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Fisica dei Materiali per lElettronica

Alberto Tibaldi

18 dicembre 2007


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Indice

1 Inadeguatezza della fisica classica 5

1.1 Problema del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Introduzione del concetto di quantizzazione . . . . . . . . . . . 7

2 Fondamenti della Meccanica Quantistica 9

2.1 Esperimento di Davisson e Germer . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Principi fondamentali della Meccanica Quantistica; Funzione

dOnda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 LEquazione di Schroedinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . 142.5 Concetto di Operatore Quantistico . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Esempi di risoluzione dellEquazione di Schroedinger in casi

stazionari 23

3.1 Particella quantistica libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Particella quantistica in buca di potenziale a pareti infinite . . 243.3 Particella soggetta ad un gradino di potenziale . . . . . . . . . 253.4 Buca di potenziale a pareti finite . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Buca di potenziale rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Oscillatore armonico quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Rotore Rigido Quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Atomo di Idrogeno 324.1 Esperimento di Stern e Gerlach e Principio di Pauli . . . . . . 34

5 Approssimazione di Born e Oppenheimer 36

5.1 Modello semiclassico per lo studio di una molecola . . . . . . . 38

6 Bande di energia degli elettroni 41

6.1 Caso in presenza di altri elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.1 Atomo di Sodio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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6.1.2 Carbonio e Silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 Metalli, Semiconduttori, Isolanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Meccanica Statistica 48

7.1 Distribuzione di Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . 487.2 Distribuzione di Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.3 Distribuzione di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Conducibilita nei Metalli - Modello di Bethe-Sommerfeld 52

8.1 Introduzione di effetti della temperatura . . . . . . . . . . . . 578.2 Definizione operativa di Massa Efficace . . . . . . . . . . . . . 60

8.3 Conducibilita nei metalli al variare della temperatura . . . . . 629 Conducibilita nei Semiconduttori 64

9.1 Semiconduttori Intrinseci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.2 Drogaggio dei Semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10 Metodi sperimentali per misurare parametri di un semicon-

duttore 76

10.1 Misura della resistenza di un semiconduttore . . . . . . . . . . 7610.2 Metodo delle quattro punte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.2.1 Sheet Resistance - Resistenza Strato . . . . . . . . . . 78

10.2.2 Transmission Line Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.3 Misura di Energy Gap, Mobilita, Conducibilita . . . . . . . . . 79

11 Proprieta ottiche dei semiconduttori 82

11.1 Modello Semiclassico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.2 Modello Quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2.1 Assorbimento diretto di fotoni . . . . . . . . . . . . . . 8511.2.2 Assorbimento indiretto di fotoni . . . . . . . . . . . . . 89

12 Processi di emissione spontanea e stimolata 93

12.1 Diodo Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

13 Introduzione alle tecnologie microelettroniche 100

13.1 Semiconduttori massivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.2 Drogaggio dei Semiconduttori: diffusione e impiantazione ionica10413.3 Deposizione di film sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10713.4 Litografia ed Etching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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14 Formulario 115

14.1 Principi della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . 11514.2 Esempi risoluzione Equazioni di Schroedinger . . . . . . . . . 11614.3 Bande di Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.4 Meccanica Statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.5 Conducibilita nei Metal l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.6 Conducibilita nei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.7 Misure proprieta dei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . 11714.8 Proprieta ottiche semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

14.8.1 Modello semiclassico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814.8.2 Modello quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

14.9 Emissione spontanea e stimolata . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

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Introduzione

Questo testo deriva da una raccolta di appunti del corso di Fisica dei Materialiper lElettronica del Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica della facolt a

di Ingegneria III del Politecnico di Torino, dellanno 2007/2008; il corso siproponeva di essere unintroduzione ai concetti della Meccanica Quantisti-ca, e della Meccanica Statistica, fondamentali per poter affrontare corsi didispositivistica elettronica di base, o anche piu avanzati. Il fine di questiappunti e quello di proporre una traccia di riferimento che potrebbe tornareutile per seguire le lezioni, integrata con ulteriori note.

Lautore propone il testo evidenziando che esso va sempre e comunquepreso con il beneficio del dubbio, dubbio che puo essere sciolto mediante laconsulenza di persone competenti quali i Docenti del corso.

Sperando che questa raccolta di note venga considerata da un qualche

potenziale lettore, gli chiedo di inviare commenti positivi o negativi, critiche,suggerimenti, o anche semplici parole di apprezzamento, se lo desidera, almio contatto telematico:

[email protected]

Alberto Tibaldi

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Capitolo 1

Inadeguatezza della fisica

classica

Verso la fine del diciannovesimo secolo, la fisica era formata da due branche:la meccanica di Newton, e lelettromagnetismo di Maxwell. Le due teorie,incompatibili tra loro, non spiegavano alcune fenomenologie: esperimenti dicarattere termodinamico, subatomico, elettromagnetico, risultavano inspie-gabili con la sola fisica classica. La discrepanza tra sperimentazioni e teorie,inoltre, era rafforzata dal fatto che le leggi fisiche non risultavano essere in-varianti nei vari sistemi di riferimento inerziali: in due sistemi di riferimentoinerziali, non valevano infatti le stesse relazioni. Vennero dunque introdottetre fondamentali branche, alla base della fisica moderna:

1. Teoria della Relativita: essa risolveva le incompatibilita tra meccanicaed elettromagnetismo, per trasformazioni di sistemi di riferimento in-erziali (Relativita Ristretta), e poi per qualunque sistema di riferimento(Relativita Generale);

2. Meccanica Statistica: applicazione della statistica alla meccanica, perlo studio di sistemi di molte particelle;

3. Meccanica Quantistica: generalizzazione della fisica classica, basatasullo studio a livello atomico e subatomico della materia.

Ci focalizzeremo, in questa dispensa, sui punti 2 e 3.Per iniziare, affrontiamo lo studio di un fenomeno non spiegabile con la

sola fisica classica: il problema del corpo nero.

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1.1 Problema del corpo nero

Il corpo nero e una cavita le cui pareti si trovano ad una temperatura T, inequilibrio con la radiazione elettromagnetica al suo interno. Classicamente,possiamo pensare un atomo come un bipolo; investendolo con radiazioni elet-tromagnetiche, i baricentri delle cariche positive e negative tendono ad allon-tanarsi tra loro. Cio implica che, scaldando il corpo nero, si fanno oscillarei bipoli e dunque per dualismo si generano onde elettromagnetiche di fre-quenza proporzionale allaumento di temperatura: la frequenza e infatti lastessa frequenza con cui vibra il bipolo, vibrazione causata dallincremento ditemperatura T. Se interpretiamo classicamente il problema, possiamo creare

un modello di questo tipo: consideriamo unonda elettromagnetica formatada una componente progressiva ed una componente regressiva:

E(x; t) = A1ei(kxt) + A2e

i(kxt)

Consideriamo a questo punto una condizione al contorno del problema:poiche londa viene riflessa quando incide sulle pareti, completamente, allorain prossimita dei bordi il campo sara nullo. Cio si formalizza cos:

E(0; t) = E(L; t) = 0

Da cio, si ottiene il seguente risultato: data frequenza donda ,

A1 = A2; Kx =mx

L, m = 0,1,2...

Il discorso si puo estendere su tre dimensioni, considerando il contributodelle tre componenti mx, my, mz; considerando un valore di k permesso in un

volume 3

L3, possiamo dire che:

N(k) =1

8(

4

3k3)(

L

)3

; k =2

c

I()d = (kT)dN; dN =dN

dk dk

d = 24L3

c3 2

d

I() = 24L3

c32kT

Allaumentare della frequenza , dunque, dovrebbe anche aumentare lin-tensita I, la temperatura T, e cos via. Sperimentalmente, invece, si verificaquesto fatto: landamento di I() e a campana, a differenza di parabolico,come ci aspetteremmo dalla teoria finora espressa.

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In realta, studiando la meccanica quantistica e la meccanica statistica,arriveremo a dire che lenergia del corpo nero ha un andamento

E(; T) = ekT 1

1.2 Introduzione del concetto di quantizzazione

Unaltra inadeguatezza classica e il modello atomico: classicamente, un ato-mo si potrebbe considerare come un equilibrio tra la forza elettrostatica equella gravitazionale. Ma se cos fosse, il modello atomico coinciderebbeesattamente con quello planetario: orbite precise, che lelettrone dovrebbeseguire. Dunque, dovremmo anche considerare un altro fattore non trascur-

abile: un elettrone, a causa dellaccelerazione centripeta, dovrebbe perdereenergia, sotto forma di carica elettrica (la sua fonte principale di energia), peril principio di conservazione dellenergia; una carica accelerata, infatti, gen-era un campo elettromagnetico, e quindi fa perdere energia allelettrone. Inquesto modo, con il modello atomico classico, lelettrone dovrebbe tendenzial-mente andar a collassare contro il nucleo, e la materia sarebbe estremamenteinstabile, cosa che effettivamente non e.

Quantisticamente, si accantona lidea di orbite, e si introduce quella diorbitali, ossia di zone dotate di una certa densita di probabilita in cui si puotrovare o meno un elettrone. Questo, se eccitato, puo saltare in altri livelli

energetici, che pero sono quantizzati, ossia ben definiti, discreti, multiplidi un livello fondamentale. Gli atomi eccitati emettono quantita anchessediscrete di radiazione, ben definite, come meglio vedremo in seguito.

Altra innovazione e conferma della necessita della meccanica quantisticafu la quantizzazione della luce: il fenomeno, detto Effetto Fotoelettrico, vennescoperto e formalizzato da Albert Einstein: incidendo un metallo con uncampo elettromagnetico, e possibile estrarvi degli elettroni. Cio che si scopr,e che in un metallo vi e un livello di energia limite, detto Livello di Fermi,al di sopra del quale vi e un livello proibito, in cui gli elettroni non possono

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I(w)

X-RAYS


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stare. Se pero si fornisce unenergia tale da far saltare gli elettroni aldil a del

livello energetico proibito, mediante un fascio di luce, e possibile estrarli dalmetallo. Cio che inoltre Einstein scopr, e il fatto che la quantita di elettroniestratti non dipende tanto dallintensita del fascio di onde elettromagnetiche,quanto dalla loro frequenza:

E =

Questa relazione rappresenta lenergia di un cosiddetto fotone, ossia di unquanto di luce: con cio si dimostro che, dunque, anche lelettromagnetismoha in realta una natura discreta.

