Embed Size (px)
DESCRIPTION
kapacitet
Citation preview
1
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE IOSNOVE ELEKTROTEHNIKE I
Kapacitet, elektrostatske mreže
2
Kapacitet, kapacitivnost, kondenzatoriKapacitet, kapacitivnost, kondenzatori
• U električnim mrežama posebnu ulogu imaju naprave koje se izrađuju tako da mogu uskladištiti određenu količinu naboja – KONDENZATORI
• Kondenzatori su komponente strujnog kruga koji dominantno imaju svojstvo kapacitivnosti
• KAPACITIVNOST je svojstvo nekog tijela da na sebi uskladišti određenu količinu naboja Q u danim naponskim prilikama
• KAPACITET je naziv za koeficijent proporcionalnosti između naboja i napona na takvim tijelima, ali
• KAPACITET je i naziv za idealni element strujnog kruga koji ima sposobnost uskladištenja energije električnog polja
3
Kapacitet usamljenog tijela
• Promatramo izoliranu vodljivu kuglu. Polje kugle naelektrizirane s nabojem Q jednako je
24 r
QE
• Ako povećamo Q proporcionalno će se povećati i potencijal
R
Q
4
• Potencijal na kojem se nalazi kugla (polumjera R) u tom polju je potencijal površine kugle
4
• Koeficijent proporcionalnosti između Q i nazivamo KAPACITET usamljenog tijela
][FQ
C
• kapacitet usamljenog vodljivog tijela
• Kapacitet usamljene kugle će biti
R
RQQQ
C
4
4
5
• Možemo primjetiti da kapacitet ovisi isključivo o geometriji tijela i dielektričnoj konstanti prostora oko kugle
• Npr. možemo promotriti kapacitet Zemlje kao vodljive kugle– polumjer Zemlje je RZ= 6,37 . 106 m,
r=1, 0=8.854 . 10-12 [As/Vm],
– pa dobijemo CZ = 708 F
• kapacitet usamljene kugleRC r04
6
• Jedinica za kapacitivnost (kapacitet) je farad (1 F), čija je dimenzija As/V
• Jedinica 1F je izuzetno velika pa se u praksi susrećemo s
FpF
FnF
FF
12
9
6
101
101
101
• U praksi su interesantniji slučajevi dvaju ili više vodljivih naelektriziranih tijela
• Posebno nas interesira slučaj dvaju vodljivih tijela koji su spojeni na raznoimene stezaljke istog naponskog izvora
7
Kapacitet dva vodljiva izolirana tijela• Naboj na kuglama Q
proporcionalan je razlici potencijala između njih
+ U
+Q -Q -- -
+ ++
a b
U
QC
baU
)( baCQ
• Koeficijent proporcionalnosti između količine naboja i napona između dva tijela je KAPACITET dvaju izoliranih tijela
8
Kapacitet dviju vodljivih ploča – kapacitet pločastog kondenzatora
• Neka su dvije metalne ploče površine S, udaljen međusobno za d i neka je između njih dielektrik
• Polje između ploča je homogeno i jednako je polju između dvije ravnine naelektrizirane s plošnom gustoćom naboja
S S
d
E
+Q -Q
a b
EUz
S
Q
9
• Za proračun kapaciteta potreban nam je napon između ploča
0x
dx
a
b
ab dxEdlEU
00
dd
ab xS
Qdx
S
QU
dS
QU ab
U
QC Iz
d
S
SQdQ
C
10
• Kapacitet možemo povećati tako da povećamo površinu ploča, ili smanjimo udaljenost između njih te da umjesto zraka koristimo neki dielektrik
• Za većinu realnih kondenzatora možemo koristiti ovu formulu jer im je izvedba takova da djeluju kao pločasti kondenzatori
d
SC r 0 • kapacitet dviju vodljivih
ploča (kapacitet pločastog kondenzatora)
11
Kapacitet dvožičnog voda
d
+
-
+U
linijska gustoća nabojal
Q
abU
QC
baabU
a
b
rrrE
22
a
b
ab ldEU
r
R – polumjer vodiča, d – razmak između odiča
12
rE
a
b
ab ldEU
d
+
-
+U
a
b
r
|lnRd
R
R
Rd
a
b
ab rr
dr
r
drU
R
RdU ab
ln
RRd
l
RRd
lQ
QC
lnln
13
d
+
-
+U
a
b
r
RRdl
C
ln
• kapacitet dvožičnog voda po jedinici duljini
• npr. dvožični vod je duljine 10 m, polumjer vodiča R= 2 mm, razmak između vodiča d=5 mm, dielektrik između vodiča je polietilen r=2.2
mnFl
C/1.0
225
ln
10854.82.2 12
14
Kapacitet suosnika (koaksijalnog kabela) – kapacitet cilindričnog kondenzatora
rE
2
c
refC
tref
c r
rldE ln
2..
