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§ 8 Kurven, Oberflachen und Integrationstheorie
8.1 Rektifizierbare Wege
Definition 8.1.
Ist I = [a, b] ein kompaktes Intervall und ! : I ! Rp stetig, so nennen wir ! einen Wegoder eine Kurve und !(I) die Spur der Kurve oder auch den Bogen des Weges !. ! heißtauch eine Parameterdarstellung des Bogens !(I); !(a) heißt Anfangs- und !(b) Endpunktdes Weges (oder der Kurve) !.
Beispiele 8.2.
!1 : [0, 2"] " t #! (cos t, sin t) $ R2 ist ein Weg im R2 mit dem zugehorigen Bogen!1([0, 2"]) = {(x, y) | x2 + y2 = 1} =: K1. !2 : [0, 2"] " t #! (cos 2t, sin 2t) $ R2 istebenfalls ein Weg im R2 mit dem Bogen K1. Jeder Punkt der Einheitskreislinie wird aberunter !2 zweimal durchlaufen.Ferner sind !3 : [0, "] " t #! !1(t) $ R2 und !4 : [%1, 1] " t #! (t,
&1 % t2) $ R2
zwei Wege im R2, die denselben Bogen !3([0, "]) =: H1 besitzen. H1 besitzt aber auchdie Parameterdarstellung !5 : [0, 1] " t #! (cos"t, sin "t) $ R2 sowie !6 : [0, 1] " t #!!5(1 % t). Bezuglich !6 wird die obere Einheitskreislinie in der umgekehrten Richtung,d.h. von (%1, 0) zu (1, 0) durchlaufen.
Wir wollen einem Weg bzw. einem Bogen eine Lange zuordnen. Anschaulich wurde mandem Weg !2 die Lange 4", dem Bogen K1 aber die Lange 2" zuordnen. Um diese Langen-definition so realitatsnah wie moglich zu machen, betrachten wir im Folgenden den Rp
unter der euklidischen Norm ||.||2. Anschaulich scheint folgende Uberlegung eine Naherungfur die Lange eines Weges zu liefern:Wir wahlen eine Zerlegung Z des Intervalls [a, b], etwa
a = t0 < t1 < . . . < tn = b ;
dadurch werden die Punkte!(t0),!(t1), . . . ,!(tn)
im Rp bestimmt und wir berechnen deren Abstandssumme, d.h.
L(!, Z) :=n!
k=1
||!(tk) % !(tk!1||2 .
190
Diesen Wert nehmen wir als Naherung fur die Weglange. Wir berechnen L(!, Z), wenn! = (!1, . . . ,!p)T ist:
L(!, Z) =n!
k=1
"p!
j=1
(!j(tk) % !j(tk!1))2
# 12
Wir nennen einen Weg ! rektifizierbar, wenn gilt:
supZ
L(!, Z) ' M < ( .
Sind !1, . . . ,!p stetig di!erenzierbar, so liefert der Mittelwertsatz der Di!erentialrech-nung:
!j(tk) % !j(tk!1) = !"j(#j,k!1)(tk % tk!1)
mit einem Zwischenpunkt #j,k!1 $]tk!1, tk[. Also ist
L(!, Z) =n!
k=1
"p!
j=1
(!"j(#j,k!1))
2(tk % tk!1)2
#12
=n!
k=1
"(tk % tk!1)
2p!
j=1
(!"j(#j,k!1))
2
# 12
=n!
k=1
"p!
j=1
(!"j(#j,k!1))
2
#12
(tk % tk!1) .
Dies fuhrt zu folgender
Definition 8.3.
Ist ! : [a, b] ! Rp ein stetig di!erenzierbarer Weg, so nennen wir
L(!) :=
$ b
a
||!"(t)||2dt =
$ b
a
%!"
1(t)2 + . . . + !"
p(t)2&1/2
dt ,
wobei ! = (!1, . . . ,!p)T ist, die Lange von !. Ist ! auf [a, b] injektiv, so beschreibt L(!)auch die Lange des Bogens ".
Beispiele 8.4.
a) Ist ! : [0, 4"] " t #! (r cos t, r sin t, ht)T $ R3 fur festes r, h > 0 ein Stuck derSchraubenlinie (mit Ganghohe 4"h), so gilt
L(!) =
$ 4!
0
(r2 sin2 t + r2 cos2 t + h2)1/2
dt
=
$ 4!
0
&r2 + h2 dt = 4"
&r2 + h2
191
b) Ist ! : [0, 2"] " t #! (r(t % sin t), r(1 % cos t))T $ R2 das Stuck einer Zykloide, sofolgt
L(!) =
$ 2!
0
(r2(1 % cos t)2 + r2 sin2 t)1/2
dt
=
$ 2!
0
'2r2(1 % cos t) dt = 2r
$ 2!
0
sint
2dt = 8r
Satz 8.5.
Es seien !1 : [a1, b1] ! Rpund !2 : [a2, b2] ! Rp zwei stetig di!erenzierbare Wege, undes existiere eine stetig di!erenzierbare, surjektive Abbildung $ : [a2, b2] ! [a1, b1] mit$"(x) )= 0 fur alle x $ [a2, b2] und !2 = !1 * $. Dann gilt
L(!1) = L(!2) .
Beweis: Sei o.B.d.A. $"(x) > 0 fur alle x $ [a2, b2]; dann folgt mit der Substitutionsregel
L(!2) =
$ b2
a2
||!"2(t)||2 dt =
$ "!1(b1)
"!1(a1)
||!"1($(t))||2$"(t) dt =
$ b1
a1
||!"1(s)||2 ds = L(!1) .
!
Definition 8.6.
Sind [a0, a1], [a1, a2], . . . , [an!1, an] kompakte Intervalle und !k : [ak!1, ak] ! Rp Wege fur1 ' k ' n mit !k(ak) = !k+1(ak), so ist ! : [a0, an] ! Rp mit
!(t) := !k(t) fur t $ [ak!1, ak]
ein Weg, die sog. Summe der Wege !1, . . . ,!n; wir bezeichnen sie mit !1+!2+. . .+!n. !k
wird auch Teilweg von ! genannt. ! = !1+. . .+!n heißt stuckweise stetig di!erenzierbar,wenn jeder Teilweg !k : [ak!1, ak] ! Rp stetig di!erenzierbar ist. Wir setzen
L(!) =n!
k=1
L(!k) .
Bemerkung 8.7.