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Capitolo 2

Fondamenti della Meccanica

Quantistica

Un concetto cardine della meccanica quantistica e il dualismo onda-corpuscolo:un corpuscolo (o particella) e unente dotata di massa e volume. Unonda, alcontrario, e unentita dotata di una spazialita non definita. Un caso banaledi onda e londa piana, che spesso verra utilizzata in questa trattazione:

f(x; t) = A sin(kx t); k = 2

Dove e la lunghezza donda. Utilizzando la notazione esponenziale,

sin(x) =eix eix

2i

Da cio, una funzione donda piana (x; t) e una funzione esprimibilecome:

(x; t) = Aei(kxt)

Questo sara il modello che adotteremo maggiormente quando esprimere-mo funzioni donda in diversi casi.

2.1 Esperimento di Davisson e Germer

Consideriamo tre esperimenti paralleli, effettuati dai fisici Davisson e Ger-mer nel 1927, e osserviamo un effetto molto particolare, inspiegabile classi-camente: supponiamo di avere un muro dotato due due fenditure, ognunaapribile e chiudibile a scelta. Dietro, avremo un secondo muro nel caso delprimo esperimento, ed una lastra fotografica nel secondo esperimento, in

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grado di imprimere sia unonda elettromagnetica che un fascio di elettroni.

Vediamo cosa accadra in tre diversi casi:

1. Se spariamo proiettili verso questo muro, tenendo chiusa una fendituraper volta, notiamo che, con due fenditure, avremo una distribuzionea campana dei proiettili: di fatto, la distribuzione delle due fendi-ture aperte, coincidera con la somma delle distribuzioni delle singolefenditure, una aperta ed una chiusa e viceversa;

2. Se emettiamo un fascio di onde elettromagnetiche verso la lastra, avre-mo una distribuzione, per le fessure singole, analoga a quella del casocorpuscolare. Se pero invece abbiamo entrambe le fenditure aperte,si verificheranno fenomeni di interferenza, tali per cui la distribuzionesara molto piu irregolare;

3. Se spariamo un fascio di elettroni (si noti che lesperimento con gli elet-troni mandati uno senza interagire con laltro, il risultato in realt a nonvaria) contro la lastra, dal momento che gli elettroni sono corpuscoli, ciaspetteremmo una fenomenologia analoga al caso 1. In realta, si veri-fichera proprio il contrario: avremo dei visibili fenomeni di interferenza,e la distribuzione sara analoga al secondo caso. Dei corpuscoli, dellacui natura siamo sicuri, si comportano di fatto come onde.

Riformuliamo, introducendo un formalismo maggiore, lesperimento 3 intermini piu matematici, considerando alcuni elementi:

pi(x): densita di probabilita che un elettrone arrivi sul punto x delloschermo passando per la i-esima fenditura.

i(x): ampiezza di probabilita dellevento in x.Si noti che il modulo quadro della funzione di ampiezza di probabilita, e

una densita di probabilita:

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, I ,= 2 J ~ ~ ~ ~ ~ - - ~ -E " i i . " " ' " =: l '

WALL

(a)

DETECT~

B A C K S T O P " : .I~ 12r z = l c j l l(b I (c)


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pi(x) = |i(x)|2Date le due fenditure, entrambe aperte, lampiezza di probabilita dei due

eventi combinati e data dalla somma delle due funzioni; la probabilita agiradunque di conseguenza:

(x) = 1(x) + 2(x); = p1,2(x) = |1(x) + 2(x)|2

2.2 Principi fondamentali della Meccanica Quan-

tistica; Funzione dOndaEsistono alcuni principi di base in meccanica quantistica; bisogna tenereconto che tuttavia essi possono essere poco intuitivi, almeno rispetto a quellidella fisica classica: gia la sola dualita onda-corpuscolo sembrerebbe moltodiscutibile, anche se di fatto ha un riscontro con la realta non negabile: essa eil risultato dellesperimento prima citato, di Davisson e Germer, esperimentosempre riproducibile, e dunque non confutabile o limitabile, se non da unaltro esperimento sempre riproducibile.

La meccanica quantistica nonostante la scarsa intuitivita dei suoi argo-menti ha effetti visibilissimi a livello macroscopico, e proprio in questo senso

e stato formulato un principio fondamentale: il principio di corrispondenza.Il principio di corrispondenza afferma che, passando dalla scala microscopicaa quella macroscopica, dobbiamo trovare effetti riconducibili alla meccanicaquantistica, anche nella meccanica newtoniana. La separazione tra questi duemondi, e detta limite classico: esso va valutato pero in ogni singolo problemache ci capita di studiare. Cio che si ricava dallo studio quantistico, dunque,va confrontato con risultati sperimentali macroscopici.

Altro principio molto poco intuitivo, e il fatto che le quantita fisicherisultano essere caratterizzabili come multipli di quantita discrete. Nel casodella luce, come gia visto, lenergia risulta essere infatti quantizzata. Il du-

alismo onda-corpuscolo e confermato dalle ipotesi di De Broglie, che meglioquantificano il fenomeno.

E = = 2

p = k; k =2

; E = pc; c =

k=

Possiamo perfezionare dunque gli enunciati del dualismo onda-corpuscolo,in questi due punti:

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A qualsiasi particella materiale e associato un campo di onde, di lunghez-

za .

A qualsiasi campo ondulatorio corrisponde un quanto, ossia una parti-cella fondamentale.

Lampiezza del campo donda e detta funzione donda (r; t). In questasono nascoste tutte le informazioni fisiche del sistema quantistico che si stastudiando. La densita di probabilita di studiare il sistema in dr intorno ar, e rappresentata dal suo modulo quadro; generalmente infatti la funzionedonda e una quantita complessa, di conseguenza studiare il modulo quadropermette di portare nel campo reale la funzione e poterle attribuire il signi-ficato probabilistico. Di conseguenza, si puo dire che in questa funzione visia la probabilita di trovare in ognuna delle coordinate spazio-temporali ilsistema fisico.

|(r; t)|2drCosa significa cio che abbiamo finora espresso: noi perdiamo la concezione

classica deterministica, di conoscenza precisa di un sistema spazio-temporale,e quindi di conoscere con precisione tutte le caratteristiche di un sistema adun certo tempo, in un certo punto; immaginiamo che pero si faccia una misura

dello stato del sistema fisico: la funzione donda, contiene al suo interno leprobabilita che si trovi in uno piuttosto che in un altro punto, in un certoinstante di tempo.

Poiche si parla di una densita di probabilita, naturalmente, dato il volumetotale ,

|(r; t)|2dr = 1

In generale la funzione e a valori complessi. Essa appartiene allo spazioL2, nel suo dominio R3. Date 1 e 2, il sistema si puo esprimere anchemediante una loro combinazione lineare:

= a1 + b2, a , b CSi dimostra che lo spazio dei possibili stati di un sistema quantistico e

uno spazio vettoriale lineare di dimensione pero infinita (detto anche co-munemente Spazio di Hilbert). Per questo motivo, e possibile, su questospazio, definire un prodotto scalare, fondamentale spesso per normalizzare lafunzione donda:

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< 1|2 >=

12dr C

2.3 LEquazione di Schroedinger

Una delle interpretazioni della meccanica quantistica, nata dal fisico Er-win Schroedinger, si fonda sulla cosiddetta Equazione di Schroedinger: essae unequazione differenziale la cui soluzione e lequazione donda : datoloperatore H:

H = [2

2m2 + V(r)]LEquazione di Schroedinger avra una forma del tipo:

i

t = H

Quale significato fisico racchiude tale equazione? Analizziamola pezzoper pezzo:

i e lunita immaginaria, il numero tale per cui i2 = 1; sembra stra-no da dirsi che unequazione fisica presenti al suo interno un numero

complesso, ma cio ha una spiegazione immediata: lanalisi complessapermette di semplificare notevolmente la scrittura di fenomeni ondula-tori, e in questo modo si riesce allinterno dellequazione a racchiuderediversi tipi di soluzione, che andrebbero altrimenti espresse in formareale. Si tratta dunque di un artificio puramente matematico, in gradodi meglio compattare la forma dellequazione di Schroedinger;

e detta costante di Planck normalizzata di 2, ed e alla base dellameccanica quantistica: e un termine che si trova praticamente in qual-siasi fenomeno di quantizzazione, anche detto infatti quanto dazione

(considerando che lazione rappresenta la grandezza che si misura in Js,esattamente come la costante di Planck). vale circa 1.05467 1034Js,ed e una costante universale della fisica. Classicamente essa puo ten-dere a 0, infatti noi nella realta quotidiana non possiamo vedere moltieffetti quantistici che pero a livello microscopico si possono osservarecomunemente; il principio di corrispondenza e proprio quello che diceche, al di sopra di un certo limite (limite classico), la costante puotendere a 0;

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: si tratta della gia discussa funzione donda, che provoca il carat-

tere indeterministico della meccanica quantistica. Si noti al contrariolequazione di Schroedinger e perfettamente deterministica, anche sediversa dalle solite che abbiamo studiato.

H: si tratta dellHamiltoniano del sistema, ossia delloperatore dellen-ergia totale. Esso venne introdotto dal matematico Hamilton, nella suaformulazione della meccanica analitica, piu completa di quella newto-niana. Esso a seconda del tipo di sistema fisico che vogliamo studiaremediante lequazione di Schroedinger, sara diverso; prima e stata pro-posta la forma piu completa dellHamiltoniano, quella che considera

anche un potenziale; esisteranno sistemi in cui non si dovra considerareun potenziale (sistemi liberi), o con potenziali particolari.

Facciamo un esempio pratico banale di risoluzione dellequazione di Schroedinger:consideriamo come funzione una semplice funzione donda: londa piana,monodimensionale.

(x; t) = Aei(kxt);

t= i;

2

x2= (ik)2

=2k2

2m

; k = p; = E

E =p2

2m

Dopo aver terminato questo breve esempio esplicativo di come utilizzarein casi estremamente semplici la funzione donda, introduciamo il Princi-pio di Indeterminazione di Heisenberg, dando temporaneamente ancora perscontato quello di operatore quantistico, per parlarne in seguito.

