2013. 2학기

Ø 8.1 대칭성분의 정의

Ø 8.2 임피던스 부하의 대칭성분 네트워크

Ø 8.3 직렬 임피던스의 대칭성분 네트워크

Ø 8.4 3상 선로의 대칭성분 네트워크

Ø 8.5 회전기기의 대칭성분 네트워크

Ø 8.6 3상 2권선 변압기의 p.u. 대칭성분 모델

Ø 8.7 3상 3권선 변압기의 p.u. 대칭성분 모델

Ø 8.8 대칭성분 네트워크에서의 전력

¨ 대칭성분 : 상전압 , , 에 대하여 Fortescue의 대칭좌표법으로분해

¡ 영상 성분(zero-sequence components):동일한 크기와 0의 위상 변위(zero phase displacement)를 갖는 3개의페이저로 구성된 영상분è 그림 8.1(a)

¡ 정상 성분(positive-sequence components):동일한 크기와 정상순(positive sequence)의 ±120° 위상 변위를 갖는 3개의페이저로 구성된 정상분 è 그림 8.1 (b)

¡ 역상 성분(negative-sequence components) : 동일한 크기와 역상순(negative sequence)의 ±120° 위상 변위 갖는 3개의페이저로 구성된 역상분 è 그림 8.1 (c)

aV bV cV

¨ 대칭성분 분해

그림 8.1 : 예제 2.5의전력 삼각형도

(a) 영상분 (b) 정상분 (c) 역상분

a 상 b 상 c 상

¨ a 상의 영상, 정상, 역상 성분 : , , è 첨자 a 생략 : 대칭 성분 , , 로 정의

여기서,

식(8.1.1)을 3개의 분리된 식으로 작성하면

a0V a1V a2V

0V 1V 2V

(8.1.1)úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

2

1

0

2

2

C

b

a

VVV

aa1aa1111

VVV

(8.1.2) 23j2

11∠120a +-=°=

(8.1.5)

(8.1.4)

(8.1.3)

22

10c

212

0b

210a

VaaVVV

aVVaVV

VVVV

++=

++=

++=

¨ 식 (8.1.2)의 ‘a‘ 는 크기가 1이고 120° 위상각을 갖는 복소수¡ 임의의 페이저(phasor) X 에 ‘a’를 곱하면 페이저가 120°회전 (반 시계

방향)¡ 페이저 X : 페이저가 240 °회전

¨ 표 8. 1

¨복소수 a 는 복소수 와 유사차이점: j 의 위상각 90°, a 의 위상각은 120°

°Ð=°Ð°Ð= 2401)1201)(1201(a 2

°Ð=-= 9011j

(8.1.2) 23j2

11∠120a +-=°=

¨식 (8.1.1)을 행렬 표기법(matrix notation)을 이용하여 더욱 간결하게 표현¡ 벡터 : , 행렬: ApV sV

: 상 전압의 행 벡터

: 대칭성분의 행 벡터

A : 3 x 3 변환 행렬

pV

sV8)1.(8.aa1aa1111

A2

2 Lúúú

û

ù

êêê

ë

é

=

(8.1.6) VVV

V

c

b

a

p L úúú

û

ù

êêê

ë

é

=

표 8.1

°Ð= 1201a 와 관련된 식

(8.1.1)VVV

aa1aa1111

VVV

2

1

0

2

2

C

b

a

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

(8.1.7)VVV

V

2

1

0

s Lúúú

û

ù

êêê

ë

é

=

이러한 정의를 이용하면 식 (8.1.1) 은

A 행렬의 역 행렬(inverse)은

식 (8.1.10)은 곱(product) 가 단위행렬이라는 것을 보여줌으로써 검증됨식 (8.1.9)에 를 앞에 곱하면 식 (8.1.11)과 같음

(8.1.9)sρ AVV =

(8.1.10)aa1aa1111

31

2

21

úúú

û

ù

êêê

ë

é=-A

1AA-

1A-

(8.1.11)P-1

s VAV =

(8.1.1)VVV

aa1aa1111

VVV

210

22

Cba

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

식 (8.1.11)을 통해 식 (8.1.12)를 구할 수 있음

이 식을 3개의 분리된 식으로 작성하면

(8.1.12)úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

c

b

a

2

2

2

1

0

VVV

aa1aa1111

31

VVV

)1518(

)1418(

)1318(

..

