1

7. MAJANDUSNÄHTUSTE MODELLEERIMINE

Õpetamise eesmärgid, õpitulemused ja teema olulisuse kirjeldus:

Eesmärgiks on anda näpunäiteid ja kogemusi matemaatiliste mudelite formuleerimiseks ja

analüüsimiseks ning tutvustada majandusnähtusi ja protsesse, mille analüüsimisel kasutatakse

erineva kujuga mittelineaarseid mudeleid.

1. Õpilane eristab lineaarset, eksponentsiaalset ja logaritmilist kasvu ja tunneb vastavate

mudelite üldkuju.

2. Õpilane teab, mis tingimustel esineb eksponentsiaalne kasv ja oskab tõlgendada

eksponentsiaalse mudeli parameetreid.

3. Õpilane teab õppimiskõvera mõistet ja oskab seda esitada astmefunktsioonina.

4. Õpilane teab, mis tingimustel esineb logistiline kasv ning kuidas muutub kasvukiirus

logistilise mudeli korral.

5. Õpilane oskab verbaalsel kujul antud mudelit tõlkida matemaatika keelde.

6. Õpilane oskab koostada mudeleid, mis sisaldavad võrdelist ja pöördvõrdelist seost.

7. Õpilane oskab koostada mudeleid, mille matemaatiline kuju on määramispiirkonna

erinevates lõikudes erinev.

8. Õpilane teab regressioonülesande eesmärki, vähimruutude meetodi olemust ja

determinatsioonikordaja mõistet.

9. Õpilane oskab programmis Excel leida lineaarse regressioonmudeli ja tüüpiliste

mittelineaarsete regressioonmudelite (eksponent-, astme- ja logaritmiline funktsioon)

parameetreid.

10. Õpilane oskab valida antud andmete kirjeldamiseks sobivaimat regressioonmudelit.

Matemaatika õppimisel on oluline näidata matemaatika kasutusvõimalusi reaalse maailma

kirjeldamisel ja analüüsimisel.

2

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: eksponent-, astme- ja logaritmfunktsioon;

tuletiste leidmine nendest funktsioonidest; võrrandite lahendamine; graafikute skitseerimine; arv

e piirväärtusena, geomeetrilise jada esimese n liikme summa; funktsiooni piirväärtus;

kasvutempo; majanduses kasutatavad põhilised funktsioonid; diagrammide koostamine

programmis MS Excel.

Soovitused hindamise osas: Mudelite koostamine rühmatööna, mille tulemusel selgub, kas

õpilased on omandanud vajalikud oskused.

Lõimumine

Füüsika: radioaktiivne lagunemine ja eksponentsiaalsed mudelid.

Bioloogia: eksponentsiaalne kasv ja S-kujuline kasvumudel.

Ajalugu: II maailmasõda ja selle mõju Maa rahvaarvule (näide 7.2.4).

Soovitatav tunnijaotus:

1. tund Mudelite struktuur ja liigitus. Eksponentsiaalsed mudelid.

2. tund Mudelid logaritm-, astme- ja logistilise funktsiooniga

3. tund Mudelite koostamine näited ja ülesanded

4. tund Mudelite koostamine ülesanded (rühmatöö)

5. tund Regressioonanalüüs arvutiklassis

4. ja 5. tunni teemad võib ka ära vahetada.

7.1. Mudelite struktuur ja liigitus

Sissejuhatav osa, milles tuuakse ära matemaatilise mudeli elemendid ja tutvustatakse mudelite

liigitust.

3

7.2. Eksponentsiaalsed mudelid

Tutvutakse näidetega, millistes situatsioonides esineb eksponentsiaalne kasv või kahanemine.

Uus mõiste „amortisatsioon“ – vara väärtuse kahanemine. Arv e ja pidev kasv. Rahvastiku kasv

ja Malthuse piiramatu kasvu probleem, majanduskasv. Eksponentsiaalse mudeli parameetrite

tõlgendamine, kasvu kiiruse leidmine. Eksponentsiaalne kasv kui kasv konstantse kasvutempoga.

Ajamuutuja t kasutamine dünaamilistes mudelites.

