (Η,Q) η καµπύλη Η΄⋅ Q=11750,4 παριστάνεται από µία υπερβολή

συµβολίζοντας µε Q=2Q΄ τη συνολική διακινούµενη παροχή, λαµβάνοντας υπόψη

την παράλληλη λειτουργία των δύο αντλιών.

Όµως το σηµείο λειτουργίας των δύο αντλιών (H΄,2Q΄) θα πρέπει να είναι σηµείο

της χαρακτηριστικής της σωλήνωσης, όπου Q=2Q΄ η συνολική διακινούµενη

παροχή:

ΗΣ=H΄=(zA-zE)+(ζe+ ζa) · Q2=(145-120)+(0,2+0,8) · 10-3 · Q2

Άρα το ζητούµενο σηµείο λειτουργίας θα είναι το σηµείο τοµής της

χαρακτηριστικής της σωλήνωσης µε την υπερβολή Η΄Q=11750,4 και το οποίο

προκύπτει: Η/=62,5 mΣΥ, Q=2Q΄=188 m3/h→ Q΄=94 m3/h.

To σηµείο αυτό λειτουργίας: Η/=62,5 mΣΥ, Q΄=94 m3/h θα είναι αντίστοιχο του

δεδοµένου κανονικού σηµείου λειτουργίας της αρχικής αντλίας στις n=1500 RPM:

H=35 mΣΥ, Q=200 m3/h.

Μεταξύ των αντίστοιχων αυτών σηµείων λειτουργίας εφαρµόζονται οι νόµοι

οµοιότητας, οι οποίοι για λ=(D'/D), ο λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας, και

µ=n'/n, εκφράζονται ως:

µλ347,0

200

94

'===

Q

Q

22768,135

5,62

'µλ===

H

H

Οι δύο αυτές εξισώσεις επιλυόµενες ως προς τους αγνώστους λ και µ δίνουν:

λ=0,593 και µ=2,2535 , από τις οποίες: n'=2,2535· n=3380,25 RPM.

70

AΣΚΗΣΗ 1.2.10 (Από την εξέταση της 29.6.1999)

Έστω ότι oι χαρακτηριστικές καµπύλες (Η,Q) και (η,Q) φυγόκεντρης αντλίας για

την ταχύτητα περιστροφής n εκφράζονται µε την µορφή πολυωνύµου ως εξής:

Η=a · Q2+b και η=c·Q2+d

Σε µία διαφορετική ταχύτητα περιστροφής n1 εκφράζονται αντίστοιχα ως:

Η=a1·Q2+b1 και η=c1 ·Q2+d1

Να υπολογισθούν οι τιµές των συνελεστών a1, b1, c1 και d1 συναρτήσει των a, b, c,

d , n και n1 θεωρώντας ότι µεταξύ αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας ο βαθµός

απόδοσης η παραµένει αµετάβλητος.

Λύση Η χαρακτηριστική καµπύλη (Η,Q) στις n RPM εκφράζεται από την σχέση:

Η=a Q2+b

Στην ταχύτητα περιστροφής n1 τo σηµείo λειτουργίας (H1,Q1,η1) συνδέεται µε το

αντίστοιχό του (Η,Q,η) στις n στροφές µέσω των σχέσων:

1

1

11 n

nQQ

n

n

Q

Q⋅=→=

2

1

1

2

11

⋅=→

=

n

nHH

n

n

H

H

η=η1

Αρα η σχέση Η=a · Q2+b γράφεται ως εξής εισάγοντας τις αντίστοιχες τιµές των Η

και Q:

2

1

2

11

+⋅=

nn

bQaH

Κατά συνέπεια θα είναι : a1=a και b1=b · (n1/n)2

Eπίσης η σχέση η=c · Q2+d γράφεται ως εξής εισάγοντας τις αντίστοιχες τιµές των

η και Q:

1

2

11

2

1

2

11 dQcdn

nQc +=+

==ηη

από την οποία προκύπτει: c1=c · (n/n1)2 και d1=d.

71

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.11 (Από την εξέταση της 11.09.2001)

Το δίκτυο πυρόσβεσης ενός κτιρίου περιλαµβάνει δεξαµενή νερού, αντλητικό

συγκρότηµα και δίκτυο σωληνώσεων που τροφοδοτούν δύο πυροσβεστικές

φωλεές, µία σε κάθε όροφο. Βασική απαίτηση για την έγκριση της εγκατάστασης

από την Πυροσβεστική Υπηρεσία είναι το ότι η ελάχιστη στατική πίεση στην αρχή

του εύκαµπτου αγωγού πυρόσβεσης (δηλ. στη θέση της πυροσβεστικής φωλεάς η

οποία στο σχήµα συµβολίζεται µε την ένδειξη Ρ του µανοµέτρου) θα είναι ίση

προς 5 bar, σε όλες τις περιπώσεις λειτουργίας της. Η στατική πίεση υπολογίζεται

στη συνέχεια θεωρώντας αµελητέο τον όρο της κινητικής ενέργειας.

Ζητείται: α) Όταν λειτουργεί η µία από τις 2 πυροσβεστικές φωλεές, να

υπολογισθεί η παροχή και να ελεγχθεί η ικανοποίηση του κριτηρίου της ελάχιστης

πίεσης στη θέση κάθε πυροσβεστικής φωλεάς.

β) Όταν λειτουργούν ταυτόχρονα και οι 2 πυροσβεστικές φωλεές να υπολογισθεί

η παροχή προς κάθε µία και να ελεγχθεί η ικανοποίηση του κριτηρίου της

ελάχιστης πίεσης σε κάθε µία. Ακόµη να υπολογισθεί η ισχύς την οποία απορροφά

η αντλία.

γ) Ζητείται η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας για την οποία η πίεση στην άνω

πυροσβεστική φωλεά γίνεται ίση προς την ελάχιστη απαιτούµενη, όταν

λειτουργούν και οι δύο πυροσβεστικές φωλεές.

δ) Να καθορισθεί η µέγιστη επιτρεπόµενη στάθµη της αντλίας ώστε στην

δυσµενέστερη περίπτωση λειτουργίας από αυτές που εξετάσθηκαν στα

προηγούµενα ερωτήµατα η λειτουργία της να είναι ασφαλής από πλευράς

σπηλαίωσης (να γίνει χρήση στατιστικών δεδοµένων). Σχολιάσατε το αποτέλεσµα

λαµβάνοντας υπόψη τη χρήση της αντλητικής εγκατάστασης σε συνδυασµό µε την

απαιτούµενη αξιοπιστία της διαδικασίας εκκίνησης.

ε) Εξετάζεται η αντικατάσταση της αντλίας µε δύο ταυτόσηµες, παράλληλα

συνδεδεµένες µεταξύ τους, και γεωµετρικά όµοιες προς την αρχική έτσι ώστε όταν

λειτουργούν και οι δύο στο κανονικό σηµείο λειτουργίας τους να ικανοποιείται

οριακά το κριτήριο της ελάχιστης πίεσης και στις δύο πυροσβεστικές φωλεές. Να

υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής και λόγος της γεωµετρικής οµοιότητας προς

την αρχική αντλία.

∆ίνονται:

− Οι συντελεστές αντιστάσεως των κλάδων και του σωλήνα πυρόσβεσης για

δh=ζ · Q2 µε δh σε mΣΥ και Q σε m3/h: ζe=4,0 · 10-3 , ζa=8,0 · 10-3 , ζK=8,0 ·

10-3

και ζΦ=8 · 10-2

όπου µε ζΦ παριστάνεται ο συντελεστής απωλειών του

εύκαµπτου σωλήνα πυρόσβεσης (από το σηµείο σύνδεσης µε την

πυροσβεστική φωλεά µέχρι και την έξοδο του ακροφυσίου)

− Θερµοκρασία του νερού θ=25 οC

− Aτµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10 mΣΥ

− Επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2

− Xαρακτηριστικές καµπύλες της αντλίας (αντλία µονοβάθµια) στις n=1450

RPM όπου και λειτουργεί

72

Q (m3/h) 0 30 50 60 70

H (mΣΥ) 96 81 60 37,5 0

Η (-) 0 0,60 0,75 0,60 0

δh=ζ · Q2

µε

δh σε mΣΥ

και

Q σε m3/h

ζe=4,0 · 10-3

ζa=8,0 · 10-3

ζK=8,0 · 10-3

ζΦ=8,0 · 10-2

zΦ2

=59 m

zΦ1

=53 m

Πυροσβεστική φωλεά

ζΦ

Εύκαµπτος σωλήνας

ζΦ

Μανόµετρο

Πυροσβεστική φωλεά

ζK

ζa

ζe

z1=50 m

zA

K

M

Λύση α) Το σηµείο λειτουργίας προκύπτει ως σηµείο τοµής της

χαρακτηριστικής της σωλήνωσης µε την χαρακτηριστική της αντλίας. Οταν

λειτουργεί µόνο η κάτω ΠΦ η χαρακτηριστική της σωλήνωσης εκφράζεται ως:

ΗΣ1=h1+(ζe+ζa+ζΦ) · Q2=3+9,2 · 10

-2 · Q

2

Η τοµή της οποίας µε την χαρακτηριστική της σωλήνωσης δίνει το ακόλoυθο

σηµείο λειτουργίας: Q=29 m3/h , H=80,37 mΣΥ.

Η στατική πίεση ΗΚ (εκφρασµένη σε mΣΥ) στο σηµείο της ΠΦ προκύπτει από την

εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli µεταξύ της δεξαµενής αναρρόφησης και του

κόµβου Κ, θεωρώντας αµελητεο (σύµφωνα µε την εκφώνηση) τον όρο της

κινητικής ενέργειας:

z1+H-(ζe+ζa)·Q2=HoK=HK+zK

Aπό την εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli προκύπτει:

50+80,37-1,2 · 10-2 · 292=ΗΚ+53 → ΗΚ=67,15 mΣΥ >50 mΣΥ ≈ 5 bar

Άρα ικανοποιείται το κριτήριο της ελάχιστης πίεσης.

Όταν λειτουργεί µόνο η άνω ΠΦ η χαρακτηριστική της σωλήνωσης εκφράζεται

ως:

ΗΣ2=h2+(ζe+ζa+ζΚ+ζΦ) · Q2=9+0,1 · Q

2

Η τοµή της ΗΣ2 µε την χαρακτηριστική της σωλήνωσης δίνει το ακόλoυθο σηµείο

λειτουργίας: Q=27 m3/h , H=81,90 mΣΥ.

73

Η στατική πίεση ΗΜ (εκφρασµένη σε mΣΥ) στο σηµείο της ΠΦ προκύπτει από την

εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli µεταξύ της δεξαµενής αναρρόφησης και του

κόµβου Μ:

z1+H-(ζe+ζa+ζΚ) · Q2=HoK=HΜ+zΜ

Aπό την εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli προκύπτει:

50+81,90-0,02 · 272=ΗM+59 → ΗM=58,20 mΣΥ >50 mΣΥ ≈ 5 bar

Άρα ικανοποιείται το κριτήριο της ελάχιστης πίεσης.