..

..

)aVVa(V31V

)VaaV(V31V

)VV(V31V

cb2

a2

c2

ba1

cba0

++=

++=

++=

(8.1.11)P-1

s VAV =

¨ 식 (8.1.13)은 평형 3상 계통에서는 영상분 전압이 없다는 것을 보여줌(VA+VB+VC=0)¡ 불평형 3상 계통에서 상전압은 영상성분을 가질 수 있음(VA+VB+VC≠0)

¨ 선간 전압은 KVL에 의해 합이 항상 0이기 때문에 영상성분을 가질 수 없음

¨ 대칭성분 변환은 다음과 같이 전류에도 적용될 수 있음

: 상 전류 (phase currents)의 벡터

(8.1.16)sp AII =

pI

(8.1.17)úúú

û

ù

êêê

ë

é=

c

b

a

p

III

I

(8.1.13))VV(V31V cba0 ++=

: 대칭분 전류(sequence currents)의 벡터

또한,

식 (8.1.16)과 (8.1.19)는 다음과 같이 분리된 식으로 나타낼 수 있음.상 전류는,

sI

(8.1.18)

2

1

0

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

III

I s

(8.1.19)p-1

s IAI =

)22.1.8(++=

)21.1.8(++=

)20.1.8(++=

22

10

212

0

210

IaaIIIaIIaII

IIII

c

b

a

대칭성분 전류는

3상 Y결선 계통에서 중성선 전류 은 선 전류의 합

식 (8.1.26)과 (8.1.23)을 비교하면

)25.1.8()++(31

=

)24.1.8()++(31

=

)23.1.8()++(31

=

22

21

0

cba

cba

cba

aIIaII

IaaIII

IIII

nI

)26.1.8(++= cban IIII

(8.1.27)0n 3II =

¨ 중성선 전류는 영상성분 전류의 3배와 동일.

¨ 평형 Y결선 계통에서, 선 전류는 중성선 전류가 0이기 때문에 영상성분을갖지 않음

¨ 중성선 경로가 없는 임의의 3상 계통에서 선 전류는 영상 성분을 갖지 않음¡ Δ결선 계통¡ 비 접지 중성점을 갖는 3상 Y결선 계통

EXAMPLE 8.1 대칭 성분: 평형 상 전압(balanced line-to-neutral voltages)

abc 상순(abc sequence)을 갖는 다음의 평형 상 전압의 대칭 성분(sequence components)을 구하라 :

SOLUTION 식(8.1.13)-(8.1.15)를 이용:

volts1202271202270227

úúú

û

ù

êêê

ë

é

°+а-Ð

°Ð=

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

cn

bn

an

p

VVV

V

[ ]

[ ]

anVvolts

V

V

=°=

°+°+°-°++°=

=°++°+°=

0277

)]240120(277)120120(277027731

0120277120277027731

1

0

∠

∠∠∠

∠-∠∠

(8.1.15))(31

(8.1.14))(31

(8.1.13))(31

22

c2

1

0

cba

ba

cba

aVVaVV

VaaVVV

VVVV

++=

++=

++=

[ ]

[ ] 0240277120277027731

)120120(277)240120(277027731

2

=°+°+°=

°+°+°+°-+°=

∠∠∠

∠∠∠V

이 예제는 abc 상순(또는 정상순; positive sequence )을 갖는 평형 3상 계통이

(1) 영상 성분(zero-sequence)

또는

(2) 역상 성분(negative-sequence components) 을 갖지 않음을 예시

이 예에서,

- 정상 성분 전압 , 은 과 동일

- 영상 성분 전압 과 역상 성분 전압은 0

1V anV

EXAMPLE 8.1 대칭 성분: 평형 상 전압(balanced line-to-neutral voltages)

EXAMPLE 8.2 대칭 성분: 평형 acb 전류

Y 결선 부하는 acb 상순을 갖는 평형전류(balanced currents)를 가지며 다음과같이 주어진다. 대칭성분 전류를 계산하시오.