1
ln2 R
rrefa
2
ln2 R
rrefb
- općenito za točku c između dva vodiča
rR1 R2
+
U
b
a
15
21
ln2
ln2 R
r
R
rU refref
baab
21 lnlnlnln2
RrRrU refrefab
rR1 R2
+
U
b
a
1
2ln2 R
RU ab
1
2
1
2
1
2 ln
2
ln2
ln2 R
Rl
RR
lQ
Q
RR
Q
U
QC
ab
16
rR1 R2
+
U
b
a
1
2
0
ln
2
RRl
C r
• kapacitet koaksijalnog kabela po jedinici duljini
• Primjer: za koaksijalni kabel RG-11 zadano je R2=4.37 mm, R1= 0.815 mm, r=1.8
mpFl
C/60
815.037.4
ln
10854.88.12 12
17
Kondenzatori
• KONDENZATORI su naprave sastavljene od dva vodiča koje elektriziramo nabojima istog iznosa ali različitog predznaka.
• Kapacitet ovakvog sustava vodiča definiran je kao omjer naboja na jednom od vodiča i razlike potencijala između ta dva vodiča
][FU
QC
18
Izvedbe kondenzatora
Elektrolitski kondenzatorFilm-folijski kondenzator
d
SC r 0
19
20
• Na kondenzatorima je brojevima ili prstenovima u boji označeno– nazivni kapacitet
• 47 47 pF, 0.47 0.47 F, 473 47000 pF
– tolerancija kapaciteta u %
– maksimalni dozvoljeni napon • određen je električnom čvrstoćom dielektrika i njegovom debljinom
• uz ove osnovne podatke nalazi se i – oznaka proizvođača
– tip kondenzatora
– temperaturne granice upotrebe kondenzatora
21
22
• Kondenzator je komponenta strujnog kruga koja ima dominantno svojstvo kapacitivnosti (ovisi o frekvenciji i naponu)
• U primjeni se modelira određenim spojem idealnih elemenata strujnog kruga
RS LS
C
Rp
23
Kapacitet kao element strujnog kruga
• KAPACITET predstavlja idealni element strujnog kruga koji ima sposobnost uskladištenja energije električnog polja– može se opisati Q-U karakteristikom
UCQ • Kapacitetom predstavljamo svaku pojavu kapacitivnosti u
strujnom krugu – kondenzatore, raspodjeljene kapacitete vodova, parazitne kapacitete
24
• Kapacitet može biti – linearan ili nelinearan– promjenjiv ili nepromjenjiv
CC
25
Kapacitet u strujnom krugu
C
qu
dt
dqi
duCdq
dt
duCi
• Kada je kapacitet spojen u krugu s promjenjivom strujom, na njemu se mijenja i naboj, a time i napon
veza između napona i struje na kapacitetu
+
-
i
U
Ru C+
- kako je
- uz
26
Kapacitet u istosmjernom strujnom krugu
dt
duCi
• Razmotrit ćemo kako se ponaša kapacitet kada ga spojimo na istosmjerni naponski izvor
• kada se zatvori sklopka S poteći će struja i (struja nabijanja kondenzatora)
• na otporu R je pad napona uR= i . R
+
i
E
Ru C
S
+
27
0 uiRE
dt
duCRuE
dtRCuE
du 1
dtRCuE
uEd 1)(
• Primjenit ćemo KZN kako bismo odredili kako se napon na kapacitetu mijenja u vremenu
1)ln( KRC
tuE
+
i
E
Ru C
S
+iR 0 uRdt
duCE
28
1)ln( KRC
tuE
• K1 je konstanta koju određujemo iz početnih uvjeta u trenutku t=0 s• Kapacitet nije imao početni naboj, pa je na njemu napon bio jednak 0 V
EK
KRC
E
ln
0)0ln(
1
1
ERC
tuE ln)ln(
+
i
E
Ru C
S
+
29
ERC
tuE ln)ln(
RC
tEuE ln)ln(
RC
t
E
uE
ln
RC
t
eE
uE
RC
t
EeuE
)1( RC
t
eEu
+
i
E
Ru C
S
+
• nema skokovite (trenutne) promjene naboja i napona na kapacitetu
30
)1( RC
t
eEu
RC
t
eRC
ECi
dt
duCi
)1
(RC
t
eR
Ei
• RC = vremenska konstanta
• nakon t=5 u=0.9933 E – to smatramo stacionarnim ili USTALJENIM STANJEM• t < 5 PRIJELAZNO STANJE
+
i
E
Ru C
S
+
A što je sa strujom?
