9. DIMENSIONAALANALÜÜS

Definitsioon. Dimensionaalanalüüs on füüsikaliste suuruste vahelise

seose leidmise meetod, mis põhineb nende suuruste dimensioonidel

vt. ENE

Võimaldab:

1. Suurte (looduslike) süsteemide analüüs mudeli põhjal 2. Sarnasuskriteeriumid 3. Võrrandite kontroll

4. Oluliste füüsikaliste mõistete kataloog Kirjandus:

H.L.Langhaar Dimensional Analysis and Theory of Models. Wiley, New York et al.;

Г.И.Баренблатт Подобие, автомодельность и промежуточная асимптотика. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1982; 

G.Barenblatt ibid, inglise keeles (2 trükki) 1996, 2003;

A.A.Sonin The physical basis of dimensional analysis MIT, 2001.

Definitsioon. Võrrand dimensionaalselt homogeenne, kui tema vorm

ei sõltu põhimõõtühikutest (põhidimensioonidest)

Näide:

Pendli periood gL

2T

L – pikkus, g – raskuskiirendus

2sm8.9g

2saja2,32g lg

L 00.2L 8.9

2T

L11,1L2,32

2T

Definitsioon. Dimensioonita suuruste hulk on täielik, kui iga suurus

selles hulgas on sõltumatu ja iga teine mõõduta suurus antud

muutujatest on esitatav hulka kuuluvate suuruste kaudu

Näide:

hüdrodünaamika muutujad F – jõud g – gravitatsioonikiirendus L – pikkus c – heli kiirus V – kiirus σ – pindpinevus ρ – tihedus μ – viskoosus

Dimensioonita suurused:

Reynoldsi arv

VLVL

Re

Survetegur 222 V

pLV

FP

survep

Froude’i arv LgV

Fr2

Mach’i arv cV

M

Weberi arv

LV W

2

Iga mõõduta suurus hüdrodünaamikas on esitatav 54321 WMFrPRe

Põhiteoreem (aastast 1914)

(Buckinghami teoreem, π - teoreem)

Kui võrrand (funktsionaalne sõltuvus) on dimensionaalselt

homogeenne, siis on võimalik teda redutseerida ainult täielikku

dimensioonita suuruste hulka sisaldavaks võrrandiks (funktsionaalseks

sõltuvuseks).

Teine sõnastus:

Eksisteerigu füüsikaline seaduspärasus mõõduga muutuja

funktsiooni kujul sõltuvana teistest mõõduga muutujatest. See

seaduspärasus on esitatav mõõduta muutuja funktsioonina, mis sõltub

teiste mõõduta muutujate kombinatsioonidest. Nende kombinatsioonide

arv on üldisest mõõduga muutujate arvust väiksem mõõduga

sõltumatute põhimuutujate arvu võrra.

Olgu suurus a määratav

sõltuvadsõltumatud

n11 a ..., ,a ,a ,...,afa

Sõltuvate dimensioonid

1k1 r

k

p

11k a ...aa

. . . . nn r

k

p

1n a ...aa

Suurus a ise

r

k

p

1 a ... aa

Leiame suhted

nn1k1k r

k

p

1

nknr

k

p

1

1k1 a ... a

a , ... ,

a ... a

a

r

k

p

1 a ... a

a

Need on ilmselt mõõduta suurused.

Teisendame ...fa

nn

1k1k

r

k

p

1kn

r

k

p

11k1r

k

p

1

r

k

p

1

aaπ

,...a...aπ,a...,afa ... a

1π

a ... a

a

),...,,a,...,a(F kn1k1

st. f märgib funktionaalset sõltuvust siit järgneb, et

kn1

r

k

p

1n1 ...,, a ... a a ...,,afa

Analüüs

Hüdrodünaamika

g , , F, L,V,

V L F gM 0 0 1 1 1 0

L 1 1 1 -3 -1 1

T -1 0 -2 0 -1 -2 ükskõik milline suurus π

654321 kkkkkk gFLV

664321 k2k11k3 k2kk1 LT T MLML MLT L LT

6531654321543 k2kk2kkkk3kkkkkk TLM

0kkk 543

0kkk3kkk 654321

0k2kk2k 6531

3 võrrandit 6 tundmatut!