SOLUTION 식(8.1.23 )-(8.1.25)이용:

A1201012010010

úúú

û

ù

êêê

ë

é

°-а+Ð

°Ð=

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

c

b

a

P

III

I

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

aI

I

I

I

=°=

°+°-+°+°+°=

=°+°+°=

°+°-+°+°+°=

=°+°+°=

A010

)120120(10)240120(1001031

0120102401001031

)240120(10)120120(1001031

0120101201001031

2

1

0

∠

∠∠∠

∠∠∠

∠∠∠

-∠∠∠

)25.1.8()(31

)24.1.8()(31

)23.1.8()(31

22

21

0

cba

cba

cba

aIIaII

IaaIII

IIII

++=

++=

++=

이 예제는 acb 상순(또는 역 상순; negative sequence)을 갖는 평형 3상 계통은,

- 영상 성분(zero-sequence components)

또는

- 정상 성분(positive-sequence components) 을 갖지 않음을 예시

- 역상 성분 전류 는 와 동일- 영상 성분 전류 와 정상성분 전류는 0

2I aI

EXAMPLE 8.2 대칭 성분: 평형 acb 전류

EXAMPLE 8.3 대칭 성분: 불 평형 전류(unbalanced currents)

평형 Y결선 부하에 공급하는 3상 선로는, 그 상들 중의 한 상(b 상)이 개방되어 있다. 부하측의 중성선은 접지되어 있으며, 불평형 선전류는 다음과 같다.

대칭 성분 전류와 중성선 전류를 계산하시오.

A120100

010

III

I

c

b

a

p

úúú

û

ù

êêê

ë

é

°Ð

°Ð=úúú

û

ù

êêê

ë

é=

[ ]

[ ]

[ ]A60333.3

)120120(10001031

A0667.6)240120(10001031

A60333.3

12010001031

2

1

0

°=

°+°++°=

°=°+°++°=

°=

°++°=

-∠

∠∠

∠∠∠

∠

∠∠

I

I

I

SOLUTION 식 (8.1.23)-(8.1.25) 이용하면:

)25.1.8()++(31

=

)24.1.8()++(31

=

)23.1.8()++(31

=

22

21

0

cba

cba

cba

aIIaII

IaaIII

IIII

식(8.1.26) 이용하면, 중성선 전류는

이 예제는, 불 평형 3상계통이 모든 대칭성분에 대하여 0이 아닌 값(nonzero Values)을 가질 수 있다는 사실 예시

또한, 중성선 전류(neutral current)는 영상성분 전류의 3배와 동일

03=A°6010=)°12010+0+°010(=

IIn

∠

∠∠

)26.1.8(++= cban IIII

(8.1.27)3II 0n =

¨ 그림 8.3은 평형 Y 임피던스 부하를 보여줌: 각 상의 임피던스, : 중성선 임피던스, : 상 전압

다른 두 개의 상( )도 같은 방법으로 적용

YZ nZ agV

)1.2.8(++)+(=)++(+=

+=

cnbnanY

cbanaY

nnaYag

IZIZIZZIIIZIZ

IZIZV

그림 8.3 : 평형 Y 임피던스 부하

cgbg V,V

식 (8.2.1)~(8.2.3)은 행렬 형식으로 다음과 같이 작성할 수 있음

식 (8.2.4)를 간결하게 표현하면

(8.2.3)

