8 — Teorema de Ampère, ley de Gaussfabiancadiz.com/images/08Electro.pdf · 322 Teorema de Ampère, ley de Gauss Ejemplo 8.2 — Campo de un cable coaxial. Considere un cable coaxial,

8 — Teorema de Ampère, ley de Gauss

320 Teorema de Ampère, ley de Gauss

8.1 Teorema de Ampère (1826)

La ley de Ampère es una de las leyes fundamentales de la magnetostática, y juega un rol equiva-lente al de la ley de Gauss en electrostática: permite calcular fácilmente el campo magnéticocuando la simetría de la distribución de corriente lo permite. En su forma diferencial, la ley deAmpère establece que una densidad de corriente ~J es fuente de un campo magnético rotacional~B.

8.1.1 Forma diferencial de la ley de Ampère

A partir de la ley de Biot-Savart (Ec.7.10), calculemos el rotor de un campo magnético arbitrariogenerado por una densidad de corriente contenida en Ω⊆ R3:

~∇×~B(~x) =µ0

4π

~∇×∫∫∫

Ω

~J(~x′)× (~x−~x′)‖~x−~x′‖3 d3x′ =

µ0

4π

∫∫∫Ω

~∇×(~J(~x′)× (~x−~x′)

‖~x−~x′‖3

)d3x′

Ahora utilizamos la identidad vectorial ~∇× (~A×~C) = A(~∇ ·~C)−~C(~∇ ·~A)+(~C ·~∇)~A− (~A ·~∇)~C.Si tomamos ~A = ~J(~x′), se tiene ~C(~∇ ·~A) = 0 y (~C ·~∇)~A = 0 ya que ~J(~x′) es independiente de~x.Eligiendo ~C = (~x−~x′)/‖~x−~x′‖3, obtenemos:

~∇×~B(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

~J(~x′)~∇ · (~x−~x

′)

‖~x−~x′‖3 − (~J(~x′) ·~∇)(~x−~x′)‖~x−~x′‖3

d3x′

En esta última igualdad, el primer término del lado derecho se puede simplificar al reconocer laforma diferencial de la ley de Gauss (3.24) para una carga puntual en~x′ de magnitud q = 4πε0,es decir, ~∇ · (~x−~x′)/‖~x−~x′‖3 = 4πδ (~x−~x′). Además, para el segundo término, de la forma(~A ·~∇)~C, usamos el hecho de que ~C es irrotacional y que ~A es independiente de~x, luego:

~∇×~B(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

4π~J(~x′)δ (~x−~x′)−~∇

(~J(~x′) · (~x−~x

′)

‖~x−~x′‖3

)d3x′

Dado que la corriente es estacionaria,~∇′ ·~J(~x′)= 0, y entonces~∇(~J(~x′) · (~x−~x′)

‖~x−~x′‖3

)=−~∇′

(~J(~x′) · (~x−~x′)

‖~x−~x′‖3

).

Finalmente, utilizando el teorema de Green-Ostrogradsky:

~∇×~B(~x) = µ0

∫∫∫Ω

~J(~x′)δ (~x−~x′)d3x′+µ0

4π

∫∫∂Ω

dS(~x′)n(~x′)(~J(~x′) · (~x−~x

′)

‖~x−~x′‖3

)

Si ~x ∈ Ω, el primer término del lado derecho es igual a µ0~J(~x). Si además la densidad decorriente en ∂Ω es nula (la corriente se encuentra localizada en el volumen Ω), obtenemos laforma diferencial del teorema de Ampère.

Definición 8.1.1 — Teorema de Ampère (1826), forma diferencial. Sea ~J una densidadde corriente estacionaria (~∇ · ~J = 0) y localizada en un volumen Ω⊆ R3, entonces

~∇×~B(~x) = µ0~J(~x) (8.1)

La densidad de corriente ~J genera, en todo punto~x ∈ R3, un campo magnético ~B en rotaciónentorno a ~J.

8.1 Teorema de Ampère (1826) 321

8.1.2 Ley de Ampère - Forma integralSea Γ una curva cerrada en R3 y S(Γ) una superficie cuyo contorno es Γ. Utilizando el teoremade Stokes: ∮

Γ

d~x ·~B(~x) =∫∫

S(Γ)(~∇×~B(~x)) ·d~S(~x)

el segundo término se puede reescribir utilizando la ecuación (8.1):∫∫S(Γ)

d~S(~x) ·(~∇×~B(~x)

)= µ0

∫∫S(Γ)

d~S(~x) · ~J(~x)

el lado derecho es proporcional a la corriente que atraviesa a la superficie S(Γ).

