8 Razred - Krug - Zbirka

8/20/2019 8 Razred - Krug - Zbirka

http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-krug-zbirka 1/163

1



Ж иворад И вановић С рђан О гњ ановић

М А ТЕМ А ТИ К А

8

Зб и рка задатака са реш ењ и м а

за 8. р азр ед осн овн е ш коле

Ш есто 'издањ е

Р У Г

Е О Г Р А Л , 2 0 1 1 .



А утори: и в о р а д И в а н о в и ћ , проф есор, педагош ки саветникм р С р ђ а н О г п а н о в и ћ , проф есор М атематичке гим назије у Београду

М А ТЕ М А Т И К А 8

Збирка задатака са реш ењ има за 8. разред основне ш коле

Ш есто издањ е

И здавач: „К р у г “, Београд, У станичка 244г,тел. 347 5576, Е -таЛ : кгидсЗооФ зћћ.гз

За издавача: М а р и ја н а М и л о ш е в и ћ

Рецензенти: д р П р е д р а г Т а н о в и ћ , научни сарадник М ат. института С А Н УМ и р ја н а П е р о в а н о в и ћ , професор М атематичке гим назије, БеоградР у ж и ц а П а в л и ћ е в и ћ , професор О Ш „Дринка П авловић“, Београд

У редник: и в о р а д И в а н о в и ћ

Корице: И в а н Ч у к и ћ

Ц ртеж и: М а р к о Ч е р в е њ а к , И в а н К а д е л б у р г

Реш ењ ем м инистра просвете Републике С рбије број 650-02-00299/2010-06 од

21. 07. 2010. године, уџбеник је одобрен за издавањ е и употребу.

С1Р - К аталогизација у публикацијиН ародна библиотека С рбије, Београд

37.016:51 (075.2) (076)

И В А Н О В И Ћ , Ж иворад, 1938-М атематика 8 : збирка задатака са реш ењ има

за 8. разред основне ш коле / Ж иворад И вановић,С рђан О гњ ановић ; [цртеж и М арко Ч ервењ ак,И ван Каделбург]. - 6. изд. - Београд : Круг,2011 (Л апово : Колор прес). - 157 стр. : граф.прикази, табеле ; 24 ст

Тираж 10.000.

18ВК 978-86-7136-193-41. О гњ ановић, С рђан, 1954- [аутор]

С О В 138.8К -Ш 183736588

18ВК 978-86-7136-193-4

Тираж : 10 000 примерака

Ш тампа: Колор прес, Л апово



П Е Д О В О

О ва збирка задатака у потпуности прати најновији измењ ени програм за 8.

разред основне ш коле, који је усвојио Н адионални просветни савет 2009. године.

Такође, сагласна је са уџбеником за 8. разред истог издавача, чији је аутор С рђанО гњ ановић. У њ ојсу обрађене следеће наставне целине:

1. С личност троуглова,2. Тачка, права и раван,

3. Л инеарне једначине и неједначине с једном непознатом,4. П ризма,

5. П ирамида,6. Л инеарна функција,

7. Графичко представљ ањ е статистичких података,

8. Системи линеарних једначина са две непознате,9. Ваљ ак,

10. Купа,

11. Лопта.

С вака од наведених тема обрађена је у посебној глави, а свака глава по-дељ ена је на неколико поглављ а. Н а почетку сваке главе или поглављ а дате су

дефиниције и тврђењ а која су неопходна за реш авањ е задатака из те области.Задаци су поређани од једноставнијих ка теж им , а на крају сваке главе дат је

додатак у коме су задаци на одређени начин слож енији и за чије је реш авањепотребно улож ити виш е креативности.

Рецензенти су пажљ иво прочитали цео рукопис, те им се срдачно се зах-ваљ ујемо на корисним примедбама и сугестијама.

Београд, априла 2010. године А у т р



ГРЧ К И А Л Ф А БЕТ

А а алфа

В јЈ бета

Г 7 гама

д б делта

Е е епсилон

2 с зета

Н V ета

е в тета

I 1 јота

к капа

А А ламбда

М Џ ми

N V ни

2 С кси

0 0 омикрон

П 7Г пи

Р Р ро

Е <7 сигма

Т Т тау

Т V ипсилон

Ф ч> фи

X X хи

Ф ф пси

Г2 омега



С адрж ај

. С Л И Ч Н О С Т Т РО У ГЛ О В А .................................................................. ,

.1. Талесова теорем а.............................. .

................................... ј

.2. С личност троуглова................................................................. 4

.3. П римена сличности на правоугли троугао....................................... 6

.4. Д одатак уз главу I .......................................................... ................. 7

ТА ЧК А , П РА В А И РА В А Н .................................................................. 9

1. Тачка, права и раван - међусобни односи....................................... 9

2. О ртогонална пројекција.................................................................... 13

3. Д одатак уз главу I I .............................. .

............................................ 14

Л И Н Е А РН Е ЈЕ Д Н А Ч И Н Е И Н Е ЈЕ Д Н А Ч И Н Е С ЈЕ Д Н О М Н ЕП О З-Н А ТО М ............................................................................................ 16

1. Реш авањ е линеарне једначине с једном непознатом ........................ 17

2. П римена линеарних једначина с једном непознатом ........................ 23

3. Реш авањ е линеарне неједначине с једном непознатом .................... 27

4. Д одатак уз главу II I ........................................ 31

П РИ ЗМ А .................................................................................................. 36

1. П оврш ина и запремина призм е.......................................................... 37

2. Д одатак уз главу IV ........................................................................... 44

П И РА М И Д А ............................................................................................ 45

1. П оврш ина и запремина пирамиде..................................................... 40

2. Д одатак уз главу V ........................................................................... 52

Л И Н ЕА РН А Ф У Н К Н И ЈА ...................................................................... 55

1. Ф ункција = к х + ........................................................................... 55

2. Л инеарна функција - систематизација.............................................. 02



8. С И С Т ЕМ И Л И Н Е А РН И Х ЈЕ Д Н А Ч И Н А С А Д В Е Н Е П О ЗН А Т Е . 71

8.1. Реш авањ е система две линеарне једначине са две непознате........ 72

8.2. Реш авањ е система две линеарне једначине са две непознате -систематизација.................................................................................. 78

8.3. Д одатак уз главу V I I I ........................................................................ 84

9. В А Љ А К ..................................................................................................... 87

9.1. П оврш ина и запремина ваљ ка............................................................ 87

9.2. Д одатак уз главу IX ........................................................................... 90

10. К У П А ...................................................................................................... 9310.1. П оврш ина и запремина купе.......................................................... 93

10.2. Д одатак уз главу X ........................................................................... 96

11. Л О П ТА ........ ......................................................................................... 99

11.1. П оврш ина и запремина лопте......................................................... 99

11.2. Д одатак уз главу X I......................................................................... 100

12. РЕ Ш Е Њ А .............................................................................................. 103

1. С личност троуглова............................................................................. 103

2. Тачка, права и раван........................................................................... 109

3. Л инеарне једначине инеједначинес једномнепознатом ..................... 112

4. П ризм а................................................................................................... 121

5. П ирамида.............................................................................................. 125

6. Л инеарна ф ункција.............................................................................. 130

7. Графичко представљ ањ естатистичких података........ ..................... 138

8. Системи линеарних једначина са двенепознате................................

1409. В аљ ак.................................................................................................... 146

10. К упа...................................................................................................... 149

11. Л опта.................................................................................................... 153



1. С Л И Ч Н О С Т ТРО У ГЛ О В А

Н а п р е т к о м у с а в р ш а в а љ е м м а т е м а т к е у с л о в љ е н о је б л а - г о с т а њ е д р ж а в е .

Н а п о л е о н 1

1.1. Т А Л Е С О В А Т Е О Е М А

Т а л е с о в а т п е о р е м а . А ко се две праве х и у пресеку паралелним правим р и Ч , онда је разм ера било које две дуж и је-

дне праве једнака разм ери одговарајућихдуж и друге две праве:

А _

~О В ~

као и

А 1 _ А В

В г

А

В

А г В ̂

А А г~В В ~Х '

1. Д ате су три дуж и, а , 6 и с . К онструисати четврту пропорционалу

за те дуж и, тј. дуж х таквуда је а : 6 = с : х , ако је:

а) а = 3 с т , 6 = 4 с т , с = 5 с т ;

б) а = 7 с т , 6 = 5 с т , с = 6 с т ;

в) а = 8 ст , 6 = 3 с т , с = 5 с т .

1К аро1еоп В опарагТе (1769-1821), француски им ператор



2 Т екстови задатака

у \

(; 2Ј Д ате су дуж и а , 6, с и јединична дуж дуж ине 1сш . К онструисатидуж х ако је:

/л ј „2( а) а : 6 = ж : с; б )ж = —— ;

г) X =а + 6

д) х = а - к ; ђ ) х =

6 ’

& &

3. Д ату дуж Д јЗ поделити на:

а) три; б) пет;

једнаких делова.

/I 4.1 Д оделити дату дуж у односу:^ ( а ) 2 :3 ; 6 ) 1 : 4 ;

... г) 2 :3 :4 ; д) 2 :5 :3 .

( (§у' Д ата је дуж М И . К онструисати дуж и:

в) седам ; г) једанаест

в) 3:5;

(а) А В = ■■ Д /.\ :5

в) Е Р = -М 1У ;' 3

б) С Б = - М И ;' 8 ’

г) С Н = 1 - М И . 5

6 . И зрачунати дуж ину дуж и З Б (слика)ако је А В [| СТ> и:

а) Д С ^ б с т , С Д = З с т , В Р = б с т;

б) 8 А = 7 с т , 8 С = 2 8 А , = 14ст;

в) Д Д = б ст , А С = 4 с т , 8 В = 9 с т.Сл. уз зад. 6

7. У трапезу А В С Б продуж еци кракова А В и СТ> секу се у тачки М .А ко је А М = 10 с т , А В = 2 с т и М В = 15 с т , израчунати дуж инукрака С О .

8 . У троуглу А В С је дуж В Е паралелна страници А В (слика). И з-рачунати:

а) В С ако је С = 12 с т , С И = 4 с т , С Е = 8 с т;

б) В Е акоје С = 15 с т , А О = 3 с т , В С = 25 с т .

9. ) У троуглу А В С права Р Е (Д> 6 А С , Е е В С ) паралелна јеправој А В . И зрачунати:

ч а) С Е ако је СД> = 8 с т , А С = 20 с т , В Е = 6 ст;

б) СГ> ако је А С = 2 0ст , В Е = б с т , С Е = 4 с т.



1. С личност троуглова 3

Сл. уз зад. 8 Сл. уз зад. 10

10. / У којем од наведених случајева је В В ' паралелно са ' (слика):

а) А = 12 с т , В = З с т , А ' = 8 с т , А В ' = б с т;

б) А = 14 ст , А В = б с т , А ' = 7 с т , А В ' = З с т;

в) А В = б с т , В = 15ст, А В ' = 9 с т , В ' ' = 8ст?

11. Д уж и А В и В на слици су паралелне. И зрачунати дуж ине дуж иВ М и М .

0 1,5 сш

12. У троуглу К В М на слици је М В || М Р .

а) А ко је М К = 7 с т , К М = 21ст и К Р = 10ст, наћи Е Р .

б) А ко је К Р = М Р , В Р = б с т и В М = 10 с т , наћи К Р .

в) А ко је К Р = 7 с т , К 1V = 2 Б Р и М Л Г = 14 с т , наћи К М .

г) А ко је К М = 25ст, АТ/У = АГД и К Р = 4ст, наћи 1 .




1.2. С Л И Ч Н О С Т Т О У Г Л О В А

А ко су два троугла А В С и А 1 В 1 С 1 слични, тада су им сви одгова-

рајући углови подударни и одговарајуће странице пропорционалне:

— \ , /3 = /?г 7 = 7 г , а : 6 : с = ах : : С1

С тавови о сличности троуглова:

Д ва троугла А В С и А 1В 1С 1 су слични ( А А В С ~ Д А ^ б 1!) акосу:

(1) два унутраш њ а угла једног троугла подударни одговарајућим

унутраш њ им угловим а другог (нпр. = оц , /3 = /З^);

(2) две странице једног троугла пропорционалне одговарајућим стра-ницама другог, а унутраш њ и углови које образују те странице поду-дарни (нпр. : г = 6 : , 7 = 7^);

(3) све странице једног троугла пропорционалне одговарајућим стра-

ницама другог (нрп. : = к : 61 = с : С \ );

(4) две странице једног троугла пропорционалне одговарајућим стра-

ницам а другог и унутраш њ и углови наспрам већих од ових страница

једнаки (нпр. ђ : 61 = с : с \ , 7 = 71, с > 6).

К оеф ицијент сличности ових троуглова је /г = — = — = — .«1 &1 С1

13. Д а ли су слични троуглови чије су странице:

а) 4 с т , 5 с т, б с т и 8 т т , 10 т т , 12 т т ;

б) З ст , 4 ст , б ст и 9 ст , 15 ст, 1 8ст?

14. С транице троугла су 4 ст , 3,6 с т и 1,6 с т . О дредити странице

њ ему сличног троугла ако је коеф ицијент сличности 1,6 (к = 1,6 ).

15.. С транице троугла А В С су = 20, с = 16. С транице сличног

троугла су &1 = 21, = 11,2 . О дредити странице 6 и о ј .




16. / У троуглу основиде = 30 с т и одговарајуће висине ћ = 45 с т

'^уписан је квадрат чија два темена припадају основици троугла, а другадва другим двем а страницам а троугла. О дредити страницу квадрата.

17. У троуглу основице = 18 с т и одговарајуће висине ћ = 12 с т

уписан је правоугаоник обим а 32 с т , чи ја два темена припадају основици

троугла, а друга два страницам а троугла. О дредити странице правоугао-ника.

18. О сновице трапеза су = 15 с т , 6 = 12 с т а један крак с = 8 ст .

О дредити дуж ину х за коју треба продуж ити крак с до пресека са про-дуж етком другог крака.

19. Д ијагонала трапеза = 25 с т дели другу дијагоналу на одсечке

т = 12 ст , п = 8 ст . О дредити дуж ине делова дијагонале .

20. О сновице трапеза су = 18 с т , 6 = 16 с т , а висина ћ = 9 с т .

О дредити висину већег троугла који се добија продуж авањ ем кракова

трапеза до њ иховог пресека.

21 . А ко су два троугла слична, доказати да су онда:1° њ ихове висине пропорционалне одговарајућим страницам а;

2° њ ихови обим и пропорционални одговарајућим страницама;

3° њ ихове површ ине пропорционалне квадратим а одговарајућих стра-ница.

22. О сновица једног троугла је = 30 с т , висина ћ = 24 с т , а

основица сличног троугла је г = 20 с т . И зрачунати висину ћ п 1 другогтроугла.

23. Н а основу страница = 12 с т , ћ = 15 с т, с = 18 с т датог троугла

и обим а 5! = 60 с т њ ем у сличног троугла одредити странице сличног

троугла.

24. С транице троугла су а = 4, 6 = 6 и с = 8 . О дредити обим њ ем у

сличног троугла ако је коеф ицијент сличности к = јј.

25. С транице троугла односе се као 2 : 5 : 6 . Н ајм ањ а страница њ ем у

сличног торугла је \ = б ст . О дредити обим сличног троугла.

26. П рава I садрж и теж иш те Т троугла А В С и паралелна је страници

В С .

а) У ком односу та права дели висину која одговара страници В С 1




б) К олика је дуж ина одсечка праве I унутар троугла А В С у функцијистранице В С ?

в) У ком односу су површ ине троугла А В С и троугла који одсеца права I унутар троугла А В С 1

27. Н ека је 8 пресек дијагонала А С и В П трапеза А В С Б . А ко је

А В = 9 с т , С Б = 4 с т , А 8 = бст и З Б = 2 ст , наћи дуж ине В З и С 8 .

28. Д ат је троугао са страницама а = 7 ст , 6 = 15 с т и с = 12 ст .

Т роугао је пресечен једном правом паралелном најкраћој страници тако

да се добије трапез обим а 26 с т . К олике су странице овог трапеза?

29. Н ека је Е средиш те странице В С квадрата А В С Б странице а =

\ / 5 с т и М поднож је норм але из на А Е . И зрачунати дуж инудуж и Б М .

30. Н ека је Е средиш те странице А В квадрата А В С О . О дредити у

којој разм ери дуж О Е дели дијагоналу А С .

31. Т етиве А В и С Б круга секу се у тачки 8 . А ко је В З = 12 ст ,

8 С = 4 с т и Б З = 9 ст, наћи А З .

32. У једнакокраком троуглу центар уписаног круга дели висину у раз-м ери 12 : 5. А ко је крак 60 с т , наћи дуж ину основице тог троугла.

1.3. П И М Е Н А С Л И Ч Н О С Т И

Н А П А В О У Г Л И Т О У Г А О

А ко су а и В катете, а с хипотенуза правоуглог троугла А В С , ћ =

С Б висина која одговара хипотенузи и дели је на дуж и В О = и

А Б = д, онда су троуглови А В С , А С Т> и С В Б слични. И з овесличности се добија:

а ’ = с - , ћ 2 = с •д, ћ 2 = ■ д .




33. У правоуглом троуглу су катете:

а) а = 3 ст, 6 = 4 ст; б) а = 5 ст, 6 = 1 2 ст;

И зрачунати дуж ину хипотенузе с, њ ене висине ћ и одсечака и д на које

та висина дели хипотенузу.

34. Н ека су а и 6 катете, с хипотенуза, ћ њ ена висина, а = В Г Ј и

<7= И Д одсечци на које висина дели хипотенузу правоуглог троугла

А В С . О дредити непознате елементе скупа {а, 6, с, ћ , , <7} ако је:

а) а = 25 с т , = 20 с т;

в) ћ = 60 с т , <7= 144 ст;

д) а = 10 с т , с = 26 ст;

е) = 0,9 с т , (/ = 1,6 с т .

35. О дредити дуж ину Т Ј В на сли-

ци.

36. Х ипотенузина висина дели хипо-

тенузу правоуглог троугла на дуж и= 9 с т и (7 = 16 с т . И зрачунати

обим површ ину тог троугла.С л. уз зад. 35

37. Д оказати да аритм етичка средина две дуж и није м ањ а од њ ихове

геом етријске средине.

38. К онструисати геом етријску средину за дате дуж и:

а) а = 7 ст, 6 = 3 ст; б) а = 5 ст, 6 = 4 ст;в) а = 2 с т , 6 = 7,5 с т .

1.4. Д О Д А Т А У З Г Л А В У I

39. У круж ни исечак круга полупречника К = б с т уписан је круг који

додирује полупречнике и лук тог исечка. А ко је тетива која одговара том

исечку 4 с т , наћи дуж ину полупречника уписаног круга.

40. Н астраниц и А С троугла А В С д атајетачка Е таквад аје А Е И А =

А А В С , где је Д средиш те дуж и В С . П рава која садрж и Е , паралелна

правој В С , сече дуж А О у тачки Р . А ко је Р А = Зсш и Р Б = 12 сш ,

наћи дуж ину дуж и Р Е .

б) 6 = 0,8 с т , /г = 0 ,4 8ст;

г) а •-••••32 с т , 6 = 24 ст;

ђ) с = 2 ст, Л, = 0 ,8 ст;

с



Т екстови задатака

41. О сновиде трапеза А В С Б су = 12 с т и 6 = 4 с т . Н ека је О

пресек дијагонала трап еза и Е тачка пресека праве која садрж и тачку

0 и паралелна је основицама трапеза, и крака А [). О дредити дуж инудуж и О Е .

42. О сновице трапеза су = 8 с т и ђ = 4 с т , а висина ћ = З с т .

И зрачунати одстојањ е тачке пресека дијагонала од дуж е основице трапеза.

43. О ко једнакокраког троугла А В С ( А В = В С ) описан је круг. Т етива

А Б тог круга сече страницу В С у тачки Е . А ко је А С = 12 с т иА Е = 8 с т , одредити дуж ину А Б .

44. У троугао А В С чија је једна страница с = 12 с т , а површ ина36 с т 2 уписан је квадрат тако да су му два тем ена на основици с, а два

на страницама А С и В С . О дредити површ ину тог квадрата.

45. Д ат је круг и ван њ ега тачка М . К роз тачку М конструисане су

сечице 5Х и 52 које секу дати круг у тачкам а А и В , односно С и Д>. А ко

је М А = 2 с т , М В = б с т и М С = З с т, израчунати дуж ину дуж и С Б .

46. Д ат је круг к и тачка М ван њ ега. К роз тачку М конструисани су

сечица з и тангента 1 круга. А ко з сече круг у тачкам а Л и В , а тангента

1 додирује круг у тачки С , при чему је М А = 4 с т и М В = 9 с т ,израчунати дуж ину дуж и М С .

47. Д ат је правоугли трапез А В С Б са правим углом код А код кога су

дијагонале А С и В Б м еђусобно норм алне. Д оказати да је

А В ■ С О = А В 1.

48. Д уж ине катета правоуглог троугла су = 12 с т и 6 = 4 ст .О дредити дуж ину сим етрале парвог угла.

49. Н ека је I) тачка странице А С троугла А В С таква да је А О = 7 с т ,

.0(7 = 9 ст и А В О С = А А В С . И зрачунати дуж ину странице В С иоднос В О : В А .

50. А ко је код једнакокраког троугла крак геом етријска средина основице

и висине која одговара основици, доказати да је основица два пута дуж аод висине.



2. ТА ЧК А , П РА ВА И РА ВА Н

Р е г а з р е г а а в , а е 1г а (П р е к о т р - њ а д о з в е з д а )

Л а т н с к а с е н т е н ц а ( з р е к а )

• Т ачка, права и раван су основни појм ови у геометрији.

• Д ве различите тачке одређују тачно једну праву.

• Т ри тачке које не припадају једној правој одређују тачно једну

раван.

• П рава и тачка ван њ е одређују тачно једну раван.

• Д ве праве које се секу одређују тачно једну раван.

• Д ве различите паралелне праве одређују тачно једну раван.

• А ко права а продире раван а у тачки А и ако је при том е она

норм ална на разним правим б и с које припадају равни а и садрж етачку А , тада је а 1 а .

__________________________________ Ј

2.1. Т А Ч А , П Р А В А И Р А В А Н

- М Е Ђ У С О Б Н И О Д Н О С И

51. П ознато је да две разне тачке одређују једну праву. К олико јеправих одређено са:

а) 3; б) 4; в) 5; г) 8; д) п

тачака м еђу којим а не постоје три колинеарне?

52. Д ате су тачке А , В и С . К олико постоји правих које: а) садрж е

тачку А ; б) садрж е тачке А и В ; в) садрж е тачке А , В и С ?

53. У простору је дато ш ест тачака, м еђу којим а тачно три тројке

колинеарних. К олико правих одређују ове тачке?




54. К олики је најм ањ и број неколинеарних тачака у равни којим а јеодређено укупно:

а) 36; б) 66; в) 105

правих?

55. К олико правих одређују тачке А , В , С , Д>, Е и Р на слици?

А В С \ * в а

•* Р

• • С сЕ о

С л. уз зад. 55 С л. уз зад. 61

56. В ан праве а дата је тачка А . К олико постоји правих које садрж е

тачку А и: а) паралелне су правој а ; б) м им оилазне су са правом а?

57. К олико највиш е равни одређују права а и три неколинеарне тачкеА , В , С које су ван праве а?

58. К олико је равни одређено са:

а) 15; б) 20; в) 30

неком планарних тачака?

59. К олико им а некомпланарних тачака у простору ако је њ им а одређеноукупно:

а) 56; б) 120; в) 20

равни?

60. У простору је дато 10 паралелних правих. К олико највиш е равни оне

одређују?

61 . У простору су дате праве а , 6 и с (а || 6) и тачке А , В , С и Б (слика). К олико највиш е равни одређују дате праве и дате тачке?

62. Д ате су у простору тачке А , В , С и И . К олико постоји равникоје: а) садрж е тачку А ; б) садрж е тачке А В ; в ) садрж е тачке А , В и С ; г) садрж е тачке А , В , С и 0 4

63. Д ате су две праве р и д. К олико постоји равни које садрж е правер и 5 ? Разм отрити све случајеве.

64. Д ате су четири различите праве р , д, г и 5 такве да се праве р исеку, а такође г и 5 секу, а да су праве р и г, а такође д и 5 паралелне.К олико највиш е равни одређују ове праве?



2. Т ачка, права и раван 11

65. К оје од следећих реченица су тачне?

а) За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која ихсадрж и.

б) За сваке три различите тачке постоји тачно једна раван која ихсадрж и.

в) Д ве различите праве се или секу или су паралелне.

г) Д ве различите равни се или секу по једној правој или су паралелне?

66 . Д ата је раван и ван њ е тачка А . К олико постоји

а) правих; б) равникоје садрж е тачку А и паралелне су равни ?

67. Д ата је раван и тачка А ван те равни. К олико постоји

а) правих; б) равни

које садрж е тачку А и норм аллне су на ?

68 . П рава и раван норм алне су на правој п . К акав је м еђусобни

однос праве и равни а?

69. Д ата је раван и тачка А ван те равни. А ко права садрж и тачкуА , какав м еђусобни полож ај м огу им ати права и раван ?

70. Д ата је раван и права . К олико постоји равни које садрж е праву

и норм алне су на раван ?

71. П рава не припада равни . К олико заједничких тачака м огуим ати права и раван ?

72. О дредити стране квадра А В Б А х В х х Б х (слика) такве да је ивицаД А ј :

а) норм ална на њ их; б) паралелна са њ им а.





73. Д ата је коцка А В С О А у В ^ С х Б ^ . Н ека је раван одређена страном

А О Д ђА .! коцке (слика).а) К оје ивице коцке припадају равни а?

б) К оје ивице коцке су норм алне на а?

в) К оЈе ивиЦе коцке су паралелне равни (а не припадају тој равни)?

74. а) У равни је дато пет правих. К олико највиш е пресечних тачакаодређују ове праве?

б) О д пет датих равни сваке две се секу. К олико највиш е пресечних

правих одређују ове равни?

75. Н авести све м огуће полож аје: а) две праве и д; б) праве иравни ; в) равни а и /?.

76. К оје од следећих реченица су тачне?

а) А ко је права п норм ална на правој равни а, тада је п Ј_ а.

б) А ко су а, и 7 три равни такве да је а || 7 и /3 _1 7 , тада је 1 (3.

в) А ко је раван норм ална на двем а равним а а и (3 које се секу, ондаје раван 7Г норм ална и на правој по којој се секу и /3.

77. Д ата је коцка А В С В А х В ^ С ^ О ^ (слика). Н авести прим ере:

а) м им оилазних правих;

б) праве паралелне равни;в) две паралелне равни;

г) две м еђусобно норм алне равни;

д) ТРИ равни , /3 и 7 такве да је 1 /3

и (3 ± 7 , али није || 7 ;ђ) четири тем ена која не припадају истој

равни.

го. лоЈе од следећих реченица су тачне?

а) А ко је права паралелна двем а равним а које се секу, онда је онапаралелна и са правом по којој се секу те две равни.

б) А ко су две равни норм алне на трећој, онда су оне м еђу собомпаралелне.

в) А ко је права норм ална на једној од две паралелне равни, онда јенорм ална и на другој.

г) А к0 СУ а , /3 и 7 три равни такве да је а || 0 и /3 || 7 , тада је и || 7 .

С1

С л. уз зад. 77




2.2. О Р Т О Г О Н А Л Н А П Р О Ј Е Ц И Ј А

79. Ш та се мож е добити при норм алном пројектовањ у на раван:б) дуж и; в) полуправе; г)\праве; д) равни?\ а) тачке;

ч )80. Ш ате су тачке М и N и раван а . У ком случају је дуж ина

А гројекције дуж и Л /А на раван а :

/- а) највећа; б) најм нљ а? / /А ?

! 81Ј И зрачунати дуж ину дуж и А В ако је: > "-т- %

' 4-7 ;а) А ' В ' = 8 с т , А А ' = 24 с т, В В ' = 18 ст; —— -------- Ј сг

б) А ' В ' = 12 ст , А А ' = 10 с т , В В ' = 5 с т ,где су А ' и В ' пројекције тачака А и В на раван 7Г, при чем у су тачке

А и В са исте стране равни т г.

, 82 . Т ачке А и В су са разних страна равни д . О дредити дуж ину

пројекције А ' В ' дуж и А В на раван т г ако је:

ч а | А В = 15 с т , А А ' = 4 с т , В В ' = 8 с т ;

б) А В = 6 с т , А А ' = 1 с т , В В ' = 2 с т .

83. Д ата је дужА В =

40 сш и дуж ине норм алаА А ' =

45 с т иВ В ' =

21 с т из крајева те дуж и на раван а . Н аћи: ) А 0~~'

( а) дуж ину пројекције А ’В ' ;

б) дуж ину В С , где је С продор праве А В и равни а;

в) дуж ину В ' С . ' 2-; ■

, \

У

84. Т ачка А припада равни т г, а тачка В је -на удаљ ености 4сш од

' равни 7Г. И зрачунати дуж ину дуж и А В и дуж ину пројекције ове дуж и у

равни 7г ако је нагибни угао дуж и прем а равни 7г:/

/ а) 30 ; ; / - 6 )45° ; в )60° . *

Тачка А је од равни а удаљ ена Зсш , а тачка В 8 ст . К олико је

растојањ е тачака А и В ако је дуж ина норм алне пројекције дуж и А В на

а једнака 12 с т и ако су: ‘2.. , -..

(Јај А и В са исте стране равни а; ( - ''' ' " ~ "1' •' ^

б) А и В са разних страна равни а?

8^. Тачке А и В су са исте стране равни а . А ко је А В = \ /З с т и

А ' В ' = 1,5 ст; б) А ' В ' = — ст ,’ 2

при чему је А ' В ' пројегаЈиј,̂ , дуж и А В на а , одредити угао изм еђу праве

А В и равни а . ( у \ \ Г




\§Т • Једна дуж нагнута је прем а датој равни једанпут под углом од 30°,

Д Р У Г И пут под углом од 45°, а треГчи пут под углом од 60°. О дредити

однос дуж ина добијених пројекција те дуж и на дату раван.

8А П равоугли троугао са катетам а а = 15 с т и & = 20 с т чија

хипотенуза припада равни а нагнут је према тој равни под углом од 45° .И зрачунати површ ину пројекције овог троугла у равни а .

89. Н аћи одстојањ е средиш та дуж и А В од равни а која нем а са том

дуж и заједничких тачака, ако је одстојањ е тачака А и В од равни:

\а)ј 5 с т и 9 с т ; б) 7,4 с т и 2,6 ст .

, 90* Тачке А и В су са разних страна равни тг. И зрачунати дуж инудуж и А В ако је:

Ц) А ' В ' = З с т , А А ' = 1 с т , В В ' = З с т ;

б) А ' В ' = 5 с т , А А ' = 4 с т , В В ' = 8 сш ;

в) А !В ' = А А ' = 8 с т , В В ' = 7 ст

где су А ! и В ' пројекције тачака А

Д ат је квадар А В С В А \ В х С \ В х П ројекција на раван основе А В С В :

а) дуж и А С \ је . . . ;

б) дуж и А В Х је ... ; ^

в) ДУЖ И А А Х је . . . ; /г) дуж и А В је . . . ;

д) Дужи В В г је ... ; Ј} ■■ '

ђ) дуж и С С х је . . . . '

[ В на раван п .

(слика). Д опуни следеће реченице:


2.3. Д О Д А Т А У З Г Л А В У II

92. К олико равни одређују:

а) ш ест правих које се секу у једној тачки;

б) осам правих од којих су две по две м еђу собом паралелне?

93. У равни а дат је правоугаоник А В С В чије су странице 12 с т и

16 с т и ван те равни тачка 3 таква да је З А = 8 В = З С = З В = 26 ст.К олико је одстојањ е тачке 8 д равни а .

94. Т ачка А је удаљ ена од темена једнакостарничног троугла странице“ зао . Н аћи одстојањ е тачке А д равни тог троугла.




95. У равни а дат је правилни ш естоугао странице З ст . Т ачка 3 је

удаљ ена од свих тем ена тог ш естоугла по 5 с т . К олико је тачка 5 удаљ ена

од равни а?

96. У равни а дата је права а и на њ ој четири разне тачке А , В , С

и О . В ан праве а у равни а дате су још три различите тачке Р , <5 и К .

К олико је најм ањ е, а колико највиш е правих одређено овим тачкам а?

97. Д ато је п тачака у простору, од којих никоје четири не припадају

једној равни. К олико је равни одређено овим тачкам а?

98. У простору је дато п тачака м еђу којим а не постоје четири које

припадају једној равни. А ко је број равни, које ове тачке одређују, 35пута већи од броја тачака, одредити п . К олико правих одређују оветачке?

99. Т ачка 8 је средиш те дуж и А В и С Б . В ан равни а одређене

дуж им а А В и С Б дата је тачка М таква да је А М = В М и С М = Б М .

Д оказати да је права 8 М норм ална на равни а .

100. Тачка А припада равни а , а тачке В и С су ван те равни и са

исте стране равни а . А ко су одстојањ а тачака В и С од равни а 4сш ,

односно 8 с т , наћи одстојањ е теж иш та Т троугла А В С од равни а .

101 . К онструисане су праве т п и п које садрж е центре 8 , односно О

описаног и уписаног круга троугла А В С и норм алне су на раван тог

троугла. Д оказати да су све тачке:

а) праве т п једнако удаљ ене од тем ена троугла А В С ;

б) праве п једнако удаљ ене од страница троугла А В С .

102. а) У равни а дата је права р и две тачке М N ван те праве.

О дредити тачку Р праве р такву да је збир М Р + Р А - најмањ и.

б) У простору су дати раван ж и две тачке М и N ван те равни.

О дредити тачку Р равни ж такву да је збир М Р + Р М најм ањ и.



3. Л И Н ЕА РН Е ЈЕ Д Н А Ч И Н Е И Н ЕЈЕД Н А Ч И Н Е

С ЈЕД Н О М Н ЕП О ЗН А ТО М

К е р е Ш г о т а 1е г з Г /И о г т е з1 (О б н а в љ а њ е је м а ј к а н а у к а )

Л а т н с к а с е н т е н ц а ( з р е к а )

Л н е а р н а ј е д н а ч н а п о х је свака једначина са непознатом х која

се еквивалентним трансф орм ацијама своди на једначину облика

а х = 6,

где су а и 6 реални бројеви.

1° За а ф 0 3

добијамо еквивалентну једначину х = - која им а јединствено реш ењ е.

2° За а = 0, 6 ф 0

једначина нем а реш ењ а, јер не постоји реалан број х 0 за који је

истинит исказ 0 • = 6 . За такву једначину каж ем о да је н е м о г у ћ а .

3° За а = 0, 6 = 0

сваки реалан број је реш ењ е једначине, за сваки х 0 е К је 0 ■х 0 = 0.

За такву једначину каж ем о да је н е о д р е ђ е н а .

Л н е а р н а н е је д н а ч н а п о х је неједначина која се еквивалентним

трансф орм ацијама своди на неки од облика

а х < 6, а х ^ 6, а х ^ 6, а х > 6,

где су а и 6 реални бројеви.



3. Л ин еарне једначине и неједначине 17

3.1. Е Ш А В А Њ Е Л И Н Е А Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е

С Ј Е Д Н О М Н Е П О З Н А Т О М

103. Реш ити усм ено једначине:

‘<Ј $)Х —3 = 5; б) 2 + 4 = 6 ; в) 2 + 2 = 1 ; г) 2 —3 = —5;

+ 7 = — 2; ђ) 2 + 6 = 4; е) 7 —2 = 5; ж ) 3 —2 = 5;

( 3)Ј2 —2 = —1; и) 1 2 - 2 = - 3 ; ј) 22 + 1 = 5; к) 3 2 - 1 = 8 ;

2 - 32 = 4; љ ) 4 - 22 = -2 ;м )6 = 4 - 32;

104. Реш ити једначине:

( &} 42 —5 + 32 = 22;

в) 6 - 82 = 7 2 - 3 0 2 ;

б) 112 + 1 2 - 132 = 42;

г) 72-11 —22+4 = 32 + 18+ 2 - 2 .

». Реш ити једначине:

М

1 к з

0 0 1 в

I Iб)

32

Т = 7; в)2

57 .

~ ~6~’ г)

( , 7 1

+ Р б 1 = - 6 ; ђ) ? = 6 ; X

е)8

2= - 5 ; ж)

>. Реш ити усмено једначине:

ч Х

а> 2 = 2;б)

X

з = 5 ; в)2

3

1

~~ 2 ’ г)

7

~2 ~~ ~~

3 _ _5

2 6

2

7 = '

107. К оје од следећих једначина су немогуће (нем ају реш ењ а):

а) 2 + 1 = 2 ; б) 0 -2 = 1; в) 2 + 2 = 2 + 2 ;

г) л/ж 2 = —2 ; д) 2 - 2 = 2 2 - 7 ; ђ) - = 1 ?2

108. К оје од следећих једначина су м еђусобно еквивалентне:Л 3 2

а) 2 Ж ~ 4 = 5 ; . б)2

4 “

в) 2 2 = 16; г)2

2 _

Д ате су једначине:

а) 2 —2 = 2 ; г б)7

т Г I I

( М с м 1

г)32

~2 ~

2

4

Д ве од њ их су међусобно еквивалентне. О дредити те две једначине.

^

I

Ј




110. Д оказати да су једначине:

а) 5х —2(х + 5) = х —20 и х = —5;

б) х2 + 1 = (х + I)2 и х = 0

еквивалентне, а једначине

в) Зх —6 = 2 и х = —1

нису еквивалентне.

111. Д а ли су еквивалентне једначине:

1 „ 1а) х —2 = 0 и х +

х —2= 2 +

х —2 ’

. (х —I )2б) ^ = 0 и х - 1 = 0 ;

х —1

в) (х —1)(х —4) = х —1 и х 1?

112. Д ате су једначине 2х —5 = 13 и Зх2 —6 = 21. К ако се назива

прва, а како друга једначина (у односу на степен променљ иве)? Реш итиобе једначине.

113. К оје од следећих једначина су идентитети (тј. важ е за све х е ):

а) 0 • х = 0 ; б) (х - I )2 = х2 - 2х + 1 ;

в) ( х + -1 х

д) 5 + 2х = 7х;

9 ’ г) 2(г - 3 ) = 3;

5 ) ^ = 7 .

114. П роверити да ли је број 0 реш ењ е једначине:

а) х —1 = 2х —1 ;

в) Ј х 1 — х = х;115. Реш ити једначине:

а);1 = 12;116. Реш ити једначину:

. 3 7 138.) — -ј- --- — --- ј } х 10 10’

б) х2 = 0 ;

г) [х —1| + |х + 1| = 2 .

б) 4 = = /8-,V 2

В) % /Ђ : 12.

I«1 ; 1 -

117. Реш ењ е једне од следећих једначина је број 3:а) - 1 б)

2х —5

= 1 .

4 5



3/ Л инеарне једначине и неједначине

в) З х - 1 = 2х + 3;

К оја једначина је у питањ у?

1 _ х 1

3 “ 3 + 2 '

е ш и т и ј е д н а ч и н е (з а д а ц и 118-127):

118.)а) 3 = (2 - х ) = 6 - {2х + 1); б) 9 - (8 - х ) = 7 - (х - 6)

в) З х - (15 + 2х - (5х + 11)) = 2ж - 8 ;

г) 8(2х - (З х + 2)) + 18 = 7ж - (Зж - 5(2х - 4));

д ) б х - (4х - 5) - 28 = 2х - (5ж + (З х - (2х - 3))).

119. а) 26х - (20 - (10 - Заг) - 7х ) = 30 - (З х + 7);

б) 2х - 3(2х - 3(2х - 3(2х - 3))) = 1;

г) х - (2х - (Зж - (4х —5))) = 1.

( 120. а) (4х - 3)(3х + 4) - (2х + 1)(6х - 1) = 1;@1 (З х - 10) (х - 1) - (х + 1)(3* - 4 ) = 2;

(в) (3 - 5х )2 + (1 + 12д)2 = (13ж - 2)2 + 6 ;

ј К ' 2( - 1)(д + 3) + х ( х —7) = Зж (5 + х ) + 10;

д) ,у(2 —ж )(3 — х ) — (1 —х)(5 — х ) -= 0.

12 1. а) ( З а - 2 ) : 2 = (2а - 1) : 3;

б) (х + 1) : (х + 3) = (х —3) : (х —2) ;в) (7х + 3) : (7х - 4) = 5(х + 1) : (5х ~ 2);

г) : ( + 1) = (2 + 1) : (2 - 1).

12 2. а) (ж + 3) : (1 —ж) = - 2 ;

б) (х + 7) : (13 - х ) = (5 - х ) : (5 + х ) ;

х + 7 3

2 ’г) 0,35 : 0,7 = —;

Х — 3 'I ' ' X

ђ) (2х + 1) : (З х + 2) = (6х + 5) : (9аг + 8).