;2k1 ;2k2 1k 3

PLV

F0k ,0k ,1k

22654

survetegur

,1k1 ,1k2 0k3

ReLV

0k ,1k ,1k 654

Reynoldsi arv

,2k1 ,1k2 0k3

FrLgV

1k ,0k ,0k2

654 Froude’i arv

Meelevaldne valik!

,10k1 ,5k2 8k3

5k ,16k ,8k 654

51688510 gFLV

!FrReP 5168

Sarnasuskriteeriumid Geomeetria mõiste – homoloogsus = sarnasus

homoloogsed punktid – 1:1 vastavus

homoloogsed kujundid

homoloogsed ajad

Üldised mõisted

Olgu meil prototüüp t,z,y,x mudel t,z,y,x

Homoloogsed punktid ja ajad on seotud

,xKx x ,yKy y ,zKz z tKt t

zK xK

yK skaleerimistegurid, tK – ajategur

geomeetriliselt sarnane mudel Lzyx KKKK

kui zyx KKK näiteks

siis x

z

KK – moonutustegur

Definitsioon. Funktsioon t, z ,y ,xf on sarnane

funktsioonile t ,z ,y ,xf kui suhe f/'f on konstantne kõigi

homoloogiliste punktide ja aegade korral. Tegur f/'fKf on

muutumistegur.

Kinemaatiline sarnasus Kahe süsteemi liikumine on sarnane kui homoloogsed osakesed

(punktmassid) on homoloogsetes ruumipunktides homoloogsetel

aegadel.

,dtdx

u ,dtdy

v dtdz

w

,tdxd

u

,tdyd

v

tdzd

w

,uKK

ut

x ,vK

Kv

t

y wKK

wt

z

Geomeetriliselt sarnased

Lzyx KKKK

s. t.

v

t

L KKK

- kiiruse tegur

Kiirendus

,KK

x2

t

x aa x ,aK

Ka y

t

y

y 2

zz a

KK

a 2t

z

Dünaamiline sarnasus

Kaks süsteemi on dünaamiliselt sarnased, kui nende homoloogilistele osadele mõjuvad samad jõud.

Olgu meil mKm

m,m

m

Newton’i seadus

xx amF yy amF zz amF

,K

KKFF

2

t

xm

x

x

,K

KK

F

F2

t

ym

y

y

,K

KKFF

2

t

zm

z

z

geomeetriliselt sarnaste süsteemide puhul

2

t

LmF K

KKK

Näide: Mootor: mudel 1:10 mõõdetelt, 1:3 pöörete arv

,101

KL 3/1Kt

,10/33/1

10/1KK

Kt

Lv 10/9Ka

materjal sama

10001

KK 3

Lm

100009

)(K

23

1

101

10001

F

Staatika: elastne deformatsioon, talad, konsoolid, vardad, ... L – pikkus E – elastusmoodul

F – jõud ν – Poisson’i tegur

M – moment

) ,E ,L ,M ,F( pinge

) ,E ,L ,M ,F( uu siire

Dimensionaalanalüüs

,

FLM

,ELF

f LF

212

2mN

mõõduta

22 ,FLM

,ELF

f ELF

u

m

guridSarnasuste

1K ,KKK ,KKK LFM

2

LEF

E2

L

2

LE2

L

F K K

KK

K

K K

L

LE

2

LE

LE

Fu K

KKKK

KKK

K

Kui konstruktsiooni lineaarsed mõõted muutuvad k korda, siis: rakendatud jõud muutuvad k2 korda, rakendatud momendid k3 korda, siirded k korda, pinged jäävad muutmatuks.