Näite 7.2.4. joonise 7.2.6 juures, kus on Maa rahvaarvu kasv, võib tähelepanu juhtida sellele, et

aastatel 1950 oli tegelik rahvaarv märgatavalt väiksem mudeli järgi arvutatust. Küsida õpilastelt,

mis võis olla selle põhjuseks. Vastus: II maailmasõja otsene ja kaudne mõju. Otseselt suri sõja

tõttu umbes 60 miljonit inimest, so ligikaudu 3,5% ennesõjaaegsest rahvastikust. Kaudne mõju

on sõja tõttu sündimata jäänud lapsed. Vt ka Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/World_War_II_casualties

ÜLESANNETE LAHENDUSED

7.2.1. Kui amortisatsioonimäär on 30% aastas, siis järele jääb 70%.

a) Jääkväärtuse sõltuvus ajast ( ) 800 0,7tJ t , kus t on aeg aastates.

b) 3(3) 800 0,7 274,40J eurot.

7.2.2. Olgu auto algväärtus J0, liisingu lõppedes on jääkväärtus siis 00,25J . Jääkväärtuse

sõltuvus ajast on 0( ) tJ t J x , kus x näitab, kui suur osa jääb peale amortisatsiooni mahaarvamist

aastas järele. Paneme kirja seose jääkväärtuse jaoks viie aasta pärast ja leiame suuruse x

5

0 0

5

5

0,25

0,25

0,25 0,758

J J x

x

x

Amortisatsioonimäär aastas on siis 1 0,758 0,242 24,2% .

7.2.3. Lexuse jääkväärtuse sõltuvus ajast ( ) 50000 0,8tJ t . Paneme kirja võrrandi ja

lahendame t suhtes

4

0,8

50000 0,8 1,5 175

1,5 1750,8

50000

1,5 175log 23,5

50000

t

t

t

7.2.4. Olgu auto algväärtus J0. Kui amortisatsioonimäär aastas on 24%, siis järele jääv osa on

76% ja jääkväärtuse sõltuvus ajast 0( ) 0,76tJ t J . Paneme kirja tingimuse, et t aasta pärast on

auto väärtus 50% algväärtusest: 0 00,76 0,5tJ J . Nüüd avaldame aja t

0 0

0,76

0,76 0,5

0,76 0,5

log 0,5 2,5

t

t

J J

t

Kontroll: 2,5

0 00,76 0,5J J

Esimese kahe ja poole aastaga kaotab uus auto pool oma algväärtusest.

Et leida, kui palju kaotab järgmise 2,5 aasta jooksul, leiame algul auto jääkväärtuse viie aasta

pärast ( 2,5 2,5 ): 5

0(5) 0,76J J . Nüüd leiame jääkväärtuste erinevuse

2,5 5 2,5 2,5

0 0 0 0 0(2,5) (5) 0,76 0,76 0,76 (1 0,76 ) 0,5(1 0,5) 0,25J J J J J J J

Järgmise 2,5 aasta jooksul kaotab auto 25% oma algväärtusest.

Selle ülesande lahendus demonstreerib, miks on mõistlik osta paar aastat vana auto.

7.2.5. Kui amortisatsioonimäär aastas on 30%, siis järele jääb 70%. Olgu x järele jääv osa sellisel

juhul, kui ümberarvestust hakatakse tegema üks kord kuus. Kui J0 on vara algväärtus, siis ühe

aasta pärast

12

0 00,7J J x .

Leiame suuruse x

12

12

0,7

0,7 0,971

x

x

Amortisatsioonimäär kuus on siis 1 0,971 0,029 2,9% .

5

7.2.6. a) Mudelis on aeg t aastates alates aastast 1900, st siis 0t . Aastal 2015 100t ning

0,015100 1,5(100) 1,348 1,348 6N e e miljardit.

b)

0,015

0,015

1,348 5

5

1,348

t

t

e

e

50,015 ln

1,348

5ln

1,34887

0,015

t

t

Aastal 1987.

7.2.7. 0,03 20 0,6(20) 3 3 5,5N e e miljardit.

7.2.8. a) Leiame töökorras olevate kombainide osakaalu 3 aasta pärast, st t=3:

0,2 3 0,6(3) 0,549 54,9%w e e .

b) Et leida, kui suur osa köögikombainidest langevad rivist välja kolmandal tööaastal, tuleb algul

leida töökorras olevate köögikombainide osakaal kahe aasta pärast, siis kolme aasta pärast (leitud

osas a) ja siis nende osakaalude vahe.