0 10 20 30 40 50 60 70Q (m3/h)

0

20

40

60

80

η

(%)

0 10 20 30 40 50 60 70Q (m3/h)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100H

(m

ΣΥ

)

(H, Q)

(1) H'oK=H-(ζe+ζa).Q2

HΣ1=3+0,092.Q2

(2) H'oK=3+ζΦ.Q1

2

(2)+(3)

HΣ2=9+0,1.Q2

(3) H'oK=9+(ζΚ+ζΦ).Q22

H=κ.Q2

Q2

Q1

β) Όταν λειτουργούν ταυτόχρονα και οι 2 ΠΦ, για να προσδιορισθεί το σηµείο

λειτουργίας της εγκατάστασης διατυπώνεται η ολική πίεση στον κόµβο K κατά

τους τρεις κλάδους που συµβάλλουν σε αυτόν, εφαρµόζοντας την εξίσωση

Bernoulli. Προκύπτουν λοιπόν οι εξισώσεις:

74

(1) ΗοΚ=z1+H-(ζe+ζa) · Q2=H-12 · 10-4 · Q2

(2) HoK=zΦ1+ζΦ · Q12=3+8 · 10

-2 · Q1

2

(3) ΗοΚ= zΦ2+(ζΚ+ζΦ) · Q22=9+8,8 · 10-2 · Q2

2

συµβολίζοντας µε Q1 και Q2 την παροχή προς την άνω και κάτω πυροσβεστική

φωλεά αντίστοιχα και µε Η το ολικό ύψος της αντλίας. Στους όρους (ζΦ · Q2)

συµπεριλαµβάνεται και η κινητική ενέργεια της δέσµης στην έξοδο του

ακροφυσίου. Οι εξισώσεις (1), (2) και (3) µπορούν να χαραχθούν στο διάγραµµα

(Η,Q), συναρτήσει της αντίστοιχης παροχής.

Από την αρχή της συνέχειας προκύπτει η εξίσωση:

(4) Q=Q1+Q2

Για την ικανοποίηση των εξισώσεων (1), (2), (3) και (4) προστίθενται κατά

παροχή οι καµπύλες (2) και (3) κατά παροχή. Η τοµή της καµπύλης του

αθροίσµατος των καµπυλών (2) και (3) µε την καµπύλη (1) δίνει το σηµείο τοµής

της εγκατάστασης καθόσον ικανοποιεί και τις 4 εξισώσεις. Προκύπτει λοιπόν το

ακόλουθο σηµείο λειτουργίας:

Q=49 m3/h, H=61,0 mΣΥ, η≈ 0,745 → Ν=10,926 ΚW

και Q1=26 m3/h, Q2=23 m

3/h.

O έλεγχος της στατικής πίεσης στο σηµείο της κάθε πυροσβεστικής φωλεάς

γίνεται όπως και στο προηγούµενο ερώτηµα ή εφαρµόζεται η εξίσωση Bernoulli

από το σηµείο της πυροσβεστικής φωλεάς (κόµβοι Κ και Μ) µέχρι το άκρο του

ακροφυσίου, δηλ.:

(5) Ηοκ=Ηκ+zK=zK+ζΦ · Q12 → Ηκ= ζΦ · Q1

2 =0,08 · 26

2=54,08 mΣΥ > 5 bar

και

(6) ΗοΜ =ΗΜ+zΜ=zΜ +ζΦ · Q22 →ΗΜ= ζΦ · Q2

2 =0,08 · 232=42,32 mΣΥ < 5 bar

Άρα το κριτήριο της στατικής πίεσης δεν ικανοποιείται πλέον σε καµµία

πυροσβεστική φωλεά.

γ) Εάν ικανοποιείται οριακά το κριτήριο της ελάχιστης στατικής πίεσης στην άνω

πυροσβεστική φωλεά (2), θα ικανοποιείται πολύ περισσότερο στην κάτων

πυροσβεστική φωλεά. Θέτοντας στην εξίσωση (6) την στατική πίεση ΗΜ ίση προς

50 mΣΥ προκύπτει η τιµή της αντίστοιχης παροχής:

ΗΜ=50=ζΦ · Q22 → Q2

2 =HM/ζΦ → Q2= 2508,0/50 = m

3/h

Οι εξισώσεις (1), (2), (3) και (4) εξακολουθούν και ισχύουν. Κατά συνέπεια η

ολική πίεση στον κόµβο Κ από την εξίσωση (3) προκύπτει είναι ίση προς (ως

στάθµη αναφοράς θεωρείται η στάθµη της δεξαµενής αναρρόφησης z=50 m):

HoΚ=zΦ2+(ζΚ+ζΦ) · Q22=9+0,088 · 252=64 mΣΥ

οπότε από την εξίσωση (2) προκύπτει η τιµή της παροχής Q1 προς την κάτω

πυροσβεστική φωλεά:

HoK=zΦ1+ζΦ · Q12 → 64=3+0,08 · Q1

2 → Q1= 63,2708,0/61 = m3/h

75

Άρα η συνολική παροχή της αντλίας θα είναι ίση προς

Q=Q1+Q2=25+27,63=52,63 m3/h

H τιµή αυτή εισάγεται στην εξίσωση (1), οπότε µε HoΚ=64 mΣΥ προκύπτει η

αντίστοιχη τιµή του ολικού ύψους Η της αντλίας:

ΗοΚ=z1+H-(ζe+ζa) · Q2 → 64=0+Η-0,012· 52,632 → Η=97,24 mΣΥ

Το σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας:

Q’=52,63 m3/h και Η’=97,24 mΣΥ

θα είναι σηµείο της χαρακτηριστικής της για µία τιµή της ταχύτητας περιστροφής

n’ η οποία προκύπτει εφαρµόζοντας τις σχέσεις αλλαγής στροφών µεταξύ

αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας. Για τον σκοπό αυτό χαράσσεται η παραβολή

της µορφής: Η=κ · Q2 που διέρχεται από το σηµείο: Q’=52,63 m

3/h και Η’=97,24

mΣΥ. Το σηµείο τοµής της παραβολής µε την δεδοµένη χαρακτηριστική (Η,Q) της

αντλίας στις n=1450 RPM είναι το σηµείο:

Q=43,7 m3/h και Η=68,6 mΣΥ

Eφαρµόζοντας τις σχέσεις αλλαγής στροφών µεταξύ των αντίστοιχων σηµείων

λειτουργίας προκύπτει η ζητούµενη τιµή n’ της ταχύτητας περιστροφής:

3,17467,43

63,521450

''

''===→=

Q

Qnn

n

n

Q

Q RPM

δ) ∆υσµενέστερη λειτουργία της αντλίας από πλευράς σπηλαίωσης είναι αυτή του

ερωτήµατος γ καθόσον η παροχή της αντλίας παίρνει την µέγιστη τιµή. Η τιµή του

ειδικού αριθµού στροφών της αντλίας είναι ίση προς:

6,47560

501450

75,0

5,0

4/3

2/1

===ΚΣ

ΚΣ

H

Qnnq

για την οποία από το διάγραµµα του σχ. 4.4 προκύπτει η ακόλουθη τιµή της

παραµέτρου σπηλαίωσης σκ=0,03. Αρα η τιµή του κρίσιµου ύψους σπηλαίωσης

στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της αντλίας στις n=1450 RPM θα είναι ίσο προς:

ΗκρΚ=σκ · ΗΚ=0,03 · 60=1,8 mΣΥ.

Η τιµή του κρίσιµου ύψους σπηλαίωσης στο αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας στις

n=1450 RPM θα είναι ίσο προς:

Hκρ=ΗκρΚ · (Q/QK)2=1,8 · (43,7/50)

2=1,375 mΣΥ

Η τιµή του κρίσιµου ύψους σπηλαίωσης στο σηµείο λειτουργίας στις n’=1746,3

RPM θα είναι ίση προς, θεωρώντας ότι µεταξύ των αντίστοιχων σηµείων

λειτουργίας µεταβάλλονται µε το τετράγωνο των στροφών:

Hκρ’=Ηκρ · (n’/n)2=1,375 · (1746,3/1450)

2=1,994 mΣΥ

Για να είναι ασφαλής η λειτουργία ως προς την σπηλαίωση θα πρέπει να

ικανοποιείται η συνθήκη:

ΗΘ≥Ηκρ’ → ΗΒ-he-ζe· Q’2-HS ≥Ηκρ’

όπου ΗS=0,3353 mΣΥ για θ=25 οC. Θα είναι λοιπόν:

10-he-0,004·52,632-0,3353 ≥ 1,994 → he =(zA-z1) ≤ -3,409 m →

zA ≤ 50-3,409=46,59 m

76

Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, η αντλία για να λειτουργεί χωρίς σπηλαίωση πρέπει

να τοποθετηθεί σε στάθµη χαµηλότερη από την στάθµη της δεξαµενής

αναρρόφησης. Η διάταξη όµως αυτή αυξάνει την αξιοπιστία και την ευκολία της

εκκίνησης της αντλητικής εγκατάστασης, παράγων σηµαντικός προκειµένου για

πυροσβεστική εγκατάσταση.

ε) Οι παροχές προς κάθε πυροσβεστική φωλεά, η η συνολική παροχή και το ολικό

ύψος της αντλίας, όταν ικανοποιείται οριακά το κριτήριο της ελάχιστης τιµής της

πίεσης στις πυροσβεστικές φωλεές, υπολογίσθηκαν ήδη στο ερώτηµα γ.

∆εδοµένου ότι την λειτουργία εξασφαλίζουν δύο παράλληλα συνδεδεµένες

αντλίες, το κανονικό σηµείο λειτουργίας της κάθε µίας θα είναι το ακόλουθο:

Q1=Q’/2=52,62/2=26,315 m3/h και Η1=Η’=97,24 mΣΥ

Το σηµείο αυτό λειτουργίας θα είναι αντίστοιχο του κανονικού σηµείου

λειτουργίας της αντλίας στιςn=1450 RPM. Μεταξύ των αντίστοιχων αυτών

σηµείων λειτουργίας εφαρµόζονται οι νόµοι οµοιότητας από τους οποίους

προκύπτει:

µλ ⋅=

=== 31

3

11 5263,050

315,26

n

n

D

D

Q

Q

K

22

2

1

2

11 621,160

24,97µλ ⋅=

===

n

n

D

D

H

H

K

συµβολίζοντας µε λ τον λόγο της γεωµετρικής οµοιότητας και µε µ τον λόγο των

στροφών. Από την επίλυση του συστήµατος των 2 εξισώσεων ως προς λ και µ

προκύπτει: λ=0,6429 και µ=1,9806 → n1=1,9806 · 1450=2.871,9 RPM.