Definición 8.1.2 — Teorema de Ampère (1826), forma integral. La circulación delcampo magnético sobre una curva cerrada Γ ∈ R3 es proporcional a la corriente I(Γ) queatraviesa cualquier superficie S(Γ) cuyo contorno sea (Γ):

∮Γ

d~x ·~B(~x) = µ0IΓ (8.2)

Ejemplo 8.1 — Campo de una corriente rectilínea. En general, el cálculo del campomagnético generado por distribuciones de corriente con simetría cilíndrica es muy simple graciasa la ley de Ampère. Para ilustrar esto, recordemos que en el ejemplo 7.10 se calculó (utilizandola ley de Biot-Savart) el campo magnético generado por una línea de corriente I, como se ve enla figura.

Debido a la simetría de la densidad de corriente, la magnitud del campo magnético debe serconstante e igual a B(r) en todo punto de una circunferencia Γ de radio r concéntrica al conductor,y su dirección siempre tangente a ésta curva (esto es fácil de ver a partir de la ley de Biot-Savart;en coordenadas polares la densidad de corriente es paralela a k, mientras que un punto arbitrariosobre la circunferencia se escribe~x = rr. Luego, la dirección del campo magnético en~x estarádada por k× r = ϑ ). De esta forma:∮

Γ

d~x ·~B(~x) =∫ 2π

0ϑ ·B(r)ϑrdϑ = 2πrB(r) = µ0I

de dondeB(r) =

µ0I2πr


Ejemplo 8.2 — Campo de un cable coaxial. Considere un cable coaxial, compuesto dedos conductores cilíndricos muy largos y concéntricos. El conductor interior lleva una corrienteI0, mientras que el conductor exterior lleva una corriente de igual magnitud pero en sentidocontrario. Encuentre el campo magnético en función de la distancia r respecto al eje del cable.

SoluciónDada la simetría cilíndrica de la distribución de corrientes, sabemos que el campo magnético esde la forma ~B = B(r)ϑ . Definamos 4 curvas cerradas circulares de radio r, tales que r < R1 (Γ1),R1 < r < R2 (Γ2), R2 < r < R3 (Γ3), y R3 < r (Γ4).

Además, en cada curva, ~Bd~x = B(r)dl. Utilizando la ley de Ampère, se obtiene:∮Γi

~B ·d~l = 2πrB(r) = µ0Ii

donde i = 1,2,3,4. Asumiendo que la densidad de corriente J0 en el cilindro interior es uniforme(es decir I0 = πR2

1J0), se tiene que la corriente encerrada por Γ1 es

I1 = J0πr2 =I0r2

R21

La corriente encerrada por Γ2 es simplemente I2 = I0. Si la densidad de corriente en el cilindroexterior es J′0, se tiene I0 = π(R2

3−R22)J′0, luego la corriente encerrada por Γ3 es

I3 = I0− J′0π(r2−R22) = I0

(1− r2−R2

2

R23−R2

2

)Finalmente, la corriente total encerrada por Γ4 es cero. Con esto:

~B(r) =µ0I0r2πR2

1ϑ r < R1

~B(r) =µ0I0

2πrϑ R1 < r < R2


~B(r) =µ0I0

2πr

(1− r2−R2

2

R23−R2

2

)ϑ R1 < r < R2

~B(r) =~0 R3 < r

Ejemplo 8.3 — Corriente no uniforme en un cilindro. Considere un conductor cilíndricode radio R y de extension infinita, que lleva una corriente I cuya densidad de corriente es nouniforme:

J = αr

donde α es una constante a determinar, y r es la distancia de un punto interior al conductor al ejede simetría. Encuentre el campo magnético en todo el espacio

SoluciónDada la clara simetría cilíndrica, utilizamos la ley de Ampère para encontrar el campo magnético.Sea Γ una curva circular de radio r, con 0 < r < R, concéntrica al eje de simetría del conductor.Es claro que la magnitud del campo magnético solo puede ser función de r, y su direccióntangente en todo punto a la curva Γ.