Kahe aasta pärast 0,2 2 0,4(2) 0,67 67%w e e .

Osakaalude vahe 67% 54,9% 12,1% .

7.2.9. Kasutame eksponentsiaalse kasvu mudelit 0( ) rtSKP t SKPe , kus t on aastad alates aastast

2000. Seega aastal 2000 t=0, aastal 2010 t=10 ja aastal 2020 t=20. Algväärtus 0 100SKP

miljardit. Teades, et (10) 180SKP miljardit , saame võrrandi kasvumäära r leidmiseks:

10

10

180 100

1,8

10 ln1,8

ln1,80,05878

10

r

r

e

e

r

r

6

Aastal 2020

0,05878 20(20) 100 100 3,24 324SKP e

Aastal 2020 on SKP prognoositud väärtus 324 miljardit dollarit.

7.2.10. Kasutame eksponentsiaalse kasvu mudelit 0( ) rtN t N e , kus t on aastad alates aastast

2002 ning N müüdud hamburgerite arv tuhandetes.. Seega aastal 2002 t=0, aastal 2007 t=5 ja

aastal 2010 t=8. Algväärtus N0=30. Teades, et (5) 120N , saame võrrandi kasvumäära r

leidmiseks:

5

5

120 30

4

5 ln 4

ln 40,2773

5

r

r

e

e

r

r

Aastal 2010

0,27738(8) 30 30 9,193 276.N e

Aastal 2010 müüdi 276 tuhat hamburgerit.

7.2.11. Kasutame eksponentsiaalse kasvu mudelit 0( ) rtN t N e , kus t on kuude arv alates üle-

eelmisest kuust. Seega üle-eelmisel kuul t=0, eelmisel kuul t=1 ja sellel kuul t=2. Algväärtus

N0=2500. Teades, et (1) 1000N , saame võrrandi kasvumäära r leidmiseks:

11000 2500

0,4

ln 0,4 0,9163.

r

r

e

e

r

Paneme tähele, et kahanemise korral on kasvumäär negatiivne. Sellel kuul

0,9163 2(2) 2500 2500 0,16 400.N e

Sellel kuul müüakse oodatavalt 400 eksemplari.

7.2.12. 1996. aasta jaanuaris 13t . 0,028913(13) 3088 4496D e milj krooni.

Hoiuste muutumise kiirus on vastava funktsiooni tuletis. Tuletise arvväärtuse leidmiseks võib

7

kasutada õpikus toodud seost (7.2.10), kuid harjutamiseks on soovitav leida tuletis lahendamise

käigus.

0,0289

0,0289 13

( ) 0,0289 3088

(13) 0,0289 3088 130

tD t e

D e

1996. aasta jaanuaris kasvasid hoiused kiirusega 130 milj krooni kuus.

7.2.13. Olgu m aeg kvartalites, siis 4m t , kus t on aeg aastates. Kvartalite kasutamisel on

kasvufunktsioon 0

k my y e , kus k on kasvumäär kvartalis. Kuna suuruse y väärtus ei tohi sõltuda

ühikute valikust, siis

0,02

0 0

0,02

0,02

t km

t km

y e y e

e e

t km

Kuna 4m t , siis

0,02 4

0,02 4

0,020,005

4

t k t

k

k

Kasvufunktsioon on 0,005

0

my y e , kus m on kvartalite arv.

7.2.14. Algväärtuseks võtame 0 5000n . Sellisel juhul kehtib võrdus

5000 2 5000t rte

Leiame nüüd parameetri r väärtuse

2

ln 2

ln 2

ln 2 0,693

t rt

t

e

rt

t rt

r

Kasvumudeliks on 0,693( ) 5000 tn t e , kus t on aeg kuudes 1996. aasta algusest.

8

7.3. Mudelid logaritm-, astme- ja logistilise funktsiooniga

Tutvutakse näidetega, millistes situatsioonides esinevad vastavaid funktsioone sisaldavad

mudelid. Logaritmilise kasvu kiirus. Astmefunktsioon ja õppimiskõver. Piiratud kasv ja

logistiline kõver. Kasvu kiirus logistilise kõvera korral, käänupunkt.

Näide 7.3.2. Andmed on võetud Eesti Statistikaameti andmebaasist www.stat.ee Tabel HTG03:

Õppijad tasemehariduses.