д )х + 2 1

3 - 2х ~ ~ 2

. 2д + 12123. а) ——— =2,5;

х + 3

, 2 х - 3 ..

б)х - 7 6

2х + 5 ~ ~ 7 ’

)

Зх —1-4




124, а )Ј х -2х - 5

= 4;

В-Х*

.д)

Х + 2 - ^ - 1 х .5 2

2х —3 а?+ 1 х - 11

/ 5 10

52ж х 3

, 2 I Зх х

1> ^ - = 1 “ 2 ;

0 . / ^ ^ > + ^ 1 , 1 2 .’ 2 3

125. а јж + З 2х - 1 4 -а : (--- :— “ — Ј- ~ >1

в)

6

х + 1

;( Р )ј 4 ( X + - з | з ® - -

2 2(х + 3) — ^ >

. 2 1

Д> * + 3 1 “ 3х + ? х

\ 5 24 7

Г) 6 Ж " 8 (^ 4) = 5 Ж ;х 1 х , 1

10’ ® 3 _ 2 ~ 4 + 2 ’

. 2х + 3 5х - 14 х + 1

е) - з ------------

х —1 х + 1 1 —х 1 + х п126. а ) — ---------- Ђ ---------- Ђ ----------+ 2 = 0,

б)

127. а ) - х -

х —4 + 2(х + 1) _ ^ = 5(х - 3) + 2 х _ П а + 433 ' 4 “ 2

4х + 4 Зх - 1 _ 5х + 1

“ “ 3 4 _ 7

- ~ X - - ) т х - 1

б)Зх + 7 / х + 1 Л 5х + 7 / Зх + 1 х - 1 \

8 V 2 Ј 16 V 4 8 Ј 7 7х ‘ , с

1-4--- ---------- 1-4 --- р 6х1 + 4 2 1 + 5х 2

в) - +

1

2 ' 6

6 —х

г) - + X -

24

х 3 + х

2 3“

12

= 3.2 ' " 3

128. о р и с т е ћ и д а ј е ј е д н а ч и н а А ■ В = 0 е к в и в а л е н т н а с а А

В = 0, р е ш и т и је д н а ч и н е :

а ) (х —1)(х + 1) = 0; б) 2(х —3)(х + 1) = 0;

в ) (Зх - 1)(х + 2) = 0; г ) 4(3 х+ 1)(х - 3) = 0;

д ) (х —2)(х —1)(х + 1) = 0; ђ) 5(х + 1)(х —2)(х —3)

х + 1

2

= 0 и л и

= 0.



3. Л инеарне једначине и неједначине 21

129. К ористећи да је једначина — = 0 еквивалентна са Л = 0 и В / 0 ,

реш ити једначине:. х - 1

а) ----- - = 0 ;' ж + 1 ’

х —2 )

(х + 1)(х + 2)

д ) < ^ = 0 :

= 0 ;

= х + 1

б> ^ т= ° ;ч (х + 1)(ж - 2)

х —1= 0 ;

^ (х + 2)(ж —3)(х + 5) = ^

(х + 2)5х + 1

е ш и т и је д н а ч и н е (з а д а ц и 130-133):

130. а ) (2х - I)2 - (х + I)2 = 0; б ) (З х - 5)2 - (2х + I)2 = 0;

в) (х + 5)2 - (х - I )2 = 48; г) (х - I)2 - (х + I )2 = 2,5 - Зх;

д ) (х + I)2 —1 = х2 + 2х ; ђ) (2х + I )2 = 2х (2х - 1) + 6х;

е) (2 —З)2 — А ( + 2)2 + 26г/ = 1.

ч2131. а)

б)

Зх

0 Ч 1 - 0 Ч - Г(х —1)(х + 1) (2х + I )2 1---------т,------------------т"т---- = 1- —х;

12

)

х —1 х —21 —х;

132.

2 ) \ 2

г) (х + 8 )2 + (х + З)2 = (х + 12)2 + (х - 5)2

, (х —I )2 (х —3)(2х —5)

2 4

(6х —2)(х —1)6

= 3 —(х —2);

= 4:б) (х —З)2

)Ј ( х + I )2 + (х + 2)2 + (х + З)2 + (х + 4)2 = (2х + 5)2.

133. а) 1 - -; 2

Зх + 2 ( - - 3 \ ( 2 х - 1 ) х

4 ’

б) (Зх - I )2 + ^4х - 0 = ^5х + ^

в) (х - 4)2 - (х + З)2 = 3(х - 9);

г) ( + +2) “ ( + +3) ( + - 3 = 1.




134. а) У једначини ( —3)х + ( + 1)(3 — х ) — х — 7 одредити тако да• х - 5 х - 2

она оуде еквивалентна Једначини — ----------- - — = х — 3.

б) Реш ити једначину

3 2

х + 2 ш 2х — т4,5 ако је (т —2)2 = ш 2 +

З то - 17.

в) О дредити к тако да једначине 7 = Зж + 10 и к х + 11 = 6 будуеквивалентне.

4г) О дредити у једначини 4а + - = х ако је х реш ењ е једначине

0

(.х + I)2 — 5х = (х + 3)(х + 1)135. а) О дредити у једначини (2а — х ) (3 — х ) = (5 + х )( + х ) —1 даби она била еквивалентна са једначином (х —З)2 — (х + I )2 = 2(х — 6).

б) О дредити т у једначини (5 + х ) ( т + х ) = (2т — х ) (3 — х ) + 1 тако2х — 1 х + 1 Зж + 4

да је х реш ењ е једначине --------

9= 1 -

12

136. Д ате су једначине:

2 —х х 5 у 5

—= - и — \-V — = 1.

2 3 2 У

а) Реш ити једначине по х , односно у .

б) О дредити тако да буде х = у .

137. К оји елем енти скупа А = ( —3, —2, —1,0,1 , 2,3} су реш ењ а једначи-на:

а) х + \х \ = 0 ; б) х — 1 + \х — 1| = 0;

в) \х — 1| + |х + 1| = 0 ; г) |ж —1| = \х + 1)?

Реш ити једначине (задаци 13 8-141 ):

138. а) \2х —3| + 1 = 4; б) 2\ х - 3| + 4 = 8 ; в) |ж | + 7 = 13 - 2\х \ ;

г) јж —Зј—3 = 2\х —Зј; д) \2х — 7\ + х = 5; ђ) \—х + 2| = 2х + 1;

е) —- | х + 1| = 2 ; ж ) |3х —2| + ж = 11.о

139. а) \х —1| + |ж + 1| = 2; б) [ж - 2|+ |х - 3| + |2ж - 8 | = 9.

140. ) 2\ / ж 2 —4х + 4 = ж ; б ) / 9 —6ж + ж 2 + 8 = 2ж ;

, _____________ 7в ) л /9 2 —6ж + 1 + —ж = 15.

141. у /.ж2 —4ж + 4 —\/4ж 2 + 12ж + 9 = —1 .



3. ЈТинеарне једначине и неједначине 23

3.2. П И М Е Н А Л И Н Е А Н И Х Ј Е Д Н А Ч И Н А

С Ј Е Д Н О М Н Е П О З Н А Т О М

142. Збир четири узастопна природна броја је 866. К оји су то бројеви?

143. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 99. К оји су тобројеви?

144. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 167. К оји су тобројеви?

145. Збир половине и трећине неког броја је за 5 мањ и од тог броја. К ојије то број?

146. Збир половине, трећине и седмине неког броја за 1 је мањ и од тогброја. К оји је то број?

147. М арко ће кроз 12 година бити три пута старији него ш то је био пре

ш ест година. К олико година им а М арко сада?

2148. Н ина је првог дана прочитала - једне књ иге, а другог дана још 23

0

странице. А ко јој је преостало да прочита још половину књ иге, колико такњ ига им а страница?

149. Јован ће кроз 22 године бити четири пута старији него ш то је био

пре осам година. К олико година им а Јован сада?

3150. У ченик је прочитао — књ иге и још 112 страница. А ко м у је остала

још половина књ иге, колико књ ига им а страница?

151. О тац им а 28 година, а њ егов син 4 године. К роз колико година ће

отац бити четири пута старији од сина?

152. О тац им а 30 година, а син 10 година. К ада ће отац бити два путастарији од сина?

153. М ајка им а 36 година, а кћи 16 година. П ре колико година је м ајкабила три пута старија од ћерке?

154. К оји број им а својство да пом нож ен са 2 добија исту вредност каои када се подели са 2?

155. Брзине двају бициклиста се односе као 4 : 5 . А ко први за четири

часа пређе 12 к т м ањ е од другог, одредити којим се брзинама они крећу.

156. К оји броЈ треба додати бројиоцу и имениоцу разлом ка - да би се2 7

добио разлом ак једнак - ?3




157. К оји број треба одузети од бројиоца и им ениоца разлом ка — да би

се добио разлом ак једнак реципрочној вредности полазног разлом ка?

158. А ко четвртини једног парног броја додамо збир следећа два узасто-

пна парна броја, добијамо 33. К оји су то бројеви?

159. А ко једном броју допиш емо са десне стране циф ру 6, па тако

добијени број поделим о са 9 и добијеном количнику допиш емо са десне

стране циф ру 7, а затим тако настали број поделим о са 13, добићемо 19.

О дредити полазни број.

160. О дредити четири узастопна природна броја за које је производ прва

два за 38 мањ и од производа трећег и четвртог.

161. Е лем енти скупа су ш ест узастопних целих бројева чији је збир

9, а елем енти скупа ш ест узастопних целих бројева чији је збир —3.

О дредити .

3162. У одељ ењ у су - ученика девојчице. А ко би дош ле још четири

девојчице, број дечака и девојчица би био једнак. О дредити колико је

ученика у том одељ ењ у.

163. П оловина ученика једног одељ ењ а им а петицу из м атем атике, четвр-тина четвроку, седм ина тројку, а осим њ их у одељ ењ у су још три ученика.

К олико је свега ученика у одељ ењ у?

164. У ченици једне ш коле кренули су на екскурзију у 18 једнаких аутобу-

са, при чем у је у сваки аутобус уш ло 5 ученика виш е него ш то у аутобусу

им а седиш та. Д а је у сваки аутобус уш ло онолико ученика колико је у

њ ем у седиш та, била би потребна још три аутобуса, али би у једном од њ их

остало ш ест празних седиш та. К олико ученика је кренуло на екскурзију?

165. М ладен је уш ао у берберницу са нам ером да се подш иш а и планирао6

Је да потрош и —новца који је понео. П ри уласку у берберницу сазнао је

да је цена подш иш ивањ а сниж ена за 20%. П осле ш иш ањ а, М ладен части

ф ризера са 5 динара и остане му још 6 динара. К олико је новца им аоМ ладен?

2 2166. К ада је путник преш ао 4 —к т , остало му је још - пута до половине

5 5пута. К олика је дуж ина целог пута?

167. Један човек је до десетог у м есецу потрош ио трећину своје

уш теђевине; за следећих десет дана потрош ио је две трећине остатка, да

би му преостало још 720 динара. К олика је била њ егова уш теђевина?



3. Л ин еарне једначин е и неједначине 25

168. И з града у 12 ћ пош ао је кам ион брзином 48 кш /ћ. К роз 45 тш

са истог м еста и у истом см еру креће аутобус брзином 80 к т / ћ . У к о л и к о

часова аутобус стиж е кам ион?

169. У 2040 ћ крене из станице путнички воз који прелази 87 к т за два

часа. У 23 ћ крене за њ им са исте станице експресни воз који прелази

232 к т за 3 часа. У које ће врем е експресни воз стићи путнички?

170. П о круж ној стази крећу се два бициклиста у супротним см ерови-

м а. П рви бициклиста пређе цео круг за 60 з, а други за 40 з. П очетна

удаљ еност бициклиста је 100 т . К олики је обим те стазе ако се бициклистисретну за 20 з?

171. Д ва брата истоврем ено полазе из м еста у м есто . С тарији

прелази 1 к т за 10 м инута, а м лађи 1 к т за 12 минута. А ко се зна да

је старији стигао 36 м инута раније на циљ , колика је удаљ еност м естаи 1

172. П иф ра јединица двоциф реног броја је за 1 м ањ а од цифре десетица,

а њ ихов збир износи — броја. Н аћи тај број.

173. А ко неки број помнож им о са 2, допиш емо иза тог производа циф ру5, па настали број поделим о са 11 и количнику додам о 1, добићемо бројдва пута већи од полазног. К оји је то број?

174. Ц иф ра јединица једног двоциф реног броја је 4. А ко се тај број

см ањ и за 9, добија се број написан истим циф рама у обрнутом поретку.Н аћи тај број.

175. П оследњ а циф ра једног петоциф реног броја је 4. К ада се ова циф ра

премести на прво место, добија се број за 16 већи од двоструког полазногброја. К оји је то број?

176. В оз је поред непокретног посм атрача прош ао за 7 8 , а поред станичнеплатф орм е дуге 378 т за 25 8. К олика је брзина и дуж ина воза?

177. О тац је 30 година старији од сина, а 25 година од ћерке. К олико

година им а свако од њ их ако је отац три пута старији од оба дететазаједно?

178. К олико воде треба додати у 150§ 12%-ног раствора сумпорне

киселине да би се добио 4%-ни раствор?

179. У извесну количину 80%-ног алкохола додато је 121 воде и добијен

је 60%-ни алкохол. К олика је првобитна количина алкохола?



Т екстови задатака 2§

180. М еш ањ ем алкохола јачине 60% са алкохолом јачине 90% добијено

је 101 алкохола јачине 80%. К олико је узето од сваке врсте алкохола?

181. С транице правоугаоника разликују се за 5 ст . А ко већу од њ ихпродуж им о за 3 с т , а краћу см ањ им о за 1 с т , површ ина правоугаоника

се неће променити. И зрачунати дуж ине страница овог правоугаоника.

182. Једна катета правоуглог троугла им а дуж ину 5 ст , а друга је за

1 с т краћа од хипотенузе. К олика је дуж ина хипотенузе?

183. Д уж ине двеју висина једног троугла су 8 с т и 6 с т , а једна од њ им а

одговарајућих страница је 4 с т краћа од друге. К олика је површ ина тог

троугла?

184. Д уж ина једне тетиве круга је 8 с т . Ц ентар круга је на одстојањ уод те тетиве за 2 с т м ањ ем од полупречника круга. К олика је дуж ина

полупречника тог круга?

185. Д ијагонале једног ром ба разликују се за З с т . А ко се краћа

дијагонала увећа за 2 ст , а дуж а ум ањ и за 4 с т , површ ина ром ба се

см ањ и за б с т 2 . Н аћи дијагонале ромба.

186. И вице квадра се разликују за по 2 с т , а њ егова запрем ина је за

20 с т 3 м ањ а од запрем ине коцке чи ја је ивица једнака средњ ој по величини

ивици квадра. К олика је ивица те коцке?187. О сновица једнакокраког троугла је 14 с т . А ко је крак за 1 ст дуж и

од висине троугла, израчунати дуж ину висине.

188. О д две врсте робе по цени од 1,5 динара и 2,1 динар по килограм у

треба направити см есу од 32 к§ робе по цени од 1,65 дин ара по килограм у.

К олико треба узети од које врсте робе?

189. К олико воде чи ја је тем пература 10° треба изм еш ати са 21 воде

тем пературе 48° да би се добила см еса од 33° ?

190. У лазница за м узеј стаје 1,50 динара. П осле сниж ењ а цене, бројпосетилаца се повећао за половину, а приходи су порасли за четвртину.

К олико је сниж ењ е?

191. Т ри радника раде неки посао, који би први радник, радећи сам ,

заврш ио за 10 дана, други радник за 12 дана, а сва тројица, радећи

заједно, за 4 дана. За које би време посао заврш ио трећи радник радећи

сам ?

192. Једна од две ф абрике м ож е да изврш и неку наруџбину 4 дана брж е

него друга. За колико дана м ож е свака од њ их да изврш и ту наруџбинуако се зна да при заједничком раду оне за 24 дана изврш е пет пута већу

наруџбину?




193. За израду неког предм ета један радник утрош и 7 минута мањ е него

други. К олико предм ета изради сваки од њ их за 4 часа, ако први за то

врем е изради 28 предм ета виш е него други?

194. П лави и зелени аутобус крену истоврем ено из града у град В којије на удаљ ености 60 к т . П лави аутобус вози просечном брзином 4 0 к т/ћ ,а зелени 5 0 к т/ћ . К ада зелени аутобус стигне у В , одмах пође натраг.Н а којој удаљ ености од града ће срести плави аутобус?

195. П утник, идући од села ка ж елезничкој станици и преш авш и првогсата З к т , утврди да ће, ако буде иш ао том брзином , закаснити на воз 40м инута. Због тога је остатак пута прелазио брзином 4 к т / ћ и стигао настаницу 45 минута пре поласка воза. К олико је село удаљ ено од ж елезничкестанице?

196. Д ва воза саобраћају изм еђу два града; први путује од једног додругог града 2 ћ и 48 м инута, а други 4 ћ и 40 минута. Брзина првог возаје за 2 6 к т/ћ већа од брзине другог. О дредити растојањ е између ова дваграда.

3.3. Е Ш А В А Њ Е Л И Н Е А Н Е Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е С Ј Е Д Н О М Н Е П О З Н А Т О М

197. П роверити истинитост неједнакости:

198. Д а ли су тачне неједнакости:а) З2 > 2 3; б) 25 < 52 ;

в) 43 < 3 4 ; г) —7 • 62 ^ —8 ■72 ?

199. К оји елем енти скупа X = { —3, —2, — 1 ,0,1 ,2 ,3 ,4} су реш ењ а неје-дначина:

а) 5х —1 < —3; б) ~ + 2 < - 3 ; в) 1 - 2х > 3;

ЗЗ/

г ) 3 - — < 1 ; д ) | х | < 2 ; ђ) |х| > 3?

200. За које вредности х је:

а) З х + 1 > 2 х ; б) 2х Џ З х ?




201. У скупу негативних целих бројева реш ити неједначине:

. 4х —1 5х —2 1

— -----------

2 < ^5 6) ^ ± 1 - 2 ( 1 + 3) < 1 .

202. Зам енити дату неједначину еквивалентном неједначином најједно-ставнијег облика (тј. облика , х > , х < или х < , Е К ):

. х — 3< - 1 ; б) 2 х - 5 - ( х + 2) < -5 ;

в) 1 - ^ 2 ;

д ) З х - 2 < 8(х + 1);

. х —2е) 3 ------- — < 1 ;

г) - - 2 ( х + 1) < 0 ;

ђ) 2 ( ^ 2 х - - ј - 3 < 0 ;

. 2х ч х —1ж )

203. Д ате неједначине заменити еквивалентним неједначинама најједно-ставијег облика:

. 2х —3 х . х —1 х

б ) 4 - — > з '

204. О дредити скуп реш ењ а неједначине:

а) Зх + 5 < Зх = 2; б) (х + I) 2 < х(х - 3);

в) х(2 —Зх) ^ —3(х —I )2 ; г) —— - > 0.

205. О дредити све природне бројеве који су реш ењ а неједначине:

а) х + 9 > 4х —3; б) ^ х - 1 < 0,1х + - ;4 2

2в) - х —1 < 0,2х + 2.

206. О дредити најм ањ у целобројну вредност пром енљ иве х за коју израз5х - 10 им а вредност већу од вредности израза Зх + 15.

_ 2 Зз) ј |207. О дредити х тако да разлика вредности израза -------- и -------- није

3 2м ањ а од —1.

208. У скупу природних бројева реш ити неједначине:

а) - п + 5 > 0; б) 4п - 1 < 15; в) - З п + 2 < 0; г) - З п < 5п +1.



3. Л инеарне једначи не и неједначине

е ш и т и н е је д н а ч и н е (з а д а ц и 209-214):

209. а ) 5х - 3 < 4х —1;

в) 6ж - 2 < 12х + 19;

д ) 6 —ж < 8 —2 ж < 4ж + 6;

е )

5 —2 10 ~ х + ^< <

б) + 3 < 4 + 2х;

г) - 2,5 > 2 - - .2

ж - 3 „ 4 —х ђ) . X Н~3 <С ——— :

29

210. а) *— - + -— — -џ - __

5 _ I; 3 3 ^ 6 2

)15

, х + 1 х 3 2х —2 3 —хв) —п-------------- <

211. а'

5

7 —х 3 + 4х3 < — =-------4; б) 3(2х —1) < 4(3х —8) —7;2 ' 5

в) х - (2х - (Зх - (4х - 5))) < 1.

212. а) (х - I) 2 - (х + I )2 < 12 - х; б) (х - 4)2 - (х + З)2 < 3(х - 9);в) 3х(3х - 4) - (Зх + I )2 < - 1 ;

г) (* + 2)(х + 5) - 3(4х - 3 ) џ ( - 5)2 ;

л) 4(х - 2) - (2х - 5)(х - 3) < 12 - 2(х - I)2 .

х - 6 х 3 + х

21 +

213. а )

б)

^ 3 —х;

10 —7х 2 + х2 х

------- ----- х

х

+ ^ - > 1 - 1 х ;

7х+ 1

71 + 7 . - + 6х

, 4 1 + 5х 2 1 2в) -----------------------------------< -----------------•

2 24 12 3 6 ’

^ __ 20х - (10 - Зх) „ 26х - 51 2(1 - Зх)Г ) X — ----- —— + . ---------------------- — ------------------------

156 ^ 52 13

214. а) (х + 4)(х - 3) + 10 < (х + 2)(х + 3);б) (х + 3)(2х - 1) - (2х + 1)(х - 4) > 0;

в) (х - I) 2 + 7 > (х + 4)2;

г) ( + 1)(х + 2) + 3(1 - х) < (х - I) 2.




215. Н аћи највећи цео број х који задовољ ава неједначину

2х

+ 1З х — 1

-----------------2 ~ > '

216. Н аћи најм ањ и цео број х који задовољ ава систем неједначина

2 — х 4х0,5(2д - 5) > — ------1, 0,2(3х - 2) + 3 > — - 0,5(х - 1).

2 О

Н аћи реш ењ а систем а неједначина:

а) х < - 2 , х < —1, -2 ,5 < х ^ 2;

б) 1 < х < :2, 1,5 < х ^ 3 , *• ̂ 2,7;

в ) х + 7, х > 3, 5 ̂ х < 11 1

г) X +1

~ 2 ’ —2 < х < 0 , -1 < х < 3

) X > 2, х > 14, х О А

\

218. Реш ити следеће системе неједначина:

а) х —5 > 0, Зх < 17; б )2 х —1 Јг 0, х —4 < 0 ;

в ) х —1 , 1 7 —52х — ј (1 - 4») > ј * јј ,

5х 47х 13 х 11

Т + Т Г _ 2 1 ^ 3 ~ 2 1 ’

. Зх 5 4х —3 , . . . ог) 3 - — > ------- ---------------------- — , 2х(2х - 5) • 27 (2х

х + 1 х + 2 х х + 1 х + 2

’ 2 3 ’ 6 2 3 ’

ђ) 15х — - > 2(х + 1), 4(х —4) ^ Зх —14.0

219. Н аћи све целе бројеве х за које важ е неједначине:

1 Зх —14а) 15х —2 > 2х Н— и 2(х —4) < --- — ---- ;

3 2

б) 2(3х - 4) - 16 < 3(4х - 3) и 3(х + 1) < 2х + 4;

х

6 ’

2х —13 2 , Зх —20 хв) — —— > 2 - Зх и - (х - 7) <

11 9

, х —1 2х + 3 х х + 5 х + 5 4 —х х + 1 > - Г ---------- з - + б < 2 - Д Г и 1 - ^ + ̂ < 3 1 - —2 3 2 8 2




Реш ити неједначине (задаци 220-222):

220. а) х| ̂ 2; б) |х| > 3 .221. а) \х - 2| < 1; б) \2х 1 1; < 1; в) 3 — х > 5;

г) \5х - 1| 5= 4; д) |3х —2,5| ^ 2; ђ) |5 — 2х \ < 1.

222. а) 2х + (ж — 1| > 5; б) \ х + 1| - ^ х < 1; в) \2х - 6| ^ 9 — х ;

г) х —1 > \2х — 4 |; д) |2д - 4| < 2 - х .

х 2 ~ / 100223. Закоје природне бројеве х и у важ и једнакост —= - ако је у < 18?У 3

224. За које вредности непознате а је вредност израза 2а — 5 изм еђу 3и 17?

225. За које вредности пром енљ иве у је израз (2у + 1)(у —2) —2(у + I )2позитиван, једнак нули, односно негативан?

226. Д ена књ иге је део број динара. У купна дена 9 књ ига је већа од 1100динара, а мањ а од 1200 динара, док је укупна цена 13 књ ига већа од 1500динара, а м ањ а од 1600 динара. К олика је цена једне књ иге?

3.4. Д О Д А Т А У З Г Л А В У III

227. Д ати су скупови реалних бројева:

А = { х | —оо < х < 3 }, В = { х | —оо < х ^ 3 }

С = { х | 3 < х < +оо }, = { х | 3 < х < +оо }

Е = { х | —I ^ х < 4 }, Е = (ж I~1 < V / н

С = { х | | < х < 5 }, Н = { х | 3 ^ х ^ 5 } .

а) П редставити ове скупове граф ички на бројној оси.

б) О дредити: 1° А џ В ; 2° А П В ; 3° А П Н ; 4° В Г ) Н ; 5° С П В ' , 6° С П Р ; 7° Е П С П Н ; 8° А п В п Н .

228. К оје од следећих реченица важ е за све реалне бројеве а , 6, с, Л \

а) ако је а < б, онда је а + с < 6 + с;

б) ако је а < 6, онда је а ■ с < ћ ■ с ;

в) ако је а < 6, онда је —а > —6;

, , . 1 1г) ако Је а < 6, онда Је - > - ;




д) ако је а < 6 и с < <1, онда је а + с < 1>+ (1;

ђ) ако је а < 6 и с < <1, онда је а ■ с < 6 • д , ;е) ако је а < ђ и с > <Ј, онда је а — с > 5 — (П

229. О дредити које од следећих реченица су тачне а које нетачне:

а) А ко су а и 6 реални бројеви такви да је а < &, онда је а 2 ^ 6 .

б) А ко су х и г/ позитивни реални бројеви такви да је х < у , онда је1 1

X у

в) А ко су и V реални бројеви различити од нуле такви да је ^ V,1 1онда је — Џ —.

V

230. За коју вредност пром енљ иве х је:

2 3а) збир израза - ( х —3) и - ( х —1) једнак 5;

О I

11 /л оЧ 11х .б) разлика израза — (2х —3) и —— Једнака 0;

Зжв) збир израза \ / 2 х и —-= једнак 5;

V 2

г) разлика квадрата израза х + 5 и х —1 једнака 48?

231. Реш ити једначине:

а) ||3х —2| —х| = 2; б) ||х —1| —|х + 2|| = |3х —3 |.

232. Н аћи реш ењ а једначина:

! + Ј г ! _ 1 ^ м . ,

б)|х| + X

+|х| —X

233. Реш ити једначину:

х - 1994 х - 1995 х - 1996 х - 1997 х - 1998-----------+ ------ -------- 1--------------н-------- ------+

х+

3 2

х —5 х —4 х —3 х —2

1994 1995 1996 + +1997 1998

234 . Јелена им а 24 године. О на им а два пута виш е година него ш то јеим ала С неж ана када је Јелена им ала толико година колико С неж ана им а

сада. К олико година им а С неж ана?




235. Зоран им а два пута виш е година него ш то је им ао Јован када је

Зорану било толико година колико је сада Јовану. Заједно им ају 35 година.

К олико је стар свако од њ их?

236. И ван сада им а четири п ута виш е година него ш то је имао М арко

када је био три пута м лађи од И вана. К олико година сада им а М арко, акоће следеће године заједно им ати 20 година?

237. Н ина и И ван им ају заједно 44 године. Н ина им а два пута виш е

година него ш то је им ао И ван када је Н ини било упола толико година

колико ће им ати И ван када Н ини буде три пута толико година колико јебило И вану. К олико година им а Н ина?

238. К азаљ ке сата показују: а) 9 сати; б) 4 сата. К ада ће се казаљ кепрви пут поклопити?

239. О тац полази од куће прем а ш коли у исто врем е када и син од ш коле

према кући . О тац би цео пут преш ао за 10 м инута, а син за 15 м инута.П осле колико м инута ће се срести?

240. Н еколико дечака скупљ а новац да купе кош аркаш ку лопту која стаје

720 динара. К ада би у њ иховој групи било три дечака м ањ е, сваки биплатио по 40 динара виш е. К олико им а дечака?

241. А утобус је преш ао 300 к т . Д а је возио 1 5 к т/ ћ брж е, на путу би

провео 1 час м ањ е. К ојом брзином се кретао аутобус?

242. Један бициклиста кренуо је из града у град брзином 1 4 к т/ћ .

К ада му је остало да пређе 18 к т м ањ е него ш то је преш ао, повећао је

брзину на 21 к т / ћ . К олика је удаљ еност градова и ако је просечнабрзина бициклисте на целом путу 1 6 к т/ ћ ?

243. М ајм уни деле кокосове орахе. П рви м ајм ун је узео три ораха и

десети део остатка; други м ајм ун - ш ест ораха и десети део преосталихораха; трећи м ајм ун - девет ораха и десети део преосталих ораха итд, све

док сви ораси нису подељ ени. И споставило се да су сви м ајм уни добилиисти број ораха. К олико је било мајм уна?

244. Резервоар се напуни водом за 8 сати када су отворене све три2 5

доводне цеви. К роз другу цев утиче —, а кроз трећу - оне количине3 6

воде која утиче кроз прву цев. За које време би се резервоар напунио акоби се пунио само кроз прве две цеви?

245. К ата и Н ата донеле су на пијацу укупно 300 ком ада јаја. Једна од

њ их је им ала виш е јаја од друге, али су обе од продаје зарадиле једнаке




суме новца. У повратку К ата је рекла: „Д а си ми дала своја јаја, ја бихих продавала по истој цени као своја и заради ла бих 15 динара виш е него

ш то сам зарадила. “ Н а то је Н ата одговорила: „Д а си ти мени дала својајаја, ја бих их продавала по истојцени као своја и зарадила бих 20 динаравиш е него ш то сам зарадила. “ К олико су јаја им але К ата и Н ата?

Реш ити неједначине (задаци 246-250):

246. а) \ + 2| — \ —1| < х —~ ; б) \ + 1| + |д - 4| > 7.

247. а) \Ј 2 - 2х + 1 + \/9 - 6х + х2 ^ х + 2;

б) \ Ј 2 + 2х + 1 + \ ! 2 —8х + 16 ^ 7.2 - 5

248. а) —1

> 0 ;

. 2 —5249 . а) — — > 1;

+ 3

2 —1

( - 1 ) { - 2 )

2 — 2

2 + 2 5 ’

б) ^ | < 0 ;’ + 2

г ) ^ + 1 > 0 . + 2

6 ) ^ 0 ; — 4

\ ж - 3в -------г С 1,

2ж —5

)

250. а)

< 2 ; )

б)

> 2 .1 —

2 — 9

2 — 7 + 12<

251. О дредити реш ењ а неједначина:

а) 2 ^ х; б) 3 - ж ^ 0;

г) 4 > 3 ; д) 3 + 1 < 2 + .

252. Реш ити неједначину:

а) 113 — \ > 6 ;

253. Реш ити неједначине:

+ 7 а)

\/9х 2 + 6 + 4< 2;

х2 + 4х + 4

9 —6х + х2 < 2 ;

\Ј 2 —4х + 4 ^

Д) (х - 2)(х - 3) " '

б)

в) х ^ ;х

<|6 —х| јЗ —х|

б) \Ј 4х2 —4х + 1 < 3 —х ;

) >




254. О дредити најм ањ у вредност израза:

а) (х — 2)2 + 4; б) а;2 -2 2 : + 4;

в) 31

35; г) х 2 - З х + 2,251.

25 5. О дредити највећу вредност израза:

а) —(ж + I)2 ; б) 3

1

1х ----

2

в) — х 2 + 6ж —10; г )х 2 —8х + 20 '

256. Д оказати да за позитивне бројеве а и 6 важ е неједнакости:

, а 5а) —Н— џ 2 -

а

\ а + 6 г — г) — — > + а к -

б) а + - > 2;а

) ^ » 1 1 — Iа

в) а г + 1 ^ 2а;

. , а2 1

^ 1 + а4 ^ 2 ;

е) (а + 6)2 ^ 4а6.

257. Д оказати да за све реалне бројеве х , у , г важ е неједнакости:

х 2 + у 2 + г 2 + 3а) х 2 + у 2 + г 2 ^ х у + у г + г х ; б) ^ а; + у + г .

258. Д оказати да за све реалне бројеве а важ и:

а) а2 + 2а + 2 > 0; б ) а 2 - 4 а + 6 > 0 ; в) а2 - 6а + 11 > 0;

г) а2 + а + 1 > 0; д) - а 2 + 2а —2 < 0.

25 9. За правоугли троугао важ и:

а) К + г ^ / 2 Р - б) - 3* 1 + ^/2V

( К - полупречник описаног, г - полупречник уписаног круга, Р - повр-ш ина троугла). Д оказати.



4. П РИ ЗМ А

С ј а е г И е еГ т е т е И з (Т р а -ж т е н а ћ ћ е т е ) '

Н о в з а в е т

П р а в л н а ч е т в о р о с т р а н а п р з м а

В = а 2;

М = 4 а Н ;

Р = 2а {а + 2Н );

V = а 2Н .

П р а в л н х е к с а е д а р ( к о ц к а )

I) = ал/3, д . = а \р 2;

Р = 6а 2;

V = а 3;

Р Г Ј = а 2Р 2.

К в а д а р {п р а в о у г л п а р а л е л е п п е д )

Р = 2 (аб + ђ с + а с );

V = а б с ;

д = р а 2 + ђ 2;

И = р а 2 + ђ 2 + с 2;

о

= с р 2 + 62.



4. П ризм а 37

П р а в л н а т р о с т р а н а п р з м а

М = 3 Н :

Р = — л/З + З а Н -

у = °- Љ н 4

П р а в л н а ш е с т о с т р а н а п р з м а

В = ^а2^3;

М = 6 Н \

Р = З а (а Д з + 2Н )-

V = \ а 2Н у / 3.

а /\

4.1. П О В Ш И Н А И З А П Е М И Н А П И З М Е

260. И вица коцке је 4 с т . И зрачунати површ ину дијагоналног пресека,

површ ину и запрем ину коцке.

2 6 1 / И зрачунати површ ину и запрем ину коцке ако је:

а) површ ина једне стране 4 с т 2 ;

б) дијагонала једне стране 3%/2ст.

262Т Зби р дуж ина свих ивица једне коцке је 48 с т . И зрачунати површ инуи 'Зсш ремину те коцке.

263. О дредити однос површ ине једне стране коцке и површ ине дијагонал-ног пресека.

264. Д ата је површ ина дијагоналног пресека коцке:

а) 64\/2 с т 2 ; б) 9 \/ 2 ст2.

И зрачунати површ ину и запрем ину те коцке.




265. К оцка ивице пресечена је са равни која пролази кроз три тем ена

коцке. И зрачунати површ ину пресека.

266. И зрачунати дуж ину дијагонале и површ ину квадра чије су дуж ине

ивица:

а) = 2 сш ,6 = 3 с т , с = 6 с т ;

б) = 10 с т , 6 = 22 с т , с = 16 с т .

267 . О сновне ивице квадра су 7 с т и 24 с т , а висина је 8 ст . И зрачу-

натн површ ину дијагоналног пресека квадра.

268. Д ве ивице квадра су 5 с т и б с т , а њ егова површ ина 214 с т 2 .

И зрачунати дуж ину висине и запрем ину квадра.

269. У базену облика квадра дим ензија 20 т , 15 т и 2,5 т налази се3

вода до - дубине. К олико хектолитара воде им а у базену?5

270. Б азен облика квадра им а дим ензије 4 т , 4 ,5 т и 2,5 т . За које

време ће се напунити базен ако у њ ега сваке секунде утиче 51 воде?

271. Један резервоар им а облик квадра дим ензија 3,5т , 4 т и 5п гУ

К олико литара воде он садрж и када је пун?

272. С обу облика квадра, дуж ине 4,8 т , ш ирине 4 т и висине З т , требаокречити. К олика се површ ина кречи ако се у њ ој налазе прозор дим ензија

2 т х 1,5т и врата 2,2т х 1пг?

273. И зрачунати дуж ину дијагонале правилне четворостране призм еосновне ивице и висине Н ако је:

а) = 2 с т , I I = 1 с т ; б) = 6 с т , Н = 7 с т .

274. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне четворостране призм е

ако је основна ивица 4 с т и висина призм е 8 с т .

275. П оврш ина правилне четворостране призм е је 360 с т 2 , а основна

ивица б ст . И зрачунати висину и запрем ину те призм е.

276. П оврш ина основе правилне четворостране призм е је 36 с т 2 , а ди-јагонала бочне стране је 10 с т . И зрачунати површ ину и запремину те

призм е.

277. Д ијагонала правилне четворостране призм е је 15 с т , а дијагонала

основе је 9 с т . К олика је површ ина и запрем ина те призм е?

278. Д ијагонала основе правилне четворостране призм е је 5 \ /2 ст, а

површ ина ом отача 120 с т 2 . И зрачунати површ ину и запрем ину те призм е.



4. П ризм а 'у 39 )

279. П равилна четворострана призм а основне ивице = 8 с т им а запре-

мину V = 960 с т 3 . О дредити висину и површ ину те призм е.

280. И зрачунати површ ину и дијагоналу правилне четворостране призм еако је њ ена запрем ина 144 <1т3 , а висина 10 ст .


ако је њ ена висина 10 с т , а површ ина дијагоналног пресека 6 0 \ /2 ст2.

282. П оврш ина ом отача правилне четворостране призм е је М , а повр-

ш ина читаве призме је Р . И зрачунати висину и запрем ину призм е ако

:

а) М = 120 с т 2 , Р = 170 с т 2 ; б) М = 32 с т 2 , Р = 40 с т2 .

283. П оврш ина основе правилне четворостране призм е је 144 с т 2 , ависина 14 с т . И зрачунати дуж ину дијагонале призм е.


чија је дијагонала Р = 3,5 с т , а дијагонала бочне стране <1= 2 ,5ст. /Р \ ' \, 285. ,/И зрачунати површ ину и запрем ину правилне тростране призм е ако

"/јн-Д атаЈЗСновна ивица и висина:

7 а) ^ = б ст , Н = 8 ст ; б) = 6 \ /3 ст , Н = 8 с т.

286. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне једнакоивичне тростра-не призм е ако је њ ена висина л /З ст.

287. П оврш ина ом отача правилне једнакоивичне тростране призм е је12 т 2. К олика је висина ове призм е?

288. П оврш ина основе правилне тростране призм е је 4 \ /З ст2 , а повр-

ш ина ом отача је 96 с т 2 . И зрачунати основне и бочне ивице призм е.

289. Запрем ина правилне тростране призм е је 2 0 \/З ст3 , а висина Н =

5 с т . И зрачунати: а) дуж ину основне ивице; б) површ ину призм е.

290. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне тростране призм е чијаје основна ивица 9 с т , а дијагонала бочне стране 15 ст .

291. И зрачунати површ ину правилне тростране призм е ако је њ ена за-

прем ина 2 5 0 \/З ст3 , а површ ина њ ене основе 2 5 \/ З ст2 .

292. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне тростране призм е чија

је висина основе 4 \ /З ст, а висина призм е 8 ст .

293. Запрем ина правилне тростране призм е је 1 6 0 \/ З ст3 и висина

10 с т . И зрачунати површ ину призм е.




294. П равилна тространа призм а им а површ ину 1 3 5 0 \/3 ст2 и основну

ивицу 18 с т . И зрачунати њ ену запрем ину.

295. В исина правилне тростране призм е је 8 с т , а површ ина једна бочне

стране 48 с т 2 . И зрачунати површ ину и запремину те призм е.

296. П оврш ина ом отача правилне тростране призм е је 324 с т 2 , а основна

ивица 8 с т . И зрачунати запрем ину призм е.

297. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне тростране призм е ако

је ди јагонала бочне стране 10 с т , а висина основе З л /З ст.

298. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне тростране призм е ако

је површ ина ом отача 300 с т 2 , а висина основе 8,65 с т .299. П оврш ина правилне тростране призм е је 295,36 с т 2 , а основна ивица

8 с т . И зрачунати висину и запрем ину призм е.

300. В исина правилне тростране призм е је 12 с т , а површ ина њ ене основе

је 1 6 \/ 3 ст 2 . И зрачунати дуж ину основне ивице и површ ину призм е.

301. П оврш ина основе правилне тростране призм е је 9 \ /З с т2 , а њ ена

висина је четири пута дуж а од основне ивице. И зрачунати површ ину изапрем ину призм е.