2.4 Principio di indeterminazione di Heisen-

berg

Idealmente, in un sistema governato dalla fisica classica, siamo in grado dimisurare con precisione arbitraria lo stato del sistema; abbiamo in effettialcune limitazioni, nella realta, date dal fatto che gli strumenti, o gli esseriumani che compiono la misura, possono provocare imperfezioni in questa.Supponiamo (senza neanche andar molto lontano dalla realta) di potercitrovare in un mondo con strumenti in grado di fornirci una precisione infinita,cosa comunque possibile, visto il continuo progresso tecnologico della nostra

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era. Possiamo dunque dire che le limitazioni non ci sono fornite dal mondo

fisico che noi studiamo, bens dal nostro progresso tecnologico, o dalle nostrecapacita.

Passiamo ora a parlare di un sistema governato dalla fisica quantisti-ca; come punto di partenza, cerchiamo di collegare il concetto di misura alconcetto di funzione donda: imponiamoci ad esempio di voler misurare laposizione del sistema quantistico in un certo tempo. Applicando loperatoredella misura che intendiamo fare, alla funzione donda, avremo una proba-bilita di trovarci in un determinato punto dello spazio, ad un certo istante. Difatto pero il sistema potra trovarsi in infiniti punti, pur avendo certi un pesomaggiore di altri, ossia una probabilita maggiore. Sfruttando il significato

della funzione donda come funzione di probabilita, in pratica cio che faremo,e calcolare il valor medio dello stato in un determinato istante: sfruttandodunque la classica definizione di valore atteso probabilistico, faremo cio: datala grandezza G, il valor medio non sara altri che:

< G >=

G|(r; t)|2drdt

Partendo da questo discorso, nasceranno ulteriori problematiche affrontatenella meccanica quantistica, come la possibilita di non poter stabilire, incerte condizioni, una misura di un set di grandezze con precisione arbi-

traria. Affronteremo in seguito questo problema, parlando del Principio diIndeterminazione di Heisenberg.La prima limitazione, ossia quella di dover misurare un valor medio e

non un valore esatto, e indipendente dallo strumento di misura, perche epropria dei sistemi regolati dalle leggi della meccanica quantistica. Tuttaviai problemi non termineranno a questo punto; dopo aver effettuato una misura,inoltre, non la ritroveremo piu; il sistema si evolve nel tempo, e dunque ilnostro effettuare misure non sara piu valido dopo la prima. Prima di poterarrivare al definire il Principio di Indeterminazione, introduciamo un nuovoformalismo; quello precedente meglio si riconduceva alle nozioni piu basilaridi calcolo delle probabilita, questo si appoggia su ragionamenti che spesso cicapitera di fare: calcoliamo il valore atteso, basandoci sulla definizione delprodotto scalare:

< G >=< |G >=

(r, t)[G(r; t)]dr

Lintroduzione del valor medio ci serve per trovare, dalle supposizioniteoriche della fisica quantistica, un riscontro misurabile. Possiamo pensare,data grandezza G, ed N misure, che < G >, valor medio, sia interpretabilecome

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< G >=n

i=1

giN

Dove le singole gi sono misure di ogni singolo stato. Nella misura, con-sideriamo lincertezza G:

(G)2 =< (G < G >)2 >Quantisticamente, pero, dovremmo considerare loperatore associato a G,

G. Come gia detto,

< G >=< |G >=

(r, t)[G(r; t)]dr

Lincertezza G, in ambito quantistico, sara:

(G)2 =< (G < G >)2 >=

(r, t)[< (G < G >)2 > (r; t)]dr

Tentiamo di ridurre a 0 lincertezza della misura: cerchiamo di vedere see possibile misurare con precisione arbitraria una certa grandezza G: dal-la relazione appena esposta, sfruttando la proprieta del prodotto scalare di

operatori autoaggiunti, quali G, possiamo dire che

(G)2 =< (G < G >)2 >=

(r, t)[< (G < G >)2 > (r; t)]dr = 0

[< (G < G >) > (r; t)][< (G < G >) > (r; t)]dr = 0

Da cio,

|[< (G < G >) > (r; t)]|2dr = 0

A questo punto, per poter annullare lintegrale, e necessario annullarela funzione integranda (spesso dora in avanti considereremo (r; t) sem-plicemente citando , per comodita; il significato sara analogo). In talsenso,

< (G < G >) > = 0 = G < G > = 0

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G =< G >

Si vuole far notare il seguente dettaglio : da una parte, G e un operatorequantistico, dallaltra < G > e un valore scalare: e il gi che prima abbiamocitato. Cio che otteniamo, di fatto, dunque, e unequazione agli autovalori.Si puo dimostrare che:

Qualsiasi funzione L2() puo essere scritta come sviluppo in seriedelle soluzioni autofunzioni, le singole i;

Le singole autofunzioni sono ortonormali in quanto il fatto che gli op-

eratori sono autoaggiunti, ci garantisce la condizione di ortonormalita.

Possiamo esprimere dunque cio che abbiamo appena detto con il seguenteformalismo:

< G >=< |G >=

[G]dr =

[i

aii ]G[

j

ajj]dr

= i,j

aiajgji

jdr = i

|ai|2gi

In questo ambito, con |ai|2 indichiamo il peso dei valori misurati, mentrecon gi i valori misurati. Facendo molte misure, otterremo sempre valori gidistinti, con probabilita:

|ai|2 = | < i| > |2

A ogni misura corrispondera un certo valor medio, che sara diverso damisura a misura, a seconda dellevoluzione del sistema. Abbiamo determina-to matematicamente la possibilita di determinare una misura con indetermi-nazione nulla; ad ogni misura corrisponde unequazione agli autovalori, dove

al membro sinistro abbiamo la funzione donda applicata alloperatore quan-tistico, e al membro destro uno scalare moltiplicato per la funzione donda.Questo scalare e il valor medio di cui abbiamo sinora parlato, ed e la nostramisura.

Ci poniamo ora un altro quesito: e possibile che un sistema abbia in-determinazione nulla, misurando pero, invece di una singola misura, diversemisure fisiche contemporaneamente? Come abbiamo gia detto, per definirebene un sistema quantistico, e necessario effettuare non una singola misura,ma determinare un set di misure, come per esempio posizione r e impulso p.

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Per poter misurare con precisione arbitraria due grandezze F e G, e dunque

i relativi operatori quantistici, le indeterminazioni dovranno al contempovalere 0.

(F)2 =< (F < F >)2 >= 0 = F =< F >

(G)2 =< (G < G >)2 >= 0 = G =< G > Al contempo, in altre parole, deve essere autofunzione sia per lopera-

tore F che per loperatore G, e quindi i due operatori dovranno avere le stessen autofunzioni. Se cos non fosse, la precisione di una misura influenzerebbe

la precisione dellaltra. Abbiamo che:

Fn = fnn

Gn = gnn

Se applichiamo alla prima equazione gli operatori della seconda, e vicev-ersa, vediamo che

G(Fn) = G(fnn) = fngnn

F(Gn) = F(gnn) = gnfnn

Dobbiamo essere in grado di annullare dunque contemporaneamente ledue indeterminazioni:

F(Gn) G(Fn) = 0; (FG GF)n = 0; FG GF = 0

FG GF = 0 = F; G = 0La grandezza F; G e detta commutatore: se il commutatore di due

grandezze e nullo, allora si dice che le grandezze commutano, e cos e possibileeffettivamente misurarle con precisione arbitraria; cio che pero accade spessoe che due grandezze non commutino, e quindi risulta molto difficile studiarelo stato di un sistema con una certa precisione. Un esempio drammatico didue grandezze non commutanti, e quello gia citato di posizione r e impulsop.

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Cio che la meccanica quantistica matematicamente dimostra, e che, mis-

urato un sistema quantistico, unaltra misura, unaltra grandezza sara per-turbata dalla mia misura precedente, e tanto piu gravemente quanto precisa-mente io ho misurato la prima grandezza. Questo e il cosiddetto Principiodi Indeterminazione di Heisenberg, ed e possibile definirlo con un formalismomaggiore nel seguente modo: data x la nostra grandezza misurata per prima,e x la precisione con cui misuriamo tale grandezza quantistica, potro asso-ciare a x unaltra grandezza, detta impulso associato, px, con relativa preci-sione px. Le due grandezze si assumono come non commutanti (come si puodimostrare calcolandone il commutatore). Il Principio di Indeterminazioneafferma che:

xpx 2

Il prodotto delle due precisioni deve essere maggiore o al meno ugualealla costante di Planck normalizzata di 2, e divisa per 2. Che io dia prioritaal mio impulso associato alla grandezza, o alla mia grandezza, non cambianiente; cio come si puo intuire provoca gravissimi problemi nel definire unset di grandezze in grado di studiare il sistema, come la posizione r, e il suoimpulso associato v, misurati contemporaneamente; poiche daltra parte unamisura perturba il sistema, non misurare contemporaneamente due grandezzenon ha senso, in ambito quantistico. Anche al principio di indeterminazione sipuo applicare il principio di corrispondenza: poiche aldila del limite classico,nel mondo macroscopico, si puo considerare 0, e possibile misurare unagrandezza, senza dover considerare unindeterminazione intrinseca causatadalle caratteristiche del sistema fisico.

2.5 Concetto di Operatore Quantistico

Come abbiamo gia accennato, lo spazio dei possibili stati di un sistema quan-tistico e uno spazio vettoriale di dimensione infinita. Per poter studiare

dunque lo stato di un sistema mediante lequazione di Schroedinger e nec-essario fare una sostanziale variazione nella concezione di misura: passiamo,infatti, dal voler studiare una grandezza fisica classica, al voler studiare unoperatore quantistico. Esso di fatto rappresenta un modo di poter utilizzareil nostro formalismo probabilistico: un operatore quantistico e un operatorelineare autoaggiunto, di dimensione infinita, al quale viene applicata una fun-zione, nel nostro caso la nostra funzione donda. Loperatore e una sorta dicontenitore di tutti i possibili stati del sistema; la funzione donda, perme-tte, di tutti gli stati contenuti nelloperatore, di studiare quale sia quello piu

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probabile. Di base, ad ogni grandezza fisica verra dunque associato un certo

operatore. Ad esempio,

E i t

H 2

2m2 + V(r)

E e loperatore quantistico associato allenergia del sistema; H e lopera-tore hamiltoniano del sistema: si tratta di uno degli operatori pi u importantiin meccanica quantistica, poiche rappresenta lenergia totale del sistema.

