9. Nelinearno Programiranje.ppt

1

1

Nelinearno programiranje

Prof. dr. Mugdim Pai

Break-even analiza

Profit:

Uvjet nultog profita:

2

! = ! !!! = ! ! (!" + !")!!" = !"# !!! = ! ! (!" + !"# !)!!"#$%!! = 0!! = !"! !"#!

! = ! !!! = 0!

Primjer

Preduzee proizvodi jeans odjeu. Fiksni troak tokom mjeseca je 10.000 KM, dok je AVC = 8 KM po proizvedenoj jedinici.

Uraditi u excelu break-even analizu za sljedee kombinacije FC=10.000 KM, AVC=8 KM/proizvodu, P=23 KM FC=10.000 KM, AVC=8 KM/proizvodu, P=30 KM FC=10.000 KM, AVC=12 KM/proizvodu, P=30 KM FC=13.000 KM, AVC=12 KM/proizvodu, P=30 KM

3 4

Excel

10.000 10.000 10.000 13.000

8 8 12 12

23 30 30 30

666,6667 454,5455 555,5556 722,2222Q=

Break Even analiza - Primjer

FC=

AVC=

P=

U modelima preduzea koje proizvodi jeans vano je uoiti da je Q nezavisna od cijene

Koliina ostaje konstantna bez obzira na cijenu proizvoda

Ovo je nerealna pretpostavka

5

Nelinearna analiza profita

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00

0 500 1,000 1,500 2,000

Cije

na P

Koliina Q 6

Nelinearna analiza profita

Pretpostavimo da je zavisnost potranje od cijene proizvoda definirana linearnom funkcijom:

Negativan odnos dvije varijable

! = 1.500 24,6 !!

2

7

Nelinearna analiza profita Optimizacioni model bez ogranienja

Ako ubacimo: u jednainu za profit: dobiemo:

Vodei rauna da je FC=10.000, a AVC=8 KM, dobijamo:

! = !(1.500 24,6 !) (!" + !"#(1.500 24,6 !))!!! = 1.500 24,6 !!! = ! ! (!" + !!" !)!

! = 24,6 !! + 1.696,8 ! 22.000!!8


-30,000

-20,000

-10,000

0

10,000

0 10 20 30 40 50 60 70

Prof

it (Z

)

Cijena (p)

Nelinearna funkcija profita

! = 24,6 !! + 1.696,8 ! 22.000!!

9


Potrebno je nai cijenu koja e obezbijediti maksimalni profit: ! = 24,6 !! + 1.696,8 ! 22.000!!"!" = 49,2 ! + 1698,8 !!!"!" = 0!49,2 ! + 1698,8 ! = 0!! = 34,49!!"!!!!! ! = 1.500 24,6 ! = 651,6!! = 24,6 34,49! + 1.696,8 34,49 22.000!! = 29.263,046+ 58.522,632 22.000!! = 7.259,45! 10


y = -24,6*P2 + 1.698,8*P - 22.000 Max profit = 7.259,45

-25,000 -20,000 -15,000 -10,000

-5,000 0

5,000 10,000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Prof

it

Cijena (P) P=34,49 Q= 1.500-24.6*(34,49)=651,55

Maksimalni profit

Optimalna cijena: P=34,49 KM

Optimalna koliina: Q=651,55 komada

Maksimalni profit pri optimalnoj cijeni i koliini: =7.259,45 KM

11


Excel

7.259,45651,6034,49 Optimizirati

10.000,008,00

Model bez ogranicenja

AVC

Profit () =Koliina (Q) =

Cijena (P) =FC

! = 24,6 !! + 1.696,8 ! 22.000!! ! = 1.500 24,6 !!

12

Optimizacioni model sa ogranienjima

Optimizacioni model sa ogranienjima model nelinearnog programiranja (NLP model)

Funkcija cilja i/ili ogranienja su u nelinearnoj formi

3

13

NLP model

Transformirajmo optimizacioni model bez ogranienja u NLP model (optimizacioni model sa ogranienjima) dodajui ogranienje da cijena ne smije biti vea od 20 KM.

P 20 KM

14

NLP model

-30,000

-20,000

-10,000

0

10,000

0 10 20 30 40

Prof

it

Cijena (P)

Osjenena povrina je polje moguih rjeenja gdje je KM P 20

Max Profit

Taka optimalnog rjeenja

A

15

Nelinearna analiza profita Optimizacioni model sa jednim ogranienjem

Excel

7.259,45651,6034,49 Optimizirati

10.000,008,00

NLP model sa jednim ogranienjiem

AVC


Cijena (P) =FC

! = 24,6 !! + 1.696,8 ! 22.000!! ! = 1.500 24,6 !!!"#$%&!"#!:!! 20!!