Sind !k : [ak, bk] ! Rp fur 1 ' k ' n stetig di!erenzierbare Wege derart, dass !k(bk) =!k+1(ak+1) fur k = 1, . . . , n % 1 gilt, so wahlen wir n Intervalle [c1, d1], [c2, d2], . . . , [cn, dn]mit dk = ck+1 fur 1 ' k ' n % 1 und definieren $k : [ck, dk] ! [ak, bk] durch
$k(t) :=akdk % bkck
dk % ck+
bk % ak
dk % ckt;
dann ist $k stetig di!erenzierbar und bijektiv mit $k(ck) = ak sowie $k(dk) = bk. Setzenwir (!k := !k * $k, so ist !k([ak, bk]) = (!k([ck, dk]) und (!k(dk) = !k(bk) = !k+1(ak+1) =(!k+1(ck+1). Also konnen wir den Weg
! := (!1 + . . . + (!n
192
bilden. Wir sagen, ! entsteht durch Aneindanderhangen der Wege !1, . . . ,!n. Wir erhal-ten direkt
L(!) =n!
k=1
L(!k).
8.2 Kurvenintegrale
Definition 8.8.
Ist ! : [a, b] ! Rp stetig di!erenzierbar und F : !([a, b]) ! Rp stetig, so sei das Kurven-integral (zweiter Art) definiert durch
$
#
F (x) · dx :=
$ b
a
F (!(t)) · !"(t)dt
=p!
j=1
$ b
a
Fj(!(t)) !"j(t)dt .
Fur (stuckweise) glatte Wege ! bzw. !1+!2+. . .+!n, d. h. !"(x) )= 0 fur alle x $]a, b[ bzw.!"
j(x) )= 0 fur alle x $]aj , bj[ und alle 1 ' j ' n ist das (nichtorientierte) Kurvenintegralerster Art durch $
#
f ds =
$ b
a
f(!(x))||!"(x)||2 dx
definiert, wobei wir f : !([a, b]) ! R als stetig voraussetzen.
Wir erhalten direkt aus der Definition:
Satz 8.9.
Fur stetig di!erenzierbare Wege !,!1 und !2 sowie auf den zugehorigen Bogen stetigeFunktionen f, g gilt:
a)
$
#
(%f + &g) · dx = %
$
#
f · dx + &
$
#
g · dx, %, & $ R,
193
b)
$
#1##2
f · dx =
$
#1
f · dx +
$
#2
f · dx
$
#!
f · dx = %$
#
f · dx;
dabei ist !! der in umgekehrter Richtung durchlaufene Weg mit
!!(t) = !(a + b % t) fur a ' t ' b ;
c)
))))
$
#
f · dx
)))) ' ( maxx$#(I)
||f(x)||2) · L(!).
Wir uberlegen uns nun, dass die Definition des Kurvenintegrals von der Parametrisierungunabhangig ist.
Satz 8.10.
Seien ! : [a, b] ! Rp ein stetig di!erenzierbarer Weg und $ : [c, d] ! [a, b] stetig di!eren-zierbar und bijektiv mit $(c) = a sowie $(d) = b. Dann ist ! * $ : [c, d] ! Rp ein stetigdi!erenzierbarer Weg mit !($([c, d])) = !([a, b]), und es gilt
$
#
f · dx =
$
#%"f · dx.
Definition 8.11.
Ist ! = !1+!2+. . .+!n : [a, b] ! Rp stuckweise di!erenzierbar mit den stetig di!erenzier-baren Teilwegen !k : [ak!1, ak] ! Rp (a0 = a, an = b), so sei fur stetiges f : !([a, b]) ! Rp
$
#
f · dx :=n!
k=1
$
#k
f · dx.
Entsteht ! durch Aneinanderhangen der Wege !1, . . . ,!n, so erhalten wir dann gemaßSatz 8.10.: $
#
f · dx =n!
k=1
$
b#k=#k%"k
f · dx =n!
k=1
$
#k
f · dx.
Beispiele 8.12.
a) Es sei!11(t) := (t, 0)T fur 0 ' t ' 1
!12(t) := (1, t)T fur 0 ' t ' 1
und !1 der Weg, der durch Aneinanderhangen von !11 und !12 entsteht.
b) !2 entstehe durch Aneinanderhangen der Wege
!21(t) := (0, t)T fur 0 ' 1 ' 1
!22(t) := (t, 1)T fur 0 ' t ' 1
194
c) Ferner sei!3(t) := (t, t2)T fur 0 ' t ' 1.
Wir berechnen fur f : R2 ! R2 mit f(x, y) = (y, x% y)T die Integrale
$
#k
f · d(x, y).
Es gilt:
$
#1
f · d(x, y) =
$ 1
0
f(!11(t)) · !"11(t)dt +
$ 1
0
f(!12(t)) · !"12(t)dt
=
$ 1
0
(0, t)T · (1, 0)Tdt +
$ 1
0
(t, 1 % t)T · (0, 1)T · dt
=
$ 1
0
(1 % t)dt =1
2,
$
#2
f · d(x, y) =
$ 1
0
(f(!21(t)) · !"21(t) + f(!22(t)) · !"
22(t))dt
=
$ 1
0
[(t,%t)T · (0, 1)T + (1, t % 1)T · (1, 0)T ]dt
=
$ 1
0
(%t + 1)dt =1
2
und
$
#3
f · d(x, y) =
$ 1
0
(t2, t % t2)T · (1, 2t)Tdt
=
$ 1
0
(3t2 % 2t3)dt =1
2.
Beispiel 8.13.
Unter der Wirkung des Kraftfeldes f(x, y) = (2xy, x2 +y2)T bewege sich ein Massenpunktauf der Parabel y = x2 vom Punkt (1, 1) zu dem Punkt (2, 4). Welche Arbeit wird dabeigeleistet? (Kraft in Newton und Entfernung in Meter)
A =
$ 2
1
(2t3, t2 + t4)T · (1, 2t)T dt =
$ 2
1
(2t5 + 4t3)dt
=1
3t6 + t4
)))2
1= 36 (Joule).
195
8.3 Gradientenfelder
Definition 8.14.
Es sei G , Rp o!en und f : G ! Rp ein Vektorfeld. Die Abbildung F : G ! R heißtStammfunktion zu f , wenn fur alle x $ G gilt:
f(x) = grad F (x).
f heißt dann ein Gradientenfeld . U = %F heißt das Potential von f .
Satz 8.15.
Es seien G , Rp ein Gebiet und F $ C1(G). Ferner seien a und b zwei beliebige Punkteaus G und ! irgendein stuckweise stetig di!erenzierbarer Weg mit Anfangspunkt a undEndpunkt b, der ganz in G verlaufe. Dann ist
$
#
grad F (x) · dx = F (b) % F (a).