Näide 7.3.3. Õppimiskõvera kohta võib lisaks lugeda inglisekeelsest Wikipediast

http://en.wikipedia.org/wiki/Experience_curve_effects

ja raamatust Stevenson, W., Hojati, M. Operations Management, 7. peatüki lisa „“Learning

Curves“

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/dl/free/0070951675/436571/supplement_ch07.pdf

Logistilise kõvera kasutamise kohta äritegevuses ja mujal võib lugeda inglisekeelse Wikipedia

artiklist „Diffusion of innovations“

http://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_of_innovations

Näide 7.3.4. Andmed on võetud Eesti Statistikaameti andmebaasist. Tabel SI41: Tele-

kommunikatsiooniteenused.

ÜLESANNETE LAHENDUSED

7.3.1. Kasutame teisendusvalemit üleminekuks ühelt logaritmi aluselt teisele

10

log lnlog

log 10 ln10

e

e

n nl n

7.3.2. Leiame funktsiooni ( ) 16,479ln( ) 32,67N t t tuletise, kui 2t (1998.a) ja 9t (2005.

aastal). 16,48

(2) 8,242

N tuhat üliõpilast aastas. 16,48

(9) 1,839

N tuh. üliõpilast aastas.

7.3.3. ( ) ln (ln ln ) ln ln ( ) lny kx a kx b a k x b a x b a k y x a k

9

7.3.4. Valemi (7.3.7) põhjal võime kirjutada, et 2log 0,074b . Siis 0,0742 0,95b , millest

järeldub, et ühikute arvu kahekordistumisel väheneb ühiku tegemiseks kulunud aeg 5%.

Esimese kolme ühiku tegemiseks kulunud summaarne aeg 0,074 0,074120 120 2 120 3 345

minutit ehk 5 tundi ja 45 minutit.

7.3.5. Võtame avaldisest (7.3.7) naturaallogaritmi

2log

1 1 2 1

lnln ln ln log ln ln ln

ln2

b bt t n t b n t n .

7.3.6. Algul tuleb ühtlustada ühikud, sest mahutavus on antud miljardites, algväärtus tuhandetes.

Kui valida kasutajate arvu ühikuks miljonid, siis 1110K miljonit ja 0 0,597N miljonit.

Parameeter r on antud aasta kohta, järelikult ajaühikuks võtame aasta ja 0t aastal 2004.

Valemist (7.3.12) ln

*a

tr

, mille jaoks leiame valemist (7.3.9) 0

11101 1 1860

0,597

Ka

N .

Nüüd ln1860

* 6,51,16

t . Kasvu kiirus oli kõige suurem 2010. aasta keskel.

7.3.7. Aastal 2005 14t . 0,4754 14

1732(14) 1422,2

1 169,3N

e

tuhat. Erinevus

1422,2 1444,30,0153 1,53%

1444,3

7.3.8. Näites 7.3.4 toodud mudelis 169,3a ja 0,4754r . Valemi (7.3.12) põhjal

ln169,3* 10,79 11

0,4754t . See vastab aastale 2002.

Maksimumkiiruse leidmiseks kasutame valemit (7.3.15) , kus 1732K :

max

0,4754 1732205,8

4N

tuhat klienti aastas.

7.3.9. Arvestame aega kuudes ja fotoaparaate loendame tuhandetes.

a) Kasvu kiirus saavutas maksimumi ajahetkel * 36t kuud ja oli sel ajal max 60N tuhat tk

kuus. Selleks ajaks müüdud aparaatide arv kokku ( *) 750N t tuhat. Valemist (7.3.13) turu

mahutavus 2 750 1500K tuhat . Mudeli jaoks on vaja määrata veel parameetrid r ja a.

10

Valemist (7.3.15) leiame max4 4 600,16

1500

Nr

K

. Valemist (7.3.12) * 0,16 36 317rta e e .

Mudel on 0,16

1500( )

1 317 tN t

e

, kus N on tuhandetes.

b) 0,16

15001000

1 317 te

, millest 40,3t . See on 3 aastat ja 4 kuud peale turule tulekut.

7.3.10. * Seosest (7.3.9) saame, et 0

1K

aN

. Nüüd

0

0 00 0

0 00

0

0

( )1

1 111 1

1 1

rtrt rt

rtrt rtrtrt

rt

rt

N eK K Ke KeN t

K N NN NKae K e eeeN K KN K KN

N e

Ne

K

7.3.11. ** Kasvu kiiruse maksimumkoha leidmiseks leiame kiiruse ( )N t tuletise ja selle

nullkoha.

