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PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
344
4.F)
SOLUCIΓN.
CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes.
Diagrama de cargas.
- Carga concentrada equivalente y punto de aplicaciΓ³n de la presiΓ³n trapezoidal.
La fuerza resultante de la carga trapezoidal distribuida es
π΄1 = β π΄ = 9π
y su lΓnea de acciΓ³n estΓ‘ localizada a una distancia de
οΏ½Μ οΏ½1 =β οΏ½Μ οΏ½ π΄
β π΄=
24π. π
9π=
8
3π a la derecha de B
- Carga concentrada equivalente y punto de aplicaciΓ³n de la carga uniformemente
repartida.
La fuerza resultante es
π΄2 = (6π/π)(2π) = 12T
y el centroide a travΓ©s del cual actΓΊa es
Componente π΄, π οΏ½Μ οΏ½, π οΏ½Μ οΏ½π΄, π β π
β =rectΓ‘ngulo 6(1) = 6 1
2(6) = 3 18
β‘= triΓ‘ngulo 6(1)
2= 3
1
3(6) = 2 6
β π΄ = 9 β οΏ½Μ οΏ½ π΄ = 24
1 π/π
2 π/π
3 π β π
3π
6 π/π
2π 6π 1 π
π΅ πΆ π΄ π·
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
345
οΏ½Μ οΏ½1 = (1/2)(2π) = 1π a la izquierda de B
El diagrama de cargas mostrado se completa identificando las reacciones en los
soportes proponiendo sus sentidos arbitrariamente.
Ecuaciones de equilibrio.
+ β ππ΅ = 0 β β(3)(2) β (12)(1) + 9 (8
3) β 6(π πΆπ) + 3 = 0 ββ΄ π πΆπ = 1.5 π
+ β ππΆ = 0 β 3 β 9 (10
3) + 6(π π΅π) β (12)(1 + 6) β 3(8) = 0 ββ΄ π π΅π = 22.5 π
+β β πΉπ = 0 β π π΅π = 0
Como comprobaciΓ³n, se cumple que
+β β πΉπ = 0 β β3 β 12 + 1.5 β 9 + 22.5 = 0 β 0 = 0 ππ β
Funciones de fuerza cortante y de momento.
En la siguiente figura se especifica la coordenada π₯ a utilizar cuyo origen asociado
estΓ‘ en π΄; note π₯ es vΓ‘lida para 0 β€ π₯ β€ 9π. Debido a los cambios en el tipo de la
carga distribuida a lo largo de la estructura, deben efectuarse tres cortes
perpendiculares al eje de la viga.
1 π/π
2 π/π
3 π β π
3π
2π 6π 1π
π΅ πΆ π΄ π· π π΅π
π π΅π π πΆπ
6 π/π
π΄1 = 9π π΄2 = 12π
οΏ½Μ οΏ½2 =8
3π οΏ½Μ οΏ½1 = 1π
10
3π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
346
Corte en el tramo β (π΄ β π΅). Se secciona la viga a una distancia π₯ antes del punto
π΅, es decir, antes del punto de intensidad de 2π/π de la presiΓ³n trapezoidal. En
consecuencia, el diagrama de cuerpo libre de la secciΓ³n cortada con su anΓ‘lisis es
el siguiente:
0 β€ π₯ β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
π1 = β6(π₯) (π₯
2) β 3π₯ = β3π₯2 β 3π₯
π1 =ππ1
ππ₯= β6π₯ β 3
Corte en el tramo β‘(π΅ β πΆ). Se secciona la viga a una distancia arbitraria justo
despuΓ©s de que comienza la carga trapezoidal distribuida hasta antes de que tal
presiΓ³n termine; por tanto, la longitud de la viga va desde el punto π΄ hasta despuΓ©s
del punto π΅, pero sin llegar al punto πΆ. El diagrama de cuerpo libre para Γ©ste
segmento de viga y su correspondiente anΓ‘lisis es el siguiente:
2π β€ π₯ β€ 8π
Previo a la aplicaciΓ³n de las ecuaciones de equilibrio, debe hallarse el Γ‘rea y su
centroide de la presiΓ³n trapezoidal del corte.
Por trigonometrΓa puede determinarse el valor en funciΓ³n de π₯ de la intensidad π1.
1π/π
6π=
π¦
8π β π₯
π¦ =(1)(8 β π₯)
6=
4
3β
1
6π₯
π1 = 1 + π¦ = 1 + (4
3β
1
6π₯) =
7
3β
1
6π₯
3π
π₯ π1
π1
6 π/π
π΄
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
347
A continuaciΓ³n se hace el anΓ‘lisis de la carga trapezoidal distribuida del corte.
π΄1 = (π₯ β 2) (7
3β
1
6π₯) =
7
3π₯ β
1
6π₯2 β
14
3+
1
3π₯ = β
1
6π₯2 +
8
3π₯ β
14
3
π΄2 =
(π₯ β 2) (2 β (73 β
16 π₯))
2=
(π₯ β 2) (β13 +
16 π₯)
2=
β13 π₯ +
16 π₯2 +
23 β
13 π₯
2
π΄2 =1
12π₯2 β
1
3π₯ +
1
3
οΏ½Μ οΏ½1 =π₯ β 2
2=
1
2π₯ β 1; οΏ½Μ οΏ½2 =
π₯ β 2
3=
1
3π₯ β
2
3
οΏ½Μ οΏ½1π΄1 = (β1
6π₯2 +
8
3π₯ β
14
3) (
1
2π₯ β 1) = β
1
12π₯3 +
4
3π₯2 β
7
3π₯ +
1
6π₯2 β
8
3π₯ +
14
3
οΏ½Μ οΏ½1π΄1 = β1
12π₯3 +
3
2π₯2 β 5π₯ +
14
3
οΏ½Μ οΏ½2π΄2 = (1
12 x2 β
1
3x +
1
3) (
1
3π₯ β
2
3) =
π₯3
36β
π₯2
9+
π₯
9β
π₯2
18+
2π₯
9β
2
9
οΏ½Μ οΏ½2π΄2 =1
36π₯3 β
1
6π₯2 +
1
3π₯ β
2
9
La tabulaciΓ³n de la informaciΓ³n obtenida es
Componente π΄ οΏ½Μ οΏ½ οΏ½Μ οΏ½π΄
β = rectΓ‘ngulo β1
6π₯2 +
8
3π₯ β
14
3
1
2π₯ β 1 β
1
12π₯3 +
3
2π₯2 β 5π₯ +
14
3
β‘= triΓ‘ngulo 1
12 π₯2 β
1
3π₯ +
1
3
1
3π₯ β
2
3
1
36π₯3 β
1
6π₯2 +
1
3π₯ β
2
9
β = β1
12 π₯2 +
7
3π₯ β
13
3 β
π₯3
18+
4π₯2
3β
14π₯
3+
40
9
Finalmente, el Γ‘rea total es
π΄π = β π΄ = β1
12 π₯2 +
7
3π₯ β
13
3
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
348
y el centroide a travΓ©s del cual actΓΊa es
οΏ½Μ οΏ½π =β οΏ½Μ οΏ½π΄
β π΄=
βπ₯3
18 +4π₯2
3 β14π₯
3 +409
β1
12 π₯2 +73 π₯ β
133
a la derecha de B, πππππ οΏ½Μ οΏ½π < (π₯ β 2)
+ β πππππ‘π = 0 β βπ2 β 3(π₯) β 6(2) (1
2(2) + (π₯ β 2)) + 22.5(π₯ β 2)
β (βπ₯2
12 +
7
3π₯ β
13
3) [(π₯ β 2) β (
βπ₯3
18 +4π₯2
3 β14π₯
3 +409
β1
12 π₯2 +73 π₯ β
133
)] = 0
π2 = β3π₯ β 12(π₯ β 1) + 22.5(π₯ β 2) β (βπ₯2
12 +
7
3π₯ β
13
3) (π₯ β 2)
+ (βπ₯3
18+
4π₯2
3β
14π₯
3+
40
9) = β3π₯ β 12π₯ + 12 + 22.5π₯ β 45 β (β
π₯3
12 +
7
3π₯2 β
13
3π₯
+1
6π₯2 β
14
3π₯ +
26
3) + (
βπ₯3
18+
4π₯2
3β
14π₯
3+
40
9) = π₯3 (
1
12β
1
18) + π₯2 (β
7
3β
1
6+
4
3)
+π₯ (13
3+
14
3β
14
3+ 22.5 β 12 β 3) + (12 β 45 β
26
3+
40
9) =
1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9
π2 =ππ2
ππ₯=
1
12 π₯2 β
7
3π₯ +
71
6
Corte en el tramo β’(πΆ β π·). Se secciona la viga a una distancia arbitraria justo
despuΓ©s de que termina la carga trapezoidal distribuida, es decir, despuΓ©s del punto
πΆ. El diagrama de cuerpo libre para Γ©ste segmento de viga con longitud π₯ y su
correspondiente anΓ‘lisis es el siguiente:
8π β€ π₯ β€ 9π
1 π/π
2 π/π
3π
π π΅π = 22.5 π π πΆπ = 1.5 π
2 π 6π π₯ β 8 π
π΅ πΆ
π3
π₯
π΄ π3
6π/π
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349
+ β πππππ‘π = 0 β βπ3 β 3(π₯) β 6(2) (1
2(2) + 6 + π₯ β 8) + 22.5(6 + π₯ β 8)
β9 (6 β8
3+ π₯ β 8) + 1.5(π₯ β 8) = 0
π3 = β3π₯ + 12 β 12π₯ β 45 + 22.5π₯ + 42 β 9π₯ + 1.5π₯ β 12 = β3
π3 =ππ3
ππ₯= 0
CΓ‘lculo del momento mΓ‘ximo de cada tramo.
0 β€ π₯ β€ 2π
- PosiciΓ³n del momento mΓ‘ximo
π1 = 0 = β3 β 6π₯ β 3 = β6π₯ β π₯ = β3
6= β
1
2
Debido a que la soluciΓ³n no tiene sentido, Γ³sea que no estΓ‘ dentro del intervalo de
distancia analizado de la viga [0,2π], el punto donde se ubica el valor mΓ‘ximo del
momento estΓ‘ en el lΓmite superior; β΄ π₯πππ₯1 = 2π.
ππππ₯1 = β3(2) β 3(2)2 = β18π β π
2π β€ π₯ β€ 8π
π2 = 0 =1
12 π₯2 β
7
3π₯ +
71
6β π₯ =
β (β73
) Β± β(β73
)2
β 4 (1
12) (
716
)
2 (1
12)=
73 Β± 1.224745
16
π₯1 = 3(β6) + 14 β 21.34847 π π₯2 = 14 β 3(β6) β 6.65153
β΄ π₯πππ₯2 = 3(β6)π = 6.65153π, ya que estΓ‘ dentro del intervalo de distancia
analizado de la viga [2π, 8π].
ππππ₯2= (1
36) (14 β 3(β6))
3
β (7
6) (14 β 3(β6))
2
+ (71
6) (14 β 3(β6)) β
335
9
ππππ₯2 = (9β6 β 24)π β π = β1.9546 π. π
8π β€ π₯ β€ 9π
El momento es constante a lo largo de este tramo, por lo que ππππ₯3 = β3 π. π.
Realizando una comparativa, el momento mΓ‘ximo para toda la viga es de
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
350
ππππ₯ = 18π β π y se presenta en el punto π₯πππ₯ = 2π; la posiciΓ³n se mide a partir
de π΄.
Ecuaciones de la pendiente y la deflexiΓ³n usando el mΓ©todo de la
integraciΓ³n directa.
Aplicando la ecuaciΓ³n diferencial
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= π
e integrΓ‘ndola dos veces en cada tramo se obtiene
0 β€ π₯ β€ 2π
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= π1 β πΈπΌ
π2π¦
ππ₯2= β3π₯2 β 3π₯ β πΈπΌ β«
π(ππ¦)
ππ₯= β«(β3π₯2 β 3π₯) ππ₯
πΈπΌππ¦
ππ₯= βπ₯3 β
3
2π₯2 + πΆ1; π π
ππ¦
ππ₯= π, πππ‘πππππ πΈπΌπ1 = βπ₯3 β
3
2π₯2 + πΆ1 β ββ β
πΈπΌ β« ππ¦ = β« (βπ₯3 β3
2π₯2 + πΆ1) ππ₯ β πΈπΌπ¦1 = β
1
4π₯4 β
1
2π₯3 + πΆ1π₯ + πΆ2 β ββ β‘
2π β€ π₯ β€ 8π
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= π2 β πΈπΌ
π2π¦
ππ₯2=
1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9
πΈπΌ β«π(ππ¦)
ππ₯= β« (
1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9) ππ₯
πΈπΌππ¦
ππ₯=
1
144π₯4 β
7
18π₯3 +
71
12π₯2 β
335
9π₯ + πΆ3
π π ππ¦
ππ₯= π, πππ‘πππππ πΈπΌπ2 =
1
144π₯4 β
7
18π₯3 +
71
12π₯2 β
335
9π₯ + πΆ3 β ββ β’
πΈπΌ β« ππ¦ = β« (1
144π₯4 β
7
18π₯3 +
71
12π₯2 β
335
9π₯ + πΆ3) ππ₯
πΈπΌπ¦2 =1
720π₯5 β
7
72π₯4 +
71
36π₯3 β
335
18π₯2 + πΆ3π₯ + πΆ4 β ββ β£
8π β€ π₯ β€ 9π
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= π3 β πΈπΌ
π2π¦
ππ₯2= β3 β πΈπΌ β«
π(ππ¦)
ππ₯= β« β3ππ₯ β πΈπΌ
ππ¦
ππ₯= β3π₯ + πΆ5
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351
π π ππ¦
ππ₯= π, πππ‘πππππ πΈπΌπ3 = β3π₯ + πΆ5 β ββ β€
πΈπΌ β« ππ¦ = β«(β3π₯ + πΆ5)ππ₯ β πΈπΌπ¦3 = β3
2π₯2 + πΆ5π₯ + πΆ6 β ββ β₯
MΓ©todo del trabajo virtual unificado con el mΓ©todo de la integraciΓ³n
doble.
Para calcular las seis constantes de integraciΓ³n anteriores usaremos seis
condiciones, primero dos de frontera y luego cuatro de continuidad. Como no hay
algΓΊn apoyo en π΄,la viga puede desplazarse verticalmente y girar en tal punto, asΓ
que, 1) π¦1 =ΒΏ ? ππ π₯ = 0 y 2) π1 =ΒΏ ? ππ π₯ = 0. Luego, por continuidad se establece
que 3) π1 = π2 en π₯ = 2π ,4) π¦1 = π¦2 en π₯ = 2π, 5) π2 = π3 en π₯ = 8π y 6) π¦2 = π¦3
en π₯ = 8π. Para determinar la rotaciΓ³n y la deflexiΓ³n en π΄ aplicamos el mΓ©todo del
trabajo virtual.
- CΓ‘lculo de ππ΄.
Momentos reales π΄. Corresponden a las siguientes ecuaciones que ya han sido
deducidas:
π1 = β3π₯2 β 3π₯ 0 β€ π₯ β€ 2π
π2 =1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9 2π β€ π₯ β€ 8π
π3 = β3 8π β€ π₯ β€ 9π
Momentos virtuales ππ½. La pendiente en π΄ se determina al colocar un momento de
par unitario virtual en ese punto; su sentido se propone horario. Note que las cargas
reales son removidas y que debe usarse la misma coordenada π₯ de la estructura
real. DespuΓ©s de calcular las reacciones en los soportes, se deducen los momentos
internos ππ con el mΓ©todo de las secciones.
+ β ππ΅ = 0 β 1 β 6(π πΆπ) = 0 ββ΄ π πΆπ =1
6
+β β πΉπ = 0 β βπ π΅π +1
6= 0 ββ΄ π π΅π =
1
6
1
2π 6π 1 π
π΅ πΆ π΄ π·
π π΅π =1
6 π πΆπ =
1
6
π₯
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
352
+β β πΉπ = 0 β π π΅π = 0
Es necesario efectuar tres cortes en la viga anterior.
- SecciΓ³n cortada en el primer tramo.
0 β€ π₯ β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
βπ1π + 1 = 0 β π1π = 1
- SecciΓ³n cortada en el segundo tramo.
2π β€ π₯ β€ 8π
+ β πππππ‘π = 0
βπ2π + 1 β1
6(π₯ β 2) = 0
π2π = β1
6π₯ +
4
3
- SecciΓ³n cortada en el tercer tramo.
8π β€ π₯ β€ 9π
+ β πππππ‘π = 0
βπ3π + 1 β1
6(6 + π₯ β 8) +
1
6(π₯ β 8) = 0
π3π = 1 +1
6(β6 β π₯ + 8 + π₯ β 8) = 0
EcuaciΓ³n del trabajo virtual. Entonces la pendiente en π΄ es resultado de
1 β ππ΄ = β«πππ
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
1 β ππ΄ =1
πΈπΌβ« (β3π₯2 β 3π₯)(1) +
1
πΈπΌ
2
0
β« (1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9)
8
2
(β1
6π₯ +
4
3) ππ₯
+1
πΈπΌβ« (β3)(0)ππ₯
9
8
Resolviendo integrales por separado se tiene
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353
1
πΈπΌβ« (β3π₯2 β 3π₯)(1)
2
0
=1
πΈπΌβ« (β3π₯2 β 3π₯)ππ₯ =
1
πΈπΌ
2
0
[βπ₯3 β3
2π₯2]
0
2
=1
πΈπΌ[β(23 β 03) β
3
2(22 β 02)] = β
14
πΈπΌ
1
πΈπΌβ« (
1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9)
8
2
(β1
6π₯ +
4
3) ππ₯ =
1
πΈπΌβ« (β
1
216π₯4 +
7
36π₯3 β
71
36π₯2
8
2
+335
54π₯ +
1
27π₯3 β
14
9π₯2 +
142
9π₯ β
1340
27) ππ₯
=1
πΈπΌβ« (β
1
216π₯4 +
25
108π₯3 β
127
36π₯2 +
1187
54π₯ β
1340
27) ππ₯
8
2
=1
πΈπΌ[β
1
1080π₯5 +
25
432π₯4 β
127
108π₯3 +
1187
108π₯2 β
1340
27π₯]
2
8
=1
πΈπΌ[
β1
1080(85 β 25) +
25
432(84 β 24) β
127
108(83 β 23) +
1187
108(82 β 22) β
1340
27(8 β 2)]
=1
πΈπΌ (β
1364
45+
2125
9β
1778
3+
5935
9β
2680
9) = β
126
5πΈπΌ
1
πΈπΌβ« (β3)(0)ππ₯
9
8
= 0
ππ΄ = β14
πΈπΌβ
126
5πΈπΌ+ 0 = β
196
5πΈπΌ
Como la suma algebraica de todas integrales para toda la viga es negativa, ππ΄ tiene
un sentido opuesto al del momento de par unitario.