31
u [V]
t [s]
R=100 R=500
R=1000
E=10 V, C = 1F
32
E=10 V, C = 1F
t [s]
i [A]
R=100
R=500
R=1000
Kapacitet u ustaljenom stanju za istosmjerni strujni kru predstavlja prekid.
33
Energija naelektriziranog kondenzatora
• Premještanjem naboja dq s jedne ploče kondenzatora na drugu izvor će izvršiti rad
+
i
Ei
Ru u C
S
+
• Za vrijeme naelektriziranja kondenzatora na račun energije izvora uspostavlja se električno polje u kondenzatoru – akumulira se energija
dqudA
dqC
qdA
34
• Ukupna energija uskladištena u kondenzatoru koji je naelektriziran nabojem Q jednaka je ukupnom radu izvora kod premještanja Q naboja
Q
dqC
qW
0
C
Q
C
qdq
C
qW
22
2
0
2
0
222
22 UC
C
UQ
C
QWel
- energija uskladištena u kondenzatoru
35
Energija u električnom polju• Izraz za energiju u naelektriziranom kondenzatoru
možemo poopćiti na energiju uskladištenu u prostoru u kojem vlada električno polje
• Razmotrit ćemo slučaj pločastog kondenzatora
d
SC r 0
d
UE
• slijedi izraz za energiju
dSE
d
dESUCWel
22
)(
2
222
jakost polja između pločakondenzatora
36
• Ako promatramo energiju u malom volumenu dV možemo računati volumnu gustoću energije
VE
Wel
2
2
2
2E
dV
dWw el
el
• U homogenim poljima ukupnu energiju računamo tako da pomnožimo wel s volumenom V
• U nehomogenim poljima moramo integrirati
VV
elel dVE
dVwW2
2
37
Elektrostatske mreže
• Promatramo kapacitete spojene u mrežu u ustaljenom stanju
• Naboj na kapacitetima prije spajanja označit ćemo s Q(-0) –početno stanje, a naboj na kapacitetima poslije spajanja Q(+0) – ustaljeno stanje
• Napon na kapacitetu U=Q/C
38
Vrijede zakoni:
• Kirchhoffov zakon napona KZN – za svaku kapacitivnu petlju u konačnom stanju vrijedi da je suma
napona jednaka 0.
N
kkjk petljutujzaub
1
0
• Zakon očuvanja naboja• ukupni naboj na n-tom čvoru u početnom stanju (prije komutacije)
jednak je ukupnom naboju u tom čvoru u ustaljenom stanju (nakon komutacije)
k
knk
kn QQ )0()0(
39
Primjer 1.
Zadano: E1=10 V, E2=20 V
C1=2 F, C2=3 F, C3=5 F
Q1(-0)=Q2(-0)=Q3(-0)=0 C
k
knk
kn QQ )0()0(
pretpostavimo Q1, Q2 i Q3
N
kkjk petljutujzaub
1
0
+E1C2
C1
E2
C3
+
+
+Q1 Q3
Q2 ++E1
C2
C1
E2
C3
+
40
3210 QQQ
petljuIzaUUE 0211
I II
petljuIIzaUUE 0322
+E1C2
C1
E2
C3
+
početno stanje ustaljeno stanje
+E1C2
C1
E2
C3
+
+
+Q1 Q3
Q2 +
41
3210 QQQ
petljuIzaC
Q
C
QE 0
2
2
1
11
I II
petljuIIzaC
Q
C
QE 0
3
3
2
22
+E1C2
C1
E2
C3
++E1
C2
C1
E2
C3
+
+
+Q1 Q3
Q2
I II+
42
0321 QQQ
petljuIzaQQ
10103102 6
26
1
petljuIIzaQQ
20105103 6
36
2
+E1C2
C1
E2
C3
++E1
C2
C1
E2
C3
+
+
+Q1 Q3
Q2
I II+
43
0321 QQQ5
21 10623 QQ
432 10335 QQ
CQ
CQ
CQ
60
24
36
3
2
1
VC
QU
VC
QU
VC
QU
12
8
18
3
33
2
22
1
11
44
Zadano: E1=10 V, E2=20 V
C1=2 F, C2=3 F, C3=5 F
Q1(-0)= 10 C
Q2(-0)= 24 C
Q3(-0)= 0 C
+E C2
C1
+ E
C3
+
+
+Q1 Q3
Q2
k
knk
kn QQ )0()0(
pretpostavimo Q1, Q2 i Q3
N
kkjk petljutujzaub
1
0
Primjer 2.