Gli operatori quantistici che piu spesso ci capitera di usare, consideran-done anche alcuni gia citati, saranno:

Operatore posizione: r = r = r Operatore impulso: p = p = i Operatore vettore donda: k = p

= k = i

Operatore energia cinetica: T = p22m

= T = p22m

= 22m2

Abbiamo gia citato anche loperatore dellenergia totale di un sistema,

lHamiltoniano, definito come

H = T + V =p2

2m+ V(r) = H = T + V = p

2

2m+ V(r) =

2

2m2 + V(r)

Operatore non ancora citato, ma che vedremo avere delle proprieta moltointeressanti, e loperatore associato alla grandezza fisica classicamente chia-mata momento angolare:

L = r p = L = r p = r (i)

Possiamo considerare L come formato da tre componenti cartesiane, Lx, Ly, Lz,e quindi considerare i tre operatori quantistici associati:

Lx = i(y z z

y)

Ly = i(x z z

x)

Lz = i(x y y

x)

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Altro operatore che viene introdotto, e loperatore modulo quadro del

momento angolare:

L2 = L2x + L2y + Lz

2

Consideriamo, infine, tre di questi operatori quantistici, riscritti in coor-dinate polari sferiche, per notare meglio alcune proprieta:

Lz = i

L2 =

2[

2

2

+1

tan

+1

sin2

2

2

]

T =1

2m[2 1

r2

r+ r2

r+

L2

r2]

Risulta essere molto interessante lo studio delloperatore quantistico Lz,al punto da studiarlo pure scritto in coordinate polari, perche, parlando dimomenti angolari, spesso si parla di studi sulle conservazioni, date certe con-dizioni; considerando lasse di rotazione z, possiamo dire che il momento an-golare rispetto allasse, Lz, e una grandezza che si conserva. Anche L

2 e moltointeressante, a causa di una proprieta quantistica che ora dimostreremo;

tentiamo di risolvere un problema agli autovalori, conLz:

Lz = i

Lz = lz;i

= lz;

d

= i

lz

d

log = ilz

+ c

= Aeilz

Ora, dobbiamo normalizzare la funzione donda, ma prima ancora, im-porre la periodicita della medesima:

() = ( + 2) = Aei lz = Aei lz (+2) = Aei lz Aei lz 2

Da cio, si deve verificare la condizione:

ilz

= m 2 = i lz = m, m = 0,1,2

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Come ogni volta che abbiamo imposto una restrizione alla funzione, una

condizione al contorno, o comunque un qualsiasi vincolo, abbiamo ottenutoun effetto di quantizzazione: il momento angolare, risulta essere quantizzato:

lz = m

Possiamo ora normalizzare la funzione donda utilizzando il prodottoscalare:

< m|m >=20

d =

20

|A|2d = 1

A = 12

; m() = 12

eim

A questo punto, abbiamo trovato la funzione donda associata allopera-tore quantistico di una componente del momento angolare, nel nostro casoquella del momento dellasse di rotazione, Lz; perche abbiamo pero parlatoanche delloperatore L2 ?

Una proprieta quantistica molto interessante, che si puo dimostrare, eche una componente del momento angolare, e il modulo quadro dellinteromomento angolare, sono grandezze commutanti, dunque risulta molto utileutilizzarle per determinare un set di grandezze, dal momento che e possibile

misurarle con precisione arbitraria.

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Capitolo 3

Esempi di risoluzione

dellEquazione di Schroedingerin casi stazionari

Ci proporremo ora di studiare particelle quantistiche in situazioni man manosempre piu complesse: cio ci permettera di creare un modello, che potremoesportare a casi reali; ogni modello in qualche modo potrebbe inoltre appog-giarsi sul precedente, e cos costruiremo poco a poco casi sempre piu vicini aquelli che effettivamente avvengono nella realta.

3.1 Particella quantistica libera

Per particella quantistica libera si intende una particella di massa m soggettaa potenziale nullo: V(r) = 0; lHamiltoniano della funzione sara dunque unafunzione del tipo:

H =p2

2m

Risolviamo per facilita il problema monodimensionale, per poi vedere inseguito il caso piu complesso nello spazio tridimensionale:

H = E = 2

2m

2

x2 = E;

d2

dx2+

2m

2E = 0

Risolvendo, vedremo che lequazione avra una forma del tipo

(x) = Aeikx; k =

2m

2E; E =

2k2

2m

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Si vede che, dietro la relazione, abbiamo le ipotesi di De Broglie, che

lega limpulso della particella alla sua lunghezza donda. La funzione dondak(x) sara dunque funzione dello spazio, e del numero quantico k; esportiamocio che abbiamo trovato ora al caso tridimensionale, considerando un vettoredonda k anziche un valore scalare, e considerando il vettore posizione r:

k(r) = Aeikr; k =

kx ky kz

; E =

2

2mk2

3.2 Particella quantistica in buca di poten-

ziale a pareti infinite

Consideriamo questa volta la particella in mezzo a due picchi di potenzialeinfiniti. Cio si puo formalizzare, monodimensionalmente, esprimendo unafunzione di potenziale della forma:

V(x) =

0 x ]0; a[

+ x = 0; x = aIn altre pariole, nei punti 0 e a abbiamo due picchi infiniti di potenziale

V. In questo caso, lHamiltoniano della funzione avra forma del tipo:

H = p22m

+ V(x)

La soluzione generale dellequazione di Schroedinger sara:

2

2m

d2

dx2(x) = E(x) = (x) = Aeix + Beix; =

2m

2E

La soluzione dellequazione di Schroedinger, ossia la funzione donda, sipuo pensare in questo caso come somma di due contributi: una componenteprogressiva, ossia quella con costante A, e una componente regressiva, ossia

quella con costante B. Abbiamo a questo punto due incognite da trovare, A eB. Per poterle trovare, dobbiamo introdurre nel problema delle condizioni alcontorno: sappiamo infatti che sui bordi, 0 ed a, abbiamo potenziale infinito,e dunque la probabilita che la particella si ritrovi nelle due posizioni sianulla. Per questo motivo, la funzione donda, rappresentante la probabilitadi ritrovarsi in un determinato punto dello spazio, varra 0 nei punti 0 ed a.Formalizzando,

(0) = (a) = 0

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B = A x = 0

A[eix eix] x = a = (a) = 2Ai sin(a)

Possiamo dunque dire che, dato il carattere periodico della funzione seno,

a = n

Normalizziamo ora come al solito mediante luso del prodotto scalare:

< | >= 1 = 4A2a0

sin2(x)dx; A =

1

2a

La funzione donda, n(x), dipende da due parametri: n e x; lenergiadunque non variera con continuita, ma in stati discreti, identificati dai varin. Attribuendo una certa energia alla particella, essa comunque assumeraun livello discreto, e non esattamente corrispondente a quello dellenergia,perche di fatto potrebbe non esistere.

Possiamo estendere la soluzione al problema tridimensionale:

n(r) = 2Ai sin(xx)sin(yy)sin(zz); n =

nx ny nz

; En =22

2ma2n

In tre dimensioni, i numeri quantici sono questa volta quelli del vettore n:nx, ny, nz. La cosa interessante e che pero diverse terne potrebbero portarciallo stesso livello energetico: si parla cos di degenerazione di livelli energetici.Provando a interpretare geometricamente, prima la buca era rappresentabilecome un segmento, ora si puo pensare come ad una sfera di potenziale infinita,e con raggio r; la funzione donda, di fatto, sara confinata dalla sfera dipotenziale. Le orbite permesse in questa sfera sarebbero:

2r = n = r = n 2

3.3 Particella soggetta ad un gradino di poten-ziale

Supponiamo di avere una particella che, avanzando sullasse x, incontri ungradino di potenziale, nel punto 0, di dimensione V0: avremo una funzionedel potenziale al variare di x, V(x), del tipo

V(x) =

0 x < 0

V0 x > 0=

H = p

2

2mx < 0

H = p2

2m+ V0 x > 0

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A questo punto, dovremo considerare due equazioni di Schroedinger, a

seconda dellintervallo che tratteremo: esse avranno una forma del tipo:

d2

dx2+

2m

2E = 0, x < 0

d2

dx2+

2m

2(E V0) = 0, x > 0

Le soluzioni per le due regioni saranno dunque:

1(x) = Aeix + Beix; =

2m

2E,x < 0

2(x) = Ceix + Deix; =

2m

2(E V0), x > 0

A questo punto, quando la particella si trova davanti al gradino, puo avereunenergia maggiore o minore rispetto a quella del potenziale V0:

Se V0 < E, la particelle puo saltare il gradino, e quindi proseguire tran-quillamente il suo tragitto, avendo una riduzione di energia, e quindicon energia E2 = E V0;

Se V0 > E, classicamente diremmo che la particella dovrebbe fermarsi enon proseguire. In realta, quantisticamente, per V0 finito, puo succederequalcosa di molto interessante: definiamo un valore come:

=

2m

2(V0 E)

Da cio, possiamo reinterpretare la seconda funzione donda con la scrit-tura

2(x) = Cex

+ Dex

Ricaviamo le costanti A, B, C, D, mediante lapplicazione di condizionial contorno; utilizzeremo le seguenti, dai dati a nostra disposizione:

1. Le funzioni donda devono essere continue e derivabili in tutto il do-minio: questo anche per il punto x = 0, dove abbiamo il gradino dipotenziale.

2. Le funzioni donda vanno normalizzate mediante prodotto scalare

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Le soluzioni non normalizzate avranno una forma del tipo:

1(x) = Aeix + Beix, x < 0

2(x) = Cex , x > 0, =

2m

2(V0 E)

La funzione donda, presenta dunque una possibilita (remota, poiche vacome un ex), che una particella entri in una zona di spazio in cui il poten-ziale e maggiore della sua energia totale, ossia del suo Hamiltoniano. Questoeffetto quantistico e detto effetto tunnel. La condizione per cui questo possa

avvenire, come gia accennato, e che V0 deve essere un valore finito; in ca-so contrario, la condizione al contorno di continuita non si puo imporre, edobbiamo considerare il fatto che la funzione donda in 0 deve essere nulla.

3.4 Buca di potenziale a pareti finite

Immaginiamo di avere la nostra particella quantistica allinterno di una bucadi potenziale, ma a pareti finite; per effetto tunnel, la particella potr a uscire,anche se il suo Hamiltoniano e inferiore allenergia potenziale delle pareti.

