6

6.

Lineris algebra

6.1. Determinnsok

A determinnsok szleskr alkalmazhatsgnak f oka, hogy segtsgkkel bonyolult s nehezen ttekinthet kifejezseket tehetnk knnyen megjegyezhetv.

A determinnsok rtke gpi ton rendkvl gyorsan hatrozhat meg, gyhogy alkalmazsuk nemcsak ttekinthet, hanem gazdasgos szmtsokat is eredmnyez.6.1.1. Determinnsok s egyenletrendszerek

Az elsfok ktismeretlenes egyenletrendszer

Az elsfok ktismeretlenes egyenlet ltalnos alakja:

(1)

ahol a, b s d ismert, x s y ismeretlen mennyisgek. Az egyenlet y-ra megoldva: . Ebben x helyre klnbz rtkeket helyettestve y-ra ms s ms rtkeket kapunk. Az gy add x, y rtkprok mindig kielgtik az (1) egyenletet; teht az elsfok ktismeretlenes egyenletnek vgtelen sok megoldsa van, ezrt hatrozatlan egyenletnek nevezzk. A kt ismeretlen meghatrozsra egyidejleg fennll kt elsfok ktismeretlenes egyenlet szksges, amelyek egytt elsfok (lineris) egyenletrendszert alkotnak.

Az elsfok ktismeretlenes egyenletrendszer ltalnos alakja:

(2)

A (2) egyenletrendszer csak akkor oldhat meg egyrtelmen, ha a kt egyenlet egymstl fggetlen, s nincs ellentmondsban egymssal.

Ha az ltalnos alakban felrt egyenletrendszer egyik egyenlett valamilyen szmmal vgigszorozva a msik egyenletet kapjuk, akkor a kt egyenlet nem fggetlen, mg ha valamilyen szmmal vgigszorozva a msik egyenlet bal oldalt megkapjuk ugyan, de egyidejleg azonban a jobb oldalak nem egyeznek meg, akkor a kt egyenlet ellentmond. Az els esetben a kt egyenlet lnyegben nem klnbz, a msik esetben, pedig nem oldhatk meg.

Az elsfok ktismeretlenes egyenletrendszer megoldsra hrom eljrst ismertetnk:

a) helyettest mdszer

b) egyenl egytthatk mdszere

c) a determinnsok mdszere

Az els kt mdszer a kzpiskolbl ismert, ezrt most itt csak a harmadikkal foglalkozunk.

c)Az elsfok ktismeretlenes egyenletrendszer ltalnos alakjra alkalmazzuk az egyenl egytthatk mdszert.

, s gy

.

, s gy

.

Teht az egyenletrendszer gykei (nhny tnyezt felcserlve):

.

Ez a kplet termszetesen csak akkor hasznlhat, ha (a nevez nem nulla).

Az egytthatk szorzatklnbsgre az albbi jellst vezetjk be:

Az ilyen ngyzetes alakba rendezett kifejezst msodrend determinns-nak nevezzk.

A msodrend determinns

Definci: Az a, b, c, d elemekbl kpzett msodrend determinnson az klnbsget rtjk, s ezt gy jelljk:

Az klnbsget a determinns rtknek is mondjuk.

Az msodrend determinns:

elemei a, b, c, d els sora a b msodik sora c d els oszlopa a c msodik oszlopa b d ftlja az a d vonal

mellktlja a b c vonal.Kvetkezmny: A msodrend determinns rtkt megkapjuk, ha a ftlban lv elemek szorzatbl kivonjuk a mellktlban lv elemek szorzatt.

A determinns jellsvel a (2) egyenletrendszer megoldsa (az n. Cramer-szably):

A nevezben lv D determinnst, amely az egyenletrendszer x, y egytthatibl ll, a rendszer determinnsnak nevezzk. A rendszer determinnsbl a szmllkban lev Dx s Dy determinnsokat gy kapjuk, hogy Dx-nl az x egytthati helybe, Dy-nl pedig az y egytthati helybe az egyenletrendszer jobb oldaln ll szmokat tesszk.

A determinnsjells bevezetsnek egyik elnye, hogy a megolds jl ttekinthet s knnyen megjegyezhet. Majd ltjuk, hogy az ltalnosts sok haszonnal jr.A Cramer-szablyTtel: Ha egy lineris egyenletrendszer szablyos, akkor a lineris egyenletrendszer:

1. megoldhat,

2. pontosan egy (szm n-es) megoldsa van,

3. a megolds alakban rhat fel.

D az egyenletrendszer determinnst jelenti, Dk pedig a k-adik mdostott determinnst, azaz amelyik D-bl gy jn ltre, hogy a D determinns k-adik oszlopt az egyenletrendszer jobb oldaln ll konstansok oszlopval helyettestjk.