2 2( )

1 1

rt rt

rt rt

Kare eN t Kar

ae ae

Murrust tuletise leidmiseks kasutame jagatise tuletise valemit:

2 2

2 4

2

4

2 2 2 2

3 3 3

1 1

1 1

1 2 1 ( )

1

1 2 2 (

1 1 1

rt rt rt rtrt

rt rt

rt rt rt rt rt

rt

rt rt rt rt rt rt rt rt rt

rt rt rt

e ae e aee

ae ae

re ae e ae a r e

ae

re ae are re are are are re re ae

ae ae ae

3

1)

1

rt

rtae

Näeme, et tuletis on null, kui 1 0rtae , millest nullkoht lna

tr

.

11

7.3.12. Kui lna

tr

, siis valemis (7.3.8) ln

ln

ln

1 1a

rrt ar

ae e e

e a

. Nüüd

( )11 2

1rt

K K KN t

aea

a

.

7.4. Modelleerimisel kasutatavaid funktsioone: kokkuvõte

Eesmärgiks on tuua lühike võrdlev ülevaade erineva kujuga funktsioonidest ja nende

graafikutest.

7.5. Matemaatiliste mudelite koostamine

Algul tuuakse mõningaid soovitusi matemaatiliste mudelite koostamiseks: tähistuste kasutamine,

eelduste tegemine, ühikute kasutamine. Kuna matemaatiliste mudelite koostamise kohta pole

põhjalikku teooriat, toimub põhiline õppimine näidete ja ülesannete abil.

Ülesanded 7.5.10 – 7.5.13 on mõeldud lahendamiseks rühmatööna, igale rühmale anda üks

ülesanne. Soovitav on planeerida selleks eraldi tund. See tund võib toimuda enne alapeatüki 7.6

materjaliga tutvumist või ka peale seda, teema „Majandusnähtuste modelleerimine“ viimase

tunnina. Tunni lõppedes peaksid kõik rühmad tegema väikese esitluse. Nende ülesannete

vastuseid pole õpikus toodud.

Ülesande 7.5.11 juures on vaja teha otsing internetist Eesti Statistikaameti andmebaasist.

ÜLESANNETE LAHENDUSED

7.5.1. Olgu S põllu pindala, a pikkus ja b laius. Paneme kirja vastavad seosed:

Pindala S ab .

Tara pikkus 2 300a b .

Viimasest seosest avaldame pikkuse a ja saadud avaldise asetame pindala valemisse:

2

300 2

(300 2 ) 300 2

a b

S b b b b

7.5.2. Olgu S mänguväljaku pindala, a väljaku külje pikkus ning n laste arv. Paneme kirja seosed

12

pindala ja ümbermõõdu kohta:

Tervisekaitsenõuetest 7,5S n .

Ruudu pindala 2S a .

Ruudu ümbermõõt 4Ü a .

Paneme esimesed kaks avaldist võrduma, avaldame a ja saadud avaldise asetame ümbermõõdu

avaldisse

2 7,5

7,5

4 7,5 4 7,5

a n

a n

Ü n n

Lõppvastuse väljakirjutamisel on soovitav esitada see kujul, kus arvuline kordaja on eraldi ja

sõltuvus laste arvust n eraldi.

7.5.3. Olgu seadmete arv n ning kogukulud C(n). Seadistuskulud on võrdelised seadmete

arvuga: an . Tegevuskulud on pöördvõrdelised seadmete arvuga: b

n. Kogukulud ( )

bC n an

n .

7.5.4. Olgu s vahemaa kilomeetites

a) Pileti hinna sõltuvus vahemaast ( )p s a s

b) 6,7 173a , 6,7

0,509173

a , (100) 0,509 100 5,09p

7.5.5. Olgu maja pindala S ja vannitubade arv n. Maja hind 2( , )p S n aS bn .

7.5.6. Olgu grupi liikmete arv n ja grupikülastuse eest makstava tasu suurus T. Tasufunktsiooni

määramispiirkond jaguneb kaheks osaks, kus funktsiooni kuju on erinev:

2,5 , 30( )

2 , 30

n nT n

n n

7.5.7. Olgu nakatunud inimeste arv n ja nakatumata inimeste arv m. Tähistades epideemia

levikukiirust tähega v, võime kirjutada v anm , kus a on võrdetegur. Arvestame seda, et

nakatumata inimeste arv m N n , kus N on piirkonna elanike koguarv (see on konstant).

