8 - Bernoulli Integre - Couette - Poiseuille 09-10

11

ElmentsdeMcaniquedesFluides

.be

q

ArGEnCo MSF Hydrologie,HydrodynamiqueAppliqueetConstructionsHydrauliques(HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

Liaisons entre champ de vitesse, vitesse moyenne, tension visqueuse, tension paritale, perte de charge et coefficient de frottement

Solutions analytiques des quations de Navier-Stokes

Objectifsdelasance

.be

Solutions analytiques des quations de Navier-Stokes Ecoulement rampant ou de Stokes Ecoulement de Couette et Poiseuille entre deux plaques Ecoulement en film mince

Gnralisation, en section intgre, de lquation de Bernoulli Expression gnrale du coefficient de perte de charge en long

dune conduite


http://w

ww.hach.ulg.ac. d une conduite

Pertes de charge singulires en rgime non tabli Principe Formule de Blanger (largissement brusque)

23

reprsente la charge de lcoulement et va diminuer pour autant que

Rappel:Sillageetpertes

H

0U U

.be

Supposons : A la surface dun corps solide impermable la vitesse normale

est nulle et la vitesse tangentielle est nulle La vrification des CL et un raccordement asymptotique de la

vitesse de la couche limite avec lcoulement extrieur induit :

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Pour un tube de courant passant prs de la surface, va diminuer dans le sens de lcoulement

tubeH

0U

4

Dfinition du sillage : zone rassemblant toutes les lignes de courant passant

proximit de la surface du corps

Rappel:Sillageetpertes

.be

Dans le sillage, est infrieur la valeur sur une ligne de courant transitant loin du corps

Par conservation de quantit de mouvement, la perte est lie

sillageH


http://w

ww.hach.ulg.ac. q , p

la trane du corps = force applique

35

Quel est le centre dintrt ?

Deuxproblmeslisintimement

Corps immergMoyens fournir pour permettre lcoulement

Exemples : aile voiture bateau

.be

Effet valuer ?

Lien la couche limite ?

Trane, portance Pertes de charge

L d bl t li li t di i d

Exemples : aile, voiture, bateau, Exemples : pompes, coulement gravitaire en canalisation (gouttage, adduction),


http://w

ww.hach.ulg.ac. Les deux problmes sont relis par lintermdiaire du

dveloppement de la couche limite et de son comportement

autour du corps dans la canalisation

6

Pour une plaque mince dans un coulement uniforme

Couchelimiteetpertedecharge

.be

le coefficient parital a t dfini et exprim analytiquement


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Il permet de caractriser les efforts sur le corps partir de variables de lcoulement

2

12

p

cfCU

Coefficient de frottement parital

47

Dans certains cas particuliers, les quations de Navier-Stokes admettent des solutions analytiques

SolutionsexactesdeNavierStokes.be

A partir de ces solutions analytiques, il est possible de dduire la trane et la portance sur un corps immerg ou bien la perte de charge de lcoulement


http://w

ww.hach.ulg.ac.

8

EcoulementdeStokes

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

59

Une simplification du systme gnral existe pour Re < < 1 Les termes visqueux sont dominants vis--vis des termes convectifs

HypothsesForces de volume ngliges

EcoulementdeStokes.be

Forces de volume ngliges Ecoulement stationnaire

Ecoulement de Stokes 0U

p U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

Rappel : Equations gnrales de Navier-Stokes en adimensionnel

0jc

c c j

i jic c c ci

uLU t t x

u uu pL gL pF

EcoulementdeStokes

.be

Hypothses Forces de volume ngliges

E l t t ti i

2 2c

ic j ic c c c c

FU t t x xU U U L

21

Re1i ji

i ij iF

Euu uu pFStr

t xru

x


http://w

ww.hach.ulg.ac. Ecoulement stationnaire

Re

611

Hypothses Forces de volume ngliges Ecoulement stationnaire

EcoulementdeStokes

0j

u

.be

Re

713

Dans le cas spcifique de la translation dune sphre dans un fluide incompressible en coulement stationnaire de vitesse U0 (forces volumiques ngliges)

EcoulementdeStokesautourdunesphre.be

Les lignes de courant au voisinage de la surface suivent la forme de la sphre


http://w

ww.hach.ulg.ac.