ΑΣΚΗΣΗ 1.2.12 (Από την εξέταση της 5.9.1989)

Η υδραυλική εγκατάσταση του σχήµατος περιλαµβάνει δεξαµενή λαδιού

πυκνότητας ρ=914 Kg/m3, φυγόκεντρη αντλία και υδραυλικό έµβολο µέσω του

οποίου ανυψώνεται κατακόρυφα φορτίο υπό σταθερή ταχύτητα. Η διάµετρος του

εµβόλου είναι ίση προς D=20 cm, ενώ το βάρος, το πάχος, οι ογκοµετρικές και

απώλειες τριβών του εµβόλου θεωρούνται αµελητέες, όπως επίσης και η

διάµετρος του ωστηρίου του. Οι χαρακτηριστικές καµπύλες λειτουργίας (H,Q,η)

της αντλίας στις n=3000 RPM όπου και λειτουργεί είναι δεδοµένες καθώς και οι

αντιστάσεις των διαφόρων κλάδων. Η βάννα Β για τα ερωτήµατα α, β και γ

θεωρείται πλήρως κλειστή.

Χαρακτηριστικές καµπύλες (Η,Q,η) της αντλίας στις n=3000RPM

Q (m3/h) 0 5 10 15 20 25 30 32

H (mΣΥ) 30 28 25,4 22 18 13,1 6 0

Η (-) 0 0,34 0,52 0,60 0,575 0,46 0,27 0

77

δh=ζ · Q2 µε

δh σε mΣΥ και

Q σε m3/h

ζ1=4,8 · 10-4

ζ2=8,0 · 10-4

P

ζ3

ζ1

ζ1

ζ1

ζ2

Β

D

z1

Ζητούνται: α) Όταν το ανυψούµενο φορτίο είναι: Ρ=360 Kp να υπολογισθεί η

ταχύτητα ανύψωσης και η ισχύς την οποία απορροφά η αντλία. Επίσης να

υπολογισθεί η ισχύς σε KW η οποία πρέπει να απάγεται απ΄το υγρό ώστε η

θερµοκρασία του να διατηρείται σταθερή (οι απώλειες ακτινοβολίας προς το

περιβάλλον είναι αµελητέες)

β) Να υπολογισθούν η ένδειξη του µανοµέτρου όταν το έµβολο τερµατίσει, η

ταχύτητα περιστροφής της αντλίας για την οποία µόλις αρχίζει να ανυψώνει το

φορτίο των Ρ=360 Kp καθώς και το µέγιστο φορτίο που είναι δυνατόν να

ανυψωθεί στις n=3000 RPM.

γ) Να πολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής της αντλίας για την οποία η ταχύτητα

ανύψωσης του φορτίου των Ρ=360 Kp γίνεται ίση προς 0,30 m/sec καθώς και η

ισχύς την οποία απορροφά η αντλία.

δ) Για λειτουργία της αντλίας στις n=3000 RPM και µε σκοπό την µείωση της

ταχύτητα ανύψωσης του φορτίου των Ρ=360 Kp ρυθµίζεται η αντίσταση του

κλάδου by-pass µέσω της βάννας Β. Να υπολογισθεί η συνολική αντίσταση ζ3 του

κλάδου για την οποία η ταχύτητα ανύψωσης του φορτίου γίνεται ίση προς 0,1

m/sec καθώς και το αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας της αντλίας.

Λύση α) Η ταχύτητα ανύψωσης του εµβόλου είναι ίση προς c=Q/F, όπου F η

διατοµή του εµβόλου: F=π · D2/4=3,14 · 0,22/4=3,14 · 10-2 m2. Για σταθερή την

ταχύτητα ανύψωσης c το φορτίο Ρ θα είναι ίσο προς την δύναµη λόγω διαφοράς

πίεσης στι δύο πλευρές του εµβόλου. Συµβολίζοντας µε Η1 και Η2 την στατική

πίεση (σε m στήλης του υγρού) στις δύο πλευρές του εµβόλου, ως προς την

ατµοσφαιρική πίεση, θα είναι:

Ρ=(Η1-Η2) · ρ · g · F

Για Ρ=360 Κp=9,81 · 360=3.531,6 Nt προκύπτει:

Η1-Η2=12,5374 mΣΥγρού

Από την εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli ανάντι και κατάντι του εµβόλου,

προκύπτουν οι εξισωσεις:

Η1=Η-(ζ1+ζ1+ζ1) · Q2= Η-3ζ1·Q

2

H2=ζ2 · Q2

78

0 5 10 15 20 25 30 35Q (m3/h)

0

20

40

60

η

(%)

0 5 10 15 20 25 30 35Q (m3/h)

0

10

20

30

H

(mΣΥ

)

(H, Q)

H=12,7+9,6.10-4.Q2

HΣ=12,537+22,4.10-4.Q2

H=κ.Q2

Από τις οποίες, µε αφαίρεση κατά µέλη προκύπτει:

Η=(Η1-Η2)+(3 · ζ1+ζ2) · Q2=12,5374+22,4 · 10

-4 · Q

2

και η οποία χαρακτηρίζεται ως η χαρακτηριστική της σωλήνωσης της

εγκατάστασης. Η τοµή της παραβολής αυτής µε την χαρακτηριστική της

σωλήνωσης δίνει το ζητούµενο σηµείο λειτουργίας:

Q=24,5 m3/h , H=13,85 mΣΥγρού και η=0,475

Από το σηµείο λειτουργίας υπολογίζεται η απορροφούµενη ισχύς από την αντλία:

Ν==γ H Q/η= 914 · 13,85 · 24,5/ (102 · 3600 · 0,475)= 1,778 KW

Η ισχύς δΝ που πρέπει να απάγεται υπό µορφή θερµότητας είναι το άθροισµα της

ισχύος των απωλειών της αντλίας Να και της ισχύος των υδραυλικών απωλειών Νσ

79

στις σωληνώσεις. Θα είναι:

Να=Ν-Νi=N-γ · Η · Q =N · (1-η)=1,778 · (1-0,475)=0,9335 KW

Nσ=γ · δhf · Q=γ · [(3 · ζ1+ζ2) · Q2] · Q=0,082 KW

Άρα: δΝ=Να+ Νσ=0,9335+0,082=1,015 ΚW

β) Όταν το έµβολο τερµατίσει τότε: c=0 → Q=0, οπότε στις n=3000 RPM το

ολικό ύψος της αντλίας γίνεται ίσο προς: Η=30 mΣΥγρού=(Η1-Η2). Η αντίστοιχη

ένδειξη του µανοµέτρου θα είναι ίση προς: ΗΜ=Η+δzM, όπου µε δzM συµβολίζεται

η διαφορά της στάθµης του υγρού στην δεξαµενή από την στάθµη του σηµείου

σύνδεσης του µανόµετρου.

Όταν το έµβολο µόλις αρχίζει να ανυψώνει το φορτίο των P=360 Kp, το σηµείο

λειτουργίας της αντλίας στις ζητούµενες n’ στροφές θα είναι το:

Q’=0, H’=H1-H2=12,5374 mΣΥγρού

Το σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας θα είναι αντίστοιχο του σηµείου:

Q=0, H=30 mΣΥγρού στις n=3000 RPM

Εφαρµόζοντας τις σχέσεις αλλαγής στροφών µεταξύ αντίστοιχων σηµείων

λειτουργίας προκύπτει:

4,1939'30

5374,12

3000

'''22

=→=

→=

n

n

H

H

n

n RPM

To φορτίο που µπορεί να ανυψωθεί γίνεται µέγιστο και ίσο προς Pmax όταν η

διαφορά πίεσης (Η1-Η2) γίνει µέγιστη, γεγονός που συµβαίνει όταν το ολικό ύψος

Η της αντλίας γίνει µέγιστο, δηλ. όταν Q=0 → c=0.

Στις n=3000 RPM και για Q=0 θα είναι:

Η=(Η1-Η2)=30 mΣΥγρού → p1-p2=ρ · γ · (Η1-Η2)=Pmax/F →

914 · 9,81 · 30 Νt/m2=Pmax/(3,14 · 10-2) →

Pmax=8,4506 · 103 Nt=861,42 Kp

γ) Όταν η ταχύτητα ανύψωσης είναι ίση προς c’=0,3 m/sec η αντίστοιχη παροχή

της αντλίας θα είναι ίση προς:

Q’=c’ · F=0,3 · 3,14 · 10-2

m3/sec=33,929 m

3/h

Aπό την χαρακτηριστική της σωλήνωσης το ολικό ύψος της αντλίας που

αντιστοιχεί προκύπτει ίσο προς:

Η’=(Η1-Η2)+(3 · ζ1+ζ2) · Q’2=12,5374+22,4 · 10-4 · Q’2=15,116 mΣΥγρού

Το σηµείο αυτό λειτουργίας της αντλίας:

Q’=33,929 m3/h, H’=15,116 mΣΥγρού

είναι σηµείο λειτουργίας της αντλίας στις n’ RPM. Για να εφαρµοσθούν οι σχέσεις

αλλαγής στροφών θα πρέπει να προσδιορισθεί το αντίστοιχο σηµείο λειτουργίας

στις n=3000 RPM, το οποίο θα είναι το σηµείο τοµής της δεδοµένης

χαρακτηριστικής της αντλίας των n=3000 RPM µε την παραβολή της µορφής:

80

Η=κ · Q2 ΄που διέρχεται από το σηµείο: Q’=33,929 m3/h, H’=15,116 mΣΥγρού.

Θα είναι άρα: κ=15,116/33,9292. Η τοµή της παραβολής µε την χαρακτηριστική

της αντλίας δίνει το σηµείο:

Q=27,50 m3/h, H=10 mΣΥ, η=0,375.

Από τις σχέσεις αλλαγής στροφών µεταξύ των αντίστοιχων σηµείων λειτουργίας

προκύπτει:

34,3701'3000

'

50,27

929,33''=→=→= n

n

n

n

Q

QRPM

Μεταξύ των αντίστοιχων αυτών σηµείων λειτουργίας θα είναι: η’=η=0,375. Η

ισχύς την οποία απορροφά η αντλία θα είναι ίση προς:

Ν’=γ H’ Q’/η’= 914 · 33,929 · 15,116/ (102 · 3600 · 0,375)= 3,404 KW

δ) Για c=0,1 m/sec η παροχή προς το έµβολο θα είναι ίση προς:

Qc=c · F=0,1 · 3,1159 · 10-2

· 3600 =11,31 m3/h

Εφόσον το φορτίο Ρ έµεινε αµετάβλητο, όπως στο ερώτηµα α, η διαφορά πίεσης

(Η1-Η2) θα έχει την ίδια τιµή, δηλ. Η1-Η2=12,5374 mΣΥγρού. Συµβολίζοντας µε Q

την παροχή που διακινείται από την αντλία, από την αρχή της συνέχειας θα ισχύει:

Q=Qc+Qb

Όπου η παροχή του κλάδου by-pass. ∆ιατυπώνοντας την γενικευµένη εξίσωση

Bernoulli στον κλάδο που περιλαµβάνει την αντλία και το έµβολο προκύπτει η

ακόλουθη εξίσωση στην οποία µε Q και Η συµβολίζεται η παροχή και το ολικό

ύψος της αντλίας:

Η=(Η1-Η2)+(ζ1+ζ1) · Q2+(ζ1+ζ2) · Qc

2 =

=12,5374+(4,8+8) · 11,312+2 · 4,8 · 10

-4 · Q

2=12,7+9,6 · 10

-4 · Q

2

H τελευταία αυτή καµπύλη χαράσσεται στο διάγραµµα (Η,Q) οπότε το ζητούµενο

σηµείο λειτουργίας της αντλίας θα είναι το σηµείο τοµής µε την χαρακτηριστική

της αντλίας στην ταχύτητα περιστροφής n=3000 RPM όπου και λειτουργεί.