Szablyosnak neveznk egy lineris egyenletrendszert, ha az egyenletek szma megegyezik az ismeretlenek szmval, s az egyenletrendszer determinnsa zrustl (nulltl) klnbz.

Plda

1.

2.

A szabad tagokat a jobb oldalra rendezzk:

Az elsfok hromismeretlenes egyenletrendszer

Kettnl tbb ismeretlent tartalmaz egyenletrendszert is akkor tudunk egyrtelmen megoldani, ha annyi egymstl fggetlen s ellent nem mond egyenletnk van, mint amennyi az egyenletek szma.

Az elsfok hromismeretlenes egyenletrendszer ltalnos alakja:

A hromismeretlenes egyenletrendszer megoldsra kz utat mutatunk meg:

a) a ktismeretlenes egyenletrendszerre val visszavezetst, s

b) a determinnsok mdszert.

a) Az n-szm n-ismeretlenes egyenletrl gy trnk t (n-1) szm (n-1) ismeretlenes egyenletre, hogy az egyik ismeretlent vagy a ktismeretlenes egyenletrendszer megoldsakor megismert helyettest mdszerrel, vagy az egyenl egytthatk mdszervel kikszbljk.

b) A rendszer D determinnst az ismeretlenek egytthatinak ngyzetes elrendezse adja:

,

amely a kvetkez szmot jelenti:

.

A D harmadrend determinns els sorhoz tartoz elemek egy-egy msodrend determinnssal vannak szorozva. Ezeket az egyes elemekhez tartoz aldeterminnsoknak nevezzk. A D determinns brmely elemhez tartoz aldeterminnst gy kapjuk meg, hogy trljk a D determinnsbl azt a sort s oszlopot, amelyikben a krdses elem ll, s az gy elll eggyel alacsonyabbrend determinnst + eljellel vesszk, ha az elem oszlop- s sorszmnak sszege pros, s eljellel, ha az elem oszlop- s sorszmnak sszege pratlan. Ezt knnyen megjegyezhetjk a kvetkez elrendezssel:

- Definci: A harmadrend determinns szmrtkt megkapjuk, ha brmely sornak vagy oszlopnak elemeit szorozzuk a megfelel aldeterminnssal, s a szorzatok sszegt kpezzk.

- Definci: Jelljn D egy n-ed rend determinnst, amelynek tetszleges eleme legyen aik. Hagyjuk el a D determinns i-edik sornak s k-adik oszlopnak elemeit, a megmaradt (n-1)2 szm elembl vltozatlan sorrend mellett egy (n-1)-edrend determinnst kpezhetnk. Ha az gy kpzett determinnst (-1)i+k rtkkel megszorozzuk, akkor az gy kapott szorzatot nevezzk az eredeti D determinns aik elemhez tartoz (adjunglt) aldeterminnsnak, s ezt Dik-val jelljk.

Ha a D determinns oszlopait rendre felcserljk a szabad tagokkal, akkor a Dx, Dy, Dz harmadrend determinnsokat kapjuk:

A megolds kplete:

Az egyenletrendszer egyrtelmen itt is akkor oldhat meg, ha a felttel teljesl!

Plda

1.

6.1.2. A determinns tulajdonsgai

A msodrend s a harmadrend determinnshoz hasonlan rtelmezzk az n-edrend determinnst. Ennek n sora s n oszlopa van:

Ez a determinns szintn kifejtssel, (n-1)-edrend aldeterminnsok segtsgvel rhat fel. Pldul a D determinns els sor szerinti kifejtse:

ahol az elemhez tartoz aldeterminns, amit gy kapunk, hogy a D determinnsbl trljk az i-edik sort s a k-adik oszlopot. Ugyanez a kifejts:

ahol az elemhez tartoz eljeles aldeterminns.

Innen lthat, hogy a determinns rtknek kiszmtsa igen sok szorzsi s sszeadsi mvelettel jr, hiszen az (n-1)-edrend aldeterminnsok kiszmtsa jabb, most mr (n-2)-edrend aldeterminnsok kiszmtst teszi szksgess.

Emiatt is rdemes a determinns nhny tulajdonsgt ttekinteni. Ezek ismerete s felhasznlsa ugyanis lnyegesen lervidtheti ezt a szmtsi munkt.

Tulajdonsgok1. A determinnst brmelyik sora vagy oszlopa szerint kifejtve, ugyanazt az rtket kapjuk.

2. Ha a determinnst ftljra tkrzzk, rtke nem vltozik.

3. Ha a determinns ftlja felett vagy alatt csupa nulla ll, akkor a determinns rtke a ftlban lv elemek szorzatval egyenl.

4. Ha valamelyik sor vagy oszlop mindegyik eleme zrus, akkor a determinns rtke is zrus.

5. Ha valamelyik sor vagy oszlop mindegyik elemt ugyanazzal a szmmal szorozzuk, akkor a determinns rtke ugyanannyiszorosra vltozik.