NLP model

16

y = -24,6*P2 + 1.698,8*P - 22.000 Max profit = 7.259,45

-25,000 -20,000 -15,000 -10,000

-5,000 0

5,000 10,000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Prof

it

Cijena'(P)'''''''''''''''''''''''''''''P=34,49'Q= 1.500-24.6*(34,49)=651,55

Osjenena povrina je polje moguih rjeenja gdje je P 40 KMTaka C, a ne taka B je taka optimalnog rjeenja.

B C

P 40 KM

17

Nelinearna analiza profita Optimizacioni model sa jednim ogranienjem

Excel

7.259,45651,6034,49 Optimizirati

10.000,008,00

NLP model sa jednim ogranienjiem

AVC


Cijena (P) =FC

! = 24,6 !! + 1.696,8 ! 22.000!! ! = 1.500 24,6 !!!"#$%&!"#!:!! 40!!

Nelinearno programiranje dva proizvoda

Jedna firma proizvodi glinene zdjele (x1) i vreve (x2). Na raspolaganju je 40 sati rada zaposlenika

Profit po jednoj zdjeli: Profit po jednom vru:

Proizvod Radna snaga (sati/jedinici)

Glina (kg/jedinici)

Zdjela 1 4Vr 2 3

Zahtjevi resursa

4 0,1 !!!5 0,2 !!!

4

Poto je profit dat po jednoj zdjeli i jednom vru, udio svakog proizvoda u ukupnom profitu e se dobiti mnoenjem sa ukupnom koliinom proizvedenih zdjela i vreva

Ukupan profit:

19

!! = 4 0,1 !! !!!!! = 5 0,2 !! !!!! ! = !! + !!!! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!!!

NLP model

20

Max$! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!!$$Ogranienje:$!! + 2 !! = 40$

21

! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!!!!! + 2 !! = 40!! !!!! = 40 2 !!!!! = 13 !! 0,6 !!!!!"!!! = 13 1,2 !!!13 1,2 !! = 0!! !!!! = 10,8!!! = 40 2 !! = 20 2 10,8 = 18,4!!! = 4 18,4 0,1 18,4! + 5 10,8 0,2 10, 8!!! = 70,42!!"!!

Lagrangeov metod

Prvi korak je da se transformira nelinearna funkcija cilja u Lagrangeovu funkciju

Iz ogranienja slijedi:

22

Max$! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!!$$Ogranienje:$!! + 2 !! = 40$

!! + 2 !! 40 = 0!

Maksimiziranje funkcije cilja Lagrange-ov metod

Definisati Lagrangian: Pri emu je:

Neophodni uvjeti za maksimum se dobiju diferenciranjem po

23

= ! !!, !! ! !(!!, !!)! = ! !1, !2 ! (!1 + 2 !2 40)!

! !!, !! = !! + 2 !! 40!!

!!, !!!!!!!!!24

!!!! = !" !!, !!!!! ! ! !"(!!, !!)!!! = 0! ! = !" !!, !!!!!!"(!!, !!)!!! !!!!!!!!!(1)!!!!! = !" !!, !!!!! ! ! !" !!, !!!!! = 0! ! = !" !!, !!!!!!" !!, !!!!! !!!!!!!!(2)!!!" = !" !!, !!!" ![! ! !!, !! ]!" = 0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(3)!

= ! !!, !! ! !(!!, !!)!

5


(1), (2) i (3) su tri jednaine sa tri nepoznate x1, x2 i

Taka rjeenja (x1, x2 ) naziva se Lagrangeova kritina taka

U toj taki funkcija profita ima maksimum

25 26

= ! !!, !! ! !(!!, !!)!! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!!! ! !!, !! = !! + 2 !! 40!! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!! ! !! + 2 !! 40 !!!!! = 4 0,2 !! ! != 0!!!! !!!!! = 4 0,2 !!!!!!!!!!!(1)!!!!! = 5 0,4 !! ! ! 2 = 0! ! = 5 0,4 !!2 !!!!!!!!!(2)!!!" = !! 2 !! + 40 = 0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(3)!!"! 1 !!! 2 !!"#$%:!4 0,2 !! = 5 0,4 !!2 !! !! = 7,5+ !!!!!!(4)!4 !!"#$%&%!!! 3 :! 7,5 !! 2 !! + 40 = 0!! !! = 10,8!!!!!!!(5)!5 !!"#$%&%!!! 4 :!!!!!!! = 18,4!!!!!(6)!6 !!"#$%&%!!! 1 !!"!! 2 :!!!!! = 0,33!