14

Le systme rsoudre est :

bl i i l il d

0Up U

EcoulementdeStokesautourdunesphre

.be

Le problme est axisymtrique selon x, il est donc pertinent demployer les coordonnes sphriques

, ,r

z

r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Par symtrie :

x

y

,0 ,

0

rv rU U v r

815

En sphrique axisymtrique, la continuit prend la forme dveloppe :

21 1 sin 0U r v v

EcoulementdeStokesautourdunesphre.be

Rappel : Il est toujours possible dexprimer la continuit sous la forme dun vecteur potentiel

Dans cette symtrie, il existe de plus une fonction de courant

sin 0sinrU r v vr r

A


http://w

ww.hach.ulg.ac. y , p

(vrifiant donc identiquement la continuit) :

2

1sin

1sin

rv r

vr r

16

Le vecteur potentiel et la fonction de courant de Stokes sont dfinis comme :


.be

sin1 1 1

re e r eeU A

00

sin

A

r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 2sin sin sin sin0 0

rU A e er r r r r r

917

Lidentit vectorielle :

peut simplifier lquation de quantit de mouvement multiplie t i ll t l t bl


0 par continuit

U U U

.be

vectoriellement par loprateur nabla

Lutilisation de la fonction de courant amne

0

0

1 p U


http://w

ww.hach.ulg.ac. L utilisation de la fonction de courant amne

0A

18

Or


2

2 2 2

sin1 sin 1

sin sin sin sin1 1

re re r ee e

r r r r r r

.be

Lquation de quantit de mouvement devient donc une

2

2 2

sin

sin 1sin sin sin

eUr

e eUr r r r

2

1 1 0sin sinr r


http://w

ww.hach.ulg.ac. L quation de quantit de mouvement devient donc une

quation scalaire en

Ce systme est biharmonique, le principe de superposition est applicable

222

2 2

sin 1 0sinr r

10

19

Les conditions limites du problme sont : A linfini


0 2

1cossinr r

v Ur

00

UU x y z

.be

Sur le primtre de la sphre

01sin

sinrv U

r r

2 20 sin2r

U r

, , 00

U x y z

1


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

10sin

10sin

r r a

r a

vr

vr r

20

Etant donn lallure de la fonction linfini

l i d


2 20 sin2r

U r

.be

Testons une solution du type :

La fonction f doit vrifier :

2sinf r

224 2 22 '''' 4 '' 8 ' 8 0d f r f r f r f f

222

2 2

sin 1 0sinr r


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 2 4 8 8 0f r f r f r f fdr r

2 2

2 2 2 2

2 2 4 2 2

2 2 2 2 4 2 2 2 2 4

2 2

2 2 2 2 3 2 2 3 3 4

2 2

2 2 2 2 4

2 2 2 4 2 4 4 12

d d f ffdr r dr r

d d f f d f d f d f fdr r dr r dr dr r r dr r

d f d d f d df f d f df df fdr r dr dr r dr r dr r r dr r dr r dr r

11

21

Les solutions


224 2 2

2 2

2 '''' 4 '' 8 ' 8 0d f r f r f r f fdr r

Equation equi-dimensionnelle Euler-Cauchy

.be

Notions danalyse : Equation dEuler-Cauchy

Si f est de la forme rm

Equation equi dimensionnelle Euler Cauchy

111 0 0

n nn nnx y a x y a y

drive d'ordre n

4 2 2'''' 4 '' 8 ' 8 1 2 3 4 1 8 8 0mr f r f r f f r m m m m m m m


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 4Af r Br Cr Drr

2 2 4sin A Br Cr Drr

f f f f 4 3 26 7 6 8 0

4 racines relles 1,1,2,4m m m m

m

22

Les conditions aux limites permettent de dterminer les constantes A linfini :


2 20 0sin 0,2 2r

U Ur D C

.be

En r=a :

La solution sexprime donc comme :3 3U a ar

03

30 0

0 3

01 32 ,4 40

r r a

r a

U A Bva a A U a B U aA Bv Ua a


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 20 3 sin2 2 2

U a arrr

Solution dun champ uniformeSolution dun dipleCorrection rotationnelle

12

23

Le champ de vitesse se dduit immdiatement :


3

02 3

1 31 cossin 2 2r

a av Ur r r

.be

La pression :

Les taux de dformation et les contraintes visqueuses :

3

0 3

1 31 sinsin 4 4

a av Ur r r r

3

3 cos2

oref

U ap pr


http://w

ww.hach.ulg.ac. Les taux de dformation et les contraintes visqueuses :

30

4

0

1 3 sin2

3 sin2

rr

r rr a

v U avrr r r r

Ua

24

La solution analytique en coordonnes cartsiennes :

EcoulementdeStokesautourdunesphre2 2 2r x y z

2 2 23 1ax a a a

.be

0 3 2 2

2

0 3 2

2

0 3 2

3 11 3 14 4

3 14

3 14

ax a a au Ur r r r

axy av Ur r

axz aw Ur r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0 3

32ref

axp p Ur

13

25

La trane de forme est gale lintgrale des forces de pression sur la sphre :

Tranesurunesphre coulementdeStokes

23 3 cos2 cos sinxF p U dA p U a d

.be La trane de frottement est gale lintgrale des

0 02Jacobien0

0 0

2 cos sin2 2

2

forme ref refA

forme

F p U dA p U a da a

F a U D U


http://w

ww.hach.ulg.ac. La trane de frottement est gale l intgrale des

tensions de frottement sur la sphre

02frotA

F dA DU

26

Force de portance = 0 par symtrie de lcoulement par rapport au plan xy Force de trane = Trane de forme + Trane de frottement