302. П равилна тространа призм а м асе 36 § је израђена од дрвета. А ко

је основна ивица 4 с т и висина б с т , колика је густина дрвета?

303. О м отач правилне тростране призм е је квадрат. И зразити површ ину

и запрем ину у ф ункцији основне ивице.

304. О снова тростране призм е је правоугли троугао са катетам а 9 с т и

12 с т . И зрачунати површ ину и запрем ину призм е ако је највећа бочнастрана призм е квадрат.

305.

О снова праве призм е је правоугли троугао чија је једна катета 36 с та хипотенуза 39 с т . И зрачунати запрем ину те призм е ако је висина двапута већа од друге катете.

306. И зрачунати површ ину и запрем ину призм е висине 12 с т , чија је

основа правоугли троугао са катетам а 6 с т и 8 с т .

307. О снова тростране призм е је једнакокраки троугао основице б с т и

њ ене одговарајуће висине 4 с т . А ко је висина призм е 10 с т , израчунатињ ену површ ину и запрем ину.

308. И зрачунати површ ину и запрем ину призм е која у основи им а пра-воугли троугао, чија је једна катета 3 9 с т , друга је за 9 с т кр аћа од

хипотенузе и једнака висини призм е.




309. И зрачунати површ ину и запремину призм е висине 8 с т , која у

основи им а правоугли троугао, чија је хипотенуза б с т и један угао 30° .

310. О снова призме је једнакокраки троугао чији је угао при врху 120° ,

а крак 8 ст . И зрачунати површ ину и запремину призм е ако је висинапризм е 12 ст .

311. И зрачун ати површ ину и запрем ину призм е која у основи им а једна-

кокраки троугао, чији је крак 4 \ /З ст, угао на основици 30°, а висинапризме је 8 ст .

312. О снова праве тростране призм е је правоугли троугао катета а =

24 с т и & = 10 с т . А ко је висина призм е једнака хипотенузи основе,израчунати површ ину и запремину призм е.

313. О сновна ивица правилне ш естостране призм е је 6 с т , а висина 8 с т .И зрачунати површ ину и запрем ину те призм е.

314. И зрачунати запремину правилне ш естостране призм е чија је основна

ивица З с т , а дијагонала бочне стране б с т .

315. П оврш ина ом отача правилне ш естостране призм е је 360 сш 2 . И зра-

чунати њ ену површ ину и запрем ину ако је висина призм е 15 ст .

316. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне ш естостране призм е

о ■ зУ з 2висине 8 с т ако Је површ ина основе ——— с т .

317. И зрачунати површ ину правилне ш естостране призм е ако је дата

њ ена запрем ина и основна ивица (висина):

а) V = 62,28 с т 3 , а = 2 с т ; б) V = 540\/3 с т 3, Н = 10 с т .

318. И зрачун ати запрем ину правилне ш естостране призм е ако је:

а) површ ина основе 541,73 с т 2 , а ом отача 288 с т 2 ;

б) површ ина призм е 646,08 с т 2 , а основна ивица 8 ст .

319. П оврш ина већег дијагоналног пресека правилне ш естостране призм е

је 96 с т 2 и Н : а = 3 : 1. И зрачунати површ ину и запрем ину те призм е.

320. Н ајвећи дијагонални пресек правилне ш естостране призм е је квадрат

чија је површ ина 100с т 2 . И зрачунати површ ину и м асу ове призм е ако

је направљ ена од гранита ( = 2 ,8§/ст3) .

321. К олико литара воде стаје у резервоар облика правилне ш естостране

призм е висине 4 т и основне ивице 180с т ?




322. О м отач правилне ш естостране призм е је 240 с т 2 , а њ ена висина

8 ст . И зрачунати површ ину и м асу призм е ако је њ ена густина 2,7 § /с т 3 .

323. Л уж а просторна дијагонала правилне ш естостране призм е дуж ине20 с т нагнута је прем а равни основе под углом од 60°. И зрачунати

површ ину и запремину те призм е.

324. К раћа просторна дијагонала дуж ине 20 с т правилне ш естостране

призм е нагнута је прем а равни основе под углом од 60°. И зрачун ати

површ ину и запремину те призм е.

325. И зрачунати површ ину и запремину четворостране призм е висине Н ,

чи ја је основа ром б ивице , висине ћ и ош трог угла ако је:

а) Н = 10 с т , ћ — 2\/3 с т , = 60° ;

б) Н = 10 с т , = 4 с т , = 30° ;

в) Н = 10 с т , = 4\ /2 с т , = 45° .

326. И зрачунати површ ину и запремину праве четворостране призм е чија

је основа ром б са дијагоналам а Л \ и ^ , а висина призм е једнака основној

ивици ако је:

а) (1\ = 16 с т , = 12 с т ; б) Л \ = б с т , с?2 = 8 с т .

327. О снова праве четворостране призм е је ром б са дијагоналам а 5 с ти 12 ст . И зрачунати површ ину и запремину призм е ако је њ ена висина

10 ст.

328. П рава четворострана призм а висине 10 с т им а за основу правоуглитрапез чије су основице 6 с т и 8 с т и ош тар угао 4 5°. И зрачунати

површ ину и запрем ину те призм е.

329. О снова праве четворостране призме је једнакокраки трапез чије суосновице 4 с т и 10 с т , а крак 5 с т . И зрачунати површ ину и запрем ину

те призм е ако је њ ена висина једнака средњ ој линији трапеза.

330. О снова праве четворостране призм е је ром б чија је основица 5 с ти једна дијагонала б ст . А ко је површ ина призм е 288с т 2 , израчунативисину и запрем ину призм е.

331. О м отач призм е, чија је основа ромб, им а површ ину 1560 с т 2 . И зра-чунати површ ину и запремину призм е ако је м ањ а дијагонала ром ба 10 с т ,а ивица 13 ст .

332. О снова праве призм е је једнакокраки трапез чије су основице 12 с ти 20 с т , а дијагонала 20 ст . В исина призм е једнака је средњ ој линијиоснове. И зрачунати запрем ину призм е.




333. О снова праве призм е Л .В С Г )А .\В \С \1)\ је једнакоркаки трапез

А В С О са основицам а А В = 21 ст и С = 11 ст и крацима А П = В С =

13 ст . П оврш ина дијагоналног пресека А С С \ А 1 при зм еје 180 с т 2 . Н аћиповрш ину и запремину призм е.

334. Ж елезнички насип им а у пресеку облик једнакокраког трапеза сапаралелним страницам а дуж ине 14 т и 8 т и висином 3,2 т . И зрачунатиколико кубних м етара зем љ е треба за 1 к т насипа.

335. Д а ли постоји призм а чији је број ивица:

а) 12; б) 14; в) 21; г) 83?

336. К олико дијагонала им а:

а) четворострана; б) тространа; в) петострана

призм а?

337. К олико бочних страна им а призм а са:

а) 18; б) 24; в) 60

ивица?

338. Заокруж ити слова испред тачних одговора:

А ко се ивица коцке удвостручи, добија се коцка:

а) два пута веће површ ине;

б) два пута веће запрем ине;

в) четири пута веће површ ине;

г) осам пута веће запрем ине;

д) ш ест пута веће површ ине;

ђ) дванаест пута веће запрем ине.

339. У ф ункцији дуж ине основне ивице и бочне 6 изразити површ ину

правилне: а) тростране; б) четворостране; в) ш естостране призм е.

340. Ч етири једнаке коцке ивице = б с т слож ене су једна на другу.

И зрачун ати површ ину и запрем ину тако добијеног тела.

341. Д ијагонала правилне четворостране призм е нагнута је према равниоснове под углом од:

а) 30°; б) 45°; в) 60°.

И зразити површ ину и запремину тих призм и у ф ункцији основне ивице .




4.2. Д О Д А Т А У З Г Л А В У IV

342. Д ата је коцка запрем ина V . Њ ена ивица најпре је см ањ ена за 10%,

а затим је ивица добијене коцке повећана за 10%. Н а овај начин добијена

је коцка запрем ине . Н аћи однос У \ : V .

343. Једно тем е коцке удаљ ено је од дијагонале те коцке 7 с т . И зрачу-

нати површ ину коцке.

344. О снова праве четворостране призм е је паралелограм чије странице

а = 4 с т и 6 = 7 с т граде ош тар угао од 30°. А ко је површ ина ом отача

призм е М = 1 1 0 ст2 , израчунати запрем ину призм е.

345. О снова правог паралелепипеда је ром б, а површ ине дијагоналних

пресека и д . И зрачунати површ ину ом отача паралелепипеда.

346. Д ијагонале страна квадра су дуж ине 15, у /481 и л/544. И зрачунати

дуж ину дијагонале квадра.

347. Д ат је квадар чи ја је једна дијагон ала основе = 4 с т , а угао

изм еђу дијагон ала основе 60°. А ко је угао који дијагон ала сђ гради са

дијагоналом квадра 30° , колика је запрем ина квадра?

348. Д ијагонални пресек квадра је квадрат површ ине 400 с т 2 . Д уж ине

основних ивица се односе као 3 : 4 . К олике су површ ина и запреминаквадра?

349. П оврш ине страна једног квадра су 12 с т 2 , 36 с т 2 и 48 с т 2 . Н аћи

њ егове ивице и дијагоналу.

350. П оврш ине трију страна правоуглог паралелепипеда, које се састају

у истом тем ену, односе се као 4 : 3 : 1 . И зрачунати површ ину и запрем ину

паралелепипеда ако је њ егова дијагонала Л = 78с т .

351. О бим већег дијагоналног пресека правилне ш естостране призм е је

22 с т . И зрачунати површ ину и запрем ину те призм е ако је висина призм е

за 1 ст краћа од основне ивице.

352. Д ата је правилна једнакоивична ш естострана призм а

А В С О Е Р А х В х С г И х Е х Р ^ ивице а = 2 ст , О дреди површ ину четворо-угла А В Б х Е ^ .

353. П оврш ина највећег дијагоналног пресека правилне ш естостране при-

зм е је 4 т 2 , а растојањ е наспрам них бочних страна је 2 т . И зрачунатизапрем ину ове призм е.

354. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне ш естостране призм е

чија је висина два пута већа од основне ивице, ако је краћа дијагоналаоснове 6. = л/З с т .



5. П И РА М И Д А

С а з а а И д а з к е з Г (У в е к п о ~ с т о ј н е к р а з л о г )

Ц ц е р о н 1

1 М . Т . С 1сего (106-43. п.н.е.), рим ски држ авник и научник




П р а в л н а ш е с т о с т р а н а п р а м д а

в = ^а2\/3;

М = 3а ћ а \

Р — |а( а\ /3 + 2/1а);

V = ^ а2Л л/3 .

]

П р а в л н т е т р а е д а р (п р а в л н а

ј е д н а к о в ч н а т р о с т р а н а п р а м д а )

Р = а2л/3;

| V=

5.1. П О В Ш И Н А И З А П Е М И Н А П И А М И Д Е

355. Д ате су реченице:

(I) П ирам ида је правилна ако је њ ена основа правилни м ногоугао;

(II) П однож је висине правилне пирам иде је центар основе пирам иде;

(III) Н агибни угао бочне ивице правилне пирам иде једнак је нагибномуглу бочне стране те пирамиде.

К оје од ових реченица су тачне?

356. И зрачунати дуж ину бочне ивице правилне четворостране пирам идечија је основна ивица 8 ст , а висина 7 ст.

357. Д ата је основна ивица а = 10 с т и висина Н = 12 с т правилнечетворостране пирамиде. И зрачунати: а) висину бочне стране (апотем у);б) површ ину; в) запрем ину те пирамиде.

358. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне четворостране пира-

м иде ако јеа -

основна ивица,Н

- висина пирамиде,ћ

—бочна висина(апотема), з - бочна ивица:



5. П ирам ида 47

а) = 9 с т , ћ = 7,5 с т; б) = 1 0 \/З ст, ћ = 13 с т;

в) = 12 с т , з = 10 с т ; г) Н = 12 с т , ћ = 13 с т .359. И зрачунати површ ину и запремину правилне четворостране пира-м иде ако је - основна ивица, Н - висина пирам иде, ћ - бочна висина

(апотема), б , - дијагонала основе:

а) д, = 5\/2 спг, Н = 7 ст ; б) = 16 с т , Н = 15 ст;

в) а = 2 4 ст, /г = 2 0 ст.

360. Н аћи површ ину и запрем ину правилне четворостране пирам иде чија3

је основна ивица = 8 с т , а бочна ивица В = - .4

361. П равилна четворострана пирам ида је пресечена једном равни која

садрж и врх и дијагоналу основе. И зрачунати површ ину пресека ако јеосновна ивица 4 с т , а бочна ивица 6 с т .

362. И зрачунати запрем ину правилне четворостране пирамиде ако једијагонални пресек једнакостранични троугао странице 4 с т.

363. П оврш ина дијагоналног пресека правилне четворостране пирам иде

је 240 с т 2 . И зрачунати запрем ину те пирам иде ако је њ ена висина 30 ст .

364. Д ата је површ ина правилне четворостране пирам иде и њ ена основна

ивица. И зрачунати запрем ину пирамиде:

а) Р = 96 с т 2 , = 6 с т ; б) Р = 336 с т 2 , = 12 с т .

365. И зрачунати површ ину правилне четворостране пирам иде ако је њ енадапрем ина 1280 с т 3 , а висина 15 ст .

36 6. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне четворостране пирам и-

де ако је њ ена основна ивица дуж а за 10 с т од висине пирам иде, а висина3

Је основне ивице.

36 7. И зрачунати површ ину и запремину правилне четворостране пира-м иде основне ивице 16 с т , ако се висина пирамиде према апотем и односи

као 3:5.

)Ј68. И зрачунати површ ину и запремину правилне четворостране пира-

;м иде чија је основна ивица=

б с т , а висина за 1 с т краћа од бочневисине.

369. У гао изм еђу бочне ивице и равни основе правилне четворостране

пирамиде је 45°. А ко је дијагонала основе 10 с т , израчунати висину

пирамиде, бочну ивицу и површ ину дијагоналног пресека.




37 Ц Н аћи површ ину и запрем ину правилне четворостране пирам иде ако

је дуж ина основне ивице а = 8 с т , а бочна ивица 6 заклапа са равни

оснсјве угао од 60° .1

,371'. П оврш ина ом отача правилне четворостране једнакоивичне (з = а )

пирамиде је 3 6л /3 ст2 . И зрачунати површ ину и запрем ину те пирам иде.

372. О снова пирам иде је квадрат око кога је описан круг полупречника

г = 2 с т . А ко су бочне стране једнакостранични троуглови, и зрачунати

површ ину пирам иде.

373. В рх гром обрана, који им а облик правилне четворостране пирам иде

са основном ивицом 2,6 с т и бочном ивицом 8,5 с т , треба позлатити.К олику површ ину треба позлатити?

374. И зрачунати м асу златног привеска облика једнакоивичне правилне

четворостране пирамиде основне ивице а = 10т т ( = 19,36§ /с т3 ).

375. О снова пирам иде је правоугаоник чије су странице 8 с т и б с т , а

висина пирам иде је 12 с т . И зрачунати запрем ину пирам иде.

376. О снова пирам иде је правоугаоник обим а 14 с т , а висина пирам иде

једнака је дуж ини једне основне ивице и износи 4 с т . И зрачунати запре-м ину те пирам иде.

377. И зрачунати запрем ину пирамиде чија је основа правоугаоник стра-

ница а и 6, а све бочне ивице пирамиде су 5:

а) а = 24 с т , 6 = 18 с т , з = 25 с т ;

б) а = 8 с т , 6 = 6 с т , 5 = 13 с т ;

в) а = 18 с т , 6 = 24 с т , 5 = 1 8 с т .

378. И зрачунати површ ину и запремину четворостране пирам иде са осно-вом правоугаоником чије су странице а = 10 с т , 6 = 32 с т , а висина

пирамиде је 12 с т .

379. П ирам ида запремине 360 с т 3 им а за основу правоугаоник страница12 с т и 9 с т . И зрачунати дуж ину бочне ивице и висину те пирам иде.

380. О снова пирамиде је правоугаоник са страницам а 12с т и 5 с т .

О дредити запремину те пирамиде ако је бочна ивица једнака дијагоналиоснове.

381. И зрачунати површ ину и запрем ину пирам иде чи ја је основа право-

угаоник са страницам а а = 10 с т и 6 = 32 с т и одговарајућим бочним

висинам а ћ а = 20 с т и ћ ђ = 13 с т .




382. К од правилне тростране пирамиде основну ивицу обележ авам о са ,

висину са Н , а бочну висину са ћ . И зрачунати површ ину и запрем инупирам иде ако је:

а) = 20 \ /Зст, Н = 24 ст ; б) = 4 \ / З с т, # = 8 с т ;

в) = 6 \ /3 ст, ћ = 5 ст; г) = 1 0\ /Зст, ћ = 13ст.

383. И зрачунати површ ину и запремину правилне тростране пирамидечија је основна ивица , а бочна ивица 8:

а) а = б ст , 5 = 5 ст; б) = 12 ст , з = 13 ст .

384. К олика је дуж ина основне ивице правилне тростране пирамиде акоје њ ена запрем ина 180 с т 3 , а дуж ина висине 12 ст .

385. И зрачунати површ ину и запремину правилне тростране пирамидеако је апотем а 5 ст , а висина основе 9 ст.

386. Б очна ивица правилне тростране пирам иде је 5 ст , а бочна висина4 с т . И зрачунати површ ину и запрем ину пирам иде.

387. П оврш ина основе правилне тростране пирам иде је 2 7 \/З ст2. И з-

рачунати површ ину и запремину те пирам иде ако је њ ена висина 4 ст .

388. П оврш ина правилне тростране пирам иде је 4(21 + 4 л /3 )ст3, а

површ ина њ еног ом отача је 84 с т 2. И зрачунати основну ивицу, висинуи апотем у.

389. П равилна тространа пирам ида пресечена је са равни која прола-зи кроз висину пирамиде и бочну ивицу. А ко је површ ина тог пресека

17,94 с т 2 , а висина пирам иде 5,2 с т , колика је дуж ина бочне ивице иапотем а те пирамиде?

390. Д уж ина основне ивице правилне тростране пирамиде је 1 ст. П о-врш ина ом отача је З с т 2 . К олика је запрем ина пирам иде?

391. О дредити запрем ину правилне тростране пирам иде висине Н =

2 \ /З ст ако бочна ивица са равни основе одређује угао од 45°.

392. О сновна ивица правилне тростране пирам иде је = б ст, а бочна

ивица образује са равни основе угао од 45°. О дредити запремину тепирам иде.

393. Б очна ивица в = 6 с т образује са основом правилне тространепирам иде угао од 30°. О дредити основну ивицу те пирам иде.

394. В исина правилне тростране пирам иде је Н = б ст , а бочна ивица

образује са равни основе угао од 60° . И зрачунати запремину те пирамиде.




395. Бочне стране правилне тростране пирамиде граде са равни основе

углове од по 60°. И зрачун ати површ ину пирам иде ако је основна ивица

= 2 \ / З с т.

396. О снова тростране пирам иде је једнакостранични троугао страни-

це , а све бочне стране граде са равни основе углове од: а) 60°; б) 30° .

Н аћи површ ину пирам иде.

397. Бочне ивице правилне тростране пирам иде м еђусобно граде угао

од 90°. И зрачунати основну ивицу те пирам иде ако је површ ина њ еног

ом отача 1 5 0 ст2.

398. Д ате су коцка ивице и правилна тространа пирам ида основне ивицеи висине а \/ 3 . О дредити однос запрем ина пирам иде и коцке.

399. Збир дуж ина ивица правилне једнакоивичне тростране пирамиде је:

а) 36 ст ; б) 18 ст .

И зрачунати површ ину те пирам иде.

400. П оврш ина правилне једнакоивичне тростране пирамиде је Р = 1 6 \ /3 ст 2 . И зрачунати дуж ину ивице те пирам иде.

401. П оврш ина правилног тетраедра је 1 0 0 \/З ст2 . И зрачунати дуж инуосновне ивице и запремину тетраедра.

402. О дредити површ ину и запремину правилног тетраедра ивице 15 с т .

403. И зрачун ати висину, површ ину и запрем ину правилне једнакоивичне

тростране пирам иде (правилног тетраедра) у ф ункцији основне ивице.

404. П оврш ину правилног тетраедра (једнакоивичне правилне тростране

пирамиде) изразити у ф ункцији висине основе ћ .

405. И зрачунати површ ину и запремину правилне ш естостране пирам идеако је дуж ина основне ивице 20 с т , а бочне 50 ст .

406. И зрачунати површ ину и запремину правилне ш естостране пирам идеако је висина 12с т и бочна ивица 20ст .

407. И зрачунати запрем ину правилне ш естостране пирам иде ако је основ-

на ивица 6 с т , а бочна ивица 3 \/5 с т .

408. К олика је површ ина правилне ш естостране пирамиде ако је њ ена

запрем ина 2 4л /3 ст2 , а дуж ина основне ивице 2 \ /З ст.409. О м отач правилне ш естостране пирам иде им а површ ину 3 0 \/ 3 ст 2 и

бочну висину 5 ст . И зрачунати површ ину и запрем ину те пирам иде.




410. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне ш естостране пирамидеако је основна ивица 4 \ /З ст, а површ ина ом отача 1 2 0 \/З ст2 .

411. Д ата је површ ина основе и висина правилне ш естостране пирам иде.И зрачунати површ ину и запремину пирам иде ако је:

а) Р — 72\/3 с т 2 , Н = 8 с т ; б) Р = 288\/3 ст 2 , Н = 5 с т .

412. П оврш ина ом отача правилне ш естостране пирам иде је М =

30\/3 с т , а површ ина читаве пирам иде Р = 48 ^3 сш 2 . О дредити:а) основну ивицу; б) висину; в) запрем ину пирам иде.

413. И зрачунати површ ину правилне ш естостране пирам иде чи ја јеосновна ивица а = 2\/Зст, а запремина V = 24\/3 с т 3.

414. И зрачунати површ ину правилне ш естостране пирам иде ако је полу-

пречник круга уписаног у основу пирам иде г = З с т , а угао изм еђу бочнестране и равни основе 60° .

415. И зрачунати површ ину правилне ш естостране пирам иде чија је бочна

ивица 6 = 3 с т и полупречник круга уписаног у основу г = \/3 с т .

416. И зрачунати запремину правилне ш естостране пирам иде ако је обим

основе 36 с т , а површ ина једне бочне стране је 18 с т 2.

417. Д ата је основна ивица а = б ст и висина Н = 9 с т правилне ш есто-

стране пирам иде. И зрачунати површ ину, запрем ину и масу те пирам идеако је р = 2,78 § /с т3 .

418. И зрачунати површ ину и запрем ину правилне ш естостране пирам иде

ако је позната њ ена висина Н = 12 с т и основна ивица а = 5 с т .

К олико износи м аса тог тела ако је густина м атеријала од кога је пирам иданачињ ена р = 5 § /с т3 ?

419. И зрачунати површ ину м ањ ег дијагоналног пресека правилне ш есто-стране пирам иде ако је а = 4 с т и з = б с т.

420. И зрачунати запрем ину правилне ш естостране пирамиде ако је основ-на ивица 4 с т , а бочна ивица са равни основе образује угао од 45°.

421. И зрачунати површ ину правилне ш естостране пирам иде ако је полу-

пречник уписаног круга у основу пирамиде б ст , а угао изм еђу бочнестране и равни основе 45° .

422. И зрачунати површ ину правилне ш естостране пирам иде и површ ину

већег дијагоналног пресека ако бочна висина дуж ине 8спт са равни основеобразује угао 60°.




5.2. Д О Д А Т А У З Г Л А В У V

423. О снова пирамиде је ромб странице 8 с т и ош трог угла 60°. И зра-

чунати запремину те пирам иде ако је њ ена висина 9 ст .

424. И зрачунати висину пирамиде чија је основа правоугли троугао

краће катете 9 с т и теж иш не дуж и која одговара хипотенузи 7,5 с т , ако

је њ ена запрем ина 270 с т 3 .

425. О снова пирамиде је правоугли троугао са катетам а б с т и 8 ст .И зрачунати запрем ину те пирамиде ако је њ ена висина једнака хипотенузи

и норм ална је на основу у тем ену правог угла.

426. П оврш ина једне коцке је 384 с т 2 . И зрачунати површ ину и запре-

мину пирам иде чија је основа страна коцке, а врх у пресеку дијагон ала

коцке.

427. Ц ентар горњ е основе коцке ивице спојен је са средиш тим а ивица

доњ е основе. Н аћи површ ину ом отача овако добијене пирамиде.

428. Б очн а страна правилне четворостране пирамиде нагнута је прем а

равни основе под углом од 60°. А ко је основна ивица пирамиде , наћи

површ ину и запремину (у ф ункцији од ).

429. О снова пирам иде је ром б странице 9 с т и тупог угла од 120° . А ко

је висина пирамиде 12 с т , израчунати запрем ину те пирамиде.

430. Т орањ ком е је попречни пресек квадрат странице 10 т , заврш ава се

правилном пирам идом високом 12 т . К олико је квадратних м етара лим а

потребно за покривањ е те пирамиде ако се на отпатке рачуна 25%.

431. О снова пирам иде је једнакокраки трапез, а све бочне ивице су

по 13 с т . О дредити запрем ину те пирамиде ако је полупречник описане

круж нице око основе 5 ст , а површ ина основе је 15 с т 2 .

432. О снова пирам иде је правоугли троугао са ош трим углом од 30° идуж ином сим етрале другог ош трог угла од 4 с т . В исина пирамиде садрж и

теме правог угла и једнака је дуж ој катети. И зрачунати запрем ину те

пирамиде.




433. Д ата је коцка А В С Б А ^ В х С г Б ^ ивице (слика).

а) И зрачунати површ ину пирам иде А х В С ^ В ^ .

б) О дредити однос запрем ина пирам идеА 1 В С 1 В 1 и преосталог дела коцке.

434. Бочна страна правилне четвоространепирам иде нагнута је прем а равни основе под

углом од 45° (30° , 60° ). И зрачунати повр-

ш ину и запрем ину те пирамиде ако је:

а) њ ена висина 4 с т ;

б) дуж ина основне ивице 4 ст .

435. У правилну четворострану пирам иду основне ивице и бочне ивице

0,75 , уписана је коцка тако да темена горњ е основе припадају бочнимивицам а пирамиде. И зрачунати ивицу коцке.

436. О м отач правилне четворостране пирм аиде им а површ ину 60 с т 2 .

А ко је однос основне ивице и висине пирам иде 3 : 2 , израчунати запреминуте пирам иде.

437. О снова пирам иде је паралелограм чије су странице 10 с т и 18 ст ,

а површ ина (основе) је 90 с т 2 . А ко је висина пирам иде б с т , а њ ено

поднож је пресек дијагонала основе, одредити површ ину ом отача пирам иде.

43 8. О снова пирамиде је паралелограм страница 7 с т и З с т , чија јеједна дијагонала 6 с т . А ко је поднож је висине пирам иде пресек дијагонала

основе и дуж ина висине 4 с т , наћи дуж ине бочних ивица пирам иде.

439. О снова пирамиде је ромб странице 12 с т . Бочне стране пирам иде

нагнуте су прем а равни основе под углом од 45°. Н аћи запрем ину пира-м иде ако је површ ина њ еног ом отача 360 с т 2.

440 . О сновна ивица правилне тростране пирамиде је = 8 с т , а бочна

страна је нагнута према равни основе под углом од 60°. И зрачунатиодстојањ е теж иш та основе од бочне стране пирамиде.

441. Једно тем е коцке странице = 4 с т и средиш та трију страна коцке

којим а је то теме заједничко, тем ена су тростране пирамиде. И зрачунатизапрем ину те пирам иде.

442. О снова пирамиде је једнакокраки троугао чија је основица 12 ст ,а краци 10 с т . С ве бочне стране пирам иде граде са равни основе једнаке

углове по 45° . И зрачунати висину пирам иде.





443. О снова пирам иде је правоугли троугао са катетам а З с т и 4 с т .

С ве бочне стране пирам иде нагнуте су прем а равни основе под углом од

60° . И зрачунати дуж ину висине пирам иде.

444. И зрачунати површ ину и запрем ину пирам иде чи ја је основа једна-

кокраки правоугли троугао катете бсш , а њ ена висина им а поднож је у

тем ену правог угла и дуж ину 8 с т .

445. О снова призм е је правоугли троугао са хипотенузом с = 4 с т и

ош трим углом од 60°. К роз хипотенузу доњ е основе и тем е правог угла

горњ е основе постављ ена је раван која са равни основе гради угао од 45° .

И зрачунати запрем ину тростране пирам иде коју раван одсеца од призм е.

44 6. О снова пирам иде је једнакостранични троугао странице = 2 с т ,

а једна бочна страна пирам иде је такође једнакостранични троугао и

норм ална је на раван основе. Н аћи површ ину ове пирам иде.

44 7. У правилну четворострану једнакоивичну пирам иду ивице уписана

је коцка тако да се њ ена четири темена налазе на апотем ама пирамиде, а

друга четири у равни основе пирамиде. Н аћи ивицу коцке.

448. И зрачунати површ ине правилног тетраедра, октаедра и икосаедра

чије су ивице дуж ине.

449. О сновна ивица правилне тростране пирамиде је а, а висина кон-

струи сана из произвољ ног темена основе на наспрам ну бочну страну је 6.

О дредити запрем ину пирам иде.

450. П оврш ина правилног тетраедра је 6^ 3 с т 2 . И зрачунати њ егову

запремину.



6. Л И Н Е А РН А Ф У Н К П И ЈА

М а т је з Г а ћ а б г п Л г д е п Г р г о к а - И о п е (З а о н о ш т о ј е ја с н о д о к а - з в а њ е н је п о т р е б н о )

Ц ц е р о н

Л н е а р н а ф у н к ц ја деф инисана на скупу реалних бројева је ф ункцијау = /(х) одређена са

у = к х + п ,

где су к и п реални бројеви.

Г р а ф к л н е а р н е ф у н к ц ј е ј е п р а в а . За к > 0 ф ункција је растућа

и граф ик са позитивним делом О х -о с е гради ош тар угао, сл. 6.1; за

к < 0 ф ункција је опадајућа и граф ик са позитивним делом О х -о с е

гради туп угао, сл. 6.2; за к = 0 ф ункција је константна и граф ик је

паралелан О х -оси, сл. 6.3. За п = 0 ф ункција им а облик у = к х играф ик пролази кроз координатни почетак.

—к х + п

,= к х + п

= к х + п

' к > 0X

к < 0 4П

X X

I I

/ ц

' к

п \

к \

С л. 6.1 С л. 6.2 С л. 6.3

Реш ењ е једначине к х + п = 0, тј. х о = —п / к (за к ф 0) назива се нула линеар- у

не ф ункције.

Граф ици функција /х(х) = к \Х + п \ и

/Д х ) = к ^х +П 2 су паралелни ако и само -------- у;------

ако је к \ = к%.

Једначина х = с представљ а праву па-ралелну О у -оси, сл. 6.4.

С л. 6.4




6.1. Ф У Н Ц И Ј А —к х + п

451. К оје од датих ф ункција су линеарне:

а) У = з ® ; 6 ) ј/ = ч/ З ж ; в ) = ---------- ;

г) = ж2 - 2ж + 1; д) = З л /х + 5;

ђ) У = (х - I )2 - х 2; е) = - ? X

452. Д ата је ф ункција:

а) у = Зж + 1; б ) = х -~ 2; в) у = _ ж + з.

Н аћи вредности ф ункције за вредности независно променљ иве: —1, 0, 1,2, 3 и приказати ову ф ункцију одговарајућом таблицом .

45 3. Ф ункција = /(ж ) је дата једнакош ћу:

а) 2х + Зу - 5 = 0; б) х - 7 + 4 = 0; в) Зж —6у + 9 = 0.

За вредности независно пром енљ иве ж : —2, 0, —,

сти ф ункције и попунити одговарајућу таблицу.

5- израчунати вредно-

45 4. Ф ункција = / (х )

дата је ф ормулом ј ' (х ) = 2х —3. О дредити:

а ) / ( 0 ) ; б) /( 1 ); в ) / ( - 1 ) ; г ) / ( г + 1);

д ) / ( 2 х - 1 ) ; ђ) / ( / ( - 2 ) ) ; е) / ( / ( * ) ) .

445 5. А ко је / (х ) = —х + 1, одредити:

5

а ) / ( 0 ) ; б) / ( —1); в) / ( | ) ; г) / ^ а - 1^ .

45 6. Н аћи нуле следећих ф ункција:а) = х — 1; б) = 2х —7\ в) = —4ж - 4;

г) 2х — + 3 = 0; д) 15ж —17у + 30 = 0.

457. П редставити граф ички следеће линије:

а) V = 1; б) = - 2 ; в) = 0;

г) ж = 3; д ) ж = —1; ђ ) ж = 0.

458. Н ацртати граф ике ф ункција:

а) у = X, = х — 1, = х

+ 1; б ) = - х , = - ж - 1 , = -ж + 1 ;. 1 1

в) У — 2 Ж ~ ^ ’ У ==2 а' ^ " 1 ’ г) = 2ж , у = - 2 ж + 1.



57

459. Д ате су ф ункдије у им плицитном облику:

а) 2ж — 2

+ 4 = 0; б) Зх — —

4 = 0;

г) 14ж + 7у —21 = 0; д) ^ х - ^ ј/ + 1 = 0.

в) 5х - 2 ј/ - 3 = 0 ;

Н аписати ове функције у експлицитном облику, а затим нацртати њ и х о н р граф ике.

460. Е ксплицитно задате функције изразити у им плицитном облику:

461. И м плицитно задате ф ункције изразити у експлицитном облику:

а) 8х — 2 + 4 = 0; б) - 6 х + З = -1 2 ; в) 0,6х + 8 = - 3 - 2.

одговара ф орм ула — З х + 2. К ојој? Заокруж ити број испред тачногодговора.

463. Д ата је ф ункција х + 2 —4 = 0.

а) П редставити ф ункцију у експлицитном облику.

б) О дредити пресеке граф ика ф ункције са координатним осам а.

в) Н ацртати граф ик ф ункције.

464. К оји од нацртаних граф ика представљ а граф ик ф ункције = 2х + 1

а) = 5х + 6;

462. С ам о једној од ф орм ула

1) х + Зј/ —2 = 0;

3) х - Зу - 2 = 0;

2) Зх + 2 —0;

4) 2х —у + 3 = 0

(слика)?

а) б)Т'

х X


/



58 Текстови задатака

465.

а)

в )

466.

а)

в )

46 7 .

К оја једначи на одговара нацр таном гра.фику (сли ка)?

б)


К оја од наведених једначи на од говара граф ику

*) У = ж ; б) у = — ; в)

') У = х - 2; д) у = - х - 2 ; ђ)

на слици:

у = х + 2 ;^Г

У = — + 2?

6. Л инеарна функциј59

У

•2

■1X

у +2 - 1-1


46 8. К оја од једначина:

а) у = х + 2; б) у = х -

одговара ком граф ику н а слици?

ч У©V

V® У

/ 2 \

® / \\ 2 ^


— х -ј- 2; г ) у = ~

х

\ \ .

У Ј ,46 9. Д а ли постоји лин еарна ф ункција чији граф ик садрж и тачке А ( 1 1)В (—2,—2) и С (—2,0)? 1

470. О дредити а и 6 тако да граф ик ф ункције у = а х + 6 садрж и тачке:

а) 0(0,0) и А ( - 1,2); б) 0(0,0 ) и Б (3,6).

47 1. За ф ункцију у = (&- 3)ж + А; одредити А: тако да графи к ф ункцијесадрж и тачку Л (3 ,- 1 ). Затим нацртати графи к ф ункције за добијенувредност к . I и д!\9

ЈЈ

47 2. О дредити координате тачке у којој права Зж - 6у = 12 сече О у -осу.

47 3. О дредити пресечне тачке координатних оса и праве:

а) 2> —2у = 12; б) 2х + 5г/ + 10 = 0.

47 4. О дредити линеарну ф ункцију чији граф ик садрж и задате тачке А и В :

а) Д (0,- 3), 5(1 ,0); б) /1(0,- 2), 5(3 ,0);

в) -4 (0, —1), 5 ( —1, —2).

47 5. Граф ик једне од функција:

а) у = 2 х —1] б )у = 2а: + 1; ) у = - 2 х + 1;

г ) = - 2 х - 1 - д ) у = ^ ж + | ,

садрж и тачке 4(1 ,-1 ) и 5 (- 1 ,3 ). К оја је то функција?




476. К оја од наведених једначина одгова-ра граф ику нацртаном на слици:

а) у = - х \

б) у = - х + 1;

в) у — х 1;

г) У — Х + 1;

д) у = х - 1 ?

477. Д а ли тачке Д (3,0), В { — 7,5)

ф ункције ј/ = - х - 2 1

478. О дредити вредност парам етра

а) р : З у = а х + 14, Р (2 ,4);

в) Р - у = х + а , Р { 3,4);

/ 14 \С ( —4, —— I припадају граф ику

тако да права р садрж и тачку Р :

б) р : у = а х + 3, Р (5,2);

г) р : З х —2у + а = 0, Р { - 1,1).

47 9. О дредити једначину праве која садрж и пресек праве у = ----х -1 5 2

и у -осе, а паралелна Је правој у = —х — —.

480. О дредити вредност парам етра а тако да граф ик ф ункције у = а х + 5буде паралелан:

а) ж -оси; б) правој у = —х + 3.

481. О дредити вредност парам етра к тако да граф ик функције у =

{к — 1)д — {к + 1) буде паралелан граф ику ф ункције у = 2 х + 5. Задобијену вредност к конструисати граф ик ф ункције.

482. О дредити једначину праве која је паралелна правој р и садрж итачку А :

а) Р : у = —х + 3, А { 1,2); б) р : у = - 2 х + 5, Л (- 1 ,3 ) ;

в) Р - У = ^ х + 1, А { 4,2).

483. Д ата је ф ункција у = к х + 4. О дредити к тако да х = 2 буде нула

ове функције и за добијену вредност нацртати граф ик ф ункције.

484. Д а ли су следеће ф ункције опадајуће или растуће:

а ) у = - ж + 4; б ) у = 2х + 2; ) у = - З - 5 ;

г) у = 5х = 7; д) Зж - А у + 11 = 0; ђ) 2х + 2у + 3 = 0;

е) х —З у = 0; ж ) —х —4у + 1 = 0 ?



6. Л ин еарна функција 61

485 . О дредити све вредности парам етра т за које ће дата ф ункција битирастућа:

а) Ј/= (2ш —4)а: —3; б) у = (— 7т + 5) х + ш ;

в) У = (—Згте - 11)а; + 2т + 3; г) (5 - гте)а: - 2у + 4 = 0;

д) (2гге - 7)х + З у —1 = 0.

486. За које вредности парам етра је ф ункција растућа, а за којеоп адајућа:

. 2 1 _ па ) = о — ~ + ; ) = — + х - р + з ?

° Р — I

48 7. Н ацртати граф ике ф ункција:

а) у = 2х - 4 ; б) у = - З х + - ;5

в) У = ~ х + 1; г) у — —2х — —,3

и пом оћу њ их одредити вредности пром енљ иве х за које је ф ункција

позитивна и вредности пром енљ иве за које је ф ункција негативна.

488. И спитати граф ички да ли следеће три једначине им ају заједничкореш ењ е:

а) х - 2у = 0, х + у = 3, За: + 2у = 8;

б) х + у = 3, х —у = 1, 2х — у = 6. Ч'

48 9. О дредити вредност парам етра т тако да граф ик ф ункције садрж икоординатни почетак:

а) у = З х —т \ б) у = (т - 1)х + 2т - 1;

в) у = т х —- т + 1; г) 2х - З у + т + 1 = 0;

д) ( т - 2)х - (1т_х) + \ т +1=°'Н ацртати затим граф ике ових ф ункција за добијене вредности парам е-тра гте.

490. П рава у — к х + 3 садрж и тачку М ( — 2, 5). Д а ли та права садрж ии тачке Д (1,2) и В ( 7,6)?

49 1. Граф ик ф ункције у = —2х + 4 одређује са координатним осам а

у првом квадранту координатног система један троугао. И зрачунатиповрш ину тог троугла.




49 2. Граф ик ф ункдије у = —х + 2 образује са координатним осам а

троугао. О дредити површ ину тог троугла ако је јединична дуж једнака

1 с т .

49 3. Н аћи једначину праве која садрж и тачку В (0 ,6) и са позитивним

деловим а координатних оса гради троугао површ ине 9.

6.2. Л И Н Е А Р Н А Ф У Н Ц И Ј А - С И С Т Е М А Т И З А Ц И Ј А

494. Тачка А ( 1, 2) припада граф ику ф ункције т х —2х = у —т . О дредитит и написати ф ункцију у експлицитном облику.

495. Д ата је ф ункција у = (Зто —8)д + 4. О дредити т тако да је х = —2нула ф ункције.