Así, veamos que ocurre con la circulación del campo a través de Γ

∮Γ

d~x ·~B(~x) =∫ 2π

0ϑ ·~B(r)rdϑ = 2πrB(r)

Por la ley de Ampère, la circulación sobre Γ es igual a µ0I(Γ) donde I(Γ) es la corriente queatraviesa Γ. Sea k la dirección de la corriente. Entonces

I(Γ) =∫∫

Γ

d~S(~x) · ~J(~x) =∫ 2π

0dϑ

∫ r

0k · ~J(r)rdrk


I(Γ) = 2πα

∫ r

0r2dr =

2παr3

3De esta forma

2πrB(r) = µ02παr3

3

~B(r) =µ0αr2

3ϑ

Para encontrar el campo magnético exterior, se utilizan los mismos argumentos de simetría, y seutiliza una nueva curva Γ circular de radio r > R.

La ley de Ampère en este caso se escribe:∮Γ

d~x ·~B(~x) = 2πr = µ0I(Γ)

y tendremos B(r) = µ0I(Γ)/(2πr), donde I(Γ) = I es la corriente que atraviesa Γ. Esto nospermitirá determinar la constante α

I(Γ) =∫∫

Sd~S(~x) · ~J(~x) =

∫ 2π

0dϑ

∫ r

0k · J(r)krdr = I

pero J(r) = 0 si r > R, de forma que

I(Γ) = 2πα

∫ R

0r2dr =

2παR3

3= I

luego

α =3I

2πR3

y se tiene

~B(r) =µ0I2πr

ϑ ,r > R

~B(r) =µ0Ir2

2πR3 ϑ ,r < R


Ejemplo 8.4 — Campo de un conductor plano. Considere un conductor plano de anchow y de extensión infinita en el plano xy. Este lleva una corriente I en el sentido de eje x, como semuestra en la figura. Encuentre el campo magnético en un punto P del plano xy, a una distanciah del conductor.

SoluciónConsidere una sección de conductor de ancho dr, paralela a la dirección de la corriente y a unadistancia r de P, como se ilustra en la siguiente figura

La cantidad de corriente contenida en este elemento diferencial está dada por dI = I(dr

w

).

Utilizando el teorema de Ampère para este elemento de conductor se obtiene:

d~B(P) =µ0dI2πr

k =µ0Idr2πrw

Por el principio de superposición, el campo magnético total se obtiene al integrar sobre elconductor:

~B(P) =∫ h+w

hdr

µ0I2πrw

k =µ0I2πw

∫ h+w

h

drr

k =µ0I2πw

ln(

h+wh

)k

Notar que en el límite cuando w << h,


lnh+w

h= ln

(1+

wh

)≈ 1

hw

y entonces~B(P)≈ µ0I

2πhk

que corresponde al campo magnético a distancia h de un conductor rectilíneo con corriente I

Ejemplo 8.5 — Campo magnético de un solenoide. Calcule el campo magnético dentrode un solenoide ideal de largo L, con N vueltas y que lleva una corriente estacionaria I.

SoluciónVemos que si las vueltas están muy cercanas espacialmente, el campo magnético resultantedentro del solenoide es aproximadamente uniforme, a condición que la longitud del solenoidesea mucho más grande que su diámetro. Para un solenoide ideal infinitamente largo, el campomagnético en su interior es uniforme y paralelo al eje x, mientras que el campo es nulo fueradel solenoide. Podemos utlizar el teorema de Ampère para calcular la magnitude del campo alinterior. Una vista transversal de un solenoide ideal se muestra en la figura siguiente.

Consideremos el camino rectangular de largo l y ancho w, que se recorre en sentido contrareloj.La integral de línea de ~B a través de este camino es∮

1234d~x ·~B(~x) =

∫1

d~x ·~B(~x)+∫

2d~x ·~B(~x)+

∫3

d~x ·~B(~x)+∫

4d~x ·~B(~x)

La integral sobre el tramo 1 es nula ya que el campo es nulo al exterior del solenoide. Lasintegrales sobre los tramos 2 y 4 también son nulas, ya que el campo es perpendicular a d~x entodo punto de dichos tramos. Considerando que la corriente total que atraviesa la superficieencerrada por la trayectoria es NIl/L, con N el número de vueltas del solenoide, tenemos:∮

1234d~x ·~B(~x) = Bl = µ0

NIlL


Finalmente

B =µ0NI

L

Ejemplo 8.6 — Campo magnético generado por una corriente entre 2 planos. Con-sidere dos planos infinitos paralelos separados por una distancia b en el plano xy. En la regióninterior existe una densidad de corriente uniforme ~J = J0~i. Encuentre el campo magnético entodo el espacio.

