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R,L,C 电路. 9.8 串联电路的谐振. 谐振 ( resonance ) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象,谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用,对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。. 1. 谐振的定义. 含有 R 、 L 、 C 的一端口电路,在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时,称电路发生了谐振。. 发生谐振. R. +. j L. _. 2. 串联谐振的条件. 谐振条件. 谐振角频率 ( resonant angular frequency ). 仅与电路参数有关. - PowerPoint PPT Presentation
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9.8 串联电路的谐振谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一
种特殊物理现象,谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用,对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
含有 R 、 L 、 C 的一端口电路,在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时,称电路发生了谐振。1. 谐振的定义
R,L,C电路U
I
RZIU
发生谐振
XR
XXRωCωLRZ CL
j
)(j)1(j
I R
j L+
_Cωj
1
U
2. 串联谐振的条件
谐振角频率 (resonant angular frequency)LC
ω 10
谐振频率 (resonant frequency) LCf
π21
0
时,电路发生谐振。当 1 0 0
0 CLωX
谐振条件
仅与电路参数有关
串联电路实现谐振的方式:( 1 ) L C 不变,改变 。
( 2) 电源频率不变,改变 L 或 C ( 常改变 C ) 。
0 由电路本身的参数决定,一个 R L C 串联电路只能有一个对应的 0 , 当外加频率等于谐振频率时,电路发生谐振。
3. RLC 串联电路谐振时的特点. ).1(
同相与
IU
入端阻抗 Z为纯电阻,即 Z=R 。电路中阻抗值 |Z| 最小。电流 I达到最大值 I0=U/R (U 一定 ) 。
X( )
|Z( )| XL( )
XC( )
R 0
Z ( )
O
I R
j L
+
_ Cωj1
U
+ +
+
_
_
_
RU
LU
CU
相当于短路。LCUU CL ,0
(2) LC 上的电压大小相等,相位相反,串联总电压为零,也称电压谐振,即
UU R 上,电源电压全部加在电阻
LU
CU
RU
I
UjQRU
LjILjUL
UjQRU
LjCI
jUC
QUUU CL
RCL
RRL
Q
1 0
特性阻抗品质因数
当 = 0L=1/(0C )>>R 时, UL= UC >>U
例 某收音机 L=0.3mH , R=10 ,为收到中央电台 560kHz信号,求( 1 )调谐电容 C 值;( 2 )如输入电压为 1.5V求谐振电流和此时的电容电压。
ARU
I 15.010
5.1 )2( 0
pFLf
C 269) 2(
1 )1( 2
+
_
L
C
R
u解
VVXIU CC 5.1 5.1580
UR
LQUUo 0
Cr
(3) 谐振时的功率P=UIcos = UI = RI0
2=U2/R ,电源向电路输送电阻消耗的功率,电阻功率达最大。
0sin CL QQUIQ
200
20
0
200
1 , LIICω
QLIωQ CL
电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等,互相补偿,彼此进行能量交换。
+
_ P
Q
L C
R
(4) 谐振时的能量关系
tLICuw CC cos21
21
022
m2
tICLt
CIuC 0m
o0
0
m cos)90 sin(
tLILiwL sin21
21
022
m2
tUu 0m sin设 tItRU
i 0m0m sin sin 则
电场能量磁场能量
( 1 )电感和电容能量按正弦规律变化,最大值相等 WLm=WCm 。 L 、 C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换,而不与电源进行能量交换。
表明
( 2)总能量是常量,不随时间变化,正好等于最大值。22
m2m 2
121 LICULIwww CCL 总
电感、电容储能的总值与品质因数的关系:
耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的π
π
2
20
20
20
20
20
00
TRI
LIRILI
RLQ
Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量,品质因数越大,总的能量就越大,维持一定量的振荡所消耗的能量愈小, 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q 值。
4. RLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性
