7. Análise Dimensional e Semalhança - FT1

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Prof. Raniere Henrique P. Lira

[email protected]

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

CAMPUS SERTÃO

EIXO DE TECNOLOGIA

Fenômenos de Transporte 1

Análise Dimensional e Semelhança

Fenômenos de Transporte 1 2


Há muitos problemas de interesse no campo de fenômenosde transporte que não podem ser resolvidos usando apenasas equações diferenciais e integrais.

Em razão da complexidade dos equacionamentos, muitasvezes é necessário apelar aos métodos experimentais paraestabelecer relações entre as variáveis de interesse.



Como os estudos experimentais geralmente são caros, énecessário realizar o mínimo de experimentos e isso é feitousando a técnica chamada análise dimensional, que ébaseada na noção de homogeneidade dimensional.

Semelhança é o estudo da previsão das condições doprotótipo a partir de observações de modelos e envolve ouso de parâmetros adimensionais obtidos da análisedimensional.


� Análise Dimensional

Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidasno fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas.A análise dimensional permite associar variáveis em gruposadimensionais.

Pelo procedimento chamado análise dimensional, ofenômeno pode ser formulado como uma relação entre umconjunto de grupos adimensionais das variáveis envolvidas.

A Tabela seguinte, relaciona os símbolos e dimensões dequantidades usadas na mecânica dos fluidos.


Quantidade Símbolo Dimensões

Comprimento l L

Tempo t T

Massa m M

Força F ML/T2

Velocidade V L/T

Aceleração a L/T2

Frequência ω T-1

Gravidade g L/T2

Área A L2

Vazão Q L3/T

Fluxo de massa M/T

Pressão p M/LT2

Tensão τ M/LT2

Massa específica ρ M/L3

Peso específico γ M/L2T2

Viscosidade µ M/LT

Viscosidade cinemática ν L2/T

Trabalho W ML2/T2

Potencia, fluxo de calor ML2/T3

Tensão superficial σ M/T2

m&

Q,W &&


� Teorema ππππ de Buckingham

O teorema fornece resposta para sabermos quantos e quaissão os grupos adimensionais gerados a partir de umconjunto de variáveis pertinentes a um determinadofenômeno físico.

Em um determinado problema físico, a variável dependentex1 pode ser expressa em termos das variáveisindependentes

em que n representa o número total de variáveis. Emreferência, x1 é a variável dependente e x2, x3, xn, são asvariáveis independentes.

( )nxxxxfx ,....,,, 4321 =

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� Teorema ππππ de Buckingham

O teorema afirma que (n – m) grupos adimensionais devariáveis, chamado parâmetro π, em que m é o número dedimensões básicas incluídas nas variáveis, podem serrelacionados por

em que π1 inclui a variável dependente e os parâmetros πremanescentes incluem apenas variáveis independentes.

( )mnf −= ππππ ,....,, 3211


• 1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidos.

Esse passo requer o conhecimento do fenômeno a ser estudado.

• 2º Passo – Selecione um conjunto de dimensõesfundamentais (primárias). ex.: M, L, t

• 3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros emtermos das dimensões primárias.

• 4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetrosque se repetem, igual ao número de dimensões primárias, eincluindo todas as dimensões primárias.

• 5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinandoos parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dosoutros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais(Haverá n-m equações).

• 6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupoobtido é adimensional.

� Determinação dos grupos ππππ


� Parâmetros adimensionais comuns e significado físico

Parâmetro Expressão Significado físico Situação importante


� Semelhança

A semelhança é uma indicação de que dois fenômenos têmum mesmo comportamento.

Na mecânica dos fluidos o termo semelhança indica arelação entre dois escoamentos de diferentes dimensões,mas com semelhança geométrica entre seus contornos.

Geralmente, o escoamento de maiores dimensões édenominado protótipo, e o escoamento de menor escala édenominadomodelo.


� Semelhança

Grande parte dos projetos de engenharia que envolveestruturas, aeronaves, navios, portos, barragens, poluiçãodo ar e da água frequentemente utilizam modelos.

Com o desenvolvimentode um modelo adequadoé possível predizer , sobcertas condições, ocomportamento doprotótipo.

Modelo reduzido em escala geométrica da tomada d’água e da comporta vagão daUsina Hidrelétrica de Paulo Afonso IV (CHESF), no rio São Francisco, projetadaspela Ishikawajima do Brasil Estaleiros S/A, 1978.


� Semelhança

Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelodevem ser atendidas as seguintes condições:

Semelhança geométrica – condição onde o modelo tem amesma forma que o protótipo.

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� Semelhança

Semelhança cinemática – refere-se a dois fluxos dediferentes escalas geométricas mas que têm o mesmoformato das linhas de corrente (equivalência dos campos develocidades).


� Semelhança

Semelhança dinâmica – exige que em pontosgeometricamente semelhantes haja semelhança das forçasenvolvidas, que sejam do mesmo tipo, sejam paralelas eque a relação entre forças tenha o mesmo valor em todos ospontos (implica a existência de semelhança geométrica ecinemática).