13

Epideemia levikukiiruse sõltuvus nakatunute arvust ( ) ( )v n an N n . Kui mingi suuruse

muutumise kiirus avaldub sellisel kujul, siis vastav suuruse muutumist kirjeldab logistiline kõver

(vt valem 7.3.14). Piirkonna elanike koguarv on maksimaalne nakatunute arv ehk „mahutavus“.

7.5.8. Olgu konteineri laius a, pikkus b ja kõrgus h.

Seinte pindala (külgpindala) 2 2ah bh .

Põhja ja lae pindala kokku 2ab .

Ruumala kohta võime kirja panna seose 69 abh .

Laiuse ja pikkuse vaheline seos 3b a .

Asetame viimase avaldise ruumala seosesse ning avaldame sealt kõrguse h

2

2

69 3

23

a h

ha

Nüüd paneme b ja h avaldised pindalade valemitesse

Seinte pindala (külgpindala) 2 2

23 23 1842( ) 2( 3 ) 8a b h a a a

a a a .

Põhja ja lae pindala kokku 22 2 3 6ab a a a

Materjalikulu C leidmiseks korrutame hinnad vastavate pindaladega ja liidame

2 2184 276( ) 1,5 2 6 12C a a a

a a .

7.5.9. Olgu brutotulu kuus B. Maksustatav tulu on siis 144B . Tulumaksu suurust kirjeldava

funktsiooni määramispiirkond on jaotatud kolmeks osaks (esimene vahemik on nullist kuni 144

euroni).

1. 0 144B , tulumaks 0 eurot;

2. 144 (144 1000)B , tulumaks 0,21 ( 144)B ;

3. (144 1000) B , tulumaks 0,21 1000 0,26 ( 144 1000)B ;

Lihtsustame ja kirjutame kompaktselt välja, tähistades tulumaksu tähega M

14

0 , 0 144

( ) 0,21 30,24 , 144 1144

0,26 507,44 , 1144

B

M B B B

B B

7.5.10. Tulufunktsiooni määramispiirkond on jaotatud kolmeks osaks ja igas osas on funktsiooni

kuju erinev. Olgu grupi suurus n. Piirkonnas 40n on tulu konstantselt 1200 eurot. Piirkonnas

40 80n on ühe inimese kohta makstav tasu 30 0,25( 40) 40 0,25n n ning tulu

saamiseks tuleb see korrutada inimeste arvuga n: 2(40 0,25 ) 40 0,25n n n n . Piirkonnas

80 n on tulufunktsioon 20n . Esitame tulemused kokkuvõtlikult:

2

1200, 40

( ) 40 0,25 , 40 80

20 , 80

n

R n n n n

n n

7.5.11. Üheselt õiget mudelit pole, sobiva mudeli tingimusteks on:

1. Läbimüügi kasvades palk peab kasvama.

2. Läbimüügi kasvades palga kasvukiirus peab vähenema.

3. Kui läbimüük puudub, siis palk peab võrduma miinimumpalgaga.

15

Järgnevalt on kasutatud järgmisi tähistusi (õpilaste poolt kasutusele võetud tähistused võivad

neist muidugi erineda)

P müüja kuupalk, eurodes;

Pmin miinimumpalk kuus eurodes;

L poe läbimüük kuus, eurodes.

Logaritmiline mudel lnP b a L ei sobi, sest läbimüük võib olla ka 0.

Ruutparabool 2P b aL sobib ainult teatud piirides, sest teatud läbimüügi väärtusest

hakkab palk kahanema.

Hästi sobib mudel min( )P L P a L , kus a on positiivne konstant, 0a .

Tingimusi rahuldab ka mudel, kus erinevates läbimüügipiirkondades on kasutatud erineva

tõusuga sirgeid (murdjoont).

Kehtiva miinimumpalga leidmiseks võib kasutada

Riigiteatajat, kus avaldatakse Valitsuse määrused „Töötasu alammäära kehtestamine“,

saadaval www.riigiteataja.ee, kasutada täpset otsingut.