β΄ ππ΄ =196
5πΈπΌ
Recuerde que una pendiente con sentido antihorario es positiva de acuerdo a lo que
se establece en el mΓ©todo de integraciΓ³n doble; por tanto, la segunda condiciΓ³n de
frontera es 2) π1 =196
5πΈπΌ ππ π₯ = 0.
- CΓ‘lculo de πΏππ΄.
Momentos reales π΄. Las ecuaciones correspondientes ya han sido mostradas.
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
354
Momentos virtuales π. El desplazamiento vertical en π΄ se obtiene al colocar una
carga virtual unitaria en ese punto; su sentido se propone hacia abajo. Note que las
cargas reales son removidas y que debe usarse la misma coordenada π₯ de la
estructura real. DespuΓ©s de calcular las reacciones en los soportes, puede usarse
el mΓ©todo de las secciones para formular los momentos internos π.
+ β ππ΅ = 0 β β1(2) + 6(π πΆπ) = 0 ββ΄ π πΆπ =1
3
+β β πΉπ = 0 β β1 + π π΅π β1
3= 0 ββ΄ π π΅π =
4
3 +β β πΉπ = 0 β π π΅π = 0
Es necesario efectuar tres cortes en la viga anterior.
- SecciΓ³n cortada en el primer tramo.
0 β€ π₯ β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
βπ1 β 1(π₯) = 0 β π1 = βπ₯
- SecciΓ³n cortada en el segundo tramo.
2π β€ π₯ β€ 8π
+ β πππππ‘π = 0
βπ2 β 1(π₯) +4
3(π₯ β 2) = 0 β π2 =
1
3π₯ β
8
3
- SecciΓ³n cortada en el tercer tramo.
8π β€ π₯ β€ 9π
+ β πππππ‘π = 0
βπ3 β 1(π₯) +4
3(6 + (π₯ β 8)) β
1
3(π₯ β 8) = 0
π3 = βπ₯ β8
3+
4
3π₯ β
1
3π₯ +
8
3= 0
EcuaciΓ³n del trabajo virtual. Entonces el desplazamiento vertical de π΄ es
1
2π 6π 1 π
π΅ πΆ π΄ π·
π π΅π =4
3 π πΆπ =
1
3
π₯
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355
1 β πΏππ΄ = β«ππ
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
1 β πΏππ΄ =1
πΈπΌβ« (β3π₯2 β 3π₯)(βπ₯)ππ₯
2
0
+1
πΈπΌβ« (
1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9) (
1
3π₯ β
8
3) ππ₯ +
1
πΈπΌβ« (β3)(0)ππ₯
9
8
8
2
Resolviendo integrales por separado se tiene
1
πΈπΌβ« (β3π₯2 β 3π₯)(βπ₯)ππ₯ =
1
πΈπΌ
2
0
β« (3π₯3 + 3π₯2)ππ₯ =1
πΈπΌ
2
0
[3
4π₯4 + π₯3]
0
2
=1
πΈπΌ[(
3
4) (24 β 04) + (23 β 03)] =
20
πΈπΌ
1
πΈπΌβ« (
1
36π₯3 β
7
6π₯2 +
71
6π₯ β
335
9) (
1
3π₯ β
8
3) ππ₯
8
2
=1
πΈπΌβ« (
1
108π₯4 β
7
18π₯3 +
71
18π₯2 β
335
27π₯ β
8
2
2
27π₯3 +
28
9π₯2 β
284
9π₯ +
2680
27) ππ₯ =
1
πΈπΌβ« (
1
108π₯4 β
25
54π₯3 +
127
18π₯2 β
1187
27π₯ +
2680
27)
8
2
ππ₯
=1
πΈπΌ[
1
540π₯5 β
25
216π₯4 +
127
54π₯3 β
1187
54π₯2 +
2680
27π₯]
2
8
= [1
540(85 β 25) β
25
216(84 β 24) +
127
54(83 β 23) β
1187
54(82 β 22) +
2680
27(8 β 2)]
1
πΈπΌ[2728
45β
4250
9+
3556
3β
11870
9+
5360
9] =
252
5πΈπΌ
1
πΈπΌβ« (β3)(0)ππ₯
9
8
= 0
πΏππ΄ =20
πΈπΌ+
252
5πΈπΌ+ 0 =
352
5πΈπΌ
Dado que la suma algebraica de todas integrales para toda la viga es positiva, πΏππ΄
tiene el mismo sentido que la carga virtual unitaria.
β΄ πΏππ΄ =352
5πΈπΌβ
Tomando en cuenta que un desplazamiento hacia abajo es negativo de acuerdo a
lo que se establece en el mΓ©todo de integraciΓ³n doble, la primera condiciΓ³n de
frontera quedarΓa como:1)π¦ = β352
5πΈπΌ ππ π₯ = 0.
Sustituyendo la condiciΓ³n 2) en la ecuaciΓ³n β da
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
356
πΈπΌ (196
5πΈπΌ) = β(0)3 β
3
2(0)2 + πΆ1 ββ΄ πΆ1 =
196
5
Sustituyendo la condiciΓ³n 1) en la ecuaciΓ³n β‘ tenemos
πΈπΌ (β352
5πΈπΌ) = β
1
4(0)4 β
1
2(0)3 +
196
5(0) + πΆ2 ββ΄ πΆ2 =
β352
5
Aplicando la condiciΓ³n 3) se obtiene
βπ₯3 β3
2π₯2 + πΆ1 =
1
144π₯4 β
7
18π₯3 +
71
12π₯2 β
335
9π₯ + πΆ3, ππ π₯ = 2
β(2)3 β3
2(2)2 +
196
5=
1
144(2)4 β
7
18(2)3 +
71
12(2)2 β
335
9(2) + πΆ3
πΆ3 = β(24) (1
144) + (23) (β1 +
7
18) + (22) (β
3
2β
71
12) + (2) (
335
4) +
196
5ββ΄ πΆ3 =
3554
45
La aplicaciΓ³n de la condiciΓ³n 4) conlleva a
β1
4(π₯)4 β
1
2(π₯)3 + πΆ1(π₯) + πΆ2 =
1
720π₯5 β
7
72π₯4 +
71
36π₯3 β
335
18π₯2 + πΆ3π₯ + πΆ4, ππ π₯ = 2π
β1
4(24) β
1
2(23) + (
196
5) (2) β
352
5= (
1
720) (2)5 β (
7
72) (2)4 + (
71
36) (2)3
β (335
18) (2)2 + (
3554
45) (2) + πΆ4 ββ΄ πΆ4 = β
880
9
Haciendo uso de la condiciΓ³n 5) se deduce que
1
144π₯4 β
7
18π₯3 +
71
12π₯2 β
335
9π₯ + πΆ3 = β3π₯ + πΆ5, ππ π₯ = 8π
(1
144) (8)4 β (
7
18) (8)3 + (
71
12) (8)2 β (
335
9) (8) +
3554
45= β3(8) + πΆ5 ββ΄ πΆ5 =
66
5
Aplicando la cuarta condiciΓ³n de continuidad
1
720π₯5 β
7
72π₯4 +
71
36π₯3 β
335
18π₯2 + πΆ3π₯ + πΆ4 = β
3
2π₯2 + πΆ5π₯ + πΆ6, ππ π₯ = 8π
(1
720) (8)5 β (
7
72) (8)4 + (
71
36) (8)3 β (
335
18) (8)2 + (
3554
45) (8) β
880
9
= (β3
2) (8)2 +
66
5(8) + πΆ6 ββ΄ πΆ6 = β
48
5
En consecuencia, las ecuaciones de la pendiente y la deflexiΓ³n de manera
respectiva en cada tramo son
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357
0 β€ π₯ β€ 2π
πΈπΌπ1 = βπ₯3 β3
2π₯2 +
196
5
πΈπΌπ¦1 = β1
4π₯4 β
1
2π₯3 +
196
5π₯ β
352
5
2π β€ π₯ β€ 8π
πΈπΌπ2 = β1
144π₯4 β
7
18π₯3 +
71
12π₯2 β
335
9π₯ +
3554
45
πΈπΌπ¦2 =1
720π₯5 β
7
72π₯4 +
71
36π₯3 β
335
18π₯2 +
3554
45π₯ β
880
9
8π β€ π₯ β€ 9π
πΈπΌπ3 = β3π₯ +66
5
πΈπΌπ¦3 = β3
2π₯2 +
66
5π₯ β
48
5
CΓ‘lculo de la flecha mΓ‘xima de cada tramo.
0 β€ π₯ β€ 2π
π1 = 0 = βπ₯3 β3
2π₯2 +
196
5
Usando la tΓ©cnica de la divisiΓ³n sintΓ©tica hallamos una raΓz.
β1 β
3
2 0
196
5
2.9635 β β2.9635 β13.2276 β39.2
β1 β4.4635 β13.2276 0
(π₯ β 2.9635)(βπ₯2 β 4.4635π₯ β 13.2276) = 0
π₯1 β 2.9635
Las raΓces restantes se pueden calcular con la fΓ³rmula general.
βπ₯2 β 4.4635π₯ β 13.2276 = 0
π₯ =β(β4.4635) Β± β(β4.4635)2 β 4(β1)(β13.2276)
2(β1)
π₯1 =4.4635 β ββ32.9882
β2= β2.23175 β 2.87174πΎ
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
358
π₯2 =4.4635 + ββ32.9882
β2= β2.23175 + 2.87174πΎ
ObsΓ©rvese que de las tres soluciones anteriores ninguna pertenece al intervalo de
distancia analizado de la viga [0,2π], por lo que la flecha mΓ‘xima estΓ‘ ubicada en
el extremo donde no estΓ‘ el apoyo; β΄ π₯ πππ₯1 = 0.
πΈπΌπ¦πππ₯1 = β1
4(0)4 β
1
2(0)2 +
196
5(0) β
352
5β π¦πππ₯1 = β
352
5πΈπΌ=
β70.4
πΈπΌββ΄ π¦πππ₯1 =
70.4
πΈπΌβ
2π β€ π₯ β€ 8π
π2 = 0 =1
144π₯4 β
7
18π₯3 +
71
12π₯2 β
335
9π₯ +
3554
45
1
144 β
7
18
71
12 β
335
9
3554
45
4.26119 0.02959 β1.53103 18.68801 β78.97778
1
144 β0.35930 4.38563 β18.53421 β 0
(π₯ β 4.26119) (1
144π₯3 β 0.35930π₯2 + 4.38563π₯ β 18.53421) = 0
π₯1 β 4.26119
1
144 β0.35930 4.38563 β18.53421
36.4053 0.25281 β3.876633 18.53
1
144 β0.106485 0.50900 β 0
(π₯ β 36.4053) (1
144π₯2 β 0.106485π₯ + 0.50900) = 0
π₯2 β 36.4053
1
144π₯2 β 0.106485π₯ + 0.50900 = 0
π₯3 β 7.66660 + 3.8122πΎ π₯4 β 7.66660 β 3.8122πΎ
Note que de las cuatros soluciones anteriores, la ΓΊnica que estΓ‘ dentro del
intervalo de distancia analizado de la viga [2π, 8π] es π₯1.
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359
β΄ π₯πππ₯2 = 4.26119 π
πΈπΌπ¦πππ₯2 = (1
720) (4.26119)5 β (
7
72) (4.26119)4 + (
71
36) (4.26119)3 β (
335
18) (4.26119)2
+ (3554
45) (4.26119) β (
880
9) β π¦max2 β
23.32049531
πΈπΌββ΄ π¦max2
23.32049531
πΈπΌβ
8π β€ π₯ β€ 9π
π3 = 0 = β3π₯ +66
5βΉ π₯ =
6653
= 4.4
Como π₯ estΓ‘ fuera del intervalo del intervalo de distancia analizado de la viga
[8π, 9π], se concluye que π₯3max = 9π.
πΈπΌπ¦πππ₯3 = (β3
2) (9)2 + (
66
5) (9) β
48
5β π¦πππ₯3 = β
12.3
πΈπΌββ΄ π¦πππ₯3 =
12.3
πΈπΌβ
Diagramas de fuerza cortante, momento flector, rotaciΓ³n y
deflexiΓ³n (curva elΓ‘stica)
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
360
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361
1.- Calcule las reacciones en los soportes del siguiente marco triarticulado. Deducir
las funciones de fuerza cortante, fuerza normal y momento flector para los tres
miembros utilizando las coordenadas π₯ mostradas.
SOLUCIΓN.
VerificaciΓ³n del grado de indeterminaciΓ³n. El marco es isostΓ‘tico ya que se
cumple la condiciΓ³n π + 3π = 3π + π, puesto que: π vale tres porque la estructura
tiene tres miembros (π΄ β πΆ; πΆ β πΉ; πΊ β πΉ), π = 4 debido a que en cada apoyo
articulado hay dos incΓ³gnitas de reacciΓ³n (una horizontal y una vertical), π = 4 ya
que hay cuatro nodos (π΄; πΆ; πΉ; πΊ), y π vale uno por haber una ecuaciΓ³n de condiciΓ³n,
la que indica que para el punto πΈ, al situarse una articulaciΓ³n, el momento
flexionante es nulo.
CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes.
Diagrama de cargas. Es mostrado en la siguiente pΓ‘gina. Se han establecido los
ejes coordenados π y π mΓ‘s convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio
en la estructura. Para cada presiΓ³n debe calcularse su Γ‘rea bajo la recta, es decir,
la carga concentrada equivalente (fuerza resultante) y su correspondiente centroide
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
362
de Γ‘rea (punto de aplicaciΓ³n). Por otra parte, se identifican las fuerzas reactivas en
los soportes suponiendo sus respectivos sentidos arbitrariamente.
AnΓ‘lisis de las presiones.
- Carga triangular del tramo π΄ β π΅.
π΄1 =(4) (
110 π)
2=
1
5π; οΏ½Μ οΏ½1 =
2
3(4π) =
8
3π ππππππ ππ π΅ π ππππ ππ πππππππ π΄ β πΆ.
- Carga triangular del tramo π΅ β πΆ.
π΄2 =(
πΏ2) (3)
2=
3
4πΏ; οΏ½Μ οΏ½2 =
1
3(
πΏ
2) =
1
6πΏ ππππππ ππ πΆ π ππππ ππ πππππππ π΄ β πΆ
- Carga uniformemente repartida.
π΄3 = ππΏ; οΏ½Μ οΏ½2 =πΏ
2 π ππ πππππβπ ππ πΈ π ππππ ππ πππππππ πΆ β πΉ.
- Carga trapezoidal distribuida.
Rotamos la presiΓ³n para mayor facilidad;
conviene subdividirla en dos partes tal y
como se muestra en la figura.
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363
π΄πΌ = (πΏ
2) (2) = πΏ π΄πΌπΌ =
(πΏ2) (
12 π)
2=
1
8ππΏ
οΏ½Μ οΏ½πΌ = (1
2) (
πΏ
2) =
πΏ
4 οΏ½Μ οΏ½πΌπΌ = (
2
3) (
πΏ
2) =
πΏ
3
οΏ½Μ οΏ½πΌπ΄πΌ = (πΏ
4) (πΏ) =
1
4πΏ2 οΏ½Μ οΏ½πΌπΌπ΄πΌπΌ = (
πΏ
3) (
1
8ππΏ) =
1
24ππΏ2
Los resultados obtenidos pueden visualizarse en la siguiente tabla:
Componente π΄ οΏ½Μ οΏ½ οΏ½Μ οΏ½π΄
πΌ = rectΓ‘ngulo πΏ πΏ
4
1
4πΏ2
πΌπΌ = triΓ‘ngulo 1
8ππΏ
πΏ
3
1
24ππΏ2
β = πΏ +1
8ππΏ
1
4πΏ2 +
1
24ππΏ2
β΄ π΄4 = β π΄ = L +1
8ππΏ
β΄ οΏ½Μ οΏ½4 =β οΏ½Μ οΏ½π΄
β π΄=
14 πΏ2 +
124 ππΏ2
L +18 ππΏ
ππππππ ππ πΉ π ππππ ππ πππππππ πΊ β πΉ.
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para obtener los
valores de las reacciones en los apoyos.
Planteamos una ecuaciΓ³n de condiciΓ³n tomando momentos con respecto a πΈ sΓ³lo
para la parte izquierda del marco.