Προκύπτει λοιπόν: Q=24,7 m3/h και Η=13,5 mΣΥγρού.

Από την εξίσωση που εκφράζει την αρχή της συνέχειας προκύπτει ότι η παροχή

προς τον κλάδο by-pass είναι ίση προς:

Qb=Q-Qc=24,7-11,31=13,39 m3/h

∆ιατυπώνοντας στην συνέχεια την γενικευµένη εξίσωση Bernoulli στον κλάδο

που περιλαµβάνει την αντλία και τον κλάδο by-pass προκύπτει η ακόλουθη

εξίσωση στην οποία µε Q και Η συµβολίζεται η παροχή και το ολικό ύψος της

αντλίας: και µε ζ3 η ζητούµενη τιµή του συντελεστού αντιστάσεως του κλάδου by-

pass και η οποία αποτελεί τον µοναδικό άγνωστο :

Η=(ζ1+ζ1) · Q2+ζ3 · Qb

2 → 13,5=2 · 4,8 · 10-4 ·24,72+ζ3 · 13,392

Στην προηγούµενη εξίσωση ζ3 η ζητούµενη τιµή ζ3 του συντελεστού αντιστάσεως

του κλάδου by-pass αποτελεί τον µοναδικό άγνωστο οπότε προκύπτει:

ζ3=7,203·10-2 (δh=ζ · Q2 µε δh σε mΣΥ και Q σε m3/h)

81

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ Υ∆ΡΟΣΤΡΟΒΙΛΟΥΣ

2.1 Αλυτες ασκήσεις (εκφωνήσεις)

AΣΚΗΣΗ 2.1.1 (Από την εξέταση της 13.1.1984)

Μελετάται η επιλογή υδροστροβίλου στην υδοηλεκτρική εγκατάσταση του

σχήµατος. Εκτιµάται οτι ο επιλεγείς υδροστρόβιλος έχει τις παρακάτω

χαρακτηριστικές καµπύλες (Η,Q,η) για το 85% του ανοίγµατος των ρυθµιστικών

πτερυγίων όπου παρουσιάζει και το κανονικό σηµείο λειτουργίας:

Q (m3/s) 0 10 15 20

H (mΣΥ) 40 50 100 160

η (%) 47 800 92 81

z1

δhf=5 mΣΥ για

Q=10 m3/sec

z2=140+2(Q/10)1/2

για Q σε m3/sec

z2

Ζητούνται: α) Να ευρεθεί η στάθµη του νερού στον πάνω ταµιευτήρα αν ο

στρόβιλος, µε άνοιγµα 85% των ρυθµιστικών πτερυγίων, αποδίδει ισχύ 17 MW.

β) Να ευρεθεί η ταχύτητα περιστροφής, το βάθος τοποθέτησης και οι κύριες

διαστάσεις ττου δροµέα του.

γ) Για να µειωθεί το βάθος τοποθέτησης του στροβίλου εξετάζεται η επιλογή

υδροστροβίλου του αµέσως µικρότερου σύγχρονου ειδικού αριθµού στροφών από

αυτόν που υπολογίσατε στο β ερώτηµα και ο οποίος να αποδίδει την ίδια κανονική

ισχύ στην ίδια διαθέσιµη υδραυλική πτώση µε τον αρχικό υδροστρόβιλο. Θα

µεταβληθεί η διάµετρος του δροµέα του υδροστροβίλου και εάν ναι να

υπολογίσετε την νέα τιµή του.

ΑΣΚΗΣΗ 2.1.2 (Από την εξέταση της 6.9.1984)

Μελετάται η κατασκευή υδροστροβίλου µε κανονικό σηµείο λειτουργίας:

Q=15 m3/sec, H=150 mΣΥ

Από αντίστοιχες κατασκευές εκτιµάται ότι ο µέγιστος βαθµός απόδοσης του

υδροστροβίλου θα είναι της τάξεως του 92%. Για την µελέτη του στροβίλου

κατασκευάζεται µοντέλο µε γεωµετρικό λόγο οµοιότητας 1/4, και το οποίο θα

82

δοκιµασθεί στο δοκιµαστήριο του σχήµατος: το νερό αναρροφάται από δεξαµενή

µέσω της αντλίας Α και η οποία το καταθλίβει στο µοντέλο του υδροστροβίλου

από όπου επιστρέφει στην δεξαµενή.

δhf=ζ Q2

∆εξαµενή

ΑντλίαΑ

Σ

Μοντέλο υδροστροβίλου

Ηλεκτρική πέδη

Ζητούνται: α) Να καθορίσετε τον τύπο του υδροστροβίλου, την ταχύτητα

περιστροφής και την διάµετρο τoυ δροµέα του.

β) Προκειµένου να µετρηθεί στο δοκιµαστήριο η τιµή του βαθµού απόδοσης του

µοντέλου στο κανονικό σηµείο λειτουργίας του να ευρεθεί το σηµείο λειτουργίας

της τροφοδοτικής αντλίας Α (παροχή και ολικό ύψος) εάν η ταχύτητα περιστροφής

του µοντέλου είναι 1500 RPM και οι υδραυλικές απώλειες των σωληνώσεων του

δοκιµαστηρίου εκφράζονται ως: δh=ζ · Q2 στην οποία είναι ζ=30 για Q σε m

3/sec

και δh σε mΣΥ.

γ) Εάν η παραγόµενη ισχύς από το µοντέλο στο κανονικό σηµείο λειτουργίας του

είναι ίση προς Ν=526,3 KW να υπολογισθεί ο βαθµός απόδοσης του µοντέλου

καθώς και ο αντίστοιχος του υδροστροβίλου κάνοντας χρήση των αναγωγικών

σχέσεων των Moody και Αckeret.

ΑΣΚΗΣΗ 2.1.3 (Aπό την εξέταση της 13.9.1988)

Στην υδροηλεκτρική εγκατάσταση του σχήµατος ο υδροστρόβιλος είναι τύπου

Francis µε σταθερά ρυθµιστικά πτερύγια (δεν έχουν την δυνατότητα

περιστροφής).

z1=510 m

δhf=5 mΣΥ για

Q=6 m3/sec

z2=200 m

B

83

Η χαρακτηριστική καµπύλη λειτουργίας του υδροστροβίλου για σταθερή ταχύτητα

περιστροφής, όπου και λειτουργεί είναι η ακόλουθη:

Q (m3/s) 4 5 6 7 8 9

H (mΣΥ) 265 272 280 290 305 325

η (%) 71,0 82,5 88,0 90,0 87,0 77,5

Ζητούνται: α) Η ταχύτητα περιστροφής του, η εξωτερική διάµετρος του δροµέα

του, η στάθµη τοποθέτησης του στροβίλου και το σηµείο λειτουργίας του για

z1=510 m (ανάντι βάννα πλήρως ανοικτή)

β) Πόσες πρέπει να είναι οι απώλειες της βάννας ώστε για z1=510 m ο στρόβιλος

να λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας του. Οι υδραυλικές απώλειες της

βάννας σε πόσα KW καταστρεφόµενης ισχύος αντιστοιχούν;

γ) Προκειµένου να γίνει εργαστηριακή δοκιµή του στροβίλου κατασκευάζεται

µοντέλο διαµέτρου D2e'=0,45 m. Οι δοκιµές θα γίνουν υπό σταθερό διαθέσιµο

ύψος Η'=15 mΣΥ. Ποιά πρέπει να είναι η περιοχή µεταβολής της ταχύτητας

περιστροφής του µοντέλου και της παροχής του ώστε να µετρηθεί εργαστηριακά

ολόκληρη η δεδοµένη χαρακτηριστική του εξεταζόµενου υδροστροβίλου.

∆ίνονται: ατµοσφαιρική πίεση ΗB=10 mΣΥ, θερµοκρασία του νερού θ=10 oC.

AΣΚΗΣΗ 2.1.4 (Από την εξέταση της 12.6.1990)

Σε αναστρέψιµο υδροηλεκτρικό σταθµό για την παραγωγή ενέργειας αιχµής

χρησιµοποιείται υδροστρόβιλος αντιδράσεως ενώ για την φάση της αποθήκευσης

της ενέργειας λειτουργεί φυγόκεντρη αντλία 4 βαθµίδων. Και για τις δύο φάσεις

λειτουργίας η κανονική παροχή, στην οποία και λειτουργούν, είναι κοινή και ίση

προς 12 m3/sec, ενώ για τα κανονικά σηµεία εκτιµούνται οι ακόλουθες τιµές των

βαθµών απόδοσης:

για την αντλία ηP=0,87 και

για τον στρόβιλο ηΤ=0,91.

∆ίνονται ακόµη: θερµοκρασία του νερού θ=20 οC, ατµοσφαιρική πίεση ΗΒ=10

mΣΥ και επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2.

z2=150 m

z1=550 m

Υδροστρόβιλοςαντιδράσεως-

4 βάθµια αντλία

Λειτουργία άντλησης

δhf=25 mΣΥ

για Q=10 m3/sec

84

Ζητούνται: α) Ο τύπος του υδροστροβίλου, η διάµετρος του δροµέα του και η

µέγιστη επιτρεπόµενη στάθµη τοποθέτηςής του.

β) Η διάµετρος D2 και το πλάτος b2 των πτερωτών της αντλίας για ταχύτητα

περιστροφής της αντλίας n=500 RPM εάν στο κανονικό σηµείο λειτουργίας της η

τιµή της παραµέτρου παροχής είναι ίση προς: Φ=cn2/u2=0,22 (να εκτιµήσετε την

τιµή των ακόλουθων βαθµών απόδοσης: της πτερύγωσης ηi, του ογκοµετρικού ηQ

και του µηχανικού ηm). Η γωνία κλίσεως β2 των πτερυγίων λαµβάνεται ίση προς:

β2=30o. Σχεδιάσατε υπό κλίµακα το ιδεατό και το πραγµατικό τρίγωνο εξόδου των

πτερωτών της αντλίας.

