UniversidadAutnoma de ZacatecasFrancisco Garca SalinasUnidad Acadmica de Ingeniera.Programa Acadmico Ingeniera Civil.Anlisis Estructural de Marcos Planos En ExcelLeonel Ivn Miranda MndezZacatecas, Zac. Julio 2008Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.1CONTENIDOIntroduccinCaptulo 1 Anlisis Estructural mediante el mtodo de rigidez enformulacin matricial1.1 Mtodo de la rigidez1.2 lgebra lineal1.3 Mtodo de la rigidez en formulacin matricialCaptulo 2 Microsoft Excel2.1 Entorno de trabajo2.2 Funciones matemticas2.3 Visual Basic para aplicacionesCaptulo 3 Anlisis Estructural de un marco plano en MicrosoftExcel3.1 Explicacin del cdigo fuente3.2 Forma de introducir los datos3.3 Forma de interpretar los resultados3.4 Alcance del programa3.4.1 Ventajas3.4.2 LimitacionesCaptulo 4 Ejemplos4.1 Marcos planos con miembros de seccin constante4.2 Marcos planos con miembros de seccin variableCaptulo 5 ConclusionesReferenciasLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.2IntroduccinCon el creciente y amplio uso de la tecnologa digital que se ha dadorecientemente es imposible que su influencia no llegue a la rama de laingeniera civil y, de manera ms especfica, al campo de la ingenieraestructural, tanto as que existen en la actualidad infinidad deherramientas computacionales dirigidas a resolver problemas deanlisis y diseo de estructuras.Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP,Tricalc, uStatic,Etabs entre otras, de carcter comercial muy conocidas y bastanteutilizadas por los ingenieros civiles, incluso dentro de las universidadesdel pas ya se ha trabajado en este campo, de hecho en la UniversidadAutnoma de Zacatecas existen programas computacionales para elanlisis de estructuras.El anlisis de estructuras mediante tecnologas digitales es muyrecurrido ya que es de enorme utilidad al realizar clculos laboriosos yextremadamente repetitivos, evitando as cometer posibles errores. Sinembargo, la parte importante y crucial de un problema de este tipo noes el realizar las operaciones requeridas por el mtodo de anlisis, sinoplantear el problema en cuestin de forma correcta. La tarea que lleva acabo una computadora en el anlisis estructural es tan slo una partede un proceso donde el ingeniero observa el problema, lo plantea,introduce en la computadora los datos correctos y, finalmente,interpreta los resultados obtenidos, entonces, no es posible que unamquina detecte un error en el planteamiento del problema, porconsiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecerresultados correctos.Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programacomputacional, debe de estar familiarizado con el procedimiento que lamquina estrealizando, consecuentemente cualquiera que deseedelegar el clculo de una estructura a algoritmos computacionales,primero debe saber cmo se hacen a mano. Una vez que se ha ensayadoLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.3Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasy se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programacomputacional como apoyo en el anlisis, para esto se ha realizado unprograma computacional que pueda servir de ayuda para el anlisis deestructuras, dicho programa es una hoja de clculo en Microsoft OfficeExcel , dicha hoja resuelve marcos planos mediante el mtodomatricial, se desprecian las deformaciones axiales y el nmero mximode grados de libertad debe ser como mximo de 60, el programaresuelve problemas con elementos de seccin variable.Se eligi el tema para afianzar los conocimientos sobre anlisisestructural, adems para alentar a otros estudiantes a desarrollar suspropios programas, ya que es un mtodo de autoaprendizaje, tambinpara que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa seconozca a grandes rasgos la mecnica del mismo.El objetivo no es el competir con los programas de su ramo queexisten en el mercado, ya que stos son en su mayora desarrollados nopor una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios enleguajes de programacin, sin embargo se contribuye en que elprograma como estudiante de ingeniera civil est orientado no a unuso profesional sino a un uso didctico que sirva a los intereses de losestudiantes de ingeniera civil.Asimismo, contrario a lo que se podra pensar, el programacomputacional tiene ventajas sobre el resto de los que existen en elmercado en cuanto al hecho de que ste puede servir como un primeracercamiento al clculo estructural mediante herramientascomputacionales, ya que debido a su simplicidad ser fcil para unestudiante comprender el mecanismo de operacin.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.4CAPTULO 1 ANLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MTODO DERIGIDEZ EN FORMULACIN MATRICIAL1.1 Mtodo De La RigidezUna de las definiciones fundamentales es la de estructura, concepto queJuan Toms Celigeta, en su Curso de Anlisis Estructural, define de lasiguiente forma: Una estructura es, para un ingeniero, cualquier tipode construccin formada por uno o varios elementos enlazados entre sque estn destinados a soportar la accin de una serie de fuerzasaplicadas sobre ellos. (Celigeta 1998: 1)Un concepto tambin definido por Roberto A. Falcn, aunque demanera ms tcnica: Una estructura es una cadena elstica estable,compuesta por un nmero finito de elementos unidos entre si medianteun nmero finito de juntas. (Falcon 2004: 5)Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras estnformadas por miembros unidos entre s (en lo sucesivo, los miembros dela estructura se denominarn elementos y a las uniones y voladizos seles designar nudos), los cuales se encargan de mantener estable unestado de fuerzas (o una carga), lo que nos lleva a definir anlisisestructural:Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones queseoriginan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Paraefectuar el anlisis de una estructura es necesario proceder primero asuidealizacin, es decir a asimilarla a un modelo cuyo clculo sea posibleefectuar. Esta idealizacin se hace bsicamente introduciendo algunassuposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman laestructura, sobre la forma en que stos estn unidos entre s, y sobre laforma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a suanlisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, yutilizando para ello las tcnicas propias del Anlisis Estructural. Para esteanlisis siempre se dispone, como datos de partida, de los valores delasacciones exteriores y las dimensiones de la estructura (Celigeta 1998:3)Entonces el objetivo del anlisis estructural es calcular las fuerzas ylas deflexiones en un punto cualquiera de una estructura, para esto seLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinaspueden seguir muchos mtodos, algunos de los cuales se enumeran acontinuacin y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a sunaturaleza.1. Soluciones analticas: consisten en resolver directamente lasecuaciones que controlan el problema, por lo que normalmenteslo se pueden aplicar a casos sencillos.p.5o Integracin de la ecuacin de la elstica en v.o Teoremas de Mohr para vigas.o Mtodo de la viga conjugada para vigas.2. Empleo de las ecuaciones de la esttica: slo se pueden aplicar aestructuras isostticas.o Mtodo del equilibrio de los nudos para armaduras.o Mtodo de las secciones para armaduras.o Mtodo de la barra sustituida para armaduras.3.Mtodos basados en la flexibilidad.o Principio del trabajo virtual complementario y principio delpotencial complementario estacionario.o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser.o Mtodo general de flexibilidad, basado en el segundo teoremade Engesser.o Mtodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas.o Frmula de los tres momentos para vigas.o Principio de Mller-Breslau para cargas mviles.4. Mtodos basados en la rigidez.o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial totalestacionario.o Primer teorema de Castigliano.