Traneetportancesurunesphre coulementdeStokes

0trane 002 3F DUDU DU

.be

Rapport entre les deux composantes de la force de trane qui est en toute gnralit dpendant de la forme et du Re

Si A est le matre couple de la sphre

0trane 00

20

trane 03 2DUF DU C A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

024 ReReD

U DC

Variation de pression le long de laxe x CD coefficient de trane

14

27

Paradoxe de Stokes

Les conditions physiques permettant la simplification des quations de Navier Stokes ne sont pas ncessairement

LimitesdescoulementsdeStokes.be

quations de Navier-Stokes ne sont pas ncessairement rencontres sur lensemble du domaine de solution. Cest par exemple le cas linfini o les termes inertiels prennent souvent le pas sur les termes visqueux.

Exemple : solution analytique du cylindre dans un champ if i ibl


http://w

ww.hach.ulg.ac. uniforme impossible

28.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

15

29

Application de lcoulement de Stokes : viscosimtre chuteMesure la viscosit relative par chronomtrage du temps de chute dune bille dans un tube calibr rempli dchantillon. Pour chantillons dont lopacit nempche pas dobserver la descente de la bille.

Viscosimtrechute.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

30

Rappelez-vous lexprience montre au premier cours !!

Ecoulementparticulier rversible

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Pouvez-vous maintenant lexpliquer ?

16

31

Nager bas nombre de Reynolds ??? Un nageur effectuant des mouvements rptitifs

Ecoulementparticulier rversible.be

Les mouvements sont priodiques les efforts appliqus sannulent en moyenne le nageur navance pas


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Solution : mouvement rotatif

32

EcoulementsplansdeCouetteetdePoiseuille

.be

cou e e ts p a s de Couette et de o seu e


http://w

ww.hach.ulg.ac.

17

33

Faisons voluer le domaine en confinant lespace selon oz Considrons un coulement plan selon xy entre deux plaques

distantes de h

Dmarchegnrale.be

Simplifions le systme dquations de Navier-Stokes en fonction des caractristiques de lcoulement

Intgrons analytiquement le champ de vitesse Sur base du champ de vitesse analytique, expression :

Des tensions visqueuses internes


http://w

ww.hach.ulg.ac.

De la tension paritale Des pertes de charge le long dune ligne de courant

34

Fluide incompressible newtonien Ecoulements tablis unidirectionnels limits par deux plaques

planes parallles, lune tant fixe et lautre ventuellement mobile

Descriptiondescoulements

.be

mobile ECOULEMENT DE COUETTE : La paroi infrieure est au

repos, la paroi suprieure est anime dune vitesse de translation uniforme Us (pas de gradient de pression)

ECOULEMENT DE POISEUILLE : Deux parois fixes, le moteur de lcoulement tant un gradient longitudinal de pression


http://w

ww.hach.ulg.ac. pression

x

y

z

h

18

35

Equations de Navier-Stokes

SimplificationdesquationsdeNavierStokes

x

y

z

h

0ku

.be

1k

i kii i

k i

xu uu pF u

t x x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

36

Ecoulement unidirectionnel tabli :v = w = 0 et u indpendant de z Force de volume nglige


x

y

z

h

.be

u vx y

wz

0

ut

2ux

uvy

uwz

2

2

1 p ux x

2 2

2 2

u uy z


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2w uw vw wt x y z

2 2 2

2 2 2

1 p w w wz x y z

2v uv v vwt x y z

2 2 2

2 2 2

1 p v v vy x y z

19

37

Ecoulement unidirectionnel tabli :v = w = 0 et u indpendant de z Force nglige


x

y

z

h

.be

2

2

p ux y

0p

0ux


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0p

y

0pz

38

Conclusion :

Dterminationduprofildevitesse

x

y

z

h

2

2

1ddy x

u dpd

.be

Les deux membres de lquation doivent donc chacun

dy xd

Au plus, fonction de y Au plus, fonction de x


http://w

ww.hach.ulg.ac. Les deux membres de l quation doivent donc chacun

tre constants, tant donn que y et x sont des variables indpendantes

20

39

Intgration

Dterminationduprofildevitesse

x

y

z

h

2 1 21 2dp yu y C y Cdx

.be

Conditions limites : u = 0 en y = 0u = Us en y = h

Profil de vitesse :


http://w

ww.hach.ulg.ac. Profil de vitesse :

12

sy h y Udpu y ydx h

40

Tension de cisaillementau sein du fluide :

Calculdestensionsvisqueuses

x

y

z

h

xydu

.be Tension aux parois :

22

xy

s

dyh y Udp

dx h


http://w

ww.hach.ulg.ac. Tension aux parois :