SoluciónPodemos pensar la región de corriente como una superposición de conductores rectilíneosparalelos que llevan corrientes en la dirección +x. A partir de la figura siguiente, y por unargumento de simetría, vemos que el campo magnético en un punto P tal que z > b/2 (escogemosz = 0 como el plano que atraviesa la región de corrientes por la mitad) apunta en la dirección −y.

En efecto, la componente según z se anula al sumar todas las contribuciones provenientes dela superposición de conductores rectilíneos. Similarmente, para un punto tal que z <−b/2, elcampo apunta en la dirección +y.

Ahora podemos utilizar el teorema de Ampère para encontrar el campo magnético debido aesta distribución de corriente. Tomaremos las curvas cerradas que aparecen en la figura. Para


el campo exterior, integramos sobre la curva Γ1. La corriente que atraviesa la superficie cuyocontorno es Γ1 es:

I(Γ1) =∫∫

d~S(~x) · ~J(~x) =∫∫

dS(~x)i · J0 i = J0 (bl)

Notando que en la integral de línea los segmentos verticales no contribuyen (d~x perpendicular alcampo ~B(~x) en todo punto),∮

Γ1

d~x ·~B(~x) = B2l = µ0I(Γ1) = µ0J0bl

de donde obtenemos:

B = µ0J0b/2

Notamos que el campo magnético exterior es uniforme, independiente de la distancia a la dis-tribución de corrientes. Ahora encontremos el campo magnético interior. Para ello consideremosla corriente total encerrada por el camino cerrado Γ2:

I(Γ2) =∫∫

d~S(~x) · ~J(~x) = J02zl

Usando el teorema de Ampère,∮Γ2

d~S(~x) ·~B(~x) = B2l = µ0I(Γ2) = µ0J02zl

de donde

B = µ0J0z

Notemos que en z = 0 el campo magnético es nulo, como se requiere por simetría. Final-mente,

~B =−µ0J0b2

j z > b/2

~B =−µ0J0z j −b/2 < z < b/2

~B =µ0J0b

2j z <−b/2

Ejemplo 8.7 — Superposición de campos magnéticos. Se tiene dos corrientes en elmismo sentido. Una de ellas es una corriente plana e infinita de densidad lineal Js, y la otra esuna corriente cilíndrica infinitamente larga cuya densidad es J(r) = J0

(1− r

R

), con r la distancia

al eje del cilindro. Encuentre el valor de J0 en función de Js, tal que el campo magnéticoresultante en el punto P ubicado a distancia R/2 del centro del cilindro a lo largo de la dirección−z sea nulo.


SoluciónEl campo de la distribución plana de corriente fue obtenido en el problema anterior. En la regiónsuperior a la distribución plana

~B1(~x) =−µ0Jsb

2j

Para el cilindro, utilizamos el teorema de Ampère. Dada su extensión infinita, por simetría elcampo magnético en su interior debe ser función únicamente de la coordenada radial r, y sudirección es tal que es tangente en todo punto a una curva circular Γ concéntrica al cilindro.

Así: ∮Γ

d~x ·~B2(~x) = µ0Ienc

luego

2πrB2(r) = µ0

∫ 2π

0dϕ

∫ r

0drrJ0

(1− r

R

)= µ0J02π

(r2

2− r3

3R

)

~B2(~x) = µ0J0

(r2− r2

3R

)ϕ

En el punto P, se tendrá la superposición de ambos campos. Notar que en dicho punto, ϕ

coincide con la dirección j, y entonces

~B(P) =(

µ0J0

(R4− R2

12R

)− µ0bJs

2

)j

para tener un campo magnético nulo, debe tenerse entonces

J0R6=

bJs

2

FinalmenteJ0 =

3bJs

R


Ejemplo 8.8 — Cable con cavidad cilíndrica. Un cable de radio R lleva una densidad decorriente ~J = J0k. El cable tiene una cavidad cilíndrica de radio α , paralelo y a una distancia bdel eje del cable. Muestre que el campo magnético dentro de la cavidad es uniforme.