6. Ha az i-edik sorban csupa kttag sszeg szerepel, akkor a determinns elllthat kt olyan determinns sszegeknt, amelyek kzl az egyik i-edik sorban e kttag sszegek els tagja, mg a msiknak az i-edik sorban az sszegek msodik tagja ll, a kt determinns tbbi sora, pedig ugyanaz, mint az eredeti. Ugyanez rvnyes az oszlopokra is.

7. Ha a determinnsban kt sor vagy oszlop egyenl, akkor a determinns rtke zrus.

8. Ha a determinns kt sort vagy oszlopt felcserljk, akkor a determinns eljelet vlt.

9. Ha a determinns egyik sorhoz vagy oszlophoz hozzadjuk egy msik sort vagy oszlopt vagy, annak tbbszrst, akkor a determinns rtke nem vltozik.

6.2. Mtrixok

A matematika egyik legfontosabb s legsokoldalbban alkalmazott fogalma a mtrix. A mtrixokkal vgzett mveletek, szmtsok szinte a matematika valamennyi gban elfordulnak. Itt csupn a mtrixok bevetetsvel, legegyszerbb tulajdonsgaival s nhny specilis mtrixszal ismerkedhetnk meg.

6.2.1. A mtrix rtelmezse, specilis mtrixokA mtrix rtelmezseDefinci: Elemeknek egy tglalap alak tblzatban, azon bell sorokban s oszlopokban elrendezett rendszert mtrixnak nevezzk.

A mtrix ltalnos alakja:

Az szmok (esetleg fggvnyek) a mtrix elemei. A ketts indexels az elemek helyt mutatja. Az elem az i-edik sor k-adik eleme. A fenti mtrixnak m sora s n oszlopa van, ezrt szoks azt mondani, hogy mn tpus.

A mtrix jellse ltalban A, B, C stb. mdon (teht flkvr nagybetkkel) trtnik. Ha a mtrix tpust (mrett) is fel akarjuk tntetni, akkor azt A(m,n) mdon jelljk, ahol m a sorok, n az oszlopok szmt jelli. De ms jellsek is hasznlatosak. A fenti mtrix jellse lehet pl.: A vagy A(m,n) vagy vagy [aik] vagy (aik).

A mtrix ftljt az , mellktljt az elemek alkotjk.

Ha az A mtrix sorait felcserljk az oszlopaival, akkor a mtrix transzponltjt kapjuk. Ebbl kvetkezik, hogy egy mn tpus mtrix transzponltja nm tpus mtrix lesz.

Jellse: At vagy AT vagy A* vagy A.

Nyilvnval, hogy (At)t = A.

Specilis mtrixok

a) Ha egy mtrix sorainak s oszlopainak szma egyenl (m = n), akkor ngyzetes (kvadratikus) mtrixnak nevezzk. A ngyzetes mtrix sorainak (s oszlopainak) szma a mtrix rendje. Az n-edrend mtrixnak teht n2 eleme van; az elsrend mtrix egyetlen elembl ll.

b) Klnleges szerepe van az tpus mtrixoknak, vagyis azoknak a mtrixoknak, amelyeknek csak egyetlen oszlopa vagy sora van. Az egy oszlopbl ll mtrixot oszlopmtrixnak (vagy ha vektorknt fogjuk fel oszlopvektornak), az egyetlen sorbl ll mtrixot sormtrixnak (vagy sorvektornak) nevezzk. Egy ilyen oszlopvektor pl.:

Ennek transzponltja egy sorvektor:

Mivel a mtrix sorokbl s oszlopokbl ll, ezrt az A(m,n) = [aik] mtrix felrhat

alakban is ahol oszlopvektorok, pedig sorvektorok.

Pldul az

mtrix felrhat oszlopvektorok segtsgvel az alakban, ahol

,

ill. sorvektorok segtsgvel az

alakban, ahol

s .

c) Zrusmtrixnak nevezzk azokat a mtrixokat, amelyeknek minden eleme nulla.

d) tls (diagonlis) mtrixnak nevezzk az olyan ngyzetes mtrixot, amelynek csak a ftlban van nulltl klnbz eleme. Az

diagonlis mtrix rvid jellsre az

szimblumot hasznljuk. gy pl.:

.

e) Egysgmtrix az a diagonlmtrix, amelynek ftljban minden elem 1-gyel egyenl. Az egysgmtrixokat E-vel jelljk. Az egysgmtrix rendszmt az E mell tett indexszel jellhetjk; gy pl.:

.

Az egysgmtrix elnevezs indokoltsgt a mtrixmveletek kapcsn fogjuk beltni.