+ β ππΈππ§ππ’πππππ = 0 β βπ π΄π (4 +πΏ
2) + (
1
5π) (
πΏ
2+
8
3) + π π΄π(7) β (
3
4πΏ) (
1
6πΏ) + 1 = 0
βπ π΄π (4 +πΏ
2) + (
1
5π) (
πΏ
2+
8
3) + π π΄π(7) β (
3
4πΏ) (
1
6πΏ) + 1 = 0
βπ π΄π (4 +πΏ
2) +
1
10ππΏ +
8
15π + 7π π΄π β
1
8πΏ2 + 1 = 0
7π π΄π β (4 +πΏ
2) π π΄π =
1
8πΏ2 β
1
10ππΏ β
8
15π β 1 β β β (1)
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
364
Tomando momentos alrededor de πΈ sΓ³lo para la parte derecha del marco tenemos
+ β ππΈπππππβπ = 0 β (ππΏ) (πΏ
2) + (πΏ +
1
8ππΏ) (
πΏ2
4 +1
24 ππΏ2
πΏ +18
ππΏ) β π πΊπ (
πΏ
2) β π πΊπ(πΏ) = 0
1
2ππΏ2 +
πΏ2
4+
1
24ππΏ2 β π πΊπ (
πΏ
2) β π πΊπ(πΏ) = 0 β βπΏ (
1
2π πΊπ + π πΊπ) = πΏ (β
13
24ππΏ β
πΏ
4)
1
2π πΊπ + π πΊπ =
13
24ππΏ +
πΏ
4 β β β (2)
De la sumatoria de fuerzas en la direcciΓ³n π igual a cero es posible obtener una
relaciΓ³n entre las reacciones π πΊπ y π π΄π.
+β β πΉπ = 0 β β1
5π +
3
4πΏ + 10 β (L +
1
8ππΏ) + π πΊπ + π π΄π = 0
π πΊπ + π π΄π =1
8ππΏ +
1
5π β 10 +
1
4πΏ β β β (3)
La ecuaciΓ³n de equilibrio restante permite obtener una relaciΓ³n entre las
reacciones π π΄π y π πΊπ.
+β β πΉπ = 0 β π π΄π β ππΏ + π πΊπ = 0 β π π΄π + π πΊπ = ππΏ β β β (4)
Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incΓ³gnitas usando el
mΓ©todo de sustituciΓ³n e igualaciΓ³n.
Despejando π πΊπ de (2)y (3) respectivamente, se tiene
π πΊπ =13
12ππΏ +
πΏ
2β 2π πΊπ β β β (5)
π πΊπ =1
8ππΏ +
1
5π β 10 +
1
4πΏ β π π΄π β β β (6)
Igualando (5) con (6) da
13
12ππΏ +
πΏ
2β 2π πΊπ =
1
8ππΏ +
1
5π β 10 +
1
4πΏ β π π΄π β β β (7)
Despejando π πΊπ de (7) tenemos
π πΊπ =23
48ππΏ β
1
10π + 5 +
1
8πΏ +
1
2π π΄π β β β (8)
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365
La sustituciΓ³n de (8) en (4) conlleva a
π π΄π +23
48ππΏ β
1
10π + 5 +
1
8πΏ +
1
2π π΄π = ππΏ β β β (9)
Despejando π π΄π de (1) se tiene
π π΄π =1
56πΏ2 β
1
70ππΏ β
8
105π β
1
7+ (
4
7+
πΏ
14) π π΄π β β β (10)
El valor de π π΄π se obtiene de sustituir (10) en (9).
1
56πΏ2 β
1
70ππΏ β
8
105π β
1
7+ (
4
7+
πΏ
14) π π΄π +
23
48ππΏ β
1
10π + 5 +
1
8πΏ +
1
2π π΄π β ππΏ = 0
π π΄π (15
14+
πΏ
14) = β
1
56πΏ2 +
899
1680ππΏ +
37
210π β
34
7β
1
8πΏ
π π΄π =β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15) β β β (11)
Es posible determinar el valor de π π΄π si sustituimos (11) en (10).
π π΄π =1
56πΏ2 β
1
70ππΏ β
8
105π β
1
7+ (
4
7+
πΏ
14) (
β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15))
π π΄π =13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48 β β β (12)
Despejando π πΊπ de (4) se tiene
π πΊπ = ππΏ β π π΄π β β β (13)
El valor de π πΊπ se calcula sustituyendo (12) en (13).
π πΊπ = ππΏ β (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48)
π πΊπ = β13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
23πΏπ
48+
175π + 288
48 β β β (14)
Despejando π πΊπ de (2) da
π πΊπ =13
12ππΏ +
1
2πΏ β 2π πΊπ β β β (15)
Para conocer el valor de π πΊπ sustituimos (14) en (15).
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
366
π πΊπ =13
12ππΏ +
1
2πΏ β 2 (β
13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
23πΏπ
48+
175π + 288
48)
π πΊπ =13189π + 11760
120(πΏ + 15)+ πΏ (
π
8+
1
2) β
175π + 288
24 β β β (16)
Como comprobaciΓ³n de los resultados, debe cumplirse que la suma de momentos
con respecto al punto π΄ para todo el marco es nula.
+ β ππ΄ = 0
β [4 (
110 π)
2] (
1
3(4)) + [
(πΏ2) (3)
2] (4 +
2
3(
πΏ
2)) + 10 (
πΏ
2+ 4) + 1 + (π)(πΏ) (7 +
πΏ
2) β
(πΏ +1
8ππΏ) [(
πΏ
2β
πΏ2
4 +1
24 ππΏ2
πΏ +18
ππΏ) + 4] + (
13189π + 11760
120(πΏ + 15)+ πΏ (
π
8+
1
2) β
175π + 288
24)
(4) β (β13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
23πΏπ
48+
175π + 288
48) (7 + πΏ)
= β4
15π + 3πΏ +
1
4πΏ2 + 5πΏ + 40 + 1 + 7ππΏ +
1
2ππΏ2 β
πΏ2
2β
1
16ππΏ2 +
πΏ2
4+
1
24ππΏ2
β4πΏ β1
2ππΏ β
23
48ππΏ2 β
13
2ππΏ β 4πΏ +
4
15π β 41 = 0 ππΎ
Funciones de fuerza cortante, fuerza normal y momento flector.
Una vez que se han calculado las fuerzas reactivas en los soportes, pueden
determinarse expresiones algebraicas que describan la variaciΓ³n de los elementos
mecΓ‘nicos; para ello es necesario efectuar cortes en cada miembro de la estructura.
En el diagrama de cuerpo libre para un segmento de la estructura, π, π y π aparecen
actuando en sus direcciones positivas de acuerdo a la convenciΓ³n de signos mΓ‘s
usual y sus funciones se obtienen aplicando las ecuaciones de equilibrio.
MIEMBRO π΄ β πΆ.
La distribuciΓ³n de la carga que estΓ‘ aplicada sobre este miembro presenta una
discontinuidad en el punto π΅; en consecuencia, es necesario efectuar dos cortes
perpendiculares a su eje, uno en el tramo π΄ β π΅ y otro en el tramo π΅ β πΆ.Desde el
inicio del problema se ha especificado una coordenada π₯ con origen asociado en π΄,
etiquetada como π₯1.
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367
Corte en el tramo π΄ β π΅. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio
en el segmento π΄ β π΅) a una distancia π₯1 de π΄; se representa el diagrama de cuerpo
libre de la porciΓ³n de la estructura ubicada por debajo del corte para definir las
acciones internas. A la derecha del diagrama se muestra un esquema para
determinar, por trigonometrΓa, el valor en funciΓ³n de π₯1 de la intensidad π1.
110 π
4=
π1
4 β π₯1β π1 =
110 π(4 β π₯1)
4=
1
40(4π β ππ₯1) =
1
10π β
1
40ππ₯1
Previo a la aplicaciΓ³n de las ecuaciones de equilibrio, debe calcularse el Γ‘rea y su
centroide de la carga trapezoidal distribuida del corte.
Rotamos la presiΓ³n para mayor facilidad; conviene subdividirla en dos partes tal y
como se muestra en la figura.
π΄1Β΄ = (π₯1) (1
10π β
1
40ππ₯1) =
1
10ππ₯1 β
1
40ππ₯1
2 π΄2Β΄ =(π₯1) (
140 ππ₯1)
2=
1
80ππ₯1
2
β΄ π΄1π = β π΄ =1
10ππ₯1 β
1
80ππ₯1
2
οΏ½Μ οΏ½1Β΄π΄1Β΄ = (1
2π₯1) (
1
10ππ₯1 β
1
40ππ₯1
2) =1
20ππ₯1
2 β1
80ππ₯1
3
1
10π
π1
π΄ π΅ ππππ‘π
4π
π₯1 4π β π₯1
0 β€ π₯1 β€ 4π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
368
οΏ½Μ οΏ½2Β΄π΄2Β΄ = (2
3π₯1) (
1
80ππ₯1
2) =1
120ππ₯1
3 β οΏ½Μ οΏ½π΄ =1
20ππ₯1
2 β1
240ππ₯1
3
β΄ οΏ½Μ οΏ½1π =β οΏ½Μ οΏ½π΄
β π΄=
120 ππ₯1
2 β1
240 ππ₯13
1
10 ππ₯1 β1
80 ππ₯12
ππππππ πππ ππππ‘π π ππππ ππ πππππππ ππππππ§πππ,
πππππ οΏ½Μ οΏ½1π < π₯1.
+ β πππππ‘π = 0 β βπ1 β (β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15)) (π₯1)
+ (1
10ππ₯1 β
1
80ππ₯1
2) (
120 ππ₯1
2 β1
240 ππ₯13
1
10 ππ₯1 β1
80 ππ₯12
) = 0
π1 = β1
240ππ₯1
3 +1
20ππ₯1
2 + (30πΏ2 + πΏ(210 β 899π) β 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15)) (π₯1)
π1 =ππ1
ππ₯1= β
1
80ππ₯1
2 +1
10ππ₯1 + (
30πΏ2 + πΏ(210 β 899π) β 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15))
+β β πΉπ = 0 β π1 = β (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48)
Corte en el tramo π΅ β πΆ. Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente
al segmento de la estructura que se produce al cortarla en algΓΊn sitio intermedio del
tramo π΅ β πΆ. A la derecha se muestra un esquema para determinar el valor en
funciΓ³n de π₯1 de la intensidad π2.
3π/π
π2
πΆ π΅ ππππ‘π
πΏ/2
π₯1 β 4π
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369
3
πΏ2
=π2
π₯1 β 4β π2 =
3(π₯1 β 4)
πΏ2
=3π₯1
πΏ2
β12
πΏ2
=6π₯1
πΏβ
24
πΏ
La fuerza resultante de la carga triangular seccionada es
π΄2π =(π₯1 β 4) (
6π₯1πΏ β
24πΏ )
2
y el centroide de su Γ‘rea a travΓ©s del cual actΓΊa es
οΏ½Μ οΏ½2π =1
3(π₯1 β 4) ππππππ πππ ππππ‘π, π ππππ ππ πππππππ ππππππ§πππ.
+ β πππππ‘π = 0 β βπ2 β (β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15)) (π₯1)
+ (1
5π) (π₯1 β
4
3) β (
(π₯1 β 4) (6π₯1
πΏβ
24πΏ
)
2) (
1
3(π₯1 β 4)) = 0
π2 = β1
πΏπ₯1
3 +12
πΏπ₯1
2 + (30πΏ3 + 35πΏ2(6 β 25π) + 32πΏ(2π + 75) β 86400
120πΏ(πΏ + 15)) (π₯1)
β4(πΏπ β 240)
15πΏ
π2 =ππ2
ππ₯1= β
3
πΏπ₯1
2 +24
πΏπ₯1 +
30πΏ3 + 35πΏ2(6 β 25π) + 32πΏ(2π + 75) β 86400
120πΏ(πΏ + 15)
+β β πΉπ = 0 β π2 = β (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48)
MIEMBRO πΆ β πΉ.
El momento de par aplicado en π· provocarΓ‘ que la funciΓ³n de momento interno sea
discontinua en ese punto; por otra parte, en πΈ la carga distribuida presenta una
discontinuidad; por tanto, deben realizarse tres cortes perpendiculares al eje de Γ©ste
miembro, uno en el tramo πΆ β π· , otro en el tramo π· β πΈ y finalmente uno en el
tramo πΈ β πΉ, todos considerando como origen del sistema coordenado al punto πΆ
de acuerdo a las instrucciones.
Corte en el tramo πΆ β π·. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio
en el segmento πΆ β π·) a una distancia π₯2 del punto πΆ; se representa el diagrama de
cuerpo libre de la porciΓ³n izquierda del corte.
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
370
0 β€ π₯2 β€ 3π
+ β πππππ‘π = 0
βπ3 β (β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15)) (4 +
πΏ
2) + (
1
5π) (
πΏ
2+
8
3) β (
3
4πΏ) (
πΏ
6)
+ (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48) (π₯2) = 0
π3 = (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48) (π₯2)
β875πΏ2π + 40πΏ(175π β 246) + 64(7π β 1020)
240(πΏ + 15)
π3 =ππ3
ππ₯2=
13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48
+β β πΉπ = 0 β π3 = β (β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15)β
1
5π +
3
4πΏ + 10)
π3 =13189π + 11760
120(πΏ + 15)β
πΏ
2β
175π + 288
24
Corte en el tramo π· β πΈ. Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente
al segmento izquierdo de la estructura que se produce al cortarla en algΓΊn sitio
intermedio del tramo π· β πΈ.
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371
3π β€ π₯2 β€ 7π
+ β πππππ‘π = 0
βπ3 β (β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15)) (4 +
πΏ
2) + (
1
5π) (
πΏ
2+
8
3) β (
3
4πΏ) (
πΏ
6)
+ (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48) (π₯2) + 1 = 0
π4 = (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25ππΏ
48β
175π + 288
48) (π₯2) β
7(13189π + 11760)
240(πΏ + 15)
β175πΏπ
48+
7(175π + 288)
48
π4 =ππ4
ππ₯2=
13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48
+β β πΉπ = 0 β π4 =13189π + 11760
120(πΏ + 15)β
πΏ
2β
175π + 288
24
Corte en el tramo πΈ β πΉ. Se secciona al miembro πΆ β πΉ a una distancia arbitraria
medida desde el punto πΆ; el corte debe ser justo despuΓ©s de que la carga distribuida
uniformemente comience. El diagrama de cuerpo libre para la secciΓ³n cortada se
muestra en la siguiente pΓ‘gina.
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
372
7π β€ π₯2 β€ 7π + πΏ
La fuerza resultante de la carga uniformemente distribuida seccionada es
π΄3π = π(π₯2 β 7)
y el centroide de su Γ‘rea a travΓ©s del cual actΓΊa es
οΏ½Μ οΏ½3π = (π₯2 β 7
2) π ππ ππ§ππ’πππππ πππ ππππ‘π, π ππππ ππ πππππππ ππππππ§πππ.
+ β πππππ‘π = 0
βπ5 β (β30πΏ2 β πΏ(210 β 899π) + 8(37π β 1020)
120(πΏ + 15)) (4 +
πΏ
2) + (
1
5π) (
πΏ
2+
8
3) β (
3
4πΏ) (
πΏ
6)
+ (13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
25πΏπ
48β
175π + 288
48) (π₯2) + 1 β π(π₯2 β 7) (
π₯2 β 7
2) = 0
π5 = βπ
2π₯2
2 + (125πΏ2π + 40πΏ(67π β 36) + 16(1579π β 615)
240(πΏ + 15)) (π₯2)
β7(125πΏ2π + 80πΏ(23π β 18) + 8(1583π β 1230))
240(πΏ + 15)
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373
π5 =ππ5
ππ₯2= (
125πΏ2π + 40πΏ(67π β 36) + 16(1579π β 615)
240(πΏ + 15)) β ππ₯2
+β β πΉπ = 0 β π5 =13189π + 11760
120(πΏ + 15)β
πΏ
2β
175π + 288
24
MIEMBRO πΊ β πΉ.
La distribuciΓ³n de la carga que se extiende sobre este miembro no presenta
discontinuidad, asΓ que sΓ³lo es necesario efectuar un sΓ³lo corte perpendicular al eje
del miembro; el origen de la coordenada π₯ a utilizar, etiquetada como π₯3, se asocia
al punto πΉ. A continuaciΓ³n se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento
de estructura con longitud π₯3. A la derecha se muestra un esquema para determinar
el valor en funciΓ³n de π₯3 de la intensidad π3.
0 β€ π₯3 β€πΏ
2
12 π
πΏ2
=π
πΏ2 β π₯3
β π =(
12 π) (
πΏ2 β π₯3)
πΏ2
=π
2β
ππ₯3
πΏ β΄ π3 = 2 + π = 2 + (
π
2β
ππ₯3
πΏ)
Previo a la aplicaciΓ³n de las ecuaciones de equilibrio, es necesario calcular el Γ‘rea
y su centroide de la carga trapezoidal distribuida seccionada.
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
374
π΄1´´ = (π₯3) (2 + (π
2β
ππ₯3
πΏ)) = 2π₯3 +
π
2π₯3 β
π
πΏπ₯3
2 π΄2´´ =(π₯3) (
ππ₯3πΏ )
2=
π
2πΏπ₯3
2
β΄ π΄4π = β π΄ = 2π₯3 +π
2π₯3 β
π
2πΏπ₯3
2
οΏ½Μ οΏ½1´´π΄1´´ = (1
2π₯3) (2π₯3 +
π
2π₯3 β
π
πΏπ₯3
2) = π₯32 +
π
4π₯3
2 βπ
2πΏπ₯3
3
οΏ½Μ οΏ½2´´π΄2´´ = (2
3π₯3) (
π
2πΏπ₯3
2) =π
3πΏπ₯3
3 β οΏ½Μ οΏ½π΄ = π₯32 +
π
4π₯3
2 βπ
6πΏπ₯3
3
β΄ οΏ½Μ οΏ½4π =β οΏ½Μ οΏ½π΄
β π΄=
π₯32 +
π4 π₯3
2 βπ6πΏ π₯3
3
2π₯3 +π2 π₯3 β
π2πΏ π₯3
2ππππππ πππ ππππ‘π π ππππ ππ πππππππ ππππππ§πππ,
πππππ οΏ½Μ οΏ½4π < π₯3.
