7. Nguyen Ham, Tich Phan.doc

ŀ Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected]

309

Chuyên đề IV

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG �� Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu ( ) ( )F' x f x x K= ∀ ∈ .

2. Các tính chất

Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng ( )F x C, C+ ∈� . Do vậy ( )F x C+ gọi là họ nguyên hàm của

hàm f trên K và được kí hiệu:

( ) ( )f x dx F x C= +∫ .

Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Định lí 3. Nếu f ,g là hai hàm liên tục trên K thì:

a) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫

b) ( ) ( )k.f x dx k f x dx=∫ ∫ với mọi số thực k 0≠ .

Định lí 4. Nếu ( ) ( )f x dx F x C= +∫ thì

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f u x .u' x dx f u x .d u x F u x C= = +∫ ∫ .

3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp

( )( )u u x=

* xdx x C= +∫

* 1x

x dx C ( 1)1

α+α = + α ≠ −

α +∫

* dx

ln| x | Cx

= +∫

* x xe dx e C= +∫

* x

x aa dx C

lna= +∫

* sinxdx cosx C= − +∫

* cosxdx sinx C= +∫

* udu u C= +∫

* 1u

u du C 1

α+α = +

α +∫

* du

ln|u| Cu

= +∫

* u ue du e C= +∫

* u

u aa du C

lna= +∫

* sinu.du cosu C= − +∫

* cosudu sinu C= +∫

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

310

Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp

( )( )u u x=

* 2

dxtanx C

cos x= +∫

* 2

dxcot x C

sin x= − +∫

* dx

2 x Cx= +∫

* 2

dutanu C

cos u= +∫

* 2

ducot u C

sin u= − +∫

* dx

2 u Cu= +∫

Nếu u ax b= + thì ta có:

* dx 1

ln|ax b| Cax b a

= + ++∫

* ax b ax b1e dx e C

a+ += +∫

* ( ) ( )cos ax bsin ax b dx C

a

++ = − +∫

* ( ) ( )sin ax bcos ax b dx C

a

++ = +∫

*( )

( )2

dx 1tan ax b C

acos ax b= + +

+∫

*( )

( )2

dx 1cot ax b C

asin ax b= − + +

+∫

*dx 2

ax b Caax b

= + ++∫

4. Các phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp phân tích:

Để tìm nguyên hàm ( )f x dx∫ , ta phân tích

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x k .f x k .f x ... k .f x= + + +

Trong đó: ( ) ( ) ( )1 2 nf x , f x ,...,f x có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm

được nguyên hàm

Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x dx k f x dx k f x dx ... k f x dx= + + +∫ ∫ ∫ ∫ .

Phương pháp từng phần:

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ ]a;b và có đạo hàm liên tục trên [ ]a;b .

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected]

311

Khi đó: ( )udv uv vdu 1= −∫ ∫

Để tính tích phân ( )I f x dx= ∫ bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

B1: Chọn u,v sao cho ( )f x dx udv= (chú ý: ( ) dv v’ x dx= ).

Tính v dv= ∫ và du u'.dx= .

B2: Thay vào công thức ( )1 và tính vdu∫ .

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

vdu∫ dễ tính hơn udv∫ . Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1: ( )I x .sinxdx (x).cosxdx= ∫ ∫hoaëc , trong đó ( )P x là đa thức

Với dạng này, ta đặt ( )u P x , dv sinxdx. dv cosxdx.= = =hoaëc .

Dạng 2: ( ) ax bI P x e dx+= ∫

Với dạng này, ta đặt ( )

ax b

u P x

dv e dx+

=

=, trong đó ( )P x là đa thức

Dạng 3: ( ) ( )I P x ln mx n dx= +∫

Với dạng này, ta đặt ( )( )

u ln mx n

dv P x dx

= +

=.

Dạng 4: x xI sinxe dx I cosxe dx= =∫ ∫hoaëc

Với dạng này, ta đặt x

sinxu

cosx

dv e dx

=

=

để tính vdu∫ ta đặt x

sinxu

cosx

dv e dx

=

=

.

Phương pháp đổi biến số

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( )I f x dx= ∫ , trong đó ta có thể phân tích

( ) ( )( ) ( )f x g u x u' x dx= thì ta thực hiện phép đổi biến số

( ) ( )t u x dt u' x dx= ⇒ = .

Khi đó: ( ) ( ) ( )( )I g t dt G t C G u x C= = + = +∫

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( )t u x=


312

Ví dụ 1. Tính họ nguyên hàm: 3

1I x dx

x = − ∫

Lời giải

Ta có : 3

33

1 3 1x x 3x

x x x

− = − + −

nên suy ra :

4 23

3 2

3 1 x 3x 1I x 3x dx 3ln x C

x 4 2x 2x

= − + − = − + + +

∫ .

Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm: ( )2x xI e 2e dx−= +∫

Lời giải

Ta có: ( )2x x 2x 2xe 2e e 4 4.e− −+ = + +

Suy ra: ( )2x 2x 2x 2x1I e 4 4e dx e 4x 2e C

2− −= + + = + − +∫


x 2I dx

2x 5x 2

+=

− +∫

Lời giải

Ta có: ( )( )22x 5x 2 2x 1 x 2− + = − − và ( ) ( )4 5x 2 2x 1 x 2

3 3+ = − − −

Suy ra: 4 1 5 1

I dx3 x 2 3 2x 1

= − − − ∫4 5

ln x 2 ln 2x 1 C3 6

= − − − + .

Ví dụ 4. Tính họ nguyên hàm: ( )3I cos3x.cos4x sin 2x dx= +∫

Lời giải

Ta có : [ ]1cos3x.cos4x cos7x cosx ,

2= + 3 3 1

sin 2x sin2x sin6x4 4

= −

Nên suy ra: 1 1 3 1

I cos7x cosx sin2x sin6x dx2 2 4 4

= + + − ∫

1 1 3 1

sin7x sinx cos2x cos6x C14 2 8 24

= + − + + .

Ví dụ 5. Tính họ nguyên hàm: 4I cos 2xdx= ∫

Lời giải


313

Ta có: ( ) ( )24 21 1cos 2x 1 cos4x 1 2cos4x cos 4x

4 4= + = + +

( )1 1 cos8x 11 2cos4x 3 4cos4x cos8x

4 2 8

+ = + + = + +

( )1 1 1I 3 4cos4x cos8x dx 3x sin4x sin8x C

8 8 8 ⇒ = + + = + + + ∫ 5) Ta có:

22

1I cos x 2 dx

cos x

= + −

∫ ( )dx 1tanx 2x cos2xd 2x

2 4= − + +∫ ∫

3 1

tanx x sin2x C2 4

= − + + .


2

x 2x 1I dx

x 2x 1

+ +=

+ +∫

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) ( )3 23x 2x 1 x 1 3 x 1 5 x 1 2+ + = + − + + + −

Suy ra ( )2

5 2I x 2 dx

x 1 x 1

= − + − + + ∫

2x 22x 5ln x 1 C

2 x 1= − + + + +

+.


3 2

2x x 6I dx

x 5x 6x

+ +=

+ +∫

Lời giải

Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích:

( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + (1)

Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau

Cách 1: Đồng nhất các hệ số

(1) ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + +

a b c 2

2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6

6b 6

+ + =

⇔ + + = ⇔ = = = − =


314

Do đó, 2

3

2x x 6 7 1 6dx dx

x 3 x x 2x 5x 6

+ + = + − + + + +∫ ∫

Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + .

Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào (1) ta có được

a 7,b 1,c 6= = = − và ta có kết quả như trên.

Ví dụ 8. Tính họ nguyên hàm: sin2xdx

I1 4sinx

=+∫

Lời giải

Ta có: sinxcosxdx

I 21 4sinx

=+∫

Đặt t 1 1

t 1 4sinx sinx cosxdx dt4 4

−= + ⇒ = ⇒ =

Suy ra: ( )t 1 1

dt 1 1 14 4I 2 1 dt t ln t Ct 8 t 8

−

= = − = − + ∫ ∫ .

( )11 4sinx ln 1 4sinx C

8= + − + + .


sin2x 3cosxI dx

1 1 2sinx

+=

+ +∫

Lời giải

Ta có: ( )

3

2sinx 3 cosxdxI

1 1 2sinx

+=

+ +∫

Đặt ( )33 t 1 1

t 1 1 2sinx sinx2

− −= + + ⇒ = ( )23

cosxdx t 1 dt2

⇒ = −

( ) ( ) ( )( )2 2 2 23t 1 2 t 1 dt t 2t 3 t 2t 1 dt32I

t 2 t

− + − − + − + ⇒ = =∫ ∫

3 23 3t 4t 8t 8 dt

2 t

= − + − + ∫

4 323 t 4t

4t 8t 3ln t C2 4 3

= − + − + +

với 3t 1 1 2sinx= + + .


315

Ví dụ 10. Tính họ nguyên hàm: x 1

I dxx 2

−=

+∫

Lời giải

Đặt

( )2

2 22

x 1 2t 1 6tt x dx dt

x 2 1 t t 1

− += ⇒ = ⇒ =

+ − −

( ) ( )2

2 2 22 2

6t 1 1I dt 6 dt

t 1t 1 t 1

⇒ = = + − − −

∫ ∫

Mà: ( ) ( )( )( )2

t 1 t 11 1 1 1 1

2 t 1 t 1 2 t 1 t 1t 1

+ − − = = − − + − +−

( )( ) ( )( ) ( )

2

2 2 22

t 1 t 11 1

4 t 1 t 1t 1

+ − − =− +− ( ) ( )2 2

1 1 1 1 1

4 t 1 t 1t 1 t 1

= + + −

+ − − +

Suy ra: 2

dt 1 t 1ln

2 t 1t 1

−=

+−∫ ;

( )22

dt 1 t 1 1 1ln

4 t 1 t 1 t 1t 1

−= − + + + − + −

∫ .

Vậy: 2

3 t 1 3tI ln C

2 t 1 t 1

−= − +

+ − với

x 1t

x 2

−=

+.

Ví dụ 11. Tính họ nguyên hàm: x

x

e 4I dx

4e 1

+=

+∫

Lời giải

Đặt

( )x 2

x xx 2 22

e 4 t 4 30tt e e dx dt

4e 1 4t 1 4t 1

+ −= ⇒ = − ⇒ = −

+ − −

( )( )2 2

30tdx dt

t 4 4t 1⇒ =

− −

Suy ra ( )( )

2

2 22 2

t dt 1 4I 30 2 dt

t 4 4t 1t 4 4t 1

= = −

− − − −∫ ∫


316

1 t 2 2t 1

ln ln C2 t 2 2t 1

− −= − +

+ + với

x

x

e 4t

4e 1

+=

+.