Azokat az oszlop-, ill. sormtrixokat, amelyeknek egyik eleme 1, a tbbi zrus,

egysgvektoroknak nevezzk. A hromelem egysgvektorok oszlopmtrix alakban

sormtrix alakban

.

Az index itt azt jelli, hogy az egysgvektor melyik eleme 1. Minden n-edrend

egysgmtrix n olyan oszlopra ill. sorra bonthat, amelyeknek mindegyike

egysgvektor:

vagy .

f) Szimmetrikus mtrixnak nevezzk azt a ngyzetes mtrixot, amelynek elemei a ftlra szimmetrikusak, azaz . Egy szimmetrikus mtrix nyilvnvalan azonos a transzponltjval. Szimmetrikus pl. a kvetkez mtrix:

.

g) Antiszimmetrikus vagy ferdn szimmetrikus az a ngyzetes mtrix, amelyben a ftlra szimmetrikus elemek egymsnak ellentettjei, azaz minden i-re s j-re. Ezrt az antiszimmetrikus mtrix ftljban csak 0 llhat. Antiszimmetrikus mtrix pl.:

.

h) Hromszgmtrix (triangulris) az olyan ngyzetes mtrix, amelynek ftlja alatt vagy fltt csupa 0 elem ll. Az elst fels, az utbbit als hromszgmtrixnak nevezzk. A diagonlis mtrixok olyan specilis hromszgmtrixok, amelyek egyszerre fels s als hromszgmtrixok. Hromszgmtrixok pl.:

s .

6.2.2. Mtrixmveletek

a) Kt mtrix egyenlsgeDefinci: Kt mtrix egyenl, ha mindkett ugyanolyan tpus (mret) s a megfelel helyeken ll elemeik egyenlk, azaz

, ha , (i = 1, 2, , m; k = 1, 2, , n).

b) sszeads, kivons

Kt mtrix csak akkor adhat ssze ill. vonhat ki egymsbl, ha azonos tpusak.

Definci: Mtrixok sszegt ill. klnbsgt gy kpezzk, hogy az azonos helyen ll (azonos index) elemeiket sszeadjuk ill. kivonjuk.

Legyen A = [aik], B = [bik] egy-egy mn tpus mtrix. sszegk ill. klnbsgk (A B) olyan C = [cik], szintn mn tpus mtrix, amelyre

cik = aik bik, i = 1, 2, , m; k = 1, 2, , n.

Az rtelmezs alapjn lthat, hogy az sszeads kommutatv s asszociatv, azaz

A + B = B + A,

A + (B + C) = (A + B) + C.

Belthat tovbb, hogy

(A B)t = At Bt.

Plda

c) Mtrix szorzsa szmmal (skalrral)Definci: Mtrixot gy szorzunk egy szmmal (skalrral), hogy a mtrix minden elemt megszorozzuk a szmmal.

Legyen A = [aik]. Ekkor A = [aik].A mtrix szorzsa skalrral kommutatv, asszociatv s disztributv mvelet, azaz

A = A(12)A = 1(2A)

(1 + 2)A = 1A + 2A s (A + B) = A + B.

Plda

d) Mtrix szorzsa mtrixszal

Az A mtrixnak a B mtrixszal val AB szorzata csak akkor rtelmezhet, ha A-nak (a bal oldali tnyeznek) ugyanannyi oszlopa van, mint ahny sora van B-nek (a jobb oldali tnyeznek). Ha ez teljesl, akkor azt mondjuk, hogy A s B az adott sorrendben konformbilis. Ebbl kvetkezik, hogy az A(m,p) s B(p,n) mtrixok AB szorzata rtelmezhet.

Definci: Az A = [aik] s B = [bik] mtrixok ilyen sorrendben vett szorzata az a C = [cik] mtrix, amelyre

, .

Ez a kpzsi szably gy jegyezhet meg, hogy cik nem ms mint az A mtrix i-edik sornak s a B mtrix k-adik oszlopnak (mint kt vektornak) a skalris szorzata.

A C szorzatmtrix mn tpus.

Az rtelmezs alapjn nyilvnval, hogy a szorzs nem kommutatv, azazAB BA,viszont asszociatv s rvnyes a disztributv trvny:(AB)C = A(BC),

(A + B)C = AC + BC s A(B + C) = AB + AC.

A szorzatmtrix asszociativitsa folytn rtelmezhet a kvadratikus mtrix pozitv egsz kitevj hatvnya:

An = AAA A,ahol a jobb oldalon n darab tnyez ll. A zruskitevj hatvnyt egysgmtrixknt rtelmezzk:

A0 = E.

Ha A ngyzetes mtrix s E, ill. 0 vele azonos rend egysgmtrix, ill. zrusmtrix, akkorAE = EA = A,

A0 = 0A = 0.

