5. Hiperbola    a. Defenisi  

 Hiperbola  adalah  tempat  kedudukan  titik  titik  dalam  bidang  yang  selisih  jaraknya  terhadap  dua  titik  yang  disebut  titik  fokus  mempunyai  nilai  tetap  atau  𝐴𝐹! − 𝐴𝐹! = 𝑘    

Gambar  9    𝒑  adalah  jarak  atau  panjang  garis  antara  titik  pusat  𝑃 ℎ, 𝑘  dengan  titik  fokus    𝐹!  atau  𝐹!    Hiperbola  mempunyai  sumbu  vertikal    dan  sumbu  horisontal    yang  saling  tegak  lurus  dan  berpotongan  di  titik  pusat  𝑃 ℎ, 𝑘    Sumbu  utama  atau  nyata  adalah  garis  yang  melalui  titik  fokus  𝐹!  dan  𝐹!    Sumbu  sekawan  atau  imajiner  adalah  garis  yang  tegak  lurus  sumbu  utama  dan  melalui  titik  pusat  hiperbola    Persamaan  garis  asymptot  adalah   𝑦 − 𝑘 = ± !!

!!(𝑥 − ℎ)  

   

Gambar  10    

 

Pada  gambar  8  terlihat  bahwa  𝑃𝐹! = 𝑃𝐶 = 𝑝  sehingga    

𝑝 = 𝑑!! + 𝑑!

!  

 Titik  puncak  adalah  perpotongan  hiperbola  dengan  sumbu  utama.      𝒅𝒙  adalah  jarak  dari  titik  pusat  ke  titik  puncak  pada  sumbu  utama    𝒅𝒚  adalah  jarak  antara  titik  puncak  dengan  titik  potong  garis  asymptot  dengan  garis  tegak  lurus  sumbu  utama  melalui  titik  puncak  

 

Panjang  sumbu  utama    Sejajar  sumbu  𝑋 ⟹ 2𝑑!Sejajar  sumbu  Y ⟹ 2𝑑!

 

   Hiperbola  hanya  mempunyai  2  titik  puncak  tergantung  pada  sumbu  utama    

 Sejajar  sumbu  𝑋 ⟹ 𝐵! ℎ − 𝑑! , 𝑘 𝐵! ℎ + 𝑑! , 𝑘Sejajar  sumbu  Y ⟹ 𝐵! ℎ, 𝑘 − 𝑑! 𝐵! ℎ, 𝑘 + 𝑑!

   

 Eksentrisitas  𝑒  hiperbola  adalah  0 < 𝑒 < 1  dan  besarnya  𝑒 = !

!"# !!,!!  

 Persamaan  garis  direktris  adalah      

Sumbu  utama  sejajar  sumbu  X ⟹ 𝑥 = ℎ ± !!!

!

Sumbu  utama  sejajar  sumbu  Y ⟹ 𝑦 = 𝑘 ± !!!

!

   

   Lutus  rectum  hiperbola  adalah  panjang  ruas  garis  potong  yang  melalui  fokus  dan  tegak  lurus  sumbu  utama  dan  terletak  di  dalam  hiperbola  yang  

panjangnya  adalah  𝐿 = !!!!

!!

 

Jika  titik  𝐴  terletak  berhimpit  dengan  titik  𝐵!  maka  sesuai  dengan  defenisi  hiperbola    

Gambar  11    𝐴𝐹! − 𝐴𝐹! = 𝑘𝑝 + 𝑑! − 𝑝 − 𝑑! = 𝑘2𝑑! = 𝑘

   

 Perhatikan  beda  antara  elips  dan  hiperbola,  pada  elips  berlaku      𝐴𝐹! + 𝐴𝐹! = 2𝑑!    pada  hiperbola  berlaku  𝐴𝐹! − 𝐴𝐹! = 2𝑑!  maka  dengan  cara  yang  sama  pada  elips  bisa  didapatkan  persamaan  hiperbola.  Silahkan  coba  sendiri                    

Persamaan  hiperbola  yang  berpusat  di  𝑃 ℎ, 𝑘  dengan  𝑑!  adalah  jarak  dari  pusat  ke  titik  puncak  di  sumbu  utama  dan  𝑑!  adalah  jarak  dari  puncak  ke  titik  potong  garis  asymptot  dengan  garis  tegak  lurs  sumbu  utama  melalui  titik  puncak  adalah        

𝑥 − ℎ !

𝑑!! −

𝑦 − 𝑘 !

𝑑!! = 1  

 

b. Gradien  Garis  Singgung  Pada  Titik   𝑥!,𝑦!  Pada  Hiperbola    Dengan  cara  yang  sama  pada  elips  (silahkan  coba  sendiri)  bisa  dibuktikan                      

           c. Persamaan  Garis  Singgung  Dengan  Gradien  𝑚  Pada  Hiprbola  

   Dengan  cara  yang  sama  pada  elips  (silahkan  coba  sendiri)  bisa  dibuktikan    

   

 

Gradien  garis  singgung  hiperbola   !!!!

!!!− !!! !

!!!= 1  pada  titik  

𝑥!,𝑦!  yang  terletak  pada  hiperbola  adalah    

𝑚 =𝑑!

! 𝑥! − ℎ𝑑!

! 𝑦! − 𝑘  

Persamaan  garis  yang  bergradien  𝑚  pada  hiperbola   !!!!

!!!− !!! !

!!!= 1  

adalah    

𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ ± 𝑑!!𝑚! − 𝑑!

!  

 Persamaan  garis  yang  bergradien  𝑚  pada  hiperbola  − !!! !

!!!+ !!! !

!!!= 1  

adalah    

𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ ± −𝑑!!𝑚! + 𝑑!

!