496. Д ате су ф ункције:

Б ез цртањ а граф ика одредити координате тачке у којој граф ик сече у -осу.

а) у — —2х + 1; б) у = З х + ^ ;

в) З х + 2у + 6 = 0; г) —4д + 5у — 1 = 0.

497. У ф ункцији у = (26— 1 )х + ( — одредити 6 е К тако да граф ик

сече у -осу у тачки —8.

498 . О дредити т ( т Е К ) тако да функције:

буду опадајуће.

499. Д ате су ф ункције:

а) у = Зх —6;

О дредити за које х је у < 0, у

б) 2х — 4у + 8 = 0.

0, односно у > 0.

500. Д опуни реченицу:

Граф ици две линеарне ф ункције су паралелни ако су имједнаки.



6. Л инеарна ф ункција 63

501. Д ате су функције:

а) у = 2х + 5 ;

в) у = 2х - 3;

б) у = - х + 8;

ж + у —3 = 0.

К оје функције им ају паралелне граф ике?

502. Д ате је скуп ф ункција

у — (к - 2)* — (к —1), /с е К .

О дредити А: тако да граф ик одговарајуће ф ункције буде паралелан граф и-ку ф ункције:

са координатним осам а.

504. О дредити површ ину троугла којег образују гг-оса и граф ици функ-ција:

505. О дредити површ ину троугла којег образују у -оса и граф ици функ-ција у = —2х — 1 ж у + З х — 2.

50 6. Д ата је линеарна ф ункција у — (4т - 6) х - (3ш —2). О дредити т тако да:

а) нула ф ункције буде х = 2;

б) граф ик дате функције буде паралелан граф ику ф ункције у = 10ж + 1;

в) тачка М { 3,2) припада граф ику дате ф ункције.

507. а) К ако гласе једначине координатних оса?

б) О дредити а тако да права 3х + а у = 12 гради са осам а троугаоповрш ине 6.

508. Л инеарна ф ункција у = Ј {х ) дата је са: /(1 ) = —2, /(0 ) = —1.И зразити ову ф ункцију ф орм улом /(ж ) = к х + п .

50 9. О дредити линеарну ф ункцију у = к х + п тако да тачке А { 2, -1) и

В { 3,1) припадају њ еном граф ику.51 0. О дредити координате пресечне тачке праве у = х — 1 и сим етраледругог и четвртог квадранта.

а) у = 2х - 6; б) у = - З х + 8; в) 5ж - 5у + 10 = 0.503. О дредити површ ину троугла којег гради граф ик ф ункције





511. И зразити ф орм улом ј ( х ) = к х + п ф ункције задате граф ицим а са

слике.512. Д ата је права 5х + 2у = 9. О дредити непознату координату тачке

ако та тачка припада датој правој:

а) А (1, у ) ; б) В ( х о,3); в) С ( 1/5 ,у 0).

513. О дредити вредност реалног парам етра 6 тако да права х + В у = 1

садрж и пресечну тачку правих 2х —у = —6 и х + у = 0.

514. О дредити вредност парам етра т тако да тачка Л (1,3) припада

граф ику ф ункције у = ( т — 1)х — 4та + 1 и за тако добијену вредност таконструи сати граф ик ф ункције.

515. Д ата је ф ункција Ј ( х ) = 2х + 1. Н ацртати граф ике ф ункција

У = / . У = / , У = /(2 ), 2/ = /( /( )) .

516. Д ата је ф ункција у = + ̂ ј х + 1 — 2а .

а) О дредити вредност парам етра а тако да тачка А ( — 4,6) припада

граф ику ф ункције.

б) И зрачунати површ ину троугла који граф ик гради са координатним

осам а за добијену вредност а .

51 7. Д ата је ф ункција ј ( х ) = Зх —1. О дредити х ако је:

а ) / ( х ) = 2; б ) / ( х ) = 3; в ) / ( х ) = 0;

г) ! ( х ) = /(2 х + 1); д ) / ( / ( х ) ) = 5; ђ ) / ( х ) = х .

5

51 8. Д ата је ф ункција у = ( т — 1)х —то + - , та 6 К . О дредитивредност парам етра та тако да граф ик ф ункције сече О у -осу у тачки

чија је ордината —2. За добијену вредност парам етра нацртати граф ик

ф ункције.



6. Л ин еарна функциј,65

519. И зрачунати / (ж ) , а затим нацртати граф ик ф ункције у = / ( х ) ако

а) / ( х - 1) = 2х - 3; б) / ( 2 х - 1 ) = х ;


а) У = И ; б) у = \х \ + 1;

г) У = 3 - \ х \ ; д) у = х - \ х \ ;

е) У = ж ) у = х +

в ) К \ х + 2) = х + 1 .

в) у = \ х - 1|;

ђ) У = х + \х \;

6.3. Д О Д А Т А К У З Г Л А В У V I

521. И зрачунати површ ину петоугла ограниченог правим х —у + 1 = 0,ж + у - 8 = 0 и ж - 2 у - 2 = 0 и координатним осам а (у I квадранту).

522. И зрачунати површ ину ф игуре коју ограничавају праве у = х - 4 иУ 2х + 2 = 0 са координатним осам а (у IV квадранту).

523. И зрачунати површ ину четвороугла ограниченог граф ицим а ф ункци-

Ја У = - 2 ж + 2 и у = - - ж + 3 и координатним осам а (у првом квадранту).

524. И зрачунати површ ину троугла одређеног граф ицим а ф ункција у = х + 1 и у = —х + 2 и осом О х .

525. О дредити једначине двеју правих које садрж е тачку Т ( 3, 4) акоједна од њ их садрж и координатни почетак и са ж -осом граде троугаоповрш ине 14.

52 6. Н аћи све тачке у равни х О у за које важ и:

а) У + \у \ = х + \ х \ ; б) у - |у| = х - \х \; в) у - \у \ = х + |ж |;

г) \х \ + 3 = \у + 3 |; д) \у \ —2 = \х - 2\ .

527. Н аћи скуп тачака у координатном систем у х О у за чије координатеваж и:

а) \х + у \ = 1 ; б) ^ + М = 2-х У

в) х + \х \ + у + |у| = 16; г) |х| + |ј/| = 1;

д ) | ® - 2 / | < 2 ; ђ ) к + у | < 1 ; е) \х - 1| + \у \ < 2.

528. Н ацртати граф ике ф ункција: ) У = л/4х2 - 4х + 1; б) у = К ^ + б х + х 2 ;

в) У = ' Ј х 2 - 2 х + 1 + х/х2 + 2х + 1.





а) }{х ) = ^(|ш - 2| + |х + 2 | ) ; б) / (х) = ^( |х - 1 \ + \ х + 1 | ) ;

в) / (х) = |3х - 1| + |х - 4| - 2 |2х - 1 | .

X Т" V

530. а) А ко је х Д у = —- — , наћи 8 Д (3 Д 5).

х уб) А ко је х * у = — , наћи 7 * (4 * 3).

531. У равни х у нацртати скуп тачака за чије координате важ и:

а) т т ( х , у ) = 1; б) тах( х ,у) = 1; в) тах (|х |, |у |) = 1.532. Н ацртати графике ф ункција:

а) у = \х - 2|;

в) у = |х —1| + 1;

б) у = |х + 1|;

г) у = | |х | - 1 |.



7. ГРА Ф И Ч К О П РЕ Д С Т А В Љ А Њ ЕС ТА ТИ С ТИ Ч К И Х П О Д А ТА К А

Х е а к л т

53 3. Н а граф ику (слика) приказан је број продатих пари ципела у једнојпродавници у току једне седм ице.

а) К олико је укупно продато пари м уш ких, а колико ж енских ципела у токуте седм ице?

б) К олико пари ж енских ципела виш е него м уш ких је продато у суботу?

в) К ог дана је разлика изм еђу броја продатих пари м уш ких и ж енскихципела највећа?

г) О дредити средњ у вредност и м едијану броја продатих ж енских ципела.

ЛјЧ дк 40--

4 --

2 --

П У С Ч П Сдан у недељ и


П У С Ч П


1 Х ераклит из Еф еса (око 500. п.н.е.), старогрчки ф илозоф




534. Н а стубичастом дијаграм у на слици представљ ен је број продатихаутом обила у једном салону.

а) П опунити одговарајућу таблицу.

дан пон уто сре чет пет

број

продатих

аутом обила

б) О дредити средњ у вредност и м едијану броја продатих ципела.

535. У таблици је дат број одличних ученика у ш ест одељ ењ а осм огразреда једне ш коле.

одељ ењ е У Ш х VIII2 VIII з VIII4 VIII5 6

бројодличних

ученика

4 4 3 11 6 8

а) П редставити ове податке на стубичастом дијаграм у.б) К олика је средњ а вредност броја одличних ученика?

в) О дредити м едијану овог скупа.

536. У таблици је приказан број ученика М атематичке гим назије у Бео-граду у ш колској 2009/10 години.

VII раз. VIII раз. I раз. II раз. III раз. IV раз.

девојке15 8 31 33 33 28

дечаци 34 42 75 70 89 280

а) О дредити просечан број ученика у једном разреду.

б) О дредити м едијану броја девојака, броја дечака и броја ученика поразредим а.

в) П опунити табелу укупног броја ученика по разредим а:

VII раз. VIII раз. I раз. II раз. III раз. IV раз.ученика

г) Н ацртати стубичасти дијаграм броја ученика по разредим а.



7. Граф ичко представљ аљ е података 69

53 7. Н а граф ику (слика) приказано је врем е путовањ а (у м инутим а) одкуће до ш коле за ученике једног одељ ењ а осм ог разреда.

а) К олико им а ученика у овом одељ ењ у?

б) К олико њ их путује до ш коле дуж е од 10 м инута?

11--10--


538. а) С редњ а вредност (аритм етичка средина) десет датих бројева је

-1 0 . А ко је збир ш ест од њ их једнак 100, колика је средњ а вреностпреостала четири броја?

б) С редњ а вредност бројева 5, 10, 15 и је 20. К олика је вредностброја ?

539. Н а стубичастом дијаграм у на слици п риказан је број турнира на

којим а је у периоду 2006-2009. учествовао један тенисер. П риказати бројњ егових учеш ћа на круж ном дијаграм у.

54 0. В исине играча првих петорки кош аркаш ких екипа су:

екипа I: 216 сш , 205 с т , 201 с т , 186 с т , 182 ст;

екипа II: 211 с т , 211 с т , 203 с т , 199 с т , 188 с т .

И зрачун ати просечну висину и грача ове две екипе.

541. У једном одељ ењ у са 32 ученика успех ученика из српског језика им атем атике приказан је таблично:

П редм ет одличан врло добар добар довољ ан недовољ ан

С рпски језик 7 8 10 7 -

М атем атика 6 9 13 5 1

И зрачун ати средњ е оцене из ова два предм ета на две децим але.




542. Н а крају ш колске године А на је им ала 6 петида, две четворке и

4 тројке, а Б ранислав три петице, пет четворки, две тројке и две двојке.

К олике су њ ихове просечне оцене? (О дговор заокруж ити на две децим але.)

543. У једном хотелу у току сезоне број ноћењ а по месецим а је следећи:

јуни - 2310, јули - 3725; август - 4011; септем бар - 2284 и октобар - 518.И зрачунати просечан м есечни број ноћењ а.

544. У ф абрици сатова врш ена су м ерењ а одступањ а пречника осовине

од стандардне величине на 300 часовника (у м икроним а);

одступањ е 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25

број осовина 35 65 120 70 10

Н ацртати дијаграм расподеле одступањ а.

545. Ради планирањ а производњ е ф абрика обуће је на случајан начин

одабрала групу од 20 љ уди и код њ их регистровала бројеве ципела: 39,

40, 44, 42, 43, 39, 41, 41, 44, 45, 42, 43, 42, 42, 40, 44, 43, 42, 40, 43.

Н ацртаи полигон расподеле добијеног узорка.

546 . Ради одрж авањ а и кориш ћењ а ш уме класиф иковано је 12 580 стабалапо старости:

старост 0-5 год. 5-10 год. 10-15 год. 15-20 год. 20-25 год.

број стабала 1220 910 5340 3750 1360

Н ацртати дијаграм добијеног узорка.

547. А нкетирањ ем 30 возача добијене су просечне дневне потрош њ е бен-

зина у литрим а: 2, 5, 3, 4, 1, 7, 12, 9, 6, 11, 11, 6, 5, 1, 2, 3, 7, 7, 10, 14, 3,

2, 5, 7, 4, 11, 8, 7, 5, 1. Н ацртати полигон расподеле за добијени узорак.



8. С И С ТЕМ И Л И Н ЕА РН И Х ЈЕД Н А Ч И Н А

С А Д В Е Н ЕП О ЗН А ТЕ

АЈ а Г г а д , с е е г г а г г п 11о р а с - 1о р о Г е з Г (К а д п р р о д а в о д , н е м о ж е с е н к а к о з а л у т а т п )

Ц ц е р о н

С истем од две линеарне једначине са две непознате х , у чине једна-

чине( а г х + 1>у = с г

\ а 2х + 62У — с 2,

где су а ! , 1>\, с \ , а 2 , 62, с 2 дати реални бројеви (коеф ицијенти

систем а). У ређени пар (ж о,У о) за К0ЈИ СУ тачне обе једнакости

Ј а \Х о + 612/0 = с \

\ а 2х о + ћ 2у о = с 2

зове се реш ењ е систем а.

1° А ко је Д = п \1 2 —а2&1 ф 0 (тј. — ф ~а 2 о 2

реш ењ е (ж , у ) одређено ф орм улам а

систем им а јединствено

_ с \Ј 2 —с2&1 _ а \С 2 — а 2С \

а \(>2 — а 2ђ 1 ’ ^ п \1>2 — а 2 (>1

2° А ко је Д = 0 и бар један од бројева С1&2 — с 2Ђ \ и а \С 2 — а 2с \ је/ . а1 С С1

различит од нуле (т ј. — = — ф — ), систем нем а реш ењ а.а 2 о 2 с 2




3° А ко је А = 0 и - с2&1 = х с 2 - 2с х = 0, м огући су следећи

случајеви:

а) ако је бар један од бројева 2 , &ј , 2 , &2 различит од нуле,

тада систем им а бесконачно много реш ењ а (неодређен је). Н а при-

м ер, ако је г ф 0, реш ењ а су сви парови реалних бројева облика

б) ако је х = &! = 2 = &2 = 0 и бар један од бројева сх, с2 је

различит од нуле, тада систем нем а реш ењ а;

в) ако је г = &1 = 2 = &2 = сх = с2 = 0, тада систем им а

бесконачно м ного реш ењ а (неодређен је) и то је сваки пар ( х , у ) ,

х , у 6 К , њ егово реш ењ е.

Д ва систем а линеарних једначина су еквивалентна ако је свако реш ењ е

првог система реш ењ е и другог система и обратно.

8.1. Е Ш А В А Њ Е С И С Т Е М А Д В Е Л И Н Е А Н Е

Ј Е Д Н А Ч И Н Е С А Д В Е Н Е П О З Н А Т Е

548. Д ата је једначина са две непознате х + у — 3 = 0. О дредити неколико

реш ењ а ове једначине. К олико једначина им а реш ењ а?

549. И спитати да ли је:

55 0. И спитати (не реш авајући их) да ли систем и им ају јединствено

реш ењ е, нем ају реш ењ а или им ају бесконачно много реш ењ а:

а) пар (3,1) реш ењ е система једначина

б) пар (—7,4) реш ењ е система једначина



8. С истеми линеарних једначина 73

551. Д а ли су еквивалентни системи једначина:

а)

б)

в )

5х + 2у = 29

Зу — х = 1 И

' 7х — 6у = 1

11х + у = 12 И

З х — у = 5

~ ( х - 2 ) + 7у = - 7

3(д —5) +2у

= 42ж + у = 12;

За: + 4(у - 1) = 3

х + 2у = 3;

5х — 9у = 6

4(ж - 2) - 3(у - 1) = 4?

М етодом супротних коеф идијената реш ити систем е једначина (задаци 552-

556):

552. а) х + у = - 6 , х - 2у = 24; б) З х - у = 5, -Зж + 7у = 1;

в) 2х + 4у = - 1 , бж + 7у = 2; г) 5ж - З у = 17, 2а: + 3у = 11;

д) 4а: + 5у = 25, 4х + З у = 13.

553. а)' 4х - 5 у = 3 г

З х — 2у = 11; б) (

в) •7 — 26 = 36 —5 Г

. 2( - 6) = 8 + 6; г) {

д)' 0,2х + 0,5у = 2

З х — 2у = -46 ; 5)

554. а)

( х у -------- = 24 5 Г

6 1- + у- = + 1

1 6 + 4 +

' (3(х + 1) + 5(2 /- 2) = 30

2(х + 2) — 3{у —3) = 6;

Г)1(х - 3)(у - 1) = х ( у - 4)

(х - 1)(у + 2) = (х + 15)(у - 6);

6в + 51 = - 7

45 + З̂ = —4;

5х = 2у — 8

2(3у - 20) = 7х;

3 5

4 ' + 6 У = 9

1,3х - 2,1у = 3,62,1ж + 1,3у = 15,2;

)(х + 2) : (х + 5) = (у - 1) : (у + 1)

(2х - 5) : (2у + 2) = (х —4) : (у —1).




555. а)

0

За; —

х - 2 б)+ 41, = 12;

7х + 2

6

7 + 3

6

( ~ 3) = 4

(х + 2) = -3 ;

4ж — 5 + 10 5х —5 + 8 _ -

5х —4 + 4 6х + 2/ —10

= -1

15.

556. а)

б)

4 10

(х + З)2 = (х — 3)(х + 3) + 10г/

\ (У + 5)( - 5) = ( - 5)2 - 10х;

Г (х + 2)2 + ( ~ 2)2 = х 2 + 2

\ (2 - х )2 + ( - I)2 = х 2 + 2;

( (2х - I)2 - 4х 2 = 3

В) \ (З — 2)2 —2х = 9 2.

М етодом зам ене реш ити систем е једначина (задаци 557-5 61):

558. а)

557. а) З х + 2 = 26, &х —З = 3;

в) 2х + = 12, — З х + 6 = —3

д) 2х + = 5, 4х + З = 11.х —2 —3 = 0

= 16 —Зд;

= 2х — 3

4 — З х = 8;

Зд — 2 = 1

\ 2ж —4̂ / = —10;

45 + З = —6

\ 35 - 2* = 4;

бх — З = 3

2д — = 1;

„2

559. а)

б) 5д — 2

= 29, 10д + 132/ = 24;г) 2х —7 = 2, 6д —112/ = 26;

б)

г )

б)

г)

560. а) б)

б)

Ј З х + 5 = 7

\ 6х + 10т/ = 1;

2Зд + атг/ = 10

З х + = 5;

х — = 6 5

х - = 5;

х 2 + б /̂2 — 5х + х — 32/+ 2 = 0

х — 2 = 1.



8. С истеми линеарних једначин а 75

562. П редставити граф ички у координатном систем у х у скуп реш ењ аједначине:

1° П редставити граф ички скупове реш ењ а ових једначина.

2° П оказати да њ ихови граф ици им ају једну заједничку тачку и одре-дити њ ене координате.

564. „Г раф ички“ реш ити систем једначина:

в) 2х — у = 0, З х + у — 5.

565. П редставити граф ички скупове реш ењ а једначина х + у = 1,2х + 2у = —5 у координатном систему х у . П оказати да граф ици тихскупова немају заједничких тачака.

566. Д ати граф ичку интерпретацију реш ењ а следећих систем а једначина:

а) х = 2у + 4, у = | - 2 ; б) 2х - у = 4, у = 2х - 1;

ч 3в) у = - х , х 2у = 1.

5

567. С ледеће систем е једначина „реш ити“ граф ички, а резултат прове-рити заменом:

а) 2х — у + 5 = 0;

в) — З х + у - 1 = 0;

б) | + у - 1 = 0;

г) х + 2у = 0.

563. Д ате су једначине:

а) х + 2у = 3, 2х — у = 1; б) Зж — 2у — 4, х — 2у = 0.

а) 2 х - у = 5, 2х + у = 3-, б) 2д + у = 9, х - у = 0;




Реш ити систем е једначина (задаци 568-569):

. X V X V

568. а) - + - = 2 , --------

= 0;; 2 3 ’ 2 3

б) 6ж + 5у = 2 6х + у = ^

в) х + = 0,6, у - = 0,3;

г) ^ х - | = 4 , 0,5ж —0,2ј/ = 2;

, е - 2 у - 1 2

л ) + - “ 5 - — = 3^

569. а) — + ^ ± 1 = ®, = - 1 -; 2 5 2 ’ 7 2

б)^ + 4 , 2 / — о х + 10у х — 5у 5

+ х + 5у = -3 , +5 + 3 “ ° ;

. 2 у - х + 15 2 х —5 7 - у

2х + у + 19 ~ 3 ’ _ 3 2 + 3гЕ ~ 2У = - ! ;

г ) 1 _ ^ = ^ [2_ 2( _ 7 )_ у ] 1 ^ _ ^ + ; с + 1 8 у = 1;

д) 2х - 2 У + 5 _ 5 у - 6 = 1 ; % + 2 _ 2( ж _ 1) = ^ 2 .

. Зх + 5у - 16 4х —Зу —2 л 5х + 7 у - 14 7х - 5у - 12

2 3 ~ 4 ’ 4 2 = 4 '

570. А ко је ----- ---------------- - ----- = 0 и 0,1х —0,3у = 5, наћи х + у .

571. а) А ко је2у —х =

12 иу

+ 6 = Зх +2у

—7, колико јех + у !

б) А ко је 5х + 2у = 25 и 42 —4х = 6у, колико је Зу + 2x1

в) А ко је 2х + 2у = 6 и З х — у = 5, колико је х + 2у !

572. О дредити вредности т и п за које систем једначина

Ј ( т — 3)х + (гг + 2)г/ = 3

Ј (гг + 2)х — ( т — 1 )у = 1

има реш ењ е

573. За које вредности и д систем једначина 0,2х = и х + у = д им а реш ењ е (5, —7) ?



8. С истеми линеарних једначин а 77

574. Н аћи вредности и д тако да уређени пар ( -2 ,1 ) буде реш ењ есистем а једначина:

а) х + 2у = , 2х + З у — д-, б) х - у = , х + у = 2д;

в) 2х - З у = - + д , х + \ у = 2 + 4д ;

г) 4х + 7у = - д , -2,х - 2 у = 2ч - .

575. Д ат је систем једначина

а) О дредити вредност парам етра к тако да уређени пар (2,2) буде

реш ењ е систем а.б) За нађену вредност к граф ички представити обе ф ункције (*).

576. Збир два броја је 54, а разлика 20. К оји су то бројеви?

578. Збир два броја је 168, а њ ихов количник је 6. К оји су то бројеви?

579. Н аћи два броја чији су разлика, а исто тако и количник једнаки 3.

58 0. Збир два броја је 42. А ко се већи подели м ањ им , добија се количник3 и остатак 2. К оји су то бројеви?

581. А ко се неки број подели другим , добија се количник 2 и остатак 2;

ако се њ ихов збир подели њ иховом разликом , добија се количник 2 иостатак 8. К оји су то бројеви?

58 2. Збир циф ара једног двоциф реног броја је 13. Разлика изм еђу тог

броја и броја који се добије кад м у циф ре замене места је 27. К оји је то

број?

583. Један бројје за 166 већи од другог. А ко се већи бројподели м ањ им ,добија се количник 2 и остатак 16. К оји су то бројеви?

584. О дредити дуж ину краће основице једнакокраког трапеза ако је онаједнака краку, обим трапеза је 38 сш , а средњ а дуж 11 с т .

585. Збир катета правоуглог троугла је 20 с т . А ко се дуж а катета

продуж и за 4 ст , а краћа скрати за 2 ст , површ ина троугла се не м ењ а.К олике су дуж ине катета?

58 6. О бим једнакокраког троугла је 54 сш , а основица се односи премакраку као 5 : 1 1 . Н аћи дуж ине страница троугла.

2х + г / - 6 = 0, х - 2 у - к - 1 = 0 .(*)

577. П оловина зби ра два броја је — К оји су то бројеви?

1

2 ’а половина њ ихове разлике је - .




587. О бим и двају квадрата разликују се за 8 с т, а површ ине за 16 с т 2 .

К олике су странице тих квадрата?

588. О бим једног правоугаоника је 56 с т . И зрачунати дуж ине страница

ако је познато да је њ ихов однос 4 : 3 .

589. С редњ а линија трапеза је три пута дуж а од једне основице и 12 сш

краћа од друге. И зрачунати дуж ине основица.

590. У трапезу А В Б средњ а дуж је 10,5 с т . П рава кроз тачку О ,

паралелна краку В , сече основицу А В у тачки Е тако да је А Е = 3 ст .

О дредити дуж ине основица трапеза.

591. А ко се два круга додирују спољ а, њ ихово централно одстојањ е је8 ст, а ако се додирују изнутра - З с т . Н аћи полупречнике тих кругова.

592. Ц ентри трију кругова, од којих се свака два додирују спољ а, су

тем ена троугла А В . Н аћи дуж ине полупречника тих кругова ако су

странице троугла А В : 7 с т , 8 с т и 1 1 ст.

593. И зрачунати дуж ине ивица квадра ако су обим и три њ егове стране,

које им ају заједничко тем е, 16 с т , 20 с т и 24 с т .

59 4. О дредити сваки од два суплем ентна угла ако је један од њ их:а) три и по пута већи од другог;

б) за 30° м ањ и од другог;

в) за 20% м ањ и од другог.

8.2. Е Ш А В А Њ Е С И С Т Е М А Д В Е Л И Н Е А Н Е

Ј Е Д Н А Ч И Н Е С А Д В Е Н Е П О З Н А Т Е

- С И С Т Е М А Т И З А Ц И Ј А

595. Д ата је једначина х + у = 2.

а) П роверити да ли су следећи уређени парови реш ењ а ове једначине:

(1,1), (2 ,0), (3 ,-1), (3 ,1), (-2 ,4), (-5,6), (10,8);

б) колико реш ењ а им а дата једначина?

в) Н ацртати граф ик скупа реш ењ а дате једначине у координатном си-

стему х О у .

Реш ити систем е једначина (задаци 596-6 00):

596. а) \/2ж + у / З у = 5, 5л /2 х - 2 л Д у = 4;

б) х/Зд: + 2л /2у = 3 \/б , \ /2ж + \ /Зу = 5;

в) х — у у / 2 = —2, у — х = 1; г) ж л/5 —5у = у /5, х — у \ / 5 = 5.




597. а )20 —(8 — 36) = 56 —( а + 6 —3)

12 - ( а + 6 + 2) = 42 - (9а - 46 + 7);

(ж + 3)( / + 5) = ( х + 1.)(у + 8)

( 2 х — 3)(5 / + 7) = 2(5х —6)(у + 1);

1 (ж + 1 ) - У ± 2 = 2(ж _ у)

б)

- ( ~2>) = 2 у - х .

1 : 2 = 0 + 1) : (9 + 4)

1 : 3 = ( р - 1 ) : ( д + 2);

Ј (9 + З р + 2д ) : (1 + + З д ) = 4 : 3

Ј (2 + 2 — Зд) : (3 + — 2д ) = 3 : 2 .

Г + 3 8 — Г

{ х - 1) : ( у + 2) = 1 : 2

У : х = 4 : 3;

599. а )

б )

в ) <

2 у —12 , - Ј ^ = 5

2ж - 1 5

~ + 2 у - з = 0 ;

х + у _ у ~ х _

2 4

а: + у х — у

4 2

о + 6 + 1 2а —36

3 6

2а —6 —4

1,5 = 0;

3

6= 6.

600. а )(х + 2){ у —3) = х у + 10

ч (х ~ 1){У + 2) = (5 - х ) ( 2 - у ) ;

( х - 2)2 - ж (ж + у ) = у ( 1 - ж ) —5

(1 - )(1 + у ) = 2х - у 2 - 2 ( х +1




)

г)

( З у - (х + 2 ) ( у - 1) = - х у

{ (х + 2)2 - (2

у + I )2

= ( х - 2

у ) (х + 2

у ) - 13;

( ( х + 3)(у - 1) - (1 + х ) ( у + 1) = 6

| 2х ( х —1) — 2(х + I) 2 = 5у + 6.

601. Д а ли је реш ењ е система једначина:

а) З х —5у = —2, —З х + 2у = —1 и реш ењ е једначине 7х —6у = 1;

б) З х + 4у = —4, 2х —у = 1 и реш ењ е једначине х + у = 1 ?

Реш ити систем једначина (задаци 602-603):

602. а) 2х + З у = 5, х — у = 2, х + 4у = г -

б) — 2х + 5у = 5 , х + у = 2 г , х + 15у = 1.

603. а) 15х + 10у + 8г = 164, х + у + г = 16, г = 2у \

б) х + у + г = 2, 2у + З г = 5, З г — 9 = 0;

в) 2'х —З у + 6г = 12, 5х —7у = 0, Х + ~ = 4.

У вођењ ем нових непознатих реш ити систем једначина (задаци 604-6 05):

.

2

1

8

2604 . а ) ------------------ = 0,--------

+ --------

= 1; + у —у + у х —у

б) 27 32 _ 45 _ 48 _ _

2х — у х + 3у ’ 2х —у х + З у

1+

1

х —у + 2 х + у — 1 10 х —у + 2 1 —х —у

1

10

605.. 3 5 _ 5 3

б)1 1 4 5

а) - + - = 16, - - - = 4; -- 21, Н— — X У X У X У X У

, 5 2 1 4 18 9= 1,

20 6в - — = - 1 , - + ■=—— 1; г) — Н— : + - =

X У X 5у X У X У

606. О дредити коеф ицијенте и д квадратног трином а а (х ) = х 2 + х + д

ако је:

а) а(0) = 7, а(1) = 5; б) а(1) = - 2 , а(2) = 3;

в) а(—1) = 14, а(3) = 14.

607. О дредити вредност парам етра тако да уређени пар ( , 1) буде

реш ењ е једначине:а) З х - 2у - 1 = 0;

в )7х —2 у

— ;— + ~

б) — 2х + 6т/ —3 = 0;

4 5



8. С истеми линеарних једначин а81

60 8. Д оказати да следећева:

једначине нем ају реш ењ а у скупу целих броје-

а) 12х - 38у = 7; б) 6 х - 1 4 у = 15; в) З х + 9у = 34.

ћ ?9 П 3а 4Х ~ З У = 5 0дредити х° и У о так° Да У Ређени парови(+о,-1ђ и (4, т/о) буду реш ењ а ове једначине.

61 0. У једначинама:

а) З х + у = 1; 2б) - Д - г / = 5;

. х у

. + + ! = г , с 3г) —5х + - у = 12,

изразити променљ иву х у зависности од променљ иве у и променљ иву у узависности од пром енљ иве х .

Н ека је (х 0, у 0) реш ењ е система једначина

х + = т + 1, 3 —у = —771+ 8.

О дредити т тако да буде х 0 = 2у 0 .

612. О дредити полином р (х ) = а х + 6 ако је:

а) р (0) = 3, р ( 1) = 4; б) р(1) = 2, р (2) = 0; в) р(3) = 10, р (6) = 9.

613. О бим п аралелограм а чије су дуж ине страница природни бројевиЈеднак је 18. К олике су дуж ине страница тог паралелограм а?

614. У зависности од реалних парам етара т р одредити природуреш ењ а систем а једначина:

т х + А у = 3

б)

Г т х + 4у = 3

5 х ~ 2 у = р ; \ х + у = -

т х + 4у = - 8г) <

( З х ~ 5у = 2

х + у = ~ 2;1 ж - 2 = ;

2х + З у = р —1

ђ) ■( З х — 5у = 2

т х + 9у = 2;) \ х - 2 у = р .

615. Збир циф ара једног двоциф реног броја је 14. А ко се циф рам а зам енем еста, добија се број за 18 већи од полазног. К оји је то број?

616. Збир циф ара једног двоциф реног броја је 9. А ко изм еђу циф ара

тог броја напиш ем о нулу и добијени број поделим о полазним , добијам околичник 9 и остатак 18. К оји је то број?




617. А ко се један двоциф рени број увећа за осмоструку вредност циф ре

јединица, добија се 77. А ко се исти број ум ањ и за 18, добија се број

састављ ен од истих циф ара. али написаних обрнутим редом . К оји је то

број?

618. К ада се један двоциф рени број подели збиром својих циф ара, добије

се количник 4 и остатак 3, а када се тај број сабере са збиром својих

циф ара, добија се 28. К оји је то број?

619. А ко се један двоциф рени број подели збиром својих циф ара, добија

се количник 5 и остатак 1. А ко се том броју дода 9, добија се број написан

истим циф рам а, али обрнутим редом . О дредити тај број.

620. Збир циф ара једног двоциф реног броја је 9. А ко м у избриш ем о

циф ру десетица, добија се број ш ест пута м ањ и од полазног. К оји је то

двоциф рени број?

62 1. А нтикварница је купила два предм ета за 225 динара и продала их

са 40% зараде. К олико је антикварница платила сваки од предм ета ако је

зарада на првом 25%, а на другом 50% ?

622. 10% једног броја и 20% другог броја дају 62,4, док 20% првог и

10% другог броја дају 69. Н аћи те бројеве.

623. Збир два броја је 88. Н аћи те бројеве ако је један од њ их за 20%

већи од другог.

624. Т ри десетине од једног ком ада платна једнако је половини другог

ком ада, а — другог ком ада једнако је првом ком аду скраћеном за 2 т .5

К олико м етара им а сваки од та два ком ада платна?

625. И з града у 12 ћ кренуо је воз. У 14 ћ у истом см еру креће другивоз и стиж е први у 20 ћ . Н аћи средњ е брзине оба воза ако је збир њ ихових

средњ их брзина 7 0 к т/ћ .

626. П ловећи узводно брод пређе 63 к т за 5 сати, а пловећи низ реку

брод пређе исти пут за 3 сата. К ојом се брзином креће брод у м ирној

води и која је брзина речног тока?

62 7. К ад лети низ ветар, један авион пређе за два часа 1260 к т , а кад

лети уз ветар, пређе за три часа 1710 к т . И зрачун ати бризну авиона у

м ирном ваздуху и брзину ветра.

628. Разли ка два броја је 7, а разлика њ ихових квадрата је 385. К оји су

то бројеви?




629 . Јоца се хвали: „У левом и у десном џепу им ам укупно 350 динара.

А ко из десног џепа пребацим у леви онолико динара колико их је било у

левом , онда ћу у десном им ати 30 дин ара виш е него у левом џепу. “ К оликоновца Јоца им а у сваком џепу?

630 . С андук пун дуката им а м асу 100 к§ , а сандук са петином укупне

количине дуката им а м асу 32 к§ . К олико килограм а дуката стане у сандук?

631. М илан и Н икола су се опкладили у 12 динара. А ко добије М илан,

им аће три пута виш е новцаод Н иколе, а ако добије Н икола, им аће двапута м ањ е новца од М илана. К олико сваки од њ их им а новаца?

63 2. Разговарају А на и М арија.

А на: „М арија, дај м и 5 оловака, па ћу их им ати два пута виш е од тебе.“

М арија: „А на, дај м и 5 оловака, па ћу их им ати три пута виш е од тебе.“

К олико оловака укупно им ају А на и М арија?

63 3. М илица м ож е да окречи своју собу за 6 часова. А ко би радила

заједно са С оњ ом , собу би окречиле за 3 часа и 20 минута. За које врем еби С оњ а сам а окречила М иличину собу?

634. Д ва радника м огу да заврш е неки посао за 12 дана. П осле заједнич-ког рада од 5 дана, један радник је напустио посао, па је други продуж ио

Д а РаДи сам и заврш ио посао за наредних 17,5 дана. За колико дана бипосао заврш ио сваки од тих радника радећи сам?

635. Јована и И вана су заједно им але 713 динара и реш иле су да учеш ћем4

по пола купе једну књ игу. Јована је за књ игу дала - свог новца, а И вана о

— свог новца. К олико кош та књ ига и колико новца су им але Јована и

И вана?

63 6. Д еда ж ели да известан број јабука подели својим унуцима. А ко

сваком унуку да по 5 јабука, преостају м у 3 јабуке, а ако би сваком хтео

да да по 6 јабука, једна јабука би м у недостајала. К олико им а унука, аколико јабука?

637. Д ва ученика им ају заједно 444 динара. К ада би први им ао 14 пута

виш е, а други 12 пута виш е, им али би 6086 динара. К олико динара им асвако од њ их?

638. У једној породици сваки син им а исто толико б раће колико и сестара,

а свака кћи им а два пута виш е браће него сестара. К олико им а деце у тојпородици?




63 9. М аја је ш ест година м лађа од П етра. К роз седам година М аја ће3

им ати - П етрових година. К олико година им а П етар?

640. А лександар и Б рани слав им ају заједно 59 динара, Брани слав и

В ладим ир заједно им ају 55 динара, а В ладим ир и А лександар заједно

им ају 51 динар. К олико новца им а свако од њ их?

641. Б азен се пуни кроз две цеви. А ко је прва отворена 5, а друга 8

м инута, у базен уђе 3401 воде. А ко је, пак, прва отворена 8, а друга 5

м инута, онда у базен уђе 3101 воде. К олико литара воде у м инуту даје

свака цев посебно?

642. У два базена им а укупно 1000 т 3 воде. А ко се из једног базена

прелије ш естина њ егове воде у други базен, онда оба базена садрж е једнаке

количине воде. И зрачунати првобитну количину воде у сваком од базена.

643 . Д ва суда, запремине 1441 и 701, садрж е извесну количину воде.

А ко се већи суд допуни из м ањ ег, у м ањ ем ће остати 11 воде. А ко се, пак,

м ањ и суд допуни из већег, тада у већем остаке — првобитне количине

воде. К олико воде им а у сваком суду?

8.3. Д О Д А Т А К У З Г Л А В У V II I

64 4. Реш ити систем е једначина:

») = 1 Ј х ’ З + х 3 V 4

3 1 +2х

* + ! ! ! 2]

у —х + 12х + у + 4

Зт + 4у —2 4 ’ ж + З

(х + 4)2 - (у ~ 2)2

Зд ~ 2у х + 2у =

2 + у 2 + у3 2у + 1 __ у + 5 _

ж + 3 ’

1, х — 2у = 6.

■ 2’

х 2 —у 2 + 10

645 . А ко су и 6 дати реални бројеви, реш ити систем једначина:

а) х + у — 2 — 6, Зж — 2у = + 26;

б) 4ж —5у = —11 + 256, З х + 2у = 9 + 136;х —6 у —. х —а г/ —6

0 2 1 3 = 3 ' 2

г) х + у = 5а + 36, З х — у = За —76.

6;




646 . И зразити пром енљ иву х у зависности од пром енљ иве к из једначинек {х — к ) = х + 7. Затим наћи све целобројне вредности парам етра к закоје је х природан број.

647. Реш ити систем е једначина:

а) 2х - у + г = 2, З х + 2у + 2г = - 2 , х - 2 у + г = 1 ;

б) х + 2у + 3х = 5, 2х — у — г = 1, х + 3у + 4.г = 6;

в) а; + 5 у - 4 г + 5 = 0, 2х - Зу + * - 2 = 0, 4х + у - З г + 4 = 0.

648. Реш ити систем једначина:

а) у —2|ж( + 3 = 0, |у| + ж —3 = 0;

б) |2ж —11—а/ = 2, х - | 4 - у | = -1 ;в) |х| + у = 2, ж + | | = 0.

649. О дредити све природне бројеве т п такве да је:

а) т 2 —п2 = 24; б ) ш 2 - п 2 = 105.

650. У ченик је у току 19 дана реш ио 73 задатка. С ваког од првих 11 данареш ио је по х задатака, а сваког од наредних дана по у задатака. Н аћи

X и у .

651. Н аћи целобројна реш ењ а једначине х 2 + 2х у - 3у 2 = 1.

652. а) Ч овек, рођен у XX веку, пуни 1999. године онолико година коликије збир циф ара њ егове године рођењ а. К оје је године рођен?

б) 1876. године Н икола Т есла је напунио онолико година колики је збирциф ара њ егове године рођењ а. К оје године је рођен Н икола Т есла?

653. А ко се у једном троциф реном броју зам ене м еста прве и последњ ециф ре, добија се број за 99 мањ и од полазног. Н аћи тај троциф рени бројако је познато да је збир њ егових циф ара једнак 10 и да је средњ а циф раза 8 мањ а од збира прве и последњ е.

654. А ко је /(ж ) + 2 / = х {х ф 0), одредити ј { х ) .

655. Н аћи најм ањ у вредност израза г = х 2 + 2х у + З у 2 + 2х + 6у + 4.

65 6. Н аћи целобројна реш ењ а једначине:

а) х 2 + 4х = у 2 + 44; б) х 2 + 2х = у 2 + 4.