(8.2.2)

cnYbnancg

cnbnYanbg

)IZ(ZIZIZV

IZ)IZ(ZIZV

+++=

+++=

(8.2.4)úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

++

+=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

c

b

a

nYnn

nnYn

nnnY

cg

bg

ag

III

)Z(ZZZZ)Z(ZZZZ)Z(Z

VVV

(8.2.5)ppp IZV =

: 상 전압의 벡터: 선 전류(상 전류) 벡터: 3X3상 임피던스

식 (8.1.9), (8.1.16)을 대칭성분 전압과 대칭성분 전류 사이의 관계를 결정하기 위해 식(8.2.5)에 적용하면

을 식 (8.2.6)의 양변의 앞에 곱하면

또는

pV

pI

pZ(8.1.9)sρ AVV =

(8.1.16) sp AII =

(8.2.6) sps AIZAV =

1A-

(8.2.8)sss IZV =

(8.2.7) sp-1

s A)IZ(AV =

(8.2.5)ppp IZV =

식 (8.2.9)로 정의된 임피던스 행렬 는 대칭성분 임피던스 행렬A역행렬 , 의 정의를 이용하면 행렬 는 다음과 같이 주어짐

식 (8.2.10)에 나타난 행렬 곱셈을 수행하고, (1 + a + a2) = 0을 이용하면

(8.2.9) AZAZ p-1

s =

sZ1A-

pZ sZ

(8.2.10)aa1aa1111

)Z(ZZZZ)Z(ZZZZ)Z(Z

aa1aa1111

31Z

2

2

nYnn

nnYn

nnnY

2

2s

úúú

û

ù

êêê

ë

é´

úúú

û

ù

êêê

ë

é

++

+

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

¡ 그림 8.3의 평형 Y부하에 대한 대칭성분 임피던스 행렬 는 대각행렬(diagonal matrix) 이므로 식 (8.2.8)은 3개의 분리된 식(uncoupled equation)으로 쓸 수 있음

sZ

(8.2.12)III

Z000Z000)3Z(Z

VVV

2

1

0

y

y

nY

2

1

0

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é +=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

그림 8.3 : 평형 Y 임피던스 부하

(8.2.11)Z000Z000)3Z(Z

ZaaZ)3Z(ZaZZa)3Z(ZZZ)3Z(Z

aa1aa1111

31Z

Y

Y

nY

Y2

YnY

YY2

nY

YYnY

2

2s

úúú

û

ù

êêê

ë

é +=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

+

+

+

úúú

û

ù

êêê

ë

é

=

식 (8.2.12)를 3개의 분리된 식으로 다시 작성하면,

¡ 식 (8.2.13)에 나타낸 것과 같이 영상성분 전압 는 영상성분 전류와 임피던스 에만 의존

¡ 이 임피던스를 영상성분 임피던스라 부르며 로 정의

¡ 정상성분 전압 은 정상성분 전류 과 정상성분 임피던스라 불리는임피던스 Z1=ZY에만 의존

¡ 는 와 역상성분 임피던스 Z2=ZY에만 의존

(8.2.15)(8.2.14)(8.2.13)

222Y2

111Y1

000nY0

IZIZVIZIZV

IZ)I3Z(ZV

==

==

=+=

0V 0I)Z3Z( nY +

0Z

1V 1I

2V 2I

(8.2.12)III

Z000Z000)3Z(Z

VVV

2

1

0

y

y

nY

2

1

0

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é +=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

¡ 식 (8.2.13)~(8.2.15)는 그림 8.4에 나타낸 3개의 네트워크에 의해 표현될 수있음

o 이러한 네트워크는 영상성분, 정상성분, 역상성분 네트워크라 부름

그림 8.4 : 평형 Y부하의 대칭분 네트워크

(8.2.15)(8.2.14)(8.2.13)

