75 รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลมมียอดแหลมที่ไม่ ...75 รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลมมียอดแหลมที่ไม่

75

รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานเป็นรูปวงกลมมียอดแหลมท่ีไม่อยูบ่นระนาบเดียวกนักบัฐานและเส้นท่ีต่อระหวา่งจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นวา่ “กรวย”

ถา้น ากรวยแยกออกเป็นส่วน ๆ สามารถแยกไดเ้ป็นรูปเรขาคณิตสองมิติ ประกอบดว้ยรูปวงกลมจ านวน 1 รูป ซ่ึงไดม้าจากฐาน และรูปสามเหล่ียมฐานโคง้จ านวน 1 รูป ซ่ึงเป็นส่วนท่ีเป็นผวิขา้ง

76

ใหน้กัเรียนพิจารณาภาพต่อไปน้ี

จะสังเกตเห็นวา่รูปท่ี 1 เป็นกรวย และรูปท่ี 2 เป็นทรงกระบอกท่ีมีรัศมีและความสูงเท่ากนั ทดลองน าทรายใส่กรวยในรูปท่ี 1 จนเตม็ จากนั้นน าทรายในรูปท่ี 1 เทใส่ทรงกระบอกใน

รูปท่ี 2 จนหมด วดัความสูงของทรายในรูปท่ี 2 ได ้ 31 ของความสูงรูปท่ี 2 นัน่หมายความวา่

ปริมาตรของกรวยเท่ากบั 31 ของปริมาตรทรงกระบอกท่ีมีรัศมีและความสูงเท่ากนั

ดงันั้น ปริมาตรของกรวย กระบอกปริมาตรทรง31

hr31 2

เม่ือ r แทน ความยาวของรัศมีของฐานกรวย h แทน ความยาวของสูงตรง

77

จงหาปริมาตรของกรวยท่ีมีรัศมีของฐานยาว 3 ฟุต สูงตรงยาว 7 ฟุต ( 722

)

วธีิท ำ ปริมาตรของกรวย hr31 2

73722

31 2

66 ลูกบาศกฟุ์ต ดังน้ัน กรวยน้ีมีปริมาตรประมาณ 66 ลูกบาศกฟุ์ต ตอบ

จงหาปริมาตรของกรวยท่ีมีเส้นผา่นศูนยก์ลางของฐานยาว 24 น้ิว สูงเอียง 20 น้ิว ( 14.3 )

วธีิท ำ หาสูงตรง จากทฤษฎีบทพีทากอรัส สูงตรง 22 1220

256 16

ปริมาตรของกรวย hr31 2

161214.331 2

52.411,2 ลูกบาศกน้ิ์ว ดังน้ัน กรวยน้ีมีปริมาตรประมาณ 2,411.52 ลูกบาศกน้ิ์ว ตอบ

โจทย์เกี่ยวกับปริมาตรของกรวย

จากปริมาตรของกรวย hr31 2

เมื่อ 3r , 7h ,

722

ดังนัน้ หาปริมาตรได้เลย

โจทย์เกี่ยวกับปริมาตรของกรวย

จากปรมิาตรของกรวย hr31 2

เมื่อ 3r , 20 , 14.3 ดังน้ัน ต้องหาสูงตรงก่อน จึงจะสามารถ

หาปริมาตรได้

78

1. ก าหนดส่วนต่าง ๆ ของกรวย ดงัปรากฏในตาราง จงเติมส่วนต่าง ๆ ในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง

( 722

, หน่วยความยาวเป็นเมตร)

ข้อ รัศมีของฐำน สูงตรง พืน้ทีฐ่ำน

(…………..) ปริมำตร

(…………..)

1 3.5 3 …………. ………….

2 7 6 …………. ………….

3 10.5 12 …………. ………….

4 14 18 …………. ………….

5 17.5 30 …………. ………….

6 21 42 …………. ………….

2. ก าหนดส่วนต่าง ๆ ของกรวย ดงัปรากฏในตารางจงเติมส่วนต่าง ๆ ในช่องวา่งใหถู้กตอ้ง (14.3 , หน่วยความยาวเป็นฟุต)

ข้อ รัศมีของฐำน สูงตรง พืน้ทีฐ่ำน

(…………..) ปริมำตร

(…………..)

1 2 5 …………. ………….

2 3 8 …………. ………….

3 6 10 …………. ………….

4 8 12 …………. ………….

5 10 15 …………. ………….

6 5 21 …………. ………….

79

3. กรวยอนัหน่ึงมีความสูง 12 น้ิว มีเส้นผา่นศูนยก์ลางภายในยาว 7 น้ิว มีปริมาตรเท่าใด

(พร้อมวาดรูปของกรวย และก าหนด 722

)

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... 4. กรวยอนัหน่ึงมีสูงตรง 18 น้ิว มีรัศมียาว 7 น้ิว มีปริมาตรเท่าใด


)

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

โจทย์เก่ียวกับ........................................ จาก.......................................................... เม่ือ……………………………………......... ดังนั้น ...................................................... .................................................................


80

5. กรวยอนัหน่ึงมีความสูง 21 น้ิว มีเส้นผา่นศูนยก์ลางภายในยาว 10 น้ิว มีปริมาตรเท่าใด


)

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

6. กรวยอนัหน่ึงมีสูงเอียงยาว 5 น้ิว มีรัศมียาว 4 น้ิว จงหาปริมาตรเท่าใด (พร้อมวาดรูปของกรวย และก าหนด 14.3 ) .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................



