Upload
bojan-preloznik
View
278
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
UL FGGChair of Metal Structures
Univerzav Ljubljani
Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo
Katedra za metalne konstrukcije
JEKLENE KONSTRUKCIJE
6. UVOD V STABILNOST JEKLENIH KONSTRUKCIJ
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
6.1 Osnovni pojmi
RAVNOTEŽJE – vrsta ravnotežja, izmikanje iz ravnotežne lege
Za ugotavljanje ravnotežja konstrukcijo izmaknemo iz ravnotežne lege, ravnotežne enačbe zapišemo v deformirani legi konstrukcije.
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
PRIMER
δv ... virtualni pomikpoljubenmožen
:∑ AM
( )0
0δ δ
δ− =
− =
F v k v LF k L v
0 0δ ≠ → − =v F k L
Zanima nas netrivialna rešitev:
=crF k L
Ravnotežje:
< crF F stabilno
≥ crF F nestabilno
ZAČETNA LEGA DEFORMIRANA LEGA
=F R
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
4/49
[ ] ( ) ... togost sistema⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K N
[ ]{ } { }=K u F
( ) { } { }0⎡ ⎤ =⎣ ⎦K N u
nehomogen sistem enačb:
netrivialna rešitev: ( )det 0⎡ ⎤ = →⎣ ⎦ crK N N
homogen sistem:
Analiza konstrukcij
NAPETOSTNI PROBLEM:
RAČUN Ncr:
{ }u pri = crN N lastna vrednostlastni vektor – uklonska oblika
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Nestabilnost v konstrukcijah povzroča tlačna napetost.
a) UKLON TLAČENIH PALIC
6.2 Značilni primeri nestabilnosti
Mejna nosilnost je povezana z uklonom oz. izgubo stabilnosti palic.
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Primer uklona tlačenega stebra
Preizkušanec v laboratoriju Računalniška simulacija uklona
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Trije načini uklona tlačenih palic
UPOGIBNI UKLON UPOGIBNO – TORZIJSKI UKLON
TORZIJSKI UKLON
Cevni in škatlasti prerezi, navadni odprti profili
Nesimetrični odprti prerezi z majhno torzijsko togostjo
Dvojnosimetričniodprti prerezi z majhno torzijsko togostjo
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
b) BOČNA ZVRNITEV UPOGIBNIH NOSILCEV
Uklon tlačne pasnice izven ravnine nosilca zaradi upogibnih momentov okoli močne osi → tlačna sila v zgornji pasnici.
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
b) BOČNA ZVRNITEV UPOGIBNIH NOSILCEV
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
c) LOKALNO IZBOČENJE PLOČEVIN
Vitka stojina: izbočenje v tlačeni coni
ČISTI TLAK UPOGIB
Primer simulacije izbočenja pločevine brez ojačitev obremenjene s konstantnim potekom tlačnih napetosti vzdolž krajših robov (EBPLATE)
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
c) LOKALNO IZBOČENJE PLOČEVIN
Nosilec I-profil
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
c) LOKALNO IZBOČENJE PLOČEVIN
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Skupno pri vseh treh pojavih nestabilnosti:
vitek element, pločevinatlačna napetost (N – uklon, M – bočna zvrnitev, σ - lokalno izbočenje)
Možne so kombinacije zgoraj naštetih nestabilnosti
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Kombinacija globalnega uklona stebra in lokalnega izbočenja pločevin
L = 4 m, b/h/t = 220/180/4 mm
L = 4 m, b/h/t = 200/160/4 mm
L = 5.2 m, b/h/t = 220/180/4 mm
L = 5.2 m, b/h/t = 200/160/4 mm
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
2 0ω′′ + =w w0′′ + =EI w N w
6.3 Upogibni uklon tlačenih palic
( ) =M x N wRavnotežje momentov:
1 ′′≈ = −Mw
R EI′′= −M w EI
2ω =NEI
Deformirana lega:, , ,A I E l
Konstitucijska zveza:
Nastavek za pomike, ki reši zgornjo homogeno dif. enačbo:
sin( ) cos( )ω ω= +w A x B x
Linearna elastična teorija uklona - elastična in idealno ravna palica .
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Robni pogoji:
0 0 : sin( 0) cos( 0) 0 00 : sin( ) 0
ω ωω
= = ⋅ + ⋅ = → == = ⋅ =
x w A B Bx l w A l
netrivialna rešitev:
0 sin( ) 0ω≠ → = → crA l N
{ }0, , 2 ,...ω π π= ± ±l ,ω π= ∈Zl n n
Euler-jeva kritična sila
oz.
