7.03.2013.

MARIJANA STEFANOVIĆ

M e t o d i č k a

radionica

IZOPERIMETRIJSKI PROBLEM (NEJEDNAKOSTI)

Zadatak izoperimetrije Pod izoperimetrijskim problemom podrazumeva se

problem određivanja figure najveće površine u zadatoj familiji figura koje imaju jednake obime (perimetron na grčkom znači obim).

Spomenimo nekoliko karakterističnih problema tog tipa:među n-touglovima zadatih dužina stranica odrediti onaj

koji ima najveću površinu;među n-touglovima zadatog obima i zadatih uglova

odrediti onaj koji ima najveću površinu;među n-touglovina zadatog obima odrediti onaj koji ima

najveću površinu.

M e t o d i č k a

radionica

u čuvenim Euklidovim “Elementima” naveden je sledeći zadatak: U zadati trougao upisati paralelogram najveće površine.

u XVII veku Kepler je rešio zadatak o cilindru najveće površine upisanom u loptu.

u XIX veku Štajner je rešio zadatak određivanja tačke u ravni trougla čiji je zbir rastojanja od temena minimalan.

Izoperimetrijskim problemom bavili su se matematičari antičke Grčke. Legenda o postanku Kartagine govori da je grad bio sagrađen na zemljištu koje se moglo ograničiti konopcem određene dužine.

ISTORIJATM e t o d i č k a

radionica

Didona je mitska feničanska carica, osnivateljka drevnog grada Kartagine u Africi. Po predanju, Didona se dogovorila sa plemenima starosedeocima severne obale Afrike da joj ustupe parče zemlje, u granicana volovske kože. Međutim, Didona nije kožom pokrila mali deo zemlje, kako su to zamišljali vladari primorja, već se poslužila lukavstvom. Isekla je kožu na tanke kaiševe i vezala ih u jednu dugu traku. Zatim se Didona susrela sa zadatkom – da ovom trakom ogradi deo zemlje koji će imati najveću površinu. Pitanje koje je tada bilo pred Didonom nije se prosto svodilo na izoperimetrijski zadatak, jer je mogla da koristi obalu mora, i ogradivši deo pripijen uz more, dobije veću teritoriju nego da je izabrala deo udaljen od mora.

Имају тачно о дређену IP адресуИмплементирају одређене протоколе

M e t o d i č k a

radionica

Zadatak izoperimetrije je formulisan na sledeći način: među svim krivama ravni obima L (pod obimom figure ćemo podrazumevati dužinu krive koja ograničava tu figuru) , pronaći onu koja ima najveću površinu.

Nije teško naslutiti da je rešenje osnovnog izoperimetrijskog problema krug. U savremenoj matematici postoji više dokaza ove činjenice.

M e t o d i č k a

radionica

Štajnerov dokaz

Prvi značajan pokušaj da reši ovaj problem učinio je Štajner (Steiner) u XIX veku.On je dao pet dokaza da je krug rešenje izoperimetrijskog problema. Međutim, svi njegovi dokazi imaju nedostatak nije dokazana egzistencija rešenja.

ZADATAK 1. Dokazati, da ako bilo kakva tetiva ispupčene figure φ , koja deli obim na pola, deli površinu figure na dva nejednaka dela, onda postoji figura φ', koja ima isti obim kao i φ a veću površinu.

M e t o d i č k a

radionica

Rešenje: Ako tetiva ispupčene figure deli obim na dva jednaka dela, a površinu na dva nejednaka dela, onda ćemo, ako veći od tih delova u odnosu na tetivu odvojimo i tim odvojenim delom zamenimo manji deo, dobiti figuru , sa istim obimom kao i , a većom površinom.

M e t o d i č k a

radionica

ZADATAK 2 Dokazati da ako je ispupčena figura φ različita od kruga ,onda postoji figura φ', koja ima isti obim kao i Φ , a veću površinu.

M e t o d i č k a

radionica

Elementaran dokaz izoperimetrijske nejednakosti

Teorema: Za svaki poligon obima L i površine A važi:Dokaz: Dovoljno je dokazati nejednakost za konveksan

poligon .Iz temena A poligona, možemo nacrtati duž AQ tako da polazni poligon podelimo na 2 poligona i onda imamo:

ipovršina poligona zadovoljava nejednakost .

M e t o d i č k a

radionica

M e t o d i č k a

radionica

ZaključakKao prilog možemo formulisati nekoliko zadataka koji su u

vezi sa razmatranom problematikom.Među ravnim figurama date površine odrediti onu koja

ima najmanji obim.Odrediti krivu date dužine čiji se krajevi poklapaju sa

krajevima date duži i koja zajedno sa tom duži ograničava oblast najveće površine.

Odrediti krivu date dužine koja od date poluravni odseca oblast najveće površine (Didonin problem).

Odrediti najkraću krivu koja dati jednakostranični trougao razlaže na dva dela jednakih površina.

Odrediti krivu date dužine koja od datog ugla odseca deo najveće površine.

M e t o d i č k a

radionica

Neki primeri zadataka za osnovnu školuOd svih trouglova datog obima odrediti onaj kome je

površina najveća.Od svih pravougaonika datog obima odrediti onaj kome je

površina najveća.Od svih tetivnih četvorouglova datog obima, kvadrat ima

najveću površinu.Od svih pravouglih trouglova sa istom hipotenuzom,

najveću površinu ima jednakokrako pravougli trougao.Od svih trouglova koje imaju istu površinu,

jednakostranični trougao ima najmanji obim.

radionicaM e t o d i č k a

Hvala na pažnji

M e t o d i č k a

radionica

Marijana Stefanovićmajoni_max@yahoo.com