00 2s

xy y

Udp hdx h

2s

xy hy h

Udp hdx h

21

41

Un coulement entre deux plaquesest caractris par le dbit spcifique

La vitesse moyenne peut tre valuecomme le rapport du dbit spcifique

Calculdelavitessemoyenne

x

y

z

h

.be

comme le rapport du dbit spcifique sur la hauteur

Vitesse moyenne

0

1 hq u u y dyA h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0

2

1 12

112 2

hs

s

y h y Udp y dyh dx h

Udp hdx

42

Pas de gradient de pressionPlaque suprieure mobile

CASPARTICULIER1:EcoulementdeCouette

x

y

z

h

.be

2sUu

sUu y yh

0s

fUh


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Pas de pe0

t00

r eU

22

43

Gradient de pression non nulPlaque suprieure fixe

CASPARTICULIER2:EcoulementdePoiseuille

x

y

z

h

26 yu y u h y h

.be

En rgime tabli, la vitesse ne varie pas la charge locale ne dpend plus que de la pression

06

2hdp h udx h

2112

dp hudx


http://w

ww.hach.ulg.ac. p p q p

Estimation de la perte de charge en long selon une ligne de courant

2 2

2 2

Re

12 12 242 2

L

fL L

f x

dp L u L up dx u dx uL Cdx h h hu h h

Cf coefficient de frottement en long

Rapport entre longueurs caract.

44

Ecoulementenfilmsminces

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

23

45

Rappel : Equations gnrales de Navier-Stokes


0k

k

ux

.be

Hypothses Forces de volume ngliges

E l t t ti i

1i kii i

k i

u uu pF ut x x


http://w

ww.hach.ulg.ac. Ecoulement stationnaire

Ecoulement en fine lame

,1

x y L hz h L

46

Hypothses Forces de volume ngliges Ecoulement stationnaire Ecoulement en fine lame


.be

Les grandeurs caractristiques sont-elles indpendantes ?Il est licite de dfinir un temps de rfrence pendant lequel une particule parcourt une distance quivalente dans les diffrentes directions :

,1c

c

x y L hz h L

2

ngligeablec

hL


http://w

ww.hach.ulg.ac.

00 0 0 0

0 0 0

0 0

c c c

c

L L L htU u v w

u v Uhw UL

24

47

traitement de lquation de quantit de mouvement selon i


2 2 2

2 2 21i i i i i i

i

u u u u u upu v wx y z x x y z

2 2 2

.be

2 2 20 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2

22 220 0

00

' ' ' ' ' ''' ' '' ' ' ' ' ' '

' ' ' '' ' '' ' ' '

i i i i i i i i i i

c i c

i i i

c

c

i

i ii c c

U u u u u w u p u u u u upu v wL x y h z x L x y h z

h U u u u p uh p hu v hw wL x y z x LLu

L

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 20

2 2 20 0

' ' '' ' '

' ' ' ' ' ''Re ' ' ' Re' ' ' ' ' ' '

i i i

i i i i i iL L

c ci i ci

u ux y z

u u u p u u uh h p hu v wL x y z L x Lu U x y z


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0Re cLL U

2

Re 1LhL

2

ngligeablec

hL

48

Equations de Navier-Stokes simplifies pour les films minces


0u v wx y z

.be

2

2

2

2

2

2

p ux p p pz

z x yp vy zp wz

2

ULph


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Il ny a pas de restriction sur le Reynolds Les forces visqueuses sont dominantes si h/L est suffisamment

faible (influence des conditions de non glissement aux deux parois)

2z z

25

49

Equations de Navier-Stokes simplifies pour les films minces


p p pz x y

.be

2

2

0

121

u v wx y z

pu z Az Bxpv z Cz D


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

0

v z Cz Dy

pz

50

Exemples pratiques - Cellules de Hele-Shaw Conditions aux limites :

u,v=0 en z=0 et z=h


.be

2

2

0

121

2

u v wx y z

pu z Az Bxpv z Cz Dy

0

1 ( )21 ( )

2

u v wx y z

pu z h zxpv z h z

p

v y f zpux


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Les lignes de courant sont indpendantes de z

2

0

ypz

2

0

ypz

26

51

Exemples pratiques - Cellules de Hele-Shaw


21 ( )2

u p z h zy x y u v

.be

Lcoulement dans une cellule de Hele-Shaw est irrotationnelLcoulement est domin par les effets visqueux

2

2

1 ( )2

y x y u vy xv p z h z

x x y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

car la pression est une fonction univoque de la position

1 ( ) 02

C C

p pudx vdy z h z dx dyx y

52

Exemples pratiques Thorie de la lubrification des corps

Palier (force de soulvement) Cylindres en rotation excentrique (Force exerce sur le cylindre intrieur)


.be

Film mince autour dun corps en rotation Pour obtenir un coulement permanent, il faut que la rotation du corps respecte