γ) Ποιά είναι η µέγιστη επιτρεπόµενη στάθµη τοποθετήσεως της αντλίας ώστε

αυτή να λειτουργεί µε ασφάλεια έναντι σπηλαίωσης. Εργασθείτε µε στατιστικά

στοιχεία. ∆ικαιολογήσατε την διαφορά στην στάθµη τοποθέτησης της αντλίας και

του στροβίλου.

AΣΚΗΣΗ 2.1.5 (Από την εξέταση της 1.10.1997)

Στην υδροδυναµική εγκατάσταση του σχήµατος, από την τοπογραφία της περιοχής

προσφέρονται δύο θέσεις για την εγκατάσταση υδροστροβίλου. Πρόκειται για τις

θέσεις (1) και (2) του σχήµατος. Ποιός τύπος υδροστροβίλου είναι κατάλληλος για

κάθε µία από τις δύο θέσεις και να εξετάσετε εάν είναι οι δύο αυτές θέσεις

ισοδύναµες από ενεργειακής πλευράς και γιατί; Ποιά η τιµή του ειδικού αριθµού

στροφών σε κάθε περίπτωση θεωρώντας αµελητέες τις υδραυλικές απώλειες του

αγωγού προσαγωγής.

zE=450 m

z=200 mΘέση (2)

Θέση (1)z=220 m

ΑΣΚΗΣΗ 2.1.6 (Από την εξέταση της 29.6.1999)

Η ακτινική στεφάνη ρυθµιστικών πτερυγίων του σχήµατος έχει ύψος b=100 mm

και σηµαντικό πλήθος πτερυγίων έτσι ώστε η µέση ροή στην έξοδο να έχει την

κλίση α02 της µέσης γραµµής των πτερυγίων στην ακµή εκφυγής. Εάν η ροή στην

διατοµή εισόδου είναι µόνιµη αξονοσυµµετρική και οµοιόµορφη κατά το ύψος b

µε κλίση α01=22ο και µέτρο της ταχύτητας c01=8,5 m/sec, τότε για α02=15

0 ζητείται:

85

α) Να χαραχθούν υπό κλίµακα τα τρίγωνα εισόδου και εξόδου από την στεφάνη

των ρυθµιστικών πτερυγίων καθώς και το τρίγωνο στην είσοδο στον δροµέα του

υδροστροβίλου, διαµέτρου D1=350 mm και ύψους b=100 mm, αφού

προηγουµένως υπολογίσετε αναλυτικά όλες τις συνιστώσες τους. Η ταχύτητα

περιστροφής του δροµέα του υδροστροβίλου είναι 1500 RPM.

β) Να υπολογισθεί το µέτρο και η φορά της ροπής που αναπτύσσεται στην

πτερύγωση ( η φορά να δοθεί σε σκαρίφηµα). Λαµβάνει χώρα ενεργειακή

µετατροπή στην πτερύγωση, ναι ή όχι και γιατί; (ρ=1000 Kg/m3, g=9,81 m/sec

2).

D01

=425 mm

D02

=400 mm

D1

(02)

(01)c

01α

01

α02

2.2 Λυµένα παραδείγµατα

AΣΚΗΣΗ 2.2.1

Yδροστρόβιλος τύπου Francis είναι τοποθετηµένος σε εγκατάσταση µε διαφορά

στάθµης 79 m και τροφοδοτείται µέσω αγωγού διαµέτρου 700 mm, µήκους 700 m,

σχετικής τραχύτητας 0,0001. Οι εντοπισµένες αντιστάσεις του αγωγού

προσαγωγής εκφράζονται από τον συντελεστή αντιστάσεως ζ=7, για δh σε

m3/sec και δh σε mΣΥ.

z1

z2

BL=700 m

D=700 mm

h=

79

m

86

Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του δροµέα ακτινικής ροής είναι:

διάµετροι : D1=3 · D2=1440 mm

πλάτη : b2=3 · b1=153 mm

γωνίες πτερυγίων : β1= 135 ο, β2=35 ο

τα πάχη των πτερυγίων θεωρούνται αµελητέα

Το στόµιο εξόδου του αγωγού εκφυγής είναι ελεύθερο στην ατµόσφαιρα, έχει

διάµετρο 700 mm και βρίσκεται στην ίδια στάθµη µε τον δροµέα. Όταν η

κανονική παροχή είναι Q=1,155 m3/sec και ο υδροστρόβιλος λειτουργεί στο

κανονικό σηµείο λειτουργίας του.

Ζητούνται: α) σε πρώτη προσέγγιση η γωνία κλίσεως των ρυθµιστικών πτερυγίων,

θεωρώντας τις απώλειες κρούσεως αµελητέες.

β) η τιµή της στατικής πίεσης στην είσοδο και έξοδο του δροµέα

γ) ο υδραυλικός βαθµός απόδοσης ηh και οι υδραυλικές απώλειες στον

υδροστρόβιλο.

Σηµείωση: οι υδραυλικές απώλειες στο σπειροειδές κέλυφος, τα ρυθµιστικά

πτερύγια και στον αγωγό εκφυγής θεωρούνται αµελητέες καθώς και οι

ογκοµετρικές απώλειες (ηQ=1,0).

∆ίνονται ακόµη: θερµοκρασία του νερού θ=10oC, ειδικό βάρος γ=1000 Kp/m

3,

επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2.

Λύση α) Η µέση ταχύτητα στον αγωγό προσαγωγής είναι:

c=Q/(πD2/4)=1,155/(π · 0,7

2/4)=3,03 m/sec

H αντίστοιχη τιµή του αριθµού Reynolds είναι:

Re=(cD)/ν=3,03 · 0,70/1,465 · 10-6

=1,45 · 105

Aπό το διάγραµµα Moody για εs=0,0001 και Re=1,45 · 105 προκύπτει: λ=0,017,

οπότε οι συνολικές υδραυλικές απώλειες στον αγωγό προσαγωγής είναι ίσες προς:

01,1181,92

03,37

70,0

700017,0

2

22

=⋅

⋅

+=⋅

+=g

c

D

lh f ζλδ mΣΥ

Άρα η διαθέσιµη υδραυλική πτώση είναι ίση προς:

Η=h-δhf=79-11,01≈68 mΣΥ

Επειδή ο υδροστρόβιλος λειτουργεί στο κανονικό σηµείο λειτουργίας του, το

τρίγωνο εξόδου θα είναι ορθογώνιο µε: β2=<(u2,w2) =35ο Εποµένως:

c2=cn2=3/153,044,114,3

0,1155,1

22 ⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅

bD

Q Q

π

η → c2=5,01 m/sec

Άρα: u2=70,0

01,5

2

2 =βtg

c=7,15 m/sec

87

Είναι τώρα δυνατός ο καθορισµός του τριγώνου εισόδου (θεωρώντας την ροή

καθαρά ακτινική):

cr1= 01,511

=⋅⋅

⋅

bD

Q Q

π

η=5,01 m/sec και

u1=3 · u2=3 · 7,15=21,45 m/sec

οπότε:

cu1=u1+)135180(

1

−tg

cr =u1+ o

r

tg

c

45

1 =5,01+21,45=26,46 m/s και

tg(α1)=46,26

01,5

1

1 =u

r

c

c=0,1893 → α1=10,72

o.

u2=7,15 m/sec

w2

u1=21,45 m/sec

cu1

=26,46 m/sec

5 m/sec

β2=35ο

c n1=

5,0

1 m

/secc

1

α1=10,72ο w

1

β1

c n2 =

5,0

1 m

/sec

Εφόσον η ακµή εκφυγής των ρυθµιστικών πτερυγίων βρίσκεται στην ίδια περίπου

διάµετρο µε την διάµετρο D1, η γωνία κλίσεως των ρυθµιστικών πτερυγίων στο

κανονικό σηµείο λειτουργίας είναι (περίπου) ίση προς: α1=10,72 o.

β) Για τον υπολογισµό της στατικής πίεσης στην είσοδο του δροµέα εφαρµόζεται

η εξίσωση Bernoulli, από την οποία προκύπτει θεωρώντας τις υδρ. απώλειες

αµελητέες:

g

cH

p

2

2

11 −≈γ

στην οποία c1 είναι το µέτρο της ταχύτητας στην διατοµή εισόδου:

c1=187,0

01,5

sin 1

1 =α

rc=26,72 m/sec

Άρα:

Η1= =⋅

−=−=81,92

72,2668

2

22

11

g

cH

p

γ32,31 mΣΥ≈ 3 231, bar

(ως προς την ατµοσφαιρική).

88

Για τον υπολογισµό της στατικής πίεσης στην διατοµή εξόδου του δροµέα ως προς

την ατµοσφαιρική, λαµβάνοντας υπόψη ότι σε πρώτη προσέγγιση οι υδραυλικές

απώλειες στον αγωγό εκφυγής θεωρούνται αµελητέες και ότι za=z2, θα είναι:

g

cz

g

cz

p aa

22

22

22 +=++γ

→

81,92

01,503,3

2

222

2

2

2

⋅−

=−

=g

ccp a

γ =-0,79 mΣΥ

γ) Στο κανονικό σηµείο λειτουργίας ισχύει:

ηhK=2 · U1 · Cu1= 6881,9

46,2645,2122 11

⋅⋅⋅

=gH

cu u =0,835

Aπό την σχέση: ηh=H

gchH afea )2/(2−− δ

προκύπτει:

677,981,92

03,3)835,01(68

2)1(

22

=⋅

−−⋅=−−⋅=g

cHh a

hfea ηδ mΣΥ

AΣΚΗΣΗ 2.2.2

Zεύγος υδροστροβίλου-γεννήτριας συχνότητας 60 Ηz, µε χαρακτηριστικά του

υδροστροβίλου στο κανονικό σηµείο λειτουργίας:

Ν=7353 KW, Q=12,5 m3/sec, η=0,80, ηQ=0,96 και ηm=0,98

εγκατεστάθη σε τοποθεσία όπου η υδραυλική πτώση είναι: h=54,35 m. O αγωγός

προσαγωγής είναι ευθύγραµµος µήκους L=500 m και σχετικής τραχύτητας

εs=5,10-5. Η γεννήτρια τροφοδοτεί το εθνικό δίκτυο συχνότητας 50 Hz.

∆ίνονται: ειδικό βάρος του νερού γ=1000 Kp/m3, θερµοκρασία του νερού θ=15 oC

και επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2.

Ζητούνται: α) Η κανονική ισχύς του υδροστροβίλου θεωρώντας ότι οι τιµές των

βαθµών απόδοσης δεν µεταβάλλονται.