+E C2
C1
+ E
C3
+
+
45
+E C2
C1
+ E
C3
+
++E1
C2
C1
E2
C3
+
+
+Q1 Q3
Q2
I II+
32166 10241010 QQQ
petljuIzaC
Q
C
QE 0
2
2
1
11
petljuIIzaC
Q
C
QE 0
3
3
2
22
46
+E C2
C1
+ E
C3
+
++E1
C2
C1
E2
C3
+
+
+Q1 Q3
Q2
I II+
6321 1034 QQQ
petljuIzaQQ
10103102 6
26
1
petljuIIzaQQ
20105103 6
36
2
47
6321 1034 QQQ
521 10623 QQ
432 10335 QQ
CQ
CQ
CQ
77
8.13
2.29
2
2
1
VC
QU
VC
QU
VC
QU
4.15
6.4
6.14
3
33
2
22
1
11
48
Serijski spoj kapaciteta
• Kapaciteti nisu imali početnog naboja
21
210
+E
C1 C2
+ +Q1 Q2
U1 U2
2
22
1
11
C
QU
C
QU
+E
C
+Q
U
C
QU
EU
49
Serijski spoj kapaciteta
QQQ 21
+E
C1 C2
+ +Q1 Q2
U1 U2
21 UUE
+E
C
+Q
U
C
QU
EU 2
2
1
1
C
Q
C
QE
50
+E
C1 C2
+ +Q1 Q2
U1 U2 +E
C
+Q
U
C
QE Q
C
Q
C
QE :/
21
21
11
CCQ
E
CQ
E 1
21
111
CCC
51
Paralelni spoj kapaciteta
• Kapaciteti nisu imali početnog naboja
2
22
1
11
C
QU
C
QU
+E
C
+Q
U
C
QU
EU
+E
C1
+Q1
U1
C2
+Q2
U2
52
Paralelni spoj kapaciteta
EUU 21
+E
C
+Q
U
E
QC
+E
C1
+Q1
U1
C2
+Q2
U2
21 QQQ
53
Paralelni spoj kapaciteta
+E
C
+Q
U
+E
C1
+Q1
U1
C2
+Q2
U2
EECECQ :/21 E
QC
21 CCE
Q
21 CCC
54
Električno polje na granici dva dielektrika
55
Kako bismo vidjeli što se događa s vektorom E kod prijelaza iz jednog u drugo sredstvo koristit ćemo izraz za potencijal.
11
1
1
dlE
0)90cos()90cos( 20
210
1 lElE
0sinsin 2211 EE tt EE 21
2
2
1
1
tt DD
2
1
2
1
t
t
D
D
56
Za analizu normalne komponente vektora E i D koristit ćemo Gaussov zakon
57
Za analizu normalne komponente vektora E i D koristit ćemo Gaussov zakon
0S
dSD
0cos)180cos(21
2210
1 SS
dSDdSD
0coscos 2211 SDSD
nn DD 21 2211 nn EE 1
2
2
1
n
n
E
E
58
Zaključak
• na granici dva dielektrika mijenjaju se veličine vektora E i D– tangencijalne komponente vektora E ostaju
nepromjenjene
tt EE 21
• normalne komponente vektora D ostaju nepromjenjene
nn DD 21
59
uz
• i uz
2211
21
sinsin EE
EE tt
2211
21
coscos DD
DD nn
• ako podijelimo gornju s donjom jednadžbom
22
22
11
11
cos
sin
cos
sin
D
E
D
E
2
2
1
1
rr
tgtg
2
1
2
1
r
r
tg
tg
60
Priprema za sljedeće predavanje:
• B. Kuzmanović, Osnove elektrotehnike I– poglavlja: 14.1, 14.4, 15.1, 15.2, 15.3, 15.4
61
Hvala na pažnji!Hvala na pažnji!