Beweis: Zunachst seien z1, z2 zwei Punkte aus G und $ : [c, d] ! Rp ein stetig di!e-renzierbarer Weg mit $(c) = z1 und $(d) = z2, der ganz in G verlaufe. Wir definierenH : [c, d] ! R durch H(t) := (F * $)(t); nach der Kettenregel gilt:
H "(t) = F "($(t)) · $"(t) = grad F ($(t)) · $"(t)
fur alle t $]c, d[. Damit folgt$
"
grad F (x) · dx =
$ d
c
grad F ($(t)) · $"(t)dt
=
$ d
c
H "(t)dt = H(d) % H(c) = F (z2) % F (z1).
Ist nun ! = !1 + . . . + !n eine Summe von stetig di!erenzierbaren Wegen, so folgt nachdem gerade Bewiesenen mit z0 = a und zn = b:
$
#
grad F (x) · dx =n!
k=1
$
#k
grad F (x) · dx
n!
k=1
(F (zk) % F (zk!1))
= F (zn) % F (z0) = F (b) % F (a).
!
Fur stetig di!erenzierbare Vektorfelder gibt es Kriterien, mit denen man entscheiden kann,ob sie Gradientenfelder sind. Zunachst gilt:
Satz 8.16.
Ist G , Rp o!en und das stetig di!erenzierbare Vektorfeld f auf G ein Gradientenfeld, somuss f die Integrabilitatsbedingungen
'fj
'xk=
'fk
'xj
fur alle j, k = 1, . . . , p auf G erfullen.
196
Beweis: Ist f = grad F , d.h. fj ='F
'xj, so liefert der Satz von Schwarz wegen F $ C2(G):
'fj
'xk=
'2F
'xk'xj=
'2F
'xj'xk=
'fk
'xj.
!
Die Integrabilitatsbedingungen sind fur ”schone” Gebiete auch hinreichend dafur, dassein stetig di!erenzierbares Vektorfeld auch ein Gradientenfeld ist. Solche Gebiete werdenin der folgenden Definition beschrieben.
Definition 8.17.
M , Rp heißt sternformig , wenn ein a $ M existiert so, dass die Verbindungsstreckezwischen a und jedem Punkt x $ M ganz in M liegt.
Satz 8.18.
Seien G , Rp o!en und sternformig sowie f ein stetig di!erenzierbares Vektorfeld auf G.f ist genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitatsbedingungen erfullt sind.
Beispiel 8.19.
Wir wollen fur den Fall p = 2 demonstrieren, wie man eine Stammfunktion zu einem stetigdi!erenzierbaren Vektorfeld f berechnet. Zuerst pruft man die Integrabilitatsbedingungenauf der o!enen Menge G nach. Sind sie erfullt, so machen wir den Ansatz
'F
'x= f1,
'F
'y= f2.
Hieraus erhalten wir
F (x, y) =
$f1(x, y)dx + g(y);
unter der Voraussetzung, dass g di!erenzierbar ist, folgt durch Einsetzen in die zweiteGleichung
'
'y
*$f1(x, y)dx
++
d
dyg(y) = f2(x, y),
d.h.d
dyg(y) = f2(x, y) %
'
'y
*$f1(x, y)dx
+.
Nochmalige Integration liefert g, und durch Di!erentiation pruft man nach, ob
F (x, y) =
$f1(x, y)dx + g(y)
wirklich eine Stammfunktion zu f ist. Ist z.B.
('F
'x,'F
'y)(x, y) = f(x, y) = (12xy + 3, 6x2)T = (f1(x, y), f2(x, y))T ,
197
so gilt'f1
'y(x, y) = 12x =
'f2
'x(x, y),
also
F (x, y) =
$(12xy + 3)dx + g(y)
= 6x2y + 3x + g(y),
d.h.
g"(y) ='F
'y(x, y)
, -. /=f2(x,y)=6x2
%6x2 = 0
oderg = const.
Nun pruft man nach, dassF (x, y) = 6x2y + 3x
wirklich eine Stammfunktion zu f ist.
8.4 Integration im Rn
Wir wollen nun erklaren wie man fur gewisse Teilmengen B , Rn ein n-dimensionalesVolumen |B| (oder Voln(B)) definieren bzw. berechnen kann.
Definition 8.20.
(i) B , Rn heißt (Jordan-)Nullmenge , wenn gilt:Fur jedes ( > 0 existieren endlich viele Quader Qi, 1 ' i ' k, mit
B ,k0
i=1
Qi undk!
i=1
Vol (Qi) < (.
Dabei setzt man fur Q =n1
j=1
[aj, bj ] :
Vol (Q) = |Q| =n1
j=1
(bj % aj).
(ii) B , Rn heißt (Jordan-)messbar, wenn 'B eine (Jordan-) Nullmenge ist.
Beachte: Messbare Mengen kann man (von außen und innen) beliebig gut durch Quaderapproximieren; daher kann man solchen Mengen ein n-dimensionales Volumen zuordnen.
Wir wollen nun fur n = 2 und n = 3 spezielle messbare Mengen betrachten, deren Vo-lumen (im Fall n = 2 sprechen wir vom Flacheninhalt ) man durch iterierte Integraleberechnen kann.
198
Definition 8.21.
(i) B , R2 heißt Normalbereich bzgl. der x%Achse bzw. der y%Achse, wenn sich B inder Form
B = {(x, y)T $ R2 | x $ [a, b], f(x) ' y ' g(x)}
bzw.
B = {(x, y)T $ R2 | y $ [c, d], f(y) ' x ' g(y)}
mit stetigen Funktionen
f, g : [a, b] ! R mit f(x) ' g(x) fur alle x $ [a, b]
bzw.
f, g : [c, d] ! R mit f(y) ' g(y) fur alle y $ [c, d]
darstellen lasst.
Ist B ein Normalbereich (bzgl. der x- oder der y-Achse), so ist B kompakt.
B
g(x)
f(x)
a b
m
M
B
f(y)
g(y)
c
d
m M
Abbildung 2: Normalbereiche
Ist h : B ! R stetig, so setzt man
$
B
h(x, y)d(x, y) :=
$ b
a
2 $ g(x)
f(x)
h(x, y)dy3dx
bzw. $
B
h(x, y)d(x, y) :=
$ d
c
2$ g(y)
f(y)
h(x, y)dx3dy.