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinaso Mtodo de rigidez en formulacin matricial, para estructurasde cualquier tipo.o Mtodo de la distribucin de momentos, o de Cross,paraprticos planos.De todos los mtodos anteriores, para este trabajo el que nosinteresa es el mtodo de rigidez en formulacin matricial, debido asu fcil implementacin y sistematizacin en computadoras.Para explicar el mtodo de la rigidez hace falta definir ciertosconceptos e hiptesis necesarios. Se dice que un modelo matemtico esms exacto mientras ms variables se involucren en el mismo; en elcaso del anlisis estructural intervienen muchsimas variables comoson la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en queestn unidas, tambin intervienen los procedimientos de construccin,los cambios de temperatura, la calidad de los materiales, etc. En lo queatae a nuestro caso muchas de estas variables se despreciarn,suponiendo comportamientos que, si bien no son los reales, se acercanmuy bien a la realidad. A continuacin se enumeran las hiptesis:1.-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales.2.-Movimientos pequeos comparados con las dimensiones de laestructura.3.-Se desprecian los fenmenos que afectan y varan la rigidez.4.-Los materiales son homogneos e istropos5.-Las uniones de los elementos y de la estructura sonortogonales.6.-Los desplazamientos y el sistema de cargas estn sobre unplano (estructura en dos dimensiones).7.-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en eleje longitudinal de los elementos.8.-No necesariamente la seccin de los elementos debe serp.6constante, sin embargo debe ser rectangular.Las hiptesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que soncondiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique elLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.7Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasprincipio de superposicin. Dicho principio establece que los efectos queproduce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura, sonequivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de lasfuerzas del sistema actuando independientemente.Dentro de la estructura, en cualquier elemento, seccin o nudo, lasuma de las fuerzas y momentos ser cero, en este caso, como es unaestructura plana, se debe cumplir que:= 0xF= 0yF= 0 MPara analizar una estructura primero se debe evaluar suestabilidad, se dice que una estructura es estable cuando la estructuramantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas. Si unaestructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con elanlisis y deber replantearse una nueva estructura.En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces seprocede a determinar su grado de indeterminacin. Como se mencionanteriormente, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio, entonces, elgrado de indeterminacin ser el nmero de incgnitas que excedan elnmero de ecuaciones disponibles.Las incgnitas en el mtodo de la rigidez son los desplazamientosen los nudos, ya sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales ogiros. Esto lleva a definir el trmino grado de indeterminacincinemtica, que no es otra cosa que la suma de todos losdesplazamientos independientes en los nudos.Ahora bien, ya que se han definido las hiptesis y las condicionesde la estructura, se debe hablar del mtodo que se usar, a saber, elmtodo de la rigidez (o de los desplazamientos). Dicho mtodo se llamaas porque parte de la definicin de rigidez, la cual nos dice que lafuerza que acta sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismomultiplicada por la deformacin que sufre debido a dicha accin. Eneste mtodo se utilizan acciones producidas por desplazamientosunitarios, stas son traslaciones o rotaciones unitarias, y las accionessern fuerzas o momentos.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasLas acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocencomo rigideces.Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento ydeterminar sus rigideces.jMkp.8M1 = uFigura 1.1-1LEn la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) delelemento se produce un desplazamiento giratorio unitario. Si la fuerzanecesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez delelemento multiplicada por el mismo desplazamientoA = k Fy1 = A,entoncesk F =. Por el mtodo de la viga conjugada:EIMkEIMjFigura 1.1-2L0322 3120 = =LEIL MLEIL MMkjj;k jM M 2 =Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasAl provocar un giro unitario en el extremo j conjM se generap.92jkMM = , es decir, existe un factor de transporte de21.u = =V RjkREIMkEIMjFigura 1.1-3LEl cortante en j es el valor del giro en ese punto u =jR= +|.|\|+|.|\| = 0312 322; 0jkjkLR LLEIM L LEIMMComo2jkMM =0121620312 213222 2= + + = + |.|\|+ |.|\|jj jjj jLREIL MEIL MLR LLEIML LEIM;4j jRLEIM =jR4LComo 1 = =u;EIMj=;2LEIMk=De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro seaplica en el extremo izquierdo y en el derecho, tambin cuando se aplicauna traslacin en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigidecescorrespondientes se muestran en las figuras 1.1-4, 1.1-5, 1.1-6 y 1.1-7.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas26LEI26LEILEI 2LEI 41 =juj kFigura 1.1-426LEI26LEILEI 2LEI 41 =kujkFigura 1.1-5p.10312LEI26LEI26LEI312LEIj k1 = AjFigura 1.1-6312LEI26LEI26LEI312LEIj k1 = AkFigura 1.1-7Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasComo se trata de un elemento doblemente empotrado se necesitaconocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales,por ejemplo, si fuera una carga uniformemente distribuida entonces lascargas de empotramiento seran:p.112wL2wL122wL122wLFigura 1.1-8Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas1.2 lgebra LinealEl lgebra lineal incluye la teora y la aplicacin de sistemas lineales deecuaciones, para esto se hace uso de diferentes conceptos y notacionesde las cuales, para el propsito de este trabajo, bastarn los siguientes:El primer concepto a definir es el de matriz, que es un arreglorectangular de elementos en nuestro caso nmeros escritos entrecorchetes, por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3sucursales en un trimestre:((((p.121000 $ 800 $ 750 $1600 $ 1550 $ 1400 $1650 $ 1600 $ 1500 $321SucursalSucursalSucursalMarzo Febrero EneroComo puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3columnas, entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo elprimer trmino el nmero de renglones, el cual se denominar m y elsegundo trmino ser el nmero de columnas y se le denominar con laletra n. De manera genrica una matriz cualquiera de n m ser:| |(((((= =mn m mnnija a aa a aa a aa A.........2 12 22 211 12 11Para designar un elemento de la matriz se recurrerengln y luego a la columna, por ejemplo el elemento23a de la matriz deventas ser $1600 que corresponde a la sucursal marzo. Cuando en una matriz m o n es igual a 1nvector, si m = 1 entonces es un vector rengln y si 1 = ncolumna.primero al2, en el mes dese dice que es user un vectorMatrices especialesExisten ciertas matrices que debern mencionarse debido a suutilidad en el mtodo de le rigidez:Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasMatrices cuadradas.- n m =Matriz simtrica.ji ija a =Matriz diagonal.- 0 = =ji ija a excepto cuando j i =Matriz identidad.