Ví dụ 12. Tính họ nguyên hàm: ( )

lnx.dxI

x 1 3lnx 2=

+ +∫

Lời giải

Đặt 2t 2 dx 2

t 3lnx 2 lnx tdt3 x 3

−= + ⇒ = ⇒ =

Suy ra

2

2

t 2 2. tdt 2 13 3I t t 1 dt

1 t 9 t 1

−

= = − − + + + ∫ ∫

( )3 22 t t

t ln t 1 C9 3 2

= − − + + +

, với t 3lnx 2= + .

Ví dụ 13. Tính họ nguyên hàm: 3xI sin2x.e dx= ∫

Lời giải Cách 1 :

Ta có : ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2sin2x.e sin2x e ' sin2x '.e cos2xe

3 3 = + −

( ) ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2 4sin2x.e ' cos2x. e ' cos2x 'e sin2x.e

3 9 9 = − + −

( ) ( )3x 3x 3x13 1 2sin2x.e sin2x.e ' cos2x.e '

9 3 9⇒ = −

3x 3x1 2sin2x.e cos2xe '

3 9

= −

Suy ra : 3x 3x 3x3 2sin2xe dx sin2xe cos2xe '

13 13

= −

( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C

13= − + .

Cách 2 : Ta giả sử : 3x 3x 3xsin2x.e dx a.sin2x.e b.cos2x.e C= + +∫

Lấy đạo hàm hai vế ta có :

( ) ( )3x 3x 3x 3x 3xsin2x.e a 2cos2xe 3sin2x.e b 3cos2x.e 2sin2x.e= + + −

3a 2b 1 3 2a ,b

13 132a 3b 0

− =⇔ ⇔ = = −

+ =


317

Vậy ( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C

13= − + .

Bài tập tự luyện

1. Tìm họ nguyên hàm:3

2x 1I dx

x 3x 2

+=

− +∫

Hướng dẫn giải:

( ) ( ) ( )3 2 2

2x 1 2x 1 a b c

x 1 x 2x 3x 2 x 1 x 2 x 1

+ += = + +

− +− + − + −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

2

a x 2 b x 1 x 2 c x 1

x 1 x 2

+ + − + + −=

− +

( ) ( )( ) ( ) ( )22x 1 a x 2 b x 1 x 2 c x 1 1⇔ + = + + − + + −

Ở ( )1 ta cho x 1;x 2;x 0= = − = ta có tìm được: 1 1

a 1;b ;c3 3

= = = −

( )21 1 1 1 1

I dx3 x 1 3 x 2x 1

⇒ = + − − +− ∫

1 1 1 1 1 x 1ln x 1 ln x 2 C ln C

x 1 3 3 x 1 3 x 2

−= − + − − + + = − + +

− − +

Chú ý: ( )( )

ax bdx

cx dx

+−α −β∫

• Tách phân thức trong tích phân trở thành: 1 1

p qcx dx

+ −α −β

• Lấy nghiệm của cx −α thay vào ax b

dx

+−β

ta được p

• Lấy nghiệm của dx −β thay vào ax b

cx

+−α

ta được q


5x 1I dx

x 3x 2

+=

− +∫


Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích:

( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + ( )1

Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau

Cách 1: Đồng nhất các hệ số

( )1 ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + +


318

a b c 2

2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6

6b 6

+ + =

⇔ + + = ⇔ = = = − =

Do đó, 2

3

2x x 6 7 1 6dx dx

x 3 x x 2x 5x 6

+ + = + − + + + +∫ ∫

Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + .

Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào (1) ta có được

a 7,b 1,c 6= = = − và ta có kết quả như trên.

3. Tìm họ nguyên hàm:xdx

Ix 3 5x 3

=+ + +∫


Ta có: ( ) ( )

x 5x 3 x 3 dx 1I 5x 3 x 3 dx

5x 3 x 3 4

+ − += = + − +

+ − −∫ ∫

( ) ( )3 31 15x 3 x 3 C

6 5 = + − + +

.


xdxI

2x 2=

+∫


Đặt 3

23 t 2 3t 2x 2 x dx t dt

2 2

−= + ⇒ = ⇒ =

Suy ra ( )3

25

4 2

t 2 3t dt 3 3 t2 2I t 2t dt t C

t 4 4 5

−

= = − = − +

∫ ∫

( )

( )53

232x 23

2x 2 C4 5

+ = − + +

.

5. Tìm họ nguyên hàm:( )( )

2009

2013

x 3I dx

2x 1

+=

−∫


Đặt ( )

2009

2

x 3 1I dx

2x 1 2x 1

+ = − −∫


319

Đặt ( )

22

x 3 x 3 2 1t t tdt dx

2x 1 2x 1 7 2x 1

+ += ⇒ = ⇒− =

− − −

Suy ra 2011

2010 20112 2 2 x 3I t dt t C

7 1407 1407 2x 1

+ = − = − = − + − ∫

6. Tìm họ nguyên hàm: ( )3I x 1 3 2xdx= + −∫


Đặt 3

23 3 t 3t 3 2x x dx t dt

2 2

−= − ⇒ = ⇒ = −

( )3

2 3 63 3 t 3I 1 t.t dt 5t t dt

2 2 4

−⇒ = − + = − −

∫ ∫

( ) ( )7 43 34 7 3 2x 5 3 2x3 5t t 3

C C4 4 7 4 7 4

− − = − − + = − +

.

7. Tìm họ nguyên hàm:2x 1

I dx2 x 1

+=

+ −∫


Đặt ( )2 2t 2 x 1 x t 2 1 t 4t 5= + − ⇒ = − + = − +

( )dx 2t 4 dt⇒ = − .

Suy ra: ( )( )2

22t 8t 11 2t 4 dt 22

I 2 2t 12t 27 dtt t

− + − = = − + − ∫ ∫

3

22t2 6t 27t 22ln t C

3

= − + − +

với t 2 x 1= + − .


2

xI

x 1=

+∫


Ta có: 2

2

1I x 1 dx

x 1

= + − + ∫

2 2 21x x 1 ln x x 1 ln x x 1 C

2 = + + + + − + + +


320

2 21x x 1 ln x x 1 C

2 = + − + + +

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách đổi biến x tant= hoặc dùng phương

pháp từng phần.


x 1I dx

x 2

+=

+∫


Đặt 2 2

22

t 2 1 t 2t x x 2 x dx dt

2t 2 t

− +− = + ⇒ = ⇒ =

Và 2 2

2 t 2 t 2x 2 t

2t 2t

− ++ = − = .

Suy ra:

2 2

2 2

2 2

t 2 1 t 21 .

2t 2 t 1 t 2t 2I dt dt

2t 2 t

2t

− ++ + − = =

+∫ ∫

2

1 2 2 1 21 dt t 2ln t C

2 t 2 tt

= + − = + + +

∫ 2 2x 2 2ln x x 2 C = + + + + +

.

10. Tìm họ nguyên hàm: 2I x 1dx= +∫


Đặt ( )2

22 2 t 1t x x 1 t x x 1 x

2t

−= + + ⇒ − = + ⇒ =

2

2

t 1dx dt

2t

+⇒ = ,

22 t 1

x 12t

++ =

Suy ra ( )22

3 3

t 11 1 2 1I dt t dt

4 4 tt t

+ = = + +

∫ ∫2

2

1 t 12ln t C

4 2 2t

= + − +

2 21x x 1 ln x x 1 C

2 = + + + + +

.

11. Tìm họ nguyên hàm:2ln x 1

I dxx

+= ∫



321

Đặt dx

t lnx dtx

= ⇒ =

Suy ra ( )3 3

2 t ln xI t 1 dt t C lnx C

3 3

= + = + + = + +

∫ .

12. Tìm họ nguyên hàm:3 2lnx 2 ln x

I dxx

+= ∫


Đặt 3 2 2 3 2lnxdx 3t ln x 2 ln x t 2 t dt

x 2= + ⇒ = − ⇒ =

Suy ra ( )43 4 33 3 3I t dt t C . 3lnx 2 C

2 8 8= = + = + +∫

13. Tìm họ nguyên hàm:( )2ln lnx

I dxxlnx

= ∫


Đặt ( ) dxt ln lnx dt

xlnx= ⇒ =

Suy ra ( )2 3 31 1I t dt t C ln lnx C

3 3= = + = +∫ .

14. Tìm họ nguyên hàm: 3

5x 1I dx

x 3x 2

+=

− +∫


Ta có: ( ) ( )23x 3x 2 x 1 x 2− − = − +

Ta phân tích: ( ) ( )( ) ( )25x 1 a x 1 b x 1 x 2 c x 2+ = − + − + + +

Cho x 0,x 1,x 2= = = − ta tìm được: a 1,b 1,c 2= − = =

Suy ra ( )2

1 1 2I dx

x 2 x 1 x 1

− = + + + − − ∫

2ln x 2 ln x 1 C

x 1= − + + − − +

−.

15. Tìm họ nguyên hàm: ( )

2

5

2x 1I dx

x 1

+=

+∫


Ta phân tích ( ) ( )222x 1 2 x 1 4 x 1 3+ = + − + +


322

Suy ra: ( ) ( ) ( )3 4 5

2 4 3I dx

x 1 x 1 x 1

= − + + + + ∫

( ) ( ) ( )2 3 4

1 4 3C

x 1 3 x 1 4 x 1= − + − +

+ + +.

16. Tìm họ nguyên hàm: x x

dxI

e 2e 3−=

+ −∫


Ta có: x

2x x

e dxI

e 3e 2=

− +∫

Đặt x xt e dt e dx= ⇒ =

Suy ra: ( )( )2

dt dt t 2I ln C

t 1 t 2 t 1t 3t 2

−= = = +

− − −− +∫ ∫x

x

e 2ln C

e 1

−= +

−.

17. Tìm họ nguyên hàm: 2x

x

eI dx

1 e 2=

+ +∫


Đặt x x 2 xt e 2 e t 2 e dx 2tdt= + ⇒ = − ⇒ =

( )22

t 2 2tdt 1I 2 t t 1 dt

1 t t 1

− = = − − + + + ∫ ∫

3 2t t2 t ln t 1 C

3 2

= − − + + +

( )3x

xx x

e 2 e 22 e 2 ln e 2 1 C

3 2

+ +

= − − + + + + +

.