199
Beachte: Im Fall h(x, y) - 1 ist$
B
1 · d(x, y)
der Flacheninhalt von B. Allgemeiner kann man jeder beschrankten, messbarenMenge aus dem R2 einen Flacheninhalt zuordnen.
(ii) Ist B , R2 wie in (i) definiert und sind g0, f0 : B ! R stetig sowie
C = {(x, y, z)T $ R3 | (x, y)T $ B und f0(x, y) ' z ' g0(x, y)},
so setzt man fur stetiges h : C ! R
$
C
h(x, y, z)d(x, y, z) :=
$ b
a
2$ g(x)
f(x)
2$ g0(x,y)
f0(x,y)
h(x, y, z)dz3dy
3dx
=:
$
B
2$ g0(x,y)
f0(x,y)
h(x, y, z)dz3d(x, y).
C ist ein spezieller Normalbereich im 3-dimensionalen Fall.
f(x, y)
g(x, y)
B
Abbildung 3: Normalbereich im 3-dimensionalen Fall
Beispiel 8.22.
Ist B := {(x, y) $ R2 : x $ [0, 1],&
x ' y ' 2 % x}, so gilt
$
B
(x + y)d(x, y) =
$ 1
0
2$ 2!x
&x
(x + y)dy3dx =
$ 1
0
4xy +
1
2y2
5y=2!x
y=&
xdx
=
$ 1
0
4x(2 % x) +
1
2(2 % x)2 % x
&x %
1
2x5dx = · · · =
71
60.
200
Satz 8.23. (Substitutionsregel oder Transformationssatz)
G , Rn sei o!en, g $ G ! Rn sei injektiv und stetig di!erenzierbar; es gelte
det g"(z) )= 0 fur alle z $ G.
Ferner seien B , G kompakt und messbar sowie f : g(B) ! R stetig.Dann ist g(B) kompakt und messbar, und es gilt:
$
g(B)
f(x)dx =
$
B
f(g(z)) · | det g"(z)|dz .
Anwendungen der Substitutionsregel
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..............................
..............................
...................
....................
.......
.......
..................
...................
.....
......
...................
x
y
0
!2
!1
AB
!2
!1
R1 R2R2R1
g
Abbildung 4: Polarkoordinaten
Polarkoordinaten (im Fall n = 2)
r :='
x2 + y2 = .(x, y).2
x = r cos!, y = r sin!; r $ [0,(), ! $ [0, 2").
Wahle g(r,!) := (r cos!, r sin!) (vgl. Abb. 4); dann ist
det g"(r,!) = det
*cos! %r sin!sin! r cos!
+= r .
Also lautet die Substitutionsregel mit A = g(B):
$
A
f(x, y)d(x, y) =
$
B
f(g(z)) · | det g"(z)|dz
=
$
B
f(r cos!, r sin!) · r d(r,!)
(Dabei ist B ein Rechteck!)
201
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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..............................
..
..............................
1 2
2"
g B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A
Abbildung 5: Integration uber einen Kreisring
Beispiel 8.24.
Sei A := {(x, y) $ R2 | 1 ' x2 + y2 ' 4} ein Kreisring (vgl. Abb. 5). Berechne$
A
'x2 + y2 d(x, y) .
Die Substitutionsregel (mit ebenen Polarkoordinaten) liefert hier
$
A
'x2 + y2 d(x, y) =
$ 2!
0
$ 2
1
r · rdrd! = 2" ·7
3.
Zylinderkoordinaten (im Fall n = 3)
.................................................................
"
..........
..........
..........
..........
...
...........................................................................
..............................
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................
z
r!
x
y
Abbildung 6: Zylinderkoordinaten
Hier istg(r,!, z) = (r cos!, r sin!, z)
d.h.x = r cos!, y = r sin!, z = z
und damit
det g"(r,!, z) = det
6
7cos! %r sin! 0sin! r cos! 0
0 0 1
8
9 = r.
Also liefert die Substitutionsregel mit A = g(B) :$
A
f(x, y, z)d(x, y, z) =
$
B
f(r cos!, r sin!, z) · r d(r,!, z) .
202
Beispiel 8.25.
Sei A := {(x, y, z) $ R3 : x2 + y2 ' 1, 0 ' z ' h}. Wir bestimmen den Flacheninhalt |A|von A mit zwei verschiedenen Methoden:
(i) mit dem Prinzip des Cavalieri:
Es sei A , R3 Jordan-messbar, und fur jedes (x, y, z) $ A gelte : a ' z ' b.Ferner besitze fur jedes z $ [a, b] der Schnitt Q(z) := {(x, y) | (x, y, z) $ A} denFlacheninhalt q(z).
Dann gilt
|A| =
$ b
a
q(z)dz.
Als Beispiel betrachten wir den Zylinder A mit der Hohe h und dem Durchmesserd = 2. Fur z $ [0, h] ist stets Q(z) = {(x, y) $ R2 | x2 + y2 ' 1}, also
q(z) = |Q(z)| = "
und damit
|A| =
$ h
0
q(z)dz = " · h
(ii) mit Zylinderkoordinaten ist
B := {(r,!, z) | 0 ' r ' 1, 0 ' ! ' 2", 0 ' z ' h}
mit A = g(B). Damit erhalten wir
|A| =
$
A
1d(x, y, z) =
$
B
r d(r,!, z) =
$ 2!
0
2$ h
0
2 $ 1
0
r dr3dz
3d! = 2"h·
1
2= " ·h.
(eigentlich mussten wir wegen der Forderung det g"(r,!, z) )= 0 den BereichB$ := {(r,!, z) | ( ' r ' 1, 0 ' ! ' 2" % (, 0 ' z ' h} betrachten " dieSubstitutionsregel anwenden " ( ! 0 gehen lassen)
Kugelkoordinaten (im Fall n = 3) (vgl. Abb. 7)
x = r · cos! cos ), y = r · sin! cos ), z = r · sin ).
Dabei lauft ! zwischen 0 und 2", ) zwischen %!2 und !
2 .
Also g(r,!, )) = (r cos! cos ), r sin! cos ), r sin )).
det g"(r,!, )) = det
6
7cos! cos ) %r sin! cos ) %r cos! sin )sin! cos ) r cos! cos ) %r sin! sin )
sin ) 0 r cos )
8
9 = r2 cos ).
A = g(B); nach der Substitutionsregel gilt also hier:$
A
f(x, y, z)d(x, y, z) =
$
B
f(r cos! cos ), r sin! cos ), r sin )) · r2 cos ) d(r,!, ))
203
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...................................................
!
!
!
"..........
..
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....
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z
x
r
#y!
