Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ
Χειμερινό εξάμηνο 2019
Πέτρος Κωμοδρόμος
http://www.eng.ucy.ac.cy/petros
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
1
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2
▪ Εισαγωγή στα πολυβάθμια συστήματα (ΠΒΣ)
▪ Εξισώσεις κίνησης
▪ Στατική Συμπύκνωση
▪ Ελεύθερη ταλάντωση πολυβάθμιων συστημάτων
▪ Ελεύθερη ταλάντωση ΠΒΣ χωρίς απόσβεση
▪ Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιομορφών
▪ Ιδιότητες ιδιομορφών
▪ Απόσβεση ΠΒΣ
Θέματα
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 3
▪ Μέθοδος Stodolla-Vianello για την επίλυση ιδιοπροβλημάτων
▪ Δυναμική ανάλυση ΠΒΣ με επαλληλία των ιδιομορφών
▪ Ανάλυση ΠΒΣ για εξωτερικά επιβαλλόμενα δυναμικά φορτία
▪ Ανάλυση ΠΒΣ για σεισμικές διεγέρσεις
▪ Φασματική ανάλυση
▪ Μέγιστες ιδιομορφικές αποκρίσεις και οι συνδυασμοί τους
▪ Δυναμική ανάλυση με απευθείας ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης
▪ Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς για δυναμική ανάλυση ΠΒΣ
▪ Μέθοδος Newmark για δυναμική ανάλυση ΠΒΣ
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 4
Εισαγωγή στα ΠΒΣ- Εξισώσεις κίνησης
▪ Όταν κάποια κατασκευή δεν μπορεί να προσομοιωθεί ικανοποιητικά από ένα ΜΒΣ,
τότε απαιτείται χρήση πολυβάθμιου συστήματος (ΠΒΣ).
▪ Η συντριπτική πλειονότητα των κτηριακών και άλλων κατασκευών πολιτικού
μηχανικού δεν μπορούν να προσομοιωθούν ικανοποιητικά ως ΜΒΣ.
▪ Όλες σχεδόν οι κατασκευές έχουν ουσιαστικά κατανεμημένες τις μάζες τους και
άπειρους βαθμούς ελευθερίας.
▪ Οι μάζες και τα στοιχεία δυσκαμψίας των περισσοτέρων κατασκευών είναι χωρικά
κατανεμημένες αλλά μπορούν να διακριτοποιηθούν προσεγγιστικά και προσομοιωθούν
ικανοποιητικά με χρήση Πολυβάθμιων Συστημάτων (ΠΒΣ), όπου οι μάζες μπορούν να
θεωρηθούν συγκεντρωμένες σε πεπερασμένο αριθμό διακριτών βαθμών ελευθερίας.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 5
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 8
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 9
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 10
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 11
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 12
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 13
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 14
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 15
Παράδειγμα διώροφου πλαισίου
(με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου)
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 16
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 17
Παράδειγμα διώροφου πλαισίου
(με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου)
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 18
Συστατικά δυσκαμψίας, απόσβεσης και μάζας
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 19
Πλαίσιο με γενικευμένη συμπεριφορά
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 20
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ21
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
22
Συμπεριφορά Διατμητικού Προβόλου
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ23
Εκκεντρότητες σε Κάτοψη: Ανεπιθύμητες Στροφές
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 24
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 25
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 26
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
27
Παράδειγμα εκκεντρότητας σε κάτοψη
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ28
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ29
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ30
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ31
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ32
Στατική Συμπύκνωση
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ33
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ34
35
Ελεύθερη ταλάντωση πολυβάθμιων συστημάτων (ΠΒΣ)
Ελεύθερη ταλάντωση ΠΒΣ χωρίς απόσβεση
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ36
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ37
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ38
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ39
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ40
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ41
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ42
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ43
.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ44
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ45
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ46
47
▪ Για ένα ΠΒΣ με Ν- δυναμικούς ΒΕ υπάρχει αριθμός Ν- ιδιομορφών.
