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Olá estudantes!
Esta semana vamos estudar na Aula Paraná de Matemática, para ajudar em seus estudos, você está
recebendo o resumo dos conteúdos. Relembrando que teremos cinco aulas e vamos tratar sobre:
RESUMO DA SEMANA
AULA 43 – POLÍGONOS REGULARES RELAÇÕES MÉTRICAS – PARTE 2
Nesta aula aplicaremos as relações métricas dos polígonos regulares inscritos na circunferência na
resolução de diferentes exercícios e situações-problema.
Relembrando
• Relações métricas do quadrado inscrito na circunferência: ℓ → medida do lado do quadrado,
a → medida do apótema do quadrado e r → comprimento do raio. Fórmulas: 𝓵 = 𝒓√𝟐 e 𝒂 = 𝒓√𝟐
𝟐
EXEMPLO
1 - Sabe-se que o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r mede 40√2cm. Nessas
condições, determine:
a) o comprimento do raio da circunferência:
Resolução
Substituindo a medida do lado do quadrado em 𝓵 = 𝒓√𝟐, obtemos:
AULA: 43 Polígonos Regulares: relações métricas – parte 2
AULA: 44 Construção de Polígonos Regulares – parte 1
AULA: 45 Construção de Polígonos Regulares – parte 2
AULA: 46 Área de um Polígono Regular – parte 1
AULA: 47 Área de um Polígono Regular – parte 2
MATEMÁTICA
9º Ano SEMANA 10
𝟒𝟎√𝟐 = 𝒓√𝟐 𝑟 = 40√2
√2 Resposta: 𝑟 = 40 𝑐𝑚 O raio mede 40 cm.
b) a medida do apótema do quadrado.
Resolução
Substituindo a medida do raio (r = 40cm) em 𝑎 = 𝑟√2
2 , obtemos:
𝑎 = 40√2
2 𝑎 = 20√2 cm
Resposta: O apótema do quadrado mede 20√2 cm
Relembrando
• Relações métricas do triângulo equilátero inscrito na circunferência: ℓ → medida do lado do
triângulo, a → medida do apótema do triângulo e r → comprimento do raio. Fórmulas: 𝓵 = 𝒓√𝟑
e 𝒂 = 𝒓
𝟐
EXEMPLO
1 - Uma pessoa observa um vitral com desenho de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de
40 cm de raio. Se a área de um triângulo equilátero é dada pela expressão ℓ2 . √3
4, qual é a área do
triângulo observado por essa pessoa?
Dados: ℓ = 𝑟√3 , 𝑎 = 𝑟
2 , use √3 = 1,73
Resolução
Precisamos primeiro determinar o lado do triângulo: ℓ = 𝑟√3 e ℓ = 40√3 cm.
Calculando a área:
A = ℓ2 . √3
4 =
(40√3)2 . √3
4 = 1200√3 = 2076 cm²
2 - Em uma circunferência de 50,24 cm de comprimento está inscrito um triângulo equilátero,
determine:
Dados: C = 2 . 𝝅 . 𝒓 , 𝓵 = 𝒓√𝟑 , use √3 = 1,7 e = 3,14
a) a medida do lado desse triângulo:
Resolução : Primeiro vamos determinar o valor do raio:
C = 2 . 𝜋 . 𝑟50,24 = 2. 3,14 . r 50,24 = 6,28r r = 50,24
6,28 = r = 8 cm
b) o perímetro desse triângulo:
Resolução
Calculando a medida do lado fórmula : ℓ = 𝑟√3
ℓ = 𝑟√3 ℓ = 8√3 ℓ = 8 . 1,7 𝓵 = 𝟏𝟑, 𝟔 cm
Relembrando
Relações métricas do hexágono regular inscrito na circunferência: ℓ → medida do lado do hexágono,
a → medida do apótema do hexágono, r → comprimento do raio. Fórmulas: 𝓵 = 𝒓, ℓ = 𝑟√3 e
𝒂 = 𝒓√𝟑
𝟐
EXEMPLO
1 - Em uma circunferência de 100 cm de diâmetro está inscrito um hexágono regular. Determine:
a) a medida do lado desse hexágono.
Dados:
𝓵 = 𝒓 , 𝒂 = 𝒓√𝟑
𝟐 u𝐬𝐞 √𝟑 = 𝟏, 𝟕
Resolução
Como o diâmetro da circunferência é 100 cm, o seu raio será igual a 50 cm. 𝓵 = 𝒓 𝟓𝟎 𝒄𝒎
b) a medida do apótema desse hexágono.
Resolução
𝒂 = 𝒓√𝟑
𝟐 =
50√3
2 = 𝑎 =
50∙1,7
2 = 𝟒𝟐, 𝟓 𝐜𝐦
AULA 44 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES
Vamos nesta aula construir polígonos regulares usando instrumentos de desenho.