3.5 Buca di potenziale rettangolare

Consideriamo una barriera di potenziale rettangolare, di spessore l, di poten-ziale V0. Il potenziale, nel solito caso monodimensionale, avra unespressionedel tipo:

V(x) =

0 x < 0 o x > l

V0 0 < z < l

Lequazione di Schroedinger avra una forma simile a quella gia vistaprecedentemente nel caso del gradino:

d2

dx2+

2m

2E = 0, x < 0 o x > l

d2

dx2+

2m

2(E V0) = 0, 0 < x < l

Il caso piu interessante sara 0 < x < l: avremo come prima un coefficiente della forma

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=

2m2

(V0 E)

2(x) = Gex + F ex

Per effetto tunnel, la particella, pur con E < V0, potra dunque superarela barriera, con la solita probabilita, pari a ex

3.6 Oscillatore armonico quantistico

Un modello classico fondamentale per la fisica e stato loscillatore armoni-co. Avendo a che fare con fenomeni ondulatori, o periodici, o molti altri,ricondurci a questo tipo di modello e sempre stata unarma vincente. Im-maginiamo di avere per esempio una particella con un potenziale di tipoelastico:

V(x) =1

2kx2

LHamiltoniano della funzione avra uina forma del tipo:

H =

p2

2m + V(x) =

p2

2m +

1

2 kx2

Loperatore quantistico associato allHamiltoniano in questo caso avrauna forma del tipo:

H = 2

2m

d2

dx2+

1

2kx2

Lequazione di Schroedinger con questi parametri, avra una soluzione deltipo:

() = H()e122; = m

x

La variabile identifica un preciso livello energetico, discreto.Il discorso fondamentale e il seguente: se prima, classicamente, loscilla-

tore armonico era rappresentabile mediante una parabola, ora e identificabilecos:

La parabola continua rappresenta il grafico dellenergia in un oscillatorearmonico classico; Le righe rappresentano loscillatore armonico quantistico:lenergia, nelloscillatore armonico, risulta essere quantizzata, e comunquelimitata dal caso classico: a livello macroscopico, infatti, riusciamo comunque

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a vedere gli effetti di questo modello quantistico. Lenergia, a seconda dellivello n (prima identificato con ) in cui ci troviamo, varia in questo modo:

En = (n +1

2), n = 0, 1, 2...

Ogni stato quantistico di un oscillatore e determinato dallautofunzionen(x), e dal numero quantico n; questo provoca il carattere discreto del-loscillatore. loscillatore cambia di stato assorbendo o emettendo quanti dienergia pari a , ossia fotoni.

3.7 Rotore Rigido Quantistico

Consideriamo, ora, un sistema in rotazione studiato sotto il punto di vistadella meccanica quantistica. La sua energia, classicamente, aveva una formadel tipo:

E =1

2

L2

IzDove Iz e il momento di inerzia; loperatore Hamiltoniano del sistema

avra una forma del tipo:

H =1

2

L2

Iz

Lequazione agli autovalori avra dunque la solita forma H = E:

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Adogni autovalore (olivello dienergia) corrisponde unsolostato, quindi non c' degenerazione.


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angolare, esistono piu possibilita, discrete, che garantiscono la stessa ener-

gia, variando pero la rotazione: definito dunque l, autovalore dellenergia, lostato quantico e uno dei 2l + 1 stati possibili. Questo e un esempio di degen-erazione degli stati quantici: da 1 stato energetico, derivante dallautovaloredellenergia del momento angolare l, sono possibili 2l + 1 degenerazioni diquesto.

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Capitolo 4

Atomo di Idrogeno

Mediante i modelli finora descritti, man mano sempre piu completi, possiamocostruire il modello quantistico di un elemento effettivamente esistente nellarealta: vogliamo modellizzare mediante lequazione di Schroedinger un atomodi idrogeno, descrivendo un elettrone allinterno di esso.

Il potenziale V(r) dellHamiltoniano non sara altri che il potenziale Coloumbiano,ossia quello derivante dalla legge di Coloumb: dato il numero di protoni (oelettroni) Z, esso sara:

V(r

) = Ze

rLHamiltoniano del sistema nucleo-elettrone avra questa forma:

H =p2

2+ V(r) = = mM

m + M m

Risolviamo il problema agli autovalori relativo alloperatore appena defini-to:

[ 2

2m2 Ze

r](r) = E(r)

Riscrivendo lequazione in coordinate polari, e risolvendola mediante tec-niche matematiche, possiamo trarne un risultato molto interessante: la fun-zione donda e scomponibile come prodotto di funzioni indipendenti, unavariabile con gli angoli, laltra variabile col solo raggio:

(r) = ()Y(; )

Le funzioni donda, dunque, dipenderanno da tre numeri quantici interi,che chiameremo, per attenerci alla convenzione precedentemente usata, n, l,m.

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(,,) = n,l,m = n,l() Yml (, )Pur mancandoci i mezzi matematici, diciamo due parole sulle due funzioni

che fattorizzano la funzione donda :

Yml sono funzioni sferiche: si tratta di soluzioni dellequazione di Laplace,espresse in coordinate sferiche.

n,l sono funzione legate al polinomi di Laguerre, particolari polinomiortogonali

Le funzioni donda dellelettrone, e dunque il suo stato, sono caratterizzatedai tre numeri quantici, n, l, m:

n: e detto numero quantico principale, e rappresenta lenergia dellostato in cui ci si trova: rappresenta, per cos dire, il livello energetico;esso e legato allenergia dello stato dalla relazione:

En = mZ2e4

221

n2, n = 1, 2...

l: e detto numero quantico azimutale, e rappresenta il quadrato del

momento angolare; esso e dunque legato al modulo quadro del momentoangolare L. l varia da 0 a n 1

m: e detto numero quantico magnetico, ed e legato a Lz, ossia allacomponente del momento angolare proiettata sullasse cartesiano z delmomento angolare. m varia da l a l.

I tre numeri quantici sono associati agli autovalori di operatori tra lorocommutanti:

Hn,l,m(r) = Enn,l,m(r)

L2n,l,m(r) = l(l + 1)2n,l,m(r)

Lzn,l,m(r) = mn,l,m(r)

Per un certo valore di energia, En, associato al nostro numero quanticoprincipale n, corrispondono piu stati (discreti) con quadrato del momentoangolare, e sua terza componente cartesiana, diversi. Questa e la spiegazione

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formale della degenerazione degli stati quantici, ossia, del poter avere diversi

elettroni allo stesso livello energetico.Specifichiamo che lequazione di Schroedinger stazionaria puo essere risol-

ta con esattezza solo nel caso dellatomo di idrogeno; possiamo finalmentedopo aver definito il nostro formalismo parlare di orbitali, ossia delle auto-funzioni dei numeri quantici n,l,m, rappresentanti le zone in cui vi e unacerta densita di probabilita di trovare lelettrone.

4.1 Esperimento di Stern e Gerlach e Princi-

pio di Pauli

I due fisici Otto Stern e Walther Gerlach si posero la seguente domanda: unelettrone e dotato di momento angolare intrinseco? In un qualche senso, ein grado di ruotare intorno a se stesso ? Oltre ad una sorta di moto dirivoluzione (anche se abbiamo gia detto che non si parla di un moto vero eproprio, ma solo di una densita di possibilita di trovarsi in una determinataposizione), gia spiegato mediante il modello a orbitali, fecero il seguente es-perimento: emisero un fascio di elettroni, inviandolo attraverso le espansionipolari di un magnete, generante un campo magnetico B non uniforme lungolasse z; se le particelle cariche avessero avuto un momento magnetico intrin-

seco, avrebbero anche avuto un momento angolare intrinseco, e, secondo unaspiegazione classica, avrebbero potuto ruotare intorno ad un loro qualsiasiasse. Lesperimento evidenzio pero una cosa molto particolare: il momentomagnetico intrinseco effettivamente esisteva, ed aveva una caratteristica ab-bastanza inaspettata: questo momento, da noi identificato come , era taleper cui:

F = Fz = zB

z

Invece che disporsi in modo casuale, le particelle arrivavano in solo duepunti, sullasse z, simmetrici rispetto allasse del fascio. Cio poteva voler dire

solo una cosa: i momenti magnetici potevano avere solo due valori distinti:+z, e z. Anche il momento magnetico delle particelle dunque risultavaessere quantizzato. Il momento angolare intrinseco, venne associato al vettoreS, e dunque alloperatore quantistico s;

S2 = Autovalori s(s + 1)2

Sz = Autovalori ms, ms = s,s + 1...0, 1...s 1, s.

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Questo nuovo numero quantico, associato al fenomeno appena studiato,

venne chiamato numero quantico di spin, ms.Si decise, a questo punto, di suddividere le particelle in due grandi gruppi:

Fermioni: particelle a spin semi-intero; Bosoni: particelle a spin intero.

Si puo dimostrare una relazione interessante tra momento angolare or-bitale, e intrinseco:

L

S L

S

Per un elettrone, i momenti orbitali sono della forma:

L = e2m

L = B L

; B =e

2m

I momenti intrinseci hanno forma:

S = 2 e2m

L = 2B S

Come gia accennato, dunque, oltre ai numeri quantici n,l,m, ne esiste un

quarto: il numero quantico di spin ms. Esso in un certo senso quantifica ilmomento angolare dellelettrone intrinseco, che si muove, a causa di questo,come una sorta di trottola su se stesso.

Lo scienziato tedesco Wolfgang Ernst Pauli intu cio; le particelle a spinintero (bosoni), e quelle a spin semi-intero (fermioni) hanno una profondadifferenza: i fermioni devono occupare stati diversi, ossia che differiscono peralmeno uno dei quattro numeri quantici; i bosoni non hanno questo tipo dilimitazione, e quindi piu bosoni potranno occupare senza problemi lo stessostato quantico.

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Capitolo 5

Approssimazione di Born e

Oppenheimer

Complichiamo ulteriormente il nostro problema, e il nostro modello, studian-do questa volta un sistema formato da N atomi, con un totale di n elettroni.Anticipiamo un cenno sulla nostra convenzione: le lettere indicate con lelettere maiuscole indicheranno grandezze legate al nucleo degli atomi, quelleindicate con lettere minuscole, grandezze relative agli elettroni. Ri sara laposizione delli-esimo atomo; Mi la sua massa, Zi la sua carica. ri indicherala posizione delli-esimo elettrone, di massa m.