Maksu- ja Tolliameti kodulehekülge www.emta.ee Valida Tööandjale -> Maksud ja

maksed -> Tulumaksu kinnipidamine -> Töötasu alammäärad.

Keskmine läbimüük tuleb leida tekstis antud andmete põhjal ja see on 2065,5 eurot kuus.

Konstandi a määramiseks tuleb kasutada seost

2

keskmine brutopalk eelmisel aastal kodumaakonnas= (2065,5)3

P

Vastava maakonna keskmise brutopalga saab Eesti Statistikaameti andmebaasist www.stat.ee,

Tabel PA5321: Keskmine bruto- ja netokuupalk.

Järgnevalt on kasutatud mudelit min( )P L P a L , töötasu alammäära 2012. aastal, mis oli 290

eurot kuus ning keskmist palka Tallinnas 2011. aastal, mis oli 967 eurot kuus. 2/3 keskmisest

palgast: 2

967 644,673 . Järgnevalt

16

644,67 290 2065,5

644,67 2907,8

2065,5

a

a

Et mudelit oleks praktikas mugavam kasutada, on soovitav parameetri a väärtus ümardada kahe

tüvenumbrini. Palgamudel on ( ) 290 7,8P L L , kus P on müüja kuupalk eurodes ja L poe

läbimüük kuus eurodes.

7.5.12. Joonisel on toodud 5-tasemeline püramiid, milles on kokku 31 inimest. Tipus ja teisel

tasemel olevad isikud saavad igaüks summa 8p, kus p on liitumistasu. Viimasel kolmel tasemel

olijad (kokku 28) ei saa midagi ja on kaotajad.

a) Kui sissemaks on p, siis tulu on 8p, st tulu on 800% investeeringust.

b) Tasemel m on 12m liiget. Püramiidi kuuluvate liikmete koguarv avaldub geomeetrilise jada

summana

2 3 1 1 (2 1)1 2 2 2 ... 2 2 1

2 1

mm m

liiget

Leiame võimaliku tasemete arvu, mis saab moodustada N inimesest.

Kaotajad

17

2

2 1

2 1

log ( 1)

m

m

N

N

m N

Eestis on rahvaarv N=1,3 milj. Leiame 2log (1300001) 20,3 , maksimaalne tasemete arv Eestis

20.

Kaotajad, kes tulu (teiste liikmemakse) ei saa, on kolm viimast taset:

Tasemel m on 12m liiget.

Tasemel 1m on 22m liiget.

Tasemel 2m on 32m liiget.

Kaotajate arv 1 2 32 2 2m m m

Kaotajate osakaal 1 2 32 2 2

2 1

m m m

mw

.

Kui Eestis m=20, siis

19 18 17

20

2 2 2 91750487,5%

2 1 1048575w

.

c) Kaotajate osakaalu leidmine üldjuhul.

Paneme tähele, et kehtib võrratus

1 2 3 1 2 32 2 2 2 2 2

2 1 2

m m m m m m

m mw

.

Teisendame parempoolset murdu 1 2 3 3 2

3 3

2 2 2 2 (2 2 1) 7

2 2 (2 ) 8

m m m m

m m

.

Järelikult kaotajate osakaal

7

ehk 87,5%8

w w .

Kommentaar Püramiidskeemid on paljudes riikides, kaasaarvatud Eestis, keelatud. Võrk-

turundusest erinevad nad selle poolest, et püramiidskeemi korral ei toimu mingit äritegevust

(kaupade või teenuste müük, investeerimine). Ainuke raha tuleb liikmemaksudest. Vt ka

http://rahafoorum.ee/2012/05/puramiidskeemid/

http://en.wikipedia.org/wiki/Pyramid_scheme

7.5.13. Probleem on analoogne näites 7.7.3. tooduga. Paneme tähele, et

1. lennuki valmistamiseks kulub 100 000 töötundi

18

2. lennuki valmistamiseks 80000 0,8 100000 töötundi;

4. lennuki valmistamiseks 64000 0,8 80000 töötundi.

Iga kord, kui toodete arv kahekordistub, kulub ühe toote jaoks 80% varasemast töötundide

arvust. Kui esimese toote valmistamiseks kulub t1 töötundi, siis 10,8nt t , kus n on toodete

kahekordistumiste arv. Suvaline toodete arv k on siis 2nk , millest 2logn k ning

2log

1( ) 0,8 kt k t . (2.1)

Kasutades valemit logaritmi teisendamiseks ühel aluselt teisele (vt näidet , võime kirjutada, et

2log 0,8

1( )t k t k . (2.2)

Arvestades, et 2log 0,8 0,232 , võime seose kirjutada ka kujul

0,232

1( )t k t k .