Abbildung 7: Kugelkoordinaten
Beispiel 8.26.
Ist A := {(x, y, z) $ R3 : x2 + y2 + z2 ' 1, x, y, z / 0}, so lasst sich A mit der obigenFunktion g und
B = {(r,!, )) : r $ [0, 1],! $ [0,"
2], ) $ [0,
"
2]}
in der Form A = g(B) darstellen. Die Substitutionsregel liefert(i) $
A
(x2 + y2 + z2)d(x, y, z) =
$
B
r2(r2 cos )) d(r,!, ))
=
$ !2
0
2$ !2
0
2$ 1
0
r4dr3
cos ) d)3d!
="
2·1
5·$ !
2
0
cos ) d) ="
10.
(ii) $
A
x d(x, y, z) =
$
B
(r cos! cos ))(r2 cos ))d(r,!, ))
=
$ !2
0
2$ !2
0
2$ 1
0
r3dr3
cos2 )d)3
cos! d!
=1
4
$ !2
0
cos!d! ·$ !
2
0
cos2 ) d) ="
16.
Haufig verwendet man folgende Variante der Kugelkoordinaten:
g(r,!, )) := (r cos! sin ), r sin! sin ), r cos )) = (x, y, z).
8.5 Flachen und Oberflachenintegrale
Definition 8.27.
Es sei K = [a, b]0[c, d] , R2 (oder allgemeiner K ein Normalbereich aus R2) und M , R2
o!en mit K , M . Unter einer Flache * im R3 mit dem Parameterbereich K verstehenwir die Einschrankung *|K einer C1-Abbildung * : M ! R3 mit
Rg (*"(x)) = 2 fur alle x $ K.
204
Die Bildmenge S := *(K) wird ein Flachenstuck mit der Parameterdarstellung * unddem Parameterbereich K genannt.
Beispiel 8.28.Ist a > 0, K = [%", "] 0
:%!
2 , !2;
und
*(u, v) := (a cos u cos v, a sin u cos v, a sin v)T ,
so ist
*"(u, v) =
6
<<<<<<<<7
'*1
'u
'*1
'v
'*2
'u
'*2
'v
'*3
'u
'*3
'v
8
========9
=
6
<<<<<7
%a sin u cos v %a cos u sin v
a cos u cos v %a sin u sin v
0 a cos v
8
=====9,
also Rg (*"(u, v)) = 2 fur alle (u, v) $ [%", "] 0;%!
2 , !2:. Es ist *(K) wegen
a2 cos2 u cos2 v + a2 sin2 u cos2 v + a2 sin2 v = a2
die Oberflache der Kugel um 0 mit Radius a.
Wir wollen nun die Definition des Flacheninhalts einer Flache motivieren.
Abbildung 8: Flachenstuck
Ist K = [a, b] 0 [c.d] ein Intervall und Z eine Zerlegung von K mit den TeilintervallenIk% = [uk!1, uk]0[v%!1, v%], so erhalten wir durch Z eine Zerlegung des Flachenstucks *(K)in Teilstucke Fk% = *(Ik%). Als Naherung fur den Flacheninhalt von *(Ik%) betrachten wirden Flacheninhalt des Parallelogramms auf der Tangentialebene im Punkt *(uk!1, v%!1),
205
d.h. durch das Parallelogramm, das durch die Vektoren (uk % uk!1)'*
'u(uk!1, v%!1) und
(v%%v%!1)'*
'v(uk!1, v%!1) aufgespannt wird. Der Inhalt dieses Parallelogramms ist gegeben
durch >>>>'*
'u(uk!1, v%!1)(uk % uk!1) 0
'*
'v(uk!1, v%!1)(v% % v%!1)
>>>>2
=
>>>>'*
'u(uk!1, v%!1) 0
'*
'v(uk!1, v%!1)
>>>>2
(uk % uk!1)(v% % v%!1).
Diesen Wert nehmen wir als Naherung fur den Flacheninhalt von Fk% und bei geeigneterZerlegung Z die Summe uber diese Werte als Naherung fur den Flacheninhalt von *(K).Setzen wir
Definition 8.29.
Ist * eine Flache im R3, so heißt (mit dem Bezeichnungen aus Def. 8.27)
|*(K)| = |S| =
$ b
a
$ d
c
>>>>'*
'u(u, v) 0
'*
'v(u, v)
>>>>2
dvdu.
der Flacheninhalt des Flachenstucks *(K).
Ist * darstellbar in der Form
*(u, v) = (u, v, f(u, v))T
mit stetig di!erenzierbarem f : M ! R, so gilt
'*
'u(u, v) =
*1, 0,
'f
'u(u, v)
+T
,'*
'v(u, v) =
*0, 1,
'f
'v(u, v)
+T
,
also'*
'u0'*
'v=
*%'f
'u(u, v),%
'f
'v(u, v), 1
+T
,
d.h.
|*(K)| =
$ b
a
$ d
c
"*'f
'u(u, v)
+2
+
*'f
'v(u, v)
+2
+ 1
#1/2
dvdu .
Beispiel 8.30.
Wir wollen den (Ober-)Flacheninhalt des Paraboloids P , welches durch
*(u, v) = (u, v, 2 % u2 % v2)T
mit (u, v) $ K := {(u, v) $ R2 | u2 + v2 ' 2} definiert ist, berechnen. K kann geschriebenwerden in der Form
K = {(r cos!, r sin!) | 0 ' r '&
2,%" ' ! ' "} = F ([0,&
2] 0 [%", "]) = F (K ")
206
mit
F (r,!) = (r cos!, r sin!) ;
Also ist
P = *([0,&
2] 0 [%", "])
mit
*(r cos!, r sin!) = *(r,!)
= (r cos!, r sin!, 2 % r2 cos2 !% r2 sin2 !)T = (r cos!, r sin!, 2 % r2)T .
Damit erhalten wir wegen
'*
'r= (cos!, sin!,%2r)T
und'*
'!= (%r sin!, r cos!, 0)T
nach Definition 8.29
.'*
'r0
'*
'!.2
|P | =
$ !
!!
6
7$ &
2
0
. /, -?4r4 cos2 ! + 4r4 sin2 ! + r2 dr
8
9 d!
=
$ !
!!
"$ &2
0
r&
4r2 + 1 dr
#
d!
=
$ !
!!
1
8
"$ &2
0
8r&
4r2 + 1 dr
#
d!
=
$ !
!!
*1
8·2
3(4r2 + 1)3/2
)))&
2
0
+d! =
1
12(93/2 % 1) · 2" =
13
3".