+ β πππππ‘π = 0
βπ6 β (13189π + 11760
120(πΏ + 15)+ πΏ (
π
8+
1
2) β
175π + 288
24) (π₯3)
+ (2π₯3 +π
2π₯3 β
π
2πΏπ₯3
2) (π₯3
2 +π4
π₯32 β
π6πΏ
π₯33
2π₯3 +π2 π₯3 β
π2πΏ π₯3
2) = 0
π6 = βπ
6πΏπ₯3
3 + (π
4+ 1) π₯3
2
β (15πΏ2(π + 4) β 10πΏ(65π + 54) + 16(4π β 615)
120(πΏ + 15)) (π₯3)
π6 =ππ6
ππ₯3= β
π
2πΏπ₯3
2 +(π + 4)
2π₯3
β15πΏ2(π + 4) β 10πΏ(65π + 54) + 16(4π β 615)
120(πΏ + 15)
+β β πΉπ = 0 β π6 = β (β13189π + 11760
240(πΏ + 15)+
23πΏπ
48+
175π + 288
48)
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
375
CAPΓTULO 3. ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTΓTICAS CON EL
MΓTODO DE FLEXIBILIDADES
3.1. MΓTODO DE FLEXIBILIDADES APLICADO A VIGAS ESTΓTICAMENTE
INDETERMINADAS
1.- Calcular las reacciones en los soportes de la viga que se muestra con el mΓ©todo
de flexibilidades. Dibujar los diagramas de momento, cortante, giro y flecha.
Datos:
-E (Maderas duras)=2.1*106 T/m2
-SecciΓ³n transversal cuadrada de 40cm por lado
SOLUCIΓN:
1.-CΓ‘lculo del grado de hiperestaticidad.
En primer lugar debe determinarse el grado de indeterminaciΓ³n de la viga real(ππ )
para saber cuΓ‘ntas restricciones hiperestΓ‘ticas eliminar; ese mismo nΓΊmero nos
indicarΓ‘ la cantidad de ecuaciones simultΓ‘neas a plantear para resolver el problema.
Hay π = 5 incΓ³gnitas de reacciΓ³n (π π΄π, π π΄π , ππ΄, π π΅π π¦ π πΆπ), ninguna condiciΓ³n
impuesta por la construcciΓ³n [π = 0] y sΓ³lo π = 3 ecuaciones de equilibrio
(β π = 0, β πΉπ = 0, β πΉπ = 0), asΓ que la estructura es hiperestΓ‘tica de segundo
grado ya que π > (π + π) puesto que 5 > (3 + 0) con una diferencia de 5 β 3 = 2.
2.- ElecciΓ³n de las Fuerzas redundantes.
Como la viga es indeterminada en grado dos, deben seleccionarse dos fuerzas
redundantes; nΓ³tese que de la suma de fuerzas en π directamente obtenemos
π π΄π = 0 ya que no hay cargas en tal direcciΓ³n. Ello indica que las 4 reacciones
restantes son elegibles para ser redundantes; en este caso hemos optado porque
las reacciones π π΅π y π πΆπ lo sean.
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
376
3.-Planteamiento de la estructura primaria.
Con esto podemos idealizar una nueva estructura llamada estructura primaria o
estructura isostΓ‘tica fundamental, la cual corresponde a la nomenclatura VIF 1 de
este problema; se trata de convertir la viga hiperestΓ‘tica (estructura real) en una
isostΓ‘tica y estable eliminando precisamente las reacciones redundantes que
elegimos. Es por ello que en VIF 1 ya no aparecen los apoyos simples (rodillos u
osciladores) π΅ y πΆ.
ObsΓ©rvese que la estructura primaria es una estructura liberada que soporta las
mismas cargas externas que la estΓ‘ticamente indeterminada.
4.-Principio de superposiciΓ³n.
AquΓ se esquematiza claramente que la estructura estΓ‘ticamente indeterminada
puede ser igual a la suma de una serie de estructuras estΓ‘ticamente determinadas;
dicha serie se compone de la estructura primaria y otro nΓΊmero de estructuras igual
al nΓΊmero de redundantes elegidas. Entonces, nuestra viga hiperestΓ‘tica es igual
a VIF 1 mΓ‘s otras dos vigas que aquΓ hemos etiquetado como VIF II y VIF III.
Estas estructuras subsecuentes a la estructura primaria deben tener la misma
geometrΓa e idΓ©nticas condiciones de apoyo que esta ΓΊltima pero ya no estΓ‘n
sometidas a las cargas externas originales ya que se les debe aplicar las fuerzas
redundantes π π΅π y π πΆπ, respectivamente. Puede verificarse en las figuras mostradas
mΓ‘s adelante que en las Vigas VIF II y VIF III las cargas reales han sido removidas
y al igual que VIF 1 estΓ‘n empotradas en π΄ con las mismas dimensiones.
De acuerdo a lo anterior, la viga real u original(ππ ) es igual a la suma de las
siguientes estructuras:
ππ = ππΌπΉ1 + ππΌπΉ πΌπΌ + ππΌπΉ πΌπΌπΌ
Estructura primariaβΉVIF 1(Estructura π)
π₯
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377
Estructura liberada con fuerza redundante π π΅π aplicadaβΉ ππΌπΉ πΌπΌ
para esta viga, el desplazamiento vertical en el punto π΅ es igual a
πΏππ΅ππΌπΉπΌπΌ = π π΅π(π11)
y el desplazamiento vertical en πΆ equivale a
πΏππΆππΌπΉπΌπΌ = π π΅π(π21)
Estructura liberada con fuerza redundante π πΆπ aplicadaβΉ ππΌπΉ πΌπΌπΌ
De manera anΓ‘loga, para la viga anterior πΏππ΅ππΌπΉπΌπΌπΌ = π πΆπ(π12) y πΏππΆ ππΌπΉπΌπΌπΌ = π πΆπ(π22).
5.- Planteamiento del sistema de ecuaciones de compatibilidad geomΓ©trica.
Para obtener ecuaciones adicionales que coadyuven a la soluciΓ³n del problema
hacemos uso del principio de superposiciΓ³n formulado anteriormente y tomamos en
cuenta la compatibilidad del desplazamiento vertical tanto en el soporte π΅ como en
el πΆ; por lo tanto, las ecuaciones de compatibilidad geomΓ©trica para la deflexiΓ³n en
π΅ y πΆ son, respectivamente
πΏππ΅ππΌπΉ1 + πΏππ΅ππΌπΉπΌπΌ + πΏππ΅ππΌπΉπΌπΌπΌ = πΏππ΅ππ β β β (1)
πΏππΆππΌπΉ1 + πΏππΆππΌπΉπΌπΌ + πΏππΆππΌπΉπΌπΌπΌ = πΏππΆππ β β β (2)
Como en la viga real(ππ ) los puntos π΅ y πΆ no experimentan desplazamiento vertical
debido a que las reacciones verticales de sus respectivos rodillos lo impiden, πΏππ΅ππ
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
378
y πΏππΆππ son nulos. Si hacemos las sustituciones correspondientes, el sistema de
ecuaciones de compatibilidad geomΓ©trica puede expresarse del siguiente modo
πΏππ΅ππΌπΉ1 + π11π π΅π + π12π πΆπ = 0 β β β (3)
πΏππΆ ππΌπΉ1 + π21π π΅π + π22π πΆπ = 0 β β β (4)
Cada desplazamiento del punto de aplicaciΓ³n de la acciΓ³n redundante π π en la
direcciΓ³n de Γ©sta, producido al actuar la carga original sobre la estructura primaria
serΓ‘ expresado como ππ. Estas deflexiones son las incompatibilidades geomΓ©tricas
porque en la viga original no hay deflexiones en estas secciones ya que los soportes
las restringen (impiden).
Los coeficientes de flexibilidad πππ anteriores conforman la matriz de flexibilidad de
la estructura y pueden calcularse fΓ‘cilmente si aplicamos una carga unitaria de
sentido arbitrario correspondiente a cada fuerza redundante en la estructura
liberada. A estas nuevas estructuras les llamaremos VIF 2 y VIF 3 y se muestran a
continuaciΓ³n.
Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en π΅ βΉVIF 2(Estructura π1)
En esta viga, los desplazamientos verticales en π΅ y πΆ tienen un valor de
πΏππ΅ππΌπΉ2 = π11 y πΏππΆππΌπΉ2 = π21 respectivamente.
Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en πΆ βΉVIF 3(Estructura π2)
De manera anΓ‘loga, para la viga anterior πΏππ΅ππΌπΉ3 = π12 y πΏππΆππΌπΉ3 = π22
π₯
π₯
C D
D B
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379
6.- CΓ‘lculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de ecuaciones de
compatibilidad.
En resumen, en las vigas VIF 1, VIF 2 y VIF 3 es necesario conocer el valor del
desplazamiento vertical en π΅ dado que π π΅π (fuerza reactiva vertical en el rodillo del
punto π΅) fue suprimida y tambiΓ©n el del desplazamiento vertical en πΆ debido a que
π πΆπ (fuerza reactiva vertical en el rodillo del punto πΆ) fue eliminada.
Los valores de los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera
de los mΓ©todos explicados en el tema 1.6 para vigas. En este ejemplo se utilizarΓ‘
el mΓ©todo del trabajo virtual (es lo mΓ‘s recomendable). Para su sencilla aplicaciΓ³n,
le hemos denominado estructura π a la primaria, estructura π1 a la liberada con
fuerza vertical unitaria aplicada en π΅ y estructura π2 a la liberada con fuerza vertical
unitaria aplicada en πΆ. Es importante recordar que las coordenadas π₯ a emplear en
los cortes tienen que ser iguales y las direcciones positivas de los momentos
tampoco deben cambiar entre las tres estructuras reciΓ©n mencionadas. En las
figuras correspondientes se puede observar que usaremos ΓΊnicamente la
coordenada π₯ vΓ‘lida para 0 β€ π₯ β€ 6π, pero el lector puede usar otra(s) que sea(n)
vΓ‘lida(s) para cubrir todas las regiones de la viga.
A continuaciΓ³n se muestra el orden en el que por conveniencia se calcularΓ‘n los
desplazamientos. La primera expresiΓ³n nos indica que π1 es el desplazamiento
vertical en el punto π΅ de la viga ππΌπΉ 1 y que se determinarΓ‘ aplicando la ecuaciΓ³n
del trabajo virtual la cual requiere de la combinaciΓ³n adecuada de los Momentos
internos π con los Momentos internos π1; las restantes usan la misma logΓstica.
π1 = πΏππ΅ππΌπΉ1 = β«ππ1
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
; π2 = πΏππΆ ππΌπΉ1 = β«ππ2
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
π11 = πΏππ΅ππΌπΉ2 = β«π1π1
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
; π21 = πΏππΆππΌπΉ2 = β«π1π2
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
π12 = πΏππ΅ππΌπΉ3 = β«π2π1
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
; π22 = πΏππΆππΌπΉ3 = β«π2π2
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
- AnΓ‘lisis de la estructura isostΓ‘tica VIF 1.
CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes.
+ β ππ΄ = 0
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
380
βππ΄ + (2)(2) (1
2(2)) + [
(4)(2)
2] (2 +
2
3(2)) + 5(6) = 0 βΉβ΄ ππ΄ =
142
3π. π
+β β πΉπ = 0
π π΄π β (2)(2) β(4)(2)
2β 5 = 0 βΉβ΄ π π΄π = 13π
+β β πΉπ = 0 ββ΄ π π΄π = 0
Momentos internos π.
0 β€ π₯ β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
π1 = β142
3+ 13π₯ β π₯2
2π β€ π₯ β€ 4π
4π/π
2π=
π11
π₯ β 2π
π11 = 2(π₯ β 2)
+ β πππππ‘π = 0
π2 = β142
3+ 13π₯ β (2)(2)(π₯ β 1) β [
(π₯ β 2)(2(π₯ β 2))
2] (
1
3(π₯ β 2))
π2 = β142
3+ 13π₯ β 4π₯ + 4 β
1
3(π₯ β 2)3 = β
1
3π₯3 + 2π₯2 + 5π₯ β
122
3
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381
4π β€ π₯ β€ 6π
+ β πππππ‘π = 0
π3 = β142
3+ 13π₯ β (2)(2)(π₯ β 1) β [
(4)(2)
2] (π₯ β (2 +
2
3(2)))
π3 = β142
3+ 13π₯ β 4π₯ + 4 β 4π₯ +
40
3= 5π₯ β 30
- AnΓ‘lisis de la estructura isostΓ‘tica VIF 2.
CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes.
+ β ππ΄ = 0 βΉ βππ΄ + 1(2) = 0 βΉβ΄ ππ΄ = 2
+β β πΉπ = 0 βΉ π π΄π β 1 = 0 βΉβ΄ π π΄π = 1
+β β πΉπ = 0 ββ΄ π π΄π = 0
Momentos internos π1.
0 β€ π₯ β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
π1 = β2 + 1(π₯) = β2 + π₯
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
382
2π β€ π₯ β€ 6π
+ β πππππ‘π = 0
π2 = β2 + +1(π₯) β 1(π₯ β 2)
π2 = 0
- AnΓ‘lisis de la estructura isostΓ‘tica VIF 3.
Calculo de las reacciones en los soportes.
+ β ππ΄ = 0 βΉ βππ΄ + 1(4) = 0 βΉβ΄ ππ΄ = 4
+β β πΉπ = 0 βΉ π π΄π β 1 = 0 βΉβ΄ π π΄π = 1
+β β πΉπ = 0 ββ΄ π π΄π = 0
Momentos internos π2.
0 β€ π₯ β€ 4π
+ β πππππ‘π = 0
π1 = β4 + π₯
4π β€ π₯ β€ 6π
+ β πππππ‘π = 0
π2 = β4 + π₯ β 1(π₯ β 4)
π2 = 0
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383
- CΓ‘lculo de las incompatibilidades geomΓ©tricas
π1 =1
πΈπΌβ« (β
142
3+ 13π₯ β π₯2) (β2 + π₯)ππ₯ +
2
0
1
πΈπΌβ« (β
1
3π₯3 + 2π₯2 + 5π₯ β
122
3) (0)ππ₯
4
2
+1
πΈπΌβ«(5π₯ β 30)(0)ππ₯
6
4
1
πΈπΌβ« (β
142
3+ 13π₯ β π₯2) (β2 + π₯)ππ₯ =
2
0
1
πΈπΌβ« (βπ₯3 + 15π₯2 β
220
3π₯ +
284
3) ππ₯
2
0
=1
πΈπΌ[β
π₯4
4+ 5π₯3 β
110
3π₯2 +
284
3π₯]
0
2
=1
πΈπΌ(
236
3)
π1 =1
πΈπΌ[236
3+ 0 + 0] =
1
πΈπΌ[236
3]
π2 =1
πΈπΌβ« (β
142
3+ 13π₯ β π₯2) (β4 + π₯)ππ₯ +
2
0
1
πΈπΌβ« (β
1
3π₯3 + 2π₯2 + 5π₯ β
122
3) (β4 + π₯)ππ₯
4
2
+1
πΈπΌβ«(5π₯ β 30)(0)ππ₯
6
4
1
πΈπΌβ« (β
142
3+ 13π₯ β π₯2) (β4 + π₯)ππ₯ =
2
0
1
πΈπΌβ« (βπ₯3 + 17π₯2 β
298
3π₯ +
568
3) ππ₯
2
0
=1
πΈπΌ[β
π₯4
4+
17
3π₯3 β
149
3π₯2 +
568
3π₯]
0
2
=1
πΈπΌ(
664
3)
1
πΈπΌβ« (β
1
3π₯3 + 2π₯2 + 5π₯ β
122
3) (β4 + π₯)ππ₯ =
4
2
1
πΈπΌβ« (β
π₯4
3+
10
3π₯3 β 3π₯2 β
182
3π₯ +
448
3) ππ₯
4
2
=1
πΈπΌ[β
π₯5
15+
5π₯4
6β π₯3 β
91
3π₯2 +
488
3π₯]
2
4
=1
πΈπΌ(
196
5)
π2 =1
πΈπΌ[664
3+
196
5+ 0] =
1
πΈπΌ[3908
15]
- CΓ‘lculo de los coeficientes de flexibilidad.
π11 =1
πΈπΌβ«(β2 + π₯)2ππ₯ +
2
0
1
πΈπΌβ«(0)2ππ₯
6
2
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
384
1
πΈπΌβ«(β2 + π₯)2ππ₯ =
2
0
1
πΈπΌβ«(π₯2 β 4π₯ + 4)ππ₯ =
1
πΈπΌ
2
0
[π₯3
3β 2π₯2 + 4π₯]
0
2
=1
πΈπΌ[8
3]
π11 =1
πΈπΌ[8
3+ 0] =
1
πΈπΌ[8
3]
π21 =1
πΈπΌβ«(β2 + π₯)(β4 + π₯)ππ₯ +
2
0
1
πΈπΌβ«(0)(β4 + π₯)ππ₯ +
4
2
1
πΈπΌβ«(0)(0)ππ₯
6
4
1
πΈπΌβ«(β2 + π₯)(β4 + π₯)ππ₯
2
0
=1
πΈπΌβ«(π₯2 β 6π₯ + 8)ππ₯
2
0
=1
πΈπΌ[π₯3
3β 3π₯2 + 8π₯]
0
2
=1
πΈπΌ[20
3]
π21 =1
πΈπΌ[20
3+ 0 + 0] =
1
πΈπΌ[20
3]
Como consecuencia del teorema de Maxwell se cumple que π12 = π21
β΄ π12 =1
πΈπΌ[20
3]
π22 =1
πΈπΌβ«(β4 + π₯)2ππ₯ +
4
0
1
πΈπΌβ«(0)2ππ₯
6
4
1
πΈπΌβ«(β4 + π₯)2ππ₯ =
4
0
1
πΈπΌβ«(π₯2 β 8π₯ + 16)ππ₯ =
1
πΈπΌ
4
0
[π₯3
3β 4π₯2 + 16π₯]
0
4
=1
πΈπΌ[64
3]
π22 =1
πΈπΌ[64
3+ 0] =
1
πΈπΌ[64
3]
7.- CΓ‘lculo de las fuerzas correctivas o redundantes.