Relembrando
• Polígonos regulares: todo polígono convexo que tem todos os lados de mesma medida e todos os
ângulos internos congruentes entre si.
Passo a passo para construir polígonos regulares usando instrumentos de desenho:
1 - Escolher a quantidade de lados do polígono e as medidas dos lados do polígono. Exemplo:
Número de lados (n) = 5
Medida do lado (l) = 4 cm
A) Pensando na medida do ângulo externo: Calcule a medida do ângulo externo desse pentágono
𝒂𝒆 =𝟑𝟔𝟎°
𝒏 =
𝟑𝟔𝟎°
𝟓 = 72°
B) Construir uma reta suporte como primeiro lado do polígono. Exemplo l = 4 cm
C) Construir em uma das extremidades do segmento, o ângulo 𝑎𝑒 , l = 4 cm e 𝒂𝒆 =𝟑𝟔𝟎°
𝟓 = 72°
Como construir o ângulo utilizando o transferidor 𝑎𝑒 =360°
5 = 72°
D) Traçar a semirreta
EXEMPLO
1 - Construa um hexágono regular com 3 cm de lado.
Resolução
- Pensando na medida do ângulo externo:
Hexágono (n) = 6 Medida do lado (l) = 3 cm 𝒂𝒆 =𝟑𝟔𝟎°
𝒏 =
360°
6 = 60°
- Construir uma reta suporte como primeiro lado do polígono: l = 3 cm
AULA 45 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES – PARTE 2
Nesta aula vamos relembrar polígonos regulares, seus elementos e a sua construção.
Relembrando
• Em geometria, um polígono é uma figura fechada com lados. A palavra "polígono" vem da
palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos. (Wikipédia).
• Polígonos que possuem todos os lados com o mesmo tamanho e todos os ângulos internos com a
mesma medida (congruentes), são chamados de polígonos. Veja as figuras a seguir:
• Um polígono regular pode estar inscrito em uma circunferência (dentro da circunferência) ou
circunscrito (fora da circunferência) , Veja as figuras a seguir:
• Passos de como construir um polígono: Triângulo Equilátero.
1º trace um segmento de reta do tamanho que será o lado do triângulo, chame seus extremos de A e B
2º Marque no compasso uma abertura igual ao tamanho do segmento AB.
3º Com a ponta seca em A trace um arco.
4º Com a ponta seca em B trace mais um arco até encontrar o arco anterior. No encontro dos dois
arcos, marque o ponto C.
5º Unindo o ponto C aos outros dois pontos, temos o triângulo equilátero ABC.
EXEMPLO
1 - Construa um triângulo equilátero cuja medida do lado seja 2,5cm.
Resolução
2 - Construa um quadrado com área de 25𝑐𝑚2.
Resolução
AULA 46 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 1
Vamos rever nesta aula áreas de polígonos regulares: quadrado, triângulo e
pentágono.
Relembrando
• A área de um quadrado é dada por: 𝐴 = 𝑙2 , onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado.
EXEMPLO
1 - Qual é a área do quadrado abaixo?
Resolução
A área de um quadrado é dada por 𝐴 = 𝑙2, onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado. No exemplo,
temos 𝑙 = 2,5 𝑚.
Portanto: 𝐴 = 2,52
𝐴 = 2,5 ∙ 2,5
𝐴 = 6,25 𝑚2
2 - Sabe-se que a área do quadrado abaixo é 40 m2. Dessa forma, qual é o tamanho do
lado desse quadrado?
2,5
2,5 2,5
Resolução: A área de um quadrado é dada por 𝐴 = 𝑙2, onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado. No
exemplo, temos A = 40𝑚2.
Portanto: 40 = 𝑙2 𝑙 = √40 𝑙 ≅ 6,3 𝑚
Relembrando
• Este conceito pode ser estendido para qualquer triângulo:
EXEMPLO
1 - Qual é a área do triângulo abaixo?
Resolução
A área de um triângulo é dada por 𝐴 =𝑏∙ℎ
2, onde b é a base e ℎ é a altura do triângulo. No
exemplo, temos b = 12 cm e h = 15 cm.
Portanto: 𝐴 =𝑏∙ℎ
2 =
12∙15
2=
180
2= 90 𝑐𝑚2.
Relembrando
Podemos assim definir que o cálculo da área de um Pentágono regular é
dado por:
𝐴 =5∙𝑙∙𝑎
2 , (5 vezes a área do triângulo)
EXEMPLO
1 - Sabemos que o pentágono regular é formado por 5 triângulos isósceles e congruentes. Dessa forma,
encontre a área do pentágono cujo lado mede 3 cm e o apótema mede 2,5 cm.
Resolução
Sabemos que o pentágono regular é formado por 5 triângulos isósceles e congruentes.
Dessa forma, encontre a área do pentágono cujo lado mede 3 cm e o apótema mede
2,5 cm.