▪ Έτσι, το πιο κάτω σύστημα, το οποίο έχει 3 δυναμικούς ΒΕ, έχει 3 ιδιομορφές:
▪ Παρατηρούμε ότι στην 1η ιδιομορφή υπάρχει ένα σημείο με μηδενική μετακίνηση,
για τη 2η ιδιομορφή υπάρχουν δύο σημεία και για την 3η ιδιομορφή υπάρχουν τρία
σημεία με μηδενική μετακίνηση.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ48
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ49
50
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 51
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
52
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
53
Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιομορφών
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ54
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ55
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ56
Ιδιότητες ιδιομορφών
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ57
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ58
Κανονικοποίηση ιδιομορφών
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ59
Παράδειγμα
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ60
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ61
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ62
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ63
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ64
Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ65
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ66
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ67
Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ68
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ69
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ70
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 71
Παράδειγμα
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 72
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 73
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 74
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 75
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 76
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ77
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ78
Συνεισφορές της 1ης
(αριστερά) και της 2ης
(δεξιά) ιδιομορφής στη χρονοϊστορία ελεύθερης ταλάντωσης του 1ου
(κάτω) και 2ου ορόφου (πάνω) ΠΒΣ (με λόγους ιξώδους απόσβεσης 5%) με αρχικές μεταθέσεις σύμφωνα με την 1η ιδιομορφή
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ79
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ80
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ81
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ82
Χρονοϊστορία
ελεύθερης
ταλάντωσης
1ου (κάτω) και
2ου ορόφου
(πάνω) ΠΒΣ
με λόγους
ιξώδους
απόσβεσης
ζ1=5% και
ζ2=2%.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ83
Προσδιορισμός μητρώου απόσβεσης ΠΒΣ
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ84
Απόσβεση Rayleigh
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ85
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ86
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ87
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 88
Παράδειγμα
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ89
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ90
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ91
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ92
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ93
k1=500e6
k2=400e6
k3=400e6
m1=300e3
m2=200e3
m3=200e3
M = [ m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3 ]
K = [k1+k2 -k2 0
-k2 k2+k3 -k3
0 -k3 k3 ]
[modes, eigenvalues2] = eig(K,M);
idiomorfh1 = modes(:,1)/sqrt((modes(:,1))'*M*modes(:,1));
idiomorfh2 = modes(:,2)/sqrt((modes(:,2))'*M*modes(:,2));
idiomorfh3 = modes(:,3)/sqrt((modes(:,3))'*M*modes(:,3));
w1 = sqrt(eigenvalues2(1,1))
w2 = sqrt(eigenvalues2(2,2))
w3 = sqrt(eigenvalues2(3,3))
T1 = 2 * pi / w1
T2 = 2 * pi / w2
T3 = 2 * pi / w3
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ94
z1 = 0.05;
z3 = 0.02;
coef = inv([1/2/w1 w1/2 ; 1/2/w3 w3/2 ])* [z1 ; z3];
a = coef(1);
b = coef(2);
C = a * M + b * K
z2 = a / 2 / w2 + b * w2 /2
subplot(2,1,1)hold ongrid on
heights = 0:3;scaling = 4*max(max(abs(modes)));for i=1:3
plot(1*i + [ 0 modes(:,i)' ]'./scaling,heights', 'k')plot(1*i + modes(:,i)./scaling,heights(2:4),'o')plot([ 1*i 1*i],[0 9], '--')
endaxis([0 4 0 3.5])xlabel('Idiomorfes')ylabel('Orofoi')
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ95
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
96
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ97
Εύρεση ιδιοσυχνοτήτων/ιδιομορφών με το πρόγραμμα Matlab
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ98
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ99
Μέθοδος αντιστρόφου επανάληψης (Stodola-Vianello)
για την εύρεση ιδιοτιμών/ιδιομορφών
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ100
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ101
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ102
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ103
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ104
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ105