β) Η διάµετρος του αγωγού προσαγωγής, υπολογισµένη για την κανονική

λειτουργία του α ερωτήµατος

γ) Η χάραξη του τριγώνου ταχυτήτων στην είσοδο της πτερωτής για τις συνθήκες

του α ερωτήµατος αν η γωνία κλίσεως των πτερυγίων είναι β1=90o και η ακτινική

συνιστώσα της ταχύτητας cr1=6,4 m/sec

δ) Η διάµετρος D1 και το πλάτος b1 στην είσοδο του δροµέα για b1=0,20 · D1

ε) Οι υδραυλικές απώλειες (λόγω τριβής και κρούσεως) σε mΣΥ από την διατοµή

εισόδου µέχρι την διατοµή (α) εξόδου του υδροστροβίλου, αν η εκεί διάµετρος

του αγωγού εκφυγής είναι διπλάσια της διαµέτρου του αγωγού προσαγωγής.

89

Λύση α) ∆εδοµένου ότι το πλήθος των πόλων της γεννήτριας παραµένει

αµετάβλητο η ταχύτητα περιστροφής είναι ανάλογη προς την συχνότητα f του

ηλεκτρικού δικτύου. Αρα στην συχνότητα f1=50 Hz θα αντιστοιχεί η ταχύτητα

περιστροφής n1.

Στην νέα ταχύτητα περιστροφής n1, το κανονικό σηµείο λειτουργίας θα είναι

αντίστοιχο αυτού για συχνότητα f2=60 Hz. Αρα µεταξύ των κανονικών σηµείων

λειτουργίας θα ισχύει η σχέση:

3/1

2

1

2/1

2

1

2

1

2

1

2

1

=

===

N

N

H

H

Q

Q

f

f

n

n

από την οποία:

Ν1=Ν2 2,425360

507353

33

2

12

3

2

1 =

⋅=

=

f

fN

n

n ΚW

β) Η παροχή Q1 στο νέο κανονικό σηµείο λειτουργίας προκύπτει από την σχέση:

Q1=Q2 416,1060

505,12

2

12

2

1 ===f

fQ

n

n m

3/sec

Aπό την σχέση: Ν2=γ Η2Q2 η/102 προκύπτει: ηγ 2

22

102

Q

NH

⋅=

από την οποία για:

Ν2=7353 KW, Q2=12,5 m3/sec και η=0,80 προκύπτει:

Η2=76 mΣΥ.

Από τις σχέσεις οµοιότητας για το ύψος προκύπτει:

Η1=Η2 =

=

22

2

1

60

5076

f

f52,78 mΣΥ

Άρα οι γραµµικές υδραυλικές απώλειες στον αγωγό προσαγωγής θα πρέπει να

είναι ίσες προς:

δhf=h-H=54,35-52,78=1,57 mΣΥ

και οι οποίες εκφράζονται ως:

δhf=λ g

c

D

l

2

2

Από το διάγραµµα Moody, για πλήρως τυρβώδη ροή και σχετική τραχύτητα

εs=0,00005 προκύπτει λ=0,0106. Η µέση ταχύτητα c στον αγωγό προσαγωγής

εκφράζεται από την σχέση c=Q/(πD2/4). Άρα από την σχέση των γραµµικών

υδραυλικών απωλειών προκύπτει:

→== 95,202 2

25

fhg

QLD

δπλ

D=1,837 m.

90

Για την τιµή αυτή της διαµέτρου η ταχύτητα στον αγωγό προσαγωγής είναι:

c=3,93 m/sec και άρα η τιµή του αριθµού Reynolds:

Re=c D/ν=3,93 · 1,837/1,37 · 10-6= 5,2 · 105

Για την τιµή αυτή του αρ. Re και εs=0,00005 από το διάγραµµα Moody προκύπτει:

λ=0,0135 από την οποία : D=1,93 m.

γ) Επειδή β1=90o, στο κανονικό σηµείο λειτουργίας το τρίγωνο εισόδου πρέπει να

είναι ορθογώνιο, άρα:

cu1=u1 και cr1=w1=6,4 m/sec

Στο κανονικό σηµείο λειτουργίας είναι επίσης:

U1Cu1=gH · ηhΚ

Επειδή Cu1=U1 η προηγούµενη σχέση γράφεται:

u12=gHηhΚ → u1= 85,008,5281,9 ⋅⋅=hKgHη =20,83 m/s

στην οποία ελήφθη:

ηh=96,098,0

80,0

⋅=

⋅ mQ ηηη

=0,85

Θα είναι λοιπόν :

tgα1=83,20

4,6

1

1 =u

r

c

c=0,307 → α1=17,08

o

Το µέτρο της απόλυτης ταχύτητας εισόδου είναι ίσο µε:

c1=2

1

2

1 ur cc + → c1=22 83,204,6 + =21,80 m/sec

δ) Από την αρχή της συνέχειας προκύπτει:

πD1b1cr1=QηQ → π · 0,20 · D12 · cr1=Q ηQ→ D1

2

120,0 r

Q

c

Q

⋅⋅

⋅=

π

η →

D1=1,577 m και άρα :

b1=0,2 · D1=0,2 · 1,577= 0,315 m

ε) Ο υδραυλικός βαθµός απόδοσης ηh είναι ίσος προς:

ηh=H

gchH afea )2/(2−− δ

στην οποία ca είναι η µέση ταχύτητα στην διατοµή εξόδου του αγωγού φυγής,

διαµέτρου: Da=2 · D=2 · 1,93= 3,86 m. Aρα:

ca=4/86,314,3

416,10

4/22 ⋅

=aD

Q

π=0,89 m/sec → 0404,0

2

2

=g

ca mΣΥ

Θα είναι λοιπόν:

g

cHh

g

chHH a

hfeaa

feah2

)1(2

22

−⋅−=→−−= ηδδη →

δhfea=52,08 · (1-0,85)-0,0404=7,78 mΣΥ

91

που είναι ίσες προς τις υδραυλικές απώλειες στο εσωτερικό του υδροστροβίλου

στο εξεταζόµενο κανονικό σηµείο λειτουργίας.

ΑΣΚΗΣΗ 2.2.3

Στην υδροηλεκτρική εγκατάσταση του σχήµατος, εφοδιασµένη µε υδροστρόβιλο

Francis που στρέφεται µε n=510 RPM, οι απώλειες στον αγωγό προσαγωγής είναι

ίσες προς δhf=5 mΣΥ για παροχή Q=100 m3/sec.

∆ίνονται επίσης: - η στάθµη z2 του νερού στoν κάτω ταµιευτήρα εκφράζεται από

την σχέση:

z2=140+2100

Q⋅ (h2 σε m και Q σε m3/sec)

- οι χαρακτηριστικές καµπύλες λειτουργίας του υδροστροβίλου

- ατµοσφαιρική πίεση: ΗΒ=10 mΣΥ και επιτάχυνση της βαρύτητας: g=9,81 m/sec2

z1max

=270 m

δhf=5 mΣΥ για

Q=100 m3/sec

z2=140+2(Q/100)1/2

z1min

=220 m

z2

z=141,5 m

Ζητούνται: α) Η ισχύς του υδροστροβίλου όταν λειτουργεί µε άνοιγµα των

ρυθµιστικών πτερυγίων 80 % και µε στάθµη στον πάνω ταµιευτήρα z1=230 m.

β) Συµφωνείτε µε τον τύπο, τις στροφές και το υψόµετρο τοποθέτησης του

υδροστροβίλου; ∆ικαιολογείστε την απάντηση σας.

γ) Χαράξατε το τρίγωνο εισόδου στο κανονικό σηµείο λειτουργίας δεχόµενοι:

ηm=ηQ=0,99

δ) Εάν ο στρόβιλος λειτουργεί όπως στο ερώτηµα α υπάρχει συστροφή της ροής

στην έξοδο του δροµέα και ποιάς φοράς;

Λύση α) Η διαθέσιµη στο στρόβιλο υδραυλική πτώση είναι ίση προς:

HΣ=(z1-z2)-δhf=230-

⋅+

1002140

Q-5

2

100

⋅Q

HΣ=90-2 100

Q⋅ -5

2

100

⋅Q

Tην καµπύλη αυτή Η=f(Q) χαράσσοµε στο διάγραµµα των χαρακτηριστικών

καµπυλών (H,Q) του υδροστροβίλου. Η τοµή της µε την καµπύλη που αντιστοιχεί

σε άνοιγµα 80% των ρυθµιστικών πτερυγίων δίνει το σηµείο λειτουργίας:

92

Q=110,2 m3/sec, H=82 mΣΥ και η≈ 0,925

Άρα η παραγόµενη ισχύς είναι ίση προς:

75,947.81102

925,02,110821000

102=

⋅⋅⋅==

ηγ HQN KW

60 70 80 90 100 110

160

140

120

100

80

60

A=100 %

A=90 %

A=80 %

A=70 %

A=60 %

ηmax

=0,94

η=0,935

η=0,93

η=0,92

η=0,91

η=0,90

Η (mΣΥ)

Q (m3/sec)

HΣ=90-2(Q/100)1/2-5(Q/100)2

β) Η επιλογή υδροστροβίλου τύπου Francis είναι επιτυχής σύµφωνα µε το

διάγραµµα του σχήµατος 7.1 για HK=100 mΣΥ (κανονικό σηµείο λειτουργίας). Ο

ειδικός αριθµός στροφών υπολογίζεται από τα λειτουργικά στοιχεία του

κανονικού σηµείου λειτουργίας τα οποία, από το χαρακτηριστικό διάγραµµα είναι

τα ακόλουθα:

HK=100 mΣΥ, QK=145 m3/sec, ηK=0,94

από τα οποία η αντίστοιχη κανονική ισχύς προκύπτει ίση προς:

627.133102

94,01451001000=

⋅⋅⋅== ηγ HQN ΚW

Άρα ο ειδικός αριθµός στροφών (ως προς την ισχύ) είναι ίσος προς:

4,173100

133627150

4/5

2/1

4/5

2/1

≈⋅==K

KS

H

Nnn

ενώ η τιµή του ειδικού αριθµού στροφών (ως προς την παροχή) είναι ίση προς:

93

12,57100

145150

4/3

2/1

4/3

2/1

=⋅==K

Kq

H

Qnn

Η τιµή του nQ που συνιστάται από το στατιστικό διάγραµµα του σχ. 7.1 για

HK=100 mΣΥ είναι: nq≈ 60. Αρα η ταχύτητα περιστροφής n=150 RPM, η οποία

είναι και σύγχρονη, έχει σωστά επιλεγεί.

Για το υψόµετρο τοποθέτησης του υδροστροβίλου υπολογίζεται η τιµή της

παραµέτρου σπηλαίωσης σκρ από την σχέση (10.3):

σκρ=7,54 · 10-5 · nσ1,41=7,54 · 10-5 · 173,41,41=0,10825

Το βάθος τοποθέτησης του υδροστροβίλου στο κανονικό σηµείο λειτουργίας

(Q=QK=145 m3/sec) είναι ίσο προς:

Ηπ=zσ-z2=141,4-

⋅+

1002140

Q=-1,008 m

οπότε η τιµή της παραµέτρου Thoma σ στο κανονικό σηµείο λειτουργίας είναι ίση

προς (εξ. 8.12):

1088,0100

13,0008,110=

−+=

−−=

K

SB

H

HHH πσ

στην οποία η πίεση ατµoποίησης ελήφθη ίση προς HS=0,13 mΣΥ.