4 3 2

x 3x 2I dx

x x x x

+ −=

+ − −∫


Ta có: ( )( )24 3 2x x x x x x 1 x 1+ − − = − +

Ta phân tích: ( )( ) ( )23x 3x 2 ax x 1 x 1 bx x 1+ − = − + + +

( )( ) ( )2c x 1 x 1 dx x 1+ − + + − ( )1

Thay x 0,x 1,x 1,x 2= = − = = vào ( )1 ta tìm được: a 9,b 1,c 2,d 3= − = = = −


323

Do đó: ( )2

9 1 2 3I dx

x 1 x 1 x x 1

− = + + − + − + ∫

3

9ln x 1 ln x 1 ln x Cx 1

= − + + − + + ++

.

19. Tìm họ nguyên hàm: 4I tan xdx= ∫


Ta có : ( ) ( )( )4 2 2I tan x 1 1 dx tan x 1 tan x 1 dx dx= − + = − + +∫ ∫ ∫

( ) ( )3

2 tan xtan x 1 d tanx x tanx x C

3= − + = − + +∫ .

20. Tìm họ nguyên hàm: ( )3

cosxdxI

sinx 2cosx=

+∫


( ) ( )3 33 2

cosxdx dxI

cos x tanx 2 cos x tanx 2= =

+ +∫ ∫

( )( ) ( )3 2

d tanx 1 1C

2tanx 2 tanx 2= = − +

+ +∫ .

21. Tìm họ nguyên hàm: 4tan x

I dxcos2x

= ∫


Đặt 2

2 2

dt 1 tt tanx dx , cos2x

1 t 1 t

−= ⇒ = =

+ +

( )( )

42

2

t dt 1I t 1 dt

1 t 1 t1 t

⇒ = = − − +

− +− ∫ ∫

2 1 1 1t 1 dt

2 1 t 1 t

= − − + + − + ∫

3t 1 1 tt ln C

3 2 1 t

+= − − + +

−

3tan x 1 1 tanx

tanx ln C3 2 1 tanx

+= − − + +

−.

22. Tìm họ nguyên hàm: 3 3

3

sin x sinxI cot x.dx

sin x

−= ∫


Ta có: 32 2

1 1I 1 .cot x. dx

sin x sin x= −∫

3 22

1cot x.cot x. dx

sin x= ∫


324

Đặt 2

dxt cot x dt

sin x= ⇒ = −

Ta được: 5 8

3 2 3 33I t .tdt t dt t C

8⇒ =− = − = − +∫ ∫

32 23cot x. cot x C

8= − + .

23. Tìm họ nguyên hàm: 24sin 3x sin4x

I dxtanx cot2x

+=

+∫


Ta có: ( )2 2 1 cos6x sin4x4sin 3x sin4x

sinx cos2xtanx cot2xcosx sin2x

− ++=

+ +

( )sin4x 2cos6x 2 sin2x sin6xsin2x 2cos6x.sin2x 2sin2x= − + = − +

1 1cos4x cos8x sin8x sin4x 2sin2x

2 2= − − + +

Do đó: 1 1 1 1

I sin4x sin8x cos8x cos4x cos2x C8 16 8 4

= − + − − + .

24. Tìm họ nguyên hàm: 4 3sin 2x.cos x

I dxtan x tan x

4 4

=π π + −

∫


Ta có: tanx 1 tanx 1

tan x .tan x . 14 4 1 tanx 1 tanx

π π − + − + = = − + −

Suy ra: 4 6I 16 sin x.cos xcosxdx= − ∫

Đặt t sinx dt sinxdx= ⇒ = nên ta có:

( ) ( )34 2 4 6 4 2I 16 t 1 t dt 16 t t 3t 3t 1 dt= − − = − + −∫ ∫

11 9 7 5t t 3t t

16 C11 3 7 5

= − + − +

11 9 7 5sin x sin x 3sin x sin x16 C

11 3 7 5

= − + − +

.

25. Tìm họ nguyên hàm: 3 5I sin x.cos xdx= ∫


Đặt t cosx dt sinxdx= ⇒ = −

Ta có: ( ) ( )2 5 2 5I 1 cos x cos xsinxdx 1 t t dt= − = − −∫ ∫


325

( )8 6 8 6

7 5 t t sin x sin xt t dt C C

8 6 8 6= − = − + = − +∫ .

Cách khác: Để giải bài toán trên ta có thể đặt t sinx= hoặc biến đổi như sau:

( )( )3 5 3 21 1sin x.cos x sin 2x.cos x 3sin2x sin6x 1 cos2x

8 64= = − +

1 3 1 13sin2x sin4x sin6x sin8x sin4x

64 2 2 2 = + − − −

1 13sin2x sin4x sin6x sin8x

64 2 = + − −

Suy ra: 1 3 1 1 1

I cos2x cos4x cos6x cos8x C64 2 4 6 16

= − − + + +

.

26. Tìm họ nguyên hàm:

( )22

dxI

x 1=

−∫


Ta có:

( )( ) ( )( )( )

2

2 22

x 1 x 11 1

4 x 1 x 1x 1

+ − − = − +−

( ) ( )( ) ( )2 2

1 1 2 1

4 x 1 x 1x 1 x 1

= − +

− + − +

( ) ( )2 2

1 1 1 1 1

4 x 1 x 1x 1 x 1

= − + +

− + − +

Suy ra 1 1 x 1 1

I ln C4 x 1 x 1 x 1

+= − + − + − − +

.

27. Tìm họ nguyên hàm: ( ) 2

dxI

x 1 x 3x 2=

− + +∫


Đặt ( )22 2t x x 3x 2 t x x 3x 2= + + + ⇒ − = + +


326

2 2

2

dx dt

2t 3t 2 x 3x 2x2t 3 t 2t 5

x 12t 3

= +− + +⇒ = ⇒+ − −

− = +

Suy ra 2

dtI

t 2t 5=

− −∫1 t 1 6

ln C2 6 t 1 6

− −= +

− +

2

2

1 x 1 6 x 3x 2ln C

2 6 x 1 6 x 3x 2

− − + + += +

− + + + +.


3 2

2x 3x 2I dx

x x 2

+ +=

+ −∫


Ta có: ( )( )3 2 2x x 2 x 1 x 2x 2+ − = − + +

( ) ( )( )2 22x 3x 2 a x 2x 2 x 1 bx c+ + = + + + − +

( ) ( )2 22x 3x 2 a b x 2a c b x 2a c⇔ + + = + + + − + −

a b 27 3 4

2a b c 3 a ,b ,c5 5 5

2a c 2

+ =

⇔ − + = ⇔ = = = − =

.

Do đó: 2

3 2 2

2x 3x 2 7 1 1 3x 4. .

5 x 1 5x x 2 x 2x 2

+ + += +

−+ − + +

2 2

7 1 3 2x 2 1 1. .

5 x 1 10 5x 2x 2 x 2x 2

+= + +

− + + + +

Suy ra: ( )( )

22

7 3 1 dxI ln x 1 ln x 2x 2

5 10 5 x 1 1= − + + + +

+ +∫

Đặt ( )

( )2

2 2

1 tan t dtdxt x 1 t

1 tan tx 1 1

+= + ⇒ = =

++ +∫ ∫

Vậy ( )27 3I ln x 1 ln x 2x 2 t C,

5 10= − + + + + + với t là hàm thỏa tant x 1= + (hay

( )t arctan x 1= + ).


327

29. Tìm họ nguyên hàm: 4 2

dxI

x x 1=

+ +∫


Ta có: ( ) ( )( )24 2 2 2 2 2x x 1 x 1 x x x 1 x x 1+ + = + − = + + − +

Mặt khác: ( )( ) ( )( )2 21 ax b x x 1 mx n x x 1= + + + + + − +

( ) ( ) ( )3 21 a m x a b m n x a b m n x b n⇔ = + + + − + + + + − + +

a m 0

a b m n 0 1 1 1 1a ,b ,m .n

2 2 2 2a b m n 0

b n 1

+ = + − + =

⇔ ⇔ = − = = =+ + − =

+ =

Suy ra: 2 2

1 x 1 1 x 1I dx dx

2 2x x 1 x x 1

+ −= −

+ + − +∫ ∫

2 2 2 2

1 2x 1 1 dx 1 2x 1 1 dxdx dx

4 4 4 4x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

+ −= + − +

+ + + + − + − +∫ ∫ ∫ ∫

2 2

2 4 2

1 x x 1 1 x 1ln dx

4 2x x 1 x x 1

+ + += +

− + + +∫

Đặt 2

1 1t x dt 1 dx

x x

= − ⇒ = +

Nên 2 2

4 2 2 2

11

x 1 dtxdx dxx x 1 t 31

x 3x

++

= =+ + + − +

∫ ∫ ∫

1x1 t 1 xarctan C arctan C

3 3 3 3

−= + = +

Vậy 2

2

1 x x 1 1 x 1I ln arctan C

4 2 3 3 x 3x x 1

+ + = + − +

− + .

30. Tìm họ nguyên hàm: ( )( )2

dxI

x 1 x 1 x x=

+ + +∫



328

Ta phân tích:

( )( ) ( ) ( )( )2 21 a x 1 x x 1 bx x x 1 x x 1 cx d= + + + + + + + + +

( ) ( ) ( )3 21 a b c x 2a b c d x 2a b d x a⇔ = + + + + + + + + + +

a b c 0

2a b c d 0a 1,b 1,c 0,d 1

2a b d 0

a 1

+ + = + + + =

⇔ ⇔ = = − = = −+ + =

=

Do vậy: 2

dx dx dxI

x x 1 1 3x

2 4

= − −+ + +

∫ ∫ ∫x 2 2x 1

ln arctan Cx 1 3 3

+= − +

+.


dxI

2sin x 3sin2x 2=

− +∫


Ta có: 2 2

1 dxI

2 2sin x 3sinxcosx cos x=

− +∫

( )2 2

1 dx

2 cos x 2tan x 3tanx 1=

− +∫ .

Đặt 2

dtt tanx dx

1 t= ⇒ =

+

Ta được: ( ) ( )( )( )2

2t 1 2 t 11 dt 1I dt

2 2 2t 1 t 12t 3t 1

− − −= =

− −− +∫ ∫

1 1 2 1 t 1dt ln C

2 t 1 2t 1 2 2t 1

− = − = + − − − ∫1 tanx 1

ln C2 2tanx 1

−= +

−.

32. Tìm họ nguyên hàm: dx

Isinx.sin x

3

=π +

∫


Ta có: sin sin x x sin x cosx sinx.cos x3 3 3 3

π π π π = + − = + − +


329

Suy ra: cos x

1 2 cosx 3sinx3sinxsin x sin x

3 3

π + = −

π π + +

Do đó: 2 3

I ln sinx ln sin x C3 3

π = − + +

.