LHamiltoniano del sistema avra una forma del tipo:

H = Ni=1

2

2Mi2Ri +

1

2

Ni,j=1

ZiZje2

|Ri Rj| 1

2

Ni,,j=1

e2

|ri rj| Ni=1

Nj=1

Zie2

|Ri Rj|

Vediamo cosa indicano i cinque termini, in ordine di scrittura:

1. Energia cinetica dei nuclei: TR;

2. Energia elettrostatica dei nuclei, e quindi potenziale coloumbiano, V(R);

3. Energia cinetica degli elettroni: Tr;

4. Energia elettrostatica (repulsiva) degli elettroni, e quindi potenzialecoloumbiano degli elettroni: V(r);

5. Energia elettrostatica attrattiva elettroni-nuclei: V(r; R);

Abbiamo dunque un Hamiltoniano in forma:

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H = TR + V(R) + Tr + V(r) + V(r; R)

Risolvere lequazione di Schroedinger con un operatore cos complicatoe un problema non indifferente; si sceglie dunque, generalmente, di cercareuna soluzione in cui lequazione di Schroedinger permetta di determinareuna funzione donda con contributi del nucleo e degli elettroni, separabili:si cerca in pratica di trovare unapprossimazione tale per cui una variazionedel nucleo non perturbi il sistema degli elettroni: questa e la cosiddettaApprossimazione di Born-Oppenheimer. Essa si puo esprimere in questomodo:

(R; r) = R(r) (R)Si noti: anche la risulta essere funzione di R: questo perche la posizione

degli elettroni ha comunque una dipendenza parametrica dalla posizione delnucleo: di fatto, essendo gli elettroni intorno al proprio nucleo, han comunquebisogno di una posizione di partenza.

Cerchiamo ora di risolvere lequazione con i dati proposti, e di introdurrelapprossimazione di Born-Oppenheimer:

HR(r) (R) = ER(r) (R)

= TR + V(R) + Tr + V(r) + V(r; R)]R(r) (R) = ER(r) (R)

= TR[R(r)(R)]+V(R)R(r)(R)+(R)Tr[R(r)]+V(r)R(r)(R)+

+V(r; R)R(r) (R)

= TR[R(r)(R)]+(R)[TR+V(r; R)+V(r)]R(r)+V(R)R(r)(R) == ETOTR(r) (R)

Lapprossimazione di Born-Oppenheimer consiste in sostanza nel consid-erare i nuclei fissi: cio che si fa, dunque, e considerare trascurabile lenergiacinetica dei nuclei. Il termine:

TRR(r)(R)

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Sara dunque da ritenersi trascurabile; a causa di questa approssimazione,

possiamo considerare lequazione con lHamiltoniano che da due contributiseparati: uno per i soli nuclei, uno per i soli elettroni:

[TR(R)] + (V(R) (R)) = (ETOT ER(R))

[TR + V(R; r) + V(r)]R(r) = ERR(r)

La prima equazione studia la configurazione dei nuclei per uno statoelettronico ben definito;

La seconda equazione studia la configurazione elettronica, con elettronii cui nuclei sono fissi in posizione R.

Perche lapprossimazione di Born-Oppenheimer abbia senso, e si possastudiare solo questi due contributi, serve che le due configurazioni, nucleareed elettronica, interagiscano tra loro molto debolmente. Piu avanti, parlandoad esempio di conducibilita, vedremo che per interazione tra le due config-urazioni si intende una perturbazione causata da vibrazioni del nucleo, cheprovocano dunque perturbazioni agli elettroni. Lapprossimazione di Born-Oppenheimer trascura questo tipo di interazioni, al fine di poter semplificareil problema in studio. Si noti che lapprossimazione di Born-Oppenheimer,e anche detta approssimazione adiabatica: perche essa si possa applicare,infatti, servono due condizioni sostanziali:

1. La temperatura del sistema deve essere costante;

2. Gli effetti dei moti di agitazione termica devono essere molto ridotti.

Vediamo ora come applicare questa approssimazione in un contesto inter-essante:

5.1 Modello semiclassico per lo studio di unamolecola

Lapprossimazione di Born-Oppenheimer e molto utile se applicata ad uncontesto semiclassico; per contesto semiclassico si intende una situazione incui, pur utilizzando tecniche e concetti della fisica classica, si introduconoeffetti quantistici, per poter risolvere in modo adeguato i problemi.

Facciamo un esempio: consideriamo un elettrone come una densita dicarica:

38


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= e43

r3a

In presenza di un campo elettrico C, avviene un fenomeno di separazionedella densita elettronica dal nucleo, uno spostamento della nuvola elettron-ica dal baricentro precedente; questo e spiegato classicamente dalla forza diColoumb: vediamo

Fel =43

(r)3e

40r2=

e2

40

r

r3a= k0 r

=k

0me

= 2.2 1016Hz; = 3, 3 1013HzCambiamo ora tipo di interpretazione, considerando questo sistema come

un sistema elastico armonico, introducendo loscillatore armonico quantistico,ed alcune fenomenologie interessanti:

Ep =1

2kr2; E = 13, 7eV

Esistono tre casi molto interessanti da studiare, quando abbiamo a chefare con particelle vincolate: essi sono gia stati modellizzati quando parlava-mo di Esempi di risoluzione dellEquazione di Schroedinger:

Energia in buca di potenziale: dato n numero quantico principale, e alarghezza della buca di potenziale,

En =22

2ma2n2

Rotore rigido quantistico: dato Iz momento di inerzia del sistema, ed lnumero quantico azimutale,

El = 2

2Izl(l + 1)

Oscillatore armonico quantistico: data frequenza di risonanza, ed lnumero quantico magnetico,

Em = (m +1

2)

39


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Date queste basi, vogliamo studiare, mediante questo modello, una moleco-

la di idrogeno H2; data massa dellelettrone, lenergia totale della molecoladisporrebbe di tutti e tre questi contributi: dato momento di inerzia pari a14

d2

E = En + El + Em =22

2ma2n2 +

2

2Izl(l + 1) + (m +

1

2)

Confrontiamo tale energia con lenergia della teoria classica della cinetica deigas:

E = Kb

T

I contributi delle tre energie, secondo questo modello, sarebbero

En = 1, 1 1019eV El = 8, 8 103eV Em = 0, 25eV

A temperatura ambiente, En, ossia i livelli traslazionali, ed El, ossia ilivelli rotazionali, sono possibili. Parlare di risonanza, invece, e improbabile:perche vi siano contributi sensibili della risonanza, la temperatura del sistemadeve trovarsi circa a 2850 K. Spesso si sente parlare di risonanza tra molecole,come per esempio nei casi dei forni a microonde, ma e un luogo comuneassolutamente scorretto: cio che provoca infatti lagitazione termica dellemolecole non e un contributo vibrazionale, bens un contributo rotazionale.

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Capitolo 6

Bande di energia degli elettroni

Vogliamo studiare il comportamento degli elettroni allinterno di un cristallo.Sappiamo gia da certezze sperimentali che la materia non e compatta, masi puo invece rappresentare come una sequenza di buche di potenziale. Stu-diamo un semplice caso unidimensionale: dato un elettrone in un cristallo,formato da atomi disposti in modo periodico, si puo semplificare il modelloesistente per privilegiarne uno con vere e proprie pareti di potenziale, in pre-senza dei nuclei. Consideriamo di avere buche di potenziale di larghezza a edistanza b: la serie di buche di potenziale risulta essere periodica.

Potremmo studiare ora come al solito le Hamiltoniane del sistema, e cer-care le soluzioni dellequazione di Schroedinger: cio che si cerca di fare e cer-car di semplificare il problema, e in tal senso il fisico Felix Bloch introdussedelle funzioni, dette Funzioni di Bloch, con proprieta molto interessanti: essesono onde piane, dotate di periodicita, dove il periodo e uguale al periododel potenziale del sistema quantistico cui associamo le funzioni. Mediante

lintroduzione di queste funzioni, e del Teorema di Bloch, che garantisce cheun reticolo cristallino e descrivibile mediante lindividuazione di una cellafondamentale, che si ripete periodicamente, e possibile studiare una singolazona, e avere garanzie su tutto il reticolo. Come funzioni donda, dunque,utilizzeremo:

(x) = u(x)eikx

Dove u(x) e una funzione periodica, di periodo T = (a + b).

41

, ' [ n n n\ ~ M N l lLJLJLnuclei x x


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(x) = (x + (a + b)) = u(x + (a + b)) = u(x)Dovremo ricondurci al caso di una buca di potenziale con pareti finite:

avremo dunque due Hamiltoniani da studiare, H1, proprio della particellalibera, e H2, rappresentante le pareti di potenziale.

H1 =p2

2m=

2

2m

2

x2

H2 =p2

2m+ V0 =

2

2m

2

x2+ V0

Le equazioni di Schroedinger, studiate nei due casi, dunque, saranno

2

x2+

2m

2E = 0

2

x2+

2m

2(E V0) = 0

Dalle equazioni, otteniamo due parametri che abbiamo gia rilevato cre-ando i nostri modelli:

2 =2m

2E; 2 =

2m

2(V0

E)

Sostituendo dunque la soluzione (x) = u(x)eikx nelle equazioni, otter-remo:

2u

x2+ 2ik

u

x (k2 2)u = 0

2u

x2+ 2ik

u

x (k2 + 2)u = 0

Da cio, dunque, risolvendo le equazioni, si ottiene:

U1,k(x) = (Aeix + Beix)eikx

U2,k(x) = (Cex + Bex)eikx

Come condizione al contorno del problema, abbiamo la continuita e deriv-abilita su ogni punto, e dunque principalmente sui punti 0 e a; si ottiene, daqueste, un sistema lineare algebrico di quattro equazioni in quattro incog-nite. Questo sara risolubile solo se il determinante dei coefficienti e nullo.Non riportiamo il sistema per comodita, ma diciamo che il risultato finale e:

42


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2 22

sinh(b) sin(a) + cosh(b)cos(a) = cos[k(a + b)]

| cos[k(a + b)]| 1Avremo dunque, al variare del vettore donda k (in questo caso monodi-

mensionale pero si parla di scalare), unenergia quantizzata:

E = E(k)

Facciamo unapprossimazione: consideriamo b b; avverrano i

seguenti fatti:

b 0, cosh(b) 1, sin(b) b

a b = 2 2 = P = ma2

V0b

Abbiamo un effetto molto interessante, che finora non avevamo anco-ra riscontrato: nonostante avessimo introdotto un vincolo, non avevamoottenuto livelli discreti, bens bande di energia, che al loro interno sonocontinue:

1 Psin(a)a

+ cos(a) 1La funzione avra una forma che ci ricorda loscillatore armonico smorzato:

Lampiezza delle bande dipende dal parametro P: per P grande, le zonedi salita e discesa della curva diventeranno strette, e dunque le bande ten-deranno a diventare sempre piu vicine a livelli discreti; al contrario, per Ppiccolo, la particella tendera ad essere libera. Si dimostra che esistono dunquelivelli permessi, sotto forma di bande, e livelli proibiti, sotto forma di gapenergetici. Cerchiamo ora di capire meglio cosa abbiam detto finora: data lanostra funzione

43

p Si~ ~O . CO St xO


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Psin(a)a

+ cos(a) = cos(ka); ka = 2n = k = 2a

n;

= (E) =

2m

2E

Poiche n e intero, k e multiplo del fattore 2a

, e quindi di fatto la relazioneE k resta periodica:

cos(ka) = cos(k +2

an)a

Dato un elettrone libero nel reticolo monodimensionale, avremo, comeenergie,

E =2

2m(k +

2

an)

2

ossia parabole di uguali ampiezze, ma tutte traslate di 2a

. La cosa inter-essante e che tutti gli stati elettronici, che differiscono del fattore G = 2

an,

sono equivalenti. Per questo motivo, e sufficiente studiare (come gia accen-nato in precedenza, quando parlavamo dellintroduzione delle Funzioni diBloch) una singola zona, nella fatispecie la zona

a

< k < a

Questa zona e detta prima zona di Brillouin; una volta note = (k; x),ed E = E(k), lo stato dellelettrone si puo considerare perfettamente deter-minato.