Fenômenos de Transporte 1 15 Fenômenos de Transporte 1 16

� Teoria dos modelos

A teoria dos modelos pode ser desenvolvida a partir daanálise dimensional. Mostramos que qualquer problemapode ser descrito em função de um conjunto de termos pi:

Se esta equação descreve o comportamento de umprotótipo, uma relação similar pode ser escrita para omodelo deste protótipo:

),,,( 321 nΠΠΠ=Π Kφ

),,,( 321 nmmmm ΠΠΠ=Π Kφ



Assim, se o modelo é projetado e operado nas seguintescondições

Já que a forma de ϕ é a mesma para o modelo e o protótipo,temos:

nmn

m

m

Π=Π

=

Π=Π

Π=Π

MM

33

22

11 Π=Π m



O valor medido no modelo, Π1m, será igual ao valor de Π1 doprotótipo desde que os outros termos pi sejam iguais;

As condições especificadas pela igualdade dos outrostermos pi fornecem as condições de projeto do modelo esão conhecidas como condições de semelhança ou leis domodelo.

Suponha que as forças inerciais, forças de pressão, forçasviscosas e forças de gravidade estejam presentes, então asemelhança requer que, nos pontos correspondentes doscampos de escoamento

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) .constF

F

F

F

F

F

F

F

pg

mg

p

m

pp

mp

pI

mI ====µ

µ

4


( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) .constF

F

F

F

F

F

F

F

pg

mg

p

m

pp

mp

pI

mI ====µ

µ

pp

I

mp

I

F

F

F

F

=

p

I

m

I

F

F

F

F

=

µµpg

I

mg

I

F

F

F

F

=



pI

p

mI

p

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F

F

F

=

p

I

m

I

F

F

F

F

=

µµ pg

I

mg

I

F

F

F

F

=

pm EuEu = pm ReRe =pm FrFr =


As relações mostram que:


As formas anteriores sendo únicas,

Como há apenas uma dimensão básica, ou seja a força, aanálise dimensional permite escrever a equação em termosde razões de forças

Concluímos que: se o número de Reynolds e o número deFroude são os mesmos no modelo e no protótipo, o númerode Euler também deve ser o mesmo, garantindo asemelhança dinâmica.


),,( gpI FFFfF µ=

)(Re,FrfEu =



Podemos escrever a razão da força inercial como

A semelhança cinemática é satisfeita pelo fato da razão develocidades ser uma constante (padrão de linhas decorrente).

A razão de comprimento sendo constate entre todos ospontos correspondentes dos campos do escoamento,caracterizando a semelhança geométrica (mesma forma).

( )( )

./

/2

2

constlV

lV

ma

ma

F

F

pp

mm

pp

mm

pI

mI ===



Portanto, para garantir a semelhança completa entre oprotótipo e o modelo, exigimos que:

• A semelhança geométrica seja satisfeita.

• A razão de massa dos elementos correspondentes dofluido seja uma constante.

• Os parâmetros adimensionais apropriados sejam iguais.


Exemplo 1: Que velocidade deveria ser selecionadaem um túnel de vento no qual um modelo deautomóvel em escala 1:9 deve simular uma velocidadede 12m/s? Despreze efeitos de compressibilidade.

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� Escoamentos

Escoamento confinado – é um escoamento que não temsuperfícies livres (superfície gás-líquido). É confinado amover-se dentro de uma região específica (externos aoredor de objetos bem como internos em tubulações econdutos).

Escoamento de superfície livre – é um escoamento noqual parte do contorno envolve uma condição de contornosobre a pressão, como escoamentos sobre açudes erepresas, canais e escoadouros.

Modelo da Represa de Bonneville no rio Colúmbia.

Escoamento de superfície livre


Exemplo 2: Um modelo em escala de 1:10 de umautomóvel é usado para medir o arrasto sobre o designproposto. Ele deve simular o protótipo a uma velocidade de90km/h. Que velocidade deve ser usada no túnel de ventose os números de Reynolds são igualados? Para essacondição, qual é a razão das forças de arrasto?


Exemplo 3: Um modelo em escala de 1:20 de um barco éusado para testar a influência de um perfil proposto do barcosobre a arrasto das ondas. Um arrasto de onda de 6,2 lb émedido no modelo a uma velocidade de 8,0 ft/s. A quevelocidade isso corresponde no protótipo?


Bibliografias Consultadas:

BISTAFA, S. R., Mecânica dos Fluidos – Noções e Aplicações, Editora EdgardBlucher, 2010.

BRUNETTI, F., Mecânica dos Fluidos, 2ª Edição, São Paulo: Editora Pearson, 2009.

FILHO, W. B., Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2ª Edição, Rio de Janeiro:LTC, 2012.

FOX, R. W.; McDonald, A. T., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 6ª Edição, Rio deJaneiro: LTC, 2006.

LIVI, C. P., Fundamentos de Fenômenos de Transporte: Um Texto para CursosBásicos, 2ª Edição, Rio de Janeiro: LTC, 2012.

POTTER, M. C. e WIGGERT, D. C., Mecânica dos Fluidos. 3ª Edição, Editora CengageLearning, São Paulo, 2004.

ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA

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