Egy sormtrixnak (sorvektornak) s egy oszlopmtrixnak (oszlopvektornak) a szorzata egy 11 tpus mtrix, amit szmnak tekintnk:

.

Egy oszlopvektornak s egy sorvektornak a szorzata az n. diadikus szorzat:

Ennek a szorzsnak az eredmnye az n. did, ami jelen esetben egy mn tpus mtrix.

Plda

Pl. a szorzatmtrix els sornak els eleme gy szmthat:

Mtrixszorzs Falk-mdszerrel

A szorzatmtrix kiszmtsakor knny hibzni, a kiszmtott elemet rossz helyre rni. Ezrt clszer a kt sszeszorzand mtrixot gy elhelyezni, hogy a berand elem helyt ne lehessen eltveszteni. Az albbi elrendezs egy ilyen lehetsget mutat, amelyet Falk-mdszernek neveznek:

gy az eredmnymtrix eleme ppen annak a sornak s oszlopnak a kompozcija, amelyeknek metszspontjban ll.

6.2.3. Mtrix rangja

A mtrixelmlet egyik legfontosabb fogalomalkotsa a mtrix rangja. Az A(m,n) mtrixot m sorvektor s n oszlopvektor alkotja. Igazolhat, hogy a linerisan fggetlen sorvektorok szma megegyezik a linerisan fggetlen oszlopvektorok szmval.Definci: Mtrix rangja egyenl a mtrix linerisan fggetlen sorvektorinak vagy oszlopvektorainak szmval.

Ha a mtrix minden eleme nulla, akkor rangja is nulla. A mtrix rangjnak jellse: rangA, vagy r(A).

A mtrix rangjnak egy msik, az elzvel ekvivalens rtelmezse:

Definci: A mtrix rangja egyenl a mtrixbl kivlaszthat nem zrus rtk determinnsok rendszmnak maximumval.

Nyilvnval, hogy egy mn tpus mtrix rangja nem lehet nagyobb sorainak vagy oszlopainak szmnl, azaz 0 rangA min(m,n).

A mtrix rangjnak kiszmtsa ltalban hosszadalmas feladat, ezrt hasznos lehet az az szrevtel, hogy a mtrix rangja az albbi talaktsok sorn nem vltozik:

- egy sornak vagy oszlopnak nulltl klnbz szmmal val szorzsakor;

- kt sornak vagy oszlopnak felcserlsekor;

- valamely sorhoz (vagy oszlophoz) egy msik sornak (vagy oszlopnak) hozzadsakor.

Plda

1. llaptsuk meg A rangjt, ha .Megolds: Elbb clszer kiszmtani A determinnst:detA = .

Mivel a determinns tke nulla, ezrt rangA < 3. most azt kell megvizsglni, hogy kivlaszthat-e a mtrixbl olyan msodrend determinns, amelynek rtke nem nulla. Ilyen pl. a bal fels sarokdeterminns:

.

Tekintettel arra, hogy msodrend az a legmagasabbrend, nem zrus rtk determinns, amely a mtrixbl kivlaszthat, a mtrix rangja 2, azaz rangA = 2.

Ez onnan is lthat, hogy a mtrix harmadik sora (-3)-szorosa a msodik sornak, gy a mtrix sorai linerisan nem fggetlenek. Viszont az els s msodik sor linerisan fggetlenek. Mivel kt fggetlen sor van, ezrt rangA = 2.2. Az mtrix rangjnak megllaptshoz a harmadik

sorbl vonjuk ki a msodik sort. Ekkor a kvetkez B mtrixot kapjuk:

.

Most a harmadik sort adjuk hozz a negyedik sorhoz. Ennek az eredmnye az albbi C mtrix:

.

Ezek az talaktsok nem vltoztatjk meg a mtrix rangjt, azaz rangA = rangB = rangC. A C mtrix rangja kisebb, mint ngy, mert ebbl a mtrixbl zrustl klnbz, negyedrend determinns nem vlaszthat ki, hiszen minden ilyen determinns negyedik sornak minden eleme zrus. Viszont a bal fels sarokban kialakthat

determinns rtke 4 0, ezrt rangC = 3 = rangA. Ui. a mtrixbl kivlaszthat, nem zrus rtk determinnsok kztt harmadrend a legnagyobb rendszm.

6.3. Lineris egyenletrendszerek

6.3.1. A lineris egyenletrendszer vizsglata

A lineris egyenletrendszer rtelmezse, ltalnos alakja

Definci: Lineris egyenletrendszeren olyan egyenletrendszert rtnk, amely vges sok elsfok egyenletbl ll.

A lineris egyenletrendszer ltalnos alakja:

, (1)

ahol m az egyenletek szma, n az ismeretlenek szma, az ismeretlenek, az egyenletrendszer llandi (jobb oldal), az egyenletrendszer egytthati.