222Y2

111Y1

000nY0

IZIZVIZIZV

IZ)I3Z(ZV

==

==

=+=

¡ 그림 8.4와 같이 각 대칭성분 네트워크는 다른 2개 네트워크로부터 분리시켜나타낼 수 있음

¡ 이러한 네트워크의 분리는 대칭성분 임피던스 행렬 가 평형 Y부하에 대한대각 행렬임을 의미하며, 이 분리는 대칭성분의 장점을 나타냄

¡ 중성선 임피던스(neutral impedance)는 그림 8.4의 정상성분 및 역상성분 네트워크에 나타나지 않음에 주의

¡ 이는 정상성분 전류 및 역상성분 전류는 중성선 임피던스에 흐르지 않는 다는 것을 의미

¡ 중성선 임피던스는 3을 곱하여그림 8.4의 영상성분 네트워크에 위치

¡ 임피던스 3Zn에 걸리는 전압 I0(3Zn)은그림 8.3에서 이므로 중성선임피던스 에 걸리는 전압 강하는

sZ

)Z(I nn

0n 3II =nZ

그림 8.4 : 평형 Y부하의 대칭분 네트워크

¡ 그림 8.3에서 Y부하의 중성점이 귀로(return path)를 갖지 않을 때 중성선 임피던스 은 무한하고, 그림 8.4의 영상성분 네트워크에서의 3Zn 항은 개방회로가 됨

¡ 중성점이 개방되면 영상성분 전류는 존재하지 않음

¡ Y부하의 중성점이 0 Ω의 전선을 통해 직접 접지되면 중성선 임피던스는 0이며, 영상성분 네트워크에서의 3Zn항은 단락회로가 됨

¡ 중성점이 직접 접지된 이 조건하에서 부하에 인가된 불평형 전압에 의해 영상성분 전압이 있을 경우, 영상성분 전류 는 존재할 수 없음

¡ 그림 2.16은 평형 Δ부하 및 그 등가 평형 Y부하를 보여줌, Δ부하는 중성점 연결이 없기 때문에 그림 8.5에서 등가 Y부하는 개방 중성점(open neutral)을가짐

¡ 등가 Δ부하에 대응하는 등가 Y부하의 대칭성분 네트워크는 그림 8.5에 나타나 있음

nZ

0I

¡ 그림과 같이 대칭성분 네트워크 각각에서 등가 Y임피던스로 나타남

¡ 또한, 개방 중성점에 대응하는 이기 때문에 영상성분 네트워크는개방 회로를 가짐

¡ 등가 Y부하에서 발생하는 영상성분 전류는 없음

3/ZZY D=

¥=nZ

그림 8.5 : 평형 Δ부하를 등가 Y로 표현한 대칭분 네트워크

¡ 그림 8.5의 대칭성분 네트워크는 평형 Δ부하의 단자로부터 본 것으로써, 평형 Δ부하를 표현한 것

¡ 그림 8.5에서 전류 및 는 Δ내에서의 부하전류가 아닌 Δ부하로공급되는 선전류의 대칭성분

2I10 I,I

그림 8.5 : 평형 Δ부하를 등가 Y로 표현한 대칭분 네트워크

¡ 그림 8.7은 일반적인 3상 선형 임피던스 부하를 보여줌, 부하는 평형 Y부하, 평형 Δ부하와 같은 평형부하 또는 불평형 임피던스 부하를 나타냄

¡ 이 부하에 대한 상 전압과 선 전류 사이의 일반적인 관계는 다음과 같음

또는

: 상 전압 벡터: 선(또는 상)전류 벡터: 3x3상 임피던스 행렬

(8.2.16)úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

c

b

a

ccbcac

bcbbab

acabaa

cg

bg

ag

III

ZZZZZZZZZ

VVV

(8.2.17)ppp IZV =

pVpIpZ

3상 임피던스 부하

그림 8.7 : 일반적인 3상 임피던스 부하(선형, 양 방향성 네트워크, 비회전 기기)

¡ 식 (8.2.17)은 식 (8.2.5)와 같은 형식이기 때문에 그림 8.7의 일반적인 3상부하에 대하여 대칭성분 전압과 전류 사이의 관계는 식 (8.2.8)과 (8.2.9)와같음

(8.2.19)

(8.2.18)

AZAZ

IZV

p1

s

sss

-=

=

3상 임피던스 부하

그림 8.7 : 일반적인 3상 임피던스 부하(선형, 양 방향성 네트워크, 비회전 기기)