Hüdrodünaamika

1. Kokkusurumatu vedelik w,v,u - kiiruse komponendid

)Re( f Vu 1

)Re( f Vv 2 Re – Reynoldsi arv

)Re( f Vw 3 V – keskmine kiirus

Seega mudelil

)Re( f Vu 1

)Re( f Vv 2

)Re( f Vw 3

vKVV

w'w

vv

uu

Kokkusurumatu vedeliku korral on kaks voolamist kinemaatiliselt sarnased kui geomeetriliselt ja kinemaatiliselt sarnaste ääretingimuste korral on Reynoldsi arv vooludel ühesugune. 2. Voolamine vaba pinnaga

)W,Fr,Re( f Vu 1

)W,Fr,Re( f Vv 2

)W,Fr,Re( f Vw 3 Re – Reynoldsi arv

Fr – Froude’i arv

W – Weberi arv

KOKKUVÕTE Dimensionaalanalüüs

1. Vähendab oluliselt uuritavate muutujate arvu, st. iga mitmest

füüsikalisest muutujast moodustatud mõõduta/dimensioonita

grupp võib olla käsitletud kui ühtne muutuja (parameeter, suurus).

Väheneb katsete arv ning katsetulemuste korreleerimiseks ja

interpreteerimiseks vajalik aeg.

2. Üksikute gruppi kuuluvate muutujate mõju võib määrata ühtse

muutuja mõjuefektist

VL

Re viskoossus

tihedusdiam.kiirus

3. Tulemused ei sõltu süsteemi mõõtskaalast ja ühikutest.

4. Skaleerimine võimaldab muuta ja realiseerida sarnasustingimusi

mudeli ja prototüübi (reaalsuse) vahel.

5. Mõõduta suuruste piirkonnad iseloomustavad füüsikalisi

protsesse.

Näited mõõduta suurustest ja võrranditest

1. Reynoldsi arv

VLRe

sm

viskoossus

sm

kiirusV

mdiameeterL

2

Kontrollime: 1

ms

sm

m2

2. Froude´i arv

gLV

Fr

2sm

endusraskuskiirg

mpikkusL

sm

kiirusV

Kontrollime:

1

sm

m

1sm

2

3. Liikumisvõrrandi mõõduta kuju

Impulsi jäävus seadusest

0tu

xu2

2

2

2

2

0

sm

kiirusc,c2

tihedus

odulelastsusmo2

saegt

mkoordinaatx

msiireu

0

2

0

0

0

Kontrollime võrrandi:

0tu

xu

c2

2

2

22

0

ühikuid:

222

2

sm

,mm

sm

Mõlema liikme ühikuks on

2sm .

Tuletagem meelde Newtoni seadust!

Leiame võrrandi mõõduta kuju:

Mõõduta suurused

suurusedmõõduta vastavadneile-ξτ,v,

suurused mõõdugax,t,u

xx

,tt

,uu

000

000

v

Tuletised:

0

0

t1

tt

x1

xx

2

0

2

2

00

2

2

2

0

2

2

00

2

2

t1

t11

t1

t

x1

x1

x1

x

Asendame:

0v

tuv

xu

c2

2

2

0

02

2

2

0

02

0

Teisendame:

mõõduta2

2

2

222

2

0

2

0

2

0

2

2

2

2

2

0

2

0

2

0

ms

sm

:k,kx

tc

0τv

ξv

xtc

Võrrandi mõõduta kuju

0vv

k2

2

2

22

4. Punktmassi liikumine

0uktdud

tdud

m2

2

2sM

tantjäikuskonsk

sM

viskoossus

Mmassm

taegt

msiireu

Kontrollime dimensioone

m

sM

,sm

sM

,sm

M22

Mõõduta suurused

mõõduga00

00

t,u,tt

,uu

v

Tuletised:

2

0

2

2

2

2

0 t1

dd

tdd

,t1

dd

tdd

Asendame

0vukd

vdtu

dvd

tu

m 0

0

02

2

2

0

0

Teisendame

0vmtk

dvd

mt

dvd 2

002

2

1Ms

sM

:mtk

,1Ms

sM

:mt 2

2

2

00

0vkvd

dvd2

2

μ*, k* - mõõduta

Mc Graw-Hill Encyclopedia of Science & Technology