- 0 = =ji ija a excepto cuando j i = entonces 1 =ijaAdicin de MatricesLa adicin se define nicamente para matrices |ij|p.13a A = y | |ijb B =del mismo tamao y su suma denotada por A+B se obtiene sumandolos elementos correspondientes. Las matrices de orden diferente nopueden sumarse.Multiplicacin por escalaresEl producto de cualquier matriz | |ija A = de n m y cualquierescalar (un escalar es un nmero o tambin es una matriz de orden11) c denotado por cA es la matriz | |ijca cA = de n m obtenida almultiplicar cada elemento de A por c.Multiplicacin de matricesEl producto C=AB (en este orden) de una matriz | |ija A = deA An m y una matriz | |ijb B = deB Bn m est definido si y slo siB Am n = , esdecir, el nmero de renglones del segundo factor B debe ser igual alnmero de columnas del primer factor A y entonces se define como lamatriz | |ijc C = deB An m con elementos:j n in j i j inkkj ik ijA AAb a b a b a b a c + + + = ==2 2 1 11Transpuesta de una matrizResulta til definir la transpuesta de una matriz |ija A = como| |jiTa A = .|Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasInversa de una matrizPara el mtodo de las rigideces nicamente se utilizarn inversasde matrices cuadradas, as pues la inversa de una matriz | |ija A = den n se denota por1 A y es una matriz de n n tal queI A A AA = = 1 1p.14donde I es una matriz identidad de orden n nSi A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A notiene inversa, entonces A se llama matriz singular.Determinante de una matrizUn determinante es un escalar asociado a una matriz.aplicacin uno a uno( )o del conjunto{ }sobre s misma, enn , , 4 , 3 , 2 , 1este caso el nmero de permutaciones ser ! n . Se dice queimpar si hay un nmero par o impar de parejas ( ) ij tal quepar, la permutacin es positiva, si o es impar, lanegativa.( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) = = = = = =+ = =+ = =+ = =1 3 , 1 3 , 2 1 , 2 2131 2 , 3 2 , 1 3 , 1 1323 1 , 2 1 , 3 2 , 3 3212 2 , 1 2 , 3 1 , 3 3122 1 , 3 1 , 2 3 , 2 2310 3 , 2 3 , 1 2 , 1 123Sea el determinante de la matriz cuadrada | |ija A = que se denotapor A , la suma calculada de todas las permutaciones32 23 11 33 21 12 31 12 1332 21 13 31 23 13 33 22 1133 32 3123 22 2113 12 11a a a a a a a a aa a a a a a a a aSea unao es par oj i > , si o espermutacin esAaaaAa aa aa a + += ((((=Menores y cofactoresSi de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anteriorLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas((((=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aALos menores son:22 2112 113323 2113 113223 2213 123132 3112 112333 3113 1122p.1533 3213 122132 3122 211333 3123 211233 3223 2211a aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aMa aa aM= = == = == = =Y los33 3323 2313 13M C MM C MM C M+ = = ++ = cofactores son:32 32 31 3122 22 21 2112 12 11 11C M CC M CC M C= + == == + =Inversin de una matriz por el mtodo de la matriz adjuntaSea una matriz cuadrada A en donde cada elementoija seremplaza por el cofactorijC , a esta matriz se le llama matriz decofactores. A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matrizadjunta y se denota as| |TijC adjA = . Si cada elemento de la matrizadjunta se divide entre el determinante, entonces resulta la inversa dela matriz, siempre y cuando el determinante sea diferente de cero.(((((((((= =ACACACACACACACACACAadjAAnm n nn2 132 22 121 21 111Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.16Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasEn este breve repaso de lgebra lineal se ha definido lasherramientas necesarias que servirn para relacionar los elementos deuna estructura, as como sus cargas, deformaciones y reacciones enuna forma matricial, lo anterior para poder sistematizar unprocedimiento que lleve a la solucin del problema particular que sebusca.1.3 Mtodo De Rigidez En Formulacin MatricialMatriz de rigidez de un miembro o elementoComo se ha visto ya en la primera parte de este captulo, para aplicar elmtodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponerdesplazamientos unitarios de traslacin y de rotacin en cada extremode dicho elemento, para as determinar las rigideces. Al considerar dostraslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en quese puede deformar un elemento y para cada situacin se obtendrncuatro reacciones a saber, dos momentos y dos cortantes. Se puederelacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elementoas:((((((((( == A =3 3 23 3 22 22 212 1212 126 6 4A = =226 66 626 61 1LEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEIVVMMKkjkjk ju2 41 1k juLa matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez delelemento y, como se puede observar, es simtrica. Cuando un elementoes de seccin variable conviene expresarla de la siguiente manera:Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas((((p.17(((((+ + ++++ + ++ + +++++== A =221 12221 12221 12221 1221 2222 2121 1112 111 1 1Lk k kLk k kLk kLk kLk k kLk k kLk k+ + ++ +A = =22 1122 11 21 22 21 1122 1122 11 12 22 12 1112 2212 111kkkkLkLkLkkLkLkkVVMMKkjkjkkkkkkkkj k ju uLa matriz de rigidez queda en funcin de la longitud del elementoy de los elementos22 21 12 11, , , k k k k . Para calcular la matriz de rigidez de unmiembro o elemento de seccin variable se recurre a la definicin deflexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez.Si se toman los elementos22 21 12 11, , , k k k k de la matriz de rigidez((=22 2112 11k kk kLEIKLa flexibilidad ser:((= =22 2112 11 1f ff fEILK FY los desplazamientos sern:((((=((jijiMMf ff fEIL22 2112 11uuAl invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacinde rigidez:((((=((jijif ff ff f fLEIMMuu11 1212 22212 22 111Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccin variablesern:212 22 112211f f ffLEIki=Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas212 22 111212f f ffLEIki =212 22 111122f f ffp.18LEIki=De donde11f ,12f ,22f son:( )}=HxidxIx LLIf02311(})=HxidxIx L xLIf0312}=HxidxIxLIf02322Vector de cargas del miembro o elementoEn el caso de las cargas que actan sobre un elemento tambinse puede asignar una matriz o ms especficamente un vector cuyonombre ser vector de cargas Q. Por ejemplo para el caso de unelemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el vector decargas ser:(((((((((=22121222wLwLwLwLQMatriz de rigidez de la estructuraLa matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando lasmatrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estninvolucrados. La nueva matriz ser una matriz cuadrada de orden igualal grado de indeterminacin cinemtica de la estructura y se denotarpor la letra S.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasVector de cargas de la estructuraEste vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas decada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estnp.19involucrados y se representar por la letra J.Deformaciones en los nudosUna vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vectorde cargas de la estructura se pueden obtener fcilmente lasdeformaciones en los nudos as:| | | | | | as c de Vector estructura la de rigidez de Matriz nes Deformacio arg1 =| |1 =| | | | J S DReacciones finales en los nudosPara conocer las reacciones finales se multiplica la matriz derigidez de cada elemento por su deformacin real y se suma la cargaexpresada en su vector de carga correspondiente.