SoluciónResolvemos el problema por superposición de dos corrientes, la primera dada por el cilindrocompleto con densidad de corriente J0k, y la otra en la cavidad con densidad −J0k. El campomagnético al interior de un cable con densidad de corriente ~J = J0k se puede obtener fácilmentecon el teorema de Ampère

Tomando la curva circular de radio r, y dada la simetría cilíndrica de la distribución de corriente,el campo magnético es constante y tangente sobre la curva. Así∮

Γ

d~x ·~B(~x) = B(r)2πr = µ0

∫∫S(Γ)

dS(~x)k · J0k

B(r)2πr = µ0J0πr2

~B(r) =µ0J0r

2ϑ(r)

Sea entonces un punto arbitrario al interior de la cavidad, como muestra la figuraLa superposición de los campos magnéticos es la siguiente

~B =µ0J0r1

2ϑ1−

µ0J0r2

2ϑ2

pero ϑ1 = k× r1 y ϑ2 = k× r2, luego

~B =µ0J0

2(r1k× r1− r2k× r2

)=

µ0J0

2k× (~r1−~r2)


~B =µ0J0

2k×~b

el cual es un campo uniforme

Ejemplo 8.9 — Fuerza magnética entre conductores. Se tiene un conductor cilíndricode radio R, muy largo, con corriente I, y un conductor plano también muy largo con corrientesuperficial I′. Ambos conductores son paralelos, y el conductor plano y el eje de la corrientecilíndrica son coplanares. Si el plano conductor tiene ancho a, y el eje del cilindro se encuentra adistancia b del origen, encuentrea) El campo magnético sobre el eje x, para x > ab) La fuerza de interacción por unidad de largo entre ambos conductores.

SoluciónEl plano de corriente puede ser visto como una superposición de corrientes lineales muy delgadas,de ancho diferencial dx′, como se muestra en la figura

Nos concentramos entonces en la porción de plano contenida entre x′ y x′+dx. Este alambrelleva una corriente dI = I′ dx′

a . El campo magnético sobre el eje a distancia x del origen (conx > a) se puede obtener mediante el teorema de Ampère, y está dado por:


~B(x) =− µ0I′dx′

2πa(x− x′)k

Entonces el campo magnético en x debido a la distribución plana es

~B(x)1 =−µ0I′

2πa

∫ a

0

dx′

x− x′k =−µ0I′

2πaln(x− x′)

∣∣∣a0k

Así, para x > a

~B(x)1 =−µ0I′

2πaln(

xx−a

)k

Para el cilindro de radio R, distinguimos dos regiones: dentro y fuera del cilindro. En un punto xexterior el cilindro, con a < x < b−R

~B2(x) =µ0I

2π(b− x)k

mientras que para x > b+R

~B2(x) =−µ0I

2π(x−b)k

Ahora, para el campo al interior del conductor cilíndrico, utilizamos el teorema de Ampère∮Γ

d~x ·~B(~x) = B(r)2πr = µ0

∫∫S(Γ)

dS(~x)n(~x) · ~J(~x)

B(r)2πr = µ0

∫∫S(Γ)

dS(~x) j · J j = µ0Jπr2

dondeJπR2 = I→ J =

IπR2

luego

B(r) = µ0Ir

2πR2

Finalmente, para a < x < b−R

~B(x) =(

µ0I2π(b− x)

− µ0I′

2πaln

xx−a

)k

para b−R < x < b

~B(x) =(

µ0I(b− x)2πR2 − µ0I′

2πaln

xx−a

)k

para b < x < b+R

~B(x) =−(

µ0I(x−b)2πR2 +

µ0I′

2πaln

xx−a

)k


para b+R < x

~B(x) =−(

µ0I2π(x−b)

+µ0I′

2πaln

xx−a

)k

b) Para calcular la fuerza por unidad de largo que ejerce el cilindro sobre la distribución planade corriente, calculemos la fuerza que se ejerce sobre el segmento lineal de largo unitario y deancho dx′ en la posición x′

La fuerza que actúa sobre este segmento es

d~F(x′) =I′dx′

aj×B2(x′)k =

I′dx′

aµ0I

2π(b− x)j× k =

I′µ0Idx′

2πa(b− x)i

Por superposición, la fuerza neta por unidad de largo que se ejerce sobre el plano es

~F =∫ a

0dx′

µ0II′

2πa(b− x)i =

µ0II′

2πaln(

bb−a

)i


8.2 Las dos leyes fundamentales de la magnetostáticaA continuación enunciaremos las dos leyes fundamentales de la magnetostática. En primerlugar, veremos que es posible definir un potencial vectorial ~A tal que el campo magnético estádado por ~B = ~∇×~A. En consecuencia, la divergencia del campo magnético es nula, ~∇ ·~B = 0.Esta ecuación constituye, junto con la forma diferencial del teorema de Ampère, un conjuntocompleto de ecuaciones que determinan el campo magnético en todo punto del espacio (teoremade completitud Helmholtz 10.3.1)