81

7. กรวยอนัหน่ึงมีสูงเอียงยาว 10 น้ิว มีรัศมียาว 8 น้ิว จงหาปริมาตรเท่าใด


)

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... 8. กรวยอนัหน่ึงมีสูงเอียงยาว 15 น้ิว มีเส้นผา่นศูนยก์ลางยาว 24 น้ิว จงหาปริมาตรของกรวย


)

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................


โจทยเ์ก่ียวกบั........................................ จาก.......................................................... เม่ือ…………………………………….... ดงันั้น ...................................................... .................................................................

82

ขั้นตอนสู่การแกปั้ญหาโจทยปั์ญหาอยา่งมีประสิทธิภาพ นกัเรียนตอ้งมีความรู้พื้นฐาน เช่น มีความสามารถในการหาพื้นท่ีผวิและปริมาตรของพีระมิด และนกัเรียนตอ้งเขา้ใจในขั้นตอนการแกโ้จทยปั์ญหา

1) โจทยถ์ามเก่ียวกบัอะไร 2) โจทยต์อ้งการให้หาอะไร 3) โจทยใ์หข้อ้มูลอะไรมาบา้ง

1) เปล่ียนขอ้ความให้เป็นสัญลกัษณ์ 2) ระบุขั้นตอนการแกปั้ญหา

ด าเนินการตามขั้นตอนท่ีระบุไวใ้น ขั้นท่ี 2 ขอ้ 2)

1) ตรวจสอบตามขั้นตอนการด าเนินงานทุกขั้นตอน 2) ตรวจสอบความถูกตอ้งหรือความสมเหตุสมผลของค าตอบท่ีได้

ปริมาตรของกรวย hr31 2

เม่ือ r แทน ความยาวของรัศมีของฐานกรวย h แทน ความยาวของสูงตรง

83

ตอ้งการท าท่ีทบักระดาษรูปทรงกรวยตนัไวแ้จกงานปีใหม่จ านวน 200 อนั โดยท่ีทบักระดาษมีเส้นผา่นศูนยก์ลาง 5 เซนติเมตร สูง 7 เซนติเมตร จะตอ้งเตรียมวสัดุในการท าท่ีทบั

กระดาษเท่าใด ( 722

)

วธีิท ำ ปริมาตรของกรวย hr31 2

7)5.2(722

31 2

83.45 ลูกบาศกเ์ซนติเมตร กรวย 1 อนั จะตอ้งเตรียมวสัดุประมาณ 45.83 ลูกบาศกเ์ซนติเมตร กรวย 20 อนั จะตอ้งเตรียมวสัดุประมาณ 60.9162083.45 ลูกบาศกเ์ซนติเมตร

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ปริมาตรของกรวย hr31 2

โจทย์ต้องการให้หา วัสดุในการท าที่ทับกระดาษ

จ านวน 200 อัน

โจทย์ก าหนด 722,7h,5.2r

ดังน้ัน หาปริมาตรของกรวย 1 อัน แล้ว น าไปคูณกับ

200 จะได้ ปริมาตรของวัสดุที่ตอ้งเตรยีม

84

1. แกว้น ้าส าหรับใส่น ้าผลไมเ้ป็นรูปกรวยกลม มีเส้นผา่นศูนยก์ลางท่ีปากแกว้ 7 เซนติเมตร ถา้แกว้

ลึก 14 เซนติเมตร จะจุน ้าผลไมไ้ดเ้ท่าใด ( 722

)

……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. 2. กระโจมอินเดียแดงเผา่หน่ึงมีลกัษณะเป็นรูปกรวยสูง 2 เมตร ฐานของกระโจมมีรัศมียาว 1.5

เมตรผา้ท ากระโจมมีพื้นท่ีเท่าใด (ไม่คิดส่วนท่ีเกยกนั, 722

)

……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. 3. ถงัเก็บน ้ารูปกรวยสูง 3 เมตร และมีเส้นรอบวงของปากกรวยยาว 14 เมตร ถา้ตอ้งการใส่น ้าไวใ้น

ถงัน้ีเพียง 41 ของความจุของถงั จะตอ้งใส่น ้าลงถงัน้ีก่ีลูกบาศกเ์มตร ( 7

22 )

……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ……………………………………………….

85

4. ถว้ยกรวยกระดาษส าหรับใส่น ้าด่ืมขนาดเส้นผา่นศูนยก์ลาง 6 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร เตรียมไวส้ าหรับนกัเรียนจ านวน 200 คน โดยประมาณวา่ด่ืมคนละถว้ยจะตอ้งเตรียมน ้าไวป้ระมาณเท่าใด

( 722

)

……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. 5. กรวยกลมซ่ึงเป็นอนุสรณ์สถาน 14 ตุลา ท่ีถนนราชด าเนิน กรุงเทพมหานคร มีเส้นผา่นศูนยก์ลางของฐาน ยาว 2 เมตร มีปริมาตร 9.42 ลูกบาศกเ์มตรเมตร มีความสูงก่ีเมตร

( 722

)

……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ………………………………………………. ……………………………………………… ……………………………………………….

Documents