(8.2.5)ppp IZV =

(8.2.17) ppp IZV =

(8.2.8) sss IZV =

(8.2.9) AZAZ p-1

s =

¡ 식 (8.2.19)로 주어진 대칭성분 임피던스 행렬 는 9개의 대칭성분 임피던스를 갖는 3 x 3행렬로 표현할 수 있음

¡ 이 행렬에서 대각 임피던스 , , 는 영상성분, 정상성분 및 역상성분네트워크의 자기 임피던스

¡ 비대각 임피던스는 대칭성분 네트워크 사이의 상호 임피던스

sZ

(8.2.20)ZZZZZZZZZ

Z

22120

12101

02010

s

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

(8.2.19)AZAZ p1

s-=

0Z 1Z 2Z

의 정의를 이용하면 식 (8.2.19)는 식 (8.2.21)로 표현

식 (8.2.21)에 나타낸 곱셈을 수행하고 의 관계를 이용하면 다음의 분리된 식이 얻어짐

¡ 대각 대칭성분 임피던스

sp-1 Z,Z,A A,

(8.2.21)aa1aa1111

ZZZZZZZZZ

aa1aa1111

31

ZZZZZZZZZ

2

2

ccbcac

bcbbab

acabaa

2

2

22120

12110

02010

úúú

û

ù

êêê

ë

é

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ù

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é

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ù

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é=

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ù

êêê

ë

é

0)aa(1 2 =++

(8.2.23))ZZZZZ(Z31ZZ

(8.2.22))2Z2Z2ZZZ(Z31Z

bcacabccbbaa21

bcacabccbbaa0

---++==

+++++=

(8.2.19)AZAZ p1

s-=

¡ 비대각 대칭성분 임피던스

¡ 대칭 부하는 대칭성분 임피던스 행렬이 대각인 부하로 정의됨식 (8.2.24)~(8.2.27)의 모든 상호 임피던스는 0이 됨

¡ 상호 임피던스를 0으로 가정하고 풀면, 대칭 부하는 다음과 같은 조건을가짐

(8.2.27))2Z2aZZ2aZaaZ(Z31Z

(8.2.26))2ZZ2a2aZaZZa(Z31Z

(8.2.25))ZaZZaZaaZ(Z31ZZ

(8.2.24))ZZaaZaZZa(Z31ZZ

bcacab2

cc2

bbaa21

bcac2

abccbb2

aa12

bcacab2

cc2

bbaa1002

bcac2

abccbb2

aa2001

+++++=

+++++=

---++==

---++==

그러면

loadlsymmetricaaforconditionsZZZ

ZZZ

bcacab

ccbbaa

ïþ

ïý

ü

==

==

(8.2.29)

(8.2.28)

(8.2.32)ZZZZ(8.2.31)2ZZZ(8.2.30)0ZZZZZZ

abaa21

abaa0

211220021001

-==

+=

======

대칭 부하에 대한 조건

¡ 정상성분 및 역상성분 임피던스는 식 (8.2.32)에 나타낸 것과 같이 대칭 부하에 대해 동일하며, 식 (8.2.23)에 나타낸 것과 같이 비대칭 부하에 대해서도 동일함

¡ 이는 변압기 및 송전선로와 같은 비회전 기기를 표현하는 선형, 대칭 임피던스에대해서는 항상 성립함

¡ 그러나 발전기 및 전동기와 같은 회전기기의 정상성분, 역상성분 임피던스는 일반적으로 동일하지 않음

¡ 또한 영상성분 임피던스 는 상호 임피던스 가 0이 아닌 한, 대칭 부하의 정상성분 및 역상성분 임피던스와 같지 않음에 주의해야 함

¡ 대칭 임피던스 부하의 대칭성분 네트워크는 그림 8.8에 나타나 있음

¡ 대칭성분 임피던스 행렬(sequence impedance matrix )은 대칭부하에 대해서는대각이기 때문에, 대칭성분 네트워크는 분리되거나 또는 결합되지 않음

0Z bcacab ZZZ ==

sZ

(8.2.32)ZZZZ abaa21 -==

(8.2.23))ZZZZZ(Z31ZZ bcacabccbbaa21 ---++==

그림 8.8 : 3상 대칭 임피던스 부하(선형, 양 방향성 네트워크, 비회전기기)의 대칭분 네트워크