8.2.1 El potencial vectorialSupongamos que en un instante dado, se tiene una partícula de carga q y de velocidad~v en laposición~x′. El campo magnético en un punto~x debido a esta carga es (Ec.(7.5)):

~B(~x) =µ0

4πq~v× (~x−~x′)

‖~x−~x′‖3

Considerando que (~x−~x′)‖~x−~x′‖3 =−~∇(1/‖~x−~x′‖):

~B(~x) =µ0

4π

(~∇[

1‖~x−~x′‖

]×q~v)

Dado que q~v es independiente de~x, se tiene que ~∇[ 1‖~x−~x′‖ ]×q~v = ~∇× (q~v/‖~x−~x′‖) y entonces:

~B(~x) = ~∇×(

µ0

4π

q~v‖~x−~x′‖

)Definición 8.2.1 — Potencial vectorial de una carga puntual. El potencial vectorial deuna carga puntual q en~x′, de velocidad~v, está dado por:

~A(~x) =µ0

4π

q~v‖~x−~x′‖ (8.3)

y se tiene que el campo magnético generado por la carga cumple:

~B(~x) = ~∇×~A(~x)

El potencial vectorial de una carga puntual se puede generalizar para una distribución decorrientes arbitraria. En efecto, la ley de Biot-Savart se puede reescribir:

~B(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′ ~J(~x′)×~∇(− 1‖~x−~x′‖

)= ~∇×

µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′~J(~x′)‖~x−~x′‖

(8.4)

Definición 8.2.2 — Potencial vectorial de una corriente arbitraria. El potencial vec-torial de una carga puntual (8.3), se puede generalizar para una distribución de corrientearbitraria contenida en un volumen Ω ⊆ R3. El potencial vectorial se obtiene mediante laintegral:

~A(~x) =µ0

4π

∫∫∫R3

d3x′~J(~x′)‖~x−~x′‖ (8.5)

8.2 Las dos leyes fundamentales de la magnetostática 335

Notar que para una corriente lineal, se tendrá:

~A(~x) =µ0I4π

∫Γ

d~l(~x′)‖~x−~x′‖ (8.6)

El potencial vectorial no es único

Si bien la ecuación (8.5) corresponde a un campo definido de forma única, existe una infinidadde campos vectoriales tal que:

~∇×~A = ~B (8.7)

Si en lugar de definir ~A a partir de la ecuación (8.5), definimos el potencial vectorial como uncampo que satisface (8.7), entonces este no es único. En efecto, a partir de una solución ~A de(8.7), siempre es posible agregar el gradiente de una función escalar arbitraria:

~A′ = ~A+~∇ψ

Dado que ~∇×~∇ψ = 0, se tiene que ~A y ~A′ definen el mismo campo magnético:

~B = ~∇×~A = ~∇×~A′

Es sabido a partir del teorema de Helmholtz que para determinar de forma única un campovectorial se debe especificar el rotacional y la divergencia de éste. El potencial vectorial definidopor la Ec. (8.5) cumple con:

~∇×~A = ~B ~∇ ·~A = 0

lo cual corresponde a una elección particular de entre todos los campos vectoriales que satisfacen~∇×~A = ~B. Esta elección corresponde al calibre de Coulomb.

8.2.2 Ecuación de Poisson para el potencial vectorial

Notar que, al igual que el potencial electrostático satisface la ecuación de Poisson (4.14), sepuede demostrar que el potencial vectorial en el calibre de Coulomb satisface:

~∇2~A(~x) =−µ0~J(~x) (8.8)

Es decir, la componente i de ~A satisface la ecuación de Poisson con un término fuente dado porµ0Ji. En efecto, al utilizar la identidad vectorial ~∇× (~∇×~A) = ~∇(~∇ ·~A)−~∇2~A , y ~∇×~A = ~B,se tiene:

~∇×~B = ~∇(~∇ ·~A)−~∇2~A

usando el teorema de Ampère y el hecho de que el potencial vectorial en el calibre de Coulombcumple con ~∇ ·~A = 0, entonces se obtiene (8.8).


8.2.3 Ley de Gauss magnéticaLa divergencia del rotacional de un campo vectorial es siempre nula, esto es:

~∇ · (~∇×~A) = 0

De forma que, la ley diferencial para la divergencia de ~B es

~∇ ·~B = 0 (8.9)

cuya formulación integral se obtiene a partir del teorema de Green-Ostrogradsky

∫∫S

d~S(~x′) ·~B(~x′) =∫∫∫

Ω(S)~∇ ·~B(~x′)d3x′ = 0 (8.10)

Luego, el flujo de ~B sobre cualquier superficie cerrada es nulo. Esto significa que no existenmonopolos magnéticos; a diferencia del campo eléctrico generado por una carga puntual, todafuente de campo magnético genera líneas de campo que se cierran sobre si mismas.