Προγραμματισμός αριθμητικού προσδιορισμού ιδιοτιμών και ιδιομορφών
% k(i) stiffness of i-storyk(1)=1000e6;k(2)=1000e6;k(3)=1000e6;
% m(i) mass of i-floorm(1)= 500e3;m(2)= 500e3;m(3)= 500e3;
% N number of dynamic DOFsN = length(k);fprintf('\n Number of dynamic DOF: %d', N)
K = zeros(N,N);M = zeros(N,N);
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ106
for i=1:N
K(i,i) = k(i);
M(i,i) = m(i);
if i>1
K(i,i-1) = K(i,i-1) - k(i);
K(i-1,i) = K(i-1,i) - k(i);
K(i-1,i-1) = K(i-1,i-1) + k(i);
end
end
printMatrix(M,'Mass')
printMatrix(K,'Stiffness')
figureNumber=1;
figure(figureNumber)
clf
orient tall
% Ypologismos idiotimwn kai idiomorfwn
[V,D] = eig(K,M);
for i=1:N
w(i) = sqrt(D(i,i));
T(i) = 2*pi/w(i);
modes(:,i) = V(:,i)/V(N,i);
end
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ107
%%%%%%%%%%% Manual Solution %%%%%%%%
TOL = 1e-6;
vOld = ones(N,1);
for j=1:N
iteration = 0;
wOld_2 = -100;
while(1)
iteration = iteration + 1;
for h=1:1:j-1
vOld = vOld – (idiomorfes(:,h)'*M*vOld)/(idiomorfes(:,h)'*M*idiomorfes(:,h))*idiomorfes(:,h);
vOld = vOld/vOld(N);
end
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ108
vNew = inv(K) *M * vOld;
wNew_2 = vOld ./ vNew;
vNew = vNew /vNew(N);
if(abs((wNew_2-wOld_2)/(sum(wOld_2)/N)) < TOL)
break
end
vOld = vNew;
wOld_2 = wNew_2;
end
wN(j) = sqrt((vNew'*K*vNew)/(vNew'*M*vNew));
Tn(j) = 2 *pi/wN(j);
idiomorfes(:,j) = vNew;
end
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ109
fprintf('\n\n ****** Eigenvalues Computed by Matlab *******')
fprintf('\n\n Mode Eigenperiod Eigenfrequency Cyclic Eigenfrequency')
for i=1:N
fprintf('\n %d %.4f sec %.3f rad/sec %.3f Hz', i, Tn(i), wN(i), 1/Tn(i));
end
fprintf('\n\n ****** Eigenvalues Computed Manually *******')
fprintf('\n\n Mode Eigenperiod Eigenfrequency Cyclic Eigenfrequency')
for i=1:N
fprintf('\n %d %.4f sec %.3f rad/sec %.3f Hz', i, T(i), w(i), 1/T(i));
end
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ110
fprintf('\n\n *********** Modes ************')
for i=1:N
fprintf('\n\nby Matlab Manually ERROR')
for j=1:N
fprintf('\n %f %f %e', modes(j,i), idiomorfes(j,i), modes(j,i)-idiomorfes(j,i));
end
fprintf('\n(Matlab): f%d * M * f%d = %f', i, i , modes(:,i)'*M*modes(:,i));
fprintf('\n(Manually): f%d * M * f%d = %f\n', i, i ,
idiomorfes(:,i)'*M*idiomorfes(:,i));
end
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ111
% Plot modes
subplot(2,1,1)
hold on
grid on
heights = 0:N;
scaling = 4*max(max(abs(modes)));
for i=1:N
plot(1*i + [ 0 modes(:,i)' ]'./scaling,heights', 'k')
plot(1*i + modes(:,i)./scaling,heights(2:N+1),'o')
plot([ 1*i 1*i],[0 3*N], '--')
end
axis([0 (N+1) 0 N])
xlabel('Modes Computed with Matlab')
subplot(2,1,2)
hold on
grid on
heights = 0:N;
scaling = 4*max(max(abs(idiomorfes)));
for i=1:N
plot(1*i + [ 0 idiomorfes(:,i)' ]'./scaling,heights', 'k')
plot(1*i + idiomorfes(:,i)./scaling,heights(2:N+1),'o')
plot([ 1*i 1*i],[0 3*N], '--')
end
axis([0 (N+1) 0 N])
xlabel('Modes Computed Manually')
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ112
Output:
>> findModes
Number of dynamic DOF: 3
********** Mass Matrix ****************
5e+005 0 0
0 5e+005 0
0 0 5e+005
********** Stiffness Matrix ****************
2e+009 -1e+009 0
-1e+009 2e+009 -1e+009
****** Eigenvalues Computed by Matlab *******
Mode Eigenperiod Eigenfrequency Cyclic Eig/ncy
1 0.3157 sec 19.903 rad/sec 3.168 Hz
2 0.1127 sec 55.767 rad/sec 8.876 Hz
3 0.0780 sec 80.585 rad/sec 12.826 Hz
****** Eigenvalues Computed Manually *******
Mode Eigenperiod Eigenfrequency Cyclic Eig/ncy
1 0.3157 sec 19.903 rad/sec 3.168 Hz
2 0.1127 sec 55.767 rad/sec 8.876 Hz
3 0.0780 sec 80.585 rad/sec 12.826 Hz
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ113
****** Eigenvalues Computed by Matlab *******
Mode Eigenperiod Eigenfrequency Cyclic Eig/ncy
1 0.3157 sec 19.903 rad/sec 3.168 Hz
2 0.1127 sec 55.767 rad/sec 8.876 Hz
3 0.0780 sec 80.585 rad/sec 12.826 Hz
****** Eigenvalues Computed Manually *******
Mode Eigenperiod Eigenfrequency Cyclic Eig/ncy
1 0.3157 sec 19.903 rad/sec 3.168 Hz
2 0.1127 sec 55.767 rad/sec 8.876 Hz
3 0.0780 sec 80.585 rad/sec 12.826 Hz
by Matlab Manually ERROR
1.801938 1.801934 3.984753e-006
-2.246980 -2.246977 -2.211262e-006
1.000000 1.000000 0.000000e+000
(Matlab): f3 * M * f3 = 4647948.471620
(Manually): f3 * M * f3 = 4647936.322692
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ114
115
Από το βιβλίο:
“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”
- Anil K. Chopra
Δυναμική ανάλυση ΠΒΣ με επαλληλία των ιδιομορφών
- Εξωτερικά επιβαλλόμενα δυναμικά φορτία
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ117
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ118
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ119
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ120
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ121
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ122
Παράδειγμα
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ123
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ124
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ125
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ126