| | | | elemento as c de Vector elemento rigidez MatrizVVMMjijijijiarg +((((((AA=((((((uu||||| | Q D K Ri+ =Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.20CAPTULO 2 MICROSOFT EXCEL2.1 Entorno de TrabajoPara el propsito que se persigue, se partir del hecho de que lamayora conoce los aspectos ms bsicos de Excel y slo se limitar adescribir los componentes que sern de especial utilidad en el programaa desarrollar.Un archivo de Excel es en realidad un libro de clculo que constade una o ms hojas, cada hoja contiene 16, 777, 216 campos llamadosceldas ordenados en 65, 536 filas y 256 columnas; estas celdas puedencontener texto, nmeros, fechas y frmulas. En la siguiente figura semuestra un libro abierto en ExcelFigura 2.1-1Como puede verse, las filas o renglones estn numeradas enforma sucesiva 1, 2, 3etc., mientras las columnas estn nombradascon letras del abecedario A, B, Cetc. En el ejemplo anterior la celdaseleccionada es la de la fila 3, columna 2, o en notacin propia delLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.21Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasExcel, es la celda B3. En el entorno de trabajo de Excel puedenseleccionarse varias celdas a la vez, a un conjunto de celdas se le llamarango y su notacin consiste en escribir la primera celda arriba a laizquierda, luego separar con dos puntos y escribir la ltima celda abajoa la derecha, por ejemplo, si seleccionamos las celdas A1, A2, A3, B1,B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1:B3. Abajo en laizquierda pueden observarse tres fichas tituladas Hoja 1, Hoja 2 yHoja 3, que son las hojas que conforman el libro.2.2 Funciones MatemticasComo ya se mencion, las celdas pueden contener frmulas y para queuna frmula no sea confundida con texto simple, stas siempre debenempezar con el signo igual (=), las frmulas estn compuestas de una oms funciones. Har hincapi en algunas funciones que si bien no sontodas las disponibles sern las necesarias para resolver un problema deanlisis estructural. A continuacin se presenta una tabla con dichasfunciones:FUNCIN SINTAXIS DESCRIPCINSUMA SUMA(nmero1;nmero2; ...)Suma todos los nmeros en los rangosindicadosMAX MAX(nmero1;nmero2; ...)Devuelve el valor mximo de un conjuntode valores.MMULT MMULT(matriz1;matriz2)Devuelve la matriz producto de dosmatrices. El resultado es una matriz conel mismo nmero de filas que matriz1 y elmismo nmero de columnas que matriz2.MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matrizalmacenada en una matriz.Adems de las funciones anteriores, tambin en una celda sepueden realizar operaciones directas, por ejemplo si escribimos encualquier celda =5*8+1 la celda mostrar el resultado de estaoperacin, o sea 41, de igual forma si en otra celda escribimos=A1+3 entonces se sumar el valor de la celda A1 ms tres.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.222.3 Visual Basic para aplicaciones.Excel cuenta con un lenguaje de programacin como unaextensin de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones,dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaronanteriormente, es decir, libros, hojas, celdas, funciones, etc., estopermite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo. Acontinuacin se explica como hacer uso de esta caracterstica de Excel.Figura 2.1-2En el men Herramientas>Macro>Editor de Visual Basic, o bienpulsando Alt+F11, se abre una ventana como sta:Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasFigura 2.1-3p.23El espacio a la derecha sirve para escribir el cdigo que deseemosejecutar, es decir, aqu escribiremos todas las instrucciones quedeseamos que el programa ejecute, en este entorno se le llama macro.Una macro est constituida de uno o ms bloques deinstrucciones llamados procedimientos. Veamos el siguiente ejemplo:Sub Ejemplo1Application.WorkBooks(1).WorkSheets(1).Range("A1").Value = 2 + 3End SubPara dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombreanteponiendo la instruccin Sub. A continuacin se escribe la lista detareas que llevar a cabo dicho procedimiento. En el ejemplo anterior, elprocedimiento se llama Ejemplo1 y la tarea que va a realizar es llamara Excel Application llamar al libro 1 WorkBooks(1), llamar a la hoja1 WorkSheets(1), y al rango A1 asignarle el valor 2+3 y se mostrarLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.24Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasel resultado 5, finalmente se termina el procedimiento con lainstruccin End Sub.En la mayora de los casos, Application no ser necesarioespecificarlo, ya que en todo momento se estar trabajando en la mismaaplicacin, o sea Excel. A menos que sucediera lo contrario, Workbooktampoco ser necesario porque se trabajar con un solo libro.Worksheets s ser necesario especificarlo, ya que se trabajarn condiferentes hojas y, obviamente, Range tambin deber estar definido.VariablesComo en todo lenguaje de programacin existen datos variablesque nos sirven para almacenar diferentes valores segn lo requiera elprograma. Para ilustrar lo anterior vase el siguiente ejemplo:Sub Ejemplo2i = 0i =WorkSheets(1).Range("A1").ValueEnd SubEn este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celdaA1.En VBA tambin se pueden definir variables del tipo matriz comose hace en el siguiente ejemplo:Sub Ejemplo3Dim m(0,3)m(0,0) =WorkSheets(1).Range("A1").Valuem(0,1) =3.15m(0,2) =WorkSheets(1).Range("A1").Value+3.15m(0,0) = m(0,0)End SubEn el ejemplo3 se declara una matriz de un rengln y cuatrocolumnas (a menos que se especifique lo contrario, el nmero derenglones y columnas se cuenta desde cero, o sea la matriz m tieneelrengln 0 y las columnas 0, 1, 2, 3). Obviamente las matrices puedencontener diferentes tipos de datos, por ejemplo nmeros, texto, etc. Peroen VBA si no se les indica un tipo de datos especfico se toma un tipoLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.25Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasvariable, pero hay que ser congruente en el momento de realizaroperaciones ya que si se multiplica un nmero por un texto, devolverun error.Instrucciones lgicasExisten determinadas sentencias o instrucciones lgicas que sonde gran utilidad para evaluar datos, una de las ms importantes es lasentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es:If condicin Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque:If condicin Then[instrucciones][ElseIf condicin-n Then[instrucciones_elseif] ...[Else[instrucciones_else]]End IfA modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento:Sub ejemplo4Dim m(0, 3)m(0, 0) = 1m(0, 1) = 5m(0, 2) = 3valor1 = m(0, 1)valor2 = m(0, 2)If valor1 > valor2 Thenm(0, 3) = valor1Elsem(0, 3) = valor2End IfEnd SubLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.26Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasEn el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valoresa los tres primeros elementos, despus se almacena en la variablevalor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor delelemento tres. A continuacin se evala si la variable valor1 es mayorque valor2, en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatrode la matriz m ser igual a la variable valor1, si no entonces ser igual ala variable valor2 y se termina la instruccin con End If.Instrucciones cclicasCuando se trata de repetir una serie de tareas es cuandointervienen este tipo de instrucciones, una instruccin muy utilizada,ser la instruccin For, a continuacin se indicar su sintaxis y se darun ejemplo de su utilizacin.For contador = principio To fin [Step incremento][instrucciones][Exit For][instrucciones]Next [contador]En el siguiente ejemplo se escribirn los nmeros del 1 al 10 enlas primeras 10 celdas de la columna uno.Sub Ejemplo5For i = 1 to 10 Step 1WorkSheets(1).Cells(i,1) = iNext iEnd SubLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasCAPTULO 3 ANLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO ENMICROSOFT EXCEL3.1 Explicacin Del Cdigo FuentePara explicar el cdigo fuente es necesario mencionar algunosdetalles acerca de cmo se van a ordenar los datos en el libro de Excel.El libro va a contener seis hojas, la hoja uno se llamarCONFIGURACIN, en sta se van a escribir los datos necesarios parap.27el clculo, las hojas dos, tres, cuatro y cinco, llamadas PASO_1,PASO_2, PASO_3 y PASO_4, respectivamente se escribirn losresultados y en la hoja seis titulada SECCIONES se almacenarn lostipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para elclculo.A continuacin se explica el procedimiento llamado PASO_1, elcual calcula y escribe en la hoja PASO_1 las matrices de rigidez de loselementos