657. И з м еста А и В истоврем ено полазе два аутом обила један другомУ сусрет. П осле сусрета аутом обил који је пош ао из А продуж ава за В

и стиж е за 2ћ , а аутом обил који је пош ао из В стиж е у 4 —ћ после8

сусрета. О дредити брзине аутом обила ако је удаљ еност м еста А и В 210 к .




658. П о круж ној стази дуж ине 360 к т крећу се два м отодикла. Један од

њ их прелази 4 т / з виш е од другог и због тога обиђе целу стазу за једансекунд брж е. К олико м етара у секунди прелази сваки од њ их?

659. Ч етрдесет крава попасе једну ливаду за 50 дана. И сту ливаду попасе

60 крава за 30 дана. К олико ће дана дату ливаду пасти 20 крава? К олико

крава м ож е да пасе на ливади 75 дана? (Задатак И сака Н јутна)

660. П оврш ине два круга разликују се за 7 с ш 2 , а њ ихови обими за

27гст. И зрачунати полупречнике ових кругова.

661. М илан са сином и Зоран са сином су били у риболову. М илан је

уловио три пута виш е риба него њ егов син, а Зоран је уловио пет пута виш ериба него њ егов син. С ви заједно су уловили 63 рибе (свако је уловио цео

број риба). К олико риба је уловио најм лађи члан овог друш тва?

662. Д иректор једне гим назије обавестио је заинтересоване новинаре да

је уписано осам одељ ењ а ученика I разреда. У првом , другом и трећем

одељ ењ у уписано је укупно 96 ученика, у другом , трећем и четвртом -

98, у трећем , четвртом и петом - 98, у четвртом , петом и ш естом - 95, у

петом, ш естом и седмом - 93, у ш естом , седмом и осм ом —97, у седмом,

осм ом и првом - 99 и у осмом, првом и другом - 98 ученика. К олико је

ученика уписано у свако одељ ењ е?

663. А ко две цеви истоврем ено пуне један базен, напуниће га за 15 ћ.

А ко прва цев пуни базен само 6 ћ , другој треба 30 ћ да би допунила базен

до краја. К олико је часова потребно свакој цеви посебно да напуни базен?

664. Д ва радника, радећи заједно, заврш е неки посао за пет дана. А ко

би први радник радио два пута брж е, а други два пута спорије, посао

би заврш или за четири дана. За колико би дана цео посао заврш ио први

радник радећи сам?



9. В А Љ А К

N 07г з с ћ о 1а е , з с Л у И а е з г - т з (Н е у ч м о з а ш к о л у , в е ћ з а ж в о т )

С е н е к а 1

В а љ а к

п — т 7г ; 1М = 2г т т Н - 1

Р = 2г ж (г + Н ); ! н

V = г 2т т Н . 11---1--- - __

Ј е д н а к о с т р а н ч н в а љ а к

У справни ваљ ак чија је висинаједнака пречнику базе називасе једнакостранични ваљ ак.

9.1. П О В Р Ш И Н А И З А П Р Е М И Н А В А Љ А

665. П оврш ина основе ваљ ка је 367Г с т 2 , а површ ина њ еговог ом отача је9б7г с т 2 . К олика је површ ина тог ваљ ка?

666. Н аћи површ ину и запрем ину ваљ ка ако је:

а) г = 4 с т , Н = 6 с т ; б) г = 5 с т , Н = 4 с т ;

в) г = т /3 с т , Н = 2 с т ;

г) г = (1 + у /2) с т , Н = (2 — л /2) с т .

667. О бим основе ваљ ка је 127гс1т, а висина Н = 1,6 т . И зрачунатиповрш ину и запрем ину овог ваљ ка.

1 Е А . Зепеса (4. п.н.е.—65. н.е.), рим ски филозоф и држ авник




668. А ко је површ ина ваљ ка Р = 487гст2 , а површ ина њ еговог ом отача

М = 307Г с т 2 , израчунати: а) висину; б) запрем ину ваљ ка.

669. П оврш ина ваљ ка је 1307гст2 , а полупречник њ егове основе је г =5 ст. И зрачунати запрем ину тог ваљ ка.

670. Запрем ина правог ваљ ка је 2407гст3 , а њ егова висина Н = 15 ст .

О дредити: а) пречник основе; б) површ ину овог ваљ ка.

671. Запрем ина ваљ ка је 10007Гст3 , ањ егова висина 10 ст . И зрачунати:

а) пречник основе; б) површ ину ваљ ка.

672. О бим основе ваљ ка је 107гст. К олика је површ ина ваљ ка ако јењ егова висина:

а) три пута већа од полупречника основе;

б) за 3 с т већа од полупречника основе.

673. П оврш ина основе ваљ ка је 1б7гст2. К олика је запрем ина ваљ ка ако

је површ ина њ еговог ом отача једнака збиру површ ина њ егових основа?

674. П равоугаоник страница = З с т и 6 = 4 с т ротира око краћестранице. И зрачунати површ ину и запрем ину добијеног тела.

675. И зрачунати дуж ину висине ваљ ка ако су дати полупречник основеи површ ина ваљ ка:

:а) г = 2 с т , Р = 327Г с т 2 ; @ г = 3 с т , Р = 42д с т 2 .

676. Н аћи површ ину осног пресека ваљ ка који настаје ротацијом :

а) квадрата око странице дуж ине 4 с т ;

б) правоугаоника страница З с т и б с т око: 1° краће; 2° дуж е стра-нице.

677. Ротацијом једног правоугаоника око њ егове странице настаје ваљ ак.

А ко је површ ина осног пресека тог ваљ ка 30 с т 2 , колика је површ инаправоугаоника?

678. П олупречник основе ваљ ка је 20 с т , а висина 30 с т . И зрачунатидуж ину дијагонале осног пресека тог ваљ ка.

679. О дредити дуж ину висине ваљ ка полупречника основе 10 сш ако јеповрш ина осног пресека ваљ ка једнака површ ини основе.

680. Л ист папира квадратног облика, ивице а с т , савијен је у ом отачваљ ка. К олика је запрем ина тог ваљ ка ако је:

а) = 12 ст ; б) = 4 ст ?



9. В аљ ак 89

681. Н аћи однос површ ина ом отача и осног пресека ваљ ка.

682. П оврш ина ваљ ка је 1127г с т 2 , а однос полупречника основе и висиневаљ ка 2 : 5 . И зрачунати површ ину ом отача и запрем ину ваљ ка.

683. Н ацртати м реж у ваљ ка ако је површ ина њ егове основе 1б7гст2 , ањ егова запрем ина 1127гст3.

684. К олико литара воде м ож е да прим и цев са унутраш њ им пречником40 с т , а дуж ине 6 т ?

685. В исина ваљ ка је 5 ст. К ада се њ егов ом отач развије у правоуга-

оник, дијагонала тог правоугаоника је 13 с т . И зрачунати површ ину изапрем ину ваљ ка.

686. О сни пресек ваљ ка је квадрат површ ине 144 с т 2 . К олика је повр-ш ина, а колика запрем ина ваљ ка?

687. Д ва ваљ ка једнаких висина им ају полупречнике основа такве да јеједан два пута већи од другог. Н аћи однос запрем ина ова два тела.

688. В исина ваљ ка једнака је пречнику основе. К олико пута је површ инаом отача ваљ ка већа од површ ине једне основе?

689. Л им ена конзерва им а облик ваљ ка пречника основе 8 с т и висине

2 ст. К олико је квадратних м етара лим а потребно за израду 1000 оваквихконзерви ако се при изради губи 15% лим а?

690. У ваљ ак је уписана правилна тространа призм а, а у ту призм у уписанје ваљ ак. Н аћи однос запрем ина два ваљ ка.

691. У ваљ ак је уписана и око њ ега је описана правилна четворострана

призм а. К олики проценат запремине веће призм е представљ а запрем ина

м ањ е призм е?

692. У коцку ивице 4 ћ т уписан је и око њ е је описан ваљ ак. К олика језапрем ина простора изм еђу ом отача та два ваљ ка?

693. О д дрвене коцке ивице = 14 с т истесан је највећи м огући ваљ ак.

К олико процената м атеријала је отпало? (У зети 7г

694. Н аћи запрем ину ваљ ка уписаног у правилну ш естострану призм у

чије су све ивице једнаке 2 ст .695. У правилну четворострану призм у уписан је круж ни ваљ ак. О дре-дити запрем ину ваљ ка ако је запрем ина призм е 128 с т 3 .




696. И з пуне чаш е облика ваљ ка пречника основе б с т и висине 8 с ттечност је уливена у другу чаш у облика ваљ ка пречника основе 8 ст .

К олика је висина течности у другој чаш и?

697. У ваљ касти суд пречника основе 1 Љ п насуто је 7,48 к§ ж иве. Д о

које висине ће се ж ива подићи? (Г устина ж иве је 13,6 § /с т 3 ; узети

698. Д ијагонала осног пресека ваљ ка је за 1 с т дуж а од висине. И зрачу-

нати површ ину и запрем ину овог ваљ ка ако је полупречник основе 2,5 с т .

699. Б унар (облика ваљ ка) дубине 12 т и пречника основе 1,5 т дополовине је напуњ ен водом . К олико кубних м етара воде им а у бунару?

70 0. К олико литара течности се налази у ваљ кастом суду чији је обим

основе 207гст, а висина три пута већа од полупречника основе, акотечност испуњ ава 30% запремине суда?

9.2. Д О Д А Т А К У З Г Л А В У IX

701. К ада се висина датог ваљ ка увећа за 2 ст , запрем ина ваљ ка се

увећа за бд с т 3 . К олика је дуж ина полупречника основе тог ваљ ка?

702. К вадрат странице З с т ротира око једне своје странице за:

' а) 90°; б) 120°; _ в) 180°.

И зрачун ати запрем ину добијеног тела.703. О д котура качкаваљ а цилиндричног

облика, пречника основе 20 с т и висине

18 с т , исечена је четвртина (слика). К о-

лика је запрем ина преосталог дела?

704. Д ва балвана (облика ваљ ка) им ају

једнаке запремине. Д уж ина првог је чети-

ри пута већа од дуж ине другог. К олико

пута је пречник другог балвана већи одпречника првог?С л. уз зад. 703



9. В аљ ак 91

705. П олупречник основе валж а је 5 с т , а висина 8 с т . В ал.ак је

пресечен једном равни паралелној оси ваљ ка тако да се у пресеку добијаквадрат. К олико је растојањ е те равни и осе ваљ ка?

706. К вадрат ротира око праве која припада њ еговој равни, п аралелна је

њ еговој страници и на растојаљ у је од центра квадрата једнаком дуж ини

странице квадрата. А ко је страница квадрата, у ф ункцији од изразитиповрш ину и запрем ину добијеног тела.

707. П равоугаоник страница = 8 с т и 6 = 5 с т ротира најпре око

краће, а затим око дуж е странице. Н аћи однос: а) површ ина ом отача;

б) површ ина; в) запремина тако насталих тела.708. П арни котао је у облику правог ваљ ка пречника основе 0,7 т и

висине 3,8 т . И зрачунати колики је притисак паре на целу површ ину

котла ако је притисак паре на 1 с т 2 једнак 2 кР а. (У зети 7г«

709. К абл (облика правог ваљ ка) израђен од бакра им а у пречнику 2 ст ,

а дуг је 10 к т . Н аћи м асу употребљ еног бакра ако је густина бакра8 , 9§ /ст3 .

710. Бакарна ж ица дуж ине 100т им а м асу од 12 к§. К олики је пречникпопречног пресека те ж ице ако је густина бакра 8 ,9 § /ст3 ? (У зети п «3,14.)

711. Запрем ина конзерве облика ваљ ка полупречника 2 с т је 50 с т 3 . Зависину Н конзерве важ и:

а) Н < 2,5 ст ; б) 2,5 с т ^ Н < 3,5 ст;

в) 3,5 с т < Н < 4,5 ст; г ) # > 4 , 5 с т .

Заокруж и слово испред тачног одговора.

712. Д рвени ваљ ак дуж ине 3,5 <1т и пречника 4с1т преструган је кроз

осу ваљ ка. И зрачунати запрем ину једне од тако добијених половина ваљ ка22

(узети 7Г р а — ) .

713. О д греде попречног пресека облика правоугаоника са страницам а

а = 30 с т и 6 = 20 с т и дуж ине 3 т треба истесати стуб у облику

ваљ ка. И зрачунати запрем ину одбаченог м атери јала (подразум ева се даје истесан највећи м огући ваљ ак).

714. О снова правилне ш естостране пирамиде уписана је у основу ваљ ка,

а врх пирамиде је средиш те горњ е основе ваљ ка. А ко је висина пирам иде

Н = б ст , а њ ена запрем ина V = 1 2 \/ З ст3 , колика је површ ина ваљ ка?




715. У једнакостранични ваљ ак ( Н — 2г) уписана је правилна ш есто-

страна призм а основне ивице . И зразити површ ину ваљ ка у ф укнцији

од .

716. Једнакостранични ваљ ак (2 г = Н ) пресечен је једном равни која

је норм ална на раван основе. У пресеку те равни и основе доби ја се

тетива дуж ине бсгп којој одговара централни угао од 120°. И зрачунатизапрем ину м ањ ег од два дела на које ова раван дели ваљ ак.

717. О ко правилног тетраедра описан је ваљ ак тако да су две наспрамне

ивице тетраедра пречници основа ваљ ка. Н аћи однос запрем ина тетраедраи ваљ ка.

718. У призм у чија је основа правоугли троугао катета Зсш и 4 сш , а

висина 8 с т , уписан је ваљ ак. О дредити површ ину и запрем ину тог ваљ ка.

719. Раван паралелна оси ваљ ка дели површ ину ом отача ваљ ка у односу

1 . 2 . П оврш ина пресека ваљ ка и те равни је 1 0 \/ З ст2. Н аћи површ инуом отача ваљ ка.

720. Једнакостранични ваљ ак ( Н = 2г ) висине б с т пресечен је једном

равни паралелној оси ваљ ка и на растојањ у 2сш од осе. Н аћи површ ину

пресека.

721. Д ва једнака ваљ ка полупречника К = б с т полож ени су на равну

површ ину тако да се м еђусобно доди рују (и додирују ту површ ). Т рећи

ваљ ак полупречника г = 4 с т полож ен је на ова два тако да их додирује.

К олико су удаљ ене највиш е тачке трећег ваљ ка од равне површ и?

722. П равоугаоник дим ензија и ћ на два начина се м ож е савити у

ом отач ваљ ка. У првом случају висина ваљ ка је 6, а у другом . Н аћиоднос запрем ина та два добијена ваљ ка.

723. С уд облика ваљ ка полупречника основе 10 с т и висине 25 с т на-

пуњ ен је водом . К олико ће воде остати у том суду ако се он нагне тако да

њ егова основа образује са својим првобитним полож ајем угао од 30° ?



10. К У П А

N 0 1 7 1 еЈ г р з а з с г е п И а р о 1а з 1а е з1 (С а м а н а у к а је в е ћ с л а )

Б е к о н 1

Ј е д н а к о с т р а н ч н а к у п а

У справна купа код које је 5 = 2г назива се једнакостранична купа.

10.1. П О В Р Ш И Н А И З А П Р Е М И Н А У П Е

724. И зрачунати дуж ину изводнице купе ако су дуж ине полупречникаоснове и висине:

а) г = 3 с т , Н = 4 с т ; б) г = 5 с т , Н = 12 с т ;

в) г = 8 с т , Н = 15 с т ; г) г = Н = 5 с т .

725. И зрачун ати површ ину и запрем ину купе ако је:

а) г = 3 ст , з = 5 с т ; б) т = \/2 с т , з = \/3 с т ;в) 5 = 13 с т , Н = 12 с т ; г) г = б с т , Н = 8 с т.

гР . В асоп (1561—1626), енглески филозоф




726. К олика је површ ина купе чија је висина Н = 8с1т, а изводница

5 = 10с1т?

727. П речник основе купе је 24 с т , а дуж ина изводнице з = 13 с т .

И зрачунати површ ину и запрем ину ове купе.

728. И зрачунати запрем ину купе ако су дате њ ена висина и изводница:

а) 5 = 7 ст , Н = б ст; б) з = 11 с т , Н = 9 с т.

729. О днос полупречника основе и висине купе је 3 : 4 . А ко је површ ина

ом отача купе 60л с т 2 , израчунати запрем ину купе.

730. В исина купе је 12 сш , а изводница је за б с т дуж а од полупречника

основе. И зрачунати површ ину ом отача ове купе.

731. П оврш ина купе је Р = 2 4 д ст2 , а површ ина њ еног ом отача М =

157гст2 . Н аћи запрем ину купе.

732. П равоугли троугао површ ине 13 с т 2 ротира око једне катете. Н аћи

површ ину осног пресека добијене купе.

733. Једнакокраки троугао основице 4 \/1 б ст и висине З с т ротира око

основице. Н аћи површ ину добијеног тела.

734. О м отач купе развијен у равни је круж ни исечак полупречника 5 с т

са централним углом 216° . К олика је запрем ина купе?

735. П оврш ина купе је Р = 9 6 д ст2 , а изводница з = 10 с т . О дредити

запремину купе.

736. И зрачунати површ ину осног пресека купе ако је:

а) г = З ст , з = 5 ст; б) з = 13 с т, Н = 12 ст .

737. П оврш ина осног пресека купе висине Н = 12 с т је Р = 42 с т 2 .

Н аћи површ ину и запрем ину купе.

738. О сни пресек купе је једнакокрако-правоугли троугао површ ине

50 с т 2. И зрачунати површ ину и запрем ину ове купе.

739. О сни пресек праве купе је једнакокрако-правоугли троугао. А ко је

површ ина ом отача те купе 817г\/2 с т 2 , израчунати површ ину и запремину

купе.

740. О сни пресек купе је једнакокрако-правоугли троугао површ ине

9 с т 2 . И зрачунати запремину ове купе.



10. К упа 95

741. а) П оврш ина осног пресека једнакостраничне купе (2 г = з ) је

9 \ /З ст2 . Н аћи површ ину и запрем ину купе.

б) Н аћи површ ину и запремину једнакостраничне купе чи ја је висинаН = 6 \ / 3 с т .

742. И зрачунати површ ину и запрем ину купе ако је њ ена изводница 8 =б ст , а нагибни угао изводнице прем а равни основе:

а) 30°; б) 45°; в) 60°.

743. О бим основе купе је 187гст. А ко је изводница купе нагнута према

равни основе под углом од 45°, и зрачунати површ ину и запрем ину купе.

744. И зводница купе гради са основом угао од 30°. И зрачунати повр-ш ину и запремину ове купе ако је полупречник основе б ст.

745. П равоугли троугао са ош трим углом од 30° и краћом катетом =

3 с т ротира око дуж е катете. И зрачунати површ ину и запремину таконасталог тела.

746. П оврш ина основе купе је 257гст2,

За колико је висина ове купе већа од

пречника основе?

747. Н а слици је приказана м реж а је-

дне купе. И зрачунати: а) полупречник

основе; б) површ ину те купе.

а дуж ина изводнице је 13 ст .

б ст


74 8. Развијени омотач купе је четвртина круга полупречника 4 с т . И з-рачунати површ ину и запремину купе.

749. К ада се ом отач купе развије, добија се полукруг полупречника г =б с т . К олике су површ ина и запрем ина купе?

750. Развијени ом отач купе је осм ина круга. К олика је површ ина купеако је површ ина њ ене основе 77г с т 2 ?

751. К аква је купа чији се ом отач добија савијаљ ем полукруга?

752. О бим основе праве круж не купе је 187гст. И зводница купе нагнута

је према равни основе под углом од 45°. И зрачунати површ ину и запре-мину купе.

753. П оврш ина једне купе је 457гст2, а површ ина њ еног ом отача

3 0 7 Г с т 2 . О дредити угао изм еђу висине и изводнице те купе.




10.2. Д О Д А Т А У З Г Л А В У X

754. Н ацртати мреж у праве купе ако је полупречник основе 1 ст , а

изводница 6 с т .

755. И зводница купе је два пута дуж а од пречника основе. Н аћи однос

површ ине ом отача и површ ине основе те купе.

756. И зводница купе једнака је пречнику основе. К олико пута је површ ина

ом отача те купе већа од површ ине основе?

757. А ко је висина праве купе три пута дуж а од полупречника основекупе, одредити однос површ ина основе и ом отача купе.

758. Н аћи однос површ ине и површ ине ом отача једнакостраничне купе

(2г = б).

759. О м отач купе је круж ни исечак полупречника 8 с т са централним

углом 135°. Н аћи површ ину и запрем ину ове купе.

760. К олико пута је већа висина купе од висине ваљ ка ако ова два тела

им ају једнаке основе и једнаке запрем ине?

761. Д оказати да је површ ина ом отача купе већа од површ ине њ ене

основе.

762. П оврш ина купе је 247гст2, а површ ина њ еног ом отача је 157гст2.К ада се тај ом отач развије у раван, добија се круж ни исечак. К олики је

централни угао тог исечка?

763. Златни привезак израђен је у облику купе пречника основе З т т

и висине 8 т т . К олико грам а злата им а у привеску (густина злата је19,3 § /с т 3 ; узети 7гга 3,14)?

764. И з дрвеног ваљ ка полупречника основе 4 с т и висине б с т из-

дубљ ена је купа истог полупречника основе и висине. К олика је м аса

преосталог тела (густина дрвета је 0 ,8 §;/ст3 )?

765. В аљ ак и купа им ају једнаке површ ине и запрем ине и висине Н =

2 с т . И зрачунати површ ину и запрем ину тих тела.

766. Једнакостранични троугао ротира око своје странице. Н аћи запре-м ину добијеног тела ако је дуж ина странице троугла .

767. П равоугли троугао, чије су катете дуж ине 15 с т и 20 с т , ротира

око своје хипотенузе. Н аћи запрем ину добијеног тела.



10. К упа 97

768. П равоугли троугао чије су катете а = 3 с т и &= 4 с т ротира првооко дуж е, а затим око краће катете. Н аћи однос: а) површ ина ом отача;

б) запрем ина; в) површ ина насталих тела.

769. Д уж ине дијагонала ром ба су б с т и 8 ст . И зрачунати површ инуи запрем ину тела која настају када дати ром б ротира око једне и другедијагонале.

770. Д ат је правоугли трапез А В С ( А В || С В ) , А В = 2 с т ,

В С = С О = 1 ст . И зрачунати површ ину и запрем ину тела које се доби јаротадијом трапеза око основице С В .

771. П оврш ина правилне једнакоивичне ш естостране призм е је6 + 3 \/3 с т 2 . И зрачунати запрем ину купе чија је основа уписана у основипризм е, а врх је средиш те друге основе призм е.

772. У дати ваљ ак полупречника основе г и висине Н уписане су двекупе као на сликам а а) и б). Н аћи однос запрем ине ваљ ка прем а збирузапрем ина купа.

а) б)С л. уз зад. 772

773. У купу је уписана правилна тространа пирам ида. К олики проценатзапрем ине купе представљ а запрем ина пирамиде?

774. О снова пирамиде је ромб са дијагоналам а = 1 0 ст и — 24 ст.

В исина пирамиде је 15 с т . У ову пирам иду уписана је купа. Н аћиразли кузапрем ина пирам иде и купе.

775. Једнакокраки трапез чије су основице 9 с т и З с т , а нагибни угаокрака прем а дуж ој основици 45° ротира: а) око дуж е основице; б) ококраће основице. Н аћи површ ину и запрем ину насталих тела.

776. У праву купу висине Н и полупречника основе Н уписан је ваљ аквисине ћ . И зразити полупречник основе ваљ ка преко К , Н и ћ .




777. У купу полупречника основе г и висине Н уписана је правилна

једнакоивична тространа призм а. Н аћи ивицу те призм е.

778. У праву купу изводнице 13 с т и висине 12 с т уписан је ваљ ак тако

да је површ ина ом отача тог ваљ ка једнака површ ини ом отача дела купе

изнад ваљ ка. О дредити висину ћ ваљ ка.

779. У дату праву купу полупречника основе т и висине Н = г у / 2

уписана је коцка А В С О А х В х С х О х тако да основа А В С И припада основи

купе, а тем ена А г , В \ , С \ , прип адају ом отачу купе. Н аћи однос

запрем ина купе и коцке.

780. В исина Н и изводница з купе се односе као 3 : 5, а њ ена запрем инаје 1287гст3 . К олика је површ ина те купе?

781. К вадрат А В С Б странице ротира око странице В С . Н а тај начин

добија се тело запремине У \ . К ада исти квадрат ротира око дијагонале

А С , добија се тело запрем ине К г. Н аћи однос : У \ .

782. П равилни ш естоугао странице ротира око дуж е дијагонале. Н аћи

површ ину и запремину добијеног тела.

783. Н аћи запремину тела које настаје ротацијом правилног ш естоугла

око њ егове странице. Д уж ина странице је = 2 с т.

784. А ко су и 6 дуж ине катета правоуглог троугла, а У , Ц ,, У с

запрем ине тела која се добијају ротацијом тог троугла, редом , око катета

1 1 1и хипотенузе, доказати да је —^ = 77% '

'о ^е

785. У једнакокраком трапезу дијагонала је норм ална на крак. Д уж ина

крака је 2 с т и он са дуж ом основицом гради угао од 60°. О дредити

површ ину тела које настаје ротацијом тог трапеза око дуж е основице.

786. П олупречник основе купе је 10 с т , а њ ена висина 3 \ /5 ст. К олика

је површ ина пресека који садрж и врх купе и у равни основе одсеца тетиву

дуж ине 16 ст?



11. Л О П ТА

У е п г , (Н , у г с г (Д о ђ о х , в д е х , п о б е д х )

Ц е з а р 1

Л о п т а

Р = 4 г 2 7г ;

П оврш ина великог кругалопте је Р \ = г27г

О бим великог кругалопте је 0 \ = 2 т

11.1. П О В Ш И Н А И З А П Е М И Н А Л О П Т Е

787. О писати све м огуће полож аје:

а) праве и сф ере; б) равни и сф ере; в) две сф ере.

788. К ада пресек равни и дате лопте им а највећу површ ину?

789. Д ата је сф ера и на њ ој тачка М . К олико им а: а) равни; б) правих;в) сф ера које додирују дату сф еру у тачки М ?

790. С ф ера полупречника 13 с т пресечена је једном равни која је наодстојањ у 5 с т од средиш та сф ере. К олика је површ ина пресека?

791. И зрачунати површ ину и запрем ину лопте ако је:

а) г = 3 с т ; б ) г = 1 ст; в) г = Л с т ; д) г = А с т .

1С . Ј. С аезаг (око 100-44. п.н.е.), римски војсковођа и држ авник




792. П оврш ина лопте је Зб7гст2 . И зрачунати обим и површ ину великог

круга те лопте.

793. П оврш ина великог круга једне лопте је 97г с т 2 . К олика је запрем ина

те лопте?

794. О бим великог круга једне лопте је 127гст. К олика је површ ина те

лопте?

795. И зрачунати запрем ину лопте ако је њ ена површ ина:

а) = 1б7г с т 2 ; б) = 247Г с т 2 ;

в) Р = 57б7гст2 ; г) Р = 3247гст2 .

796. К руг пречника 10 с т ротира око једног свог пречника. И зрачунати

површ ину и запрем ину тела које настаје ротацијом .

797. П олукруг површ ине 4,5 7гст2 ротира око свог пречника. Н аћи

површ ину добијене лопте.

798. Л опта полупречника 10 с т леж и на равном столу и додирује сто у

тачки . А ко је В тачка на столу удаљ ена од тачке 7,5 с т , колико је

удаљ ена тачка В од центра лопте?

799. Л опта од пластелина им а пречник б с т . О д те лопте направи се

купа истог толиког пречника основе. К олика је висина те купе?

800. М еталну куглу полупречника 8 с т треба претопити у купу чији ће

пречник основе бити једнак полупречнику кугле. К олика ће бити висина

те купе?

11.2. Д О Д А Т А У З Г Л А В У X I

801. П олупречник сфере увећан је за 50%. За колико процената се

повећала површ ина сф ере?

802. А ко се полупречник лопте повећа за 1 с т , њ ена површ ина се повећа

за 87гс т 2 . К олико се при том е повећа њ ена запрем ина?

803. О сни пресек праве купе је једнакостранични троугао. О дредити

однос запрем ина купе и у њ у уписане лопте.

804.

Д оказати да је површ ина ом отача ваљ ка описаног око лопте једнакаповрш ини лопте.

805. О ко једнакостраничне купе (пречник основе једнак је изводници)

описана је лопта. О дредити однос њ ихови површ ина.



11. Л опта 101

806. К вадар чије су ивице у разм ери 2 : 3 : 6 уписан је у лопту запрем ине1372 д

— 7гст . И зрачун ати површ ину и запрем ину овог квадра.

807. К упа, полулопта и ваљ ак им ају заједничку основу и једнаке висине.Н аћи однос њ ихових запрем ина.

808. И зрачунати м асу ш упљ е бакарне лопте чији је спољ аш њ и пречник2г = 18 с т , а дебљ ина (1 = 2 с т. Густина бакра је 9 § /с т3.

809. У ваљ ак висине 8 с т уписана је лопта (која додирује обе основе иом отач ваљ ка). И зрачунати разлику запрем ина ова два тела.

810. О дредити однос запрем ина уписане и описане сф ере дате коцке.

811. С ф ера 5/ уписана је у коцку ивице 1 с т , а сф ера 32 је описана окоте коцке. И зрачунати збир површ ина ових сфера.

812. О дредити скуп средиш та свих сф ера које садрж е:

а) две разне тачке М и IV;

б) три неколинеарне тачке А . В и С .

813. У купу полупречника основе г = 5 с т и висине Н = 12 с т уписанаје лопта. Н аћи запремину те лопте.

814. О снова пирам иде је квадрат странице 2 \ /З ст, а висина пирамиде

је 3 с т и она садрж и средиш те једне од ивица основе. Н аћи полупречниксф ере описане око ове пирамиде.

815. О ко лопте је описана купа. Д оказати да је однос њ ихових запрем инаједнак односу њ ихових површ ина.

816. И аћи полупречник описане и полупречник уписане сф ере правилног

тетраедра ивице .

817. О ко правилне ш естостране пирам иде висине 4 с т описана је сф ераполупречника 5 с т . И зрачунати запрем ину пирам иде.

818. У лопту полупречника К уписана је купа висине Н . О дредитиполупречник основе купе у зависности од К и Н .

819. У сф еру полупречника б с т уписана је правилна тространа призм а

висине 2 \ /З ст. И зрачунати запрем ину ове призм е.

820. О ко полулопте полупречника К описана је купа чија је основа у

равни основе полулопте. А ко је Н висина купе, наћи полупречник њ енеоснове.




821. О ко лопте полупречника К описана је купа висине Н . К олики је

полупречник основе купе?

822. Н а површ ини лопте дате су три тачке А , В и С . П раволинијскаодстојањ а ових тачака су б с т , 8 с т и 10 ст . А ко је полупречник лопте

13 с т , наћи одстојањ е центра лопте од равни одређене троуглом А В С .

823. У полулопту је уписана коцка тако да доњ а основа коцке припадаоснови полулопте, а тем ена горњ е основе коцке припадају површ и полуло-

пте. Н аћи однос запрем ина полулопте и коцке.

824. С вака од четири кугле, које леж е на равном столу (и додирују сто),

додирује остале три кугле. Т ри кугле им ају полупречник г ■ К олики јеполупречник четврте кугле?

825. Златар је златни привезак облика лопте пречника 1 с т претопио упривезак облика купе полупречника основе једнаког полупречнику лопте.

К олика је висина те купе?

826. У правилну тространу призм у уписана је лопта која додирује све

стране призм е. Н аћи однос: а) површ ина; б) запремина призм е и лопте.

827. Ч етири једнаке лопте полупречника г постављ ене су на раван сто

тако да се додирују, при чем у центри ових лопти образују квадрат. Н а

ове лопте постављ ена је пета лопта истог полупречника која додирује свечетири лопте. Н аћи одстојањ е најудаљ еније тачке пете лопте од равни

стола.

828. У једнакостранични троугао странице = 6 \ /3 ст уписан је круг.

Н аћи однос запрем ина ротационих тела добијених ротацијом троугла и

круга око висине троугла.

829. а) Т ангентне дуж и сф ере, конструисане из једне тачке ван сфере,м еђусобно су једнаке. Д оказати.

б) Д одирне тачке тангентних дуж и сф ере, конструисаних из једне тачке

ван сфере, припадају једном кругу. Д оказати.



12. РЕ Ш Е Њ А ЗА Д А Т А К А

1. С Л И Ч Н О С Т Т О У Г Л О В А

1.1

1. а ) В . с л и к у , И В С А , х =20

У с т '

2 . а ) К о н с т р у и с а т и д в е п р о и з в о љ н е п о л у п р а в е с а з а је д н и ч к о м п о ч е т н о м т а ч к о м О

(с л и к а ). Н а је д н о ј п о л у п р а в о ј о д р е д и м о т а ч к е А и В т а к в е д а је О А = и

О В = 6, а н а д р у г о ј т а ч к у С т а к о д а је О С = с . П р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у

А п а р а л е л н а с а В С с е ч е п о л у п р а в у О С у т а ч к и X . П о Т а л е с о в о ј т е о р е м и је

О А : О В = О Х : О С , д а к л е О Х = х . 6 ) х : = с : 6; в ) х : = : ћ ;

г ) х : 1 = ( + ђ ) : с ; д ) х : = 6 : 1; ђ ) х : = : ( + 6). 3. В . с л и к у .

Сл. уз зад. 3

С В

4. В . с л и к у . 6 . а ) Н а о с н о в у Т а л е с о в е т е о р е м е је 6 : 3 = 3 0 : 6 , о д а к л е је

3 0 = 12 с т . б ) 3 0 = 28 с т ; в ) 3 0 = 15 с т . 7. С Н = З с т . 8 . а ) И зА С 1 С С

А С : С О = В С : С Е с л е д и

В С = - - = 2 4 с т . б ) И з А :

В Е = А С : В С

с л е д и В Е =А О - В С

5 с т . 9. а ) С Е = 4 с т ; б ) С О = 8 с т . 10. а ) И зА С



104 Реш ењ а задатака

1 2 : 9 = 8 : 6 с л е д и А С : А В = А С ' : А В ' . К а к о с у о д г о в а р а ју ћ и о д с е ч ц и

п р о п о р ц и о н а л н и , б и ћ е В В ' || С С ' . б ) В В ' || С С ' . в ) И з 21 : 6 ф 17 : 9 с л е д и

А С : А В ф А С ' : А В ' , п а В В ' н и је п а р а л е л н о с а С С ' . 11. П о Т а л е с о в о јА В А М

теоРеми Је с Ђ = М С

в м мЂ'

д а в д е д о б и ја м о В М = 8 с т и М С = 1 с т .

1 2 . а ) 5 с т ; б ) 4 с т ; в ) 28 с т ; г ) 1 0 с т .

1.2

13. а ) Ј е с у , к о е ф и ц и је н т с л и ч н о с т и је 5; б ) н и с у с л и ч н и . 14. И з к = —-а 1

а 4д о б и ја м о д а е а \ = — = — = 2,5 с ш . Д а љ е је = 2,25 с т , с \ = 1 с т . 15. И з

к 1,6с а а с \ с 6 , &1

— = — д о б и Ј а м о 01 = ------ = 14 с т , а и з — = — д о б и Ј а м о = ----- = 30 с т . 1 0,\ С С \ 01 1

16. И з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а (с л и к а ) и м а м о д а је а : х = ћ : (ћ — х ) , т ј.

30 : х = 45 : (45 — х ) , о д а к л е је х = 18 с т .

17. И з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а (с л и к а ) и м а м о а : у = ћ : ( ћ ~ х ) . К а к о је х + у = 16,

тј. у = 16 — х , д о б и ја с е 18 : (16 — х ) = 1 2 : ( 1 2 — х ) , о д а к л е је х = 4 с т ,

6су = 12 с т . 18. И з а : В = ( с + х ) : х д о б и ја м о х = ------- 7 = 32 с т . 19. 15 с г п и

а —

1 0с т . 2 0 . х = -------- = 81 с т . 2 1 . 1 ° И з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а А В С и А ^ В ^ С ^а —

(с л и к а ) је А В = А В \ , п а с у и т р о у г л о в и В С И и В \ С \ И \ с л и ч н и и м о ж е м о п и с а т и

ћ : ћ \ = а : а \ , о д н о с н о Н : ћ \ = а : а \ = ћ : ћ \ = с : С \.

,





2° А к о с у т р о у г л о в и А В С и А 1 В 1С 1 с л и ч н и , т а д а је а = а \ к , 6 = ћ г к , с = с \ к .

С а б и р а њ е м о в и х је д н а к о с т и д о б и ја м о а + 5 + с = (а ^ + + Ј Љ , т ј . О = 0 \ к ,

о д н о с н о О : О г = к . 3° П о в р ш и н е т р о у г л о в а н а с л и ц и с у Р = ^ с ћ и Р \ — \ с \ ћ 1 .

Њ и х о в о м д е о б о м д о б и ја м о ——= —— . А л и к а к о је Н : ћ \ = с : С х , т о је Р : Р \ =В \ С 1 Л 4

с 2 : с \ . 22. И з 30 : 20 = Н : ћ \ с л е д и Н \ = 16 с т . 23. б и м д а т о г т р о у г л а

је 45 с т . И з О : 0 \ = а : а \ = ћ : = с : С \ н а л а з и м о а \ = 16 с т , ћ \ = 20 с т

и С х = 24 с т . 24. И з — = к д о б и ја м о а х = % = 4 = 6 . Л а љ е је ћ \ = 9,а1 к |

с х = 12, а т р а ж е н и о б и м је 1 = 27. 25. И з а : а г = 6 : 6 1 , т ј. 2 : 5 = 6 :2

д о б и ја м о 61 = 15 с ш . Д а љ е је с ^ = 18 с т и = 39 с т . 26. а ) 2 : 1; б ) - В С \

в) 4 : 9. 27. Троуглови А В 8 и С О З су слични. И з А ВС Б

А 8 С 8

з1

налазим о

С 8 = — с т и В З -9; ст. 28. Н ека је М И = 7к , А М = 12к , А И = 15к (слика).

Тада из 12 —121: + 7к + 15 —15/с + 7 = 26 налазим о к = —, па је М ТУ = — ст,5 5

N 0 = 9ст, М В = ~ ст.5

р с


29. П рименом П итагорине теореме налази-

мо (слика) А Е = — ст. И з2

сличности троуглова А М О и А В Е добијамоГ )М А О , — —=-=, одакле је В М = 2ст. 30. Тро-А В А Е

углови А Е Р и С Р Р су слични, па је (слика)А Р _ А Е _ 1

Р С ~ с Ђ ~ 2'

д с


31. Троуглови А 8С и В Р З су слични (А А С Р = А А В Р као периф еријски

углови круга над тетивом А Р и А А 5С = / . В З Б - унакрсни углови). С адаА З 8 С „ „ 0 8 - 8С

е удп = -утуу и о д а в д е А 6 = — — = З с т (с л и к а ) .Р З 8 В 8 В





32. К а к о је О Е = О Б (с л и к а ), т о је С О : О Е = С О : О Б = 12 : 5, п а и з

С А С Ос л и ч н о с т и т р о у г л о в а С О Е и С А О и м а м о —— = ——, о д а к л е с е д о б и ја А =

А .1) (Ј25 с т и А В = 50 с т .

1.3

33. а ) П о П и т а г о р и н о ј т е о р е м и је с = л /а 2 + 62 = 5 с т . И з а ? = с и Ј г = с д

с . а 2 9 62 16 12д о б и ја м о - г с п 1 и (] = •_ с т , д о к Ј е ћ = = — с т . б ) с =

14 2513с т , р = ~ с т , д

с 5

144 , 60

— с т , Л = . - с т .

34. К о р и с т и м о П и т а г о р и н у т е о р е м у и ф о р м у л е к 2 = д , а 2 = с , б 2 = с д . Н а

п р и м е р , у с л у ч а ју а ), сР

31,25 с т , 6 = V с 2 — а 2 = 18,75 с т , д = с —

Р — 11,25 с т и ћ — = 15 с т . 35. П о П и т а г о р и н о ј т е о р е м и је А И =

у /42 - 22 = л / Т 2, а и з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а А С В и С В Д д о б и ја м оС Б х

п а је х2\ /3

36. К а к о је ћ 2 = д , т о је ћ = 12с т (с л и к а ). П р и м е н о м

П и т а г о р и н е т е о р е м е н а л а з и м о а = у / ћ 2 + д 2 = 20 с т и & = у / ћ 2 + 2 = 15 с т , п а

је О = 60с т и Р = 150с т 2.