ω π=l n
2 22
2πω = = crNn
l EI
22
2π
=crEIN n
l
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Uklonska dolžina lu – razdalja med refleksijskimi točkami
=ulln
1=n2=n3=n
2
2
π=cr
u
EINl
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
22
2
π=cr
u
EIN nl
, 1,⇒ = =cr MIN uN n l l
2
, 2
π=cr MIN
u
EINl
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
2
2πσλ
=crE2 2
2 2
π πσλ
= = =crcr
u
N EI EA Al
2=I iA
λ = uli
212 2
1σ λλ λ
= = =cr cr
y y
NA f f
1λ π=y
Ef
1
λλλ
=
brezdimenzionalni zapis:
2
1λ
= =crcr
pl
NNN
λ = pl
cr
NN
2
2
σ πλ
=cr
y y
Ef f
=pl yN A fRelativna vitkost: - mera za stabilnost
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Uklonske dolžine
=ul l 0.7=ul l 0.5=ul l
2=ul l=ul l
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Uklonske dolžine
skrajna primera
2 2
2 2
2 4π π≤ ≤cr
EI EINl l
2
2
4π=cr
EINl
2
2
2π=cr
EINl
0.5ul l= ⋅ 0.7ul l= ⋅
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
!
Dimenzioniranje pomičnih okvirjev:
teorija drugega reda +
nepopolnosti
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Upoštevanje začetne geometrijske nepopolnosti
( ) ( ) ( )= +f x w x u x
V začetni legi neravne palice - brez napetosti
NERAVNA PALICA
odmik od osi x
/ 2 :=x l 0 0 0= +f w u
Znano:
0
( ) :
( ) sin
:
π=
w xxw x w
lP
začetna neravna geometrija palice
tlačna osna sila
Iščemo:
P( )u x ( )f x
( )w xoziroma
pri znani in
( )w x
( ) ( ) ( )= +f x w x u x
(idealen elastičen material)
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Ravnotežna enačba za neravno palico
, ( ) 0+ ⋅ + =xxE I u P u w
Notranji moment (w ne sodeluje pri ukrivljenosti, ker v začetni legi palica ni obremenjena).
Zunanja obtežba
momentni pogoj
( ),2 0ω+ + =xxu u w 2;ω =
PEI
Za u(x) predpostavimo rešitev(za nehomogeno dif. enačbo, ki avtomatično izpolni tudi robne pogoje):
( ) sin π=xu x A
l,
2
2 sinπ π= −xx
xu Al l
22 2
02 sin sin sinπ π π πω ω− + = −x x xA A w
l l l l2
2 202sin 0π πω ω
⎛ ⎞⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
x A wl l
,2 2
0 sin πω ω+ = −xxxu u w
l
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
20 0 0 0
2 2 22
2 2 2 2 211 1
ωπ π πω
ω ω
= − = − = =−− − − cr
w w w wA PPl l l
20
2,1
π= =
−cr
cr
w EIA PP lP
0( / 2) sin sin 12 2
π π= = = = ⋅ =
lu l u A A A Al 0 =u A
00 0 0 0
1 111
⎛ ⎞⎜ ⎟
= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎝ ⎠
cr
cr
wf u w w P PPP
1
1δ =
−cr
k PP
Amplifikacijski koeficient TDR 0 0 δ= ⋅f w k
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
δ
δ
≈
≈
II I
II I
w w k
M M kPribližni račun količin po TDR
0
0
1
1δ = =
−cr
fk PwP
0
0
11= −cr
PfPw
02 2
01 1
>f Pf P
Pomiki naraščajo hitreje kot sile.
1
2
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Vpliv nepopolnosti na nosilnost