Riproponiamo un grafico:

Lo spazio delle linee tratteggiate, rappresenta i gap di energia, ossia lecosiddette zone proibite; dove vi son presenti le sinusoidi, si ha una banda dienergia permessa.

44

II ~~and


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6.1 Caso in presenza di altri elettroni

Finora abbiamo studiato lipotetica influenza di nuclei, posti in catena sudi un reticolo unidimensionale, privi di ulteriori elettroni: consideravamo, difatto, un singolo elettrone influenzato dalla sola presenza dei nuclei. Supponi-amo ora che i nuclei siano dotati di elettroni ad essi legati, e consideriamo leeventuali interazioni tra il nostro elettrone transitante e questi.

6.1.1 Atomo di Sodio

Prendiamo per esempio due atomi di sodio N a: essi hanno 11 elettroni cias-

cuno, e quindi tutti gli orbitali fino al 2p saranno occupati, e avremo 1elettrone nel livello 3s.Se avviciniamo i due atomi, sara interessante soprattutto lo studio del-

lorbitale 3s: cio che capitera, e che in un atomo, lorbitale 3s sara comple-tamente occupato, mentre nellaltro completamente vuoto. Questo percheavviene un processo cos descrivibile: il 3s si sdoppiera in due livelli, unodetto livello di legame e uno detto livello di antilegame: nel livello di legame,avremo un minimo ben pronunciato, e gli elettroni per questo tenderanno adandarvi per occuparlo.

Quando uniremo piu atomi di sodio, capitera qualcosa di ancora piu in-teressante: man mano che uniamo sempre piu atomi di N a, lorbitale 3s sisplittera in piu di due livelli, raggiungendo una banda tendenzialmente con-tinua, per un numero di atomi cospicuo. Stiamo parlando solo di un orbitaleche si splitta, ossia che sidivide in piu livelli: in realta, tutti i livelli energeticisubiscono un processo di questo tipo, ma man mano che il livello si avvicinaal nucleo, esso risentira maggiormente della sua influenza, e cos la tendenzadi separazione e minore.

45

E

Separation


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6.1.2 Carbonio e Silicio

Cerchiamo di fare un discorso analogo per latomo di Carbonio C: essodispone di 6 elettroni, 2 in 1s, 2 in 2s, e 2 i n 2p: nel livello con n = 2,abbiamo dunque 4 stati occupati e 4 stati liberi. Quando gli atomi di carbo-nio si uniscono per formare un reticolo, la banda a piu alta energia si divide indue bande, con meta dei livelli ciascuna. Tra le due ci sara na zona proibita,detta energy gap.

Qualcosa di simile capita nel Silicio Si: abbiamo n = 3, quindi 4 statiliberi, e 4 stati occupati. Anche qua si formano due bande, con meta deilivelli ciascuna. La banda a energia superiore e detta banda di conduzione,ed e tendenzialmente vuota. La banda a livello inferiore, piena, e dettabanda di valenza. Tra le due ce sempre un energy gap, ma che sara inferiorerispetto a quello del carbonio

Da tutte queste osservazioni, possiamo trarre alcune conclusioni: unendopiu atomi per formare una molecola, solo gli elettroni piu esterni vengonointeressati alla formazione di bande. Gli elettroni piu esterni sono quelli cheoccupano livelli energetici con n maggiore, e sono tendenzialmente gli uniciche entrano a far parte del meccanismo della formazione dei legami chimici.

6.2 Metalli, Semiconduttori, Isolanti

Distinguiamo ora, partendo da cio che abbiam finora detto, tre grandi famigliedi elementi: Metalli, Semiconduttori, Isolanti.

Si chiamano metalli i materiali in cui i livelli energetici pi u esterni sicombinano per formare ununica banda solo parzialmente piena, oppure duebande, una piena ed una vuota, ma che si sovrappongono tra loro.

Si chiamano isolanti e semiconduttori i materiali in cui si formano duebande, una interamente piena ed una interamente vuota, separate pero dauna banda proibita, ossia una banda in cui gli elettroni non hanno livellienergetici in cui possono stare. Se questo gap e piccolo, allora il materiale edetto semiconduttore, se e piu grande, allora si parla di isolante. Si parla di

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semiconduttore quando lenergy gap e dellordine di 1 eV, quando e molto

superiore, come 6 eV o piu, si parla di isolanti.

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Capitolo 7

Meccanica Statistica

Abbiamo finora studiato un particolare problema, per una singola particella.Ci imponiamo ora di estendere queste conoscenze, maturate per una singolaparticella, ossia per un singolo problema, per sistemi composti da molte diqueste particelle, introducendo anche un fattore finora non considerato: lavariazione di temperatura T, e la sua influenza sul sistema. La branca dellafisica che ci permettera di fare cio, e la Meccanica Statistica. Essa si basasu unipotesi fondamentale: tutti gli stati han eguale probabilita di essereoccupati; questipotesi sembra assurda, ma e solamente alla base di altreipotesi, che limiteranno e perfezioneranno questa disciplina. Cio che vogliostudiare, mediante la Meccanica Statistica, e quante particelle si trovano inun singolo livello energetico, ossia, quante appartengono allo stesso autostatodellenergia.

7.1 Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Cio che vorremmo determinare, e, in un sistema macroscopico, il numero diparticelle Ni dotate di una certa energia Ei, e assumere che, senza ipotesiaggiuntive, tutti gli stati hanno la stessa probabilita di essere occupati. Pos-

siamo dunque definire tutti i possibili modi con cui distribuire N particellein gi stati:

=N!i Ni!

i

gNii

Questa disposizione deve pero avere un massimo, cioe un punto con mag-giore probabilita di equilibrio; studiamo dunque con la formula di Stirling, dalmomento che tratteremo sistemi con un numero molto elevato di particelle:ln((Ni)) sara massimo quando il suo differenziale sara nullo:

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ln(x!) = x ln(x) x + 1Da cio, ricaviamo che

Ni = AgieBEi , B =

1

KBT; A =

N

Z

Questa e comunemente detta Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Essaraffigura un ottimo modello per la distribuzione di particelle considerabililibere, come gas in un ambiente macroscopico, allequilibrio termodinamicocon la temperatura T, e dotate di energia Ei. Essa pi in generale servirper rappresentare, sempre classicamente, un insieme di oscillatori armonici,alle condizioni sopra citate (equilibrio termico e con energia di oscillazionedefinita). La Distribuzione di Maxwell-Boltzmann e esportabile in MeccanicaQuantistica, facendo alcuni accorgimenti: esistono due distribuzioni quan-tistiche statistiche, la Distribuzione di Bose-Einstein e la Distribuzione diFermi-Dirac, utili per trattare rispettivamente la distribuzione di bosoni e difermioni. Trattiamole in breve:

7.2 Distribuzione di Bose-Einstein

Come gia accennato, la Maxwell-Boltzmann e esportabile, tenendo contodi alcuni fattori quantistici aggiuntivi: immaginiamo di voler studiare unfenomeno interpretabile mediante molti oscillatori armonici, a livello quan-tistico. Ognuno di questi oscillatori avra unenergia dipendente dal numeroquantico principale n:

En = (n +1

2)

Questi oscillatori tra loro non interagiscono, ma si trovano in equilibrio aduna determinata temperatura. Calcolando la media dellenergia, applicandola distribuzione di Maxwell-Boltzmann allenergia delloscillatore armonico

quantistico, trovero che:

< E >=

n Ene

EnkT

n eEnkT

=

2+

ekT 1

Possiamo dunque riscrivere lenergia media del singolo oscillatore armon-ico come

< E >=

2+ < nquant. >

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< nquant. > rappresenta il numero medio di quanti di energia presenti per

un singolo oscillatore armonico, ossia la popolazione dei diversi livelli al vari-are di . Si puo dimostrare che questa legge, ottenuta mediante lapplicazionedel modello delloscillatore armonico quantistico alla funzione di partizione(da noi non citata, applicando esclusivamente Maxwell-Boltzmann), e validaper tutti i bosoni:

< nquant. >=gi

ekT 1

Questa e detta Distribuzione di Bose-Einstein; e leggermente diversa daquella precedente, per gi: essa tiene conto della degenerazione del livello

energetico. Mediante questa distribuzione, che abbiamo gia visto accenna-ta in precedenza, e possibile risolvere problemi quali quello del corpo nero:poiche il fotone e un bosone, possiamo studiare, al variare di T, la presenzadi bosoni con una certa temperatura, trovando una perfetta corrispondenzatra lincremento di temperatura e la presenza di radiazione elettromagnetica,in accordo con i dati sperimentali che invece non risultano essere validi conun modello classico del fenomeno.