( 1) 阻抗的频率特性
RX
RXX
RωC
ωLω CL 111 tgtg
1tg) (
)(|)(|)1(j ωφωZCωLωRZ
222222 )()1(|)(| XRXXRCLRωZ CL
谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线,研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。幅频特性
相频特性
2. 电流谐振曲线幅值关系:
I() 与 |Y()| 相似。
UωY
CωLωR
UωI |)(|)1(
)(22
( )
0 O
–/2
/2
阻抗相频特性
X( )
|Z( )| XL( )
XC( )
R 0
Z ( )
O
阻抗幅频特性
0 O
|Y( )|
I( )
I( )U/R
从电流谐振曲线看到,谐振时电流达到最大,当 偏离 0 时,电流从最大值 U/R 降下来。即,串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应,对谐振信号最突出 ( 表现为电流最大 ) ,而对远离谐振频率的信号加以抑制 ( 电流小 )。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。
选择性 (selectivity)
电流谐振曲线
为了不同谐振回路之间进行比较,把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以 0 和 I(0) ,即
000
)()()()( ,
IηI
ωIωIωIη
ωωω
通用谐振曲线
2220 )1(1
1
)1(/
||/)()(
RCωRLω
CωLωR
RRUZU
ωIωI
20
0
20
00
0 )(1
1
)1(1
1
ωω
Qωω
Qωω
RCωωω
RLω
220 )1(1
1)(
ηηQ
IηI
Q 越大,谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时,曲线就急剧下降,电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力,所以选择性好。因此, Q 是反映谐振电路性质的一个重要指标。
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 21
0
)(IηI
0.707
0 '
通用谐振曲线
. ,,707.02/1/21
0ηη
II和对应横坐标分别为交于两点
与每一谐振曲线处作一水平线在
. , , 120
22
0
11 ωω
ωω
ηωω
η
12 ωω 称为通频带 BW (Band Width)
可以证明: .1 12
0
12 ωωω
ηηQ
I/I0=0.707 以分贝 (dB) 表示:20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.所以, 1 , 2 称为 3 分贝频率。
Q=1
0 21
I0.707I0
0
根据声学研究,如信号功率不低于原有最大值一半,人的听觉辨别不出,这是定义通频带的实践依据。
例 +
_ L
C
Ru
10
一信号源与 R 、 L 、 C 电路串联,要求 f0=104Hz ,△ f=100Hz , R=15,请设计一个线性电路。解 100
10010
400
ffω
Q
mHRQ
L 8.3910215100 4
0
pFL
63601C 2 0
例 一接收器的电路参数为:L=250H, R=20C=150pF( 调好 ), U1=U2= U3 =10V, 0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.
+
_+_+
L
C
Ru1
u2
u3_
f (kHz)北京台 中央台 北京经济台
L820 640 1026
X1290 –1660 1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A)
ωC1
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A)
%04.30
1 II 小得多
∴ 收到北京台 820kHz 的节目。
820640 1200
I(f )
f (kHz)0
%46.30
2 II
( 3 ) UL() 与 UC() 的频率特性
2222
22
)1(
)1()(
ηQηQU
CωLωRCω
UCωIωUC
22
22
22
)11(1
)1(||)(
ηQ
η
QUCLR
LUZU
LLIωU L
U
UC(Cm)QU
Cm Lm 0
UL( )
UC( )
U( )
1UL() :当 =0 , UL()=0 ; 0<<0 , UL() 增大; =0 ,
UL()=QU ; >0 ,电流开始减小,但速度不快, XL 继续增大, UL 仍有增大的趋势,但在某个下 UL
() 达到最大值,然后减小。 , XL , UL()=U 。类似可讨论 UC() 。
根据数学分析,当 =Cm 时, UC() 获最大值;当 =Lm 时,UL() 获最大值。且 UC(Cm)=UL(Lm) 。 )2/1 ( Q条件是
Q 越高, Lm 和 Cm 越靠近 0
Lm•Cm =0
020m 211 ωQ
ωωc 02
2
0m 122
ωQ
QωωL
QU
Q
QUωUωU LLcC
2
mm
411
)()(
例 一接收器的电路参数为: U=10V =5103 rad/s, 调 C 使电路中的电流最大, Imax=200mA ,测得电容电压为 600V ,求 R 、 L 、 C 及 Q