Kogukulude mudeli jaoks eeldame:

1. tööjõukulud on võrdelised töötundide arvuga;

2. materjalikulud ühe toote kohta on konstantsed, st ei sõltu sellest, mitmendat toodet tehakse.

Kogukulude mudel peaks välja nägema järgmiselt;

0,232 0,232 0,232( ) 100000 (1 2 3 ... )C k kb h k ,

kus b on materjalikulu tooteühiku kohta, h kulu ühe töötunni kohta ja k on toodete arv.

19

7.6. Regressioonanalüüs

Tund tuleb läbi viia arvutiklassis, kasutada programmi MS Excel.

Regressioonanalüüsi on võimalik Excelis läbi viia mitmel erineval moel. Kõige rohkem

võimalusi on lineaarse regressioonmudeli leidmiseks:

spetsiaalne vahend analüüsivahendite komplektis Data Analysis;

Exceli funktsioonid SLOPE ja INTERCEPT, mis leiavad vastavalt sirge tõusu ja

vabaliikme;

trendijoone lisamine diagrammile koos regressioonijoone võrrandiga.

Kuna esimest kaht meetodit saab kasutada ainult lineaarse mudeli jaoks, on õpikus toodud

juhtnöörid ainult viimase meetodi kasutamiseks, mis võimaldab leida ka mittelineaarse mudeli

parameetreid. Juhtnöörid on toodud inglisekeelse Exceli jaoks.Eestikeelse Exceli korral võib

kasutada MS Office tugiteenuste lehel http://office.microsoft.com/et-ee/ olevaid juhendmaterjale

„Diagrammi loomine algusest lõpuni“ ja „Diagrammis trendijoone lisamine, muutmine või

eemaldamine“ (täpsed viited Moodles).

Algul tutvuda õpikust vähimruutude meetodi olemusega ning trendijoont omavate Exceli

diagrammide näidetega (näited 7.6.1, 7.6.2). Seejärel teha läbi näide 7.6.3 (fail

„regressioon.xlsx“), milles on toodud juhtnöörid trendijoone lisamiseks Exceli diagrammile.

Moodle keskkonnas on olemas ka viide vastavale demole.

Ülesannete tekstid on toodud õpikus, andmed Exceli failis „regressioon.xlsx“ eraldi lehtedel.

Valmis diagrammid on Exceli failis „regressioon lahendused.xlsx“. Igas ülesandes tuleb lisaks

regressioonmudeli koostamisele vastata mudeli kohta käivatele küsimustele.

7.6.1. a) Mudeliks on 0,1318 125,77y x , kus x on kulud kokku leibkonnaliikme kohta aastas

ja y vaba aja kulud.

b) Sirge tõusu tõlgendus: kogukulude suurenemisel ühiku võrra suurenevad vaba aja kulud

0,1318 ühikut. Järelikult igast rohkem kulutatud 100-st eurost 13 eurot kulutatakse vaba ja

peale.

20

c) Negatiivse vabaliikme tõlgendus, kui y saab omada vaid positiivseid väärtusi. Leiame, millal

vaba aja kulud puuduvad: 0 0,1318 125,77x , 954x eurot aastas leibkonnaliikme kohta, siis

tekivad ka vaba aja kulud.

7.6.2. Mudel on 0,2487446,3y x , kus y on ühe auto tootmiskulud dollarites ja x toodetud autode

arv. Õppimiskõvera protsendi määrab parameeter b mudelist kujul (7.3.7). Saame

2log 0,248b , 0,2482 0,84b .

7.6.3. Parim on eksponentsiaalne mudel 0,27934627,5 ty e , kus y on laenujääk miljardites

kroonides ja t aeg aastates, 1t aastal 1994. Ajamuutuja t algväärtus on võetud 1 seepärast, et

saaks hinnata ka logaritmilist mudelit. Kiiruse leidmiseks leiame tuletise väärtuse kohal 14t .

0,2793( ) 4627,5 0,2793 ty t e , 0,279314(14) 4627,5 0,2793 64505y e miljardit krooni aastas.