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Hola buen día, espero que disfrutes la clase
Atentamente
Prof. Moy
29 de Octubre, 2011
El Telescopio espacial Hubble
FRACCIONES Y FRACCIONES DECIMALES
• Considerando sólo las divisiones verticales continúas: • Considerando además las verticales punteadas: • Agregando la horizontal punteada:
La idea de las fracciones decimales es que siempre se admita como división la de diez partes, que en el ejemplo es la segunda; y que si se quiere otra más fina no se valga pasar a una como la que está en tercer lugar, sino que se salte hasta la de 100 divisiones
De esta manera la parte sombreada en una partición más fina, sería:
Y si continuáramos con la siguiente partición, nos quedaría: y así podríamos continuar.
Definición:
Una fracción de la forma , donde p es un entero y n es un natural, se llama fracción decimal. También se admite como tal a una de la forma , para mantener el modelo aceptaremos que 100 = 1.
FRACCIONES DECIMALES
Por lo tanto, lo que distingue a una fracción decimal de otras que no lo son es su denominador, tiene que ser una potencia de 10
Otra forma de representar fracciones decimales
Regla P (inicial de punto)
Una fracción decimal puede representarse escribiendo su numerador y separando sus cifras con un punto, llamado punto decimal, de tal forma que a su derecha quede un número de cifras igual al exponente que tiene el 10 en el denominador. Si las cifras no fueran suficiente, se completan con ceros escritos entre el punto y las cifras disponibles.
Ejemplos:
510
852 = 0.00852 (el cero a la izquierda del punto puede omitirse).
A la inversa: 41.23 = 210
4123
005.01000
5 0017.0
10000
17
9.010
9
Escribir en notación decimal:
i) 43.0100
43ii)
iii) iv)
310
220431210
1406510
87645i) 220.431 = ii) 14.06 = iii) 0.87645 =
Escribir en forma de fracción común:
Ejemplos
SUMA DE DECIMALES CON PUNTO
Las fracciones decimales son, claro, fracciones, lo que quiere decir que se operan como ya hemos visto
forma otra la a quebrado'' de
3
rdenominadocomún con suma
3
quebrado'' a puntocon notación de
23913.2
10
2913
10
2510403
10
251
10
40351.2403.0
Y si sumamos como se suman enteros, cuidando que al acomodar los sumandos en columnas queden alineados los puntos decimales y que en la misma línea quede el punto en la suma
913.251.2403.0
CONVERSIÓN DE FRACCIONES COMUNES A FRACCIONES DECIMALES
Tomemos por ejemplo las fracciones
20
9,
25
7,
5
3,
4
3,
2
1
De entrada estas fracciones no son fracciones decimales , pero es posible hallar fracciones decimales equivalentes a ellas
5.052
51
10
5
2
1
75.52
53
2
322
2
2
100
75
4
3
ACTIVIDAD: Realizar las que faltan
A manera de resumen
Teorema:
Sólo se pueden expresar como fracciones decimales aquellas fracciones cuyo denominador tiene como factores primos exclusivamente: 2, 5 o ambos. Subrayamos, si además de estos números aparecen otros primos en el denominador, no será posible la expresión en forma decimal
Ahora veremos a como , es decir, como la operación indicada. Hasta aquí, siempre que hemos hablado de división, nos hemos referido a algo que podemos llamar con más propiedad división exacta:
x y = z significa que y z = x De esta forma la diferenciaríamos de la llamada división con residuo por ejemplo:
xzy delugar en general,en 35211311
205353 xrzy
Segunda interpretación: La división con residuo
División con residuoLa división con residuo es otra forma de transformar fracciones en fracciones decimales, cuando esto es posible
Procedimiento de la división con residuo:1. Se multiplica el divisor y el dividendo por la potencia que
convierta al dividendo en entero.2. El punto decimal del cociente se coloca alineado con el
punto decimal del divisor.3. Se efectúa la división con residuo tal como ésta se realiza
con números naturales cuando esta división es posible (cuando es exacta, se acostumbra decir).
Ejemplos
A la vez de división y de conversión de una fracción en fracción decimal.
75.04
375.0
02000.34
4
3
Aproximaciones decimales y fracciones periódicas
sólo unas pocas fracciones se pueden expresar como fracciones decimales y que pasa con las demás combinaciones.