Finalmente, las ecuaciones de compatibilidad son:
π1 + π11π π΅π + π12π πΆπ = 0 β β β (5)
π2 + π21π π΅π + π22π πΆπ = 0 β β β (6)
expresando matricialmente al sistema tenemos
(00
) = (π1
π2) + (
π11 π12
π21 π22) (
π π΅π
π πΆπ)
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385
despejando las incΓ³gnitas
(π11 π12
π21 π22)
β1
β (βπ1
βπ2) = (
π π΅π
π πΆπ)
sustituyendo y simplificando(los πΈπΌ se eliminan lΓ³gicamente porque este valor es
constante en toda la viga y todos los desplazamientos estΓ‘n en funciΓ³n de ello).
(
8
3
20
320
3
64
3
)
β1
β (β
236
3
β3908
15
) = (π π΅π
π πΆπ)
πππ£πππ π [(
8
3
20
320
3
64
3
)] = (
12
7β
15
28
β15
28
3
14
)
(
8
3
20
31 0
20
3
64
30 1
) ~ (1
5
2
3
80
20
3
64
30 1
) ~ (1
5
2
3
80
014
3β
5
21
) ~
(38β )π 1 β(20
3β )π 1 + π 2
(1
5
2
3
80
0 1 β15
28
3
14
) ~ (1 0
12
7β
15
28
0 1 β15
28
3
14
)
(314β )π 2 β(5
2β )π 2 + π 1
en consecuencia
(
12
7β
15
28
β15
28
3
14
) β (β
236
3
β3908
15
) = (33
7β
β47935β
) = (π π΅π
π πΆπ)
los signos indican que
π π΅π = 337β π = 4.7143π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
386
π πΆπ = 47935β π = 13.6857π
esto debido a que si el valor numΓ©rico de una redundante es negativo, Γ©sta actΓΊa
en sentido opuesto a su fuerza unitaria correspondiente.
8.-Calculo de las reacciones restantes de la viga original o real:
Como las reacciones redundantes ya han sido calculadas, los valores de las
reacciones desconocidas faltantes pueden deducirse aplicando las ecuaciones de
equilibrio.
+β β πΉπ = 0
π π΄π β 4 β 4 β 5 β33
7+
479
35= 0
β΄ π π΄π =141
35π = 4.0286π
+ β ππ΄ = 0
βππ΄ + (4)(1) + (4) (10
3) + 5(6) + (
33
7) (2) β (
479
35) (4) = 0
ππ΄ =212
105π. π = 2.019 π. π
8.- Diagramas de Fuerza cortante, Momento flexionante, RotaciΓ³n y DeflexiΓ³n.
Ya que se han calculado todas las reacciones en los soportes se puede dibujar el
diagrama de fuerza cortante y momento flector. Como es vΓ‘lido aplicar cualquiera
de los mΓ©todos de deformaciones usados en las estructuras isostΓ‘ticas, usaremos
π₯
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387
el mΓ©todo de integraciΓ³n doble para poder trazar los diagramas de Giro y Flecha.
En la viga hiperestΓ‘tica, nuevamente se ocuparΓ‘ una sΓ³la coordenada π₯ vΓ‘lida para
0 β€ π₯ β€ 6π al realizar los cortes.
Ecuaciones de Momento y Fuerza cortante de la estructura real
0 β€ π₯ β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
π1 = β212
105+
141
35π₯ β π₯2
π₯ = 2π, π1 =214
105π. π
π1 =ππ1
ππ₯= β2π₯ +
141
35
2π β€ π₯ β€ 4π
+ β πππππ‘π = 0
π2 = β212
105+
141
35π₯ β (
33
7) (π₯ β 2) β 4(π₯ β 1) β [
(π₯ β 2)(2(π₯ β 2))
2] (
1
3(π₯ β 2))
π2 = β1
3(π₯ β 2)3 β
164
35π₯ +
1198
105= β
1
3π₯3 + 2π₯2 β
304
35π₯ +
1478
105
π₯ = 2π, π2 =214
105π. π; π₯ = 4π, π2 = β10π. π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
388
π2 =ππ2
ππ₯= βπ₯2 + 4π₯ β
304
35
4π β€ π₯ β€ 6π
+ β πππππ‘π = 0
π3 = β212
105+
141
35π₯ β (
33
7) (π₯ β 2) + (
479
35) (π₯ β 4) β 4(π₯ β 1) β 4 (π₯ β
10
3)
π3 = 5π₯ β 30
π₯ = 4π, π3 = β10π. π
π3 =ππ3
ππ₯= 5
Calculo de la deflexiΓ³n y rotaciΓ³n a lo largo de la viga.
La ecuaciΓ³n diferencial de la elΓ‘stica es
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= π
y aplicando el mΓ©todo de doble integraciΓ³n tenemos
0 β€ π₯ β€ 2π
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= β
212
105+
141
35π₯ β π₯2
πΈπΌ β«π2π¦
ππ₯= β« (β
212
105+
141
35π₯ β π₯2) ππ₯
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389
πΈπΌππ¦
ππ₯= β
1
3π₯3 +
141
70π₯2 β
212
105π₯ + πΆ1
ππ¦
ππ₯= π
πΈπΌπ1 = β1
3π₯3 +
141
70π₯2 β
212
105π₯ + πΆ1 β β β (1)
πΈπΌ β« ππ¦ = β« (β1
3π₯3 +
141
70π₯2 β
212
105π₯ + πΆ1) ππ₯
πΈπΌπ¦1 = β1
12π₯4 +
47
70π₯3 β
106
105π₯2 + πΆ1π₯ + πΆ2 β β β (2)
2π β€ π₯ β€ 4π
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= β
1
3π₯3 + 2π₯2 β
304
35π₯ +
1478
105
πΈπΌ β«π2π¦
ππ₯= β« (β
1
3π₯3 + 2π₯2 β
304
35π₯ +
1478
105) ππ₯
πΈπΌπ2 = β1
12π₯4 +
2
3π₯3 β
152
35π₯2 +
1478
105π₯ + πΆ3 β β β (3)
πΈπΌ β« ππ¦ = β« (β1
12π₯4 +
2
3π₯3 β
152
35π₯2 +
1478
105π₯ + πΆ3) ππ₯
πΈπΌπ¦2 = β1
60π₯5 +
1
6π₯4 β
152
105π₯3 +
739
105π₯2 + πΆ3π₯ + πΆ4 β β β (4)
4π β€ π₯ β€ 6π
πΈπΌπ2π¦
ππ₯2= 5π₯ β 30
πΈπΌ β«π2π¦
ππ₯= β«(5π₯ β 30)ππ₯
πΈπΌπ3 =5
2π₯2 β 30π₯ + πΆ5 β β β (5)
πΈπΌ β« ππ¦ = β« (5
2π₯2 β 30π₯ + πΆ5) ππ₯
πΈπΌπ¦3 =5
6π₯3 β 15π₯2 + πΆ5π₯ + πΆ6 β β β (6)
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
390
Las constantes de integraciΓ³n se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones
lineales enumerado anteriormente; para ello necesitamos 6 condiciones.
Como el empotre en π΄ restringe (impide) la rotaciΓ³n y la deflexiΓ³n establecemos las
siguientes dos condiciones de frontera:
π¦ = 0 ππ π₯ = 0 y π = 0 ππ π₯ = 0.
Sustituyendo las condiciones anteriores en (1) y (2) respectivamente:
πΈπΌ(0) = β1
3β 03 +
141
70β 02 β
212
105β 0 + πΆ1
πΆ1 = 0
πΈπΌ(0) = β1
12β 04 +
47
70β 03 β
106
105β 02 + (0)(0) + πΆ2
πΆ2 = 0
Las otras cuatro constantes se pueden conocer a partir de establecer un mismo
nΓΊmero de ecuaciones de continuidad tal y como se efectΓΊa a continuaciΓ³n.
CondiciΓ³n de continuidad 1.
π1 = π2 ππ π₯ = 2π
β1
3β 23 +
141
70β 22 β
212
105β 2 = β
1
12β 24 +
2
3β 23 β
152
35β 22 +
1478
105β 2 + πΆ3
142
105=
1552
105+ πΆ3 β πΆ3 = β
94
7
CondiciΓ³n de continuidad 2.
π¦1 = π¦2 ππ π₯ = 2π
β1
12β 24 +
47
70β 23 β
106
105β 22 = β
1
60β 25 +
1
6β 24 β
152
105β 23 +
739
105β 22 β
94
7(2) + πΆ4
0 = β806
105+ πΆ4 β πΆ4 =
806
105
CondiciΓ³n de continuidad 3.
π2 = π3 ππ π₯ = 4π
= β1
12β 44 +
2
3β 43 β
152
35β 42 +
1478
105β 4 β
94
7=
5
2β 42 β 30(4) + πΆ5
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
391
β554
105= β80 + πΆ5 β πΆ5 =
7846
105
CondiciΓ³n de continuidad 4.
π¦2 = π¦3 ππ π₯ = 4π
β1
60β 45 +
1
6β 44 β
152
105β 43 +
739
105β 42 β
94
7(4) +
856
105=
5
6β 43 β 15 β 42 +
7846
105(4) + πΆ6
0 =3928
35+ πΆ6 β πΆ6 =
β3928
35
AdemΓ‘s:
πΈ = 2.1 β 106π
π2; πΌ =
π4
12=
0.44
12= 0.0021333π4
πΈπΌ = (2.1 β 106π
π2) (0.0021333π4) = 4480π β π2
Sustituyendo las constantes de integraciΓ³n en las ecuaciones enumeradas
podemos obtener las ecuaciones generales de giro y flecha:
0 β€ π₯ β€ 2π
π1 = (1
4480) (β
1
3π₯3 +
141
70π₯2 β
212
105π₯)
π¦1 = (1
4480) (β
1
12π₯4 +
47
70π₯3 β
106
105π₯2)
2π β€ π₯ β€ 4π
π2 = (1
4480) (β
1
12π₯4 +
2
3π₯3 β
152
35π₯2 +
1478
105π₯ β
94
7)
π¦2 = (1
4480) (β
1
60π₯5 +
1
6π₯4 β
152
105π₯3 +
739
105π₯2 β
94
7π₯ +
856
105)
4π β€ π₯ β€ 6π
π3 = (1
4480) (
5
2π₯2 β 30π₯ +
7846
105)
π¦3 = (1
4480) (
5
6π₯3 β 15π₯2 +
7846
105π₯ β
3928
35)
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
392
DIAGRAMA DE CORTANTE.
x (m) V (Ton)
0 4.02857143
0.5 3.02857143
1 2.02857143
1.5 1.02857143
2 0.02857143
2 -4.68571429
2.25 -4.74821429
2.5 -4.93571429
2.75 -5.24821429
3 -5.68571429
3.25 -6.24821429
3.5 -6.93571429
3.75 -7.74821429
4 -8.68571429
4 5
5 5
6 5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7
V (
Ton
)
x (m)
DIAGRAMA DE CORTANTE
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
393
DIAGRAMA DE MOMENTO.
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
0 1 2 3 4 5 6 7
M (
Ton
*m)
x (m)
DIAGRAMA DE MOMENTO
x (m) M (Ton*m)
0 -2.01904762
0.25 -1.07440476
0.5 -0.2547619
0.75 0.43988095
1 1.00952381
1.25 1.45416667
1.5 1.77380952
1.75 1.96845238
2 2.03809524
2 2.03809524
2.25 0.86145833
2.5 -0.34642857
2.75 -1.61681548
3 -2.98095238
3.25 -4.47008929
3.5 -6.11547619
3.75 -7.9483631
4 -10
4 -10
5 -5
6 0
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
394
DIAGRAMA DE GIRO.
x (m) ΞΈ (rad)
0 0
0.25 -8.5732E-05
0.5 -0.00012224
0.75 -0.00011649
1 -7.5468E-05
1.25 -6.145E-06
1.5 8.4503E-05
1.75 0.0001895
2 0.00030187
2 0.00030187
2.25 0.00038285
2.5 0.00039743
2.75 0.00034302
3 0.00021524
3.25 7.9989E-06
3.5 -0.00028656
3.75 -0.00067802
4 -0.00117772
4 -0.00117772
4.25 -0.00170088
4.5 -0.00215428
4.75 -0.00253793
5 -0.00285183
5.25 -0.00309597
5.5 -0.00327036
5.75 -0.00337499
6 -0.00340986
-0.004
-0.0035
-0.003
-0.0025
-0.002
-0.0015
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
0 1 2 3 4 5 6 7
ΞΈ (
rad
)
x (m)
DIAGRAMA DE GIRO O ROTACIΓN
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395
DIAGRAMA DE FLECHAMIENTO.
x (m) Y (m)
0 0
0.25 -1.18147E-05
0.5 -3.87636E-05
0.75 -6.94119E-05
1 -9.40689E-05
1.25 -0.000104787
1.5 -9.53643E-05
1.75 -6.13403E-05
2 0
2 0
2.25 8.69569E-05
2.5 0.000185896
2.75 0.000279929
3 0.000351297
3.25 0.000380933
3.5 0.000348025
3.75 0.000229583
4 0
4 0
4.25 -0.000361278
4.5 -0.000844627
4.75 -0.001432607
5 -0.002107781
5.25 -0.002852708
5.5 -0.003649952
5.75 -0.004482073
6 -0.005331633
-0.006
-0.005
-0.004
-0.003
-0.002
-0.001
0
0.001
0 1 2 3 4 5 6 7
Y (
m)
x (m)
DIAGRAMA DE FLECHAMIENTO
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
396
2.- Calcular las reacciones que en la viga del ejercicio anterior suponiendo que el
apoyo B sufre un asentamiento de 1.2 cm.
Se realizan los mismos pasos que en la viga con apoyos rΓgidos, pero se toman en
cuenta ciertas consideraciones.
El planteamiento matricial de las ecuaciones de compatibilidad geomΓ©trica para este
problema es el siguiente:
(0.012
0) = (
π1
π2) + (
π π΅π
π πΆπ) (
π11 π12
π21 π22)
Aunque el valor de πΈπΌ sea constante, a diferencia del problema pasado en el que
al simplificar el sistema desparecen los πΈπΌ, ahora debe incluirse necesariamente en
los cΓ‘lculos, pues el efecto de los asentamientos depende de la rigidez de las vigas;
mientras mΓ‘s rΓgidas, mayores serΓ‘n los momentos flexionantes debidos a los
asentamientos.
ObsΓ©rvese que en el sistema de ecuaciones, la deflexiΓ³n total en el apoyo simple π΅
no es nula, sino que es igual al valor de su asentamiento (0.012π); como las cargas
unitarias se propusieron hacia abajo (remΓtase al ejercicio anterior) un
desplazamiento en esa direcciΓ³n se considera positivo, de ahΓ que 0.012 aparezca
con ese signo.
Retomamos los desplazamientos del problema 1 de Γ©ste apartado, pero
sustituiremos πΈπΌ = 4480π. π2.
π1 =1
πΈπΌ[236
3] =
1
4480[236
3] = 0.01756π
π2 =1
πΈπΌ[3908
15] =
1
4480[3908
15] = 0.05815π
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397
π11 =1
πΈπΌ[8
3+ 0] =
1
πΈπΌ[8
3] =
1
4480[8
3] = 0.00060π
π21 =1
πΈπΌ[20
3+ 0 + 0] =
1
πΈπΌ[20
3] =
1
4480[20
3] = 0.00149π
π12 = π21 =1
πΈπΌ[20
3] =
1
4480[20
3] = 0.00149π
π22 =1
πΈπΌ[64
3+ 0] =
1
πΈπΌ[64
3] =
1
4480[64
3] = 0.00476π
Remplazando los valores anteriores en el planteamiento matricial obtenemos
(0.012
0) = (
0.01756
0.05815) + (
π π΅π
π πΆπ) (
0.00060 0.00149
0.00149 0.00476)
Despejando las incΓ³gnitas
(π π΅π
π πΆπ) = (
0.00060 0.00149
0.00149 0.00476)
β1
[(0.012
0) β (
0.01756
0.05815)] = (
94.6342β41.8393
)
El signo positivo obtenido para π π΅π indica que Γ©sta redundante tiene el mismo
sentido que el propuesto para su correspondiente carga unitaria. Lo contrario ocurre
con π πΆπ por haber resultado negativa.
β΄ π π΅π = 94.6342π
β΄ π πΆπ = 41.8393π
Las reacciones restantes se obtienen aplicando las ecuaciones de equilibrio:
+β β πΉπ = 0
π π΄π β 4 β 4 β 5 β 94.6342 + 41.8393 = 0
π π΄π = 65.7949π
+ β ππ΄ = 0
βππ΄ + (4)(1) + (4) (10
3) + 5(6) + (94.6342)(2) β (41.8393)(4) = 0
ππ΄ = 69.24453 π. π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
398
Diagrama en el que se visualizan las reacciones de la viga cuyo apoyo B sufre un
asentamiento de 1.2cm=0.012m.
ComprobaciΓ³n del equilibrio de la estructura:
+ β ππ· = 0
β69.24453 + 65.7949(6) β 4(5) β 94.6342(4) β 4 (2 +2
3) + 41.8393(2) = 0 ππ
π π΄π = 65.7949π
π π΅π = 94.6342π
π πΆπ = 41.8393π
ππ΄ = 69.24453 π. π
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399
3.2. MΓTODO DE FLEXIBILIDADES APLICADO A MARCOS ESTΓTICAMENTE
INDETERMINADOS
1.- Calcular las reacciones correspondientes a las cargas indicadas. πΈ e πΌ son
constantes.
SOLUCIΓN.
a) VerificaciΓ³n del grado de indeterminaciΓ³n.
Para el marco mostrado, el nΓΊmero de nodos es π = 3(π΄; π΅; πΆ) y no hay condiciones
impuestas por la construcciΓ³n, es decir π = 0.
La estructura estΓ‘ compuesta por la cantidad de π = 2(π΄π΅; πΆπ΅) miembros. Tanto
en el pasador (apoyo articulado) π΄ como en el π΅ hay dos incΓ³gnitas de reacciΓ³n,
una horizontal y una vertical, por lo que π = 4(π π΄π; π π΄π; π πΆπ; π πΆπ).
como 3π + π > 3π + π ya que 3(2) + 4 > 3(3) + 0 β 10 > 9 el marco es
estΓ‘ticamente indeterminado con un grado de 10 β 9 = 1.
b) ElecciΓ³n de la fuerza redundante y planteamiento de la estructura primaria.
