KALKULUS II (TKE 201 / WAJIB)
Dosen Pengajar: Drs. Ir. Moch. Dhofir, MT.AWAL
MATERI1 Ruang Dimensi Tiga dan Vektor 2 Fungsi Dinilai Vektor 3
Derivatif Parsial 4 Integral Lipat 5 Kalkulus Vektor
AWAL
Ruang Dimensi Tiga dan Vektor1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang-3D
Ruang1.2 Vektor 1.3 Persamaan Parametrik 1.4 Bidang-Bidang dalam
Ruang-3D BidangRuang1.5 Permukaan Kuadratik 1.6 Fungsi
Multivariabel
AWAL
1.3 Persamaan ParametrikBentuk parametrik sebuah persamaan
banyak digunakan dalam bidang fisika dan teknik. Persamaan
parametrik sebuah kurve biasa digunakan untuk menyatakan gerak
partikel (trajektori) atau benda di dalam ruang.
AWAL
Menyatakan Persamaan Parametrik Sembarang kurve dan sembarang
bidang dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik. Untuk menyatakan
sebuah kurve di dalam ruang (2D dan 3D) dibutuhkan sebuah parameter
misalnya menggunakan parameter t. Untuk menyatakan sebuah bidang
dibutuhkan dua buah parameter misalnya menggunakan parameter u dan
v.
AWAL
Persamaan Parametrik KurveSebuah kurve dalam ruang dimensi tiga
dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik, yaitu x = x(t)
; y = y(t) ; z = z(t) untuk to t t1 Kurve yang digambar menggunakan
persamaan parametrik dapat menunjukkan arah gerak titik pada kurve.
Hal ini yang menjadi alasan mengapa pernyataan parametrik sangat
berguna dalam menyatakan gerak partikel. Kurve dengan arah ini
biasa disebut dengan kontur dengan notasi C seperti diperlihatkan
pada GambarGambar-1.AWAL
Pemetaan t ke titik (x,y)Gambar-1Pemetaan titik pada sumbu-t
menghasilkan kurve berarah C pada bidang koordinat
z(xo,yo,zo) (x,y,z) (x1,y1,z1) C
to
t t1 x
y
AWAL
Contoh :1. Buatlah sketsa trajektori gerak sebuah partikel pada
bidang XOY dalam interval waktu 0 t 4 dengan persamaan gerak: x =
t3/2 6t ; y = t2/2 2. Buatlah sketsa trajektori gerak partikel yang
dinyatakan dalam persamaan gerak: x = a cos(t) ; y = a sin(t) ; z =
b t ; 0 e t e 2T a, b adalah konstanta positifAWAL
Contoh :3. Nyatakan persamaan lingkaran : x2 + y2 = r2 kedalam
bentuk persamaan parametrik dengan parameter U dan tentukan arah
orientasi dari lingkaran tersebut! 4. Nyatakan persamaan ellips :
(x/a)2 + (y/b)2 = 1 kedalam bentuk persamaan parametrik dengan
parameter t dan tentukan orientasi dari ellips tersebut!
AWAL
Penyelesaian :No 1. Untuk menentukan pergerakan partikel atau
pergerakan titik (x,y), cukup dengan memasukkan nilai parameter t =
0, 1, 2, 3, dan 4. Kontur pergerakan partikel diperlihatkan pada
Gambar-2. Gambar-
AWAL
Penyelesaian :t y0 1
X=1/2 t3 6t Y = t20 -11/2 -8 -9/2 8 0 1/2 2 9/2 8
(x,y)(0,0) (-11/2,1/2) (-8,2) (-9/2,9/2) (8,8)
t=4
2 3
t=3 t=2 t=1 t=0
4
x
x = t3/2 6t ; y = t2/2AWAL
Penyelesaian :No 2. Apabila nilai t meningkat, maka nilai z juga
akan meningkat. Disamping itu peningkatan nilai t menyebabkan titik
(x,y,z) bergerak melintasi lintasan lingkaran x = a cos(t) ; y = a
sin(t) dalam bidang-XY. Bentuk pergerakan bidangpartikel ini
disebut dengan helik lingkaran (Gambar(Gambar-3).