∆εδοµένου ότι: σ=0,1088>σκρ=0,10825

η λειτουργία του υδροστροβίλου κρίνεται ως ασφαλής από πλευράς σπηλαίωσης

(στο κανονικό σηµείο λειτουργίας).

γ) Θεωρούµε κατά προσέγγιση ότι: cr1=cro, όπου cr1 είναι η ακτινική (µέση)

συνιστώσα της ταχύτητας στην διατοµή εισόδου στoν δροµέα και cro η ακτινική

συνιστώσα στην έξοδο της στεφάνης των ρυθµιστικών πτερυγίων (διάµετρος G

του σχήµατος 10.2).

Η εκτίµηση της διαµέτρου D2e (σχήµα 10.2) γίνεται από την σχέση (10.5) σε

συνδυασµό µε την σχέση ορισµού (10.4). Θα είναι λοιπόν:

U2e=0,31+2,5 · 10-3 · ns=0,31+2,5 · 10-3 · 173,4=0,7435

U2e= →⋅ gH

nD e

260

2π →

D2e=n

gHU e

⋅

⋅⋅

π260 2

→ 1932,415014,3

10081,927435,0602 =

⋅

⋅⋅⋅⋅=eD →

D2e=4,1932 m

Από την σχέση (10.8) προκύπτει το ύψος b των ρυθµιστικών πτερυγίων:

b/D2e=7,28 · 10-4 · ns(2-1,82 · 10-3 · ns)=

=7,28 · 10-4

· 173,4 · (2-1,82 · 10-3

· 173,4) =0,2126 → b=0,2126 · D2

και η διάµετρος

94

G=(0,89+Sn

5,96)D2e=1,4465 · D2e

Άρα θα είναι:

cro= 12

2

sec/83,82126,04464,114,3

150r

e

cmDbG

Q≈=

⋅⋅⋅=

π

H µέση διάµετρος της διατοµής εισόδου είναι ίση προς:

D1i=(0,4+Sn

5,94) D2e=(0,4+

4,173

5,94) · 4,1932=3,9625 m

και η αντίστοιχη περιφερειακή ταχύτητα:

u1=60

9625,315014,3

60

1 ⋅⋅=inDπ

=31,12 m/sec

Για το κανονικό σηµείο λειτουργίας ισχύει:

gHηhK=u1cu1 → 1

1u

gHc hK

u

η=

στην οποία:

ηhK=99,099,0

94,0

⋅=

⋅Κ

mQ ηηη

=0,959 Άρα:

cu1= 056,303,31

959,010080,9=

⋅⋅ m/sec

Έχοντας γνωστά τα cr1, cu1 και u1 είναι πλέον δυνατή η χάραξη του τριγώνου

ταχυτήτων στην διατοµή εισόδου του δροµέα.

u1=31,12 m/sec

α1

c1

cu1

=30,23 m/sec

c r1=

12,9

4 m

/sec

w1

δ) Επειδή η παροχή στο α ερώτηµα είναι διαφορετική της κανονικής, το τρίγωνο

εξόδου δεν είναι ορθογώνιο και εποµένως υπάρχει συστροφή του ρευστού στην

έξοδο από τον δροµέα. Συγκεκριµένα η cu2 είναι θετική, δηλ. της ίδιας φοράς µε

την u επειδή: Q < QK ( βλ. σχήµα 6.13)

95

ΑΣΚΗΣΗ 2.2.4 (Από την εξέταση της 12.9.1987)

Σε εργαστήριο υδροδυναµικών µηχανών µελετάται µοντέλο υδρ/λου

αντιδράσεως. Το κανονικό σηµείο λειτουργίας του πραγµατικού είναι:

Q=12 m3/sec, H=200 mΣΥ, στο οποίο ο ολικός βαθµός απόδοσης

εκτιµάται ότι είναι της τάξεως του η=0,90.

Για την µελέτη του στροβίλου κατασκευάζεται γεωµετρικά όµοιο µοντέλο µε λόγο

οµοιότητας 1:5, το οποίο θα δοκιµασθεί στο δοκιµαστήριο του σχήµατος όπου η

υδραυλική πτώση προσδίδεται από την τροφοδοτική αντλία Α της οποίας είναι

γνωστή η χαρακτηριστική λειτουργίας στις n=1450 RPM όπου και λειτουργεί.

δhf=ζ Q2

∆εξαµενή

ΑντλίαΑ

Σ

Μοντέλο υδροστροβίλου

Ηλεκτρική πέδη

Ζητούνται: α) Ο τύπος του υδροστροβίλου, η ταχύτητα περιστροφής του και η

διάµετρος του δοµέα του.

β) Η τιµή του συντελεστή απωλειών ζΒ της βάννας Β ώστε να επιτευχθεί το

κανονικό σηµείο λειτουργίας του µοντέλου, όταν αυτό στρέφεται στις n=1500

RPM, εάν ο συντελεστής ζ υδραυλικών απωλειών των σωληνώσεων του

δοκιµαστηρίου είναι ίσος προς: ζ=4,82·10-6 (δhf=ζ·Q2, µε δhf σε mΣΥ και Q σε

m3/h).

γ) Για το κανονικό σηµείο λειτουργίας του µοντέλου ζητείται η τιµή της

περιφερειακής συνιστώσας της απόλυτης ταχύτητας στην είσοδο του δροµέα εάν η

παραγόµενη ισχύς από το µοντέλο είναι ίση προς: Ν=110,42 KW και οι βαθµοί

απόδοσης, ογκοµετρικός και µηχανικός θεωρηθούν ίσοι προς ηQ=ηm=0,98. Επίσης

κάνοντας χρήση των σχέσεων αναγωγής των Moody και Ackeret, ποιά είναι η

αναµενόµενη τιµή του ολικού βαθµού απόδοσης του πραγµατικού στο κανονικό

σηµείο λειτουργίας του. Εξηγήσατε γιατί ο βαθµός απόδοσης του πραγµατικού

προκύπτει πάντα µεγαλύτερος από αυτόν του µοντέλου του.

∆ίνονται: συχνότητα του δικτύου f=50 Hz, επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81

m/sec2, ειδικό βάρος του νερού γ=1000 Kp/m3.

96

Xαρακτηριστική (H,Q) της αντλίας Α στις n=1450 RPM:

Q (m3/h) 400 600 800 1000 1200 1400

H (mΣΥ) 120,0 113,5 104,5 93,0 79,0 62,0

Λύση α) Από το σχήµα 7.1 και για διαθέσιµο ύψος στο κανονικό σηµείο

λειτουργίας ΗK=200 mΣΥ προκύπτει ότι κατάλληλος τύπος υδροστροβίλου είναι

Francis. Για υδροστρόβιλο Francis η τιµή του ειδικού αριθµού στροφών

υπολογίζεται συναρτήσει του ύψους στο κανονικό σηµείο λειτουργίας από την

σχέση (10.1):

ns=3470 · H-0,625=3470 · 200-0,625=126,53 ( για ΝK σε KW)

Η ισχύς του υδροστροβίλου στο κανονικό σηµείο λειτουργίας είναι ίση προς:

5,176.21102

90,0122001000=

⋅⋅⋅== KKKK QHN ηγ ΚW

οπότε από την σχέση ορισµού του ειδικού αριθµού στροφών προκύπτει

95,6535,21176

20053,126

2/1

4/5

2/1

4/5

4/5

2/1

=⋅==→=K

KS

K

KS

N

Hnn

H

Nnn RPM

Η τιµή αυτή της ταχύτητας περιστροφής θα πρέπει να είναι σύγχρονη οπότε για

συχνότητα f=50 Hz του δικτύου πρέπει να ισχύει:

n=60 · f/p

όπου p το πλήθος των ζευγών των πόλων της (σύγχρονης) γεννήτριας.

Για : p = 4 5 6

είναι: n(RPM) = 750 600 500

Ως πλησιέστερη σύγχρονη ταχύτητα περιστροφής λαµβάνεται: n=600 RPM oπότε

η τιµή του ειδικού αριθµού στροφών προκύπτει ίση προς:

1,116200

53,21176600

4/5

2/1

4/5

2/1

≈⋅==K

KS

H

Nnn

H διάµετρος D2e του δροµέα υπολογίζεται από τις σχέσεις (10.4) και (10.5):

U2ε=0,31+2,5 · 10-3ns=0,600=

K

e

gH

u

2

2 →

u2e=0,6 20081,92 ⋅⋅ =37,585 m/sec

∆εδοµένου ότι :

u2e=ω D2e/2 µε ω=π n/30=π · 600/30= 62,832 rad/sec

προκύπτει:

D2e=2u2e/ω=2 · 37,585/62,832=1,1964 m

Από τις σχέσεις (10.7) προκύπτει επίσης:

97

D1i=D2e 452,12,116

5,9440,01964,1

5,9440,0 =

+=

+

Sn=1,452 m

( ) 1915,11,1161038,096,0

1964,1

1038,096,0 33

21 =

⋅⋅+=

⋅+=

−−S

ee

n

DD m

β) Τα κανονικά σηµεία λειτουργίας των γεωµετρικά όµοιων µηχανών (του

πραγµατικού και του µοντέλου του) είναι αντίστοιχα και έτσι εφαρµόζονται οι

νόµοι οµοιότητας, συµβολίζοντας µε τόνο (') τα µεγέθη που αντιστοιχούν στο

µοντέλο:

4,53200267,0'267,0600

1500

5

1'''2222

=⋅=→=

=

= Hn

n

D

D

H

H mΣΥ

24,01202,0'02,0600

1500

5

1'''33

=⋅=→=

=

= Qn

n

D

D

Q

Q m

3/sec

Αρα το κανονικό σηµείο λειτουργίας του µοντέλου είναι:

Q'=0,24 m3/sec=864 m3/h και Η'=53,39 mΣΥ

Για την παροχή αυτή (Q'=864 m3/h) το ολικό ύψος της αντλίας Α από την

χαρακτηριστική της προκύπτει ίσο προς: ΗΑ=100,8 mΣΥ και το οποίο θα πρέπει

να είναι ίσο προς:

ΗΑ=Η'+(ζ+ζΒ) · Q'2

στην οποία ζB είναι η ζητούµενη τιµή της αντίστασης της βάννας Β. Αρα θα είναι:

100,8=53,39+(4,82 · 10-6+ζB) · 8642 → ζB=5,869 · 10-5

γ) Η ισχύς που παράγεται από το µοντέλο στο κανονικό σηµείο λειτουργίας του

είναι ίση προς Ν'=110,42 KW και δίνεται από την σχέση:

Ν'=γ Η' Q' η'

από την οποία:

η'= 879,0102/39,5324,01000

42,110

''