2h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2.014 gh

27

53

Ecoulementenconduites

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

54

Diminuons encore le domaine pour quil soit entirement confin par des parois impermables

Ex : conduite circulaire en laminaire

Couchelimiteetpertedechargeenconduite

.be

Contrairement la plaque (fixe de longueur infinie) qui peut dvelopper une couche limite libre, les parois du tube

Rgime non tabli Rgime tabli


http://w

ww.hach.ulg.ac. pp , p

dfinissent un espace limit Or, cest la couche limite qui induit principalement les

pertes dans lcoulement

28

55

Ex : conduite circulaire en laminaire

Couchelimiteetpertedechargeenconduite.be

Les questions pratiques dans cette configuration sont : Quel dbit total peut-on faire circuler entre deux points de caractristiques

connues ? Comment caractriser globalement les pertes de charge dans cet espace confin ? Quels moyens faut-il mettre en uvre pour obtenir le dbit souhait ?



http://w

ww.hach.ulg.ac.

Le praticien accorde peu dimportance la distribution exacte du profil de vitesse mais souhaite pouvoir caractriser son installation de manire globale

56

EquationdeBernoulli intgresurlasection

.be

quat o de e ou tg e su a sect o


http://w

ww.hach.ulg.ac.

29

57

Lquation de Bernoulli traduit la conservation de lnergie le long dune ligne de courant

Objectif.be

Dans le cas dun coulement confin, comment se gnralise cette relation en tenant compte des variables moyennes de lcoulement ?


http://w

ww.hach.ulg.ac.

58

Pour un fluide incompressible, si le champ de force est conservateur :

Rappel:loideBernoulli

2

0

U

U

.be

Par une multiplication scalaire de lquation de quantit de mouvement par

2

UU pG U Ut

U

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

Fonction de Helmholtz=

2

0

U

U

p UU G U Ut

H

30

59

Si le champ de force est conservateur et que lcoulement est stationnaire :

LoideBernoulli intgrationsurunesectionferme

0 par continuit

U U U U U U

H H H H

.be

Intgrons sur une section quelconque :

p

A A

U dA U U dA HS f i t t d l ti


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Par Leibniz :

t

t CA A

U dA U dA U A H H HPosition instantane de la frontire

Surface instantane de la section

60

Bernoulli intgr:

LoideBernoulliintgre

0 i i

tt C

A A

U dA U A U U dA H H

.be

0 en stationnaire

2

2p UU U G

H


http://w

ww.hach.ulg.ac.

22

2 2

U Up pU G d U G

31

61

Il faut introduire des coefficients dingale rpartition sur la section :


22p pd G

UU U

UG

.be

Quelle sont les valeurs de ces coefficients?

2 2p pd GU UG

1 si pression hydrostatique1


http://w

ww.hach.ulg.ac.

3

3

1

1

U d

U d

62


2

12

pG s U dUd

d s

.be

Il faut galement caractriser lensemble des pertes sur la section :

1 s U d


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Lidal est de pouvoir relier ce terme aux grandeurs moyennes caractristiques de lcoulement

32

63

Conduite circulaire en laminaire

Couchelimiteetpertedechargeenconduite.be

Deux types principaux de perte de charge : les pertes continues (dites pertes en long) qui sont dues aux

frottements des filets fluides entre eux ou contre les parois chocs entre particules changes entre filets voisins (turbulence)



http://w

ww.hach.ulg.ac. chocs entre particules changes entre filets voisins (turbulence)

les pertes locales provoques par des particularits du parcours changements (brusques ou progressifs) de section changements de direction (coudes, courbes)

Chaque type de perte peut tre reli un rgime dcoulement tabli ou non tabli

64

Conduite circulaire en laminaire

Couchelimiteetpertedechargeenconduite

.be

Le coefficient parital a t dfini grce une mise sous forme adimensionnelle



http://w

ww.hach.ulg.ac.

Appliquons un raisonnement semblable pour dfinir un coefficient de pertes en conduite

33

65

Dmarche Inventorier toutes les grandeurs intervenant dans le problme Grouper ces grandeurs en produits sans dimension Exprimer des conditions de similitude en fonction de ces grandeurs sans

dimension

Analysedimensionnelle.be

Choix des grandeurs fondamentales (SI) masse M, temps T, longueur L ventuellement : temprature, quantit de chaleur, ...