Definition 8.31.
Ist * eine Flache im R3 und f : *(K) ! R stetig, so heißt
$
&
fdo =
$
S
fdo :=
$ b
a
$ d
c
(f(*(u, v))||'*
'u0'*
'v(u, v)||2 dv)du
das Oberflachenintegral (erster Art) von f uber * bzw. *(K).
207
Beispiel 8.32.
Zu berechnen sei
$
&
fdo uber die Paraboloidoberflache aus Beispiel 8.30 und die Funktion
f(x, y, z) = x2 + y2. Wir erhalten wie oben
$
&
fdo =
$ 2!
0
"$ &2
0
r3&
1 + 4r2 dr
#d! =
= 2"
$ 3
1
1
44r2r+
+
4rd+ =
"
8
$ 3
1
(+2 % 1)+2d+
(+ =&
1 + 4r2, d+ =4r
+dr)
="
8
@1
5+5
)))3
1%
1
3+3)))3
1
A=
149
30".
Ist * eine Flache im R3 und f : *(K) ! R3 ein stetiges Vektorfeld, so kann man dasOberflachenintegral (zweiter Art) von f uber * bzw. *(K) definieren.
Definition 8.33.
Wir definieren das Oberflachenintegral (zweiter Art) von f uber * durch$
K
f(*(u, v)) · N(u, v)d(u, v),
wobei
N(u, v) ='*
'u(u, v) 0
'*
'v(u, v) = n(u, v)
>>>>'*
'u(u, v) 0
'*
'v(u, v)
>>>>2
der Normalenvektor zur Tangentialebene im Punkt (u, v) ist; n(u, v) heißt Normalenein-heitsvektor. Wir schreiben auch
$
K
f · n do bzw.
$
&
f · n do .
Beispiel 8.34.
Es sei S die Oberflache der Kugel um 0 mit Radius a; ferner sei f(x, y, z) = (x, y, z)T .
Dann ist
$
K
f · n do nach Definition 8.33 zu berechnen mit
*(u, v) = (a cos u cos v, a sin u cos v, a sin v)T
und K = [%", "] 04%"
2,"
2
5. Wir erhalten
'*
'u=
6
<7
%a sin u cos v
a cos u cos v
0
8
=9 und'*
'v=
6
<7
%a cos u sin v
%a sin u sin v
a cos v
8
=9 ,
208
also'*
'u0'*
'v= (a2 cos u cos2 v, a2 sin u cos2 v, a2 sin v cos v)T
und damit fur das fragliche Integral (eigentlich durch Grenzwertbetrachtung):
$ !
!!
$ !2
!!2
a3 cos u cos v cos u cos2 v dv du +
$ !
!!
$ !2
!!2
a3 sin u cos v sin u cos2 v dv du
+
$ !
!!
$ !2
!!2
a3 sin v(sin2 u sin v cos v + cos2 u sin v cos v) dv du
= a3
$ !
!!
$ !2
!!2
[(cos2 u + sin2 u) cos3 v + sin2 v cos v] dv du
= a3
$ !
!!
$ !2
!!2
cos v dv du = a3
$ !
!!
"$ !2
!!2
cos vdv
#du = 4"a3.
Bemerkung 8.35.
Wir wollen nun an einem Beispiel die physikalische Bedeutung des Oberflachenintegralszweiter Art erlautern.
Es bewege sich eine Flussigkeit in einem gewissen Raumbereich B mit dem Geschwindig-keitsfeld V : B ! R3. Ferner habe die Flussigkeit zur Zeit t im Punkt (x, y, z) dieMassendichte +(x, y, z, t) > 0, z.B. + = const; dann ist F mit
F (x, y, z, t) := +(x, y, z, t) · V (x, y, z)
die sog. Flußdichte der Stromung. Ist nun S ein Flachenstuck in dieser Stromung, so ist
F ·n die Komponente von F in Richtung n, und
$
S
F ·n do gibt die Masse an, die zur Zeit
t pro Sekunde in Richtung von n durch S fließt. div F ist die sog. Quellendichte unsererStromung.
8.6 Krummung von Kurven und Flachen
Sind %, & : [a, b] ! Rp di!erenzierbar, so gilt nach Satz 7.8, dass auch das Skalarprodukt% · & di!erenzierbar ist mit
(1) (% · &)" = % · & " + %" · &
Ferner gilt
d
dt. %(t) .2=
d
dt
6
7
BCCDp!
i=1
%2i (t)
8
9 =1
2
1
. %(t) .22 ·
p!
i=1
%i(t)%"i(t) =
1
. %(t) .2%(t) · %"(t),
209
also fur %(t) )= 0 :
(11) . %(t) .2 ·d
dt. %(t) .2 = %(t) · %"(t).
Sei ! : [a, b] ! Rp ein zweimal stetig di!erenzierbarer Weg mit !"(t) )= 0 fur alle t $ [a, b].Wir betrachten die Funktion s : [a, b] ! R mit
s(t) :=
$ t
a
.!"(u).2du.
Dann ist s zweimal stetig di!erenzierbar mit
s"(t) =. !"(t) .2 > 0
und (vgl. (11) mit %(t) = !"(t))
s""(t) =!"(t) · !""(t)
. !"(t) .2.
Also ist s streng monoton wachsend mit s([a, b]) = [0, L(!)]. Es existiert die Um-kehrfunktion s!1 : [0, L(!)] ! [a, b], die ebenfalls streng monoton und zweimal stetigdi!erenzierbar ist. Dann liefert , : [0, L(!)] ! Rp mit
,(u) := !(s!1(u)) oder ,(s(t)) = !(t)
eine andere Parameterdarstellung von !([a, b]).
Dann gilt,"(u) = !"(s!1(u)) (s!1)"(u)
mit
(s!1)"(u) =1
s"(s!1(u))=
1
. !"(s!1(u)) .2,
also. ,"(u) .2 = 1.
Schreiben wir dies in der Form
Abbildung 9: Tangenten und Normalenvektor
210
,"(u) · ,"(u) = 1,
so ergibt sich durch Di!erentiation nach (1)
,"(u) · ,""(u) = 0;
also stehen ,"(u) und ,""(u) senkrecht aufeinander, d.h. ,""(u) ist ein Normalenvektor imPunkt ,(u).
Definition 8.36.
Ist ! : [a, b] ! Rp ein zweimal stetig di!erenzierbarer Weg mit !"(t) )= 0 fur alle t $ [a, b],so heißt
-(u) :=. ,""(u) .2
die Krummung des Weges ! und r(u) :=1
-(u)der Krummungsradius sowie
µ(u) = ,(u) +,""(u)
. ,""(u) .22
der Krummungsmittelpunkt.