'=

⋅⋅=

QH

N

γ

Αρα η τιµή του υδραυλικού βαθµού απόδοσης του µοντέλου είναι ίση προς:

9152,098,098,0

879,0'' =

⋅=

⋅=

mQ

h ηηη

η

Στο κανονικό σηµείο λειτουργίας ισχύει: cu2=0 από την οποία:

Ηu'=ηh'H'=g

cu u '' 11

στην οποία: u1'=ω' D1'/2 και ω'=π n'/30=π · 1500/30=157,08 rad/sec

98

Ως µέση διάµετρος εισόδου του δροµέα του πραγµατικού υδροστροβίλου

θεωρείται η µέση τιµή:

D1= 32175,12

1915,1452,1

2

11 =+

=+ ei DD

m

οπότε η αντίστοιχη διάµετρος του µοντέλου είναι ίση προς:

D1'=D1/5=0,264 m

και άρα: u1'=157,08 · 0,264/2=20,76 m/sec

Θα είναι λοιπόν:

cu1'= 08,2376,20

39,5381,99152,0

'

''

1

=⋅⋅

=u

Hghη → cu1'=23,08 m/sec

Aπό τις σχέσεις αναγωγής για την εκτίµηση του βαθµού απόδοσης του

πραγµατικού προκύπτει:

Ackeret:

81755,0200

39,53

5

15,05,0

''5,05,0

'1

11,02,01,02,0

=

+=

+=−−

H

H

D

D

ηη

→

1-η=0,81755 · (1-0,879)=0,09892 → η=0,901

Moody :

7248,05

1'

'1

12,02,0

=

=

=−−

D

D

ηη

→

1-η=0,7248 · (1-0,879)=0,0877 → η=0,9123

99

3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΡΙΣΕΩΣ

3.1 ∆ύο ταυτόσηµες κατά τα άλλα αντλίες διαφέρουν ως προς την ποιότητα

της κατεργασίας τους (τραχύτητα των επιφανειών). Εξηγήσατε εάν και πόσο

διαφέρουν µεταξύ τους οι optimum και οι κανονικές παροχές τους. ∆ώστε

ποιοτικό διάγραµµα.

3.2 Σε φυγόκεντρη αντλία είναι δεδοµένες οι χαρακτηριστικές καµπύλες

λειτουργίας (Η,Q,η) για νερό. Πώς αναµένεται να µεταβληθούν οι καµπύλες αυτές

εάν, για την ίδια ταχύτητα περιστροφής, αντί για νερό αντληθεί υγρό του ίδιου

ειδικού βάρους αλλά µεγαλύτερου ιξώδους. ∆ικαιολογήσατε την απάντηση σας

δίνοντας σχηµατικά τα αντίστοιχα διαγράµµατα.

3.3 Εξηγείστε ποιοτικά πώς µεταβάλλεται ο βαθµός απόδοσης της

πτερύγωσης πτερωτής ηi συναρτήσει του πλήθους των πτερυγίων, της κλίσεως β2

και της ταχύτητας περιστροφής n. ∆ικαιολογήσατε την απάντηση σας δίνοντας και

σχετικά σκαριφήµατα.

3.4 Οι σχέσεις αναγωγής του βαθµού απόδοσης µεταξύ πραγµατικού και του

γεωµετρικά όµοιου µοντέλου του είναι οι ίδιες για φυγόκεντρη αντλία και

υδροστρόβιλο; ∆ικαιολογείστε την απάντηση σας.

3.5 Η αντλία του κυκλώµατος ψύξεως κινητήρα εσωτερικής καύσεως έχει

ακτινικά πτερύγια, δηλ. β2=90ο. Είναι επιτυχής αυτή η επιλογή για την

συγκεκριµένη περίπτωση και γιατί;

3.6 Εξηγήσατε τι επιτυγχάνεται µε το "κόψιµο" της πτερωτής σε µικρότερη

διάµετρο από την αρχική και ποιό είναι το πρακτικό ενδιαφέρον που παρουσιάζει.

Υπάρχουν όρια στην εφαρµογή αυτής της διαδικασίας και που οφείλονται;

3.7 Aντιστρέφοντας την φορά περιστροφής της πτερωτής φυγόκεντρης

αντλίας και την φορά της ροής σε τι αντιστοιχεί η λειτουργία της µηχανής;

3.8 Ποιός είναι ο ρόλος της κλίσεως β2 των πτερυγίων πτερωτής φυγόκεντρης

αντλίας στην µορφή της πραγµατικής χαρακτηριστικής (Η,Q); Εξηγήσατε γιατί η

γωνία β2 των κοινών αντλιών έχει τιµές µεταξύ 20 και 30o (πτερύγια οπισθοκλινή)

ενώ στους κυκλοφορητές είναι συνήθως β2=90o.

3.9 Συγκρίνατε τις αντλίες ακτινικής και αξονικής ροής όσον αφορά την

εµφάνιση της σπηλαίωσης και την λειτουργία τους µε σπηλαίωση δίνοντας

σχετικά σκαριφήµατα.

100

3.10 Εξηγήσατε γιατί ο ολικός βαθµός απόδοσης στο κανονικό σηµείο

λειτουργίας που δίνεται στο στατιστικό διάγραµµα συναρτήσει του ειδικού

αριθµού στροφών nq µε παράµετρο την παροχή στο κανονικό σηµείο λειτουργίας

- αυξάνεται όσο αυξάνεται η παροχή για σταθερό nq

- αυξάνεται όσο αυξάνεται ο nq (για nq=600-3000) υπό σταθερή παροχή

3.11 Εξηγήσατε ποιοτικά πού οφείλεται η ανάπτυξη της δευτερογενούς

ταχύτητας ws2 της σχετικής ροής µεταξύ των πτερυγίων στρεφόµενης πτερωτής.

Σε πρώτη προσέγγιση η συνεκτικότητα του ρευστού επιδρά στην διαµόρφωσή της;

3.12 Απαριθµήσατε τα φυσικά χαρακτηριστικά του αντλούµενου υγρού (π.χ.

πυκνότητα, θερµοκρασία κλπ) που ενδεχόµενα επηρεάζουν την λειτουργία

αντλητικής εγκατάστασης και εξηγήσατε ποιοτικά το πώς.

3.13 Εξηγήσατε σύντοµα γιατί, στην γενική περίπτωση, µία αντλητική

εγκατάσταση δεν έχει ανάγκη ρυθµιστού στροφών ενώ το αντίθετο συµβαίνει σε

ζεύγος υδροστροβίλου-ηλεκτρογεννήτριας.

3.14 Eάν σε αντλητική εγκατάσταση ο ηλεκτροκινητήρας από λάθος συνδεθεί

έτσι ώστε η πτερωτή να περιστρέφεται κατά την αντίθετη ως προς την κανονική

της φορά περιστροφής της, εξηγήστε ποιά θα είναι στην περίπτωση αυτή η

θεωρητική και η πραγµατική λειτουργία της αντλίας.

3.15 Σηµειώσατε κα σχολιάσατε σύντοµα τρεις (3) διαφορετικές µεθόδους για

την χάραξη της καµπύλης (Ηκρ,Q) φυγόκεντρης αντλίας.

3.16 Πως επηρεάζει η γωνία β2 των πτερυγίων πτερωτής φυγόκεντρης

µονοβάθµιας αντλίας την µορφή της χαρακτηριστικής (Η,Q) της αντλίας, τον

βαθµό αντιδράσεως της αντλίας και τον υδραυλικό βαθµό απόδοσης;

3.17 Με την αύξηση του χρόνου λειτουργίας µιάς φυγόκεντρης αντλίας είναι

γνωστό ότι λόγω µηχανικής φθοράς αυξάνουν τα διάκενα των λαβυρίνθων. Το

γεγονός αυτό πώς επηρεάζει την παροχή, το ολικό ύψος, τον βαθµό απόδοσης και

την απόρροφούµενη ισχύ της αντλίας.

3.18 Γιατί οι υδροστρόβιλοι Kaplan και Francis χαρακτηρίζονται ως

υδροστρόβιλοι 'αντιδράσεως' ενώ οι υδροδτρόβιλοι τύπου Pelton ως

υδροστρόβιλοι 'δράσεως';

3.19 Η εξίσωση Euler για τις στροβιλοµηχανές ισχύει για ιδεατό ή πραγµατικό

ρευστό; Εάν ισχύει και στις δύο περιπτώσεις αυτό σηµαίνει ότι το θεωρητικό

ύψος Ηu της πτερωτής δεν επηρεάζεται από την συνεκτικότητα του ρευστού και τα

αναπτυσσόµενα οριακά στρώµατα στις στερεές επιφάνειες της πτερωτής;

101

3.20 Με βάση την εξίσωση Euler για τις στροβιλοµηχανές εξηγήσατε γιατί στις

υδροδυναµικές µηχανές η ροή γίνεται από τον άξονα της πτερωτής προς την

περιφέρεια στην περίπτωση των φυγόκεντρων αντλιών µικτής και ακτινικής ροής

και αντίστροφα στην περίπτωση δροµέα υδροστροβίλου τύπου Francis. Το

αντίθετο είναι ασύµφορο ή από φυσικής πλευράς αδύνατο;

3.21 Σχολιάσατε σύντοµα την µεταβολή της παροχής ανακυκλοφορίας

υδροδυναµικού συµπλέκτη συναρτήσει του συντελεστού ολισθήσεως s για

σταθερή ταχύτητα περιστροφής του πρωτεύοντος.

3.22 Σχεδιάστε σχηµατικά την µορφή των καµπυλών του βαθµού απόδοσης

συναρτήσει της παροχής υδροστροβίλου αξονικής ροής εάν τα πτερύγια του

δροµέα έχουν την δυνατότητα µεταβολής της κλίσης τους (Kaplan) και εάν δεν

την έχουν. Ποιό είναι το πρακτικό ενδιαφέρον;

3.23 Ποιός από τους δύο ειδικούς αριθµούς στροφών nq (ως προς παροχή) και

ns (ως προς ισχύ) είναι αντιπροσωπευτικότερο της µορφής της πτερωτής (ή του

δροµέα για την περίπτωση υδροστροβίλων) και γιατί; Οι ειδικοί αριθµοί στροφών

nq και ns αποτελούν κριτήρια οµοιότητας και για τις θερµικές στροβιλοµηχανές;

∆ικαιολογήστε την απάντηση σας.

3.24 Εξηγήσατε σύντοµα για ποιούς λόγους όταν η διαθέσιµη υδραυλική

πτώση είναι σηµαντική (πάνω από 500 mΣΥ περίπου) γίνεται οικονοµικά και

τεχνικά συµφέρουσα η διαµόρφωση υδροστροβίλου Pelton (και όχι Francis).

3.25 Aπό ποιό µέγεθος εξαρτάται σχεδόν αποκλειστικά το πλήθος των

πτερυγίων πτερωτής αξονικής ροής υδροστροβίλου ή αντλίας; ∆ικαιολογήστε την

απάντηση σας.