+
_ L
C
Ru
V 解
5010200
103
0IUR
6010600
UU
QQUU CC
mHRQ
L 601056050 3
0
FL
67.61C 2 0
1. G 、 C 、 L 并联电路
对偶: R L C 串联 G C L 并联
LCω 1
0
)1(jωC
ωLRZ )1(jωL
ωCGY
9.9 并联电路的谐振
+
_S
I G C L
U
LCω 1
0 谐振角频率
R L C 串联 G C L 并联|Z|
R
0 O
I( )U/R
0 O
U( )IS/G
LU
CU
UUR
I
CI
LI
SG II
U
|Y|
G
R L C 串联 G C L 并联电压谐振 电流谐振
UL(0)=UC
(0)=QUIL(0) =IC(0) =QIS
LC
GGLωGCω
Q 110
0 CL
RRCωRLω
Q 110
0
推导过程如下:由定义得
LR
GCω
0
0
2
2
21
π2GUT
CUQ
Cm
GCf0π2
2. 电感线圈与电容器的并联谐振 实际的电感线圈总是存在电阻,因此当电感线圈与电容器并联时,电路如图:
BG j
LωRCωY j
1j
))(
(j)( 2222 LωR
LωCωLωR
R
谐振时 B=0 ,即 0)( 2
02
00
LωRLω
Cω
20 )(1
LR
LCω
CL
R
( 1)谐振条件
此电路发生谐振是有条件的,在电路参数一定时,满足可以发生谐振时即 , ,0)(1 2
CL
RLR
LC
一般线圈电阻 R<<L ,则等效导纳为:
LCω
10
)1(j)(
))(
(j)( 22222 L
CLR
LRLC
LRRY
等效电路
谐振角频率
Ge C LRL
GR
ee
20 )(1
(b) 电流一定时,总电压达最大值:RCL
IZIU 000
(c) 支路电流是总电流的 Q 倍,设 R<<L
CI
LI
0I
U
CUL
UII CL 0
0
QR
LRCLRCU
LUII
II CL 0
0
0
00
1)//(
/
00 IQIII CL
(a) 电路发生谐振时,输入阻抗达最大值:
RCL
RLω
RLωR
RωZ
2
02
02
00)()()(
( 2)谐振特点
例 如图 R=10的线圈其 QL=100 ,与电容接成并联谐振电路,如再并联上一个 100k的电阻,求电路的Q.解
CL
R100k
RL
QL0 100
RRQL L 10000等效电路
CL
Re
100k
kRL
Re 1001010)( 62
0
kReq 50100//100
501000
1050 3
0
L
RQ eq
例 如图 RS=50k, US=100V , 0=106 , Q=100 ,谐振时线圈获取最大功率,求 L 、 C 、 R 及谐振时 I0 、 U 和 P 。
解 1000 R
LQL
CL
R50k
-+
-
+
uS
i0
u
kRRL
R Se 50)( 20
LC1
0
FCmHL
R
002.05.0
5
mAR
UI
S
S 110502
1002 30
VU
U S 5020
WIUP 05.000
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路:3. 串并联电路的谐振
(a)
L1
L3
C2
(b)
L1 C2
C3
上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0) ,又可以发生并联谐振 (Z=) 。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。
对 (a) 电路, L1 、 C2 并联,在低频时呈感性。随着频率增加,在某一角频率 1 下发生并联谐振。 >1 时,并联部分呈容性,在某一角频率 2 下可与 L3 发生串联谐振。
对 (b) 电路 L1 、 C2 并联,在低频时呈感性。在某一角频率 1 下可与 C3 发生串联谐振。 >1 时,随着频率增加,并联部分可由感性变为容性,在某一角频率 2 下发生并联谐振。定量分析:
(a)
1)( j
1 j
j1j
)j
1(jj)(
212
312313
212
13
21
21
3
CLωLLωCLLω
CLωL
ωL
ωCωL
ωCωL
ωLωZ
当 Z( )=0 ,即分子为零,有:0)( 312231
32 LLωCLLω (a)
L1
L3
C2
可解得: )( 02 舍去ω
)( 231
312 串联谐振
CLLLL
ω
当 Y( )=0 ,即分母为零,有:0121
21 CLω
)(
1
211
并联谐振CL
ω
可见, 1<2 。
(a)
L1
L3
C2
1
X( )
O 2
Z ( )=jX( )
阻抗的频率特性
21 ωω
)1()(1
j
1 j
j1
j1 j
j1 j
j1)(
212
3
3212
212
1
3
21
21
31
CLωωCCCLω
CLωωL
ωCωC
ωL
ωCωL
ωCωZ
(b)
分别令分子、分母为零,可得:串联谐振
)(1
3211 CCL
ω
并联谐振21
21CL
ω
(b)
L1 C2
C3
1
X( )
O 2
阻抗的频率特性
例 激励 u1(t) ,包含两个频率 1 、 2 分量 (1<2) :
要求响应 u2(t) 只含有 1 频率电压。如何实现?u1(t) =u11(1)+u12(2)
LC 串并联电路的应用:可构成各种无源滤波电路 (passive filter) 。
+
_u1(t) u2(t)
设计下列滤波电路实现:解
212
1CL
ω
)(1
3211 CCL
ω
并联谐振,开路串联谐振,短路
1 信号短路直接加到负载上。该电路 2 >1 ,滤去高频,得到低频。
C RC2
C3L1
+
_u1(t)
+
_u2(t)