Se optarΓ‘ porque π πΆπ sea la fuerza redundante. En consecuencia, en la estructura
primaria, el apoyo articulado (pasador) en πΆ se reemplaza por un apoyo simple
(rodillo u oscilador), puesto que Γ©ste ΓΊltimo soporte no restringirΓ‘ πΆ en la direcciΓ³n
horizontal ya que se estΓ‘ eliminando la reacciΓ³n redundante elegida. Esta nueva
21π
7π
8ππ‘
15ππ‘ 6ππ‘
3ππ‘ 7ππ‘
π΄ π΅
πΆ
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
400
estructura (MIF 1) es isostΓ‘tica, estable (de ningΓΊn modo debe ser inestable) y estΓ‘
sometida a las mismas cargas que la estΓ‘ticamente indeterminada (hiperestΓ‘tica).
c) Principio de superposiciΓ³n.
El marco real u original (ππ ) es equivalente a la suma de una serie de estructuras
isostΓ‘ticas conformada por la estructura primaria y otro nΓΊmero de estructuras igual
al nΓΊmero de redundantes elegidas. Entonces, el marco hiperestΓ‘tico de este
ejemplo es igual a MIF 1 mΓ‘s otro marco que aquΓ hemos etiquetado como MIF II.
La estructura primaria y su subsecuente (MIF II) deben tener entre sΓ la misma
geometrΓa e idΓ©nticas condiciones de apoyo con la diferencia de que la segunda en
lugar de estar sometida a las cargas externas originales, ΓΊnicamente soporta a la
redundante elegida (π πΆπ) de sentido arbitrario (en este caso se propone hacia la
izquierda). De acuerdo a lo anterior, el marco real u original(ππ ) es igual a la suma
de las siguientes estructuras:
ππ = ππΌπΉ 1 + ππΌπΉ πΌπΌ
Estructura primariaβΉMIF 1(Estructura π)
Este marco (MIF 1), contrariamente al marco original o real, experimenta un
desplazamiento horizontal en el punto πΆ (βπ»πΆππΌπΉ1= π1).
21π
7π
8ππ‘
15ππ‘ 6ππ‘
3ππ‘ 7ππ‘
π΄ π΅
πΆ
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
401
Estructura liberada con fuerza redundante π πΆπ aplicadaβΉ ππΌπΉ πΌπΌ
En Γ©ste marco, πΆ se desplaza horizontalmente una cantidad de
βπ»πΆππΌπΉπΌπΌ= π πΆπ(π11)
d) Planteamiento de la ecuaciΓ³n de compatibilidad geomΓ©trica.
Para obtener una ecuaciΓ³n adicional que haga posible la soluciΓ³n del problema
hacemos uso del principio de superposiciΓ³n formulado anteriormente y tomamos en
cuenta la compatibilidad del desplazamiento horizontal en el soporte articulado πΆ.
Por lo tanto, la ecuaciΓ³n de compatibilidad geomΓ©trica para el desplazamiento
horizontal en πΆ es
βπ»πΆππΌπΉ1 + βπ»πΆππΌπΉπΌπΌ= βπ»πΆππ β β β (1)
El lenguaje algebraico anterior se traduce al lenguaje cotidiano como: el
desplazamiento horizontal en el punto πΆ de la estructura MIF 1 mΓ‘s el
desplazamiento horizontal en el punto πΆ de la estructura MIF II es igual al
desplazamiento horizontal en el punto πΆ del marco real ππ .
ObsΓ©rvese que en el punto πΆ del marco real (ππ ) no se produce desplazamiento
horizontal alguno ya que la reacciΓ³n en esa direcciΓ³n del soporte articulado ahΓ
situado lo impide, asΓ que βπ»πΆππ es nulo. Efectuando las sustituciones
correspondientes, la ecuaciΓ³n (1) puede escribirse del siguiente modo
π1 + π11π πΆπ = 0 β β β (2)
8ππ‘
15ππ‘ 6ππ‘
π΄ π΅
πΆ π πΆπ
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
402
Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga horizontal en el punto
πΆ correspondiente a la fuerza redundante, el coeficiente de flexibilidad puede
obtenerse directamente al calcular el desplazamiento horizontal en ese mismo
punto por lo que βπ»πΆππΌπΉ2= π11.
Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en πΆ βΉMIF 2(Estructura π)
e) CΓ‘lculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de ecuaciones
de compatibilidad.
En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF 2 es necesario determinar el valor del
desplazamiento horizontal en πΆ ya que π πΆπ (fuerza reactiva horizontal en el pasador
del punto πΆ) fue suprimida en el marco hiperestΓ‘tico.
Los valores de los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera
de los mΓ©todos explicados en el tema 1.6 para marcos. En este ejemplo se utilizarΓ‘
el mΓ©todo del trabajo virtual, debido a que es lo mΓ‘s recomendable. Para su sencilla
aplicaciΓ³n, le hemos denominado estructura π a la primaria y estructura π a la
liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en πΆ. Es importante recordar que las
coordenadas π₯ a emplear en los cortes tienen que ser iguales y las direcciones
positivas de los momentos tampoco deben cambiar entre las dos estructuras reciΓ©n
mencionadas. La primera expresiΓ³n nos indica que π1 es el desplazamiento
horizontal en el punto πΆ del marco ππΌπΉ 1 y que se determinarΓ‘ aplicando la ecuaciΓ³n
del trabajo virtual la cual requiere de la combinaciΓ³n adecuada de los Momentos
internos π con los Momentos internos π; por su parte, la segunda expresiΓ³n nos
dice que π11 es el desplazamiento horizontal en el punto πΆ del marco ππΌπΉ 2 y que
se calcularΓ‘ utilizando la ecuaciΓ³n del trabajo virtual la cual necesita de la
combinaciΓ³n propia de los Momentos internos π con los Momentos internos π.
8ππ‘
15ππ‘ 6ππ‘
π΄ π΅
πΆ 1
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403
π1 = βπ»πΆππΌπΉ1= β«ππ
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
π11 = βπ»πΆππΌπΉ2= β«ππ
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
- AnΓ‘lisis de la estructura isostΓ‘tica MIF 1.
CΓ‘lculo de las reacciones en los apoyos.
+ β ππ΄ = 0 β β21(8) β 7(18) + π πΆπ(21) = 0 ββ΄ π πΆπ = 14π
+β β πΉπ = 0 β π π΄π β 21 + 14 β 7 = 0 ββ΄ π π΄π = 14π
+β β πΉπ = 0 β π π΄π = 0
Por trigonometrΓa
πΏπππππ‘π’π πππ πππππππ πππππππππ = πΏπΆπ΅ = β82 + 62 = 10Β΄
π =1
2πΏπΆπ΅ =
1
2(10Β΄) = 5Β΄; sin π =
6
10=
3
5; cos π =
8
10=
4
5
21π
7π
8ππ‘
15ππ‘ 6ππ‘
3ππ‘ 7ππ‘
π΄ π΅
πΆ
π π΄π = 14π
π πΆπ = 14π
π
π π΄π = 0 π₯1 π₯2
π
π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
404
CΓ‘lculo de las componentes rectangulares.
β ππππ πΉ = 7π
πΉπΒ΄ = πΉ cos π = 7π (4
5) = 5.6π
πΉπΒ΄ = πΉ sin π = 7π (3
5) = 4.2π
β ππππ π πΆπ = 14π
π πΆππ = π πΆπ cos π = 14π (4
5) = 10.2π
π πΆππ = π πΆπ sin π = 14π (3
5) = 8.4π
Momentos internos π.
Miembro AB
0 β€ π₯1 β€ 8Β΄
+ β πππππ‘π = 0
β14(π₯1) + π1 = 0 β π1 = 14π₯1
π πΉ = 7π
π π πΆπ = 14π
π΄
π π΄π = 14π
π₯1
π π΄π = 0
π1
π1
π1
21π
π΄
π π΄π = 14π
π π΄π = 0
π₯2 8ππ‘
π2
π2
π2
0 β€ π₯2 β€ 7Β΄
+ β πππππ‘π = 0
π2 + 21(π₯2) β 14(8 + π₯2) = 0
π2 = β7π₯2 + 112
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405
Miembro CB
0 β€ π₯3 β€ 5Β΄
+ β πππππ‘π = 0
βπ3 β 8.4(π₯3) = 0
π3 = β8.4π₯3
0 β€ π₯4 β€ 5Β΄
+ β πππππ‘π = 0
βπ4 + 4.2(π₯4) β 8.4(π₯4 + 5) = 0
βπ4 + 4.2π₯4 β 8.4π₯4 β 42 = 0
π4 = β4.2π₯4 β 42
- AnΓ‘lisis de la estructura isostΓ‘tica MIF 2
CΓ‘lculo de las reacciones en los apoyos.
+ β ππ΄ = 0 β π πΆπ(21) β 1(8) = 0 ββ΄ π πΆπ = 0.3809
+β β πΉπ = 0 β βπ π΄π + 0.3809 = 0 ββ΄ π π΄π = 0.3809
πΆ
π πΆπ = 14π
π
πΆ
π πΆπ = 14π
π
7π
π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
406
+β β πΉπ = 0 β π π΄π β 1 = 0 ββ΄ π π΄π = 1
β ππππ πΉ = 1
πΉπΒ΄ = πΉ cos π = 1 (4
5) = 0.8
πΉπΒ΄ = πΉ sin π = 1 (3
5) = 0.6
β ππππ π πΆπ = 0.3809
π πΆππ = π πΆπ cos π = 0.3809 (4
5) = 0.30472
π πΆππ = π πΆπ sin π = 0.3809 (3
5) = 0.22854
Momentos internos π.
Como ya se habΓa mencionado, debe usarse las mismas coordenadas π₯ que las
8ππ‘
15ππ‘ 6ππ‘
3ππ‘ 7ππ‘
π΄ π΅
πΆ
π π΄π = 0.3809
π πΆπ = 0.3809
π
π π΄π = 1 π₯1 π₯2
π
π 1
CΓ‘lculo de las componentes rectangulares.
π
1
π π πΆπ = 0.3809
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407
empleadas para deducir los Momentos internos π, sin importar que en ambos
miembros (AB y CB) no hay variaciΓ³n de carga.
Miembro AB
0 β€ π₯1 β€ 8Β΄
+ β πππππ‘π = 0
π1 + 0.3809(π₯1) = 0 β π1 = β0.3809π₯1
Miembro CB
0 β€ π₯3 β€ 5Β΄
+ β πππππ‘π = 0
βπ3 β 0.22854(π₯3) + 0.8(π₯3) = 0
π3 = 0.5715π₯3
π΄
π π΄π = 0.3809
π₯1
π π΄π = 1
π1
π1
π1
π΄
π π΄π = 0.3809
π π΄π = 1
π₯2 8ππ‘
π2
π2
π2
πΆ
π πΆπ = 0.3809
π
π 1
0 β€ π₯2 β€ 7Β΄
+ β πππππ‘π = 0
π2 + 0.3809(8 + π₯2) = 0
π2 = β3.0472 β 0.3809π₯2 = 0
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
408
0 β€ π₯4 β€ 5Β΄
+ β πππππ‘π = 0
βπ4 β 0.2285(π₯4 + 5) + 0.8(π₯4 + 5) = 0
π4 = β1.1425 β 0.2285π₯4 + 4 + 0.8π₯4
π4 = 2.8575 + 0.5715π₯4
CΓ‘lculo de la incompatibilidad geomΓ©trica π1.
π1 = β«(14π₯1)(β0.3809π₯1)
πΈπΌππ₯1
8
0
+ β«(β7π₯2 + 112)(β3.0472 β 0.3809π₯2)
πΈπΌππ₯2
7
0
+ β«(β8.4π₯3)(0.5715π₯3)
πΈπΌππ₯3
5
0
+ β«(β4.2π₯4 β 42)(2.8575 + 0.5715π₯4)
πΈπΌππ₯4
5
0
= β4867.02
πΈπΌ
CΓ‘lculo del coeficiente de flexibilidad π11.
π11 = β«(β0.3809π₯1)2
πΈπΌππ₯1
8
0
+ β«(β3.0472 β 0.3809π₯2)2
πΈπΌππ₯2
7
0
+ β«(0.5715π₯3)2
πΈπΌππ₯3
5
0
+ β«(2.8575 + 0.5715π₯4)2
πΈπΌππ₯4
5
0
=272.091
πΈπΌ
f) CΓ‘lculo de la fuerza correctiva o reacciΓ³n redundante.
reescribimos la ecuaciΓ³n de compatibilidad geomΓ©trica
π1 + π11π πΆπ = 0 β β β (2)
sustituyendo
β4867.02
πΈπΌ+
272.091
πΈπΌπ πΆπ = 0 β β β (3)
πΆ
π πΆπ = 0.3809
π
π 1
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409
despejando la incΓ³gnita
π πΆπ =4867.02
272.091= 17.8875 ββ΄ π πΆπ = 17.8875π
g) CΓ‘lculo de las reacciones faltantes para la estructura real.
Las fuerzas reactivas desconocidas restantes pueden determinarse si aplicamos las
ecuaciones de equilibrio a un diagrama de cuerpo libre en el que coloquemos la
fuerza redundante que ha sido calculada.
+β β πΉπ = 0 β β17.8875 + π π΄π = 0 ββ΄ π π΄π = 17.8875π
+ β ππ΄ = 0 β β21(8) β 7(18) β 17.8875(8) + π πΆπ(21) = 0 ββ΄ π πΆπ = 20.8143π
+β β πΉπ = 0 β π π΄π + 20.8143 β 21 β 7 = 0 ββ΄ π π΄π = 7.1857π
21π
7π
8ππ‘
15ππ‘ 6ππ‘
3ππ‘ 7ππ‘
π΄ π΅
πΆ
π π΄π = 17.8875π
π π΄π = 7.1857π
π πΆπ = 17.8875π
π πΆπ = 20.8143π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
410
2.- Calcular las reacciones en los soportes con el mΓ©todo de la fuerza del marco
mostrado en la siguiente figura. El miembro A-B soporta una carga con variaciΓ³n
lineal, el B-D una carga uniformemente repartida y el E-D una presiΓ³n curva definida
por la ecuaciΓ³n indicada, cuyo origen (π₯ = 0) se considera en E y en la que se han
colocado sus valores en los puntos inicial y final. En la trabe hay una articulaciΓ³n
en C. Considere πΈπΌ constante. Determinar ademΓ‘s las ecuaciones de momento,
cortante y normal.
SOLUCIΓN.
h) CΓ‘lculo del grado de indeterminaciΓ³n.
πΓΊππππ ππ ππππππππ ππ ππ πππππ(π) = 3(π΄ β π΅; π΅ β π·; πΈ β π·)
πΓΊππππ ππ ππππππππ‘ππ ππ ππππππΓ³π(π) = 5(π π΄π; π π΄π; π πΈπ; π πΈπ; ππΈ)
πΓΊππππ ππ πππππ (π) = 4(π΄; π΅; π·; πΈ)
πππ’πππππππ ππ πππππππΓ³π(π) = 1(ππ πππ‘πππ’ππππΓ³π ππ πΆ)
Si π + 3π = 5 + 3(3) = 14 y 3π + π = 3(4) + 1 = 13, entonces π + 3π > 3π + π, por
lo que el marco es estΓ‘ticamente indeterminado de grado 14 β 13 = 1.
i) ElecciΓ³n de la fuerza redundante y planteamiento de la estructura primaria.
Seleccionaremos como acciΓ³n redundante a π π΄π. En consecuencia, en la estructura
primaria, el apoyo articulado (pasador) en π΄ se reemplaza por un apoyo simple
(oscilador o rodillo), puesto que Γ©ste ΓΊltimo no restringirΓ‘ π΄ horizontalmente y
entonces la capacidad del marco para soportar una fuerza en esa direcciΓ³n y en ese
punto se elimina.
j) Principio de superposiciΓ³n.
El marco real (ππ ) es igual a la estructura primaria mΓ‘s la estructura liberada bajo
la acciΓ³n de la redundante π π΄π; Γ³sea ππ = ππΌπΉ 1 + ππΌπΉ πΌπΌ.
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411
Estructura primariaβΉMIF 1(Estructura π)
En Γ©ste marco π΄ se desplaza horizontalmente una cantidad de βπ»π΄ππΌπΉ1= π1.
Estructura liberada con fuerza redundante π π΄π aplicadaβΉ ππΌπΉ πΌπΌ
En Γ©ste marco π΄ se desplaza horizontalmente una cantidad de βπ»π΄ππΌπΉπΌπΌ= π π΄π(π11).
k) Planteamiento de la ecuaciΓ³n de compatibilidad geomΓ©trica.
Por superposiciΓ³n, la ecuaciΓ³n de compatibilidad para el desplazamiento horizontal
en π΄ del apoyo articulado es
βπ»π΄ππΌπΉ1 + βπ»π΄ππΌπΉπΌπΌ= βπ»π΄ππ β β β (1)
En el marco original no hay desplazamiento horizontal ya que estΓ‘ restringido por el
pasador, asΓ que βπ»π΄ππ es nulo. Realizando las sustituciones correspondientes la
ecuaciΓ³n puede expresarse en tΓ©rminos de la incΓ³gnita π π΄π como
π1 + π11π π΄π = 0 β β β (2)
Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de fuerza horizontal en π΄
correspondiente a la fuerza redundante, el coeficiente de flexibilidad puede
obtenerse directamente al calcular el desplazamiento horizontal en ese punto, por
lo que βπ»π΄ππΌπΉ2= π11.
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
412
Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en π΄ βΉMIF 2(Estructura π)
l) CΓ‘lculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de ecuaciones
de compatibilidad.