Podemos calcular a área de cada triângulo e depois multiplicar por 5, fórmula: 𝐴∆ =𝑏∙ℎ
2
𝐴∆ =3∙2,5
2=
7,5
2= 3,75 cm2 e como são 5 triângulos: 𝐴 = 5 ∙ 3,75 = 18,75 𝑐𝑚2.
AULA 47 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 2
Nesta última aula desta semana vamos relembrar áreas de: polígonos regulares, de um pentágono e
de um hexágono.
Relembrando
• A área de um quadrado é dada por: 𝐴 = 𝑙2, onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado.
• A área de um triângulo é dada por: 𝐴 =𝑏∙ℎ
2 , onde b é a base e ℎ a altura do triângulo.
• A área de um pentágono é dada por: 𝐴 =5∙𝑙∙𝑎
2 onde 𝑙 é o tamanho do lado do pentágono e 𝑎 é
o apótema.
EXEMPLOS
1 - Qual é o tamanho da diagonal do quadrado abaixo, sabendo que sua área é 36m2?
Resolução
Pelo enunciado podemos definir as figuras a seguir:
A área de um quadrado é 𝐴 = 𝑙2, portanto se a área do quadrado é 36𝑚2, então o lado do quadrado
mede 6 m. A diagonal do quadrado pode ser calculada usando Teorema de Pitágoras.
62 + 62 = 𝑑2 → 𝑑2 = 72
𝑑 = √72 → 𝑑 = 6√2𝑚
2 - Qual é a área do triângulo isósceles abaixo:
Resolução
Primeiro precisamos encontrar a altura usando teorema de Pitágoras 12 + ℎ2 = 32
ℎ2 = 9 − 1 → ℎ = √8 → ℎ = 2√2 𝑐𝑚
Para calcular a área usamos: 𝐴 =𝑏∙ℎ
2=
2∙2√2
2= 2√2 𝑐𝑚2
3 - Qual é a área do hexágono regular que possui lado de medida 6 cm e apótema medindo 3√3 𝑐𝑚?
Resolução
De acordo com o enunciado podemos definir a figura como:
A área de um hexágono é calculada por 𝐴 = 3 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎, onde 𝑙 é o lado e 𝑎 é o apótema. No exercício
temos: 𝑙 = 6 𝑐𝑚 𝑒 𝑎 = 3√3 𝑐𝑚, portanto:
𝐴 = 3 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎
𝐴 = 3 ∙ 6 ∙ 3√3
𝐴 = 54√3 𝑐m2
Exercícios Aula
AULA 43 – POLÍGONOS REGULARES RELAÇÕES MÉTRICAS – PARTE 2
1. Calcule o apótema de um de um hexágono regular que tem perímetro de 18 cm.
a) 3√2
2 cm
b) 2√3
3 cm
c) √3
2 cm
d)3√3
2 cm
2. Calcule a área de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 5cm.
a) 50 cm²
b) 50√2 cm²
c) 100√2 cm²
d) 100 cm²
AULA 44 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES
1. Na construção de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 4cm,
marcaremos com o transferidor, três ângulos centrais com:
a) 60°
b) 100°
c) 120°
d) 200°
2. Após traçar a reta suporte, que será um dos lados do polígono a ser construído, escolhemos uma
das extremidades para construir o:
a) o ângulo central
Escola/Colégio:
Disciplina: Matemática Ano/Série: 9ª Ano
Estudante:
b) o ângulo reto
c) o ângulo total
d) ângulo externo
AULA 45 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES – PARTE 2
Que tal colocar a mão na massa? Para esta atividade, você vai precisar de:
- Compasso
- Régua
Utilizando estes materiais, construa:
a) Um triângulo equilátero com 4 cm de lado
b) Um quadrado com 4,5 cm de lado
c) Um hexágono com raio de 3,5 cm
Você pode construir esses polígonos em uma folha sulfite, tirar uma foto e anexar nesta atividade,
conforme as instruções recebidas durante a aula.
AULA 46 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 1
1) Joana tem um terreno quadrado, com área de 200 m2. Ela quer cercar esse terreno com 2 voltas de
arame farpado. Qual é a quantidade aproximada de arame necessária?
a) 14,4 m
b) 57,6 m
c) 113,12 m
d) 400 m
2) Sabemos que o pentágono regular é formado por 5 triângulos isósceles e congruentes. Dessa forma
encontre a área do pentágono cujo lado mede 6 cm e o apótema mede 4 cm.
a) 40 cm2
b) 50cm2
c) 60cm2
d) 70cm2
AULA 47 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 2
1) Qual é a área do Hexágono regular que possui lado de medida 10 cm e apótema medindo 5√3 𝑐𝑚
𝑎)120√3 𝑐𝑚
𝑏) 150√3 𝑐𝑚
𝑐) 250√3 𝑐𝑚
𝑑) 200√3𝑐𝑚
2) Qual é a área do pentágono abaixo
a) 35 cm2
b) 140 cm2
c) 75 cm2
d) 70 cm2