27

! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!!!!! = 18,4!!!! = 10,8!!! = 4 18,4 0,1 18,4! + 5 10,8 0,2 10, 8!!! = 70,42!!"!!!"!:! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!! ! !! + 2 !! 40 !! = 0,33!! = 4 18,4 0,1 18, 4! + 5 10,8 0,2 10, 8! ! 18,4+ 2 10,8 40 ! = 70,42!!


Znaenje Lagrangeovog multiplikatora: Promjena funkcije cilja za jedininu promjenu

vrijednosti desne strane jednaine ogranienja U naem primjeru to je sa 40 na 41 sat rada

Pa je Lagrangeova funkcija

Rjeavajui je na isti nain dobije se: 28

!! + 2 !! = 40!!!!!!!!"!!!!!!!!!! + 2 !! = 41!! = 4 !! 0,1 !!! + 5 !! 0,2 !!! ! !! + 2 !! 41 !!! = 18,7; !!!! = 11,2; !!! = 0,27; !!! = 70,75!!


Vrijednost za profit (70,75) je za 0,33 vea od prethodne vrijednosti za profit (70,42).

Dakle, jedinino poveanje vrijednosti desne strane jednaine ogranienja rezultira poveanje funkcije cilja za .

To znai da poveanje broja sati rada za jedan sat (sa 40 na 41 sat) rezultira u =0,33 poveanju profita (sa 70,42 na 70,75)

29


Ako je > 0 Vrijednost funkcije cilja se povea sa

poveanjem (apsolutne) vrijednosti desne strane jednaine ogranienja i obrnuto.

Ako je < 0 Vrijednost funkcije cilja se povea sa

smanjenjem (apsolutne) vrijednosti desne strane jednaine ogranienja i obrnuto.

30

6

Provjera da li je Lagrangeova kritina taka maksimum funkcije cilja

Definisati Hessianovu matricu

Ako je determinanta Hessianove matrice pozitivna u Lagrangeovoj kritinoj taki onda je to taka maksimum

31

! = !0 !!!!! !!!!!!!!!! !!!!!! !!!!!!!!!!!!! !!!!!!!! !!!!!!

! ! > 0!

NLP model sa vie ogranienja

32

Potranja)za)dva)tipa)jeansa)!!!!!!!)!! = 1.500 24,6 !!)!! = 2.700 63,8 !!))!! = !"#$%&!!"#$%#!1)!! = !"#$%&!!"#$%#!1)Troak)proizvodnje)jednog)jeansa)1)je)12)KM)Troak)proizvodnje)jednog)jeansa)2)je)9)KM))Profit:)! = !! 12 !! + (!! 9) !!))Ogranienja:)Materijal:)2 !! + 2,7 !! 6.000!!"#$%$)Krojenje:)3,6 !! + 2,9 !! 8.500!!"#$%&)ivenje:)7,2 !! + 8,5 !! 15.000!!"#$%&)

33

NLP model sa vie ogranienja Excel

A1 B1 C1 D1Potranja Cijena Profit

Jeans 1: 602 36,49 24,49 (P1-12)Jeans 2: 1.063 25,66 16,66 (P2-9)

Ukupno = 32459,23 32459,23 SUMPRODUCT(B3:B4; C3:C4)

Q1*(P1-12)+Q2*(P2-9)

Koristeno OgranicenjeMaterijal 4.074,63 6.000Krojenje 5.251,05 8.500ivenje 13.371,93 15.000

Ogranienje resursa

34

Izbor investicionog portfolia Klasian primjer

nelinearnog programiranja

Dva bitna faktora Povrat investicije Rizik S = x1

2s12 + x2

2s22 + ...xn

2sn2 + xix jrijsis j

i j

gdje je:xi ,x j = proporcija (dio) novca investiran u investicije i, j

si2 = varijansa investicije irij = korelacija izmedju povrata na investicije i i j

si ,s j = standardna devijacija povrata investicija i i j

Minimizacija rizika portfolia, mjerena varijansom portfolia, je cilj modela. Varijansa, S, godinjeg povrata na investiciju:

35

Izbor investicionog portfolia

Investitor eli da postigne minimalni oekivani godinji povrat portfolia, to je formulirano kao ogranienja modela kao to slijedi:

portfoliapovrat ocekivani minimalni u investiciju investiran novca (dio) proporcija

einvesticijpovrat godisnji ocekivani :where

......2211

=

=

=

+++++

m

i

i

mnnii

rix

ir

rxrxrxrxr

0,1......:investiran novac sav je da aspecificir eogranicenj Drugo

21 =+++++ ni xxxx

Documents

9. Nelinearno Programiranje.ppt