...3
8030
80
2727.00000.311
Se puede observar que si continuamos, simplemente se seguirán repitiendo las cifras 2 y 7, o mejor dicho se repetirá el bloque de cifras . El guión colocado encima de las cifras es para indicar que no es el número 27 sino un bloque de las dos cifras 2 y 7, en ese orden, se dice que el bloque es el periodo de 3 11, o de 3
11=0.27
Aproximaciones decimales y fracciones periódicas
...20
3010
5040
6020
30
14285714.000000000.17
17
→ →17=0. 142857
3
1 3.031
...333.0
110
10...000.13
FRACCIONES COMPUESTAS
El guión “–” de quebrado juega el mismo papel que el símbolo , es decir;
qpq
p
Así que, esto nos lleva a que si son fracciones, entonces:
rq
sp
s
rq
p
s
rq
p
s
r
q
p
: tenerdebe sedivisión la efectuandoy ,
El numerador del resultado es el producto de los extremos y su denominador es el producto de los medios.
Situaciones de las fracciones compuestas
r
q
p
rq
p
rq
p
r
q
p
q
rp
r
q
p
r
qp
r
qp
1
:forma laen escribiría se ,q
rp 1
Ejemplos de fracciones compuestasLas fracciones compuestas, se pueden caracterizar como cocientes indicados de fracciones y la principal tarea con ellas es reducirlas a fracciones comunes tan simples como se pueda.
9
71
9
16
3.3
8.2
8
33
2
8
3
3
2
24
3 8
3
42
3
24
3
Ejemplos de fracciones compuestas
52
7 2
35
2
75
5
27
2
35
21
75
5
21
7
ó
Actividad: Realizar las operaciones indicadas
Convertir un decimal periódico a fracción común
Ejemplo: 1Sea multiplicamos esto por 10 a esto le restamos la expresión original
Por lo que
Ejemplo: 2
Sea si primero multiplicamos por 100
ahora multipliquemos por 1000
a esto le restamos la expresión anterior
Así que,
Convertir un decimal periódico a fracción común
Actividad: hallar los números racionales
17.0a 1234.21b 765.3c
Propiedad de densidad de las fraccionesDados dos enteros, ¿cuántos enteros existen entre ellos?. Pues depende de cuáles sean los enteros. Si son 3 y 9 la respuesta es 5; si son y 0 sólo hay uno; si son 2 y 3 no hay tales enteros. Ahora, dadas dos fracciones, ¿cuántas fracciones hay entre ellas?
Propiedad de densidad de las fracciones
Propiedad de Densidad de las Fracciones:Entre dos fracciones cualesquiera siempre hay una infinidad de otras fraccionesDada una fracción no existe una fracción que le siga inmediatamente
Teorema:Si son fracciones, una fracción que esta en medio de ellas es
¿Cuántas fracciones hay entre y ? ¿Cuántas fracciones hay entre y ?¿Cuántas fracciones hay entre ?¿Qué fracción esta a continuación de ?
LOS NÚMEROS RACIONALESLa no unicidad de:
• neutros aditivos: , etc.
• Neutros multiplicativos:
• Inversos aditivos: dado entonces sus inversos:
1
0
2
0
1
0
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
4
3
8
6
4
3
4
3
• inversos multiplicativos de
LOS NÚMEROS RACIONALES
Definición: El conjunto de los números racionales es:
0,1),(,. qqpmcdqpq
pZQ
Definición:Se le llama número racional a cada fracción simplificada totalmente y con denominador positivo, el conjunto de todas ellas se representa por Q.
En particular, la frase “fracciones equivalentes” tiene un significado bien definido, mientras que “racionales equivalentes” no tiene sentido
Los números racionalesDamos una lista de fracciones, se han resaltado las que son números racionales
286
105
2
1
1
1
1
0
4
3-
7
9,
78
105,
3
3,
7
5,,,
4
0,,,
4
3,,
6
3
Nota:Para nuestros propósitos solamente en unas pocas ocasiones será conveniente distinguir entre fracción y número racional, e incluso no será indispensable, puedes seguir trabajando sin esta complicación, repetimos, de carácter teórico; pero no sobra recordar que la distinción en cuestión se reduce a diferenciar entre fracción y fracción simplificada, cosa que se hace con el propósito de mantener el concepto original de sistema numérico.
Muchas gracias y
por favor sean felices
la Galaxia del
Sombrero, dista unos 28 millones de años luz,
se considera la
mejor fotografía
tomada por Hubble
AtentamenteProfr. Moy
29 de Octubre, 2011