A lineris egyenletrendszer homogn, ha a llandk mindegyike zrus. Ha ezek kzl akr csak egy is klnbzik zrustl, akkor az egyenletrendszer inhomogn.

Az (1) egyenletrendszer megoldsa minden olyan szm-n-es, azaz n-dimenzis vektor, amely az

helyettests utn az (1) egyenletrendszer mindegyik egyenlett kielgti.

Az egyenletrendszer mtrixa

Az egytthatkbl ll mtrixot jellje A, azaz legyen

.

Ez az egyenletrendszer mtrixa. Kiegsztve ezt a jobb oldalon szerepl llandkbl ll oszloppal, az egyenletrendszer bvtett mtrixhoz jutunk. Ezt jellje B. teht

.

Az ismeretleneket s a jobb oldali llandkat foglaljuk egy-egy oszlopvektorba. Legyenek ezek x s b:

.

Ekkor az (1) egyenletrendszer felrhat n. mtrix alakban.

6.3.2. A lineris egyenletrendszer megoldsa

A lineris egyenletrendszerek megoldhatsgnak felttele

A lineris egyenletrendszernek: - lehet egyetlen megoldsa,

- lehet vgtelen sok megoldsa,

- lehet, hogy nincs megoldsa,

fggetlenl attl, hogy mennyi az egyenletek szma s mennyi az ismeretlenek szma.

Mindenekeltt az egyenletrendszer megoldhatsgt rgztjk az albbi ttelben.

Ttel: A lineris egyenletrendszer akkor s csak akkor oldhat meg, ha mtrixnak rangja megegyezik bvtett mtrixnak rangjval.

A rangszmvizsglattal teht (ami nem egyszer feladat) eldnthet, hogy van-e ellentmonds az egyenletrendszerben vagy nincs. Egybknt a lineris egyenletrendszer mtrixnak rangja legfeljebb akkora, mint az ismeretlenek szma. Termszetesen nem lehet nagyobb az egyenletek szmnl.

A kvetkez ttel a megolds egyrtelmsgt rgzti.

Ttel: A lineris egyenletrendszer akkor s csak akkor oldhat meg egyrtelmen (csak egy megolds van), ha mtrixnak s bvtett mtrixnak rangja megegyezik az ismeretlenek szmval.

Ttel: Ha a lineris egyenletrendszer egyenleteinek s ismeretleneinek a szma megegyezik (vagyis az egyenletrendszernek kvadratikus mtrixa van), akkor az egyenletrendszer egyrtelm megoldsnak szksges s elgsges felttele, hogy mtrixnak a determinnsa ne legyen nulla.A lineris egyenletrendszer megoldsnak nhny mdszerea)Cramer-szablyA 6.1.1. pontban mr trgyaltuk.

A Cramer-szably elvileg nagyon egyszer mdszer, alkalmazsa azonban nehzkes. Ugyanis ha az egyenletek (s az ismeretlenek) szma nagyon nagy, akkor gyakorlatilag nem alkalmazhat, mert a determinnsok kiszmtsa hosszadalmas, esetleg nem is lehetsges. Ezrt tbb mdszert is kidolgoztak, amelyek a gyakorlat szmra elnysebbek a Cramer-szablynl. Egyik ilyen a Gauss-fle mdszer.

b)Gauss-fle elimincis eljrs

Magt a mdszert nem rszletezzk. A lnyege gy foglalhat ssze, hogy az egyenletrendszert, s gy annak mtrixt is talaktjuk. Ez egy-egy egyenlet szmmal val szorzsval, majd kt vagy tbb egyenlet sszeadsval (kivonsval) valsthat meg. Ha ezeket az talaktsokat alkalmas mdon vgezzk el, akkor elrhet, hogy bizonyos szm lps utn az egyenletrendszer mtrixa, s egyttal az egyenletrendszer is olyan specilis szerkezet lesz, amelybl az ismeretlenek igen egyszeren szmthatk ki. Ilyen mtrix pl. a hromszgmtrix vagy az tls mtrix, de ms specilis mtrixok is keletkezhetnek. Elnye a mdszernek, hogy sem az egyenletek sem az ismeretlenek szmra semmilyenmegktst nem kell tenni.

c)Homogn lineris egyenletrendszerek

A 6.3.1. pontban mr emltettk, hogy az egyenletrendszer homogn, ha minden bi llandja nulla.

Tekintsk az albbi lineris homogn egyenletrendszert:

.

Mivel a jobb oldalon minden lland nulla, ezrt a bvtett mtrix rangja megegyezik az egyenletrendszer mtrixnak rangjval. Ennek kvetkeztben a lineris homogn egyenletrendszer mindig megoldhat.

Megoldsa:

.

Ezt trivilis megoldsnak nevezzk.