Cách khác: Ta có: ( ) ( )2

dx dxI 2 2

sinx sinx 3cosx sin x 1 3cot x= =

+ +∫ ∫

( )d cot x 22 ln 3cot x 1 C

1 3cot x 3= − = − + +

+∫

33. Tìm họ nguyên hàm: 5sinx 10cosx 4

I dx2cosx sinx 1

+ +=

− +∫


( ) ( )5sinx 10cosx 4 a 2cosx sinx 1 b 2sinx cosx c+ + = − + + − − +

( ) ( )a 2b sinx 2a b cosx a c= − − + − + +

a 2b 5

2a b 10 a 3,b 4,c 1

a c 4

− − =

⇔ − = ⇔ = = − = + =

.

2sinx cosx 1I 3 4 dx

2cosx sinx 1 2cosx sinx 1

− − ⇒ = − + − + − + ∫

3x 4ln 2cosx sinx 1 J= − − + +

Tìm dx

J2cosx sinx 1

=− +∫ ?

Đặt 2

x 2dtt tan dx

2 1 t= ⇒ =

+ và

2

2 2

2t 1 tsinx ,cosx

1 t 1 t

−= =

+ +

Suy ra :2

2

t 2t 32cosx sinx 1

1 t

− − +− + =

+

Do đó: ( ) ( )( )( )2

t 3 t 1dt 1J 2 dt

2 t 1 t 3t 2t 3

+ − −= − = −

− ++ −∫ ∫


330

xtan 31 t 3 1 2ln C ln C

x2 t 1 2 tan 12

++= + = +

− −.

Vậy

xtan 31 2I 3x 4ln 2cosx sinx 1 ln C

x2 tan 12

+= − − + + +

−.


dxI

cos x= ∫


Ta có:

( )22

cosxdxI

1 sin x=

−∫

Đặt t sinx dt cosxdx= ⇒ = và ta có được

( )( ) ( )( ) ( )

2

2 2 22

1 t 1 tdt 1I dt

4 1 t 1 t1 t

+ + − = =− +−

∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )2 2

1 1 2 1dt

4 t 1 t 1t 1 t 1

= − +

+ − − + ∫

( ) ( )2 2

1 1 1 1 1dt

4 t 1 t 1t 1 t 1

= − + +

− + − + ∫

2

1 t 1 2t 1 x t anxln C ln tan C

4 t 1 2 2 4 cosxt 1

+ π = − + = + + + − −

.

35. Tìm họ nguyên hàm: ( ) ( ) I 2x 1 ln x 2 dx= + +∫


Đặt ( )( ) 2

dxu ln x 1 du

x 1dv 2x 1 dx

v x x

= + = +⇒ = + = +

( ) ( )2

22

x xI x x ln x 1 dx

x 1

+= + + −

+∫ ( ) ( )2 21x x ln x 1 x C

2= + + − +

36. Tìm họ nguyên hàm: I xsin2xdx= ∫


Đặt du dx

u x1

dv sin2xdx v cos2x2

== ⇒

= = −


331

1 1 1 1I xsin2x cos2xdx xsin2x sin2x C

2 2 2 4⇒ =− + = − + +∫ .

37. Tìm họ nguyên hàm: ( ) xI 2x 1 e dx−= +∫


Đặt x x

u 2x 1 du 2dx

dv e dx v e− −

= + = ⇒

= = − .

( ) ( )x x xI 2x 1 e 2 e dx 2x 3 e C− − −⇒ =− + + = − + +∫ .

38. Tìm họ nguyên hàm: 3xI cos2x.e dx= ∫


Đặt 3x3x

du 2sin2xdxu cos2x1

v edv e dx3

= −= ⇒

==

3x 3x1 2I e cos2x sin2x.e dx

3 3⇒ = + ∫ .

Đặt 1

13x3x

11

du 2cos2xu sin2x1

v edv e dx3

== ⇒

==

3x 3x 3x 3x1 2 1 2sin2x.e dx e .sin2x cos2x.e dx e .sin2x I

3 3 3 3⇒ = − = −∫ ∫

3x 3x1 2 4I e cos2x e .sin2x I

3 9 9⇒ = + −

( )3xe

I 3cos2x 2sin2x C13

⇒ = + + .

39. Tìm họ nguyên hàm: ( ) 2I 2x 1 ln xdx= +∫


Đặt ( )

2

2

lnxdu 2 dxu ln x

xdv 2x 1 dx

v x x

== ⇒

= + = +

( ) ( )2 2I x x ln x 2 x 1 lnxdx⇒ = + − +∫

Đặt : ( )

11

211

dxduu lnx x

dv x 1 dx 1v x x

2

== ⇒

= + = +


332

( ) ( ) ( )21 1x 1 lnxdx x 2x lnx x 2 dx

2 2⇒ + = + − +∫ ∫

( )2

21 xx 2x lnx x

2 4= + − −

( ) ( )2

2 2 2 xI x x ln x x 2x lnx 2x C

2⇒ = + − + + + + .

40. Tìm họ nguyên hàm: ( )2 x I x x 1 e dx= + +∫


Đặt ( )2

xx

du 2x 1 dxu x x 1

v edv e dx

= += + + ⇒

==

Suy ra ( ) ( )2 x xI x x 1 e 2x 1 e dx= + + − +∫

Đặt 1 1

x x1 1

u 2x 1 du 2dx

dv e dx v e

= + = ⇒

= =

Suy ra ( ) ( ) ( )x x x x2x 1 e dx 2x 1 e 2 e dx 2x 1 e+ = + − = −∫ ∫

( ) ( ) ( )2 x x 2 xI x x 1 e 2x 1 e C x x 2 e C⇒ = + + − − + = − + + .

41. Tìm họ nguyên hàm: ( )2I ln x x 1 dx= + +∫


Đặt ( )22

dxduu ln x x 1

x 1dv dx v x

== + + ⇒ +

= =

( )2

2

xdxI xln x x 1

x 1⇒ = + + −

+∫ ( )2 2xln x x 1 x 1 C= + + − + + .

42. Tìm họ nguyên hàm: x

I dx1 cos2x

=−∫


Ta có : 2 2

x 1 xI dx dx

22sin x sin x= =∫ ∫

Đặt 2

u xdu dx

dxdv v cot x

sin x

==

⇒ = = −

( )d sinx1 1 1 1I xcot x cot xdx xcot x

2 2 2 2 sinx⇒ =− + = − −∫ ∫

1 1

xcot x ln sinx C2 2

= − − + .


333

43. Tìm họ nguyên hàm: ( )I sinx.ln cosx dx= ∫


Đặt ( )u ln cosx

dv sinxdx

=

= ta chọn

sinxdu dx

cosxv cosx

− = = −

Suy ra ( )I cosxln cosx sinxdx= − + ∫ ( )cosxln cosx cosx C= − − + .

44. Tìm họ nguyên hàm: x 1

I xln dxx 1

−=

+∫


Đặt ( )2

2

2du dxx 1

u ln x 1x 1

1dv xdx v x2

=− = +⇒+ = =

Suy ra ( )

22

2

1 x 1 xI x ln dx

2 x 1 x 1

−= +

+ +∫

( )

22

1 x 1 2 1x ln 1 dx

2 x 1 x 1 x 1

− = + − ++ + +

∫

21 x 1 1x ln x 2ln x 1 C

2 x 1 x 1

−= + − + − +

+ +.

45. Tìm họ nguyên hàm: I xsin xdx= ∫


Đặt 2t x x t dx 2tdt= ⇒ = ⇒ =

Suy ra 3I 2 t sintdt= ∫

Đặt 3 2u t du 3t dt

dv sint v cost

= = ⇒

= = −

Suy ra 3 2I 2t cost 6 t costdt= − + ∫

Tiếp tục sử dụng phương pháp từng phần ta tìm được 3 2I 2t cost 6t sint 12t cost 12sint C= − + + − +

Vậy I 2x x cos x 6xsin x 12 x cos x 12sin x C= − + + − + .

46. Tìm họ nguyên hàm: 2 2I x x 1dx= +∫


Đặt ( )2 22

du dxu x2

v x 1 x 1dv x x 13

== ⇒

= + += +


334

Suy ra ( )32 22 2 2I x x 1 I x 1dx

3 3 3= + − − +∫

( )32 22 2I x x 1 x 1

5 5⇒ = + − +∫

Mà theo ví dụ 9.12 ta có :

2 2 21x 1dx x x 1 ln x x 1 C

2 + = + + + + + ∫

Nên ( )32 2 22 1I x x 1 x x 1 ln x x 1 C

5 5 = + − + + + + +

.

�� Chủ đề 2: TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa:

Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên K ; a,b là hai phần tử bất kì thuộc K , ( )F x

là một nguyên hàm của ( )f x trên K . Hiệu số ( ) ( )F b F a− gọi là tích phân của của

( )f x từ a đến b và được kí hiệu:

( ) ( ) ( ) ( )b

ba

a

f x dx F x F b F a= = −∫ .

2. Các tính chất của tích phân:

1) ( )a

a

f x dx 0=∫

2) ( ) ( )a b

b a

f x dx f x dx= −∫ ∫

3) ( ) ( )b b

a a

k.f x dx k. f x dx=∫ ∫

4) ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫

5) ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

6) Nếu ( ) ( ) [ ]f x g x x a;b≥ ∀ ∈ thì ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx≥∫ ∫ .

3. Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp phân tích: Để tính tích phân ( )b

a

I f x dx= ∫ ta phân tích


335

( ) ( ) ( )1 1 m mf x k f x ... k f x= + + .

Trong đó các hàm ( ) ( )if x i 1,2,3,...,m= có trong bảng nguyên hàm.

Phương pháp đổi biến số loại 1

Giả sử cần tính ( )b

a

I f x dx= ∫ ta thực hiện các bước sau

B1: Đặt ( )x u t= (với ( )u t là hàm có đạo hàm liên tục trên [ ];α β , ( )( )f u t xác

định trên [ ];α β và ( ) ( )u a, u bα = β = ) và xác định ,α β .

B2: Thay vào ta có:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I f u t .u' t dt g t dt G t G Gβ β

βα

α α

= = = = β − α∫ ∫ .

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2a b x− ta thường đặt

a

x sintb

=

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2b x a− ta thường đặt

a

xbsint

=

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2a b x+ ta thường đặt a

x tgtb

=

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa ( )x a bx− ta thường đặt

2ax sin t

b=

Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

số (ta gọi là loại 2) như sau.

Để tính tích phânb

a

I f(x)dx= ∫ , nếu ( ) ( ) ( )f x g u x .u' x = , ta có thể thực hiện

phép đổi biến như sau

Bước 1: Đặt ( ) ( )t u x dt u' x dx= ⇒ = .