Applications


http://w

ww.hach.ulg.ac. Applications

tablissement dquations liant les variables dun problme donn reprsentation systmatique des rsultats dun programme exprimental

et rduction du nombre de variables prendre en considration, ... ( cours sur les similitudes)

66

Utilit Mettre immdiatement en vidence les produits sans dimension

qui rglent la similitude

Intrt

Thorme deVaschyBuckingham

.be

t t Rduire le nombre darguments de la relation qui existe entre les

diffrentes grandeurs intervenant dans un problme

Difficult Ne pas oublier de grandeurs dans linventaire de celles

intervenant dans le phnomne tudi : tude de leur influence relle par voie exprimentale


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Avantage Applicable tout phnomne physique, mcanique thermique,

lectrique,

34

67

Toute relation dimensionnellement homogne entre ngrandeurs physiques f(A1,A2,A3,An) = 0 entranelexistence dune autre relation j (1, 2,, n-N) = 0entre n-N grandeurs sans dimension qui sont des produits

Thorme deVaschyBuckingham:nonc....be

g q pdistincts de puissances des grandeurs A1,A2,AN de laforme A1A2AN

N est lordre le plus lev du dterminant non nul que contient la matrice dimensionnelle des grandeurs A1,A2,A3,An. Il est le plus souvent gal au nombre dunits fondamentales dont dpendent A1,A2,A3,An


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Une fois les N grandeurs indpendantes choisies, on peutles utiliser pour adimensionnaliser les (n-N) autresgrandeurs afin dcrire une relation entre ces nombressans dimension

68

Considrons lcoulement permanent en charge dans une conduite circulaire

Question : quelle est la perte de charge entre les extrmits?

Thorme Procdureenpratique

.be

Question : quelle est la perte de charge entre les extrmits?

Grandeurs prendre en compte physiquement : p : pression L : longueur de la conduite D : diamtre de la conduite


http://w

ww.hach.ulg.ac.

: rugosit, dimension des asprits U : vitesse moyenne du fluide : masse volumique du fluide : viscosit cinmatique du fluide

35

69

Matrice dimensionnelle

p L D U

Procdureenpratique.be

L -1 1 1 1 1 -3 2M 1 0 0 0 0 1 0T -2 0 0 0 -1 0 -1

Nombre de paramtres : 7Rang de la matrice : 3


http://w

ww.hach.ulg.ac. Rang de la matrice : 3

3 grandeurs primaires linairement indpendantes4 produits sans dimension () indpendantsChoix des grandeurs indpendantes

70

Premire grandeur adimensionnelle drive :

p L D U

Procdureenpratique

31 21p

D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2M 1 0 0 0 0 1 0T -2 0 0 0 -1 0 -1

Coefficients i 0 2 1


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1 2

pU

36

71

Deuxime grandeur adimensionnelle drive :

p L D U

Procdureenpratique

31 22L

D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2M 1 0 0 0 0 1 0T -2 0 0 0 -1 0 -1



http://w

ww.hach.ulg.ac.

2LD

72

Troisime grandeur adimensionnelle drive :

p L D U

Procdureenpratique

31 23 D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2M 1 0 0 0 0 1 0T -2 0 0 0 -1 0 -1



http://w

ww.hach.ulg.ac.

3 D

37

73

Quatrime grandeur adimensionnelle drive :

p L D U

Procdureenpratique

31 24 D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2M 1 0 0 0 0 1 0T -2 0 0 0 -1 0 -1



http://w

ww.hach.ulg.ac.

41

ReUD

74

Selon le thorme , il existe une relation entre :

A di i bli

Procdureenpratique

1=p/(U) 2=L/D 3= /D 4=/UD

.be

Autrement dit, en rgime tabli (vitesse indpendante de x) :

Tout comme dans le cas de Poiseuille entre deux plaques, la perte en long sera logiquement linairement proportionnelle L

2 22 3 4 1, , , , ReLp j U j UD D


http://w

ww.hach.ulg.ac.

O est appel coefficient de perte de charge en longet not habituellement f

21, ,Re

Lp j UD D

1,

Rej

D

38

75

Julius Weisbach a propos en 1845 une formulation des pertes de charge en long

Coefficientdepertedecharge

2L Uh f

.be

Par extension, une formulation gnrale de pertes (en long ou locales) peut prendre la forme suivante :

,Re [m]2r f

L Uh J L fD D g

Coefficient de perte de charge


http://w

ww.hach.ulg.ac.

22UPerte k m

g

p g

nombre dEuler

76

Pertes de charge locales

.be

Pertesdechargelocales


http://w

ww.hach.ulg.ac.

39

77

Les pertes locales sont observes lorsque lcoulement nest pas tabli : Modifications de sections Modifications dorientation

Pertesdechargelocales.be

Modifications d orientation

Lcoulement dans ces singularits prsente presque toujours des recirculations

Etant donn que lcoulement nest pas tabli, il nest pas possible de relier le coefficient de perte uniquement la contrainte paritale

Il est donc trs difficile de reprsenter thoriquement ces


http://w

ww.hach.ulg.ac. Il est donc trs difficile de reprsenter thoriquement ces

pertesRecours lexprimentation et recueil de pertes de charge

Pour caractriser lcoulement, Re sera valu avec la section la plus faible

78

Ecoulementdansdessingularits

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

40

79Ecoulementdansdessingularits

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

80

Pertesdechargelocales:Elargissementbrusque

u1

u

A1 A2

B

C

D

E

G1

.be

Ecoulement stationnaire

u2

z1z2

A

F

G2

1 1 2 2Q u A u A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Dans le cas dune rpartition uniforme de vitesse et Re > 3500 2