8.2.4 Las dos leyes fundamentales de la magnetostáticaHasta ahora se han establecido los principios fundamentales de la magnetostática, éstos son: laley de Biot-Savart para una carga puntual en movimiento y el principio de superposición. Hemosvisto que a partir de estos principios se pueden deducir:

1. La ley de Gauss magnética: el flujo del campo magnético sobre cualquier superficiecerrada es siempre nulo: ∫∫

∂Ω

d~S(~x) ·~B(~x) = 0 ⇔ ~∇ ·~B = 0

2. El teorema de Ampère: la circulación del campo magnético sobre una curva Γ es propor-cional a la corriente que atraviesa cualquier superficie cuyo contorno es Γ∮

Γ

d~x ·~B(~x) = µ0I(Γ) ⇔ ~∇×~B = µ0~J

La forma diferencial de estas dos leyes corresponden a dos de las ecuaciones de Maxwell en elvacío para campos magnéticos estáticos. Recordando el teorema de Helmholtz (10.3.1), podemosver que la teoria magnetostática es completa.

8.3 Completitud de la magnetostáticaLa magnetostática es una teoría completa, ya que existe un único campo ~B que decae más rápidoque 1/‖~x‖2 y que cumple con:

~∇ ·~B = 0

y :~∇×~B = µ0~J

En efecto, el teorema de Helmholtz establece que entonces ~B está completamente determinadopor la siguiente representación integral- diferencial:

8.4 Expansión multipolar del campo magnético 337

~B(~x) = ~∇× 14π

∫∫∫R3

~∇′×~B(~x′)‖~x−~x′‖

d3x′ = ~∇× µ0

4π

∫∫∫R3

~J(~x′)‖~x−~x′‖

d3x′ (8.11)

y utilizando la identidad (3.1)

~B(~x) =µ0

4π

∫∫∫R3

~J(~x′)× (~x−~x′)‖~x−~x′‖3 d3x′ (8.12)

lo que corresponde a la ley de Biot-Savart. El conjunto de ecuaciones diferenciales que represen-tan las leyes fundamentales de la teoría es suficiente para determinar completamente el campomagnético.

8.4 Expansión multipolar del campo magnéticoSea una distribución localizada de corriente dentro de un volumen Ω. El potencial vectorial en elcalibre de Coulomb está dado por

~A(~x) =µ0

4π

∫∫∫Ω

d3x′~J(~x′)‖~x−~x′‖

Veamos que ocurre muy lejos de las fuentes, es decir, cuando ‖~x′‖ ‖~x‖

‖~x−~x′‖−1 =(‖~x‖2 +‖~x′‖2−2~x ·~x′

)−1/2=

1‖~x‖

(1+‖~x′‖2

‖~x‖2 −2~x ·~x′

‖~x‖2

)−1/2

la expansión en taylor a primer orden entrega

1‖~x−~x′‖

≈ 1‖~x‖

+~x ·~x′

‖~x‖3 −12‖~x′‖2

‖~x‖3 + ...

despreciando el tercer término, el potencial vectorial lejos de las fuentes tiene la forma:

~A(~x)≈ µ0

4π‖~x‖

∫∫∫Ω

~J(~x′)d3x′+µ0

4π‖~x‖3

∫∫∫Ω

~J(~x′)~x′ ·~xd3x′

La primera integral es nula, para ello demostraremos el siguiente lema: ∀ f ,g∫∫∫Ω

~J(~x) ·~∇[ f (~x)g(~x)]d3x =∫∫∫

Ω

~J(~x) · [ f (~x)~∇g(~x)+g(~x)~∇ f (~x)]d3x = 0

la demostración es la siguiente∫∫∫Ω

d3x(~J ·~∇ f g

)=∫∫∫

Ω

~∇ ·(~J f g)

d3x−∫∫∫

Ω

f g~∇ · ~Jd3x

Usando la condición de corriente estacionaria (~∇ · ~J = 0) y el teorema de la divergencia∫∫∫Ω

d3x(~J ·~∇ f g

)=∫∫

∂Ω

d~S · ~J f g = 0

ya que para una corriente localizada, la integral de la derecha es nula. Tomando f (~x) = 1,g(~x) = x ∫∫∫