A gyakorlatban inkbb az az rdekes, hogy van-e ezenkvl ms, n. nemtrivilis megolds.

Knny beltni, hogy nemtrivilis megolds akkor s csak akkor van, ha a rendszer mtrixnak rangja kisebb az ismeretlenek szmnl.

Legyen most m = n, vagyis az egyenletek s az ismeretlenek szma legyen egyenl. Erre az estre vonatkozik a kvetkez ttel.

Ttel: Az n egyenletbl ll n-ismeretlenes homogn lineris egyenletrendszernek akkor s csak akkor van nemtrivilis megoldsa, ha az egyenletrendszer determinnsa nulla.

Ha ltezik ilyen megolds akkor vgtelen sok van.

Ha m = n estben az egyenletrendszer determinnsa nulla, ez azt jelenti, hogy az egyenletek nem fggetlenek egymstl. Az egyenletek kztt teht van olyan (egy vagy tbb), amely a tbbi egyenlet lineris kombincija. Az ilyen egyenlet flsleges a rendszerben, gy az elhanyagolhat. A gyakorlatban persze azt nem knny megtallni. Ha azonban ez sikerlt s elhagytuk a flsleges egyenlet(ek)et, akkor a maradkrendszer trendezhet gy, hogy a baloldalon csak annyi ismeretlen legyen, ahny egyenletnk maradt. A tbbi ismeretlent a jobb oldalra gyjtjk, s gy tekintjk azokat, mintha llandk lennnek. Lnyeges, hogy az gy keletkez egyenletrendszer determinnsa ne legyen nulla. Ekkor ez az egyenletrendszer megoldhat Cramer-szabllyal is.

A Gauss-mdszer ezen talakts nlkl is alkalmazhat.

Plda

1.Oldjuk meg a kvetkez egyenletrendszert Gauss-fle algoritmussal:

Adjuk hozz az els egyenlet (-1)-szerest a msodik, (-3)-szorost a harmadik, (2)-szerest a negyedik egyenlethez, ekkor

Hagyjuk el az els egyenletet, majd adjuk hozz a megmaradt els egyenlet (7)-szerest a msodikhoz s (1)-szerest a harmadikhoz, gy

Hagyjuk el ismt az els egyenletet, s a megmarad els egyenletbl vonjuk ki a msodik egyenlet tszrst, ekkor

Az utols egyenletnek egyrtelm megoldsa van, gy az eredeti egyenletrendszernek is, mgpedig:

Gyakorl feladatok

1. Szmtsa ki a kvetkez determinnsok rtkt!

2. Szmtsa ki a kvetkez determinns rtkt a Sarrus-szabllyal!

3. Szmtsa ki a kvetkez determinnsok rtkt!

4. Bizonytsa be, hogy

5. Bizonytsa be, hogy

6. Szmtsa ki a kvetkez szorzatok eredmnyt!

7. Legyen

.

Szmtsa ki az AB s a BA szorzatokat (a BA-t Falk-mdszerrel)!

8. Legyen

.

Szmtsa ki az AB s az AC szorzatokat (az AC-t Falk-mdszerrel)!

9. Szmtsa ki az albbi mtrixok rangjt!

10. Hatrozza meg az albbi mtrixokhoz tartoz determinnsok rtkt!

11. Oldja meg a kvetkez homogn lineris egyenletrendszereket!

12. Bizonytsa be, hogy az albbi homogn egyenletrendszernek csak trivilis megoldsa van!

13. Oldja meg a kvetkez inhomogn egyenletrendszereket!

14. Oldja meg az albbi egyenletrendszert!

a) Gauss-fle algoritmussal

b) Vizsglja meg a megoldsok ltezst, ill. szmt

15. Adott a kvetkez egyenletrendszer:

a) llaptsa meg, hogy ltezik-e megolds, ill. hny megolds ltezik! Ha vgtelen sok megolds van, akkor hny ismeretlen vlaszthat szabadon?

b) Ha ltezik megolds, akkor hatrozza meg Gauss-fle algoritmussal!

c) Hatrozza meg az A egytthatmtrix s a B bvtett mtrix rangjt!