Abbildung 10: Krummungsmittelpunkt und -kreis
Wie lassen sich diese Großen durch die Funktion ! ausdrucken? Aus obigen Rechnungenerhalten wir
(1 1 1) s"(t) s""(t) = !"(t) · !""(t).
Wegen !(t) = ,(s(t)) ist
(1 1 11) !"(t) = ,"(s(t)) · s"(t)
und damit!""(t) = ,""(s(t)) (s"(t))2 + ,"(s(t)) s""(t).
Daraus folgt (nach Multiplikation mit s"(t))2)
,""(s(t)) (s"(t))4 = !""(t) (s"(t))2 % ,"(s(t))s""(t)(s"(t))2
(''')= !""(t)(s"(t))2 % ,"(s(t))s"(t)(!"(t) · !""(t))
('''')= !""(t)(s"(t))2 % !"(t)(!"(t) · !""(t)).
211
Wegen s"(t) =. !"(t) .2 folgt durch Skalarproduktbildung mit sich selbst:
. ,""(s(t)) .22 (s"(t))8 = . !""(t) .2
2 (s"(t))4 + (!"(t) · !""(t))2 . !"(t) .22
% 2(!"(t) · !""(t))2 . !"(t) .22
= (s"(t))2 {. !""(t) .22 . !"(t) .2
2 %(!"(t) · !""(t))2} .
Damit ergeben sich im Punkt !(t) = ,(s(t)) die Krummung
-(t) =. ,""(s(t)) .2=
'. !""(t) .2
2. !"(t) .22 %(!"(t) · !""(t))2
. !"(t) .32
und der Krummungsmittelpunkt
µ(t) = !(t) +!""(t) . !"(t) .2
2 %!"(t) (!"(t) · !""(t))
. !""(t) .22. !"(t) .2
2 %(!"(t) · !""(t))2. !"(t) .2
2 .
Beispiel 8.37.
Wir betrachten die Schraubenlinie aus Beispiel 8.4 a); dann ist
!(t) = (r cos t, r sin t, ht)T
mit r, h > 0, also!"(t) = (%r sin t, r cos t, h)T
und!""(t) = (%r cos t,%r sin t, 0)T ;
daraus folgt:. !"(t) .2
2= r2 sin2 t + r2 cos2 t + h2 = r2 + h2 ,
. !""(t) .22= r2
und!"(t) · !""(t) = 0.
Also ist die Krummung
-(t) =. !""(t) .2
. !"(t) .22
=r
r2 + h2
und der Krummungsmittelpunkt
µ(t) = !(t) +!""(t) . !"(t) .2
2
. !""(t) .22
= !(t) +r2 + h2
r2!""(t)
=
*%h2
rcos t,%
h2
rsin t, ht
+T
.
212
Bemerkung 8.38.
Ist p = 2, etwa !(t) = (x(t), y(t))T , so erhalten wir fur die Krummung bzw. den Krummungs-mittelpunkt
-(t) =x"(t)y""(t) % x""(t)y"(t)
(x"(t)2 + y"(t)2)3/2
bzw.
µ(t) = (x(t), y(t)) + (%y"(t), x"(t))x"(t)2 + y"(t)2
x"(t)y""(t) % x""(t)y"(t).
Beispiel 8.39.
a) Der Kreis !(t) = r(cos t, sin t)T , t $ [0, 2"], hat die Krummung
-(t) =r2 sin2 t + r2 cos2 t
r3=
1
r
und den Krummungsmittelpunkt
µ(t) = (r cos t, r sin t)T +r2
r2(%r cos t,%r sin t)T = (0, 0).
b) Die Parabel !(t) = (t, t2)T besitzt die Krummung
-(t) =2
(1 + 4t2)3/2
und den Krummungsmittelpunkt
µ(t) = (t, t2)T +1 + 4t2
2(%2t, 1)T = (%4t3, 3t2 +
1
2)T .
Im Fall einer Flache ist die Definition der Krummung nicht so einfach. Wie wir in Defi-nition 8.33 vermerkt haben, konnen wir fur eine Flache im R3, die durch * : M ! R3
gegeben ist, die Einheitsnormalenvektoren n durch
n(u, v)· .'*
'u(u, v) 0
'*
'v(u, v) .2 =
'*
'u(u, v) 0
'*
'v(u, v)
im Punkt p = *(u, v) $ S = *(K) definieren. Wir betrachten nur solche Flachen * , furdie die Abbildung n : M ! R3 auf ganz K di!erenzierbar ist. Wegen . n(u, v) .2= 1bildet n in die Oberflache der Kugel mit Radius 1 ab.
213
Wir definieren die folgenden Großen ( <, > bedeutet dabei das Skalarprodukt)
E = .'*
'u.2
2 = <'*
'u,'*
'u>,
F = <'*
'u,'*
'v>,
G = .'*
'v.2
2 = <'*
'v,'*
'v>,
e = < n,'2*
'u2>,
f = < n,'2*
'u'v>,
g = < n,'2*
'v2> ,
jeweils im Punkt (u, v).
Definition 8.40.
Erfullt die Flache * die oben genannten Eigenschaften, so heißt
K :=eg % f 2
EG % F 2
die Gaußsche Krummung der Flache und
H :=1
2
eG % 2fF + gE
EG % F 2
die mittlere Krummung der Flache im Punkt p = *(u, v).
Beispiel 8.41.
Wir betrachten das hyperbolische Paraboloid mit
*(u, v) = (u, v, v2 % u2)T .
Dann ist
'*
'u=
6
710
%2u
8
9 ,'*
'v=
6
7012v
8
9 ,
N(u, v) =
6
72u
%2v1
8
9 , n(u, v) =1E
u2 + v2 +1
4
6
7u%v12
8
9 ,
E(u, v) = 1 + 4u2 , F (u, v) = %4uv,
G(u, v) = 1 + 4v2 ,
'2*
'u2=
6
700%2
8
9 ,'2*
'v2=
6
7002
8
9 ,'2*
'u'v=
6
7000
8
9 ,
214
also
e = %1E
u2 + v2 +1
4
, f = 0, g =1E
u2 + v2 +1
4
.
Damit erhalten wir die Gaußsche Krummung
K(u, v) =
%1
u2 + v2 + 14
(1 + 4u2)(1 + 4v2) % 16u2v2= %
4
(4u2 + 4v2 + 1)2
und die mittlere Krummung
H(u, v) =4(u2 % v2)
(4u2 + 4v2 + 1)3/2.