de la estructura. (El texto color negro es el cdigo fuente, eltexto color verde son comentarios explicativos)Sub PASO_1()Worksheets("PASO_1").Select 'Selecciona la Hoja llamada "PASO_1"Dim mrei(4, 4) 'Declara matriz de elementos de 4 x 4numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) 'Seobtieneel numero de elementosWorksheets("PASO_1").Cells.Clear 'Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_1"RENGLON = 1 'Se establece un contador para renglonesFor i = 1 To numel 'Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elementoL = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 2).Value Se guarda en la variable L la longitud delelementoiner = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value+ 1,3).Value Se guarda en la variable iner el momento de inercia del elementoelas = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value+ 1,2).Value Se guarda en la variable elas el mdulo de elasticidad del elementotipo = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value+ 1,8).Value Se guarda en la variable tipo el tipo de seccin del elementoLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos enUniversidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasSelect Case tipo Se evala el tipo de seccin y de acuerdo a sta secientesde rigidezCase 1 Caso uno la seccin es constantemrei(1, 1) = (4 * iner * elas) / Lmrei(1, 2) = (2 * iner * elas) / Lmrei(2, 1) = (2 * iner * elas) / Lmrei(2, 2) = (4 * iner * elas) / LCase 2 Caso dos la seccin es vara de una altura en j a otra alturahj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i +e + 1,4).Valuehk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i +e + 1,5).ValueIf hj < hk Then hmin = hjIf hj > hk Then hmin = hkIf hj = hk Then hmin = hka = 1f11 = Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin, L, a)f12 = Integral(2, 0, L, hj, hk, hmin, L, a)f22 = Integral(3, 0, L, hj, hk, hmin, L, a)mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))Excel.p.28calculan los coefien k1, 3).Valu1, 3).Valumrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))mrei(2, 1) = mrei(1, 2)mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))Case 3 La seccin varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de Lhj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1,4).Valuehk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1,5).Valuea = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value+ 1,7).ValueIf hj < hk Then hmin = hjIf hj > hk Then hmin = hkIf hj = hk Then hmin = hkf11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(1, L * a, L - L *a, hk, hk, hk, L, 1) +Integral(1, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a)f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(2, L * a, L - L *a, hk, hk, hk, L, 1) +Integral(2, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a)f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(3, L * a, L - L *a, hk, hk, hk, L, 1) +Integral(3, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a)mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.29Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasmrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))mrei(2, 1) = mrei(1, 2)mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))Case 4 La seccin varia de hj a hk, luego h a h y de hk a hj a lo largo de Lhj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1,4).Valuehk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1,5).Valueh = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value+ 1,6).Valuea = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value+ 1,7).ValueIf hj < hk Then hmin = hjIf hj > hk Then hmin = hkIf hj = hk Then hmin = hkIf h < hmin Then hmin = hIf hj = hk = h Then hmin = hf11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(1,L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a)f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(2, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(2,L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a)f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(3, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(3,L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a)mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))mrei(2, 1) = mrei(1, 2)mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))End Select Termina el clculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularn los demselementos de la matriz de rigidezmrei(1, 3) = (mrei(1, 1) + mrei(2, 1)) / Lmrei(1, 4) = -(mrei(1, 1) + mrei(2, 1)) / Lmrei(2, 3) = (mrei(2, 2) + mrei(1, 2)) / Lmrei(2, 4) = -(mrei(2, 2) + mrei(1, 2)) / Lmrei(3, 1) = mrei(1, 3)mrei(3, 2) = mrei(2, 3)mrei(3, 3) = (mrei(1, 1) + mrei(2, 2) + mrei(2, 1) + mrei(1, 2)) / (L ^ 2)mrei(3, 4) = -(mrei(1, 1) + mrei(2, 2) + mrei(2, 1) + mrei(1, 2)) / (L ^ 2)mrei(4, 1) = mrei(1, 4)mrei(4, 2) = mrei(2, 4)mrei(4, 3) = mrei(3, 4)Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.30Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasmrei(4, 4) = mrei(3, 3)Una vez obtenida la matriz del elemento "i" llamada mrei se escribe en la Hoja"PASO_1"Worksheets("PASO_1").Cells(1, 1) = "MATRICES DE ELEMENTOS"titulo (Worksheets("PASO_1").Range(Cells(1, 1), Cells(1, 4)))For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matrizFor c = 1 To 4Ciclo para contar las columnas por matrizWorksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c).Value = mrei(r, c) Se escribe la matriz"mrei" en la hoja "PASO_1"dar_formato (Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c))Next cRENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el renglnNext rWorksheets("PASO_1").Cells(RENGLON - 3, 5) = "ELEMENTO" & i Se enumeran las matricestitulo (Worksheets("PASO_1").Range(Cells(RENGLON - 3, 5), Cells(RENGLON, 5)))Next ierror:End Sub Termina el Prodecimiento PASO_1Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos seprocede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de laestructura en lo que ser el procedimiento PASO_2Sub PASO_2()Worksheets("PASO_2").Select Se selecciona la Hoja "PASO_2"gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("d:g")) Se obtienenmero de direcciones de desplazamientosnumel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) Seobtieneel numero de elementosWorksheets("PASO_2").Cells.Clear Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_2"RENGLON = 1 Se establece un contador para renglonesWorksheets("PASO_2").Cells(1, 1) = "MATRIZ DE RIGIDEZ" & "DE " & gdl & " X " & gdltitulo (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(1, 1), Cells(1, gdl)))****** CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ ******For r = 2 To gdl + 1For c = 1 To gdlWorksheets("PASO_2").Cells(r, c) = 0Next cNext r****** CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ ******For i = 1 To numelLeonel IvnUniversidadFor r =ForMiranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.31Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas1 To 4c = 1 To 4With Worksheets("PASO_2")If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value = "" OrWorksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value = "" ThenElse.Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1,Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value) = .Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r+ 3).Value + 1, Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value) +Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c).ValueEnd IfEnd WithNext cRENGLON = RENGLON + 1Next rNext iWorksheets("PASO_2").Cells(1, gdl + 2) = "VECTOR DE CARGAS" & "DE " & gdl & " X" & 1titulo (Worksheets("PASO_2").Cells(1, gdl + 2))****** CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL ******RENGLON = 1For i = 1 To numelFor c = 4 To 5If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c).Value = "" ThenElseWorksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c) + 1,gdl + 2) =Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c) + 1, gdl + 2) +Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 4) * -1 JLuEnd IfIf Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2).Value = "" ThenElseWorksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2)+ 1, gdl + 2) =Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2) + 1, gdl + 2) +Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 6) * -1 JLrEnd IfNextNextdar_formato (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl)))dar_formato (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(2, gdl + 2), Cells(gdl + 1, gdl +2)))End Sub Termina procedimiento PASO_2Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.32Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos loselementos, la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas dela estructura, ahora se calculan las deformaciones en los nudos comose puede observar en el procedimiento PASO_3Sub PASO_3()*********PASO #3, OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LAESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA*********Worksheets("PASO_3").Select Se selecciona la Hoja "PASO_3"Worksheets("PASO_3").Cells.Clear Se borran los Datos existentes en la hoja "PASO_3"gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("D:G")) Se obtiene elnmero de desplazamientosWorksheets("PASO_3").Cells(1, 1) = "INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ" & "DE " & gdl & "X " &gdltitulo (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(1, 1), Cells(1, gdl)))Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl)).Select Se selecciona el rangoen donde se escribir la inversa de la matriz de rigidez de la estructuraSelection.FormulaArray = "=MINVERSE(PASO_2!R2C1:R" & gdl + 1 & "C" & gdl & ")"Seobtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructuraWorksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 2) = "VECTOR DE CARGAS" & "DE " & gdl & " X" & 1titulo (Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 2))***** CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS ******For r = 1 To gdlFor c = 1 To gdlWorksheets("PASO_3").Cells(r + 1, gdl + 2) = Worksheets("PASO_2").Cells(r + 1, gdl + 2)Next cNext rWorksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 4) = "DEFORMACIONES EN LOS NUDOS"titulo (Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 4))Worksheets("PASO_3").Range(Cells(1 + 1, gdl + 4), Cells(gdl + 1, gdl + 4)).Select Seselecciona el rango donde se escribir el productoSelection.FormulaArray = "=MMULT(R2C1:R" & gdl + 1 & "C" & gdl & "," & "R2" & "C" & gdl + 2& ":R" & gdl + 1 & "C" & gdl + 2 & ")" Se multiplica Suu^-1 * JLrdar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl)))dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, gdl + 2), Cells(gdl + 1, gdl +2)))dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, gdl + 4), Cells(gdl + 1, gdl +4)))End SubLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasPara finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento, lascuales se obtienen en procedimiento PASO_4p.33Sub PASO_4()*********PASO #4, ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADAEXTREMO*********Worksheets("PASO_4").Select Se selecciona la Hoja "PASO_4"numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) Seobtieneel numero de elementosgdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("D:G")) Se obtienenmero de direcciones de desplazamientosWorksheets("PASO_4").Cells.Clear Se borran los datos existentes en la hoja "PASO_4"Worksheets("PASO_4").Cells(1, 1) = "MATRICES DE ELEMENTOS"titulo (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(1, 1), Cells(1, 4)))****** CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA"PASO_1" EN LA HOJA "PASO_4"For r = 1 To numel * 4For c = 1 To 4Worksheets("PASO_4").Cells(r + 1, c) = Worksheets("PASO_1").Cells(r + 1, c)dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(r + 1, c))NextNextFor r = 1 To numelWorksheets("PASO_4").Cells(r * 4 - 2, 11) = "ELEMENTO" & rtitulo (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(r * 4 - 2, 11), Cells(r * 4 + 1, 11)))Next rWorksheets("PASO_4").Cells(1, 6) = "REACCIONES EN LOS NUDOS"titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 6))Worksheets("PASO_4").Cells(1, 8) = "VECTOR DE CARGAS"titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 8))Worksheets("PASO_4").Cells(1, 10) = "REACCIONES FINALES"titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 10))****** CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA"PASO_3" A LA "PASO_4" Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADAELEMENTORENGLON = 1For i = 1 To numelFor r = 1 To 4Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.34Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasIf Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value = "" ThenWorksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value =Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value + 0dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6))ElseWorksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value =Worksheets("PASO_3").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1, gdl +4).Value + 0dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6))End IfRENGLON = RENGLON + 1NextNext****** CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOSELEMENTOS EN LA HOJA "PASO_4"RENGLON = 1For i = 1 To numelFor r = 1 To 4If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 7).Value = "" ThenWorksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8).Value = 0dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8))ElseWorksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8).Value = Worksheets("CONFIG").Cells(i+ 1, r + 7).Value + 0End IfRENGLON = RENGLON + 1NextNext****** CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENERLAS REACCIONES POR CADA ELEMENTORENGLON = 1For i = 1 To numelWorksheets("PASO_4").Range(Cells(RENGLON + 1, 10), Cells(RENGLON + 4, 10)).SelectSelection.FormulaArray = "=MMULT(R" & RENGLON + 1 & "C1:R" & RENGLON + 4 &"C4,R" & RENGLON + 1 & "C6" & ":R" & RENGLON + 4 & "C6)+R" & RENGLON + 1 & "C8:R"& RENGLON + 4 & "C8"dar_formato (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(RENGLON + 1, 10), Cells(RENGLON + 4,10)))RENGLON = RENGLON + 4Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasNextEnd Subp.35En esencia el procedimiento para el clculo de una estructura serealiza con los procedimientos anteriores, sin embargo se han omitidodetalles menores del cdigo original de este trabajo por la sencilla raznde que sera intil saturar de funciones y procedimientos que, si bienson tiles, no son necesarios para resolver el problema en cuestin;entonces podra decirse que este cdigo fuente es una versinsimplificada del programa original, sin embargo en los captulossiguientes se explicar la forma de introducir los datos con base alprograma original.