0 0 δ=f w k
0 0 δ= ⋅ =IIM N f N w k
/ :σ = + ≤II
TLMAX y y
el
N M f fA W
0 1.0δ+ ≤pl el
N w kNN M
=pl yN A f
el el yM W f=
N
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
0 1.0δ+ ≤pl el y
N w k ANN W f A
η = ow AW
1.01
η+ ≤
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠pl
plcr
N NN NN
N
=pl
NNN
( )2
1 1.01
ηλ
+ ≤−
N NN
2λ = pl
cr
NN
( )2
1 1 11
ηλ
⎛ ⎞≤ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠NN
( )21 1 1η λ⎛ ⎞≤ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
NN
( )0 =w f N ( )0=N f wali
pri “=” začetek plastifikacijepri “<” začetna nepopolnost η ne
povzroči začetka plastifikacije
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
6.4 Bočna zvrnitevElastičen in idealno raven nosilec.
... torzijski zasukϑ
Robni pogoji (VILIČASTA PODPORA):
( )ϑ
ϑ
( ) ( )( ) ( ), ,
0 0 0
0 0 0
ϑ ϑ
ϑ ϑ
= =
= =xx xx
L
L
( ) ( )( ) ( ), ,
0 0 0
0 0 0
= =
= =xx xx
v v L
v v L
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Ravnotežna enačba za bočno zvrnitev nosilca s konstantnim potekom momentov
delež oviranetorzije delež enakomerne torzije
(čista, Saint-Venantova) - samo strigi.
, ,
2
0ω ϑ ϑ ϑ− − =xxxx xxtz
ME I GIEI
obtežba
ω= +x sM T T
Torzijski moment
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
= vzbočitveni vztrajnostni moment (tabele cM)“vztrajnostni moment ovirane torzije”
ωI
2
4ω =T
zhI I
=z MINI I (šibka os)
tI = Saint–Venantov torzijski vztrajnostni moment
( )3
1/ 3
=
=∑n
t i ii
I b t Približna formula za odprte prereze, ki ne upošteva globalnega sodelovanja elementov (10 – 30%).
( )2 1 ν=
+EG ( )28100 / , 0.3ν =JEKLOG kN cm... strižni modul
za dvojnosimetrične I - profile
Škatlasti prerezi It zelo velik → ni nevarnosti bočne zvrnitve
POZOR!
3.0,/8100 2 =≈ νcmkNGJEKLO
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Rešitev ravnotežne enačbe
2
21 ωππ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠cr z t
t
E IM E I G Il l G I
Elastični kritični moment bočne zvrnitve
2
2; ωπχ =t
E Il G I
Vitkost:
( ) 1λ = =el plLT
cr cr
M MM M
,=el el y yM W f
,=pl pl y yM W f→ 3. R. K.
→ 1., 2. R. K.
2
1λ
=crLT
M
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
2
2t
E Il G I
ωπχ =
Možna primera v praksi
π=cr tM E I G I
l... upoštevamo samo enakomerno torzijo
prevladuje neovirana torzija
Primerno za:polni profiliveliki razponi
χ << 1
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
2
2t
E Il G I
ωπχ =prevladuje ovirana torzija
2 2 2 2 2
2 2 2 22pz z T
cr z f T cr TE I I E I hM E I I E I h N h
l l l l lω
ωππ π π π
= = = ≈ =
Za I – profile velja:
2z fI I≈ - zanemarimo vztrajnostni moment stojine okoli šibke osi
fI - vztrajnostni moment ene pasnice okoli vertikalne osi
χ >> 1
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Metoda tlačene pasnice
Obnašanje tlačenega pasu pasnice, kot da le ta ne sodeluje z ostalim delom profila.
zanemarjen delež enakomerne torzije;uporabna za hitro kontrolo;vsebovana v predpisih.
= pcr T crM h N
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
• Nekonstanten potek upogibnega momenta
1 1.0≥C ... koeficient oblike momentne linije
OBTEŽBA IN ROBNI POGOJI POTEK MOMENTOV C1
1,00
1,31
1,77
2,33
Vplivi na Mcr:
≈
.)(.)( 1 konstMMCkonstMM crcr =⋅≅≠
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
OBTEŽBA IN ROBNI POGOJI POTEK MOMENTOV C1
1,13
2,58
1,35
1,68
• Prijemališče sile
• Robni pogoji (za ukon okoli šibke osi in vzbočenje prereza)
• Bočne podpore
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
6.5 Lokalno izbočenje vitkih pločevinElastična in idealno ravna pločevina;konstantna debelina pločevine t;vrtljivo podprta pločevina na vseh robovih;obremenitev v lastni ravnini.