6.4. Ellenrz krdsek1. Adja meg az elsfok ktismeretlenes egyenletrendszer ltalnos alakjt!

2. Oldja meg a meg a ktismeretlenes elsfok egyenletrendszer ltalnos alakjt!

3. Mit neveznk determinnsnak? Mi az sszefggs determinns s egyenletrendszer kztt?

4. Mit neveznk aldeterminnsnak?

5. Hogyan rhat fel az elsfok hromismeretlenes egyenletrendszer megoldsa harmadrend determinns segtsgvel?

6. Mit neveznk mtrixnak?

7. Mi a klnbsg az nm-es s a kvadratikus mtrix kztt?

8. Hogyan nevezzk az egy sorbl, illetve egy oszlopbl ll mtrixokat?

9. Magyarzza meg, mit neveznk ftlnak s mellktlnak?

10. Sorolja fel a tanult specilis mtrixokat! Milyen mtrix a triangulris s a diagonlis mtrix?

11. Mikor mondhatjuk kt mtrixrl, hogy egyenlk?

12. Mikor adhat ssze kt mtrix, s hogyan kell elvgezni az sszeadst?

13. Mikor kpezhet kt mtrix klnbsge, s hogyan kell a kivonst elvgezni?

14. Hogyan szorzunk mtrixot skalrral?

15. Milyen tulajdonsgokkal rendelkezik a mtrixok sszeadsa?

16. Milyen tulajdonsgokkal rendelkezik a mtrix skalrral trtn szorzsa?

17. Mikor tudunk kt mtrixot sszeszorozni?

18. Mely mveleti tulajdonsg nem teljesl mtrixszorzs esetn?

19. Mi az eredmnye egy sorvektor s egy oszlopvektor (ebben a sorrendben vett) szorzatnak?

20. Mi az eredmnye egy oszlopvektor s egy sorvektor (ebben a sorrendben vett) szorzatnak? Hogy hvjuk a mveletet, s hogy hvjuk az eredmnyt?

21. Hogyan lehet mtrixokat transzponlni?

22. Mi a mtrix rangja!

23. rja fel a lineris egyenletrendszerek ltalnos alakjt!

24. Ismertesse a Gauss-fle mdzsert!

_1155056174.unknown

_1155210660.unknown

_1155318278.unknown

_1155792605.unknown

_1155914645.unknown

_1155915889.unknown

_1155917481.unknown

_1155919613.unknown

_1155920896.unknown

_1155921166.unknown

_1155920530.unknown

_1155918795.unknown

_1155916380.unknown

_1155915136.unknown

_1155915512.unknown

_1155914671.unknown

_1155796003.unknown

_1155905211.unknown

_1155905381.unknown

_1155904920.unknown

_1155794690.unknown

_1155794738.unknown

_1155793078.unknown

_1155655657.unknown

_1155658124.unknown

_1155665517.unknown

_1155665984.unknown

_1155658643.unknown

_1155656917.unknown

_1155657919.unknown

_1155655989.unknown

_1155565011.unknown

_1155566592.unknown

_1155566860.unknown

_1155655374.unknown

_1155567054.unknown

_1155566610.unknown

_1155565549.unknown

_1155565755.unknown

_1155566180.unknown

_1155565024.unknown

_1155564838.unknown

_1155564926.unknown

_1155562535.unknown

_1155278156.unknown

_1155311849.unknown

_1155318248.unknown

_1155318266.unknown

_1155318238.unknown

_1155312622.unknown

_1155281972.unknown

_1155311712.unknown

_1155279568.unknown

_1155211847.unknown

_1155212305.unknown

_1155277066.unknown

_1155212210.unknown

_1155211324.unknown

_1155211651.unknown

_1155211142.unknown

_1155205798.unknown

_1155207476.unknown

_1155208901.unknown

_1155209633.unknown

_1155210551.unknown

_1155209469.unknown

_1155208204.unknown

_1155208354.unknown

_1155207985.unknown

_1155206912.unknown

_1155207281.unknown

_1155207391.unknown

_1155207036.unknown

_1155206083.unknown

_1155206695.unknown

_1155206039.unknown

_1155141025.unknown

_1155194312.unknown

_1155204936.unknown

_1155205585.unknown

_1155196168.unknown

_1155193401.unknown

_1155194200.unknown

_1155141138.unknown

_1155137954.unknown

_1155138125.unknown

_1155140699.unknown

_1155137998.unknown

_1155056384.unknown

_1155056813.unknown

_1155056831.unknown

_1155056699.unknown

_1155056361.unknown

_1154959637.unknown

_1154983881.unknown

_1155055262.unknown

_1155055292.unknown

_1155055781.unknown

_1155055278.unknown

_1155019001.unknown

_1155055186.unknown

_1155055137.unknown

_1154984176.unknown

_1154977294.unknown

_1154979511.unknown

_1154983285.unknown

_1154979152.unknown

_1154975706.unknown

_1154975806.unknown

_1154977001.unknown

_1154975452.unknown

_1154953544.unknown

_1154956123.unknown

_1154956146.unknown

_1154958799.unknown

_1154956136.unknown

_1154954548.unknown

_1154955908.unknown

_1154955919.unknown

_1154954264.unknown

_1154952994.unknown

_1154953387.unknown

_1154953438.unknown

_1154953301.unknown

_1154953365.unknown

_1154953244.unknown

_1154951568.unknown

_1154952019.unknown

_1154952465.unknown

_1154949714.unknown