Ω

~J(~x) ·~∇xd3x =∫∫∫

Ω

Jx(~x)d3x = 0


Del mismo modo se puede demostrar que la integral de las componentes en y e z es nula. Asi∫∫∫Ω

~J(~x)d3x =~0

Utilizando finalmente que~x× (~J×~x′) = ~J(~x′)(~x′ ·~x)− (~x · ~J(~x′))~x′ y que∫∫∫Ω

~J(~x′)(~x′ ·~x) d3x′ =−∫∫∫

Ω

~x′(~J(~x′)~x′ ·~x) d3x′

tenemos: ∫∫∫Ω

~J(~x′)~x′ ·~xd3x′ =12

∫∫∫Ω

[~x×(~J(~x′)×~x′

)]d3x′

Así, se obtiene

~A(~x)≈ µ0

4π

~x‖~x‖3 ×

∫∫∫Ω

d3x′~J(~x′)×~x′

Reconocemos el momento magnético de la distribución de corriente localizada en Ω:

µ =∫∫∫

Ω

d3x′~x′× ~J(~x′)

Finalmente:

~A(~x)≈ µ0

4π

~µ×~x‖~x‖3 (8.13)

Es decir, el potencial vectorial lejos de la fuente está completamente determinado (a primerorden) por el momeno magnético de la distribución de carga.

8.4.1 Campo generado por un momento magnéticoVemos entonces que el campo magnético generado por un momento magnético ~µ se escribe:

~B = ~∇×~A = ~∇×

µ0

4π

~µ×~x‖~x‖3

Ahora utilizamos la siguiente identidad ~∇× (~µ×~x/‖~x‖3) =~µ(~∇ ·~x/‖~x‖3)− (~µ ·~∇)~x/‖~x‖3, lacual se puede simplificar considerando que la divergencia de~x/‖~x‖3 es nula para ‖~x‖ 6= 0, y que~µ es un vector constante:

~∇× (~µ×~x‖~x‖3 ) =−~∇(~µ · ~x

‖~x‖3 )

y entonces

~B =−~∇

µ0

4π

~µ ·~x‖~x‖3

=−~∇ψ

vemos que el campo escalar ψ posee la misma forma que el potencial de un dipolo eléctrico(Ec.3.16 ), y que ~B = −~∇ψ , de forma que el campo magnético posee la misma forma que elcampo électrico generado por un dipolo (Ec. 3.18).

~B =µ0

4π

3(~x ·~µ)~x−~µ‖~x‖3 (8.14)

8.5 Resumen y fórmulas escenciales 339

8.5 Resumen y fórmulas escenciales

• El campo magnético generado por una densidad de corriente ~J : Ω⊆ R3→ R3 está dadopor la integral de Biot-Savart (Ecuación (7.10))

~B(~x) = µ04π

∫∫∫Ω

d3x′~J(~x′)×(~x−~x′)‖~x−~x′‖3

• El teorema de Ampère es consecuencia de la ley de Biot-Savart (7.10) y establece que lacirculación de ~B sobre toda curva cerrada Γ es proporcional a la corriente IΓ que atraviesala superficie S(Γ) cuyo contorno es Γ (Ec. 8.2):∮

Γd~x ·~B(~x) = µ0IΓ

en su forma diferencial, el teorema de Ampère corresponde a:

~∇×~B = µ0~J

donde ~J es la densidad de corriente.

• El campo magnético deriva de un potencial vectorial ~A tal que ~B = ~∇×~A. Esto implicaque la divergencia del campo magnético es nula

~∇ ·~B = 0

y que entonces el flujo del campo magnético sobre cualquier superficie cerrada es nulo(ley de Gauss magnética).∫∫

Sd~S ·~B = 0

• El potencial vectorial no es único, salvo si a la condición ~∇×~A = ~B se le agrega ~∇ ·~A = 0(calibre de Coulomb), en cuyo caso ~A está determinado por la Ec.(8.5):

~A(~x) = µ04π

∫∫∫R3 d3x′

~J(~x′)‖~x−~x′‖

que corresponde a la solución de la ecuación de Poisson

~∇2A(~x) =−µ0~J(~x)

Documents

8 — Teorema de Ampère, ley de Gaussfabiancadiz.com/images/08Electro.pdf · 322 Teorema de Ampère, ley de Gauss Ejemplo 8.2 — Campo de un cable coaxial. Considere un cable coaxial,