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Ravnotežna enačba po teoriji drugega reda (linearna teorija izbočenja)
( )3
212 1 ν=
−E tD ... upogibna togost na enoto širine plošče
Robni pogoj:0=w
,0 0= → =xxM w
Ravnotežje v deformirani legi (TDR):
, , , ,2 0+ + + =xxxx xxyy yyyy xxNw w w wD
Analogija z nosilcem
, 0xxNw wEI
+ =
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Predpostavimo rešitev za w, ki avtomatično zadošča robnim pogojem:
( ), sin sinπ π= ⋅
m x n yw x y Aa b
... število polvalov v vzdolžni smerim... število polvalov v prečni smerin
π=
mma
π=
nnb
,4=xxxxw m w
,4=yyyyw n w
,2 2=xxyyw m n w
,2= −xxw m w
( )4 2 2 4 22+ + =Nw m m n n m wD
4 2 2 4 22 0⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
Nw m m n n mD
Netrivialna rešitev: ( )22 2 20 0≠ → + − =Nw m n mD
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
V primeru, da prečne obremenitve ni, nastane v prečni smeri le en polval:
( )22 2
2cr
m nN D
m+
= ;α =ab
222
2
π αα
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
crmN D n
b m 22
σα
α⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
mk nm
Koeficient lokalnega izbočenja
( ) ( )2
, ,? 1 1σ σα
α⎛ ⎞= → = → = = +⎜ ⎟⎝ ⎠
MIN MINmk n n k n
m
( )2 2 2
22 212 1
α πσα ν
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ −⎝ ⎠cr
crN m E tnt m b
σ Eσk ( )2 2
2 212 1πσ
ν=
−EE t
bKritična membranska napetost
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
2
1 0α αα⎛ ⎞− = → =⎜ ⎟⎝ ⎠
mm
( )2
, 1, 4MINk n mσα ααα α⎛ ⎞= = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
Tvorijo se približno kvadratni paneli:
2
12 0σ α αα α
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
dk mdm m m
0≠ 0=
α
αm
αm
Diagram kσ (α) pri m = 1.
σk
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
11
α αα α
++ = +
+m m
m m
( )( )
111
αα
− −− =
+m m
m m
( )2 1α = +m m
( ) ( )1σ σ= +k m k m
21 21, 2 4,5
12σα⎛ ⎞
= = → = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
m k
22 62, 6 4,17
26σα⎛ ⎞
= = → = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
m k
23 123, 12 4,08
312σα⎛ ⎞
= = → = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
m k
( )1α→ = +m m
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
pločevin za različne obremenitve pločevin:kσ
4σ =k
23,9σ =k
7,64σ =k
0,45σ =k
Normalne napetosti:
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Strig:
245,34 ; 1,0τ αα
= + >k
25,344 ; 1,0τ αα
= + <k
α =ab
,σ τσ σ τ σ= =cr E cr Ek k
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Deformacije panela polnostenskega nosilca (levo: z vzdolžno ojačitvijo v sredini, desno: z vzdolžno ojačitvijo v zgornji tretini) pod strižno obremenitvijo
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Vitkost:
λσ
= yp
cr
f2
1σ σλ
= =crcr
y pf
/ 3τλ
τ= y
pcr
fStrig:
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Toge ojačitve
Prečne ojačitve vplivajo na povečanje kτ in τcr, kσ in σcr pa se bistveno ne povečata.
Pločevina brez ojačitev obremenjena s konstantnim potekom tlačnih napetosti vzdolž krajših robov.
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Pločevina brez ojačitev
6α = =ab
6α= =m
2 26 6 46 6σ
αα
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
mkm
1=n
Pločevina s prečnimi ojačitvami
kσ se bistveno ne poveča!
1=n2 26 6 4
6 6mk
mσα
α⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 ojačitev¸6 polj → m = 6 9 ojačitev¸10 polj → m = 10
11
610
ab
α = =
1=n2 210 6 5,14
6 10mk
mσα
α⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
k σ in σcr povečamo z vzdolžnimi ojačitvami, saj pločevino prisilimo, da se prečno izboči v več kot enem polvalu.
Pločevina s togo vzdolžno ojačitvijo obremenjena s konstantnim potekom tlačnih napetosti vzdolž krajših robov.
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Pločevina z vzdolžno ojačitvijo
6α = =ab
2 22 212 62 16
6 12σα
α⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
mk nm
2=n
kσ se bistveno poveča (×4)!
16 2 12 12
/ 2a b m
b bα ⋅
= = = ⇒ =
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Vzdolžne ojačitve pri strižni obremenitvi – v sredini panela
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Vzdolžne ojačitve pri strižni obremenitvi – v zgornji tretjini panela
UL FGGKatedra za metalne konstrukcije
Upogibni uklon:
, ,pl crcr cr
cr pl
N NN NN N
λ = =
Bočna zvrnitev: ( )( ), ,el pl cr
cr LT crcr el pl
M M MM MM M M
λ = =
Lokalno izbočenje pločevin: , ,y crcr p cr
cr y
ffσσ λ σ
σ= =
Povzetek – kritične sile (napetosti) in vitkosti za vse tri probleme stabilnosti
crMcrσ