Đổi cận ( ) ( )x a t u a , x b t u b= ⇒ = = ⇒ =

Bước 2: Thay vào ta có ( )( )

( )( )

u bba

u a

I g t dt G t= =∫ .

4. Phương pháp từng phần


336

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó : b b

ba

a a

udv uv vdu= −∫ ∫

Ví dụ 1. Tính tích phân : 4 2

23

x dxI

x 3x 2=

− +∫

Lời giải

Ta có: 2

2 2 2

x 3 2x 3 5 11

2 2x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2

−= + +

− + − + − +

2

3 2x 3 5 1 11

2 2 x 2 x 1x 3x 2

− = + + − − −− +

Suy ra 4

2

3

3 5 x 2I x ln x 3x 2 ln

2 2 x 1

−= + − + + −

3 5 41 ln3 ln

2 2 3= + + .


25

dx I

x x 4=

+∫

Lời giải

2 3 2 3

2 2 25 5

dx xdx I

x x 4 x x 4= =

+ +∫ ∫

Đặt 2 2 2t x 4 x t 4 xdx tdt= + ⇒ = − ⇒ =

Đổi cận: x 5 t 3; x 2 3 t 4= ⇒ = = ⇒ =

( )44 4

2233 3

tdt dt 1 t 2 1 5I ln ln

4 t 2 4 3t 4t 4 t

−⇒ = = = =

+−−∫ ∫

Ví dụ 3. Tính tích phân : 2 2 2

3

1 xI dx

x

+= ∫

Lời giải

Ta có 2 2 2

23

x 1.xdxI

x

+= ∫ .

Đặt 2 2 2t 1 x x t 1 xdx tdt= + ⇒ = − ⇒ =

Đổi cận: x 3 t 2; x 2 2 t 3= ⇒ = = ⇒ =


337

( )( )

33 3

222 2

t.tdt 1 1 t 1I 1 dt t ln

t 1 t 1 2 t 1t 1

−= = + = + − + +− ∫ ∫

1 1 1 1 1 3

3 ln 2 ln 1 ln .2 2 2 3 2 2

= + − − = +

Ví dụ 4. Tính tích phân : 3

0

dxI

cosx.cos x3

π

=π −

∫

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

3 3

20 0

dx dxI 2 2

cosx cosx 3sinx cos x 1 3 tanx

π π

= =+ +

∫ ∫

Đặt 2

dxt tanx dt

cos x= ⇒ =

Đổi cận: x 0 t 0; x t 33

π= ⇒ = = ⇒ =

3 3

00

dt 2 3 4 3I 2 ln 1 3t ln2

3 31 3t⇒ = = + =

+∫ .

Ví dụ 5. Tính tích phân :

( )2

30

sinxdxI

3sinx cosx

π

=+

∫

Lời giải

Ta có: 2

30

sin x dx6 6

I8sin x

6

π π π + − =

π +

∫ 2 2

2 30 0

cos x dx3 dx 1 6

16 16sin x sin x

6 6

π π π + = −

π π + +

∫ ∫

2

2

20

0

3 1 1 1cot x

16 6 32 6sin x

6

π

π

π = − + + = π +

.


0

sin2x sinxI dx

1 3cosx

π

+=

+∫

Lời giải


338

Đặt

2t 1cosx

3t 1 3cosx3sinx

dt dx2 1 3cosx

−=

= + ⇒ = − +

Đổi cận: x 0 t 2,x t 12

π= ⇒ = = ⇒ = .

( )21 22 3

2

2 1 1

t 1 2 2 2 2t 34I 2 1 dt 2t 1 dt t

3 3 9 9 3 27

− = + − = + = + = ∫ ∫

Ví dụ 7. Tính tích phân : e

1

1 3lnx.lnx I dx

x

+= ∫

Lời giải

Đặt 2t 1 dx 2

t 1 3lnx lnx tdt3 x 3

−= + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận: x 1 t 1; x e t 2= ⇒ = = ⇒ =

( ) ( )22 2 5 3

2 4 2

1 1 1

2 2 2 t t 116I t t 1 tdt t t .dt

9 9 9 5 3 135

⇒ = − = − = − =

∫ ∫ .

Ví dụ 8. Tính tích phân : ( )2

0

I sinx.ln 1 sinx dx

π

= +∫

Lời giải

Đặt ( ) cosx

u ln 1 sinx du dx1 sinx

dv sinxdx v cosx

= + = ⇒ +

= = −

.

( ) ( )22 2

20

0 0

cos xI cosx.ln 1 sinx dx 1 sinx dx

1 sinx

π ππ

= − + + = −+∫ ∫

( ) 20

x cosx 12

ππ

= + = − .

Ví dụ 9. Tính tích phân : ( )2

2x 1

0

I x 2 e dx+= −∫

Lời giải


339

Đặt 2x 12x 1

du dxu x 21

v edv e2

++

== − ⇒

==

( )2 22 3

2x 1 2x 1 2x 1

0 00

1 1 1 5e eI x 2 e e dx e e

2 2 4 4+ + + −

⇒ = − − = − =∫ .


0

tan xI dx

cos2x

π

= ∫

Lời giải

Đặt 2

dtt tanx dx

1 t= ⇒ =

+. Khi đó:

2

2

1 tcos2x

1 t

−=

+

Đổi cận:1

x 0 t 0; x t6 3

π= ⇒ = = ⇒ = .

( )( )( )

1 1 14 23 3 34

22 22 2

0 0 0

t 1 t dt t dt 1I t 1 dt

1 t 1 t1 t 1 t

+ ⇒ = = = − −

− − + −∫ ∫ ∫

13 3

0

1 1 t t 1 3 1 10 3ln t ln

2 1 t 3 2 273 1

+ += − − = − − −

.


0

sinxI dx

sin x3

π

=π +

∫

Lời giải

Đặt x t

t x 33

dx dt

π= −π

= + ⇒ =

, đổi cận:x t

6 2

x 0 t3

π π= ⇒ =

π = ⇒ =

.

2 2 2 2

3 3 3 3

1 3sin t dt sint cost 1 3 costdt3 2 2I dt dtsint sint 2 2 sint

π π π π

π π π π

π − − = = = −∫ ∫ ∫ ∫

2

3

1 3 3 3I ln sint ln

2 2 3 2 12 2 2

π

ππ π π

= − − = +

.


340

Chú ý: 6 6

0 0

sin x3 3sinx

I dx dxsin x sin x

3 3

π π π π + − = =

π π + +

∫ ∫

6

0

sin x cos sin cos x3 3 3 3

I dxsin x

3

π π π π π + − + =

π +

∫

6 6 6

60

0 0 0

d sin xcos x31 33

I cos dx sin dx x3 3 2 2

sin x sin x3 3

π π ππ

π π ++ π π = − = −π π + +

∫ ∫ ∫

6

0

3 3 3I ln sin x ln

12 2 3 12 2 2

π

π π π = − + = +

Chú ý: d sin x sin x 'dx cos x dx3 3 3

π π π + = + = +


0

sin x4

I dxsinx 3cosx

π π − =+∫

Lời giải

6 6

0 0

sin x1 cosx sinx4

I dx dxsinx 3cosx 2 sinx 3cosx

π ππ − − = = −+ +∫ ∫

( ) ( )6

0

cosx 3sinx 3 1 sinx1I dx

2 sinx 3cosx

π

− + −= −

+∫

6 6

1 20 0

1 cosx 3sinx 1 3 sinxI dx dx J J

2 sinx 3cosx 2 sinx 3cosx

π π

− −= − + = +

+ +∫ ∫

( )6 6

10 0

d sinx 3cosx1 cosx 3sinx 1J dx

2 sinx 3cosx 2 sinx 3cosx

π π

+−= − = −

+ +∫ ∫


341

61

0

1 1 2 3J ln sinx 3cosx ln

32 2

π

= − + = −

6 6

2 30 0

1 3 sinx 1 3 sinx 1 3J dx dx .I

2 sinx 3cosx 2 2 2 2sin x3

π π

− − −= = =

π + +

∫ ∫

Chú ý:

( ) ( ) ( )d sinx 3cosx sinx 3cosx 'dx cosx 3sinx dx+ = + = −

1 2 3 1 3 3 3

I ln ln3 12 2 22 2 2

− π= − + +

Chú ý:

6 6 6

0 0 0

sin xsin x sin x6 124 4

I dx dx dxsinx 3cosx 2cos x 2cos x

6 6

π π π π π π π − −− − = = =π π + − −

∫ ∫ ∫


20

xsinxI dx

cos x

π

= ∫

Lời giải

Đặt 2

u x du dx

sinx 1dv dx v

cosxcos x

= =

⇒ = =

330

0

x dx 2I | J

cosx cosx 3

ππ

π⇒ = − = −∫

Mà : ( )

( )( )

3 3

20 0

d sinxcosxdxJ

1 sinx 1 sinx1 sin x

π π

= =− +−∫ ∫

( ) ( )3 3

00

1 1 1 1 1 sinxd sinx ln ln 2 3

2 1 sinx 1 sinx 2 1 sinx

π π

+ = + = = + − + − ∫

( )2I ln 2 3

3

π⇒ = − + .

Bài tập tự luyện


342

1. Tính tích phân : 2 2 3

21

2x x x x 3x 1I dx

x

+ − += ∫


Ta có: 212

232

1

3I 2x x x dx

x

− − = + − + ∫

213332

1

4 1 8 2 23x 3x 3lnx 3 2 3ln2

3 x 3 10

= + − − = + − −

.

2. Tính tích phân : 1

0

xdxI

3x 1 2x 1=

+ + +∫


Ta có: ( ) ( ) ( )( )x 3x 1 2x 1 3x 1 2x 1 3x 1 2x 1= + − + = + − + + + +

Nên ( ) ( ) ( )11

3 3

00

2 1 17 9 3I 3x 1 2x 1 dx 3x 1 2x 1

9 3 9

− = + − + = + − + = ∫


2

2

I x 1 dx−

= −∫


Ta có: ( ) ( ) ( )2 1 1 2

2 2 2 2

2 2 1 1

I x 1 dx x 1 dx 1 x dx x 1 dx−

− − −

= − = − + − + −∫ ∫ ∫ ∫

1 1 23 3 3

2 1 1

x x xI x x x 4

3 3 3

−

− −

= − − − + − =

.


4

0

I cos 2xdx

π

= ∫


Ta có: ( ) ( )4 21 1cos 2x 1 2cos4x cos 4x 3 4cos4x cos8x

2 4= + + = + +

Nên ( )4 4

00

1 1 1I 3 4cos4x cos8x dx 3x sin4x sin8x

4 4 8

π π

= + + = + +

∫3

I16

π⇒ = .