43. У г л о в и А И В и А С В с у је д н а к и (п е р и ф е р и јс к и у г л о в и н а д т е т и в о м А В ),

п а к а к о је А А В С = А А С В , т о је А А В Е — А А О В (с л и к а ). д а в д е с л е д иА В А Е А В ^

д а с у т р о у г л о в и А В Б и А Е В с л и ч н и . И з ------ = ------ с л е д и А Б = ____ =А О А В А Е

с • Н18с ш . 44. з н а ч и м о с а х д у ж и н у с т р а н и д е к в а д р а т а . К а к о је ——Е = 36с ш 2,

т о је ћ с = 6 с т , п а и з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а А В С и Р О С (с л и к а ) н а л а з и м оА В _ С Г Ј . 12 6

( ј ~ , 'Т Ј - — — — х ’ °4а к л е Ј е х = 4 с т , а п о в р ш и н а к в а д р а т а је 16с т 2.

с

45. К а к о је А А В С = А А Б С (п е р и ф е р и јс к и у г л о в и к р у г а н а д т е т и в о м А С ) , т ос у т р о у г л о в и М А Р и М В С с л и ч н и (с л и к а ),

. М А М С

П а Ј6 Т 5 ~ М В ’ о д а к л е Ј е М В = 4 с т , п а

је С Д = М Е — М С = 1 с т . 46. У г л о в и

М С А и М В С с у је д н а к и (у г а о и з м е ђ у т а н -

г е н т е и т е т и в е је д н а к је п е р и ф е р и јс к о м у г л у ),

п а је А М А С ~ А М В С (с л и к а ), о д а к л е јеМ А М С . __________

~м с = т з ’ п а е м с = ̂ М А М В = 6с ш -

47. У г л о в и Р В А и С А (с л и к а ) и м а ју н о р м а л н е к р а к е п а с у је д н а к и . З б о г

о в о г а с у п р а в о у г л и т р о у г л о в и А В Р и С О А с л и ч н и , п а је ------ = — СА Е С О '





Г ) Е А Е48. Н е к је С Е с и м е т р л п р в о г у г л (с л и к ). Т д је ------- = —— . П о ш т о је

а А Сх 6 — х х 4 — х

В Е = С Е = х , б и ћ е — = —-— , т ј . — = ——— , о д к л е с е д о б и ј х = З с т . И з

је д н к о к р к о -п р в о у г л о г т р о у г л С Е Е је С Б = Х у /2 = 3\ / 2с т .

В С А С49. Т р о у г л о в и А В С и В С О с у с л и ч н и (с л и к ), п је —— = — —, о д к л е је

1) ( В С

В С = 12 с т иВ Р _ В С

Ћ а ~~а с

и ћ к р к т р о у г л . И з

50. Н е к је а о с н о в и ц , ћ о д г о в р ју ћ в и с и н

ћ 2 = ћ 2 +

и м м о а ћ = ћ 2 +

а = 2ћ .

ћ = 'Ј а ћ

а 2 ( а

’ ј- [ 2 - ћћ ) = 0 , п је

2. Т А Ч А , П Р А В А И Р А В А Н

2.1

^ )51. ) 3; б ) 6 ; в ) 10; г ) 28; д ) --------------. 52. ) Б е с к о н ч н о м н о г о ; б ) т ч н о

је д н к о је А ф В и б е с к о н ч н о м н о г о к о је А = В \ в ) н и је д н к о с у А ,

В , С н е к о л и н е р н е ; т ч н о је д н к о с у д в е о д о в и х т ч к р з л и ч и т е и т р е ћ

п р и п д п р в о ј к о ју о н е д в е о д р е ђ у ју ; б е с к о н ч н о м н о г о к о је А = В = С . 6 • 5

53. —-------- 2 -3 = 9. 54. ) 9; б ) 12; в ) 15. 55. 13 п р в и х . 56. ) Т ч н о

је д н ; б ) б е с к о н ч н о м н о г о . 57. Ч е т и р и . С в к о д т ч к о д р е ђ у је с п р в о м

а п о је д н у р в н , . ч е т в р т у р в н о д р е ђ у ју т ч к е А , В , С . 58. ) 455;

б ) 1140; в ) 4060. 59. ) 8 ; б ) 10; в ) 6 . 60. 45. 62. ) Б е с к о н ч н ом н о г о ; б ) б е с к о н ч н о м н о г о ; в ) т ч н о је д н к о с у А , В , С н е к о л и н е р н е т ч к е

и б е с к о н ч н о м н о г о к о т ч к е А , В , С п р и п д ју је д н о ј п р в о ј; г ) н и је д н к о




с у А , В , С , И н е к о м п л а н а р н е т а ч к е ; је д н а а к о је п о л о ж а ј т а ч а к а т а к а в д а с у

п р а в е А В и С А ) р а з л и ч и т е и п а р а л е л н е и л и с е с е к у ; б е с к о н а ч н о м н о г о а к о т а ч к е

А , В , С , В п р и п а д а ју је д н о ј п р а в о ј. 63. Н и је д н а а к о с у и д м и м о и л а з н е ;т а ч н о је д н а а к о с у и <ј п а р а л е л н е и р а з л и ч и т е и л и а к о с е р и д с е к у ; б е с к о н а ч н о

м н о г о а к о је = д . 64. Ч е т и р и р а в н и . 65. Т а ч н е с у р е ч е н и ц е а ) и г ).

6 6 . а ) Б е с к о н а ч н о м н о г о ; б ) т а ч н о је д н а . 67. а ) Т а ч н о је д н а ; б ) б е с к о н а ч н о

м н о г о - т о с у с в е р а в н и к о је с а д р ж е п р а в у а , к о ја с а д р ж и т а ч к у А и н о р м а л н а

је н а а . 6 8 . а ј| а . 69. а || а и л и а п р о д и р е а . 70. А к о је а X а , т а к в и х р а в н и и м а б е с к о н а ч н о м н о г о - то с у с в е р а в н и к о је с а д р ж е п р а в у а . А к о

н и је а н о р м а л н о н а а , о н д а п о с т о ји т а ч н о је д н а т а к в а р а в а н . 71. е д н у а к о а п р о д и р е а , и л и н и је д н у а к о је а || а . 72. а ) К а к о је А А г ± А В и А А \ X А Б , т о је и в и ц а А А \ н о р м а л н а н а р а в а н А Н С Г ). С л и ч н о с е п о к а з у је д а је и в и ц а

А А \ н о р м а л н а н а р а в а н А \ В \ С \ В \ . б ) И з А А г || С С \ с л е д и д а је и в и ц а А А \ п а р а л е л н а р а в н и м а В В \ С С \ и О В \С С \. И в и ц а А А \ је п а р а л е л н а и р а в н и м а

к о ји м а п р и п а д а : В В \ А А \ и 0 0 \ А А \ . 73. а ) А Б , А А \, О Б \, А \Б \-, б ) А В ,

75. а ) П р а в е и д м о г у б и т и м и м о и л а з н е , п а р а л е л н е (к а д а н е м а ју з а је д н и ч к и х

т а ч а к а и п р и п а д а ју и с т о ј р а в н и и л и к а д а с е п о к л а п а ју ) и л и т а к в е д а с е с е к у .

б ) || а (к а д а С а и л и и а н е м а ју з а је д н и ч к и х т а ч а к а ) и л и п р а в а п р о д и р е

р а в а н а (и м а ју је д н у з а је д н и ч к у т а ч к у ). в ) а Ц /3 (к а д а н е м а ју з а је д н и ч к и х т а ч а к а

и л и к а д а је а = / 3) и л и с е а и /3 с е к у п о је д н о ј п р а в о ј. 76. Т а ч н е с у р е ч е н и ц еб ) и в ). 77. а ) Н а п р и м е р : А В и В \С \, В С и А А \ и т д . б ) Н а п р и м е р , п р а в а

А \ В \ је п а р а л е л н а р а в н и А В С Б . в ) П а р а л е л н е с у , н а п р и м е р , р а в н и А В А \ И \ и В С В \С \. г ) Н о р м а л н е с у , н а п р и м е р , р а в н и о д р е ђ е н е с у с е д н и м с т р а н и ц а м а

к о ц к е : А В С О и А П А \В \. д ) Н е к а је , н а п р и м е р , р а в а н а о д р е ђ е н а с тр а н о м

А 0 А \0 \ , Р с т р а н о м Д С Т ђ С т и р а в а н 7 о с н о в а к о ц к е А В С Б . ђ ) Н а п р и м е р : А , В , С и А \ и л и А , И , А \, В \ и т д . 78. Т а ч н е с у р е ч е н и ц е а ), в ) и г ).

79. а ) Т а ч к а ; б ) д у ж и л и т а ч к а ; в ) п о л у п р а в а и л и т а ч к а ; г ) п р а в а и л и т а ч к а ;

д ) р а в а н и л и п р а в а . 80. К а д а је : а ) М А || а ; &)К 'Ш А _а . 81. а )А В = 1 0 с т ;

б ) А В = 13 с т .

2.2

45с г

'






83. а) Биће А И = А А ! — В В ' = 24 сш (слика), па је А 'В ' = В В = __________ В В '

VА В 2 —А О 2 = 32 сш . б) И з —— = ——- налазимо В С = 35 ст. в) В 'С = г \Ј е Л Ј Ј

'Ј В С 2 — В В п = 28 ст. 84. а) А В = 8ст, А В ' = 4\/Зст (слика); б) А В =

4а/ 2 ст, И В ' = 4ст; в) А В = ^ с т , А В ' = ^ с т . 85. а) 13 ст;А О

б) \/265ст. 86. а) 30°; б) 60°. 87. ч /З : -/2 : 1. 88. Г б ^ ст2. 89. а) 7ст;б) 5ст. 90. а) У троуглу С А !В ' је С А ' = А А ' + В В ' = 4ст и А 'В ' = Зст,па је А В = С В ' = 5ст (слика); б) А В = 13 ст; в) А В = 17ст. 91. а) ДужА С \ б) дуж А В ; в) тачка А \ г) дуж А В ; д) дуж В О ; ђ) тачка С .

2.3

92. а) Н ајмањ е једна, највиш е 15; б) најмањ е једна, највиш е 28. 93. Н екаје О подножје нормале из 8 на а . П равоугли троуглови 8А О , 8В О , 8С О и 3 0 0 су подударни, па је О пресек дијагонала правоугаоника. К ако јеА С = у /.А В 2 + В С 2 = 20 ст, А О = 10 ст, биће 8 0 = у /З А 2 —А О 2 = 24 ст.

94. —\/б . 95. 4ст.

96. Н ајвиш е правих је одређено када су тачке Р , 0 и В . међусобно неколи-

неарне, али и никоје две од ових тачака нису колинеарне са неком од тачака А , В , С , О . Тада је број правих: 3 + 3 - 4 + 1 = 16. Н ајмањ е правих је одређенокада су тачке Р , <5 и В . колинеарне међусобно и колинеарне са неком од тачака

А , В , С , Д . Тада је број правих: 2 + 9 = 11. 97. ^ ^ ^

п (п — 1)(п —2)

98. з

6

одређују

1-2-3

= 35п добијамо (п - 1 )(п - 2) = 14 ■15, па је п = 16. О ве тачке

16-15120 правих.

99. Троуглови А В М и С О М су једнакокраки, па је заједничка тежиш на дужМ 8 нормална на обе основице А В и С О , дакле и на раван а . 100. Биће (слика)

' = \ ( В В ' + С С ') = 6 сш , Т Т ' = \ 1 )0 ' = 4 ст.^ О





101. а ) И с к о р и с т и т и п о д у д а р н о с т т р о у г л о в а М З А , М З В и М З С , г д е је М п р о и з в о л ,н а т а ч к а п р а в е т (М ^ 3). б ) А к о с у А г , В \ , С \ д о д и р н е т а ч к е у п и с а н о г

к р у г а т р о у г л а А В С и с т р а н и ц а т р о у г л а , п о д у д а р н и с у т р о у г л о в и М О А \, М О В \ и И О С \ (IV € п , N ф О ).

102. а ) Н е к а је IV' т а ч к а с и м е т р и ч н а т а ч к и N у о д н о с у н а п р а в у . Т а д а је

{ Р } = М М ' П (с л и к а ). Д а је з б и р М Р + Р М н а јм а њ и д о к а з у је с е т а к о ш т о

п о с м а т р а м о п р о и з в о љ н у т а ч к у К п р а в е . Т а д а је М Р + Р А = М Р + Р А 7 =

М И ' < М К + К ./V' = М К + А Т А П б ) Н е к а је И ' т а ч к а с и м е т р и ч н а т а ч к и N у

о д н о с у н а р а в а н д . Т а д а је { Р } = М А 7 П 7Г .

3. Л И Н Е А Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е И Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е С Ј Е Д Н О М Н Е П О З Н А Т О М

3.1

104. а ) 1;' б ) 2; в ) 3; г ) 23. 105. а ) 6 ; б ) в ) Н ; г ) д ) - ™ ;

. , 1 , 1 18Џ ) е ) —— ; ж ) —— . 107. Н е м о г у ћ е је д н а ч и н е с у а ) и б ). 108. а )

и г ). 109. а ) и г ). 111. а ) Р е ш е њ е п р в е је д н а ч и н е је х = 2, а д р у г а је д н а ч и н а

з а х = 2 н и је д е ф и н и с а н а , п а н е м а р е ш е њ а . Д а к л е , је д н а ч и н е н и с у е к в и в а л е н т н е .

б ) Р е ш е њ е д р у г е је д н а ч и н е је х = 1, д о к п р в а је д н а ч и н а н е м а р е ш е њ а је р з а х = 1

н и је д е ф и н и с а н а . е д н а ч и н е н и с у е к в и в а л е н т н е . в ) Н е . 112 . П р в а је д н а ч и н а је

л и н е а р н а и њ е н о р е ш е њ е је 9. Д р у г а је д н а ч и н а је к в а д р а т н а и њ е н а р е ш е њ а с у

3 и —3. 113. И д е н т и т е т и с у а ), б ) и в ). 114. У с в и м је д н а ч и н а м а о д г о в о р је

п о т в р д а н . 115. а ) х = 12л / 3; б ) х = л / 2-У б = 4; в ) х = 12л / 3. 116. а ) х = 5;

б ) ж = 8 . 117. б ).

4 10118. а ) - ; б ) 6 ; в ) -1 ; г ) 1; д ) 119. а ) х = 1; б ) х = 2; в ) х = 2;

г ) х = 2. 120. а ) х = 4; б ) аг = 1; в ) х = 0; г ) ж = —= д ) х = —1.

4 1121. а ) а = —; б ) ж = 7; в ) ж = 1; г ) у = — 122. а ) И з х + 3 = -2 ( 1 - х )

о 4н а л а з и м о х = 5; б ) аг = 1; в ) д = —1; г ) х = 4; д ) н е м а р е ш е њ а ; ђ ) д = —1 .

123. а ) З а ж / —3 д а т а је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а је је д н а ч и н и 2ж + 12 = 2,5ж + 7,5,

о д а к л е је х = 9; б ) х = 1; в ) н е м а р е ш е њ а ; г) х = 7. 124. а ) П о с л е

м н о ж е њ а л е в е и д е с н е с т р а н е је д н а ч и н е с а 5 д о б и ја м о 5ж — (2х — 5) = 20, т ј.

5х — 2х + 5 = 20, о д а к л е је х = 5; б ) х = 0; в ) х = 3; г ) х = 0; д ) х = 0;. _ 43

Џ ) х ~ ~ - 125. а ) П о с л е м н о ж е њ а с а 6 л е в е и д е с н е с т р а н е је д н а ч и н е и м а м о

х + 3 —2(2х —1) = 6 —(1 — х ), о д а к л е је 4х = 0 и х = 0; б ) х = 0; ) х = —3,7;




, 12 ,г) х — 25! д) х = 9; ђ) х = 12; е) нема реш ењ а. 126. а) х 6 К ; б) х = 7;

в) ж = 11. 127. а) 1 57б) х = —7; в) једначина нема реш ењ а; г) х = — .2 20

128. а) ж = 1 или а: = —1; б) х = 3 или х = —1; в) х = ^ или х = —2;1 3

г) х = или х — 3; л ) х = 2 или х = 1 или х = —1; ђ) х = —1 или ж = 2 или

ж = 3. 129. а) х 1; б) х = —1; в) х = 2; г) ж = —1 или х = 2; д) немареш ењ а; ђ) ж = 3 или 2 = —5. 130. а) Л еву страну једначине раставим о начиниоде као разлику квадрата: (2 х - 1 + х + 1 ) ( 2 х - 1 - х - 1 ) = 0, тј. З х ( х -2) = 0.

П роизвод ових израза је једнак нули ако је х = 0 или х = 2. б) Х \ = 6, жг = -;5 ’в) х = 2; г) х = —2,5; д) свако ж е К је реш ењ е; ђ) једначина нема реш ењ а;

5 7е) г/= 1. 131. а ) ж = - ; б) х = 2,5; в) х = - ; г) ж = 12. 132. а) ж = 3;

6 ’

б) х = 1; в) нема реш ењ а. 133. а) х = 2; б)1

15’в) х = 2; г) - 2 .

134. а) Реш ење друге једначине је х = 2. Заменом х = 2 у прву једначинудобијамо 2( — 3) + + 1 = —5, одакле је = 0; б) т = 3, х = 0; в) х = —1,

135. а) х = 2, = —3; б) х = 2, т = —3. = 5; г) х = — ,

7

19

70'

136. а) х = 10 —4а, у = б) за = 2, х = у = 2. 137. а) -3, -2, -1 и 0;

б) -3 , -2 , - 1 , 0 и 1; б) ниједан; г) 0. 138. а) И мамо да је |2х - 3| = 3, па је2х —3 = 3 или 2х —3 = —3. Д обијамо два реш ења: Х \ = 3, х2 = 0; б) х \ = 1, х2 =

5; в )х 1:2= ± 2 ; г) нема реш ењ а; д) хх = 2, х2 = 4; ђ ) ж = - ; е) нема реш ењ а;

) XI13

х2 139. а) За х < —1 или х > 1 једначина нема реш ењ а.

Њ ена реш ењ а су сви реални бројеви за које важ и —1 < х < 1; б) х^ = 1, х2 =

- - . 140. а) П олазна једначина је еквивалентна једначини 2д/(х —2)2 = х , тј.

2|х —2| = х. П осматрамо следеће случајеве: 1° за х ^ 2: 2х —4 = х, х х = 4;4

2° за х < 2: 4 —2х = х, х2 = - ; б) х х = 5; в) хх = —21, х2 = 3.

141. Једначина се може написати у облику \ / ( х —2)2 — (2х + З)2 = —1, тј.|х —2| —|2х ± 3| = —1. П осматрају се следећи случајеви:

31 х < —: х + 2 + 2х + 3 ——1, х \ = —6;

2° - - < х < 2: - х + 2 - 2х - 3 = -1 , х2 = 0;




3° х ^ 2: х — 2 — 2 х — 3 = —1, а г = —4 н и је р е ш е њ е .

Л а к л е , р е ш е њ а је д н а ч и н е с у Д л = —6 и ж = 0.

3.2

142. 215, 216, 217, 218. 143. ( + I ) 2 — 2 = 99; п = 49; т р а ж е н и б р о је в и с у

50 и 49. 144. 83 и 84. 145. И з + ~ + 5 = х д о б и ја м о х = 30. 146. х —

х х х

2 + 3 + 7= 1, х = 42.

147. б е л е ж и м о с а ж б р о ј М а р к о в и х г о д и н а . Т а д а је х + 12 = 3( х —6 ), о д а к л е2 х

с е н а л а з и х = 15. 148. И з -ж + 23 = — д о б и ја м о х = 230. 149. 18. 150. И з5 23 х

х + 112 = - н а л а з и м о х = 560. 151. И з 28 + х = 4(4 + х ) д о б и ја с е х = 4.10 2

152. К р о з 10 г о д и н а . 153. П р е 6 г о д и н а .3 _|_ х 2

15к ш / ћ . 156. И з - = — н а л а з и м о х = 5

х = 23. 158. И з

7 + х 2х — 2

154. Н у л а . 155. 12к ш / ћ и

, 11 - 12157. И з — ------- = — н а л а з и м о

1 2 - х 1 1

+ 2х + 2х + 2 = 33 н а л а з и м о х = 7, п а с у т р а ж е н и

10 ■ 10ж + 6 + 7

б р о је в и 14, 16 и 18. 159. И з13

= 19 н а л а з и м о х = 21. 160. И з

( + 1) + 38 = (п + 2 )(п + 3) н а л а з и м о = 8. Т р а ж е н и б р о је в и с у : 8 , 9, 1 0 и 1 1 .

161. З б и р ш е с т у з а с т о п н и х ц е л и х б р о је в а је ж + (д + 1) + (ж +2) + (а ;+3) + (а :+4) +

(х + 5) = 6 х + 15. З а с к у п А је 6х + 15 = 9, п а је х = - 1 и А = { —1 , 0,1, 2,3 ,4 },

а з а с к у п В в а ж и 6х + 15 = -3 , п а је х = -3 и В = { -3 , -2 , -1 , 0,1, 2, 3} и

А П В = { —1,0,1, 2). 162. И з - х + 4 = — с е д о б и ја х = 28. 163. И з

х х х^ + ^ + у + З ^ х д о б и ја м о х = 28. 164. Н е к а је х б р о ј с е д и ш т а у с в а к о м

а у т о б у с у . Т а д а је 18(ж + 5) = 21ж — 6 , о д а к л е је х = 32. Н а е к с к у р з и ју је

к р е н у л о 18 • (32 + 5) = 666 у ч е н и к а . 165. ^ х ■ 0,8 + 5 + 6 = х ; х = 35 д и н а р а .

2 2166. К а к о је 4— I — х

5 5 —, б и ћ е х = 44 к т . 167. И з | + | • | а > + 720 = х

д о б и ја м о х — 3240 д и н а р а . 168. Н е к а је Г в р е м е к о је је п о т р е б н о а у т о б у с ут . Ш 3 . 1

д а д о с т и г н е к а м и о н . Т а д а је = < + —, т ј . 1 = 1 - ћ . Д а к л е , а у т о б у с с т и ж е48

к а м и о н у 1 2 ћ 4 5 т т + 1 ћ 7 , 5 т т

170. 600 т . 171. И з

173. И з - - - ' 1 0 + 5 + I

169. У 2 ћ с л е д е ћ е г д а н а .13 ћ 52,5 т т . X

36 = т з т з т н а л а з и м о х = 18 к . 172. 54.1/10 ' ™ 1/12

= 2 х н а л а з и м о х =11



3. ЈТинеарне једначине и неједначине 115

174. Траж ени двоцифрени број се може записати у облику 10д + 4. Д акле,важ и (10ж + 4) - 9 = 10 ■4_+ х , одакле се добија х = 5. Тражени број је 54.'

175. О значимо тај број са х 4 = 10ж + 4 (при чему је х четвороциф рени број).Тада је 4х = 2-ж 4+16, тј. 40000+ж = 2-(10ж +4)+16, одаклеје х = 2104. П олазни

број је 21044. 176. Н ека је х дуж ина воза. Тада је —= + х ^ одакле је7 25

х = 147 т . Брзина воза је 75,6 кт/ћ . 177. О значимо са х број година оца.Тада је х = 3(д —30) + 3(ж —25), одакле је х = 33. О тац, дакле, им а 33 године,син 3, а ћерка 8. 178. И з (х + 150)-4 = 150-12 следи х = 300§ воде. 179. А коЈе првобитна количина алкохола означена са х , тада је 0,8ж = 0,6(ж + 12), па је

х = 36. 180. И з 60х + 90(10 — х ) = 80 • 10 налазимо д = — 1и 10 —а; = — 13 3

181. 9 ст и 4ст. 182. И з 52 + (с —I)2 = с2 налазимо с = 13 ст. 183. И з■ 8 ( + 4) ■62 “ ----- ^-----налазим о = 12ст, па је Р = 48ст2. 184. И з 42 + (г- 2 )2 =

+6 налазимо х = 5 ст,г2 налазимо г = 5ст. 185. И з _ (х + 2)(х 1)2 2

па су дијагонале дуж ине 5 ст и 8 ст. 186. И з 3 = ( - 2)о(а + 2) + 20 налазимо= 5ст. 187. И з 72 + ћ 2 = (ћ + I)2 налазимо ћ = 24 ст

188. 1,5х + 2,1(32 х ) —1,65-32, х —24. Д акле, треба узети 24к^ прве врсте и30

8 к§ друге врсте робе. 189. — 1. 190. Н ека је х сниже̂ ве, а број посетилаца

3 4пре снижењ а. И з • 1,5 = - а •(1,5 — х ) • - налазим о х = 0,25 динара. 191. И з

1 1 1 110 + 12 + х ~ 4 добиЈа се х = 15 Дана. 192. 8 и 12 дана. 193. 48 и 20.

194. А ко је до сусрета прош ло 1 часова, аутобуси су за то време укупно преш ли

120 кт. И з једначине 401 + 501 = 120 добија се 1 = —. П рема томе, плави аутобус

160 . г 2 т —3је преш ао — кт, а то је траж ена удаљ еност. 195. И з - - - = 1 + - -

налази.мо х — 20к:п. 196. 182 кт.

3.3

197. Тачне су неједнакости: б), в) и г). 198. Тачне су неједнакости: а), в).199. а) -3 , - 2 и -1 ; б) ниједан; в) -3 и -2 ; г) 3 и 4; д) -2 , -1 , 0, 1 и 2;ђ) 4. 200. а) х > -1 ; б) х % 0. 201. а) { -3 ,-2 ,-1 } ; б) {-3, -2 ,-1 } .

202. а) х < 1; б) х < 2; в) х « -3 ; г) х > д) х > -2 ; ђ) х <5 8

е)Ж >12; ж ) д <т5 . 203. а) х ^ б) х < у . 204. а) 0; б) (-оо,

в) (-оо , - ј; г) (-оо,4 ). 205. а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2; в) 1, 2, 3, 4, 5, 6. 206. 13.




207. х ^ 208. а ) п € {1,2,3,4} ; 6) п е {1 ,2 ,3 }; в ) п 6 { 1 , 2 , 3 , . . . } ;

7г ) п е { 1 , 2 , 3 , . . . } . 209. а ) х < 2; б ) х > —1; в ) х > г ) х > 3;

1 2д ) - < х < 2; ђ ) —5 < х < — е ) х > 4. 210. а ) ж < 2; б ) ж > 6 ;

3 3в ) х > 3. 211. а ) ж > 3; б ) х > 6 ; в ) х > 2 . 212. а ) ж > —4; б ) х > 2 ;

в ) ж > 0; г ) ж > 1,2; д ) х ^ 3. 213. а ) 'ж ^ 3; б ) х > 1; в ) н е м а р е ш е њ а ;

1 4г ) х ^ 11. 214. ) х > —2; б ) ж > —— ; в ) х < — - ; г ) ж < —2. 215. ж = —1.

1 0216. х = 2 .

«/ ■̂ 2,5


217. а ) В . с л и к у . Р е ш е њ а с у с в и р е а л н и б р о је в и х з а к о је в а ж и —2,5 < х < —2;

б ) н е м а р е ш е њ а ; в ) 5 ^ х ^ 7; г ) —- ^ х ^ 0; д ) х ^ 50. 218. а ) Р е -

ш е њ а п р в е н е је д н а ч и н е с у с в и р е а л н и б р о је в и и н т е р в а л а [5 ,+о о ), а д р у г е с в и

р е а л н и б р о је в и и н т е р в а л а (—о о , 17/ 3). Р е ш е њ а с и с т е м а с у с в и х з а к о је в а ж и

х 6 (—о о , 17/ 3) П [5, +о о ) = [5,17/ 3). б ) х 6Е [1 / 2,+о о ) П (—о о , 4) = [1/ 2,4);

в ) х е (—о о , —2/ 55)П [2/ 55, + о о ) = 0 , т ј. с и с т е м н е м а р е ш е њ а ; г ) х 6 (—о о , 9/ 4)П

[—2, + о о ) = [ -2 ,9/ 4) ; д ) х € ( -о о , -1 / 35 ) П [ -67 / 4 ,+о о ) = [—67/ 4, —1/ 35);

ђ ) х 6 [7/ 39,+о о ) П (-о о ,2 [ = [7/ 39,2]. 219. а ) х = 1; б ) х 6 { —2, —1,0};

в ) ж е { 2 , 3,4 }; г ) х 1 .

220. а ) —2 ^ х < 2; б ) ж < —3 и л и х > 3. 221. а ) Д а т а н е је д н а ч и н а

е к в и в а л е н т н а је н е је д н а ч и н и —1 ^ ж — 2 1 , о д а к л е с е д о б и ја 1 ^ х ^ 3;

б ) —1 < х ^ 0; в ) 3 — х > 5 и л и 3 — х < —5, т ј. х е (—о о , —2) Џ (8 , +о о );

г ) х е (—о о ,—3/ 5] 1Ј [1 ,+ о о ); д ) х Е (—о о , 1/ 6] 1Ј [3 / 2,+о о ); ђ ) х 6 (2.3).

222. а ) З а х ^ 1 и м а м о : 2д + х — 1 > 5, о д а к л е је х > 2. З а д < 1 д о б и ја

с е 2ж — х + 1 > 5, т ј. ж > 4; м е ђ у т и м , о в о н и с у р е ш е њ а је р н е з а д о в о љ а в а ју

у с л о в х < 1. Д а к л е , р е ш е њ а п о л а з н е н е је д н а ч и н е с у с в и р е а л н и б р о је в и х з а

к о је в а ж и ж > 2. б ) ж 6 (—4/ 3,0); в ) х е [—3,5]; г ) ж € (5/ 3,3); д ) ж = 2.

223. х е {4,6 , 8 , 10}. I) + { 6 , 9 ,12,15}. 224. 3 < 2 - 5 < 17; 4 < < 11.

225. П о з и т и в а н з а г/ <"7 ’

е д н а к н у л и з а у и н е г а т и в а н з а и > —7 У 7

226. 123 д и н а р а .

3.4

227. б ) 1° В ; 2° А ; 3° 0 ; 4° {3 }; 5° (1/ 2,4); 6° (1/ 2,4]; 7° [3,4);

8° 0 . 228. Т а ч н е с у р е ч е н и ц е : а ), в ), д ) и е ). 229. Т а ч н а је р е ч е н и ц а б ).




230. а) = 8; б) = 6; в) = л/2; г) — 2. 231. а) \ = 0, 2 = 2;2

б) а?! = —, — 2. 232. а), б) Реш ењ а су сви реални бројеви.

233. Д ата једначина је еквивалентна редом једначинама:

- 1994 - 1995 , - 1996 х - 1997 - 1998

— 6------- 1 + — 5---------11 4------- 1 + ^ -------- 1 + — 2-------- 1

__ - 6 5 —4 — 3 —2

“ 1994 ~ + 1995 ~ + 1996 _ + 1997 ” + 1998 ”

- 2000

- 2000

- 2000

- 2000

- 20006 + 5 + 4 + -----3---- + ^ ------

_ _ - 2000 - 2000 - 2000 ( - 2000

1994 4 1995 4 1996 1 1997

{ - 2000) ("1 + 1 + 1 + 1 + 1 — 1---------1---------1---------— -’ \6 5 4 3 2 1994 1995 1996 1997

— 2000 = 0, п ј е = 2000. 234. 18.

—2000

+ 1998

235. П осматрајмо таблицу

ЗОРАН Јован

С а да X 35 —

П ре 35 - /2

X К ако је протекао исти бројгодина и Зорану и Јовану, то је — (35— ) = 35—х——,

одакле се добија = 20. Д акле, Зоран има 20, а Јован 15 година.


ИВАН М арко

С а да 4 2

П ре З X

СЛЕДЕЂЕ ГОДИНЕ 4 + 1 З + 1

И з 4 + 1 + 2 + 1 = 20 налазим о = 3. М арко сада им а 6 година.





НИНА ИВАН

С а да X 44 — х

X П ре х — ( 44 —х ------ )

V V 2

Ка сн и јеЗ х

2 х —2 \44 — х ------- )2 V 2 )

К а к о је у о б а с л у ч а ја п р о т е к а о и с т и б р о ј г о д и н а , т о је

44 — х — = 2 х - 2 44 —I - - -З х

Р е ш е њ е је х = 24. Д а к л е , Н и н а и м а 24, а И в а н 20 г о д и н а .

238. а ) з н а ч и к ^с а х б р о ј м и н у т н и х п о д е л а к а к о ји п р е ђ е с а т н а к а з а љ к а д о

п р в о г п о к л а п а њ а с а м и н у т н о м . З а т о в р е м е м и н у т н а к а з а љ к а п р е ђ е 45+х п о д е л а к а

и п р и т о м с е к р е ћ е 12 п у т а б р ж е . Д о б и ја м о је д н а ч и н у 12гг = х + 45, о д а к л е је45 45 1 9

х — — , п а . е п р в о п о к л а п а њ е п о с л е 45 + — = 49— м и н у т а . б ) К р о з 21 —

м и н у т а . 239. 6 м и н у т а .11 '11

720240. А к о и м а х д е ч а к а , с в а к и т р е б а д а п л а т и ------ д и н а р а . П о у с л о в у з а д а т к а

х

је ( х -3 ) 720 40 720, о д а к л е је х ■ 54 •3, т ј. х ( х —3) = 54 = 9 ■ 6 , п а је

( х је п р и р о д н и б р о ј!) х = 9.

241. Н е к а је б р з и н а а у т о б у с а х к т / ћ . И з

4500 = 60 ■ 75, п а је х = б к т / ћ .

300 300

х х + 15= 1 д о б и ја м о гг(ж+15) =

242. з н а ч и м о д е о п у т а к о ји је б и ц и к л и с т а п р е ш а о б р з и н о м 1 4 к т / ћ с а х + 18,

а б р з и н о м 21 к т / ћ с а х . У д а љ е н о с т г р а д о в а и В је 2х + 18. И з 2х + 18 =

( х + 18 х16

^ + — ) н а л а з и м о х = 27, п а је р а с т о ја њ е г р а д о в а и В је д н а к о 227+ 18 = 72 к ш .

х —3243. Н е к а је х б р о ј о р а х а . П р в и м а јм у н д о б и ја 3 Н ------------ , а д р у г и

х — 3 +

6 +10

10

10. И з

3 + 6 +

3 +10

+ 6

10

10

н а л а з и м о х = 243. С в и м а јм у н и д о б и ја ју п о 27 о р а х а , п а и м а д е в е т м а јм у н а .




244. Н е к а је х б р о ј ч а с о в а з а к о ји б и п р в а ц е в с а м а н а п у н и л а р е з е р в о а р . Д р у г о ј

ц е в и б и з а т о б и л о п о т р е б н о —х ч а с о в а , а тр е ћ о ј —х ч а с о в а . З а је д а н ч а с с в е

2 ' 5т р и ц е в и , п у н е ћ и и с т о в р е м е н о р е з е р в о а р , н а п у н е о с м и н у р е з е р в о а р а . Д а к л е ,

д а в д е је х — 20 и - х = 30, п а ј е — I- =— = — + — = — Д а к л е , п р в е д в е ц е в и2 х 20 30 12

н а п у н и ћ е р е з е р в о а р з а 1 2 ч а с о в а .

245. Н е к а је К а т а и м а л а х , а Н а т а 300 —х ја ја . Ц е н а п о к о јо ј је К а т а п р о д а в а л а45 т т 20 „

Ј а Ј а Ј е т тд ц ------- 1 а Н а т а — . П о у с л о в у з а д а т к а је300 — х х

- ГЈ 5 = (300 - х ) ■ — ,300 — х х

т ј . 9 х 2 = 4(300 —х ) 2 . д а в д е је З ж = 2(300 —х ) и л и З ж = -2 (3 00 —х ) . У п р в о м

с л у ч а ју је х = 120 (300 — х = 180), а у д р у г о м с л у ч а ју р е ш е њ е н е м а с м и с л а .

Д а к л е , К а т а је д о н е л а 120, а Н а т а 180 ја ја .

246. а ) У п у т с т в о : р а з м а т р а т и с л у ч а је в е к а д а је : 1 ° х < —2, 2° —2 < х < 1 и

3° х ^ 1. Р е ш е њ е : х € (9/ 2, +о о ); б ) (—о о , —2) 1Ј (5, +о о ).

247. а ) Д о б и ја м о \х — 1| + |ж —3| ^ х + 2. З а а : < 1 и м а м о 1 —х + 3 — х Џ х + 2,2

Т Ј- х С д - З а 1 ^ х < 3 д о б и ја с е х — 1 + 3 — х > х + 2 , т ј. х < 0 , п а у о в о м

с л у ч а ју н е м а р е ш е њ а . З а х ^ 3 и м а м о х - 1 + х - 3 > ж + 2, т ј. ж ^ 6 . Д а к л е ,

р е ш е њ а је д н а ч и н е с у с в и р е а л н и б р о је в и з а к о је в а ж и х € (—о о , 2/ 3] 1Ј [6 , +о о ).

б ) -2 ^ х < 5.

248. а ) П о с т о је д в е м о г у ћ н о с т и : 1°2ж — 5 > 0 и ж — 1 > 0; 2° 2ж —5 < 0 и

5 5 5х — 1 < 0. У п р в о м с л у ч а ју је х > - и х > 1, т ј. ж > - , а у д р у г о м х < - и

х < 1, т ј. х < 1. Р е ш е њ а н е је д н а ч и н е с у е л е м е н т и с к у п а (—с о , 1) Џ (5 / 2,+о о ).

б ) х € (—2 , 3); в ) х е (—о о , —1 / 2 ) Џ [3, + о о ); г ) х 6 ( —2 , 1 ].

2х — 5249. а ) Д а т а н е је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а је н е је д н а ч и н и ----------------1 > 0, т ј.

х + 3х — 8

—-ј-д ^ 0. П о с м а т р а јм о д в а с л у ч а ја : 1° х ^ 8 , х > —3; 2° х ^ 8 , х <

— 3. Р е ш е њ а н е је д н а ч и н е с у е л е м е н т и с к у п а (—о о , —3) Џ [8 , + о о ). б ) х [—1,4);

в ) х 6 (—о о , 2] Џ (5/ 2, + о о ); г ) х 6 (—о о , 1) (Ј (1,2) Џ (5, +о о ); д ) х е (1/ 2,1).



120 Реш ељ а задатака

250. а ) Д а т а н е је д н а ч и н а с е з а х 0 и х ф —2 м о ж е н а п и с а т и у о б л и к у

Ф ~ ј) _ 2х ( х + 2) 5

п а је о н а з а х ф 0 е к в и в а л е н т н а н е је д н а ч и н и

3(ж - 3) ^

5 ( х - 1 ) - 2 ( х + 2)< 0 , т ј.

5(х + 2)

^ 0. У с л о в х — 3 'Џ 0 и х + 2, •< 0 н е в а ж и н и з а је д н о х , п а т р е б а5(ж + 2)д а б у д е х — 3 ^ 0 и ж + 2 > 0 . Р е ш е њ а , д а к л е , п р и п а д а ју с к у п у ( —2,0) 1 (0,3]

(з б о г у с л о в а 1 ^ 0 ). б ) ~ ' 'ј:ј < 8 , х 6 (—о о , 3) 1 (3,4) 1 (5, +о о ).

251. а ) х ( х — 1) 5= 0, х 6 (—о о , 0] Л [1, +о о ); б ) х е [—1,0) Л [1, +о о ); в ) х е

[ -1 , 0) 1 [1, +о о ); г ) х 6 (—о о , 0) 1 (1, + о о ); д ) х < —1.

252. а ) З а х /= 13 н е је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а н е је д н а ч и н и 113 — х \ < 6 , т ј.

—6 < х ~ 13 < 6 , о д н о с н о 7 < х < 19. Д а к л е , р е ш е њ а с у с в и б р о је в и с к у п а

(7,13) Џ (13,19); б ) х 6 (-о о , 3) Џ (3, 5) Џ (9, + о о ).

253. а) х е (—оо, —9/7)Џ (1, +оо); б) х 6 (—2,4/3); в) х е (—оо, 4/3)Џ (8, +оо);

г) х 6 (-2 , 0) Џ (1,4); д) х 6 (3,4].

254. а) Н ајм ањ а вредност израза једнака је 4, за х = 2. Н аиме, због (х — 2)2 ^ 0,важ и (х —2)2 + 4 Ј? 4; б) х 2 — 2ж + 4 = (х — I)2 + 3, па је најмањ а вредност израза

1 33 за х = 1; в) — 5 за х = —; г) 0,001 за х = - .

255. а) Н ајвећа вредност израза једнака је 0, за х = —1; б) 3, за х = - ;

в) како је — х 2 + 6х — 10 = ~(х — З)2 —1, највећа вредност израза је —1, за х = 3;

г) за х = 4.4

256. а) у + —> 2 +=+ "Џ 2 <=> ? + 62 > 2а В <=> (а —6)2 ^ 0; а а

г) ^ +=+ а + 6 ̂ 2 \/а к <=> (у /а — л/б)2 ^ 0,

257. а ) х 2 + у 2 + г 2 ^ х у + у г + г х +=> 2ж 2 + 2 у 2 + 2г 2 : 2 х у + 2 у г + 2 г х <=+

х 2 ~ 2 х у + у 2+ у 2 ~ 2 у г + г 2+ г 2 — 2 г х + х 2 > 0 <++> ( х —у ) 2 + ( у ~ г )2 + (г —х ) 2 > 0 .