Speziell im Nullpunkt erhalten wir die Gaußsche Krummung K = %4 und die mittlereKrummung H = 0.
Dieses Beispiel gibt Anlass dazu, fur eine Flache, die sich als Graph einer (zweimal) stetigdi!erenzierbaren Funktion darstellen lasst, d.h.
*(u, v) = (u, v, h(u, v))T ,
die Krummungen K und H als Funktionen von'h
'u,'h
'v,'2h
'u2,
'2h
'u'vund
'2h
'v2
darzustellen. Es gilt namlich
'*
'u=
6
<7
10'h
'u
8
=9 ,'*
'v
6
<7
01'h
'v
8
=9 ,
'2*
'u2=
6
<7
00
'2h
'u2
8
=9 ,'2*
'v2=
6
<7
00
'2h
'v2
8
=9 ,'2*
'u'v=
6
<7
00
'2h
'u'v
8
=9 ,
n(u, v) =1F
1 +
*'h
'u
+2
+
*'h
'v
+2
6
<<<<7
%'h
'u
%'h
'v1
8
====9
=: a
6
<<<<7
%'h
'u
%'h
'v1
8
====9
215
und damit
e(u, v) = a ·'2h
'u2, f(u, v) = a ·
'2h
'u'v, g(u, v) = a ·
'2h
'v2.
Also ist
K = a4
"'2h
'u2·'2h
'v2%
*'2h
'u'v
+2#
und
2H = a3
G"
1 +
*'h
'u
+2#
'2h
'v2% 2
'h
'u
'h
'v
'2h
'u'v+
"
1 +
*'h
'v
+2#'2h
'u2
H
Beispiel 8.42.
Wir betrachten ein Stuck der Kugeloberflache vom Radius r, gegeben durch
*(u, v) = (u, v,&
r2 % u2 % v2)T =: (u, v, h(u, v))T .
Dann ist E1 + (
'h
'u)2 + (
'h
'v)2 =
r
h(u, v)= a!1,
'2h
'u2(u, v) = %
r2 % v2
h3(u, v),
'2h
'v2(u, v) = %
r2 % u2
h3(u, v)
und'2h
'u'v(u, v) = %
uv
h3(u, v),
also
K =h4
r4
2(r2 % v2)(r2 % u2)
h6%
u2v2
h6
3
=h4
r4
r4 % r2v2 % r2u2
h6=
h4
r4
r2(r2 % u2 % v2)
h6=
1
r2
und nach (langerer) elementarer Rechnung
2H = %2
r, d.h. H = %
1
r.
Bemerkung 8.43.
Sei % : [a, b] ! S mit 0 $ ]a, b[ ein Weg auf S = *(K) mit %(0) = p, d.h.
%(t) = *(u(t), v(t))
216
Abbildung 11:
mit %(0) = *(u(0), v(0)) = p.
Wir betrachten die Kurve N : [a, b] ! R3 mit
N(t) := n(%(t));
dann istN "(0) = n"(%(0)) · %"(0) = n"(p) · %"(0) .
Dabei misst n"(p) die ”Veranderungsrate” des Einheitsnormalvektors im Punkt p.N "(0) ist die Krummung der Flache in Richtung %"(0). Es gibt eine maximale undeine minimale ”Krummung” bei p . Die Gauß’sche Krummung ist das Produkt dieserbeiden Krummungen und die mittlere Krummung das arithmetische Mittel dieser beidenKrummungen.
8.7 Einige Satze der Integrationstheorie
Wir notieren nun noch einige fur die Anwendungen wichtige Satze ohne Beweis (siehehierzu Freiling, Skript Analysis II, §29 ).
Satz 8.44.
Seien [a, b] , R, U , Rm beliebig und f : [a, b] 0 U " (x, y) #! f(x, y) $ R stetig. Dannist die Funktion
F : U " y #!$ b
a
f(x, y) dx $ R
stetig.
Dabei heißt
$ b
a
f(x, y) dx parameterabhangiges Integral.
217
Lemma 8.45
Unter den Voraussetzungen von Satz 8.44 gilt:Ist yk $ U fur alle k $ N mit c := lim
k()yk $ U , dann konvergieren die stetigen Funktionen
gk : [a, b] " x #! f(x, yk) $ R fur k ! ( gleichmaßig gegen
g : [a, b] " x #! f(x, c) $ R .
Satz 8.46.
Sei f : [a, b] 0 [%, &] " (x, y) #! f(x, y) $ R stetig und nach y stetig partiell di!eren-zierbar (d.h. D2f ist stetig). Dann ist
F : [%, &] " y #!$ b
a
f(x, y) dx $ R
stetig di!erenzierbar mit
F "(y) =
$ b
a
'
'yf(x, y) dx .
Da partielle Ableitungen als gewohnliche Ableitungen bei festgehaltenen ubrigen Varia-blen angesehen werden konnen, ergibt sich aus Satz 8.46:
Korollar 8.47.
Seien [a, b] , R, U , Rn o!en und
f : [a, b] 0 U " (x, y1, . . . , yn) #! f(x, y1, . . . , yn) $ R
stetig sowie nach y1, . . . , yn stetig partiell di!erenzierbar. Dann gilt
DiF (y) :='
'yi
$ b
a
f(x, y1, . . . , yn) dx =
$ b
a
'
'yif(x, y1, . . . , yn) dx , 1 ' i ' n ,
und DiF : U ! R ist fur 1 ' i ' n stetig.
Satz 8.48.
F :]a, b[0]%, &[" (x, y) #! f(x, y) $ R sei stetig und nach y stetig partiell di!erenzierbar.Die Funktionen !,, :]%, &[!]a, b[ seien di!erenzierbar. Dann ist
F :]%, &[" y #!$ '(y)
#(y)
f(x, y) dx $ R
di!erenzierbar mit
F "(y) =
$ '(y)
#(y)
'
'yf(x, y) dx + f(,(y), y),"(y) % f(!(y), y)!"(y) .
218
Satz 8.49. (Vertauschung der Integrationsreihenfolge)
Istf : [a, b] 0 [c, d] " (x, y) #! f(x, y) $ R
stetig, so gilt $ b
a
2$ d
c
f(x, y) dy3
dx =
$ d
c
2$ b
a
f(x, y) dx3
dy .
Bemerkung:O!enbar gilt fur n-fache Integrale uber eine auf dem Quader [a1, b1]0 . . .0 [an, bn] stetigeFunktion ein analoger Satz.