7.3 Distribuzione di Fermi-Dirac

La Distribuzione di Bose-Einstein tuttavia non risolve tutti i nostri problemi:gli elettroni per esempio, non sono trattabili mediante questa distribuzione,in quanto essi sono fermioni, ossia particelle a spin semi-intero. La dis-tribuzione dei fermioni avra un vincolo ulteriore rispetto alla Bose-Einstein:dovra tenere conto dei Principio di Pauli: uno stato quantico, identificato daiquattro numeri, n,l,m,ms, non puo essere occupato da piu di una particellafermionica. Vogliamo dunque derivare da questa condizione la distribuzionedi probabilita dei fermioni, basandoci sullo stato di energia Ei e sulla tem-peratura T; introduciamo, dalla termodinamica, il concetto di energia liberaF: data lenergia interna U, e lentropia S,

F = U T S

F =i

F

NiNi = 0 =

i

Ni = 0

Definiamo la grandezza potenziale chimico i:

i =F

Ni

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La distribuzione dei fermioni ad unenergia Ei, col sistema in equilibrio a

temperatura T, e con un potenziale chimico i, sara:

Ni = f(E; T) = gi1

e(Eii)

KT + 1

Questa e la cosiddetta Distribuzione di Fermi-Dirac; nei casi che noistudieremo, il potenziale chimico i coincidera con il Livello di Fermi EF,ossia lenergia che separa, in un sistema di elettroni, il piu alto livello en-ergetico occupato da quello piu basso non occupato. In altre parole, e quelvalore tale per cui, ad una certa temperatura T, la funzione di Fermi-Diracfornisce un livello energetico di occupazione medio pari a 1

2.

La distribuzione di Fermi-Dirac rappresenta la probabilita che uno statoad energia E venga occupato da particelle quantistiche non interagenti, cherispettano il principio di Pauli. Possiamo pensare agli elettroni dunque comeuna sorta di gas, che pero rispetta la distribuzione di Fermi-Dirac. Studiamoalcune applicazioni di tale distribuzione, per meglio comprenderne lutilita.

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Capitolo 8

Conducibilita nei Metalli -

Modello di Bethe-Sommerfeld

Tentiamo di studiare il gas di elettroni interno ad una buca di potenzialeinfinito cubica, di lato L e volume L3; consideriamo per ora una temperaturaT rigorosamente nulla, fino a quando non estenderemo; il potenziale infinito eunapprossimazione del potenziale di estrazione degli elettroni, che comunquesara molto elevato; queste sono le ipotesi alla base del modello di Bethe-Sommerfeld, per spiegare il comportamento degli elettroni in un metallo:essi saranno quasi liberi di muoversi, con alcune osservazioni ulteriori

La funzione donda avra forma del tipo:

(x) = (1

L)32 eikr

Abbiamo alcune condizioni al contorno per il problema: nella fatispecie,la periodicita della funzione donda. Nel caso tridimensionale,

(x; y; z) = (x + L; y + L; z + L)

Studiamo il caso monodimensionale per capire meglio:

(x) = (x + L) = eikxx = eikx(x+L) = eikxx = eikxx eikxL

Perche si possa imporre la condizione di periodicita, il fattore eikxL nondeve essere influente, e dunque essere uguale a 1.

eikL = 1 = eikxL = ein(2) = 2n = kLDa cio, si conclude che:

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kx = n2L

Ogni stato, ogni vettore donda, ha una posizione ben definita, discreta,distante ognuna dallaltra per una distanza 2

L. Avro dunque tutti punti equi-

spaziati. Se consideriamo uno spazio tridimensionale, avro lo stesso discorso:per ogni vettore donda k, potro avere unenergia associata pari a:

E(k) =2|k|2

2m

Si parla, in tre dimensioni, di una sorta di Sfera di Fermi: si tratta

della sfera nello spazio dei vettori donda k tali per cui E(k) = EF. Allatemperatura T = 0, la statistica di Fermi-Dirac prevede che tutti gli elettronistiano allinterno della sfera di Fermi, e cioe che abbiano un vettore dondala cui energia associata sia minore o al piu uguale di quella di Fermi.

Ci poniamo una domanda: quanti stati elettronici possono essere occu-pati, allinterno di un materiale? Per rispondere a cio, avremo bisogno didue ingredienti: una funzione di densita energetica degli elettroni, e una fun-zione di distribuzione. La funzione di distribuzione sara semplicemente ladistribuzione di Fermi-Dirac, che indichera la probabilita di un certo stato diessere occupato o meno; non abbiamo tuttavia informazioni sulla presenza distati allinterno di un materiale. Supponiamo di dover riempire un anfiteatrodi persone; serviranno due elementi: il numero e la disposizione dei posti, ela distribuzione delle persone che andranno a occuparlo. In un certo senso, sipuo dire che il numero e la disposizione dei posti ci saran dati dalla funzionedi densita degli stati, che identificheremo con g(E), e la distribuzione dellepersone sara data dalla statistica di Fermi-Dirac, f(E; T). Supponiamo diconoscere il numero di atomi per unita di volume; dati N atomi, ognunocon s elettroni, avremo in totale 1

2(sNL3) stati rappresentabili, con valori

discreti, il cui massimo e corrispondente allenergia di fermi, EF. Dato kF ilvettore donda tale per cui E(k) = EF, consideriamo un volume infinitesimocubico Vk, cos definito:

Vk = kxkykz = [2

L]3

Consideriamo nella sfera di Fermi, la densita di stati come il rapporto tra il

totale numero di stati e il volume infinitesimo Vk; ricordando che k =

2m2

E:

NstatiVk

=43

|kF|3[2L

]3 =

43

[2m2

EF]32

[2L

]3 = N(E)

53


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Da cio,

N(E) =L3

62(

2m

2)

32

E32

Definiamo dunque densita degli stati g(E) il numero, pari a dN(E) distati disponibili agli elettroni tra le energie E ed E+ dE:

dN(E) = g(E)dE =L3

42(

2m

2)

32

E12

Tenendo conto del numero di spin, pero, ogni stato puo essere occupatoda due elettroni, dunque di fatto la funzione g(E) appena espressa va ancora

moltiplicata per 2:

g(E) =L3

22(

2m

2)

32

E12

Il numero di stati effettivamente occupati sara dato dunque, come giadetto, dal prodotto della densita degli stati ora ricavata ad energia E, e dellastatistica di Fermi-Dirac, che sara la funzione di distribuzione degli elettroniad una certa energia e temperatura.

N(E; T) = g(E)

f(E; T)

Si noti che finora abbiamo considerato una temperatura pari allo zeroassoluto; ricordando che la statistica di Fermi-Dirac ha una forma del tipo:

f(E; T) = gi1

e(EiEF)

KT + 1

Abbiamo questo fatto: T = 0, dunque il denominatore della funzioneallesponenziale sara infinitesimo. Se Ei > EF, avremo, calcolando il limitecon semplici tecniche analitiche, f(E; T) = 0, e dunque N = 0; al contrario,se Ei < EF, calcolando il limite, la statistica di Fermi-Dirac tendera a 1. Ciosignifica, semplicemente, che per temperature tendenti allo zero assoluto, la

statistica di Fermi-Dirac ci dice che tutti gli elettroni stanno allinterno dellaSfera di Fermi, ossia la sfera nello spazio dei vettori donda k di raggio kF.

Lultima applicazione della Statistica di Fermi-Dirac applicata agli elet-troni con una temperatura tendente allo zero assoluto, ci puo far intuireuna cosa: se tutti gli elettroni allo zero assoluto sono confinati nella Sfera diFermi, la conducibilita non sara possibile, in assenza di perturbazioni esterne.

Nel modello classico di conducibilita di Drude, si e ricavato che, datoNf numero di elettroni liberi, e quindi per il nostro modello precedente,

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Nf = sN, dato N numero di atomi, campo elettrico C, e densita di corrente

J,

J = C = Nfevd; vd =eC

m; =

Nfe2

m

Dove il parametro e il tempo che intercorre tra due urti, tra lelettroneed il reticolo cristallino costituito dagli atomi del metallo. Questo ha dipen-denze dalla temperatura, poiche, con laumentare dellagitazione termica, gliurti divengono piu probabili, la frequenza degli urti aumenta, e il periodo traun urto ed un altro cala. Il modello classico prevederebbe variazione di con T ben quantificata; tuttavia, sperimentalmente, si e verificato che:

(T) 1T

, per temperature T alte;

(T) 1T5+Nimp

, dove Nimp e la concentrazione di impurezze del

materiale

Nel modello di Drude, possiamo invece pensare al tempo approssimatocome:

=l

th; th =

3kBT

m

Introduciamo il modello quantistico di Bethe-Sommerfeld, e usando leipotesi di De Broglie, riusciamo a determinare un parametro che potremmochiamare velocita di Fermi vF:

p = k = mv

Riusciamo dunque a determinare, per la temperatura T = 0, una certaenergia, e dunque una certa velocita degli elettroni, che consideriamo liberi(per ora), che possiamo quantificare:

vF =

23 (3Nf)

13

mDunque, vediamo cosa capita se perturbiamo questo sistema, mediante

un campo elettrico esterno; supponiamo di avere un sistema semplificato,monodimensionale, e di avere un campo elettrico Cx parallelo allasse x. Seimmaginiamo gli elettroni come su di una parabola, allora questo campoelettrico attirera verso di se gli elettroni:

Notiamo che nella prima figura, ogni elettrone ha il suo corrispondente,allo stesso livello di energia, ma con vettore donda k opposto rispetto allo-rigine degli assi. In questo caso, non vi e conduzione. Nella figura a destra,

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invece, il campo elettrico rompe la simmetria, attirando verso di se alcunielettroni, dando energia, e facendoli fuoriuscire dal livello di Fermi. Cio chesi forma, e una asimmetria tra gli elettroni posizionati in una certa posizionek: questa volta, non tutti gli elettroni troveranno, al vettore donda oppostorispetto allorigine degli assi, un elettrone corrispettivo: saranno in un certosenso spaiati. Questi elettroni spaiati, saranno proprio quelli che parteciper-anno alla conduzione, indipendentemente dal fatto che si trovino sopra osotto il livello di Fermi. La densita di corrente avra dunque una forma deltipo:

Jx = Cx = Ne,CxveeDa cio, si ricava che, considerando la densita di elettroni in prossimita

del livello di Fermi, g(EF),

Ne,Cx g(EF)E g(EF)[

Kx]kx

Poiche lenergia E e data da:

E =2k2x2m

Otterremo che:

E

kx=2kx

m=

mpx = vF,x

Ricaviamo dunque la velocita associata allenergia, e il vettore donda,come:

vx =eCxm

kx = eCx

Nel caso tridimensionale, cio che si liberera, ossia cio che condurra, saradunque una porzion

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