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ127
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ128
Ανάλυση ΠΒΣ σε σεισμικές διεγέρσεις
▪ Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επαλληλίας των ιδιομορφών για τη χρονική
ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης θα δούμε τη δυναμική ανάλυση ΠΒΣ υπό
σεισμική διέγερση.
▪ Η παρουσίαση γίνεται για την περίπτωση συμμετρικών σε κάτοψη
πολυώροφων κτιρίων με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου και σεισμική
διέγερση στη μια διεύθυνση.
▪ Όμως, οι βασικές αρχές ανάλυσης με τη μέθοδο της επαλληλίας των
ιδιομορφών ισχύει γενικότερα.
▪ Οι ΔΕ κίνησης ενός ΠΒΣ έχουν τη μορφή:
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 129
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 130
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 131
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 132
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 133
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 134
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 135
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 136
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 137
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 138
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 139
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 140
141
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ142
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ143
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ144
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ145
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ146
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ147
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ148
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ149
Παράδειγμα
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ150
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ151
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ152
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ153
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ154
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ155
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ156
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ157
Φασματική Ανάλυση
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ158
Μέγιστες ιδιομορφικές αποκρίσεις και οι συνδυασμοί τους
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ159
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ160
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ161
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ162
Χρήση Ισοδύναμων Στατικών Δυνάμεων Σεισμού
▪ Παλαιότερα λόγω περιορισμένων υπολογιστικών δυνατοτήτων, οι σεισμικές
δράσεις λαμβάνονταν υπόψη στατικά, με χρήση ισοδύναμων σεισμικών
φορτίων.
▪ Τα ισοδύναμα σεισμικά στατικά φορτία ασκούνται στατικά στο κέντρο βάρους
του κάθε ορόφου, αφού αντιπροσωπεύουν τις αδρανειακές δυνάμεις.
▪ Η συνολική τέμνουσα βάσης ισούται προφανώς με το άθροισμα των
ισοδύναμων με το σεισμό στατικών φορτίων τα οποία ασκούνται στους
ορόφους καθ’ ύψος του κτιρίου.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ163
▪ Η καθ’ ύψος κατανομή των ισοδύναμων σεισμικών φορτίων έχει συνήθως
τριγωνική μορφή βάσει της απόκρισης και συνεισφοράς της θεμελειώδους
ιδιόμορφης.
▪ Σε συνήθης κτιριακές κατασκευές είναι συχνά προτιμότερο να μην δοθούν
τιμές μάζας ανά όγκο στα δομικά στοιχεία κατά την προσομοίωση και να
δοθούν απευθείας συγκεντρωμένες μάζες στα κέντρα μάζας των οροφών,
λαμβάνοντας υπόψη τη διαφραγματική λειτουργία των πλακών των ορόφων.
▪ Με αυτή την παραδοχή, μειώνονται σημαντικά οι δυναμικοί ΒΕ που πρέπει να
χρησιμοποιηθούν κατά τη δυναμική ανάλυση.
▪ Έτσι, για μια χωρική δυναμική ανάλυση μιας τρισδιάστατης κατασκευής θα
έχουμε περιορισμένο αριθμό δυναμικών βαθμών ελευθερίας.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ164
Παράδειγμα
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ165
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ166
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ167
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ168
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ169
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ170
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ171
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ172
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ173
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ174
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ175
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ176
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ177
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ178
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ179
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ180
Δυναμική ανάλυση με απευθείας ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης
▪ Το σύστημα των ΔΕ που χαρακτηρίζουν την κίνηση ενός ΠΒΣ μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά
απευθείας χωρίς οποιοδήποτε μετασχηματισμό.