258. а ) Д а т а н е је д н а к о с т е к в и в а л е н т н а је с а н е је д н а к о ш ћ у (а + I ) 2 + 1 > 0, к о ја

о ч и г л е д н о в а ж и з а с в е р е а л н е б р о је в е а ; б ) (а — 2 )2 + 2 > 0 ; в ) (а — З )2 + 2 > 0 ;

г ) ( а + ^) + > д ) - (« - I)2 - 1 < 0.



4. П ризм а 121 (

259. У правоуглом троуглу је г = К = где су о и 6 катете, а с

њ егова хипотенуза. Зато је Н + т = — , па се а) своди на тачну неједнакост

— а б) се своди на — > — -̂---, тј. К \/2 Јј + , односно с\/2 ^ а + 6,^ г V 2 —1

тј. на тачну неједнакост 2(а2 + 62) ^ а2 + 2аб + 62.

4. П И З М А

4.1

260. Рд = 16\/2ст2, Р = 96 ст2, V" = 64ст3. 261. а) = 2ст, Р =24ст2, V = 8 ст 3; б) = Зст, Р = 54 ст2, И = 27ст 3. 262. = 4ст,Р = 9 6ст2, Р = 6 4ст3. 263. а) Д ијагонални пресек коцке је правоугаоник(слика). П оврш ина тог правоугаоника

= 8 ст. П оврш ина коцке је Р = 6а2 =б) Р = 5 4ст2, V = 27ст3. 264. а2 : с


је ■ \Ј 2 = 2\/ 2 = 64\/2, одакле је384 с т2, а запремина V = 3 = 512 ст3.,2 л/2 = 1 :\ Д .

265. Раван сече три стране коцке по њ иховим дијагоналама (слика). П ресек

је једнакостранични троугао странице х . К ако је х = \Ј 2, то је Р =

2.. .

266. а) & = \/ 2+ 62 + с2 = 7 ст, Р = 2(аб + 6с + са) = 72 ст2;29 ст, Р = 1464 ст2. 267. 2 6 т 2. 268. 7ст, 210 ст3. 269. V

а2\/3

2б) <6?

200 ■150 • 25 6 т3 = 750 0001, ^ Р = ^ •750 0001 = 450 0001 = 4500 ћ1. 270. 2,55 5

часова. 271. V = 3,5 ■4 ■5 = 70 т 3 = 70 0001. 272. П оврш ина за кречењ е је4,8 • 4 + (4 ■3 + 4,8 • 3) •2 - 2 ■1,5 - 2,2 ■1 = 66,8 т 2.

273. а) Зст; б) 11ст. 274. Р = 160ст2, V = 12 8ст3. 275. Н = 12ст,V = 432ст3. 276. Р = 264ст 2, V = 288с т3. 277. Н = 12ст, = 4,5\/2ст, Р = 27(3 + 8^2) ст 2, V = 486ст3. 278. Р = 170сш 2, V = 150ст3.

V 279. Н = — = 15ст, Р = 2В + 4 Н = 608ст2. 280. = 12<1т, Р = 174т,

!




Р = 336с!т2. 281. Р = 276ст2, V = 360с т3. 282. а) К ако је Р = М + 2В ,

то је 2В = 2а2 = 50 ст2, односно а = 5 ст. И з М = А а Н налазим о Н = 6 ст, па

је V = В Н = 150ст3. б) Н = 4 ст, V = 16с т3. 283. 22ст. 284. Како јеД 2 = 2а2 + Н 2 и с Р = а 2 + Н 2, биће а2 = И 2 — Л 2 = 6, а Н = Vс Р —а2 = 0,5 ст,па је Р = 2а2 + 4а+/ = 2(6 + у / б ) с т2, V = а2Н = З ст3.

285. а) Р = 18(а/ 3 + 8) ст2, V = 72ч/Зст3; б) Р = 198л/3ст2, V =3 9

216\/Зст3. 286. Р = -(6 + \/3) с т2, V = - ст3. 287. 2 т. 288. а = 4ст,2 4

Н = 8ст. 289. а) а = 4ст; б) Р = (8\/3 + -60) ст2. 290. Н = 12 ст,

Р = 386,5 ст2. 292. а = 8ст, Р = 32(У З + 6 )с т2, V = 128\/Зст3.293. а = 8ст, Р = 16(2\/3 + 15)ст2. 294. Н = 22\/Зст, V = 5346ст3.295. а = 6ст, Р = 18(\/5 + 8) ст2, V = 7 2\/З ст3. 296. V = 216\/Зст3.297. Р = 18(\/3 + 8) ст2, V = 72 \/З ст3. 298. Р « 50(\/3 + 6) ст2,V ~ 432,5ст3. 299. Н « 10ст, V ~ 16 0\ /Зст3. 300. а = 8ст, Р =9) ст2. 301. Р = 18(\/3 + 24) ст2, V = г^ б ^ с т 3. 302. V = г ^ ^ с т 3,

304. с = Н = 15ст, Р = 648 ст2, V = 810ст3. 305. 6 = 15ст, Н = ЗО ст,V = 8100ст3. 306. Р = 336ст 2, V = 288ст 3. 307. 6 = 5 ст, Р = 184ст 2,V = 120 ст3. 308. &= 80 ст, с = 89 ст, Н = 80 ст, Р = 19 760ст2, V =

124800ст 3. 309. Р = 3(24 + 11\/3) ст2, V = З6 \/Зст3. 310. Р = (192 +128\/3) ст2, V = 19 2\ /Зст3. 311. Р = 8(11\/3 + 12) ст2, V = 96\^5ст3.312. Како је с2 = а 2 + &2 = 576 + 100 = 676, то је с = \/б 76 = 26 ст. П оврш ина

призме је Р = 2В + М = 2- ^ + (а + 6 + с )Н = аб + (а + 6 + с)с = 1800 ст2, а

запремина У = Р Р = 3120 ст3.

313, Р = 36(3\/3 + 8 )ст2, V = 432\/^ ст3. 314. V = 121,5ст3. 315. а =

4 ст, Р = 24(2\/3 + 15) ст2, У = 3 6 0 ^ ст3. 316. Р = 3(\/3 + 16) ст2,И = 12\/З ст3. 317. а) Н ка б ст, Р кз 12(\/3 + 6)ст2; б) а = б ст, Р =36(3\/3+ 10) ст2. 318. а) а га 14,4 ст, Н ^ 3,3 ст, V « 1787,7ст3; б) Н т 6,54ст, V ~ 1086,16ст3. 319. Н : а = 3 : 1, Н = 3а , а = 4ст, Р =48(\/3 + 6) ст2, V = 288У З с т 3. 320. Р = 75(4+ \/3 )ст2, т ~ 1816,58-

321. V = 6а ^ Н т 33631,2<4т3 (1). 322. Р = (75\/3 + 240)с т2, т »

1402,96§. 323. а = 5 ст, Н = 1 0\/Зст (слика), Р = 3 75 \/3ст2, И = 1125ст3.324. Н а = 5 ст (слика), а = — ст, Н = 10л/3ст, Р = 100(\/3 + 6) ст2,

V = 1500 ст3.

291. а = 10ст, Н = 10ст,

= — = 0,865 § /ст3. 303. II = За, Р = а3\/3 а3

4



4. П ризма 123

/ 1

/ 1 \

ч / 1

; /

/ 6 0 N \ 7


/ |

N

гј

/ - х Л

\ / \

/б 0̂а \


325. а) = 4 ст, Р = 16(\/3 + 10) ст2, V = 80%/Зст3; 6) ћ = ^ = 2ст,

Р = 176ст2, + = 8 0ст3; в) ћ = 4 ст, Р = 192л/2ст2, V = 160\/2 ст3.

= 10 ст, Р = 2В + М = 2- + 4а2 = 59 2ст2,

V = В Н = ^ 2 • = 960ст3. б) = 5 ст, Р = 148ст 2, V = 120ст3.

326. а) +

327. а = 6,5 ст, Р = 320 ст2, V = 300 ст3. 328. Р = 4(47 + 5\/2) с т2, V =140ст3. 329. Н = т = 7ст, ћ = 4ст, Р = 224ст 2, V = 196 ст3. 330. =

8ст, Н = 12ст, V = 288ст 3. 331. = 24ст, Н = 30ст, Р = 1800ст2,V = 3600 ст3. 332. ћ = 12 ст, Н = 16 ст, V = 3072 ст3. 333. А С = 20ст, Н = 9ст, В = 192ст 2, Р = 906ст2, V = 1728ст 3. 334. 35200т 3.

335. Број ивица мора бити дељ ив са 3. 336. а) 4; б) 0; в) 10. 337. а) 6;

6)8; в) 20. 338. Тачни су одговори в) и г). 339. а) — ̂ +3а&; б)2 а2+4аб;

в) 3а2\/3 + 6а6. 340. Д обија се правилна четворострана призма, Р = 648 с т2,

2а\/б Р

~2

\/б, Р = 2а2 1 +

2\/бV = 864 с 3. 341. а) О = Н

3 /лV = б) Р = 2а, Н = у /2, Р = 2а2(1 + 2 у / 2 ) , V = 3у / 2; в) Р = 2 \ / 2,

И = — = а\/6, Р = 2а2(1 + 2\/б), V = а3\/б.

4.2

110 / 90 \ 99342. И вица добијене коцке је \ = ) = , где Ј е ивица

полазне коцке. Тако јеV

4

Д 00 ) 100

0,993 . 343. Н ека је А С \ дијагонала

коцке и В Т растојањ е тачке В од дијагонале (слика). У правоуглом троуглу

А В С х је А В ■ В С г А С г ■ В Т ТЈ■ г у / 2 о\/3 •7 . ■ 3--- -

— , о д а к л е Ј е = 7../- и

Р = 6 2 = 441 сш 2.




А а вС л. уз зад. 343 С л. уз зад. 352

344. К ако је В — —14 ст и Н = — ----- — = 5 ст, биће V = В Н = 70 ст3.2 2{а + )

345. О значимо са и с[2 дуж ине дијагонала основе паралелепипеда, са а дуж инуосновне ивице и са Н дуж ину висине тела. Тада су површ ине дијагоналних

пресека: р = и д = Л 2Н . О давде се добија = *— и Л 2 = —, одакле

је с12 + Л 2р 2 + д2

Р 2

односно а =у/р2 + д2

2Н

С друге стране важ и а 2 =

па је М = 4.а Н = 2^/р2 + д2.

р 2 +<?24 Р 2

346. А ко са а , 6, с, I), редом, означимо дужине ивида и дијагоналу квадра,добијамо

а2 + &2 = 15, 62 + с2 = 481, с2 + а2 = 544,

и сабирањ ем 2(а2 + &2 + с2) = 1250, док је О 2 = а ? + 62 + с2 = 625, те је В = 25.

347. а = ~~\/3 = 2\ /3ст, 6 = = 2ст, Н = ~ = — ст, 1/ = а Ш =2 2 У З 3

16 ст3. 348. Р = 1504ст2, V = 3840 ст3.

349. И з а ћ = 12, 6с = 36, са = 48 добијамо множ ењ ем левих и десних странаједначина а 2ћ 2с 2 = 20 736, па је а ћ с = 144, те се из прве једначине добија с =12 ст, из друге а = 4 ст и из треће 5 = 3 ст. Д аљ е је Р = \/а2 + 62 + с2 = 13 ст.

350. С тране су правоугаоници, па је а ћ : а с : ћ с = 4 : 3 : 1, одакле је - = -с 3

а _ 3 _ 12 . а ћ сђ ~ Ј - ТЈ- | = д = к , односно а = 12к, 6 = 4к, с = 3к . К ако је

Р 2 = а 2 + 62 + с2, то заменом добијамо: к = 6, а = 72, 6 = 24, с = 18, па је

Р = 2(а ћ + 6с + с а ) = 6912 ст2 и У = а ћ с = 31104 ст3.

351. В ећи дијагонални пресек правилне ш естостране призме је правоугаоник састраницама 2а и Н . И з 2Н + 4а = 2 2 и Р = а —1 налазимо Н = 3 ст, а = 4 ст,па је Р = 24(3 + 2- 3̂) ст2 и V = 7 2\/З ст3.




352. К ако је (слика)

В И \ = -Ј В Б 2 + = у ( а / З)2 + а 2 = 2а = 4 сш ,

то је површ ина правоугаоника А В Р ^Е х једнака а ■ 2а = 8 ст 2. 353. V = 6 т 3.

3 3354. К ако је (1 = а /3 , то је а = 1сш , В = -а2\/3 = - \ /З ст 2, Н = 2а = 2ст,

Р = 2В + 6а Н = 3(\/3 + 4) ст2 V = В Н = 3 \/3 ст3.

5. П И А М И Д А

5.1

355. Тачна је само реченица (II). 356. 9ст. 357. а) ћ = 13ст; б) Р =ЗбО ст2; в) Р = 400с т3. 358. а) Н = 6ст, Р = 216ст2, V = 162с т3; б) Н = 12 ст, Р = 270^3 ст2, V = ЗО О У Зст3; в) ћ = 8 ст, Н = 2 /1 ст, Р = 336 ст2,V = 96/7 ст3; г) а = 10 ст, Р = ЗбО ст2, V = 400ст3. 359. а) ћ « 7,4ст,

175Р ^ 99ст2, V = у с т 3; б) ћ = 17ст, Р = 8 00ст2, V = 1280ст3; в) Н =

1 ОО

16сш , Р = 1536сш 2, V = 3072ст3. 360. Р = 32(2 + /5 ) с т 2, V = у - с т 3.

361. Н = 2 / 7 ст, Р р = - — = 4 /1 4 с т 2. 362. Л = з = 4ст, а = 2/2 с т ,

Н = 2\/З ст, V = —~ ~ С1Т13. 363. <1= 16 сш , а = 8\/2ст, V = 1280 ст3.

364. а) И з а 2 + 4 —~ = 96 налазим о ћ а = 5 ст, па је Н = / 5 2 — З2 =

а 2Н4ст, а V = —— = 48с т3; б) ћ а = 8ст, Н = 2\/7ст, V = 96\/7ст3.

365. а = 16ст, ћ = 17ст, Р = 800ст2. 366. Р = 576ст 2, V = 512ст3.367. ћ = 10ст, II = б ст, Р = 576 ст2, V = 512ст3. 368. И з З2 + Д 2 =(Н + I)2 налазимо Н = 4ст, ћ = Н + 1 = 5 ст, Р = 96ст 2, V = 48ст3.

369. Н = - = 5ст, 8 = 5^2 ст, Р в = 25 ст2. 370. Биће 6 = а / 2 =

8\/2ст, Н = — = 4\ /бст и апотема ћ = \/ И 2 ст, па је V = ^ / ^ с т 3,

Р = 16(4 + /112) ст2. 371. а = з = бст, ћ = 3 \/3 ст, Р = 36(1 + /3 ) с т2,V = З6 \/2ст3. 372. Р = 2г2(1 + /3 ) « 21,86с т2. 373. Треба позлатитисамо омотач. ћ = 8,4 ст, М = 43,68 ст2. 374. т = р У « 4,56 §.



126Ј " Т

375. V = 192 ст3. 376. Н ека је Н = а = 4 ст. И з 2а + 26 = 14 ст иа = 4 ст следи 6 = Зст, V = 16 ст3. 377. а) Д ијагонала основе пирамиде је

(1= \/а 2 + К 2 = 30 ст, а висина је катета правоуглог троугла чија је друга катетаполовина дијагонале, а хипотенуза бочна ивица, па је Н 2 = 252 —152 = 400, тј.

Н = 20 ст. Запремина пирамиде је V = -а&Р = 2800 ст3. б) <1= 10 ст , Н =

12ст, V = 192ст3; в) <1= ЗО ст, Н = 8ст, V = 1152ст3. 378. ћ а = 20ст,

= 13ст, Р = а ћ + а ћ а + ћ ћ к = 936ст2, V = т а̂ ћ Н = 1280с т3. 379. Н =

10ст, 5 = 12,5ст. 380. з = Л = 13ст, V = 130л/3ст3. 381. II = 12ст,Р = 936ст2, V = 1280ст3.

Реш ењ а задатака

382. а) ћ а = 26ст, В = 300\/3ст2, М = 780л/3ст2, Р = М б О ^ ст2,V = 2400-/3 ст3; б) Р = 12л/3 (1 + л/Гђ ст2, V = 32 \/3ст3; в )Р = 72У Зст2,V = З6 \/Зст3; г) Р = 270\ /З ст 2, V = З00л/3ст3. 383. а) А потема

пирамиде је ћ а = ^ј 2

у2

4ст. Р2̂ 3 а ћ а

Н =

4 + 3 ~ = 9(\/3 + 4)ст2,

\/13ст, V = • ~ = Зл/39ст3. б) Н = 11 ст,

Р = 18(2 +13 \/ГЗЗ) ст2, V = 132\/3 ст3. 384. а » 10,2ст. 385. а =

6\/3ст, Н = 4 ст, Р = 72\/Зст2, V = З6 \/З ст3. 386. а = бст, Н = л/13ст,Р = 9(\/3 + 4) ст2, V = 3 \/39ст3. 387. Р = 72\/Зст2, V = З6\/Зст3.

131388. а = 8ст, Н = '

390.

г и3

ст, ћ = 7 ст. 389. ћ = 5,68 ст, 5 = 6,94 ст.

\/47 о а г-24 С т 391. Н ека је ћ = висина основе ове пирамиде. Тада

„ 2 2СУ -п и -п катете правоуглог троугла са ош трим углом 45 , па је - ћ = Н и

ћ — 3\/3 ст. И з -У З — Зл/З налазимо

а = б ст, па је запремина пирамиде

V 12

1 2 Д = 18 ст3. 392. V 12

= 18 ст3. 393. а = 9ст.

394. V Р 3\/3

1218\^Зст3. 395. Н ека је ћ апотема пирамиде. К ако је

ст .2 ~ ^л/З, то је ћ = 2ст. П оврш ина пирамиде је Р = + 3 ~ = 9 \/З ст2.

396. а) А потема пирамиде је једнака двоструком полупречнику уписаног круга

т2\/3 , а ћ 3а2\/3 , а

3 - = Т — б) ћ = 3 ’Зз2 „

= —— = 150 ст2.

основе, па је ћ = 2 ■^У З, те

Р =а 2 г- т (2 + у Д ). 397. а =

398. У р :У к = 1:4.

4 ' ~ 210 \/2ст, 8 = 10 ст, М



5. П ирамида 127

399. а) И з 6а = Збст налазимо а = б ст, па је Р = 4 ■—/ 3 = 36л/3ст2.

6) а = Зст, Р = 9 \/З ст2. 400. а = 4ст. 401. а = 10ст, И 250/2

402. Р = 225л/3ст2, У = ст3. 403. Н = Р = а2\/3, И =

а3\/2

12. 404. Р = 4 • — \/3 = а2\/3 = - /г2\/3, јер је

а\/б

~3~

2ћ

71'

405. Р = \/в2 —а2 = 10л/2Т сш , ћ = ( /ј2^/б2 - = 20 /6 ст, Р = 600/3 (1 +

налазим о

2

2 /2 ) ст2, И = 6000/7 ст3. 406. Р = 192/3 (2 + /7 ) ст2, И = 15 3б /3ст3.407. И = 5 4 /З ст3. 408. Н = 4 ст, ћ = 5ст, В = 1 8 /З ст2, М = 30 /3 ст2,Р = 4 8 /З ст2. 409. Р = 4 8 /З ст2, И = 2 4 /З ст3. 410. Р = 19 2/З ст2,У = 19 2/3 сш 3. 411. а) Р = 19 2 /З ст2, И = 19 2 /З ст3; б) Р = 6 0 0 /З ст2,

2

И = 4 8 0 /З ст3. 412. В = Р - М = 1 8 / З с т2. а) И з6 ^ - / 3 = 1 8 / 3

а = 2 /3 ст. б) И з 6 —- = 30/3 налазимо /1 = 5 ст, па је Н = ^//г2 ~ ^7/З^ј

4 ст. ) V = - В Н = 24/3 ст3. 413. Н = 4 ст, /г = 5 ст, Р = 4 8 /З ст2.

414. Т реба правити разлику између нагибног угла бочне стране и нагибног углабочне ивице. О вде се ради о углу између полупречника уписаног круга основеи апотеме пирамиде. К ако је он 60°, то је ћ а = 2г = бсш . С друге стране,полупречник уписаног круга правилног ш естоугла је висина једнакостраничног

троугла странице а . И з —/ 3 = З ст налазимо а = 2 /З ст. П оврш ина пирамиде

3је Р = -а (а /3 + 2ћ а ) = 5 4 /З ст2. 415. Р = 2г(г/3 + /З б 2 - г2) = 6 (/3 +

/8 ) ст2. 416. V = 5 4 /З ст3. 417. Р = 16 2 /З ст2, V = 16 2 /З ст3, т =

/651рИ 779,1228§. 418. А потема пирамиде је ћ = у / З Ј + Н 2

2

12,76ст, па је површ ина Р = 6 —/ 3 + 6 —/г 256,35ст2. Запремина је V =

1 а 2- • 6 - — / 3 ■ Н = 1 5 0 /З ст3, а маса т = 750/3§. 419. Р а = 12/2ст2.

420. V = 3 2 /З ст3. 421. Р = 72/3(1 + / 2 ) с т 2. 422. Р = 9 б /3 ст2,Рп = 32 с т2.

5.2

423. А ко је ош тар угао ромба 60°, тада је краћа дијагонала једнака странициром ба, а друга (дуж а) дијагонала је састављ ена из две висине једнакостраничног




• | ^ + ( § ) = 64(1 + У 2)сш 2.

троугла странице 8ст, па је V = ~ ^ Н = 96\/3ст3. 424. 1С = ~ = 7,5 ст,

с = 15 ст, Н = 15 ст. 425. V = 80ст3. 426. = 8ст, Н =4ст,т, 1 256 , „V = ~ 2Н = — ст3, Р = 2 + 4

о о

427. | о2. 428. ћ = , Н = ^л/З, Р = а2 + 2аЛ, = За2, V = - 2Н =2 2 3 6

429. К раћа дијагонала Л \ једнака је страници ром ба и износи 9 сш , Л 2 = 9\/3 ст,V = 162\/Зст3. 430. М = 260т2. И з пропорције 100 : Р = 75 : 260добија се Р и 347ст2 лима. 431. V = 60с т3. 432. Н = 1 2 /З ст3.

2

433. а) Р = — (3 + л/3); б) V) : И2 = 1 : 5. 434. а) = 45°, Р =256

(64 + 6\/2) ст2, V = у с т 3; а = 30°, Р = (48 + 64\/3) ст2, V = 64 ст3;

256а = 60°, Р = 64с т2, V = — ст3. б) а = 45°, Р = (16 + 16\/3 )ст2,

V = ст3; а = 30°, Р = ^ 16+ ј с т2, V = с т3; а = 60°,

Р = (16 + 16\/7) ст2, К = ст3.

435. Н =/9 а2 ( 2 0

© 1 0

а

I/ 16 4 _ 4 ’= —, Л \ = х \/2 , Л = \/ 2 (с л и к ). И з у ; ( Р - ж ) =

& тт < ■ \ ж \/2 / а \ а\/2 а . а2 : н (х Је и в и ц к о ц к е ), у — : I - - х Ј = у — : с л е д и д је х =

Н -х

012


436. И з М = 4 — = 2 ћ имамо ћ = 30. С друге стране је /г = + Р 2,

. „ 2 /7 а \ 2 4 Г 5 5па како е Н — - а, о је ћ = у I —) + - а2 = - а и према томе а • - а = 30,

9 . 1одакле Је = 36, тј. = б ст и Н = 4ст, па је V = - а2Р = 48 ст 3.




437. Висине основе су (слика) ћ \ =90

10

о , 9° ,9 ст и п2 = — = 5 ст, апотеме1о

н 2 + = 7,5 ст и ћ к = \ Н 2 +

ом отача пирамиде М = 2 ћ ћ ћ ̂

~~2 * 2~

= 6,5 ст, па је површ ина

= 192 ст2.

438. Д уж ина друге дијагонале основе је Л 2 = 4\/5, а бочне ивице су ћ х =

\/32 + 42 = 5 ст и 62 = \ Ј (2лД )2 + 42 = 6 ст.

439. А ко је ћ апотема пирамиде, биће М = 2 ћ = 24ћ = 360ст2. Д акле,

ћ = 15 ст. А ко је Н висина пирамиде, а ћ г висина ромба, биће Н = — и

ћ \ = ћ ^/2, па је V = — ћ \Н = 900ст3.

440. О дстојањ е теж иш та Т основе А Н С пирамиде од произвољ не основне ивице

Је Т Р —- \/3 д ст (слика). К ако је А Т Р К = 60°, Т Р К је правоугли

/отроугао са ош трим угловим а 30° и 60°, па је Т К = Т Р ■ ~ = 2 ст. 441. О ва

пирамида је правилни тетраедар ивице 6 = = 2 \/2ст. Т раж ена запремина

1 8 *Је ^ = з ст3’ в' заДатак 418. 442. ћ = 8ст, В = — = 48 ст,

Вг = “ = 3 ст, Н = г = 3 ст 443. Н = у /3 ст. 444. V = 48 ст3, Р =

6(11 + \/14/2) ст2.

о

445. Н ека је О поднож је висине из темена С у троуглу А В С (слика). Тада јеС 'Р + А В , па је А С Р С ' = 45° и С С ' = С В , јер је А С 'С В = 90°. Запремина




п и р а м и д е Ј е

3 8 3 8 Е у з = ^ = 2 с т3.4 32

446. П о в р ш и н а о в е п и р а м и д е је је д н а к а з б и р у п о в р ш и н а д в а је д н а к о с т р а н и ч н а

т р о у г л а с т р а н и ц е и д в а п о д у д а р н а је д н а к о к р а к а т р о у г л а , к р а к а и о с н о в и ц е

6 = у /2 = -\ / 3 • л / 2 = = л / б с т (с л и к а ). П о в р ш и н а т о г је д н а к о к р а к о г

т р о у г л а је д н о с т а в н о с е и з р а ч у н а в а и је д н а к а

је -\ / Т 5 с т 2, п а је п о в р ш и н а п и р а м и д е

Р =

447.

+ =У З (2 + У 5)с 2.

г\/2

448. в а г е о м е т р и јс к а т е л а о г р а н и ч е н а с у је д н а к о с т р а н и ч н и м т р о у г л о в и м а ч и ја

а2\/3 „ опје п о в р ш и н а ——— . К а к о т е т р а е д а р и м а 4 с т р а н е , о к т а е д а р 8 и и к о с а е д а р 21), т о

с у тр а ж е н е п о в р ш и н е , р е д о м , з а п р а в и л н и т е т р а е д а р , о к т а е д а р и и к о с а е д а р :

3, 8 - ^ = 2 а 2\/3, 20- 2̂ 3 = 5а 2\ / 3.

449. К =а 3&

12\/ЗаГ ■ 462

450. П о в р ш и н а п р а в и л н о г т е т р а е д р а је 4

З а п р е м и н а о в е п и р а м и д е је (в . з а д а т а к 403)

-л / 3, п а је и в и ц а = \ / б с т .

П =

°3\/2 з---------

= \ / З с т .12

6. Л И Н Е А Р Н А Ф У Н Ц И Ј А

6.1

451. Л и н е а р н е ф у н к ц и је с у : а ), б ), в ) и ђ ). 452. а ) у ( — 1) =

7/ (1) = 4, у (2) = 7, 2/ (3) = 10. Т а б л и ц а :

-2, 2/(0) = 1,

X -1 0 1 2 3

У -2 1 4 7 10



6. Л инеарна функдија 131

453. а) Н ајпре функционалну зависност изразимо у експлицитном облику: у =

ж + о' О давде добијамо: у { -2) = 3, у(0) = у о о 3

О давде добијамо таблицу

X - 2 0 1/2 5 /3

У 3 5 /3 4 /3 5 /9

454. а) -3 ; б) -1 ; в) -5 ; г) 2 х -1 ; д) 4 х -5 ; ђ) /( -7 ) = -17; е) /(/( * )) = /{2х — 3) = 2{2х — 3)—3 = 4х — 9. 455. У дату функцију заменом: а) х = 0 добија

се /(0) = 1; б) ® = -1 , /( -1 ) = - - + 1 = в) х = ^

г) ж = - а —1, /4 Ј а - 1 = -4 / 5

5 V4

5

1 1+1 о+ —. 456. а) х

4 а _ а

=•7+! = т+1;5 4 5

1; б) х 0 =

в) х 0 — -1; г) х 0 д) х ° ~ — 457. В. слику. Н апомена: праве г), д),

ђ) нису графици функција.

а) б) в)У

с с I I

с с У

X

у=0 х1 X

У =-2-2

г) Д) ђ)У У У

с о I I Xх —-1 х =0

X X X3 1


458. В. слику.

а) б)




Сл. уз зд. 458

5 3459. а) у = х + 2; б) у = З х —4; в) у = - х

1 3г) ј/ = —2х + 3; д )2/ = - ж + ~.

460. а) 5ж - у + 6 = 0; б) Зж +у = 0; в) 2ж - 4у - 3 = 0; г)

5х + 10

у - 6 = 0.х 10

461. а) у = 4х + 2; б) у = 2х - 4; в) у = - - - — . 462. 2. 463. а) у =

х + 2. б) П ресечне тачке су (0,2) и (4, 0). в) График је на слици. 464. б).

465. а) у = х ; б ) у = 2ж; в) у = —ш; г) у =

—2ж. 466. а) у = а; + 1; б) у = — + 1;в) у = I —2; г) у = —2х —1. 467. в).468. а) 3; б) 4; в) 2; г) 1. 469. Н е, ове тритачке нису колинеарне. Н аиме, тачке А и В

припадају правој у = х , а тачка С не припадатој правој.

470. а) а = -2 , &= 0; б) а = 2, 6 = 0. 471. к = 2. 472. М (0,-2).473. а) (4,0), (0 ,-6 ); б) (-5,0 ), (0,-2 ). 474. а) Н ека је у = к х + п . И з-3 = 4 - 0 + п и 0 = М + п налазимо п = —3, к = 3, па је траж ена једначина

у = Зж - 3. б) у = | х - 2; в) у = х —1. 475. в). 476. в). 477. Тачке А и

С припадају графику, а тачка В не припада. 478. а) И з 12 = 2а + 14 налазим о1 3

а = —1; б) а = — ; в) а = 1; г) а = 5. 479. П ресек праве у = —-ж + 6 и5 ’1

2/-осе је тачка И (0 ,6), а траж ена права у = - х + 6. 480. а) а = 0; б)

481. И з к — 1 = 2 налазим о к = 3.

- 1 .

482. а) Траж ена права има једначину у = — + п , а како тачка А припадатој правој, треба да буде 2 = —1 + п, одакле је п = 3, па је траж ена једначина

у = — + 3; б) у = —2х + 1; в) у = - х . 483. к = -2 . 484. Растуће су~2х + 1; в) у = - х .

функције б), г), д), и е), док су остале опадајуће. 485. а) Ф ункција је растућа5 , 11 „ 7

ако је 2т —4 > 0, тј. т > 2; б) т < -; в) т < — —-; г) т < 5; д) т < I ^

р — 2486. а) Ф ункција је растућа ако је =----- > 0, тј. 2 < р < 3, а опадајућа ако је



6. Л инеарна функција 133

Ј +Г < °> ТЈ' 6 (_О 0’2) и (3, +оо); б) функција је растућа за 1 < < 2, а

опадајућа за < 1 или > 2.

487. а) В. слику. Ф ункција је позитивна за х > 2, а негативна за х < 2. б) у > 01 1

за 1 < ј ! !/ < 0 за I > - ; в) Џ > 0 за ж < 1; у < 0 за х > 1; г ) у > 0 з а

1 1х < — V < п за х > —- . 488. а) Заједничко реш ењ е (2,1) - све три праве

садрж е ову тачку. б) П раве се не секу у једној тачки - нема заједничких реш ењ а.

489. а) т = 0; б) т = в) т = - ; г2 3

У

•у X0 /2

-4/


490. Тачка М припада правој, па из 5припада правој у = — х + 3, док тачка В пресеца осе у тачкам а >1(2,0) и В (0,4),

2 • 4једнака —- = 4. 492. Р = 2ст2.

-4(3,0), па је њ ена једначина у = — 2х + 6

т = -1; д) т =

= —2к + 3 налазим о к = — 1. Тачка Лне припада овој правој. 491. Графикслика, па је површ ина троугла А О В

493. Траж ена права садржи и тачку

6.2

494. т = 2, у = 2. 495. т = у . 496. а) (0,1); б) (о, | ) ; в) (0 ,-3 );

( 1\ 29 1 3ГЧ ° ’ 5/ 497- 6 = - у - 498. а) т < - ; б) т > —; в) т > 1. 499. а) у < 0

за х < 2, у = 0 за х = 2, у > 0 за х > 2; б) у < 0 за х < -4, у = 0 зах = “ 4, у > 0 за х > —4. 500. коефицијенти правца. 501. а) и в); б) и г).502. а) к = 4; б) к = -1 ; в) &= 3. 503. Р = 3. 504. а) Р = 27; б) Р = 8.

9505. Р = - .

2

506. а) П ош то је Дц = 2 нула функције, треба у дату једначину заменити х = 2и у = 0. Д обија се т = 2. (П роверите овај резултат.) б) Графици функцијау = Ацж + П1 и у = к 2х + п2 су паралелни ако и само ако је к г = к 2. И з4 т —6 = 10 следи т = 4. в) Заменимо х = 3, у = 2 у дату функцију. Д обија се2 = (4т —6) • 3 —(З т —2), па је т = 2.




507. а) у = 0 је једначина ж-осе, а х = 0 једначина у - с е . б) П рава 3х + а у =( 12\

12 сече х - с у у тачки А (4, 0) (ставили смо у = 0), а у - с у у тачки 5 10, — I(ставили смо х = 0). Д акле, катете правоуглог троугла које права З х + а у = 1

, 12 1одређује са координатним осама су 4 и — , па Је њ егова површ ина —

"одакле је а = 4 или а = —4.

12= 6,

508. А ко у формули Ј ( х ) = к х + п заменим о х = 1, Ј ( х ) = 2, азатим х = 0,ј (х ) = —1, добићемо: —2 = к + п и —1 = п , па је к = —1, п = —1. 509. у =

2х —5. 510. Једначина сим етрале другог и четвртог квадранта је у = —х , а

траж ена пресечна тачка је 3

511. а) У очимо да график функције у = к х + п садрж и тачке А (2,0) и 5(1,3).Заменом координата ових тачака у једначину у = к х + п добија се к = —3, п = 6.

б) О вај график садрж и тачке А (2,0) и 5(0 ,1), па је к = ——, п = 1. в) у = 1,5.

3 3512. а) у = 2; б) ж0 = - ; в) у = 4. 513. П ресечна тачка је А (— 2, 2); 6 = - .

5 2

514. И з 3 = (ш —1) • 1 —4ш + 1 налазим о т = —1. 515. / ^ = х + 1,

/ + !, /(2ж ) = 4ж + 1, /( /(х )) = Д 2ж + 1) = 4ж + 3.

516. а) а = —1. б) График функције у = — - ж + 3 сече координатне осе у тачка-

ма А (4,0) и 5(0 ,3). П оврш ина правоуглог троугла О А В је Р = —О А ■ О В = 6.4 21

517. а) И з За: —1 = 2 налазим о х = 1; б) ж = ——; в) ж = —; г) како је

/(2ж + 1) = 6ж + 2, из /(ж ) = /(2ж + 1) налазимо ж = —1; д) /(/(ж )) = 9ж —4,

ж = 1; ђ) ж = 518. Како тачка (0 ,-2) припада граф ику функције, то је

-2 = (т — 1) • 0 — т + - , одакле је ш 11

519. а) О значимо х — 1 = I.

Тада је х = Г + 1, па је /(4) = 2(1 + 1) —3 = 21 — 1. Д акле, ј ( х ) = 2х —1.

б) Ј (х ) = = х + в) Ј ( х ) = Зж —5. 520. В . слику.





6.3

521. В . с л и к у . о в е р о = а а с р — а в е с а а и о =

55

4 '


522. Р — а о а в ~ а о с п = 7 (с л и к а ). 523. Р = — ------= 5 (в . с л и к у ).

524. У п и т а њ у је је д н а к о к р а к о -п р а в о у г л и т р о у г а о о с н о в и ц е 3 (с л и к а ). Т р а ж е н а9 4 Р - Т

п о в р ш и н а је - . 525. е д н а ч и н а п р а в е Т је у = - х (с л и к а ). К а к о ј е --------- —— =




14 и <2Т = 4, биће Р = 7, па је Р(7,0). А ко је једначина праве Р Т у = к х + п , из4 = З П п и О = 71 + п налазимо к = —1, п = 7. Д акле, једначина праве Р Т

је ј/ = -а? + 7.

526. а) Разм атрати случајеве: 1) х ^ 0, у ^ 0: у = ж; 2) ж < 0, ј/ ^ 0: у = 0;3) х < 0, у < 0: 0 = 0; 4) х ^ 0, у < 0: х = 0 (слика).


527. В. слику.





528. а) у == \2Х - 1|; б) у = |х + 3 1; ) у = \х - 1| + |х + 11

1ГX, х Џ 2, { х /2, X Џ 1,

529. а) / (х) = - 2 < ж < 2, (слика). б) /( х ) = < 1/2, ~ 1 < х < 1,

1[ -ж , х ^ —2, 1 ~ Ф , х ^ — 13,

(слика). в) /( х ) =6х + 1,

—2х + 5,

-з,

х < 1/3,

1/3 < ж < 1/2,

1/2 а; < 4,

х ^ 4

(слика).

а) б) в)

530. а) 8 Д (3 Д 5) = 8 Д = 8 Д 4

7 * — = 7 * 6 = —= 21. 531. В. слику.

8 + 4

2= 6; б) 7 * (4 * 3) =

а) б)у-

__

1

)

1

1





532. В. слику. а) У = •х — 2, х

2 — х , х ' - х - 1,

^ 2,

< 2; 6 ) » 'х <

—1,

( х + 1, х > —1,

1 —ж —1, х < -1;

<х , х > 1,

\ 2 —х , х < 1;г) У = <

х + 1,

— + 1,

—1 < х < 0,

0 ^ х < 1,

х —1, х 1.

а) б)

в) г)


7. Г Р А Ф И Ч О П Р Е Д С Т А В Љ А Њ Е С Т А Т И С Т И Ч И Х П О Д А Т А А

533. а) М уш ких 165, ж енских 140; б) 20; в) у понедељ ак; г) средњ а вредност је

10 + 25 + 20 + 30 + 20 + 35 „ 20 + 25 — = 22,5. 534. а)= 23,33; медијана је

дан пон уто сре чет пет

бројпродатих

аутомобила2 3 1 6 5

<л р . 2 + 3 + 1 + 6 + 5ОЈ С р е д њ а в р е д н о с т Ј е ------------------------ = 3,4, а м е д и ј а н а ј е 3. 535. а ) В. с л и к у .

б)4 + 4 + 3 + 11 + 6 + !

6. в) П оређајм о најпре дате бројеве у растући низ:6



7. Графичко представљ ањ е података 139

VIII! мп2 3 \/1н4 уш5 \лпбодељ ењ е


III IVразред


3, 4, 4, 6, 8, 11. М едијана овог скупа је аритметичка средина две средњ е4 + 6

вредности овог низа ------ = 5.

536. а) - (̂15 + 34 + 8 + 42 + 31 + 75 + 33 + 70 + 33 + 89 + 28 + 80) = — = 89,67.6 6

п . 28 + 31 оп 70 + 75 _ „ 103 + 106б) Д евоЈке: ---- ----- = 29,5; дечаци: ---- — ---- = 72,5; укупно: ------------- = 104,5.

& 2 2

в) В. табелу. г) В . слику.

VII раз. VIII раз. I раз. II раз. III раз. IV раз.

број ученика 49 50 106 103 122 108

+ 2 Ч ------------ б в + 7 + в + д + ЗДо

10-1 0537 . ) 19; б ) 8. 538. ) И з

д о б и ј м о ж х +ж г З --------1.г;п • х 7+з;.ц +а . ј К г 10 = -1 0 0. А к о је х х Л -х 2Л -------- \- х 6 = 100,

онда је х 7 + х 8 + х 9 + ж10 = -200, па јех 7 + Х %+ Х + Х к )

4 = -50. б) х = 50.

539. В . слику. 540. Екипа I - 198 ст; екипа II - 202,4ст. 541. С рпски језик- 3,49; математика - 3,5. 542. А на - 4,17; Бранислав —3,75. 543. 2569,6.544. В . слику. 545. В . слику.