AWAL
Penyelesaian :t 0 T/2T 3T/2 2T
X(t) Y(t) Z(t) a 0 -a 0 a 0 a 0 -a 0 0bT/2 bT3bT/2
Gambar-3
2bT
AWAL
Penyelesaian :No 3. Persamaan lingkaran dapat dinyatakan oleh 1.
persamaan : (x/r)2 + (y/r)2 = 1. Dengan demikian persamaan ini juga
benar bila ditulis sebagai : x/r = cos U dan y/r = sin U atau dapat
dinyatakan dalam bentuk parametrik berikut : x = r cos U dan y = r
sin U ; 0 e U e 2TAWAL
Penyelesaian :P(x,y)
y -r O U x r
Bila U bertambah dari 0 hingga 2T, titik P akan bergerak dalam
arah berlawanan arah putar jaram jam. Jadi kurve lingkaran ini
mempunyai orientasi berlawanan dengan arah putar jarum jam
x = r cos U dan y = r sin U 0 e U e 2T AWAL
Penyelesaian :No 4. Persamaan ellips (x/a)2 + (y/b)2 = 1 juga
benar bila ditulis sebagai : x/a = cos U dan y/b = sin U atau dapat
dinyatakan dalam bentuk parametrik berikut : x = a cos U dan y = b
sin U ; 0 e U e 2T
AWAL
Penyelesaian :b P(x,y)
y -a O U x a
Bila U bertambah dari 0 hingga 2T, titik P akan bergerak dalam
arah berlawanan arah putar jaram jam. Jadi kurve ellips ini
mempunyai orientasi berlawanan dengan arah putar jarum jam
-b
x = a cos U dan y = b sin U 0 e U e 2T AWAL
Orientasi Kurve ParametrikOrientasi kurve persamaan parametrik
ditunjukkan oleh arah panah pada kurve C. Orientasi kurve persamaan
parametrik lingkaran dan ellips pada soal no. 3 dan 4 adalah
arahnya berlawanan dengan arah putar jarum jam. Orientasi sebuah
kurve ditentukan oleh persamaan parametrik dan persamaan parametrik
yang berbeda dapat menghasilkan orientasi yang berbeda (berlawanan)
untuk kurve yang sama.AWAL
Orientasi Kurve ParametrikPersamaan parametrik : x = a cos U dan
y = - a sin U ; 0 e U e 2T menyatakan sebuah lingkaran dengan
jarijarijari a dan berpusat di origin, dengan orientasi searah
dengan jarum jam. Karena persamaan diatas dapat ditulis sbg: x = a
cos(-U) dan y = a sin(-U) ; 0 e U e 2T cos(sin((Lihat gambar)
AWAL
Orientasi Kurve ParametrikKetika U bertambah dari 0 hingga 2T,
titik P akan bergerak searah dengan arah putar jaram jam. Jadi
kurve lingkaran ini mempunyai orientasi searah jarum jam
-r
O
x -U y
r
P(x,y) x = r cos -U dan y = r sin -U 0 e U e 2T AWAL
Eliminasi ParameterKurve dalam bentuk persamaan parametrik dapat
disusun kembali dengan mengeliminasi parameternya. x = x(t) ; y =
y(t) x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) x = f(y,z) ; y = g(x,z) atau y
= f(x,z) ; z = (x,y) atau z = f(x,y) ; x = (y,z)AWAL
y = f(x)
Contoh :1. Misal m merupakan slope garis singgung di sembarang
titik (x,y) parabola y =x2. Tentukan persmaan parametrik dri
parabola dengan parameter m dan tentukan orientasinya! 2. Buatlah
sketsa kurve x = cosh t, y = sinh t dengan mengeliminasi parameter
t! 3. Buatlah sketsa grafik persamaan parametrik x = t, y = t2, z =
t3 untuk t u 0.
AWAL
Penyelesaian :No 1. x dan y harus dinyatakan dalam m, dg m =
dy/dx = 2x Sehingga, x = 1/2 m dan y = m2 Jadi persamaan
parametriknya adalah : x = 1/2 m , y = m2 Apabila m naik, x juga
naik dan arah orientasinya ditunjukkan pada gambar.AWAL
Penyelesaian :y
Apabila m naik, x juga naik dan arah orientasinya ditunjukkan
pada gambar.x
x = 1/2 m , y = m2AWAL
Penyelesaian :No 2. x = cosh t, y = sinh t Kita mengeliminasi
parameter t menggunakan identitas : cosh2 t sinh2 t = 1 Sehingga,
x2 y2 = 1
AWAL
Penyelesaian :No 2. Sehingga, x2 y2 = 1 Persamaan ini merupakan
hiperbola yang ditunjukkan pada gambar, tetapi aslinya pernyataan
persamaan parametrik hanya cabang kanan dari hiperbola tsb, karena
x = cosh t u 0 untuk semua nilai t dan y = sinh t meningkat dari -g
ke +g ketika +g nilai t meningkat.AWAL
Penyelesaian :y
-1
1
x
x = cosh t u 0 untuk semua nilai t dan y = sinh t meningkat dari
-g ke +g ketika nilai t meningkat.