▪ Οι μέθοδοι που είχαμε δει για την αριθμητική ολοκλήρωση ΜΒΣ, μπορούν να γενικευτούν για την
κατευθείαν αριθμητική ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης, για αυτό και ονομάζονται μέθοδοι απευθείας
ολοκλήρωσης (direct integration methods) αφού κανένας μετασχηματισμός των εξισώσεων δεν
χρησιμοποιείται.
▪ Οι μέθοδοι που είχαμε δει για την αριθμητική ολοκλήρωση ΜΒΣ μπορούν να γενικευτούν για την
κατευθείαν αριθμητική ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης, για αυτό και ονομάζονται Μέθοδοι Απευθείας
Ολοκλήρωσης (Direct Integration Methods) αφού κανένας μετασχηματισμός των εξισώσεων δεν
χρησιμοποιείται. Για την επίλυση ΠΒΣ, αντί απλών μεταβλητών και συντελεστών που έχουμε στα
ΜΒΣ, στα συστήματα εξισώσεων που θα πρέπει να επιλυθούν υπάρχουν μητρώα και διανύσματα.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ181
▪ Η επίλυση με την επαλληλία των ιδιομορφών απαιτεί κάποιους υπολογισμούς τόσο για
την επίλυση του ιδιοπροβλήματος και τον προσδιορισμό των ιδιοτιμών και ιδιομορφών,
όσο και για τον μετασχηματισμό του συζευγμένου συστήματος ΔΕ σε ένα σύστημα
ασύζευκτων ΔΕ που μπορούν να επιλυθούν ανεξάρτητα.
▪ Όμως το συνολικό υπολογιστικό κόστος για την απευθείας επίλυση του συζευγμένου
συστήματος ΔΕ είναι αρκετά σημαντικό, παρά το ότι ο προγραμματισμός του είναι
σχετικά πολύ απλός.
▪ Επιπλέον, με τη μέθοδο της υπέρθεσης των ιδιομορφών μπορούν να ληφθούν μόνο
κάποιες ιδιομορφές, περιορίζοντας περαιτέρω το υπολογιστικό κόστος.
▪ Περαιτέρω, η μέθοδος της υπέρθεσης ων ιδιομορφών αξιοποιείται και στη φασματική
ανάλυση, κατά την οποία δεν χρειάζεται καν να διενεργηθεί οποιαδήποτε δυναμική
ανάλυση, εφόσον είναι διαθέσιμο το σχετικό φάσμα απόκρισης ή σχεδιασμού, βάσει του
οποίου μπορούν να εκτιμηθούν οι μέγιστες αποκρίσεις της κατασκευής.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ182
Μέθοδος κεντρικής διαφοράς για ΠΒΣ
▪ Χρησιμοποιώντας τις εξής σχέσεις για τις ταχύτητες και επιταχύνσεις:
Αντικαθιστώντας τις πιο πάνω σχέσεις στο σύστημα ΔΕ:
προκύπτει η πιο κάτω μητρωική σχέση:
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ183
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ184
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ185
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ186
Μέθοδος Newmark για ΠΒΣ
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ187
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ188
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ189
Προγραμματισμός απευθείας αριθμητικής ολοκλήρωσης
▪ Με την απευθείας αριθμητική ολοκλήρωση, είτε με τη Μέθοδο Κεντρικής
Διαφοράς είτε με τη Μέθοδο Newmark, εκτελείται δυναμική ανάλυση ενός
ΠΒΣ για το οποίο έχουμε εισάγει δεδομένα.
▪ Υπολογίζονται για την κάθε μάζα, δηλαδή τον κάθε όροφο, οι μέγιστες σχετικές
μετακινήσεις (relative displacements), οι μέγιστες διαφορικές μετακινήσεις
(interstory deflections) μεταξύ των ορόφων, οι μέγιστες απόλυτες επιταχύνσεις
των ορόφων, καθώς και οι μέγιστες τέμνουσες ορόφων.
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
190
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
191
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 192
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
193
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
194
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 195
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
196
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 197
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 198
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 199
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 200
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
201
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
202
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
203
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 204
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
205
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/ΥΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ
206
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 207
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 208