En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF 2 es necesario determinar el valor del
desplazamiento horizontal en π΄ ya que π π΄π (fuerza reactiva horizontal en el
apoyo articulado del punto π΄) fue suprimido en el marco hiperestΓ‘tico. A
continuaciΓ³n el orden con el que se calcularΓ‘n los desplazamientos por medio
del mΓ©todo del trabajo virtual.
π1 = βπ»π΄ππΌπΉ1= β«ππ
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
π11 = βπ»π΄ππΌπΉ2= β«ππ
πΈπΌππ₯
πΏ2
πΏ1
- AnΓ‘lisis de la estructura isostΓ‘tica MIF1.
Para la presiΓ³n curva:
CΓ‘lculo de la carga concentrada equivalente.
π΄πΆ = β« ππ΄ = β« π¦ππ₯πΏ2
πΏ1
= β«1
β5 β 2π₯ ππ₯
2
0
resolvemos la integral de forma indefinida
β«1
β5 β 2π₯ ππ₯ = β«(5 β 2π₯)β
12 ππ₯
Sean π = β1
2 y π’ = 5 β 2π₯. Entonces ππ’ = β2ππ₯, y por tanto ππ₯ = β
1
2ππ’. AsΓ, la
regla de sustituciΓ³n da
β«(5 β 2π₯)β12 ππ₯ = β« π’π β β
1
2ππ’ = β
1
2β« π’π ππ’ = β
1
2(
π’π+1
π + 1)
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413
= β1
2(
(5 β 2π₯)β12
+1
β12 + 1
) = β(5 β 2π₯)12
β«1
β5 β 2π₯ ππ₯
2
0
= [β(5 β 2π₯)12]
0
2
= [β(5 β 2(2))12] β [β(5 β 2(0))
12]
= β1 + 2.23606777 = 1.236067977
π΄π = 1.236067977 π
Punto de aplicaciΓ³n.
οΏ½Μ οΏ½ =β« οΏ½ΜοΏ½ ππ΄
β« ππ΄=
β« π₯π¦ππ₯πΏ2
πΏ1
β« π¦ππ₯πΏ2
πΏ1
=β«
π₯
β5 β 2π₯ ππ₯
2
0
β«1
β5 β 2π₯ ππ₯
2
0
Como el denominador ya ha sido resuelto, sΓ³lo atendemos al numerador.
β«π₯
β5 β 2π₯ ππ₯
Sea
π’ = π₯ ππ£ =1
β5 β 2π₯ ππ₯
Entonces
ππ’ = ππ₯ β« ππ£ = π£ = β«1
β5 β 2π₯ ππ₯ = β(5 β 2π₯)
12
Al integrar por partes tendremos
β« π’ ππ£ = π’π£ β β« π£ ππ’
β«π₯
β5 β 2π₯ ππ₯ = (π₯) [β(5 β 2π₯)
12] + β«(5 β 2π₯)
12 ππ₯
β«(5 β 2π₯)12 ππ₯ = β
1
2β«(5 β 2π₯)
12 (β2ππ₯) = β
1
2(
(5 β 2π₯)32
32
) = β(5 β 2π₯)
32
3
β«π₯
β5 β 2π₯ ππ₯ = βπ₯(5 β 2π₯)
12 β
(5 β 2π₯)32
3= βπ₯(5 β 2π₯)
12 β
(5 β 2π₯)(5 β 2π₯)12
3
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
414
= (5 β 2π₯)12 (βπ₯ β
5 β 2π₯
3)
βπ₯ β5 β 2π₯
3=
β3π₯ β 5 + 2π₯
3=
βπ₯ β 5
3= β
1
3(π₯ + 5)
β«π₯
β5 β 2π₯ ππ₯ = β
(β5 β 2π₯)(π₯ + 5)
3
β΄ β«π₯
β5 β 2π₯ ππ₯ = [β
(β5 β 2π₯)(π₯ + 5)
3]
2
0 0
2
=5β5
3β
7
3β 1.393446629
El brazo de la palanca es
οΏ½Μ οΏ½ =1.393446629
1.236067977= 1.127322004π hacia arriba de E y sobre el miembro E-D.
CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes.
+ β ππΆ ππ§π = 0 β π π΄π(4) β [(4)(2)
2] (
1
3(2)) β (3)(4) (
1
2(4)) = 0 ββ΄ π π΄π =
20
3π
+β β πΉπ = 0 β [(4)(2)
2] β 2 β 1.236067977 β π πΈπ = 0 ββ΄ π πΈπ = 0.763932023 π
+β β πΉπ = 0 β20
3β (3)(6) + π πΈπ = 0 ββ΄ π πΈπ¦ =
34
3π
+ β ππΆ πππ = 0 β (3)(2)((1/2) (2)) + 1.236067977(2 β 1.127322004)
+(0.763932023)(2)(β(34/3)(2) + ππΈ = 0 ββ΄ ππΈ = 14.0601133 π β π
Momentos internos π.
Miembro A-B
0 β€ π₯1 β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
βπ1 β [(π₯1)(2π₯1)
2] (π₯1 β
2
3π₯1) = 0 β π1 = β
π₯13
3
π΄ππΆ
οΏ½Μ οΏ½πΌ
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415
4
2= π€1/π₯1 β π€1 = 2π₯1
Miembro B-D
0 β€ π₯2 β€ 6π
+ β πππππ‘π = 0
βπ2 +20
3(π₯2) β [
(4)(2)
2] (
1
3(2)) β (3)(π₯2) (
1
2π₯2) = 0
π₯2 = 4, π2 = 0 β
ππ ππππππ‘π ππ ππ πππ‘πππ’ππππΓ³π ππ ππππ
Miembro E-D
0 β€ π₯3 β€ 2
Para la presiΓ³n curva del corte.
CΓ‘lculo de la carga concentrada equivalente.
π΄π
οΏ½Μ οΏ½1
οΏ½Μ οΏ½πΌπΌ
π΄ππ πΆ
π2 = β
8
3+
20
3π₯2 β
3
2π₯2
2
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
416
π΄πΆπΆ = β«1
β5 β 2π₯ππ₯ = [β(5 β 2π₯)
12]
0
π₯3
= β5 β β5 β 2π₯3
π₯3
0
Punto de aplicaciΓ³n.
οΏ½Μ οΏ½πΌπΌπΌ =β«
π₯
β5 β 2π₯ππ₯
π₯3
0
β«1
β5 β 2π₯ππ₯
π₯3
0
β«π₯
β5 β 2π₯ππ₯
π₯3
0
= [β(β5 β 2π₯)(π₯ + 5)
3]
0
π₯3
=5β5
3β
(β5 β 2π₯3)(π₯3 + 5)
3
β΄ οΏ½Μ οΏ½πΌπΌπΌ =
5β53 β
(β5 β 2π₯3)(π₯3 + 5)3
β5 β β5 β 2π₯3
+ β πππππ‘π = 0 β βπ3 + 14.06011330 + 0.763932023(π₯3)
+(β5 β β5 β 2π₯3) (π₯3 β
5β53 β
(β5 β 2π₯3)(π₯3 + 5)3
β5 β β5 β 2π₯3
) = 0
π3 =1
3(5 β 2π₯3)
32 + 3π₯3 + 10.33333333
- AnΓ‘lisis de la estructura isostΓ‘tica MIF2.
CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes.
+ β ππΆ ππ§π = 0 β β(1)(2) + π π΄π(4) = 0 ββ΄ π π΄π =1
2
+β β πΉπ = 0 β 1 β π πΈπ = 0 ββ΄ π πΈπ = 1
+β β πΉπ = 0 β1
2β π πΈπ = 0 ββ΄ π πΈπ =
1
2
+ β ππΆ πππ = 0 β1
2(2) + 1(2) β ππΈ = 0 ββ΄ ππΈ = 3
Momentos internos π.
Miembro A-B
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417
0 β€ π₯1 β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
βπ1 β 1(π₯1) = 0 β π1 = βπ₯1
Miembro B-D
0 β€ π₯2 β€ 6π
+ β πππππ‘π = 0
βπ2 +1
2(π₯2) β 1(2) = 0 β π2 =
1
2π₯2 β 2
π₯2 = 4, π2 = 0 β ππ ππππππ‘π ππ
ππ πππ‘πππ’ππππΓ³π ππ ππ’ππ
Miembro E-D
0 β€ π₯3 β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
βπ3 + 1(π₯3) β 3 β π3 = π₯3 β 3
CΓ‘lculo de la incompatibilidad geomΓ©trica π1.
π1 = (1
πΈπΌ) [β« (β
π₯13
3) (βπ₯1)ππ₯1 + β« (β
8
3+
20
3 π₯2 β
3
2π₯2
2)6
0
2
0
(1
2π₯2 β 2) ππ₯2
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
418
+ β« (1
3(5 β 2π₯3)
32 + 3π₯3 + 10.33333333) (π₯3 β 3)ππ₯3
2
0
]
Resolviendo integrales por separado
β« (βπ₯1
3
3) (βπ₯1)ππ₯1 =
2
0
β« (π₯1
4
3) ππ₯1 = [+
π₯15
15]
2
0 0
2
=32
15
β« (β8
3+
20
3 π₯2 β
3
2π₯2
2)6
0
(1
2π₯2 β 2) ππ₯2 = β« (β
3π₯23
4+
19π₯22
3β
44π₯2
3+
16
3)
6
0
ππ₯2
= [β3π₯2
4
16+
19π₯23
9β
22π₯22
3+
16π₯2
3]
0
6
= β19
β« (1
3(5 β 2π₯3)
32 + 3π₯3 + 10.33333333) (π₯3 β 3)ππ₯3
2
0
β« [β(5 β 2π₯3)32 β
2π₯32(5 β 2π₯3)
12
3+
5π₯3(5 β 2π₯3)12
3+ 3π₯3
2 + 1.33333π₯3 β 31]2
0
ππ₯3
esta integral a su vez se resuelve por separado
β« β(5 β 2π₯3)32ππ₯3 =
1
2
2
0
β« β(5 β 2π₯3)32(2)ππ₯3
2
0
=1
2[
(5 β 2π₯3)52
52
]
0
2
=1
5[(5 β 2π₯3)
52]
0
2
= β10.98033989
β« β2π₯3
2(5 β 2π₯3)12
3
2
0
ππ₯3 = β2
3β« π₯3
2(5 β 2π₯3)12ππ₯3
2
0
Sea
π’ = π₯32 ππ£ = (5 β 2π₯3)
12ππ₯3
Entonces
ππ’ = 2π₯3ππ₯3 β« ππ£ = π£ =β(5 β 2π₯3)
32
3
Al integrar por partes tendremos
β« π’ππ£ = π’π£ β β« π£ππ’
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419
β2
3β« π₯3
2(5 β 2π₯3)12ππ₯3
2
0
= β2
3[π₯3
2 (β(5 β 2π₯3)
32
3) β β«
β2π₯3(5 β 2π₯3)32
3ππ₯3]
0
2
= β2
3[βπ₯3
2(5 β 2π₯3)32
3+
2
3β« π₯3(5 β 2π₯3)
32 ππ₯3]
0
2
β« π₯3(5 β 2π₯3)32 ππ₯3
Sea π’ = π₯3 ππ£ = (5 β 2π₯3)32ππ₯3
Entonces ππ’ = ππ₯3 β« ππ£ = π£ = β1
5(5 β 2π₯3)
52
Al integrar por partes tendremos β« π’ππ£ = π’π£ β β« π£ππ’, es decir,
β« π₯3(5 β 2π₯3)32 ππ₯3 = β
1
5π₯3(5 β 2π₯3)
52 β β« β
1
5(5 β 2π₯3)
52ππ₯3
= β1
5π₯3(5 β 2π₯3)
52 β
1
35(5 β 2π₯3)
72 = (5 β 2π₯3)
52 (β
1
5π₯3 β
1
35(5 β 2π₯3) )
= (5 β 2π₯3)52 (β
1
7π₯3 β
1
7) = β
(π₯3 + 1)(5 β 2π₯3)52
7
β« β2π₯3
2(5 β 2π₯3)12
3
2
0
ππ₯3 = β2
3[βπ₯3
2(5 β 2π₯3)32
3+
2
3[β(π₯3 + 1)(5 β 2π₯3)
52
7]]
0
2
= [2π₯3
2(5 β 2π₯3)32
9+
4(π₯3 + 1)(5 β 2π₯3)32(5 β 2π₯3)
63]
0
2
= [(5 β 2π₯3)32 (
2
9π₯3
2 +4
63(π₯3 + 1)(5 β 2π₯3))]
0
2
= [(5 β 2π₯3)32 (
2
9π₯3
2 β8
63π₯3
2 +4
21(π₯3) +
20
63)]
0
2
= [(5 β 2π₯3)32 (
2
21π₯3
2 +4
21π₯3 +
20
63)]
0
2
= [(5 β 2π₯3)32 (
6
63π₯3
2 +12
63π₯3 +
20
63)]
0
2
= [2(3π₯3
2 + 6π₯3 + 10)(5 β 2π₯3)32
63]
0
2
= β2.46995
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
420
β« [5π₯3(5 β 2π₯3)
12
3]
2
0
ππ₯3 =5
3β« π₯3(5 β 2π₯3)
12ππ₯3
2
0
Sea π’ = π₯3 ππ£ = (5 β 2π₯3)
12ππ₯3
Entonces ππ’ = ππ₯3 β« ππ£ = π£ = β(5 β 2π₯3)
32
3
Al integrar por partes tendremos β« π’ππ£ = π’π£ β β« π£ππ’, es decir,
5
3β« π₯3(5 β 2π₯3)
12ππ₯3
2
0
=5
3[β
π₯3(5 β 2π₯3)32
3+
1
3β«(5 β 2π₯3)
32ππ₯3]
0
2
=5
3[β
π₯3(5 β 2π₯3)32
3+
1
3(β
(5 β 2π₯3)52
5)]
0
2
= [β5π₯3(5 β 2π₯3)
32
9β
(5 β 2π₯3)(5 β 2π₯3)32
9]
0
2
= [(5 β 2π₯3)32 (β
5
9π₯3 β
1
9(5 β 2π₯3) )]
0
2
= [(5 β 2π₯3)32 (β
1
9(3π₯3 + 5) )]
0
2
= [β(3π₯3 + 5)(5 β 2π₯3)
32
9]
0
2
= 4.989077715
β« (3π₯32 + 1.33333π₯3 β 31)
2
0
ππ₯3 = [π₯33 + 0.666665π₯3
2 β 31π₯3]02 = β51.33334
β΄ π1 =1
πΈπΌ[32
15β 19 β 10.98033989 β 2.46995 + 4.989077715 β 51.33334] = β76.66121884
CΓ‘lculo del coeficiente de flexibilidad π11
π11 = [β« (βπ₯1)2ππ₯1 + β« (1
2π₯2 β 2)
2
ππ₯2 +6
0
β« (π₯3 β 3)2ππ₯3
2
0
2
0
] (1
πΈπΌ)
Resolviendo las integrales por separado
β« (βπ₯1)2ππ₯1 = [π₯1
3
3]
0
2
=8
3
2
0
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421
β« (1
2π₯2 β 2)
2
ππ₯2 =6
0
β« (π₯2
2
4β 2π₯2 + 4)
ππ₯2 =6
0
[π₯2
3
12β π₯2
2 + 4π₯2]0
2
= 6
β« (π₯3 β 3)2ππ₯3
2
0
= β« (π₯32 β 6π₯3 + 9) ππ₯3
2
0
= [π₯3
3
3β 3π₯3
2 + 9π₯3]0
2
=26
3
β΄ π11 =1
πΈπΌ[8
3+ 6 +
26
3] =
52
3
m) CΓ‘lculo de la fuerza correctiva o acciΓ³n redundante.
Sustituyendo los resultados en la ecuaciΓ³n (2) y resolviendo se obtiene
β76.66121884 +52
3π π΄π = 0 β β β (3) β π π΄π =
76.66121884
523
= 4.422762625
El signo positivo indica que π π΄π actΓΊa en el mismo sentido al que se muestra en la
figura de MIF II.
β΄ π π΄π = 4.422762625 π
n) Calculo de las reacciones restantes del marco original.
Con el valor obtenido, podemos calcular las demΓ‘s fuerzas reactivas en los soportes
aplicando las ecuaciones de equilibrio.
+ β ππΆ ππ§π = 0 β π π΄π(4) β 4.422762625(2) β [(4)(2)
2] (
1
3(2)) β 3(4) (
1
2(4)) = 0
π π΄π =35.51219192
4ββ΄ π π΄π = 8.878047979π
+β β πΉπ = 0 β [(4)(2)
2] β 2 β 1.236067977 + 4.422762625 β π πΈπ = 0
β΄ π πΈπ = 5.186694648 π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
422
+β β πΉπ = 0 β 8.878047979 β (3)(6) + π πΈπ = 0 ββ΄ π πΈπ = 9.121952021 π
+ β ππΆ πππ = 0 β (3)(2) (1
2(2)) + 1.236067977(2 β 1.127322004)
+(5.186694648)(2) β 9.121952021(2) + ππΈ = 0 ββ΄ ππΈ = 0.7918254209 π β π
o) Ecuaciones de momento, cortante y normal de la estructura real
Miembro A-B
0 β€ π₯1 β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0
βπ1 β [(π₯1)(2π₯1)
2] (
1
3π₯1) β 4.422762625(π₯1) = 0
π1 = βπ₯1
3
3β 4.422762625π₯1
π₯1 = 2π, π1 = β11.51219π. π
π1 =ππ1
ππ₯1= βπ₯1
2 β 4.422762625
+β β πΉπ¦ = 0 β π1 = β8.878047979
Miembro B-D
0 β€ π₯2 β€ 6π
+ β πππππ‘π = 0
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423
βπ2 + 8.878047979(π₯2) β 4.422762625(2) β [(4)(2)
2] (
1
3(2)) β 3(π₯2) (
1
2π₯2) = 0
π2 = β3
2π₯2
2 + 8.878047979π₯2 β 11.51219192
π₯2 = 0, π2 = β11.51219π. π
π₯2 = 4π, π2 = 0 β πΈπ ππππππ‘π ππ ππ’ππ ππ ππ πππ‘πππ’ππππΓ³π
π₯2 = 6π, π2 = β12.2439π. π
π2 =ππ2
ππ₯2= β3π₯2
+ 8.878047979
+β β πΉπ = 0 β [(4)(2)
2] + 4.422762625 + π2 = 0 β π2 = β8.422762625
Miembro E-D
0 β€ π₯3 β€ 2π
+ β πππππ‘π = 0 β π3 = 5.186694648π₯3 + 0.7918254209 + (β5 β β5 β 2π₯3)
(π₯3 β
5β53 β
(β5 β 2π₯3)(π₯3 + 5)
3
β5 β β5 β 2π₯3
) β π3 =(5 β 2π₯3)
32
3+ 7.422762625π₯3 β 2.934954541
π₯3 = 2π, π3 = 12.2439π. π
π3 =ππ3
ππ₯3= 7.422762625 β (5 β 2π₯3)
12
+β β πΉπ = 0 β π3 = β9.121952021
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
424
4.- Calcule el desplazamiento que experimenta el nudo π de la armadura que se
muestra en la siguiente figura, al actuar sobre ella el sistema de cargas indicado. El
Γ‘rea de la secciΓ³n transversal de cada elemento es constante y su valor se indica
en el cuadrado adyacente; se expresa en pulgadas cuadradas. El mΓ³dulo de
elasticidad del material de los miembros de la estructura es 30000π/ππ’ππ2.