121 2

1

2

Ahku Ag

41

81

Dans la section 1, centre de gravit G1


21 1

1 2p uz

g

.be

Dans la section 2, centre de gravit G22

2 22 2

p uzg


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 21 1 2 2

1 22 2p u p uh z z

g g

82

Appliquons la conservation de quantit de mouvement sur le volume ABCDEFA selon laxe x


u1 D D

.be

u2

A1 A2

A

B

C E

F

G1

G2

B

C E

F

G1

G2A

xP

p2

p1G3


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Forces extrieures : pesanteur et pression sur les faces Hypothse : pression hydrostatique

x

42

83Pertesdechargelocales:Elargissementbrusque

C

D

E

G1

G2

G3

A

u1

u2

aB

.be

Pesanteur Pression sur AD Pression sur EF

F

A

PL

z1z2

2 singA L 1 2p a A

p A

1 2sinL z a z


http://w

ww.hach.ulg.ac. Pression sur EF

Conservation de la quantit de mouvement selon G3 G2

1 2 2 1 2 2 2sin 0Q u u gA L p a A p A

2 2p A

84

Pertesdechargelocale:Elargissementbrusque

1 2 2 1 2 2 2

1 2 1 2

2

sin 0

sin 0

Q u u gA L p a A p A

Q u u p pL aA g

1 2sinL z a z

.be

1 2 1 21 2

2

2 1 2 1 21 2

0

0

Q u u p pz a z aA g

u u u p pz zg

2 21 1 2 2p u p uh

C l l d l t d h


http://w

ww.hach.ulg.ac. 1 1 2 2

1 22 2p ph z z

g g

2 2 2 22 2 11 1 2 2 1 21 22 2 2 2

u u up u p u u uh z zg g g g g

Calcul de la perte de charge :

43

85Pertesdechargelocales:Elargissementbrusque

2 22 2 1 1 2

22 2 21 22 1 2 1 2

2 2u u u u uh

g g g

u uu u u u uh

.be

2 2 2h

g g g g

Formule de Blanger 21 22 2

2u u

hg

1 1 2 2Q u A u A


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 22 2

2 2 1 1

1 2

1 12 2u A u Ahg A g A

86

Ecoulementlaminaireenconduitecirculaire

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

44

87

Exprimer Navier-Stokes en coordonnes cylindriques Simplifier les quations selon les hypothses Intgrer lquation de QM selon x pour dduire le profil

de vitesse en fonction du gradient de pression

Dmarche.be

de vitesse en fonction du gradient de pression Sur base du profil de vitesse tabli :

Evaluer la vitesse moyenne Evaluer les tensions visqueuses dans le fluide et la tension

paritale

Dduire lexpression de la perte de charge en long en fonction des grandeurs moyennes calculer le coefficient


http://w

ww.hach.ulg.ac. fonction des grandeurs moyennes, calculer le coefficient

de Weissbach Expliciter le paramtre dingale rpartition dnergie

cintique utile dans Bernoulli intgr

88

EcoulementdeHagenPoiseuilleenconduitecirculaire Considrons

Un fluide incompressible newtonien Une conduite circulaire incline Un coulement laminaire tabli dont les lignes de courant sont parallles

aux parois

.be

dhdx

aux parois

( )u u r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

xQuel est le profil tabli de vitesse ?

?

45

89

Equations de Navier-Stokes en incompressible :

EcoulementdeHagenPoiseuilleenconduitecirculaire

0

1

k

k

i k

ux

u uu p

0

.be

1i kii i

k i

u uu pF ut x x

Equations de quantit de mouvement en coordonnes cylindriques (x,r,) :

2 2 2

2 2 2 21 1 1sinr

vu u u u p u u u uv u gt r r x x r rr r x

0Fg


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

2 21 2cos sinr r r r rr r

v v vv v v v vpv u g vt r r x r r r r

2 21 2cos cosr rr

v v v v v v v v vpv u g vt r r x r r r r

90 2 2 2

2 2 2 21 1 1sinr

vu u u u p u u u uv u gt r r x x r rr r x

Simplifications des quations de quantit de mouvement :


.be

u

2

2 21 2cos sinr r r r rr r

v v vv v v v vpv u g vt r r x r r r r

2 21 2cos cosr rr

v v v v v v v v vpv u g vt r r x r r r r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0 (lignes de courant // aux parois)rv 0 (pas de rotation autour de l'axe)v