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.363.2 Forma De Introducir Los DatosEn este captulo se explica la forma en que el usuario puede introducirlos datos en la hoja de clculo, el proceso es bastante sencillo, sinembargo es aqu donde se ponen en prctica los conocimientos y lacapacidad por parte del usuario de plantear el problemaadecuadamente, en especial en detectar los grados de libertad de laestructura. En el captulo anterior para fines de explicar el cdigofuente se mencion que el libro de Excel contiene seis hojas de clculo,la primera hoja CONFIGURACIN es donde se ha de introducir lainformacin, necesaria para el clculo, que se puede hacer de formamanual o haciendo uso de el cuadro de dilogo de configuracinhaciendo clic en botn CONFIGURACIN de la barra de herramientasadjunta al libro de Excel. En la figura 2.1-4 se muestra dicha hoja.Figura 2.1-4En la columna A titulada ELEMENTOS se escribirn los elementoscon nmeros consecutivos 1, 2, 3, 4, etc..., lo cual se puede hacer enLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasforma manual o mediante el cuadro de dilogo Configuracin del Marco,como se muestra en la siguiente figura.p.37Figura 3.2-1En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos,al pulsar el botn Aceptar automticamente se escribirn los nmeros1, 2 y 3 en la hoja de configuracin.La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cadaelemento. En este programa se ha limitado el nmero de seccionesdisponibles para el anlisis a diez, en la tercera columna llamadaSECCIN se escribe un nmero del uno al diez y en el cuadro de dilogoConfiguracin del Marco se editarn dichas secciones. Se considera quelos elementos de la estructura pueden ser de un solo material y lassecciones pueden caer dentro de cuatro tipos.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasTipo 1.- La seccin es constante.hLFigura 3.2-2p.38Figura 3.2-3Tal como se muestra en la figura 3.2-2 la altura es uniforme a lolargo del elemento, por lo que al introducir los datos slo es necesarioescribir el momento de inercia y el mdulo de elasticidad.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.39Tipo 2.- La altura vara de hj a hk a lo largo de LhjLhkFigura 3.2-4hj > hkhjLhkFigura 3.2-5hk > hjLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasFigura 3.2-6p.40Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento deinercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremoj y en el campo hk la altura en el extremo k. Como se observa enlasfiguras 3.2-4 y 3.2-5 pueden existir dos casos: que hj sea mayor que hko que hk sea mayor que hj.Tipo 3.-La altura vara de hj a hk y de hk a hj a lo largo de LahjLhk hkhjaFigura 3.2-7hj > hkLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasa ahjLhjhk hkFigura 3.2-8hk > hjFigura 3.2-9p.41El procedimiento es similar al tipo de seccin anterior, pero conun nuevo dato, la distancia a, la cual debe considerarse como un factorde la longitud L, por ejemplo si la longitud del miembro es de seismetros y la distancia a es de dos metros, entonces se debe escribir en elcampo distancia a 2/6 o 0.3333.Tipo 4.- La altura vara de hj a hk, luego de h a h y de hk a hj, alo largo de LLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinashjLahkhhjahkFigura 3.2-10hj > hk > hp.42hjLahkhhjahkFigura 3.2-11h > hk > hjFigura 3.2-12Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.43Por ltimo se considera el caso en que existan tres alturasdiferentes y para definirlo se llenan los campos hj, hk, h y distancia a,tal como se explic anteriormente. Cabe recalcar que para seccionesconstantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos, como porejemplo perfiles estructurales, pero para secciones variables tienen queser forzosamente rectangulares.En las columnas D, F, G y H, tituladasju ,ku ,jA ykA , se escribela direccin de desplazamiento. Si es una rotacin en el extremo j seescribe en la columnaju , si se trata de una traslacin en j entonces deescribe en la columnajA y as para cada direccin, dejando en blancolas celdas que no tengan una direccin.En las columnas I, J, K y L, tituladasjRm ,kRm ,jRd yjRd , seescriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y sepuede hacer uso del cuadro de dilogo Configuracin del Marco el cualcontempla seis casos diferentes de condiciones de carga. A continuacinse muestra cmo hacer uso de esta caracterstica.Figura 3.2-13Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasEn la figura 3.2-13 se observa una lista en la cual se puedeseleccionar el elemento que se desea cargar, despus se marca laconfiguracin de carga deseada. A continuacin se muestra los datosnecesarios para cada tipo de carga.CargaFigura 3.2-14Carga uniformemente distribuidap.44CargaFigura 3.2-15Carga triangular simtricaCargaaFigura 3.2-16Carga trapezoidal simtricaLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasL/2CargaFigura 3.2-17Carga puntual al centro del miembroaCargaFigura 3.2-18Carga puntual descentradaCargaExtremo cargado 1Figura 3.2-19p.45Carga triangular asimtricaCargaExtremo cargado 2Figura 3.2-20Carga triangular asimtricaLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.46Una vez elegida la configuracin y despus de haber introducidolos datos necesarios para sta, se hace clic en aadir cargas y sesumarn las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas; paraborrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.473.3 Forma De Interpretar Los ResultadosMientras que la configuracin del marco se presenta en una sola hojade clculo, los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojasdiferentes, esto porque, como se ha dicho, se muestra paso a paso eldesarrollo del clculo. Para explicar los datos arrojados por el programase debe recordar el mtodo del clculo como se present en el captulouno. La precisin que se maneja es de cuatro dgitos y los valorespositivos se muestran con letra negra, los negativos en rojo y los valorescero en azul. En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cadaelemento, como se muestra en la siguiente figura.Figura 3.3-1El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de laestructura y el vector general de cargas J, los cuales estarn separadosentre s por una columna vaca y obviamente tendrn el mismo nmeroLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasde renglones igual al grado de indeterminacin cinemtica. Acontinuacin se muestra un ejemplo.Figura 3.3-2p.48Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por elvector J para as obtener el vector de deformaciones, escrito en formamatricial| | | | | |J S D1 =Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.49Figura 3.3-3Por ltimo se obtienen las reacciones, dos momentos y doscortantes por cada elemento y ser el resultado de multiplicar la matrizde rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que lecorresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q as| || | | | Q D K Ri+ = . Si en la figura 3.3-4 se localiza el elemento tres sepuede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 11.2886Ton/m y un cortante positivo de 20.6046 Ton, en el extremo j unmomento negativo de 14.0561 Ton/m y un cortante de 21.3953 Ton.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasFigura 3.3-4p.50Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.513.4 Alcance Del ProgramaHasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa,pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientesapartados.3.4.1 VentajasPara los estudiantes de anlisis estructural ser cmodo disponer deuna herramienta que haga los mismos clculos que se hacen en claseen una forma automtica, pero sobre todo ser til para revisar ydetectar errores sin tener que verificar los clculos repetitivos, de estamanera el problema se centrar en el planteamiento y razonamiento dela estructura y no en las tediosas operaciones matriciales. No se desearestarle importancia a realizar un clculo de manera manual porquesera inapropiado omitir este tipo de aprendizaje, sealamiento con elque se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado unclculo manual no est en condiciones de utilizar un programacomputacional para resolver dicho clculo.Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesiblecomo es Excel, que resultar fcil de asimilar para alguien que se iniciaen el clculo de estructuras asistido por computadora, adems de laventaja de que no necesita instalacin.3.4.2 LimitacionesEn contraparte a lo dicho anteriormente, el entorno en que se hadesarrollado el programa, adems de ser una ventaja, tambin es unadesventaja porque Excel no est concebido para realizar clculos dendole estructural, esto lleva a imponer una limitante bastanteimportante al programa. Excel no puede almacenar matrices mayores desesenta renglones y columnas, lo cual limita a calcular estructuras conun nmero mximo de grados de libertad de sesenta. Otra de lasdificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar losresultados, es posible hacer esta tarea en Excel, pero sera demasiadoLeonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinaslaborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente an no sehabra concluido con este trabajo.p.52Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.53CAPTULO 4 EJEMPLOS4.1 Marcos Plano Con Miembros De Seccin ConstanteEjemplo 16.00 4.00 3.004 Ton/mI III IIFigura 4.1-1EI=cte=1En la figura anterior (4.1-1) se observa que el nmero de elementos son3, el grado de indeterminacin cinemtica es de 4, se considera unmdulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a launidad para todos los elementos.Figura 4.1-2Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasFigura 4.1-3p.54Figura 4.1-4Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasFigura 4.1-5p.55Figura 4.1-6Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasLas reacciones finales en cada elemento son:6 mts.9.7551 Ton14.2449 Ton0 Ton-m13.4697 Ton-mw = 4 Ton/mFigura 4.1-7p.564 mts.10.7045 Ton2.6515 Ton2.6515 Ton-m13.4697 Ton-mw = 4 Ton/mFigura 4.1-83 mts.6.8838 Ton5.1162 Ton2.6515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Ton/mFigura 4.1-9Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasEjemplo 2w = 4 Ton/mw = 4.5 Ton/m2.00 2.002.00 2.003.503.001.009.003.003.504.002 Ton.IIIIVIIIVVIFigura 4.1-10En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentespara el anlisis.Seccin Dimensiones (m x m) Elasticidad (Ton/m) Inercia (m^4)1 0.30 x 0.60 2,213,594.360.00542 0.35 x 0.65 2,213,594.360.00803 0.30 x 0.30 2,213,594.360.00074 0.35 x 0.35 2,213,594.360.00135 0.35 x 0.40 2,213,594.360.0019p.57Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasEn la figura 4.1-11 se muestra la configuracin del marco y en lafigura 4.1-12 se muestran los resultados obtenidosFigura 4.1-11ELEMENTOS LONGITUD SECCINqj qK Dj DkRmj Rmk Rdj Rdk1 9 1 1 2 24.62963 -24.6296 14 142 9 2 3 4 30.17747 -29.6836 16.91598 16.584023 3.5 3 1 3 6 74 3.5 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7Figura 4.1-12REACCIONES EN LOSNUDOSVECTOR DECARGASREACCIONESFINALES5312.62647 2656.31323 885.43774 -885.43774 -0.00507 24.6296296 11.114782656.31323 5312.62647 885.43774 -885.43774 0.00505 -24.6296296 -11.25582885.43774 885.43774 196.76394 -196.76394 0 14 13.98433-885.43774 -885.43774 -196.76394 196.76394 0 14 14.015677880.29345 3940.14672 1313.38224 -1313.38224 -0.00315 30.1774691 16.387173940.14672 7880.29345 1313.38224 -1313.38224 0.0028 -29.683642 -20.007751313.38224 1313.38224 291.86272 -291.86272 0 16.9159808 16.45882-1313.38224 -1313.38224 -291.86272 291.86272 0 16.5840192 17.041181707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 -0.00507 0 -11.11478853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 -0.00315 0 -9.47695731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00288 0 -5.88335-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00256 0 5.883351707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 0.00505 0 11.25582853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 0.0028 0 9.33591731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00288 0 5.88335-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00256 0 -5.883353690.86116 1845.43058 1845.43058 -1845.43058 -0.00315 0 -6.910221845.43058 3690.86116 1845.43058 -1845.43058 0 0 -1.093661845.43058 1845.43058 1230.28705 -1230.28705 0.00256 0 -2.66796-1845.43058 -1845.43058 -1230.28705 1230.28705 0 0 2.667964132.04281 2066.0214 1549.51605 -1549.51605 0.0028 0 10.671842066.0214 4132.04281 1549.51605 -1549.51605 -0.00236 0 0.01549.51605 1549.51605 774.75803 -774.75803 0.00256 0 2.66796-1549.51605 -1549.51605 -774.75803 774.75803 0 0 -2.66796ELEMENTO4ELEMENTO5ELEMENTO6MATRICES DE ELEMENTOSELEMENTO1ELEMENTOp.582ELEMENTO3Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinas4.2 Marcos Planos Con Miembros De Seccin VariableConsidrese el ejemplo anterior y tmense las mismas cargas,dimensiones, materiales, etc. Ahora supngase las secciones variablesque se muestran en la siguiente figura.0.30x0.400.30 x 0.300.30x0.60 0.30x0.600.35 x 0.40 0.35 x 0.350.35x0.45 0.35x0.65 0.35x0.650.30 x 0.30Figura 4.2-1REACCIONES EN LOSNUDOSVECTOR DECARGASREACCIONESFINALES2521.44434 1540.64111 451.34283 -451.34283 -0.00802 24.6296296 16.660311540.64111 2521.44434 451.34283 -451.34283 0.00795 -24.6296296 -16.93715451.34283 451.34283 100.29841 -100.29841 0 14 13.96924-451.34283 -451.34283 -100.29841 100.29841 0 14 14.030764024.86186 2422.4607 716.36917 -716.36917 -0.00406 30.1774691 21.927952422.4607 4024.86186 716.36917 -716.36917 0.00335 -29.683642 -26.05436716.36917 716.36917 159.19315 -159.19315 0 16.9159808 16.40262-716.36917 -716.36917 -159.19315 159.19315 0 16.5840192 17.097381707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 -0.00802 0 -16.66031853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 -0.00406 0 -13.28486731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00413 0 -8.55576-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00345 0 8.555761707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 0.00795 0 16.93715853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 0.00335 0 13.00802731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 0.00413 0 8.55576-731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 0.00345 0 -8.555763690.86116 1845.43058 1845.43058 -1845.43058 -0.00406 0 -8.643091845.43058 3690.86116 1845.43058 -1845.43058 0 0 -1.141661845.43058 1845.43058 1230.28705 -1230.28705 0.00345 0 -3.26158-1845.43058 -1845.43058 -1230.28705 1230.28705 0 0 3.261584132.04281 2066.0214 1549.51605 -1549.51605 0.00335 0 13.046342066.0214 4132.04281 1549.51605 -1549.51605 -0.00297 0 -0.01549.51605 1549.51605 774.75803 -774.75803 0.00345 0 3.26158-1549.51605 -1549.51605 -774.75803 774.75803 0 0 -3.26158ELEMENTO4ELEMENTOp.595ELEMENTO6MATRICES DE ELEMENTOSELEMENTO1ELEMENTO2ELEMENTO3Figura 4.2-2Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca Salinasp.60CAPTULO 5 CONCLUSIONESComo se ha visto en los captulos anteriores, hay mucho potencial enanlisis estructural asistido por computadoras, clculos que en elpasado se realizaban en das, hoy se ejecutan en al instante, asimismo,modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad devariables que haba que evaluar, ahora se llevan a cabo con hacer unsolo clic. Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto: lacreatividad y la lgica del calculista.Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en elsentido de hacer comprensible el anlisis de estructuras, se ha dadosolamente una idea de la implementacin en programas decomputacin, pero obviamente queda en la imaginacin del lector lagama de posibilidades para crear un programa ms fcil, ms completo,en un lenguaje ms apropiado, etc.Leonel Ivn Miranda Mndez Anlisis Estructural de Marcos Planos en Excel.Universidad Autnoma de Zacatecas Francisco Garca SalinasREFERENCIASCAMBA C., Jos Luis, Francisco Chacn G. y Francisco Prez A.,Apuntes de Anlisis Estructural, UNAM, Mxico.CELIGETA, Juan Toms, Curso de Anlisis Estructural, EUNSA, SanSebastin, 1998.FALCON, Roberto Aguilar, Anlisis Matricial de Estructuras, ESPE,Ecuador, 2004.KREYSZIG, Edwin, Matemticas Avanzadas para Ingeniera Vol. 1,Limusa, Mxico, 2003.MORA F., Walter y Jos Luis Espinoza B., Programacin en Visual Basic(VBA) para Excel y Anlisis Numrico, Escuela de Matemticas delInstituto Tecnolgico de Costa Rica, Costa Rica, 2005.p.61