SOLUCIΓN.
Fuerzas reales π΅.
- CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes.
+β β πΉπ = 0 β π ππ = 0
+ β ππ = 0 β 12(20) + 18(40) β π ππ(80) = 0 β π ππ =960
80= 12 ββ΄ π ππ = 12π
β + β πΉπ = 0 β 12 β 18 + 12 β π ππ = 0 ββ΄ π ππ = 18π
AdemΓ‘s:
πΏππ = β(20Β΄)2 + (15Β΄)2 = 25Β΄; sin π =15
25=
3
5; cos π =
20
25=
4
5
πΏππ = πΏππ = πΏππ = πΏβπ = πΏππ = πΏπβ = 25Β΄
12π 18π
10
9
8
15 3
8
10
12
8 8
12
3 3 10 15
9
10
π
π
π π π
π
π
β π π
20Β΄ 20Β΄ 20Β΄ 20Β΄
15Β΄
15Β΄
π
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425
- CΓ‘lculo las fuerzas en las barras causadas por las cargas reales que
actΓΊan sobre la armadura, utilizando el mΓ©todo de los nodos.
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β βπ ππ + πππ = 0 β βπ ππ + πππππ π = 0
ππ =π ππ
πππ π=
0
45β
= 0
+β β πΉπ = 0 β βππ + π ππ + πππ = 0 β βππ + π ππ + πππ πππ = 0
βππ + 18 + 0 (3
5) = 0 β ππ = 18π(πΆππππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β ππ β πππ = 0 β ππ β πππ πππ = 0
ππ =ππ
π πππ=
18
35β
= 30π(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0 β ππ β πππ = 0 β ππ β πππππ π = 0
ππ = πππππ π = 30 (4
5) = 24π(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β πππ β ππ = 0 β πππππ π β ππ = 0
ππ = πππππ π = 30 (4
5) = 24π(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0 β πππ β ππ = 0 β πππ πππ β ππ = 0
ππ = πππ πππ = 30 (3
5) = 18π(ππππ πΓ³π)
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
426
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β ππ β 12 β πππ
ππ β 12 β πππ πππ = 0
ππ =ππ β 12
π πππ=
18 β 12
35β
= 10π(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0 β βππ + ππ β πππ = 0
βππ + ππ β πππππ π = 0
ππ = ππ + πππππ π = 24 + 10 (4
5) = 32π(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β ππ β 18 = 0
ππ = 18π(ππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0 β βππ + πβ = 0
πβ = ππ = 32π(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β βπβπ = 0 β βπβπππ π = 0
πβ = 0/πππ π =0
45
= 0
+β β πΉπ = 0 β π ππ β ππ + πβπ = 0 β π ππ β ππ + πβπ πππ = 0
ππ = π ππ + πβπ πππ = 12 + 0 (3
5) = 12π(πΆππππππ πΓ³π)
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427
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β βπππ + ππ = 0
βπππ πππ + ππ = 0
ππ = ππ/π πππ =12
35
= 20π(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0 β βπβ + πππ = 0
βπβ + πππππ π = 0
πβ = πππππ π = 20 (4
5) = 16π(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0 β ππ β πππ = 0
ππ = πππ
ππ = πππππ π = 20 (4
5) = 16π(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0 β βπβ + πππ = 0
πβ = πππ
πβ = πππ πππ = 20 (3
5) = 12π(ππππ πΓ³π)
Nodo β.
+β β πΉπ = 0 β β32 + 16 + βππ = 0
β16 + βππππ π = 0
βπ = 16/πππ π =16
45
= 20π(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0 β βπ β βππ = 0
βπ β βππ πππ = 0
12 β 20 (3
5) = 0 βΉ 0 = 0 ππ
π
π
π
ππ = 12π
πππ
πππ ππ
πβ
π
π
π
πππ
πππ
ππ
πβ
β π
π
βππ
βππ
βπ = 16π
βπ
βπ = 32π
βπ = 12π π
βπ
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
428
Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente figura:
Como se desconoce la direcciΓ³n del desplazamiento del nudo π, no es posible
aplicar una carga virtual unitaria en su direcciΓ³n y calcularlo directamente. Sin
embargo, el desplazamiento del nudo π se determina si, por ejemplo, se conocen
sus componentes horizontal y vertical.
Fuerzas virtuales ππ. Dado que debe determinarse el desplazamiento vertical en
la junta π, se aplica una fuerza virtual de 1 en π con direcciΓ³n vertical hacia abajo.
12π 18π
π
π
π π π
π
π
β π π
20Β΄ 20Β΄ 20Β΄ 20Β΄
15Β΄
15Β΄
32π 32π 16π 24π
24π 16π
18
π
18
π
12
π
18
π
12
π
π ππ = 18π π ππ = 12π
π ππ = 0
π π
π π π
π π
π
π π
πΈπ π‘ππ’ππ‘π’ππ π£πππ‘π’ππ ππ£.
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429
Se calculan las reacciones en los soportes π y π y despuΓ©s se determina la fuerza
ππ£ en cada elemento por el mΓ©todo de los nudos.
- CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes de la estructura virtual ππ£.
+β β πΉπ = 0 β π ππ = 0
+ β ππ = 0 β 1(40) β π ππ(80) = 0 β π ππ =40
80=
1
2β β΄ π ππ = 0.5
+β β πΉπ = 0 β π ππ β 1 + 0.5 = 0 ββ΄ π ππ = 0.5
- CΓ‘lculo de las fuerzas virtuales ππ£ que se producen en las barras al aplicar
una carga virtual vertical unitaria en el nudo π, usando el mΓ©todo de los nodos.
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
βπ ππ + πππ = 0 β βπ ππ + πππππ π = 0
ππ =π ππ
πππ π=
0
45β
= 0
+β β πΉπ = 0
βππ + π ππ + πππ = 0 β βππ + π ππ + πππ πππ = 0
βππ + 0.5 + 0 (3
5) = 0 β ππ = 0.5(πΆππππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
ππ β πππ = 0 β ππ β πππ πππ = 0
ππ =ππ
π πππ=
0.5
35β
= 56β = 0.8333(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
ππ β πππ = 0 β ππ β πππππ π = 0
ππ = πππππ π = (5
6) (
4
5) =
2
3= 0.6667(ππππ πΓ³π)
π
ππ
π ππ = 0.5
π ππ = 0
π
π
ππ
πππ
πππ
π π
π πππ
πππ
ππ = 1/2
ππ
ππ
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
430
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
πππ β ππ = 0 β πππππ π β ππ = 0
ππ = πππππ π =5
6(
4
5) =
2
3= 0.6667(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
πππ β ππ = 0 β πππ πππ β ππ = 0
ππ = πππ πππ = (5
6) (
3
5) =
1
2= 0.5(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
ππ β πππ = 0 β ππ β πππ πππ = 0
ππ =ππ
π πππ=
12β
35β
= 56β = 0.8333(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
βππ + ππ β πππ = 0 β ππ = ππ + πππππ π
ππ = 23β + (
5
6) (
4
5) =
4
3= 1.3333(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
ππ β 1 = 0
ππ = 1(ππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
βππ + πβ = 0
πβ = ππ = 4/3 = 1.3333(ππππ πΓ³π)
y por la simetrΓa de la armadura en cuanto a cargas y geometrΓa, se tiene
ππ = ππ = 0.5(πΆππππππ πΓ³π) ππ = πβ = 0.6667(ππππ πΓ³π) ππ = βπ = 0.8333(πΆππππππ πΓ³π)
π
π
π
ππ
πππ
πππ
ππ
π
π
π ππ
πππ
πππ
ππ = 12β
ππ
π
ππ = 23β
ππ
π πβ
ππ
1
ππ = 4/3
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431
ππ = πβ = 0 ππ = ππ = 0.8333(πΆππππππ πΓ³π) ππ = ππ = 0.6667(πΆππππππ πΓ³π)
ππ = πβ = 0.5(ππππ πΓ³π)
Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente figura:
Fuerzas virtuales ππ. Se aplica una carga horizontal que vaya hacia la derecha
de 1 sobre la armadura en la junta π y se calculan las fuerzas en los elementos.
1
10
9
8
15 3
8
10
12
8 8
12
3 3 10 15
9
10
π
π
π π π
π
π
β π π
20Β΄ 20Β΄ 20Β΄ 20Β΄
15Β΄
15Β΄
π
1
π
π
π π π
π
π
β π π
20Β΄ 20Β΄ 20Β΄ 20Β΄
15Β΄
15Β΄
1.3333 1.3333 0.6667 0.6667
0.6667 0.6667
0.5
1
0.5
0.5
0.5
π ππ = 0.5 π ππ = 0.5
π ππ = 0
π
π π
π
π
πΈπ π‘ππ’ππ‘π’ππ π£πππ‘π’ππ πβ.
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
432
- CΓ‘lculo de las reacciones en los soportes de la estructura virtual πβ.
+β β πΉπ = 0 β βπ ππ + 1 = 0 ββ΄ π ππ = 1
+ β ππ = 0 β 1(15) β π ππ(80) = 0 β π ππ =15
80=
3
16ββ΄ π ππ = 0.1875
+β β πΉπ = 0 β βπ ππ +3
16= 0 β π ππ = 3/16 β π ππ = 0.1875
- CΓ‘lculo de las fuerzas virtuales πβ que se producen en las barras al aplicar
una carga virtual vertical unitaria en el nudo π, usando el mΓ©todo de los nodos.
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
βπ ππ + πππ = 0 β βπ ππ + πππππ π = 0
ππ =π ππ
πππ π=
1
45β
=5
4= 1.25(ππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
βπ ππ β ππ + πππ = 0 β ππ = πππ πππ β π ππ
ππ = (5
4) (
3
5) β
3
16=
9
16= 0.5625(πΆππππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
ππ β πππ = 0 β ππ β πππ πππ = 0
ππ =ππ
π πππ=
916β
35β
= 1516β = 0.9375(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
ππ β πππ = 0 β ππ β πππππ π = 0
ππ = πππππ π = (15
16) (
4
5) =
3
4= 0.75(ππππ πΓ³π)
π
ππ
π ππ = 0.1875
π ππ = 1
π
π
ππ
πππ
πππ
π π
π πππ
πππ
ππ = 9/16
ππ
ππ
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
433
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
πππ β ππ = 0 β πππππ π β ππ = 0
ππ = πππππ π =15
16(
4
5) =
3
4= 0.75(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
πππ β ππ = 0 β πππ πππ β ππ = 0
ππ = πππ πππ =15
16(
3
5) =
9
16= 0.5625(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
βπππ + ππ + πππ = 0 β βππ sin π + ππ + πππ πππ = 0
ππ =πππ πππ β ππ
π πππ=
54
(35
) β9
163
5β=
5
16= 0.3125(ππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
βπππ β ππ + ππ + πππ = 0 β βπππππ π β ππ + ππ + πππππ π = 0
ππ = πππππ π + ππ β πππππ π = (5
4) (
4
5) +
3
4β (
5
16) (
4
5)
= 3/2 = 1.5(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
ππ = 0
+β β πΉπ = 0
βππ + 1 + πβ = 0
πβ = ππ β 1 =3
2β 1 =
1
2= 0.5(ππππ πΓ³π)
π
π
π
ππ
πππ
πππ
ππ
π
π
π ππ
πππ
πππ
ππ = 9/16 ππ
π
ππ = 3/4
π πππ
πππ
π πβ
ππ
1 ππ = 3/2
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
434
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
βπβπ = 0 β βπβπππ π = 0
πβ = 0/πππ π =0
45
= 0
+β β πΉπ = 0
π ππ β ππ + πβπ = 0 β π ππ β ππ + πβπ πππ = 0
ππ = π ππ + πβπ πππ =3
16+ 0 (
3
5) =
3
16= 0.1875(πΆππππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
βπππ + ππ = 0 β βπππ πππ + ππ = 0
ππ =ππ
π πππ=
31635
=5
16= 0.3125(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
βπβ + πππ = 0 β βπβ + πππππ π = 0
πβ = πππππ π = (5
16) (
4
5) =
1
4= 0.25(ππππ πΓ³π)
Nodo π.
+β β πΉπ = 0
ππ β πππ = 0 β ππ = πππ
ππ = πππππ π = (5
16) (
4
5) =
1
4= 0.25(πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
βπβ + πππ = 0 β πβ = πππ
π ππ
πβπ
πβπ πβ
π
π ππ = 0.1875
π
π
π
π
ππ = 3/16
πππ
πππ ππ
πβ
π
π
π
πππ
πππ
ππ
πβ
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTΓNOMA DE MΓXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGΓN
435
πβ = πππ πππ = (5
16) (
3
5) =
3
16= 0.1875(ππππ πΓ³π)
Nodo β.
+β β πΉπ = 0
βπ β βππ = 0 β βπ β βππ πππ = 0
βπ =βπ
π πππ=
316β
35β
=5
16= 0.3125 (πΆππππππ πΓ³π)
+β β πΉπ = 0
ββπ + βπ + βππ = 0 β ββπ + βπ + βππππ π = 0
β1
2+
1
4+ (
5
16) (
4
5) = 0 β 0 = 0 ππ
Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente figura:
EcuaciΓ³n del trabajo virtual. En la siguiente tabla se consignan todos los datos
requeridos para el cΓ‘lculo de las componentes horizontal y vertical del
β π
π
βππ
βππ
βπ = 1/4
βπ
βπ = 1/2
βπ = 3/16 π
βπ
1
π
π
π π π
π
π
β π π
20Β΄ 20Β΄ 20Β΄ 20Β΄
15Β΄
15Β΄
1.5 0.5 0.25 0.75
0.75 0.25
0.5
62
5
0.1
87
5
0.5
62
5
0.1
87
5
π ππ = 0.1875 π ππ = 0.1875
π ππ = 1
πΈπ π‘ππ’ππ‘π’ππ πβ.
π
π
π
π
π π
π
π
π
π
PROBLEMARIO DE ANΓLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTΓTICAS
E HIPERESTΓTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2
436
desplazamiento del nudo i. Observe que debe manejarse una congruencia de
unidades. AquΓ las fuerzas de tensiΓ³n son indicadas con nΓΊmeros positivos y
fuerzas de compresiΓ³n se indican con nΓΊmeros negativos.
La componente vertical del desplazamiento del nudo i es
1 β πΏππ = βπππ£πΏ
π΄πΈ= 0.2586ππ’ππ
Como el resultado obtenido es positivo, tal desplazamiento tiene la misma direcciΓ³n
que la propuesta para la carga virtual vertical unitaria; β΄ πΏππ = 0.2586ππ’ππ β.
La componente horizontal del desplazamiento del nudo i es
1 β βπ»π= βππβπΏ
π΄πΈ= 0.1597ππ’ππ β
Como el resultado obtenido es positivo, el desplazamiento tiene la misma direcciΓ³n
que la propuesta para la carga virtual horizontal unitaria; β΄ βπ»π= 0.1597ππ’ππ β.
La deflexiΓ³n del nudo i es
ππ = β(πΏππ)2 + (βπ»π)2 = β(0.2586ππ’ππ)2 + (0.1597ππ’ππ)2 = 0.304ππ’ππ
Barra N (k) L (pulg) A(pulg^2) E(k/pulg^2) nv nh
a-b -18 180 9 30000 -0.5000 0.0060 -0.5625 0.0068
b-c -30 300 15 30000 -0.8333 0.0167 -0.9375 0.0188
c-d -24 240 12 30000 -0.6667 0.0107 -0.7500 0.0120
d-e -16 240 12 30000 -0.6667 0.0071 -0.2500 0.0027
e-f -20 300 15 30000 -0.8333 0.0111 -0.3125 0.0042
f-g -12 180 9 30000 -0.5000 0.0040 -0.1875 0.0015
a-j 0 300 10 30000 0.0000 0.0000 1.2500 0.0000
g-h 0 300 10 30000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
b-j 24 240 8 30000 0.6667 0.0160 0.7500 0.0180
j-i 32 240 8 30000 1.3333 0.0427 1.5000 0.0480
i-h 32 240 8 30000 1.3333 0.0427 0.5000 0.0160
h-f 16 240 8 30000 0.6667 0.0107 0.2500 0.0040
j-c 18 180 3 30000 0.5000 0.0180 0.5625 0.0203
j-d -10 300 10 30000 -0.8333 0.0083 0.3125 -0.0031
i-d 18 180 3 30000 1.0000 0.0360 0.0000 0.0000
h-d -20 300 10 30000 -0.8333 0.0167 -0.3125 0.0063
h-e 12 180 3 30000 0.5000 0.0120 0.1875 0.0045
0.2586 0.1597
vertical horizontal