0 (coulement tabli ) ux 0 (coulement stationnaire)t

2

2 0 (coulement symtrique)u

46

91EcoulementdeHagenPoiseuilleenconduitecirculaire

2

21 1sin 0p u ug

x r rr

Transformation de lquation de quantit de mouvement selon x

.be

sin dhdx

22

1 1u u urr r r r rr

( )avec , et indpendantsx r

1 1p gh d durx r dr dr

dhdx


http://w

ww.hach.ulg.ac. supposons ( , )p p r p x g r

1 1d p gh d durdx r dr dr

92


En intgrant cette quation aprs multiplication par r, il vient:

2

2dur r Adr

A est une constante dintgration

.be

Une nouvelle intgration est ralise aprs division par r :

2 ln4

u r r A r B

Valeur des constantes dintgration:

B est une constante dintgration


http://w

ww.hach.ulg.ac. Valeur des constantes d intgration:

20 0

Vitesse finie en 0 0

En , 0 4

r A

r r u B r

47


Le profil de vitesse scrit :

2 204u r r r

.be

2 2014 d p gh r rdx Equation parabolique de lcoulement laminaire dans une conduite


http://w

ww.hach.ulg.ac.

94

La vitesse moyenne est value comme


00

2

2r

u r rdrQ uA

.be

02

02

2 2 002 00

2 14 8

r

A r

d p ghrd p gh r r rdrdx dxr

Vitesse maximale en r=0 :

2 d p ghr


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0

max 24d p ghru u

dx

48

95

La vitesse moyenne dpend du gradient de charge


208

d p ghru

dx

.be

Il est donc possible den dduire la perte de charge sur lensemble de la conduite :

20

8 uLp ghr


http://w

ww.hach.ulg.ac.

96

Connaissant : Le profil de vitesse dans la conduite Lexpression de la perte de charge en long


.be

Il est possible den tirer lexpression du coefficient de frottement en long en fonction des paramtres de la conduite et de lcoulement moyen

Les caractristiques de lcoulement interne tant l i d i ill d l l


http://w

ww.hach.ulg.ac. connues, la contrainte de cisaillement dans lcoulement

et plus particulirement la contrainte paritale peut tre value

49


Coefficient de frottement f

2

2 Weisbach

1 82

p uL L uh f mg g D gr

.be

Weisbach0 264 64

Re

Re

g g D gr

fDuDu


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Pour un coulement laminaire dans une conduite

98

EcoulementdeHagenPoiseuilleenconduitecirculaireAutresrsultats

dhdx

Relation entre et p en coulement tabli

.be x

2p r

2p dp r2 rdx


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

d p ghrdx

2g r dx

50

99 2

du r d pdr

ghdx

Introduction de la contrainte de cisaillement

EcoulementdeHagenPoiseuilleenconduitecirculaireAutresrsultats.be

0

00 2r r

r d p ghdx

00

2 Lp ghr


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Liaison entre 0 et

0 20 0

2 8L uLp ghr r 0

0

4 ur

u

100

En coulement de Poiseuille:

ApplicationdeBernoulliintgrlcoulementdePoiseuille

U 2 2014 d p ghu r r rdx 2 d h

.be

U

Um

208

d p ghru

dx

0 03 3 32 2 2 20 02 3 2

0 00 03 32 2

0 0

1 1 124 32

r rd p gh d p gh

r r rdr r r rdrdx dxr r

d p gh d p ghr r


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0 0

8 8dx dx

3 80

3 20

320

1832

2

8

d p gh rdxr

d p ghrdx

51

101

Pour Hagen-Poiseuille :

Rappel:LoideBernoulliintgre

22 U

.be

2 64Re 2

UG LU

D gp


http://w

ww.hach.ulg.ac.

102

En coulement turbulent, idalisation du profil universel:

ApplicationdeBernoulliintgrlcoulementturbulent

U

1

00

0

nr ru r U

r

.be

U

Um

0 est la vitesse de rfrence au centreU

0 0

3 31 1

0 0 202 2 320 00 00 0

3 3 31 1 2

1 22 21 3 23 3 2

42

r rn nr r r r

U rdr rdr nr rr r n nn nn

4 3 3 2n n


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0 01 1 20 0 2

02 20 00 00 0

421 22 1 3 2

r rn n

nnr r r rU rdr rdr n nr rr r

3 3 2n n

Re n 4.E+03 6 1.076776121.E+05 7 1.0583825372.E+06 10 1.030634699

52

103

Ce quil faut faire en pratique : Choisir un plan de rfrence Prendre le centre de la conduite comme axe curviligne de rfrence Utiliser des sections transversales

Evaluer le Reynolds dans les endroits critiques

LoideBernoulliintgresurlasection Interprtationgraphique.be

Evaluer le Reynolds dans les endroits critiques valuer correctement les termes dingale rpartition

Tracer les lignes de charge et pizomtriques selon une verticale

2U

2

2

U

g

2

2

U

g

pg


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Plan de rfrenceh

h

hpg

2g p

g

Documents

8 - Bernoulli Integre - Couette - Poiseuille 09-10