8. С И С Т Е М И Л И Н Е А Н И Х Ј Е Д Н А Ч И Н А С А Д В Е Н Е П О З Н А Т Е

8.1

548. Реш ењ а су, на пример, (1, 2), (2,1), (3,0), (3 + л/3, -л /3 ) итд. Једначинаима бесконачно много реш ењ а. 549. а) Д а; б) не. 550. а) С истем имајединствено реш ењ е; б) бесконачно многб реш ењ а; в) нема реш ењ а јер је

2 1 . 2 . _ ^ = ^ ' з ’ г' нема Реш ењ а- 551. а) Реш авањ ем првог система једначина

неком од метода добијамо да је њ егово реш ењ е (5,2). И сто тако, пар (5,2) је

једино реш ењ е и другог система једначина. Д акле, дати системи су еквивалентни.б) Еквивалентни. в) Нису еквивалентни.

552. а) М нож ењ ем леве и десне стране прве једначине са 2 добијамо еквива-лентан систем једначина: 2х + 2 — —12, х — 2 = 24. С абирањ ем левих и деснихстрана ових једначина налазим о 2х + х ——12 + 24, тј. З х = 12, одакле је х = 1.И з прве једначине система имамо да је = —6 —х = —10. Д акле, реш ењ е датогсистема је уређени пар (4 ,-10). б) (2,1); в) (3 /2 ,-1); г) (4,1); д) (-1,25,6).553. а) (7,5); б) (1 /2 ,-2 ); в) ( -5 ,- 6 ) ; г) (2,9); д) (-10,8 ); ђ) (12,0).

554. а) (24,20); б) (6,2); в) (4,5); г) (9,10); д) (10,9). 555. а) (2,3);б) ( -2 ,-3 ) ; в) (12,8). 556. а) (2,3); б) (1 | ) { в) ( о , | ) .

557.

б а ; = 6-

а) И з прве једначине

2 6 - 2~ ~ = 2(26—2 ) =

је З х = 26 —2ј/, па је х =

52— 4 . А ко овајизраз заменим о

26 - 2---------, одакле је

У Д Ругу једначину,

добијамо 52 — А — З = 3, одакле је = 7. К ако је х = = 4, то је

реш ењ е датог система уређени пар (4,7). б) (5,-2); в) (5,2); г) (8,2); д) (2,1).558. а) (5,1); б) (3,6); в) (4,5); г) (2,1). 559. а) (3,4); б) (-25,-15);в) (п, —2); г) нема реш ењ а. 560. а) Систем им а бесконачно много реш ењ а;

б) систем је немогућ (нема реш ењ а); в) 561. а) (7,2); б) (2,-1);

в) (6,1); г) (5,2).






8.2

595. а) Реш ењ а су: (1,1), (2,0), (3 ,-1),(—2,4); б) једначина им а бесконачно многореш ењ а; в) в. слику. 596. а) (л/2, л/3);б) (л/2,л/3); в) (л/2,1 + л/2); г) нема ре-ш ењ а. 597. а) (2 ,-3 ); б) (3,1); в) (-2,3) .598. а) (3,4); б) (6,8); в) (5,1/3).

5 и - *> ( Ј 4 б > ( § • ! > ■>

ч т

600. а) (-2,5 ); б) нема реш ењ а; в) (—3,1); г) (—3,2). 601. а) Д а; б) не.

602. а) ( ~ , ^ , з ) ; б ) ( - 2 , > , - ™ ) . 603. а) (4,4,8); б) (1, -2,3); в) (0,0,2).

604. а) У ведемо смене:1

1

12’

х + у х - у= 5. И з 2а — 6 = 0, 8а + 25 = 1

налазимо а = — , 6 = —. И з х + у = 12, х —у = 6 налазим о реш ењ е (9,3).

1 1б) (5,1); в) (7,4). 605. а) У ведемо смене - = а и - = 6. Тада дати систем

х у

постаје За + 56 = 16, 5а —36 = 4. Реш авањ ем налазим о а = 6 = 2, аи з —= 2их

2 добијамо х = у = - , па је реш ењ е датог система ( —, —). б)1 1 1 1

12’~9в) (5,1); г) (24,36). 606. а) р = -3 , д = 7; 6) р = 2, д = - 5 ; в) р = -2 , д = 11.

3607. а) И з Зр —2 —1 = 0 налазимо р = 1; б) р = - ; в) р = 0. 608. а) Како

су х и ј/ дели бројеви, то су бројеви 12х и 38ј/ парни, па је и њ ихова разлика

паран број и не може бити једнака непарном броју 7. 609. ж0 = 2 , у — — .

610. а) ;г-- У = 1 —Зж; б) ж = ^(5 + у), у = | ж - 5; в) х = 2 Л - | V

У = 3 ( х - | ) ; г) ж = ^ У —12) , У = ^(5ж + 12). 611. а) т = 3.

612. а) р(ж) = х + 3; б) р(т) = -2ж + 4; в) р(ж ) = - - х + 11. 613. И з

2а + 26 = 18 имамо а + 6 = 9. Траж ена реш ењ а су: (8,1), (7,2), (6,3), (5,4),(4,5), (3,6), (2,7) и (1,8).

<31/I 1 26 + 3614. а) х = — : , п , у !5 - аб »1 . 6,, -,п > —

о7—Г777Г- 1 У слов — + — да систем има ш динственоа + 10 2(а + 10) а2 62т , 4

реш ењ е у овом случају гласи — ф — - , тј. т ф -10. 2° А ко је т = -10, тадао — А



8. С истеми линеарних једначина са две непознате 143

. &1 С \ , 4 3 3у случаЈу — = —, т . — - = односно = - систем им а бесконачно м ного

02 2 —2 2

3реш ењ а. 3° А ко је т = —10 и р ^ систем нема реш ењ а. б) 1° За т ф 4 систем

им а јединствено реш ењ е; 2° за т = 4 систем нема реш ењ а. в) 1° За т ф 4 системим а јединствено реш ењ е; 2° за т = 4 систем је неодређен. г) 1° За т ^ 6 систем

2 3им а јединствено реш ењ е; 2° за т = 6 систем нема реш ењ а. д) 1° За — ф —,

т 9д

тј. за , т ф 6 систем има јединствено реш ењ е; 2°зага = 6 и р ^ - систем нема

реш ењ а; 3 ° за т = 6 и р = - систем је неодређен.

615. Н ека је траж ени број о,&= 10а + 6. И мамо да је а + 6 = 14 и 106 + а = 10а + 6+18 . О датле налазим о а = 6, 6 = 8. 616. х + у = 9, 100ж + у =

9(10ж +2/) + 18, х у = 54. 617. И з 10ж +Ј/+8у = 77, 10х +у —18 = 10у +х налазим о

х у = 53. 618. 10ж + у = 4(ж + у ) + 3, 10х + у + х + у = 28; х у = 23. 619. И з10ж + у 1--------- = 5Н---------и 10х + у = 10у +х —9 добија се х = 5, у = 6. Траж ени бројје

х + у х + у

56. 620. 36.621. И з х + у = 225 и 1 - х + 1 - у = 315 налазим о х = 90, у = 135

динара. 622. 252 и 186. 623. 48 и 40. 624. ~ т и ~ т. 625. Како је1о 1о

1̂ +У 2 = 70 и 2г>1 = 6(а2 —гб), то је = 30кт/ћ , = 40кт/ћ. 626. Брзинаброда је 16,8 кт/ћ , а реке 4 ,2кт/ћ. 627. Брзина авиона је бО О кт/ћ, а ветраЗО кт/ћ. 628. Како је а —6 = 7 и а 2 — 62 = (а — 6)(а + 6) = 385, бићеа + 6 = 55, па је а = 31, 6 = 24. 629. И з Ј1 + Д = 350, Д —Л = 2Л + 30

налазимо Л = 80, Д = 270. 630. х + у = 100, —+ у = 32; добија се х = 85 к§,5

у = 15 к§. 631. М илан 204 динара, Н икола 84 динара. 632. Н ека А на има а,а М арија т оловака. Тада је а + 5 = 2(т — 5) и т + 5 = 3(а —5). Реш авањ емсистема једначина добијамо а = 11, т = 13, па је а + т = 24 оловке. 633. 7 ћ

30 минута. 634. П рви за 20 дана, други за 30 дана. 635. Ј + И = 713,4 2- Ј = - И ; Ј = 155 динара, И = 558 динара. К њ ига је кош тала 248 динара.5 9636. А ко има х јабука и у унука, тада је 5у + 3 = х и 6у —1 = х , х = 23, у = 4.

637. 379 и 65 динара. 638. Ч етири сина и три кћери. 639. И з т = — 6,3

т + 7 = -( + 7) налазимо = 17. 640. И мамо да је А + Б = 59, Б + В = 55

и В + А = 51. С абирањ ем добијамо 2(А + Б + В ) = 165, па је А + Б + В = 82,5.К ористећи се првом једначином сада налазим о В = 82,5 —(А + Б) = 23,5, а затим

А = 82,5 —(Б + В) = 27,5 и Б = 82,5 - (В + А ) = 31,5 динара. 641. И з5х + 8у = 340, 8ж + 5у = 310 налазим о х = 201, у = 301. 642. 600т 3 и 400 т 3.643. 1001 и 451.




8.3

644. а) С истем је еквивалентан једначини 2х — З у = 3 (уз услов х ф —3), папостоји бесконачно много реш ењ а облика ^а, —-- '' '^ , а е К \ {—3}. б) Систем

нема реш ењ а; в)(- 2,3) ; г ) ^ 1 , - 0 . 645. а) ( , - 6); б) ( + 56, За - 6);

21а —10& 206 —9а\; г) (2а —6, За + 4&).

2 _ __ ̂ ^646. х = — —- = ^ —̂ = к + 1 + -у . Због (к — 1) | 8 долази у обзир

само к € ( 0, -1 ,2 , 3, 5,9, -3 , -7} . За к = 0, к = —1, к = - 3, /г= -7, ж N 5х јеприродан број за к е (2, 3,5, 9}. 647. а) (2 ,- 1 ,- 3 ) ; б) (1 ,-1 , 2); в) (5,6,10).

648. а) Треба разм атрати случајеве: 1° х ^ 0, у > 0; 2° х Џ 0, у < 0; 3° х < 0,у < 0 и 4° х < 0, у ^ 0. Реш ењ а су (2,1), (0 ,-3), ( -6 ,9 ). б) (2,1), (8,13);в)(-1,1). .

649. а) И з (т — п )(т + п ) = 24, им ајући у виду да је т - п < т + п , добијамоследеће могућности: 1° т - п = 1, т п + п = 24; 2° т - п = 2, ш + п = 12;

3° т —п = 3, т + п = 8; 4° т - п = 4, т + п = б. У другом случају реш ењ е је(7, 5), а у четвртом (5,1), док у првом и трећем случају нема реш ењ а. б) (53, 52),(19,16), (13,8), (11,4).

650. И з 11х + 8у = 73 закљ учујемо д а је О ^ ж ^ б и х непарно. За х = 1 их = 5 нема реш ењ а, а за х = 3 налазим о у = 5.

651. Како је х + 2х у —Зј/2 = (х —у )(х + Зу), то постоје две могућности:(1) х ~ у = 1, ж + 3у = 1; (2) х —у = —1, х + 3 у = —1. У првом случају реш ењ е

је (1,0), а у другом (-1,0 ).

652. а) Н ека је тај човек рођен 19х у године. Тада је 1999 - (1900 + 10ж + у ) =1 I о . , ■ 89 — 2у1 + 9 + х + ј/, одакле Је х = — —— . О бзиром да је 0 ^ х , у ^ 9, реш ењ е је х = 7,

У = 6. Д акле, тај човек је рођен 1976. године. б) 1856. године.

653. Н ека је тражени број х = В с . К ако јеа + 5 + с = 1 0 и а + с = 6 + 8,налазимо 2&+ 8 = 10, тј. 6 = 1 , одакле је + с = 9 (*). С друге стране, из100а+ 106 + с —(100с+ 106 + ) = 99 налазимо 99(а —с) = 99, тј. —с = 1 (**).И з (*) и (**) добија се = 5, 6 = 4. Д акле, х = 514.

654. У вођењ ем смене х = - у дату једначину добија се / + 2 Н у ) = - , паУ \ У Ј V



8. С истеми линеарних једначина са две непознате 145

за у = х имамо / Ј + 2/(ж ) = — . И з система једначина ј (х ) + 2 / Ј = х ,

/ (зј;) + 2/(®) = 1 , добијамо /(ж ) =

655. К ако је г = (х + у + I)2 + 2(у + I)2 + 1 најмањ а вредност израза је 1 зау = - 1 , х = 0 .

656. а) Једначина се може написати у облику (х + 2)2 — у 2 = 48, тј.(х + 2 + у )(х + 2 —у ) = 48. Број 48 се може представити у облику производадва цела броја на следеће начине: 1-48, 2-24, 3 • 16, 4 -12, 6 - 8 , 8-6 ,12 • 4, 16 •3, 24 ■2, 48 • 1, (-1) • (-48), (-2 ) • (-24), (-3) • (-16), (-4) • (-12),

(-6) • (-8), (-8) • (-6), (-12) • (-4), (-16) • (-3), (-24) • (-2) и (-48) ■(-1).П осматрањ ем одговарајућих система једначина добијамо целобројна реш ењ а датеједначине: (11,-11), (6,-4), (5 ,-1 ), (5,1), (6,4), (11,11), (-15,11), (-10,4),(—9,1), (—9,-1), ( —10,-4) и (-15 ,-11). б) Једначину написати у облику(х + I)2 - у 2 = 5, тј. (х + 1 + у ) (х + 1 - у ) — 5. Реш ењ а су: (-4 , -2 ), ( - 4 ,2),(2,-2) и (2,2).

9 9̂ 7 2х657. 2х + —у — 210, — = — ; х = 60кт/ћ, у = 80 кт/ћ. 658. 3 6 т/з и

о 8х у40 т/з.

659. О значимо са х почетну количину траве и са у дневни прираст (у дневнимпорцијама). Тада је х + 50у = 40-50, х + З О у = 60-30, одакле налазимо х = 1500,у = 10. И з 1500 + 10(1 = <1• 20 налазимо 6, = 150 дана, а из 1500 + 10 ■75 = к ■75налазим о к = 30 крава. 660. г \ = 4 ст, г2 = З ст.

661. И з услова задатка се добија т + ~ + г + - = 63, одакле је 20т+18г = 945,3 5

ш то је немогуће - лева страна једначине је паран, а десна непаран број! Д акле,

мора бити М илан Зоранов син, или обрнуто. У првом случају је т + ~ + 5 т = 63,

т . 19т = 315 - немогуће, а у другом т + —- + — = 63, одакле је т = 45. Д акле,3 15

М илан је уловио 45 риба, њ егов син Зоран 15, а њ егов унук - три рибе.

662. П осматрајмосистем једначина: х \ + ж2 + х 3 = 96, х 2 + Жз + *4 = 98,х 3 + х 4 + 5 = 98, 4 + х 5 + х 6 = 95, х 5 + х 6 + х 7 = 93, х 6 + х 7 + х 8 = 97,х 7 + х 3 + XI = 99, х $ + х \ + х 2 = 98. С абирањ ем левих и десних страна свихједначина добијамо 3(ж1 + х 2 + •••+ х ) = 774, тј. а+ + х 2 + ■ ■ ■ + х 8 = 258.С абирањ ем прве, четврте и седме једначине добијамо 2х \+х 2+х 3-\ ----- \-х% = 290,

па је Х \ = 32. С лично добијамо х 2 = 31, х 3 = 33, х4 = 34, х 5 = 31, х 6 = 30,15 15 б 30

%7 = 32, Х 8 = 35. 663. И з---- 1---- —1 и — |------= 1 налазим о х = 24, у = 40. X у X у




.664. О значимо са х и у број дана који би био потребан првом, односно другомраднику да сами заврш е читав посао. Д акле, део посла који за један дан уради

1 1 1 1 1 1 1први радник Је —. И з услова задатка добиЈамо — 1— = - и —— + — = X X у О X А А у

Реш авањ ем овог система једначина налазим о х = у = 10.

9. В А Љ А К

9.1

665. Р = 168дст2. 666. а) Р = бО лст2, V = 9б7гст3; 6) Р = 90дст2,

V = 1007гст3; в) Р = 2т/3д(2 + \/ 3 )ст2, V = б д ст3; г) Р = 67г(1 + \ /2 )с т2,V = (2 + л/2)тгст3. 667. г = бб т, Р = 2647гс1т2, V = 57 6д бт3. 668. В =

—— — = 97гст2, па је г = Зст. а) Н = ---- = 5ст; 6) V = г 2ж Н =2 ’ 2г7Г / '

45ст3. 669. Н = 8ст, V = 628с т3. 670. а) 2г = 8ст; 6) Р = 1527гст2.671. а) 2г — 20 ст; 6) Р = 4007гст2. 672. ';г = 5ст; а) Н = 15 ст, Р =200дст2; 6) Н = 8ст, Р = 130д ст2. 673. г = 4 ст, Н = 4 ст, V = 64 дст3.674. Р = 2&7га + 2627г = 5б7гст2, V = &27Га = 48дст3. 675. а) Н = бст;6) Н = 4ст.

676. а) 8 • 4 = 32 ст2; 6) 1° 12 •3 = Зб ст2; 2 ° 6- 6 = 36ст2. 677. 15ст2.678. 50 ст. 679. Н = 57гст. 680. а) К ако је 2г п = 12 и Н = 12 ст, то је

0 432 16г = — , па је V = ----ст3; 6) V = — ст3. 681. М : Р о = 2г Н : 2г Н = тг.

7Г 7Г 7Г682. г = 4ст, Н = 10 ст, М = 807гст2, V = 160тгст3. 683. г = 4ст,Н = 7 ст.

684. П олупречник деви је г = 20 ст, а висина Н = 6 т = 600 ст, па је њ еназапремина V = г 2т т Н = 240 0007гст3 = 2407гс1т3 = 240д1 » 753,61. О вде

користимо чињ еницу да је 11 = 1 с1т3 = 1000 ст3.

685. У правоугаонику који настаје од ом отача ваљ ка једна страница једнака јевисини, а друга обиму основе ваљ ка. Због тога је (2г7г)2 = 132 —52 = 144,

12 6 72па је г = — = —ст. Д аљ е добијамо Р = 2гт т (г + Н ) = 60 + — ст2 и

2т т 7 7

180V = г 2 Н = ----ст3. 686. К ако је осни пресек квадрат биће Н = 2г . И з

7

(2г)2 = 144 добијамо г = б ст, а затим Н = 12 ст, Р = 21б7гст2, V = 4327гст3.V, 4

687. -4- —

К2 1688 .

М 2г Н 2г ■ 2г

В= 4. 689. 5,52тгт2 « 17,33т 2.

690. П олупречник основе уписаног ваљ ка једнак је половини полупречника осно-ве описаног ваљ ка, а висине су им једнаке, па је У 0 : У = 4. 691. 50%.692. 1б7гс1т3.



9. Ваљ ак 147

693. Запремина коцке је 14 = а 3 = 2744 ст3, а полупречник основе и висинаа

ваљ ка су г = —= 7ст и Н = 14 ст, па је запремина ваљ ка 14 = г 2 Н =

2249 ■— •14 = 2156 ст3. О тпало је 2744 —2156 = 588 ст3 м атеријала. К олико је

то процената добијамо из пропорције 2744 : 100 = 588 : х . Биће х = 21,43%.694. бдст3. 695. V = З2дст3. 696. 4,5ст. 697. 7ст. 698. И з(Н + I)2 = Н 2 + 52 налазим о Н = 12 ст, па је Р = 72 ,5дст2 и V = 75дст3.„„„ 27л , „699. ——т кз 10,6т 3. 700. Биће г = 10ст, Н = 30 ст, па је запремина суда

О

V = ЗО О О дст3, а 30% V = 900тгст3 « 2,8261.

9.2

701. 2ст. 702. а) ~ т с т 3; б) 9 д ст3; в) ~ с т 3. У путство: ка-

да квадрат ротира око своје странице а за 360°, добија се ваљ ак запреминеV = а 2п ■ а = 27лст3. П ри ротацији за 90°, 120°, односно 180° добија се телокоје представљ а четвртину, трећину, односно половину тог ваљ ка. 703. V =3- г 2 Н = 1350дст3. 704. Д ва пута. 705. Зст. 706. Р = 8а27г, V = 2а3д.

707. а) 1 : 1; ) 8 : 5; в) 8 : 5. 708. Р = 2г 2 г + 2г т т Н = 91300ст2, паје траж ени притисак 182 600кРа = 182,6 М Ра. 709. V = г 2 Н = ■ 10®с т3,т ~ 27946к§. 710. V = г 2 Н ~ 31 400г2 ст3, т ~ 279, 4̂6г2, паје г2 « 0,04294

50и 2г и 0,414 ст. 711. К ако је г 2 Н = 50, то је Н = — кз 3,98 ст. Тачан је

47Годговор в).

1 1 99712. V = - г 2 Н и - • 22 • ~ ■3,5 = 22 Љ п3.

713. П олупречник највећег м огућег ваљ ка јег = 10 сш (слика), па је запремина одбаченогм атеријала V = У —У џ — 20 ■30 ■300 —102д •300 = 30 000(6 —л) сш 3 « 85 800с т3.

714. г = 2ст, Р = 2г2д + 2г п Н = 32дст2. 715. Р = 6а2д. 716. П олупре-

чник основе ваљ ка је (слика) г = —= = 2л/3ст, а површ ина одсечка осенченогуЗ

Т*̂7Г *120° V

на слици је Р г = — ------

Р а а в о = 4д - ЗУ З̂ (јер је О С = - = л/Зст).К ако је висина ваљ ка Н = 2г = 4%/Зст, траж ена запремина је V = Р \ ■ Н = (16тгл/3 —36) ст3.





717. Н ека је ивица тетраедра (слика). Тада је висина ваљ ка

ООх = \Ј02В 2 - ОхВ 2 = Ј — - — = ^

У 4 4 2

о3а/2Запремина тетраедра је ^ , а запремина ваљ ка

г^2па Ј е њ ихов однос

37Г

Р718. с = \/ 2 + В 2 = 5ст, г = — =

аб

б а + 6 + с= 1 ст, Р = 2г 27г + 2гт т Н =

18тгст2, У = 2 Н = 8тгст3 . 71 9. 207гст2. 720. 12^/5ст2. 721. С Л =С О + О В + В А = г + \Ј (К + г)2 —Д 2 + Л = 18 ст (слика).


722.^2

2тг

723. П осле нагињ ањ а и просипањ а вода

ће заузети хоризонтални полож ај С 'Р )" (слика). К оличина просуте течностиједнака је половини запремине ваљ ка чији је осни пресек правоугаоник С "В "В 'С ' :

V, = тгг2 • С 'С " =2000тгх/3

. П реостала вода у суду је

тг Т 1000тг\/3 ,V - — = 2500тг--------- — и 6039 с т 3.

^ О3



10. Купа 149

10. К У П А

10.1

724. а) з = 5ст; б) а = 13 ст; в) 5 = 17 ст; г) а = 5 \/2ст.725. а) Н = 4ст, Р = 247гст2, V = 127гст3; б) Н = 1ст, Р =

2

\/2 7г(л/ 2 + \/ 3 )с т2, V = -7гст3; в) г = 5ст, Р = 907гст2, V = 1007гст3;

г) в = 10ст, Р = 9б7гст2, V = 9б7гст3. 726. г = ббт, Р = 9б7Г(1т2.

727. Н 5ст, Р = г27г + Г7г5 = 3007гст2, V = - г 2т гН 2407Г ст3.

728. а) V = 2б7гст3; б) 1207гст3. 729. Н ека је г = 31, Н = 41. Тада је5 = \/ г2 + Н 2 = 51, па је 607Г = 31 • 51 • 7г, одакле је 1 = 2. Д акле, г = б ст,Н = 8 ст и К = 9б7гст2 . 730. 1357гст2. 731. 7гг2 = Р —М , па је г = 3 ст.

т ̂ НИ з Г7гз = 157г добијамо з = 5 ст, одакле је Н = 4ст и К = —-— = 127гст3.

5ст, и з732. 2 ■13 = 26с т2. 733. Р = 42тгст2. 734. Како је з5тг-216° „ т г т г г 2-к Н---------- = 247Г налазим о г = З ст, а затим Н = 4 ст и V = -------= 127гст .

180° 3

735. И з 7г (г + з ) = 967 д о б и ј а м о г 2 + 10г —96 = 0, т ј . (г —6)(г +16) = 0, п а ј е

(због г > 0) г = 6 ст. С ада је Н = у /з 2 —г 2 = 8 ст, па је V = 2 Н

= 9б7г ст3.

736. а) Н = 4ст, Р = 12 ст , б) 5ст, Р = 60 с т2. 737. К ако је2г Н 7 ________ 25

Р о = —^— = г Т 0 е г = с ш > п а е 5 = V Н 2 + г 2 = — с ш , Р = 5б 7г с т 2

и V = 497г с т 3. 738. Р = 50л (1 + \ / 2 )с т 2, V = — 7г с т 3. 739. Б и ћ е

Н = г и з = г \ Ј 2. И з 817Г\ / 2 = г п з = 2л / 2 н а л а з и м о г = 9 с т , п а је Р =

817г(1 + \ / 2) с т 2 и V = 2437г с т 3. 740. К а к о ј е г = Н г - Н = 9 с т 2, б и ћ е

г = Н = З с т , п а је V = ^ г 2т г Н = 97 г с т 3. 741. а ) г = З с т , Н = 3 \ / 3с т ,

з = бст, Р = 277гст2, V = 97г\/Зст3. б) Р = 1087гст2, V = 72д\/Зст3.

742. а ) Б и ћ е Н = - = З с т и г = - \ /3 = 3 \ / 3 с т (с л и к а ), п а је Р = 97г(3 +

2 \/3 )ст2 и V = 277гст3. б) Н = гз

7 13 \ /2 с т , Р = 18тг(1 + \/ Г ) с т2, V = 18^277с т 3;

в) г = - = З с т , Н = 2 + ^ = 3 \ / 3 с т , Р =

277гст2, V = 9 д \ / З с т 3 .


743. Р = 81тг(1 + у /2) ст 2, И = 243д ст3. 744. Р = 6тг(6 + ^ ^ с т 2,V = 247Г \/Зст3. 745. Д ати правоугли троугао је половина једнакостраничног




т р о у г л а с тр а н и ц е б с т . Х и п о т е н у з а о в о г т р о у г л а је и з в о д н и ц а к у п е н а с т а л е

р о т а ц и јо м : 5 = б с т , а д у ж а к а т е т а је в и с и н а к у п е и је д н а к а је в и с и н и је д н а -

к о с т р а н и ч н о г т р о у г л а с т р а н и ц е б с т : Н = = 3\ / 3 с т . П о в р ш и н а к у п е је ,2 Ц

дакле, Р = ћ ( + ) = 27 7гст2, а запрем ин а V = — г2тг = 97Г \/З ст3, јер је

г = а . 746. З а 2 с т . 747. а) г = 2ст ; б )Р = 1б7гст2.

748. К а д а с е о м о т а ч к у п е р а з в и је , д о б и ја с е к р у ж н и и с е ч а к ч и ји је п о л у п р е -

ч н и к је д н а к и з в о д н и ц и к у п е , а д у ж и н а л у к а о б и м у о с н о в е . З н а ч и , 5 = 4 с т и2̂ 7Г

= 2 7 , о д а к л е је г = 1 с т . В и с и н а к у п е је Н = л / а 2 —г 2 = У Г б с т , п а је

нп о в р ш и н а Р = г 7г (г + в ) = 5 7г с т 2, а з а п р е м и н а V = — г 27г =

г-Л !

749. И з в о д н и ц а к у п е је 5 = г = 6 с т , а о б и м о с н о в е к у п е ј е 2 \ = 7 , о д а к л е је7” 3

Г 1 = - = З с т . П о в р ш и н а к у п е је Р = ^ ћ + х ћ з = - 2 ћ = 2 7 д с т 2, а з а п р е м и н а^ 4 \ 1 г2

V = - \ ћ Н = - • — Ћ у / 2 - г \ = 9 д \ / З с т 3. 750. г = \ / 7 с т , 5 = 8\ / 7 с т ,

Р = 63д с т 2. 751. е д н а к о с т р а н и ч н а , т ј. о н а к у п а к о д к о је је и з в о д н и ц а је д н а к а

п р е ч н и к у о с н о в е .

752 . И з 2 7 = 18д д о б и ја м о г = 9 с т . К а к о је и з в о д н и ц а н а г н у т а п р е м а р а в н ио с н о в е п о д у г л о м о д 45°, т о је о с н и п р е с е к к у п е је д н а к о к р а к и п р а в о у г л и т р о у г а о .

И з в \ / 2 = 2г н а л а з и м о 5 = 9\ / 2 с т . В и с и н а к у п е је Н = \ А 2 —г 2 = 9 с т , п а је

нп о в р ш и н а Р = ћ ( + б ) = 81д(1 + \ / 2) с т 2, а з а п р е м и н а V = — г 2д = 243д с т 3.

753. 30°.

10.2

__ 57га754. И з — = 2 7 н а л а з и м о д а је у г а о к р у ж н о г и с е ч к а к о ји с е д о б и ја

р а з в и ја њ е м о м о т а ч а к у п е у р а в н и је д н а к 60°. 755. 4 : 1.

М Ћ 8 Г7Г • 2г ^

В Г 27Г Г 27Г

757. И м а м о д а је Н = 3г , п а је и з в о д н и ц а 5 = \ / У 2 + г 2 = \ / 9г 2 + г 2 = г \ Д 0 .

Т р а ж е н и о д н о с ћ е б и т и

В __ г 27г __ г г 1 Д о

Л / 5Г Д 5 г Д о л Д о 10

М

^58. — = 2 : 3. 759. Р = З З д с т 2, V = З д л / 55 с т 3. 760. Т р и п у т а .

761. Г7тв > 2 7 је р је 5 > г .



10. Купа 151

762. К ако је В = 247Г - 157г = 97гст2, то је г = Зст, з = 5ст. И з 2гт г =

———налазимо џ>= —• 180° = 216°. 763. V = ——— ~ 0,01884тт3, т ~

180° ^ 5 319,3■ 0,01884 0,3636§;. 764. V = 647гст3, т и 160,77§. 765. Р = тгл/Зст2,Т Г О ^

V = тг(2 - л/3) ст3. 766. У = — .

767. Биће с = \/а2 + &2 = 25ст (слика). О давде је, због с ћ = а ћ . к ■ - 12ст

и V = = 1200тгст3. 768. а) 1 : 1;

б) 3 : 4; в) 2 : 3. 769. п = Зст, г2 = 4ст,зј = з2 = 5 ст, Н \ — 4ст, Н 2 = Зст, 1\ =

2 п 7г̂ = 307гст2, Р 2 = 2г27Г5 = 407гст2, Уг =г јт г Н х п л ., п г%п Н 2

-247Г ст3, 1/2 = 2 = З27гст3.

5д770. Р = г (5 + \/2) ст 2, И = — ст3.

а /- \/3771. И з 6а2 + 3 а2\/3 = 6 + 3+3 налазимо а = 1 ст. К ако јег = - + 3 = - ^ - с т

и Н = а , биће V = ------- = - ст3. 772. У оба случаја (Н = Н \ + Н 2)\ ’ 3 4

к Г 27 г Н Г 21 Н

У к ' + У к 2 -Г 2Д Р! + Ј г27гР 2 + Р 2)3 3 3

= 3.

14773. К ако је —

г 2т гН

<1 / Н 4 ^ 3

а2

4г 27г 4 3 * 47Г

а2\/3 а2\/3 3\/3то је 14 ~ 41,32% 14-.

774.

1

120 ћ 60 „ __ 1 / г Ла = 13 ст, ћ = — ст, г = - = — ст. У р - У к - - ' н Ј

ЗбООтг̂ стз 775 ^ р = + у2) ст2, V = 45лст3;г 2т т Н = 5 120

169б) Р = 18д(3 + \/2) ст 2, V = 6 3л ст3.

776. И з — =V

Н Н _ К ћ------ - налазим о г = К ---- —.Н —ћ п

777. а =н п Л з

778. И зН + у / 3'

5г Н —ћ з Н 156дзгг = 27гг/г налазим о 5^ = 2ћ , а из — = ——— се добиЈа ћ — у у у — 37 °т

(слика).





779. А ко се постави раван кроз осу купе и дијагоналу коцке, добија се у пресекуправоугаоник страница а и а\/2 (слика) уписан у једнакокраки троугао основице

О г — г ---- \/2

а 2

2г и висинеН =

2г. П рименом Талесове теореме добија се-----

= -----------

г у /2 г ^ 2 г ’одакле ]е а = , па је однос запремина купе и коцке

1

3г 2т гН

а з7г г3\ / 2 4т г

3 ^Г\ /2јЗ “ Т '

780. Н ека је # = 3*, 5 = 51 Тада је г = у / (5 г )2 - (З^)2 = 4$, па из —-— =

1287Г налазим о I3 = 8, тј. 1 = 2. Д акле, г = 8 сш , а = 10 ст , па је Р = г27г+Г 7г8 =1447гст2.

781. К ада квадрат ротира око странице, добија се ваљ ак, па је V,а 3п , а када ротира око дијагонале, добијају се две купа, па је

, 2

У 2 =2а \/2

7Г ■ У 2 :а 7гV*

Д акле, Уг : V! = \ /2:6.

782. П оврш ина је једнака збиру површ и-на ом отача двеју купа полупречника основеа / а2 V3, висине —и изводнице а и Једног ваљ ка

полупречника основе -у З и висине а. За-

премина је једнака збиру запремина те двекупе и ваљ ка: Р = 2а27г\/5, V = а37г.783. V = Зб7гст3. 785. Р = 247гст2.786. П ресек је троугао А В С (слика). К акоје А М = 8 ст, то је О М = л/102 —82 =б ст, па је С М = л /О М 2 + О С 2 = 9 ст и

Р а а в с = ^ ' С М = 72 ст2.

с




11. Л опта 153

11. Л О П Т А

11.1

787. а) П рава и сфера могу имати две заједничке тачке (тада се каж е да правапродире сферу), једну заједничку тачку (тада права додирује сферу) или ниједнузаједничку тачку. б) Раван сече сферу (по кружници) или додирује у једнојтачкиили немају заједничких тачака. в) Д ве различите сфере се секу (по кружници)или додирују (спољ а или изнутра) или немају заједничких тачака. 788. К адата раван садрж и центар лопте (то је тзв. велики круг лопте). 789. а) Једна;б) бесконачно много; в) бесконачно много. 790. П ресек је круг полупречникаГ \. И з г2 = г2 —Л 2 налазим о Г \ = 12 ст, па је траж ена површ ина 1447гст2.

792. И з 4г2д = Зб7г добијам о г = З с т , па је површ ина великог круга лопте

Р г = 97гс т 2, а обим Ох = 2г7г = б7гс т. 793. г = З с т , V = 367 ст3. 794. И з2 7 = 127 добијам о г = б с т и Р = 4г27г = 1447гс т 2. 795. а) И з 4г27г = 1б7г

в) г = 12ст, V = 2034ст3; г) г = З ст, V = 9727гст3.

5007Г796. Н астаје лопта, Р = 1007гст2, V = ———ст3. 797. г = Зст, Р =

Збтгст2. 798. 6, = уД О 2 + 7,52 = 12,5 ст. 799. Н = 12 ст. 800. Ц =

801. За 125%. 802. И з релације 4(г + 1)27Г = 4г27г+ 87г налазим о г = - ст.

803. А ко је страница једнакостраничног троугла, тада је полупречник основе

11.2

1




805. Н ека је г полупречник основе купе.

П олупречник лопте је г; = —Н =Ч г у Ј 3

3Р к гт т (г + б) 9Р [ 4 јт г 16'

Тада је в = 2г, а Н = = г \ / 3.

па је однос површ ина купе и лопте

806. И мамо да је полупречник лопте г = 7 ст. К ако за ивице квадра важ иа : 6 : с = 2 : 3 : 6, из а 2 + ћ 2 + с2 = 4г2 налазим о а = 4 ст, 6 = 6 ст и с = 12 ст,па је Р = 288 ст2 V = 288 ст3.

807. V* = - г 2 Н = - г37г, У р 1 = ^ г37г, = т 2т г Н = г3д, па је

т г т л т л 1 з 2 о з 1 2У : : У = - 3л : - 3л : 3л = - : - : 1 = 1 : 2 : 3 .

808. П олупречник спољ аш њ е лопте је г = 9 ст, а унутраш њ е п = г —б, = 7 ст.4 , 4

Запремина ове ш упљ е лопте једнака је разлици запремина: V = - гЈд

1544

■3~ --

кз 1616ст3. М аса лопте је т п = У р = 1616 ■9 = 14544§ = 14,544к§.

809. п = г у = 4 ст, У у - Ц = - г 3 =128тг

810. Н ека је ивица коцке а . П олупречник г х уписане сфере једнак је половиниивице коцке, а полупречник описане сфере једнак је половини дијагонале коцке,

а Л а \ /3дакле :п ——, Гг = — ■= ■9 , па је тражени однос

4 зЗ ^ = / г т \ 3 = / П 3 = Ј_ _ = Ј з

4 з_ \»-2У [у/зЈ Зч/З 9 '

3 2

л/з811. п = - сш , г2 = — ст, Р = 4г 2 + 4г % = 4 д ст2. 812. а) С иметријска

раван дужи М И . б) П рава норм ална на раван троугла А В С тако да садрж исредиш те описаног круга овог троугла.

813. П олупречник уписане лопте Н је једнак полупречнику круга уписаног уједнакокраки троугао основице 2г = 10 ст и крака 5 = \Ј Н 2 — г2 = 13 ст (слика).

г Н = 60ст2. С друге стране је Р = Н г + Н з ,П оврш ина овог троугла је Р

одакле налазим о Н = — ст, па је V Н 3 7 4000л81



11. ЈТопта 155


н814. Н ека је О центар сфере (слика). Тада је 0 \ М = — = 1 ст, јер је троугао

В С З једнакостранични. Такође је О И = 0 \ М

г = л/7 ст.

1 ст, па из троугла А И О

добијамо г 2 = \/2Ј

815. Н ека је г полупречник лопте, а К , Н и 5, редом, полупречник основе,висина и изводница купе (слика). И з сличности троуглова С О И и С В Е налазим о

нК : 8 = г : (Н - г ), тј. 5 = — (Н - г ) (1). Н ека је Р к = 1Рр О давде је

44г2 = Н 2 + К з (2). Заменом 5 из (1) у (2) добијамоК 2 .

— (г + Н г

41г2 = К ? + — ( Н —г) г

- т т К 2Н

тј. 44г3 = К 2Н , па је ^ -------

К 2Н

4г3

А 1г У к Р к

=1-ДаКЛе- УГР'

816. ^ и 817. 48 \/Зст3. 818. г = у / Н (2 К - Н ) . 819. За4 12

: н ч2основну ивицу и висину Н призме важ и (по П итагориној теореми)

= О давде се налази = 3\/Г Т ст и V : 2 г- т т 297 з■ Ј ' / Н = у с т 3

820. И з сличности троуглова О В Р и С В О (слика) добијамо г Н — Н у т 2 + Н 2, К Н

одакле је г = - ^ = = = = .




821. Н ека је једнакокраки троугао А В С осни пресек купе (слика). И з слично-сти троуглова А В О \ и О В О налазим о

одакле је г =К 2Н

Н - 2К '

т _ II

П ~ / Н ( Н ~2 Е ) 1

822. П однож је норм але из центра лопте на раван троугла А В С је центар опи-саног круга овог троугла. К ако је полупречник описаног круга овог (правоуглог)

троугла 5 ст, то је траж ено одстојањ е <1= ^132 —52 = 12 сш .

823. А ко се постави раван кроз дијагоналу коцке норм ално на раван основе,у пресеку се добија правоугаоник страница а и а \/2 уписан у полукруг полупре-

чника г (слика). К ако је г2 ^ ) = то Је

т 4 г, 1

824. - . 825. И з - г 2п = - 2 Н налазим о Н = 4г = 2сш . о о




11. Л опта 157

826. П олупречник лопте једнак је полупречнику круга уписаног у основу

призме: г = ^ • (^\/3 = ^л/З, а висина призме је Н = 2г = ^л/З, па је:

б)

2- ^ З + З а - ^

4(И2-VI

г\/3

9\ /3

27

9\ / 3

2тг ’

827. Н ека су А , В , С , Б Е средиш та ових пет лопти (Е - средиш те горњ елопте). О чигледно је да је А В С О Е правилна четворострана једнакоивичнапирамида ивице 2г. В исина те пирамиде је дуж ине г л / 2 (јер је троугао А С Е једнакокрако-правоугли, а висина пирамиде је уједно и њ егова висина). Тачке А , В , С , I) од равни стола удаљ ене су за г, тачка Е за г(1 + \/2), а највиш а тачкагорњ е лопте за г(2 + \/2).

Documents

8 Razred - Krug - Zbirka