x2 y2 = 1AWAL
Penyelesaian :No 3. x = t , y = t2 , z = t3 , t u 0 Eliminasi
parameter t dalam persamaan x dan y didiapat y =x2 dan z = x3. Ini
berarti kurve didapat dari interseksi silinder parabolik y = x2 dan
silinder kubik z = x3. Kurve mulai dari titik origin dengan t = 0
dan kemudian bergerak naik apabila t meningkat, sehingga x, y, z
naik ketika t naik seperti pada gambar.AWAL
Penyelesaian :Kurve mulai dari titik origin dengan t = 0 dan
kemudian bergerak naik apabila t meningkat, sehingga x, y, z naik
ketika t naik seperti pada gambar. x = t , y = t2 , z = t3
tu0AWAL
Menyatakan Grafik Fungsi (Kurve) Secara ParametrikKurve dalam
ruang 2D dan 3D dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik dengan
memasukkan sembarang parameter sebagai variabel bebas, misalnya t,
m, U dll. Sebuah kurve dapat dinyatakan oleh banyak persamaan
parametrik dengan cara merubah parameternya. Perubahan parameter
tidak merubah benuk kurve.AWAL
Contoh :1. Nyatakan kurve y = 4x2 1 kedalam bentuk parametrik!
2. Dalam ruang 2D, nyatakan kurve x = 5y3 y kedalam bentuk
persamaan parametrik ! 3. Dalam ruang 3D, nyatakan kurve
perpotongan antara silinder x2 + y2 = 1 dan bidang z =2! 4. Dalam
ruang 3D, nyatakan kurve perpotongan x = 9 cos z dan y = 4 sin
z!
AWAL
Penyelesaian :No 1. Kurve y =4x2 1 dapat dinyatakan dalam
beberapa pernyataan parametrik, yaitu apabila, x = t, maka y = 4t2
-1 Jadi persamaan parametrik kurve adalah x = t, y = 4t2 - 1
Sedangkan apabila diambil, x = s +1, maka y = 4(s+1)2 -1 = 4s2 +
8s+3 Jadi persamaan parametrik kurve menjadi x = s + 1, y = 4s2 +
8s +3AWAL
Penyelesaian :No 2. Kurve x = 5y3 y dapat dinyatakan dalam
beberapa pernyataan parametrik, yaitu apabila, y = t, maka x = 5t3
-t Jadi persamaan parametrik kurve adalah y = t, y = 5t3 - y
AWAL
Penyelesaian :No 3. Kurve perpotongan silinder x2 + y2 = 1 dan
bidang z = 2 dapat dinyatakan dalam pernyataan parametrik, yaitu :
x = cos t , y = sin t, z = 2 No 4. Kurve perpotongan bidang x = 9
cos z dan bidang y = 4 sin z didapat dengan mengganti z = t,
sehingga persamaan parametriknya adalah : x = 9 cos t, y = 4 sin t,
z = tAWAL
Kurve dalam bentuk polar dinyatakan Secara ParametrikDalam ruang
2D, kurve dalam bentuk polar r = f(U) juga dapat dinyatakan dalam
f(U bentuk parametrik dengan parameter U, yaitu dengan memasukkan r
= f(U) f(U kedalam persamaan : x = r cos U, y = r sin U Contoh
lingkaran r = 4 cos U dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik : x
= 4 cos2 U, y = 4 cos U sin U = 2 sin 2U 2UAWAL
Kurve dalam bentuk polar dinyatakan Secara Parametriky (x,y)
U 4
x
r = 4 cos UAWAL
Persamaan Parametrik Garis LurusUntuk garis melalui dua titik
P(xo, yo, zo) dan Q(x1, y1, z1) mempunyai persamaan sbb:
x x0 y y0 z z0 ! ! !t x1 x0 y1 y0 z1 z0Persamaan ini dapat
dinyatakan dalam bentuk parametrik yaitu : x =xo+t(x1-xo), y
=yo+t(y1-yo), z = zo +t(z1-zo)AWAL
Persamaan Parametrik Garis Lurusz Q(x1,y1,z1)
P(xo,yo,zo)
y
x
x = xo+ t (x1-xo), y = yo+ t (y1-yo), z = zo + t (z1-zo)AWAL
Persamaan Parametrik Garis LurusUntuk garis melalui satu titik
P(xo, yo, zo) dan sejajar vektor v = < a, b, c >. Dengan
mengambil sembarang titik Q (x, y, z) pada garis, maka berlaku
persamaan vektor yang sejajar, yaitu : PQ = t v ; dimana t
parameter < x-xo, y-yo, z-zo > = t < a, b, c > atau x =
xo + at , y = yo + bt , z = zo + ctAWAL
Persamaan Parametrik Garis Lurusz P(xo,yo,zo)
Q(x, y, z) y
vx
x = xo + at , y = yo + bt , z = zo + ctAWAL
Soal mandiri :1. Diketahui sebuah garis L melalui titik (
2,-3,1) dan sebuah vektor yang 2,