0

4x 1I dx

2x 1 2

−=

+ +∫



343

Đặt ( )t 2x 1 2 t 2 dt dx= + + ⇒ − =

( )( )25 52

3 3

2t 8t 5 t 2 10 34 3I dt 2t 12t 21 dt 10ln

t t 3 5

− + − = = − + − = +

∫ ∫ .


1

xI dx

1 x 1=

+ −∫


Đặt: 2 2t x 1 t x 1 x t 1 dx 2tdt= − ⇔ = − ⇔ = + ⇒ = 1 1 12 3

2

0 0 0

t 1 t t 2I 2tdt 2 dt 2 t t 2 dt

1 t t 1 t 1

+ + = = = − + − + + + ∫ ∫ ∫

13 2

0

t t 1 1 112 2t 2ln t 1 2 2 2ln2 4ln2

3 2 3 2 3

= − + − + = − + − = −

.

7. Tính tích phân: 2

2

0

I x 3x 2 dx= − +∫


Cách 1:

Bảng xét dấu

x 0 1 2 2x 3x 2− + + 0 − 0 +

( ) ( )1 2

2 2

0 1

I x 3x 2 dx x 3x 2 dx= − + − − +∫ ∫

1 23 2 3 2

2 2

0 1

x 3x x 3x 5 1x x 1

3 2 3 2 6 6

= − + − − + = − − = .

Cách 2:

[ ]2 x 1 0;2

x 3x 2 0x 2

= ∈− + = ⇔

=

1 2

2 2

0 1

I x 3x 2 dx x 3x 2 dx= − + + − +∫ ∫

( ) ( )1 2

2 2

0 1

x 3x 2 dx x 3x 2 dx= − + + − +∫ ∫


344

1 23 2 3 2

2 2

0 1

x 3x x 3x 5 1x x 1

3 2 3 2 6 6

= − + + − − = + − =

.

8. Tính tích phân : ( )2

1

I x x 1 dx−

= − −∫

Hướng dẫn giải: Cách 1.

( )2 2 2

1 1 1

I x x 1 dx x dx x 1 dx− − −

= − − = − −∫ ∫ ∫

( ) ( )0 2 1 2

1 0 1 1

xdx xdx x 1 dx x 1 dx− −

= − + + − − −∫ ∫ ∫ ∫

1 20 22 2 2 2

1 0 1 1

x x x xI x x 0

2 2 2 2− −

= − + + − − − =

.

Cách 2. Bảng xét dấu như bài trên

( ) ( ) ( )0 1 2

1 0 1

I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx−

= − + − + + − + − +∫ ∫ ∫

( )10 22

1 10x x x x 0−

= − + − + =

9. Tính tích phân : { }2

x

0

I min 3 , 4 x dx= −∫


Đặt ( ) ( )x xh x 3 4 x 3 x 4= − − = + − .

Bảng xét dấu

x 0 1 2

( )h x − 0 +

( )211 2 x 2

x

0 1 0 1

3 x 2 5I 3 dx 4 x dx 4x

ln3 2 ln3 2

= + − = + − = +

∫ ∫ .


32

2x 3I dx

x 3x 2

+=

− +∫


Ta có: ( ) ( )23x 3x 2 x 1 x 2− + = − +


345

( ) ( )( ) ( )22x 3 a x 1 b x 2 x 1 c x 2+ = − + + − + +

( ) ( )22x 3 a b x c 2a b x a 2b 2c⇔ + = + + − + + − +

a b 01 1 5

2a b c 2 a ,b ,c9 9 3

a 2b 2c 3

+ =

⇔ − + + = ⇔ = − = = − + =

.

Suy ra ( )

3

22

1 1 1 1 5 1I dx

9 x 2 9 x 1 3 x 1

= − + +

+ − − ∫

( )

3

2

1 x 1 5 1 8 5ln ln

9 x 2 3 x 1 9 5 6

−= − = + + −

.


2 20

sin2xI dx

cos x 4sin x

π

=+

∫


Đặt: 2 2 2 2t cos x 4sin x t 1 3sin x= + ⇔ = +

2tdt

2tdt 6sinxcosxdx 3sin2xdx sin2xdx3

⇒ = = ⇔ =

22 2

1 1 1

2tdt2 2 4 2 23I dt t

t 3 3 3 3 3= = = = − =∫ ∫ .


31

2

xdxI

2x 2−

=+∫


Đặt 3

3 23 t 2 3t 2x 2 t 2x 2 x dx t dt

2 2

−= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ =

Đổi cận : 1

x t 12

= − ⇒ = ; x 3 t 2= ⇒ = .

( )3 22 22 4 5 2

11 1

t 2 3 3 3 3 3I . t dt t t dt t t

2t 2 4 2 20 4

− = = − = −

∫ ∫ 24 3 3 12

35 20 4 5

= − − − =

.


1

xI dx

1 x 1=

+ −∫


Đặt ( ) ( )2t 1 x 1 x 1 t 1 dx 2 t 1 dt= + − ⇒ = + − ⇒ = −


346

Đổi cận: x 1 t 1; x 2 t 2= ⇒ = = ⇒ =

( )( )22 22

1 1

t 2t 2 t 1 2I 2 dt 2 t 3t 4 dt

t t

− + − ⇒ = = − + −

∫ ∫

23 2

1

t 3t 112 4t 2lnt 4ln2

3 2 3

= − + − = −

.


5

0

I sin xdx

π

= ∫


Ta có: ( )2 22

0

I 1 cos x sinxdx

π

= −∫ . Đặt t sinx dt cosxdx= ⇒ =

Đổi cận : x 0 t 0; x t 12

π= ⇒ = = ⇒ =

( ) ( )1 122 2 4

0 0

8I 1 t dt 1 2t t dt

15⇒ = − = − + =∫ ∫ .


0

sin2x sinxI dx

1 1 3cosx

π

+=

+ +∫


Đặt

2t 1cosx

3t 1 3cosx2

tdt sinxdx3

−=

= + ⇒ − =

Đổi cận: x 0 t 2,x t 12

π= ⇒ = = ⇒ = .

21 2 3

2 1

t 12 1 2 2 2t t3I t dt dt

1 t 3 9 t 1

−+ +

= − = + + ∫ ∫2

2

1

2 32t 2t 3 dt

9 t 1

= − + − + ∫

23

2

1

2 2t 28 2 3t 3t 3ln t 1 ln

9 3 27 3 2

= − + − + = −

.


2 20

sin2xI dx

4sin x cos x

π

=+

∫


347


Đặt 2 2

2 2

3sin2xt 4sin x cos x dt dx

4sin x cos x= + ⇒ =

+

2 2

sin2x 1dx dt

3asin x bcos x⇒ =

+.

Đổi cận x 0 t 1; x t 22

π= ⇒ = = ⇒ =

2

1

1 1I dt

3 3⇒ = =∫ .

17. Tính tích phân : 6 4

0

tan x I dx

cos2x

π

= ∫


Đặt 2

dtt tanx dx

1 t= ⇒ =

+. Khi đó:

2

2

1 tcos2x

1 t

−=

+

Đổi cận:1

x 0 t 0; x t6 3

π= ⇒ = = ⇒ = .

( )( )( )

1 1 14 23 3 34

22 22 2

0 0 0

t 1 t dt t dt dtI t 1 dt

1 t 1 t1 t 1 t

+ ⇒ = = = − −

− − + −∫ ∫ ∫

13 3

0

1 1 t t 1 3 1 10 3ln t ln

2 1 t 3 2 273 1

− −= − − = − + +

.

18. Tính tích phân : ( )

2e

e

lnxI dx

x lnx 1=

+∫


Đặt dx

lnx 1 t dtx

+ = ⇒ =

Ta có: ( )3

3

22

t 1 3I dt t lnt 1 ln

t 2

−= = − = −∫ .

19. Tính tích phân : e

1

1 3lnx.lnxI dx

x

+= ∫


Đặt ( )21 dx 2t 1 3lnx lnx t 1 tdt

3 x 3= + ⇒ = − ⇒ =


348

Khi đó: ( )22 5 3

2 2

1 1

2 2 t t 116I t t 1 dt

9 9 5 3 135

= − = − =

∫ .

20. Tính tích phân : ln5

x xln3

dxI

e 2e 3−=

+ −∫


Ta có ln5 x

x xln3

e dxI

e 3e 2=

− +∫

Đặt x xt e dt e dx= ⇒ =

Ta có: 55

333

dt t 2 3I ln ln

t 1 2t 3t 2

−= = =

−− +∫ .

22. Tính tích phân : ln5 2x

xln2

e dxI

e 1=

−∫


Ta có: ln5 x x

xln2

e .e dxI

e 1=

−∫

Đặt x x 2 xt e 1 e t 1 e dx 2t.dt= − ⇒ = + ⇒ = Đổi cận: x ln2 t 1; x ln5 t 2= ⇒ = = ⇒ =

( ) ( )222 2 3

2

1 1 1

t 1 tdt t 20I 2 2 t 1 dt 2 t

t 3 3

+ ⇒ = = + = + =

∫ ∫ .


4 21

x 1 dxI

x 6x 1

+=

− +∫


Ta có: 2 22 2

221 1

2

1 11 1

x xI dx dx1 1x 6 x 4x x

+ += =

+ − − −

∫ ∫

Đặt 2

1 1t x dt 1 dx

x x

= − ⇒ = +

Đổi cận: 3

x 1 t 0,x 2 t2

= ⇒ = = ⇒ =


349

Suy ra

3 3

2 2

20 0

dt 1 1 1I dt

4 t 2 t 2t 4

= = − − +− ∫ ∫

3

2

0

1 t 2 1ln ln7

4 t 2 4

−= = −

+.


0

cosx I dx

sinx 2cosx

π

=+∫


2

0

cosx I dx

sinx 2cosx

π

=+∫

Ta xác định a,b sao cho:

( ) ( )cosx a sinx 2cosx b cosx 2sinx= + + −2 1

a ,b5 5

⇒ = =

2 2

00

2 1 cosx 2sinx 2 1I dx x ln sinx 2cosx

5 5 sinx 2cosx 5 5

π π

− ⇒ = + = + + + ∫

ln2

5

π−= .


20

1 xsinxI dx

cos x

π

+= ∫


3 3 3 3302 2 2 2

0 0 0 0

dx xsinxdx xsinxdx xsinxdxI tanx 3

cos x cos x cos x cos x

π π π ππ

= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ .

Đặt 2

u x du dx

sinxdv dx v

cosxcos x

= =

⇒ 1= =

Khi đó 3 3 3

3

2 200 0 0

xsinxdx x dx 2 cosxdxI 3 3 3

cosx cosx 3cos x 1 sin x

π π ππ

π= + = + − = + −

−∫ ∫ ∫

( )3

0

2 1 1 sinx 2I 3 ln 3 ln 2 3

3 2 1 sinx 3

π

π − π= + − = + + −

+


2 2

2

x cosx dxI

4cos x 3sin x

π

π−

+=

+∫



350

. + ( )2 2 2

1 22 2 2

2 2 2

x cosx dx xdx cosxdxI I I

4 sin x 4 sin x 4 sin x

π π π

π π π− − −

+= = + = +

− − −∫ ∫ ∫

+ Tính 02 2

1 2 2 20

2 2

xdx xdx xdxI

4 sin x 4 sin x 4 sin x

π π

π π− −

= = +− − −∫ ∫ ∫

Trong 0

2

2

xdx

4 sin xπ−

−∫ , Đặt x t= − . Dễ thấy 0 2

2 20

2

xdx xdx

4 sin x 4 sin x

π

π−

= −− −∫ ∫

Suy ra 1I 0=

+ Tính 2

2 2

2

cosxdxI

4 sin x

π

π−

=−∫ . Đặt t sinx= .

11

2 211

dt 1 2 t 1I ln ln3

4 2 t 24 t −−

+= = = −− ∫

+ Vậy: 1

I ln32

=


0

xsinx x 1 cosxI dx

xsinx cosx

π

+ +=

+∫


( )4 4 4

1 20 0 0

xsinx x 1 cosx xcosxI dx dx dx I I

xsinx cosx xsinx cosx

π π π

+ += = + = +

+ +∫ ∫ ∫

Trong đó : 4

41 0

0

I dx x4

ππ

π= = =∫

4

20

xcosxI dx

xsinx cosx

π

=+∫

Đặt t xsinx cosx dt xcosxdx= + ⇒ = .


351

Khi đó

11 14 2 1

4 22 1

1

dt 1I ln t ln 1

t 4 2

π + π + π

= = = + ∫

Vậy 1

I ln 14 4 2

π π = + +

.


0

I ln 1 tanx dx

π

= +∫


Đặt x t dx dt4

π= − ⇒ = − .

Đổi cận x 0 t ; x t 04 4

π π= ⇒ = = ⇒ = .

0 4

04

1 tantI ln 1 tan t dt ln 1 dt

4 1 tant

π

π

π − = − + − = + +

∫ ∫

( )4

0

ln2 ln 1 tant dt

π

= − + ∫4

0

ln2ln2. dt I 2I

4

π

π= − ⇒ =∫

.ln2I .

8

π⇒ =


0

xsinx I dx

4 sin x

π

=+

∫

Hướng dẫn giải: Đặt x t= π− ta có

( )2 2 2

0 0 0

I

t sint sint t sintI dt dt dt

4 sin t 4 sin t 4 sin t

π π ππ−= = π −

+ + +∫ ∫ ∫

��

( )2 2

0 0 0

d cosxsinx 5 cosxI dx ln

2 2 4 5 5 cosx4 sin x 5 cos x

ππ ππ π π += = =

−+ −∫ ∫

5 1 5 1 5 5 1

ln ln ln5 24 5 5 1 5 1

π − + π −= − =

+ − .


352

30. Tính tích phân : ( )( )

1 6 11 2 62 22

6 31 5

2

x 1 x 2x 1I dx

x 14x 1

+ + +

+

+ + −=

+ −∫


Đặt 1 6 11 2 6

a2

+ + += . Ta có :

a a2 2

231 5 1 53

2 2

1 1 1 1x 2 1 x 2 1

x xx xI dx dx1 1 1x 14 x x 3 14x x x

+ +

− + + − + + = =

− + − − + +

∫ ∫

Đặt 2

1 1t x dt 1 dx

x x

= − ⇒ = +

Đổi cận : 1 5

x t 1; x a t 1 62

+= ⇒ = = ⇒ = + .

( )( )6 6 6

3 221 1 1

t 2 t 2 dtI dt dt

t 3t 14 t 2t 7t 2 t 2t 7

+ +⇒ = = =

+ + − ++ − +∫ ∫ ∫ .

Đặt ( )2t 1 6 tanu dt 6 1 tan u du− = ⇒ = +

Đổi cận : t 1 u 0; t 1 6 u4

π= ⇒ = = + ⇒ =

( )( )

24

20

6 1 tan u du 6I

46 1 tan u

π

+ π⇒ = =

+∫ .


0

I xsin2xdx

π

= ∫


Đặtdu dx

u x1

dv sin2xdx v cos2x2

== ⇒

= = −

22 20 0

0

1 1 1I x.cos2x cos2xdx sin2x

2 2 4 4 4

ππ π

π π⇒ = − + = + =∫ .


353


2x 1

0

I x 2 e dx+= −∫


Đặt 2x 12x 1

du dxu x 21

v edv e2

++

== − ⇒

==

( )2 2 322x 1 2x 1 2x 1

00 0

1 1 1 5e eI x 2 e e dx e e

2 2 4 4+ + + −

⇒ = − − = − =∫ .

33. Tính tích phân : ( ) ( )0

2

1

I 2x x 1 ln x 2 dx−

= + + +∫


Đặt ( )

( )23 2

1du dxu ln x 2

x 22 1dv 2x x 1 dx v x x x3 2

= = + +⇒

= + + = + +

( )0 3 2

3 2 01

1

2 1 1 4x 3x 6xI x x x ln x 2 dx

3 2 6 x 2−−

+ + ⇒ = + + + − + ∫

02

1

1 324x 5x 16 dx

6 x 2−

= − − + − + ∫

( )0

3 2

1

1 4 5x x 16x 32ln x 2

6 3 2 −

= − − + − +

16 119ln2

3 396= − .


0

I sinx.ln 1 sinx dx

π

= +∫


Đặt ( ) cosx

u ln 1 sinx du dx1 sinx

dv sinxdx v cosx

= + = ⇒ +

= = −

.

( ) ( )22 2

20

0 0

cos xI cosx.ln 1 sinx dx 1 sinx dx 1

1 sinx 2

π ππ

π= − + + = − = −

+∫ ∫ .

�� Chủ đề 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích hình phẳng

Định lí 1. Cho hàm số ( )y f x= liên tục, không âm trên [ ]a;b .


354

0

y

x b a

( )y f x=

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục

hoành và hai đường thẳng: x a,x b= = là: ( )b

a

S f x dx= ∫ .

Bài toán 1: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên [ ]a;b . Khi đó diện tích S của hình

phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ( )y f x= ; trục Ox : ( y 0= ) và hai đường

thẳng x a;x b= = là: ( )b

a

S f x dx= ∫ .

Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( ) ( )1C : y f x= ,

( ) ( )2C : y g x= và hai đường đường thẳng x a,x b= = . Được xác định bởi công

thức: ( ) ( )b

aS f x g x dx= −∫ .

Chú ý:

1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

* Giải phương trình: ( ) ( )f x g x= tìm nghiệm

( )1 2 nx ,x ,...,x a;b∈

( )1 2 nx x ... x< < < .

Tính:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x b1 2

a x x1 nS f x g x dx f x g x dx ... f x g x dx= − + − + + −∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )x b1

a xnf x g x dx ... f x g x dx= − + + −∫ ∫ .

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi hai đồ thị ( ) ( )1C : y f x= , ( ) ( )2C : y g x= . Khi đó, ta có công thức tính như sau:

( ) ( )xn

x1

S f x g x dx= −∫ .

y

0 a b

( )y f x=

( )y g x=


355

Trong đó: 1 nx ,x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình:

( ) ( )f x g x= .

2. Tính thể tích khối tròn xoay

a. Tính thể tích của vật thể Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt

tại ( )x a,x b a b= = < . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm

( )x a x b≤ ≤ cắt C theo một thiết diện có diện tích ( )S x . Giả sử ( )S x là hàm liên tục

trên [ ]a;b . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo

công thức: ( )b

a

V S x dx= ∫ .

b. Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các

đường ( )y f x ;y 0;x a;x b= = = = quanh trục Ox

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính ( )R |f x |=

nên diện tích thiết diện bằng

( ) ( )2 2S x R f x= π = π . Vậy thể tích khối tròn

xoay được tính theo công thức:

( ) ( )b b

2

a a

V S x dx f x dx= = π∫ ∫ .

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường ( ) ( )y f x ,y g x ,= = x a, x b= =

(Với ( ) ( ) [ ]f x .g x 0 x a;b≥ ∀ ∈ ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D

quanh trục Ox được tính bởi công thức:

( ) ( )b

2 2

a

V f x g x dx= π −∫ .

Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường ( )x g y , y a, y b, Oy= = = quanh trục Oy được tính theo công thức:

( )b

2

a

V g y dy= π∫ .

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau 2x

y 4 ,4

= −

2xy

4 2=

x

( )y f x=

a b

y

x 0


356

Lời giải

Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 2x

y 44

= − và 2x

y4 2

= :

2 2 2 42x x x x

4 4 x 8 x 2 24 4 324 2

− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± .

Trên 2 2;2 2 − , ta có: 2 2x x

44 4 2

− ≥ nên diện tích cần tính là:

2 2 2 2 2 22 22 2

D0 02 2

x x 1S 4 dx 16 x dx x dx

4 4 2 2 2−

= − − = − −

∫ ∫ ∫

Ta có:

2 22 2 32

0 0

x 16 2x dx

3 3= =∫

Đặt x 4sint dx 4costdt= ⇒ = . Khi đó:

( )2 2 4 4

2 2

0 0 0

16 x dx 16 cos tdt 8 1 cos2x dx 2 4

π π

− = = + = π+∫ ∫ ∫

Vậy: D4

S 23

= π+ .

Ví dụ 2. Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): 2y x= và phía trên

bởi đường thẳng đi qua ( )A 1;4 có hệ số góc k . Tìm k để (H) có diện tích nhỏ

nhất.

Lời giải Đường thẳng ∆ đi qua A , hệ số góc k có phương trình :

( )y k x 1 4 kx k 4= − + = − + .

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và ∆ :

( )2 2x kx k 4 x kx k 4 0 1= − + ⇔ − + − =

Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm 1 2x x< . Khi đó, diện tích (H) là:

( )x2

2

x1

S kx k 4 x dx= − + −∫ ( )x23

2

x1

k xx 4 k x

2 3

= + − −

( ) ( )( ) ( )2 2 3 32 1 2 1 2 1

k 1x x 4 k x x x x

2 3= − + − − − −

( ) ( ) ( )22 11 2 1 2 1 2

x x3k x x 6 4 k 2 x x 2x x

6

− = + + − − + +


357

( )22 1x xk 4k 16

6

−= − + .

Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 1 2x x x x 4x x k 2 12 12− = + − = − + ≥

2 3S .12 4 3

6⇒ ≥ = . Đẳng thức xảy ra k 2⇔ = .

Vậy k 2= là giá trị cần tìm. Bài tập tự luyện

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3, x 0, x 3= − + − = = và Ox . Hướng dẫn giải:

( ) ( )1 3

2 2

0 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −∫ ∫

1 33 3

2 2

0 1

x x 82x 3x 2x 3x

3 3 3

= − − + − + − + − =

.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3 2y x 11x 6, y 6x= + − = , x 0, x 2= = . Hướng dẫn giải:

Đặt ( ) ( )3 2 3 2h x x 11x 6 6x x 6x 11x 6= + − − = − + −

( )h x 0 x 1 x 2 x 3= ⇔ = ∨ = ∨ = (loại).

( ) ( )1 2

3 2 3 2

0 1

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= − − + − + − + −∫ ∫

1 24 2 4 2

3 3

0 1

x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2

= − − + − + − + − =

.

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4 x 3= − + và trục hoành.

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0− + = ⇔ − + = = ≥

x 1t 1 x 1

t 3 x 3x 3

== = ± ⇔ ⇔ ⇔ = = ±=

3 32 2

3 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx−

⇒ = − + = − +∫ ∫


358

( ) ( )1 3

2 2

0 1

2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx = − + + − + ∫ ∫

1 33 3

2 2

0 1

x x 162 2x 3x 2x 3x

3 3 3

= − + + − + =

.

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3= − + và y x 3= + .

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

2x 4x 3 x 3− + = + 2

2

x 3 0x 0

x 4x 3 x 3x 5

x 4x 3 x 3

+ ≥ =⇔ ⇔− + = + = − + = − −

.

( ) ( ) ( )1 3 5

2 2 2

0 1 3

S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx⇒ = − + − + − + −∫ ∫ ∫

1 3 53 2 3 2 3 2

0 1 3

x 5x x 3x x 5x 1096x

3 2 3 2 3 2 6

−= − + + − + − =

.

5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y xlnx,x e= = và Ox Hướng dẫn giải:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành:

x 0 x 0

xlnx 0lnx 0 x 1

= = = ⇔ ⇔ = =

Nhận xét: [ ]xlnx 0 , x 1;e≥ ∀ ∈

Gọi S là diện tích cần tìm: e e

1 1

S xlnxdx xlnxdx= =∫ ∫

Đặt: 2

dxdu

u lnx x

dv xdx xv

2

== ⇒

= =

ee e2

1 11

e e2 22

11

x 1S xlnxdx lnx xdx

2 2

x 1 e 1lnx x ( vdt)

2 4 4

= = −

+= − =

∫ ∫

®

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 3x 2= − + và y x 1= −


359

Hướng dẫn giải: . Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

2 2 x 1x 3x 2 x 1 x 4x 3 0

x 3

=− + = − ⇔ − + = ⇔ =

Gọi S là diện tích cần tìm:

( ) ( )3 3

2 2

1 1

S x 3x 2 x 1 dx x 4x 3dx= − + − − = − +∫ ∫

Cách 1. ( Dựa vào đồ thị )

[ ]2 2x 3x 2 x 1 x 4x 3 0, x 1;3− + ≤ − ⇔ − + ≤ ∀ ∈

( )33 4

2 2

1 1

x 4S x 4x 3 dx 2x 3x

4 3

= − + − = − + − =

∫ (đvdt)

Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị )

( )3 3

3 3

1 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − + = − +∫ ∫

34

2

1

x 4 42x 3x

4 3 3

= − + = − =

(đvdt)

7. Tìm m để đồ thị ( )C : 4 2y x 2mx m 2= − + + cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và

diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi ( )C và Ox bằng diện tích hình

phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi ( )C và Ox .

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và

Ox : ( )4 2x 2mx m 2 0 1− + + =

Đặt 2t x , t 0= ≥ , ta có phương trình: ( )2t 2mt m 2 0 2− + + = .

Yêu cầu bài toán ( )2⇔ có hai nghiệm t 0> phân biệt

2' m m 2 0

S 2m 0 m 2

P m 2 0

∆ = − − >

⇔ = > ⇔ > = + >

.

Gọi 1 2 1 2t ,t (0 t t )< < là hai nghiệm của ( )2 .

Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là:

1 2 2 1 3 1 4 2x t ;x t ;x t ;x t= − = − = = .

Do tính đối xứng của ( )C nên yêu cầu bài toán


360

( ) ( )x x3 4

4 2 4 2

0 x3

x 2mx m 2 dx x 2mx m 2 dx⇔ − + + = − + − −∫ ∫

( ) ( )5 3

4 24 44 4 4

x 2mxm 2 x 0 3x 10mx 15 m 2 0

5 3⇔− + − + = ⇔ − + + =

4x⇒ là nghiệm của hệ: ( )

4 24 4

4 24 4

x 2mx m 2 0

3x 10mx 15 m 2 0

− + + =

− + + =

( ) ( )2 24 4

3 m 24mx 12 m 2 0 x

m

+⇒ − + = ⇒ = thay vào hệ ta có được

( ) ( ) ( )2

22

m 29 6 m 2 m 2 0 9 m 2 5m 0

m

+− + + + = ⇔ + − = (do m 2> )

25m 9m 18 0 m 3⇔ − − = ⇔ = 4x 5⇒ = .

Với ( ) 4 2 x 1m 3 1 x 6x 5 0

x 5

= ±= ⇒ ⇔ − + = ⇔

= ±.

Vậy m 3= là giá trị cần tìm.

8. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2y 4 x , x 3y 0= − − + = quay quanh Ox


Hoành độ giao điểm 2

2 2x4 x x 3 x 3

3− − = − ⇔ = ⇔ = ±

( )3 4

2

3

xV 4 x dx

9−

⇒ = π − −∫

( )33 5

2 4 3

0 0

2 2 x36 9x x dx 36x 3x

9 9 5

π π= − − = − −

∫ .

Vậy 28 3

V5

π= (đvtt).

9. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2x y 5= − + , x 3 y= − quay quanh Oy .


Tung độ giao điểm: 2 y 1y 5 3 y

y 2

= −− + = − ⇔ =

.


361

( ) ( )2 2 22

1

V y 5 3 y dy−

⇒ = π − + − −∫

( )2

4 2

1

y 11y 6y 16 dy−

= π − + +∫

25 3

2

1

y 11y 1533y 16y

5 3 5−

π= π − + + =

.

10. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: xy xe ,y 0,x 0,x 2= = = = và quay quanh trục Ox .


Gọi V là thể tích cần tìm: ( )2 22x 2 2x

0 0

V xe dx x e dx= π = π∫ ∫

Đặt: 2

2x2x

du 2xdxu x

1v edv e dx 2

= = ⇒

==

2 2 22 2x2x 4 2x

0 00

x eV xe dx 2 e xe dx

2

π= −π = π −π∫ ∫

Đặt: 2x2x

du dxu x1

v edv e dx2

== ⇒

==

22 22x4 2x 4 2x

0 00

xeV 2 e xe dx 2 e e dx

2 2

π π = π −π = π − −

∫ ∫

( ) ( )2

4 4 2x 4 4 4 4

0

2 e e e 2 e e e 1 5e 14 4 4

π π π= π − π − = π −π + − = −

(đvtt).

11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = và quay quanh trục Ox .

Hướng dẫn giải: Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox

( ) ( )22 2 3

2 2 21

0 0 0

4x 32V 2x 4 dx 4x 16x 16 dx 8x 16x

3 3

π= π − = π − + = π − + =

∫ ∫


362

Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox

( ) ( )22 2 5 322 4 2

20 0 0

x 8x 256V x 4 dx x 8x 16 dx 16x

5 3 15

π= π − = π − + = π − + =

∫ ∫

Gọi V là thể tích cần tìm: 2 1256 32 32

V V V15 3 5

π π π= − = − = (đvtt)

12. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với

D là hình giới hạn bởi các đường: 2y xcosx sin x , y 0,x 0,x2

π= + = = =

Hướng dẫn giải: Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là:

( )2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

V y dx xcosx sin x dx xcosxdx sin xdx

π π π π

= π = π + = π + π∫ ∫ ∫ ∫

Ta có: ( )2 2 22

00 0

1 1 1sin xdx 1 cos2x dx x sin2x

2 2 2 4

π π π

π = − = − =

∫ ∫ .

Đặt u x du dx

dv cosxdx v sinx

= = ⇒

= =

2 220

0 0

xcosxdx xsinx sinxdx 12

π ππ

π⇒ = − = −∫ ∫

Vậy ( )3 4

V 12 4 4

π π−π π = π − + π =

( đvtt )


D là hình giới hạn bởi các đường: xy xe ,y 0,x 0,x 1= = = =


Thể tích khối tròn xoay cần tính là: 1

2 2x

0

V x e dx= ∫

Đặt 2

2x2x

du 2xu x

1v edv e dx 2

= = ⇒

==

1 1212 2x 2x 2x

00 0

1 eV x e xe dx xe dx

2 2

π ⇒ = π − = −π

∫ ∫


363

Đặt 2x2x

du dxu x1

v e dxdv e dx2

== ⇒

==

11 1 2 2x 212x 2x 2x

00 0 0

1 1 e e e 1xe dx xe e dx

2 2 2 4 4

+⇒ = − = − =∫ ∫

2 2 2e e 1 e 1

V2 4 4

+ −⇒ = π − = π

( đvtt )


D là hình giới hạn bởi các đường: ( )2y x ln 1 x ,y 0,x 1= + = =

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

( )2y x ln 1 x= + và y 0= : ( )2x ln 1 x 0 x 0+ = ⇔ = .

Thể tích cần tính: ( )1

2 2

0

V x ln 1 x dx= π +∫ .

Đặt ( )2 2

32

2xdu dx

u ln 1 x 1 x

xdv x dx v3

= = + +

⇒ = =

( ) ( )11 13 4

2 2 22

0 00

x 2 xx ln 1 x dx ln 1 x dx

3 3 1 x⇒ + = + −

+∫ ∫

12

20

ln2 2 1x 1 dx

3 3 1 x

= − − +

+ ∫1 13

200

ln2 2 x 2 dxx

3 3 3 3 1 x

= − − − +

∫

ln2 4 2 12ln2 16 6

.3 9 3 4 36

π + − π= + − = (đvtt).

Documents

7. Nguyen Ham, Tich Phan.doc