6_EXMetodoForze

8/3/2019 6_EXMetodoForze

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Soluzione di strutture iperstatiche:

il metodo delle forze

Tema 6.1 Si risolva la struttura staticamente indeterminata riportata in figura 6.1,

scrivendo le condizioni di congruenza in modo diretto. Si determini inoltre il valore

dello spostamento verticale per la sezione S indicata.

Fig. 6.1: Struttura relativa al tema 6.1.

La struttura proposta e 2 volte iperstatica. La figura 6.2 illustra il sistema S(eq)

staticamente equivalente alla struttura assegnata, insieme con le condizioni di con-gruenza che ne assicurano lequivalenza cinematica. Inoltre, sempre in figura 6.2,insieme con i corrispondenti diagrammi del momento flettente, sono riportati glischemi S(0), S(1) e S(2) di modo che, per sovrapposizione degli effetti, risulta: S(eq) =S(0) + X1S

(1) + X2S(2), essendo Xi (i = 1, 2) le incognite iperstatiche.

Le equazioni di congruenza corrispondenti ai vincoli iperstatici considerati possonoallora porsi nella forma equivalente:

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60 6. IL METODO DELLE FORZE

Fig. 6.2: Schema equivalente e schemi parziali utilizzati per la risoluzione della struttura

relativa al tema 6.1.

vB

= v(0)

B+ X

1v

(1)

B+ X

2v

(2)

B= 0

wD = w(0)D + X1w

(1)D + X2w

(2)D = X2k

In particolare, trascurando la deformabilita tagliante per i diversi tratti ed operandoper composizione cinematica nei diversi schemi, si ricava:

v(0)B = v

(0,)B + v

(0,k)B + v

(0,m)B = +

m

k +

m2

2EI

w(0)D = w

(0,)D + w

(0,k)D + w

(0,m)D =

(0,k)A + w

(0,m)C +

(0,m)C

= mk 2m

2

EI

G. Vairo - Universita di Roma Tor Vergata


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v(1)B = v

(1,k)B + v

(1,X1=1)B =

2

k+

3

3EI

w(1)D = w

(1,k)D + w

(1,X1=1)D =

(1,k)A + w

(1,X1=1)C +

(1,X1=1)C

= 2

k

3

2EI

v(2)B = v

(2,k)B + v

(2,X2=1)B =

2

k

3

2EI

w(2)D = w

(2,k)D + w

(2,X2=1)D =

2

k+

3

3EI+

23

EI=

2

k+

73

3EI

Pertanto, limposizione delle condizioni di congruenza discusse, conduce al seguentesistema risolvente per le incognite iperstatiche:

2

k+

3

3EI 2

k 3

2EI

2k 3

2EI2

k+ 7

3

3EI+ 1

k

X1X2

=

+ m

k + m

2

2EI

mk 2m2

EI

Determinata la soluzione (X1, X2), lo spostamento vS si determina banalmente at-traverso la sovrapposizione degli effetti:

vS = v(0)S + X1v

(1)S + X2v

(2)S

essendo

v(0)S = +

m

k

3

2 +

m

2EI

3

2

v(1)S = v

(1,k)S + v

(1,X1=1)B (1,X1=1)B 2 =

k

32 +

3

3EI+

2

2EI2

v(2)S = v

(2,k)S + v

(2,X2=1)S =

k

3

2

2EI

3

2

2



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scrivendo le condizioni di congruenza in modo diretto. Si determini inoltre il lavoro

di deformazione.


Fig. 6.4: Schema equivalente e schemi parziali utilizzati per la risoluzione della strutturarelativa al tema 6.2.



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La struttura proposta e 3 volte iperstatica. La figura 6.4 illustra il sistema S(eq)

staticamente equivalente alla struttura assegnata, insieme con le condizioni di con-gruenza che ne assicurano lequivalenza cinematica. Inoltre, sempre in figura 6.4,insieme con i corrispondenti diagrammi del momento flettente, sono riportati glischemi S(0), S(1), S(2) e S(3) di modo che, per sovrapposizione degli effetti, risul-ta: S(eq) = S(0) + X1S

(1) + X2S(2) + X3S

(3), essendo Xi (i = 1, 2, 3) le incogniteiperstatiche.Le equazioni di congruenza corrispondenti ai vincoli iperstatici considerati possonoallora porsi nella forma equivalente:

B =

+B

B =

(0)

B +X

1

(1)

B +X

2

(2)

B +X

3

(3)

B = 0wD = w+D wD = w(0)D + X1w(1)D + X2w(2)D X3w(3)D = 0

D = +D D = (0)D + X1(1)D + X2(2)D + X3(3)D = 0

In particolare, operando nei diversi schemi per composizione cinematica e trascurandogli effetti di deformabilita tagliante ed assiale sui diversi tratti, si ricava:

(0)B =

(0,k)B +

(0,)B +

(0,F)B =

2F

k F

2

6EI

w(0)D = w(0,F)D =

F3

2EI

(0)D =

(0,k)D +

(0,)D +

(0,F)D =

F

k

2+

23

F2

EI

(1)B =

(1,k)B +

(1,X1=1)B =

4

k2+

2

3EI

w(1)D = 0

(1)D =

(1,k)D +

(1,X1=1)D =

2

k2+

6EI

(2)

B = 0

w(2)D =

3

3EI

(2)D =

2

2EI

(3)B = (3,k)B +

(3,X3=1)B =

2

k2+

6EI

w(3)D =

2

2EI

(3)D = (3,k)D +

(3,X3=1)D = 1k2

+ 103

EI



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essendo la distorsione angolare distribuita (positiva) sul tratto AC, associata alladistribuzione di temperatura a gradiente costante assegnata.

Pertanto, limposizione delle condizioni di congruenza discusse, conduce al seguentesistema risolvente per le incognite iperstatiche:

4k2 + 23EI 0 2k2 + 6EI0 3

3EI 2

2EI

2k2

+ 6EI

22EI

1k2

+ 103

EI

X1X2

X3

=

2Fk F

2

6EIF 3

2EI

Fk

2+ 2

3F2

EI

Determinata la soluzione (X1, X2, X3), lenergia di deformazione puo valutarsi appli-cando il teorema di Clapeyron sullo schema staticamente e cinematicamente equiva-lente alla struttura assegnata

E= 12FvD =

1

2

Struttura

[M(z)]2

EIdz +

1

2

R2Bk

In particolare, la prima uguaglianza consente di valutare il lavoro di deformazioneattraverso le azioni esterne mentre la seconda corrisponde a procedere via azioni

interne. La funzione M(z) rappresenta la funzione momento flettente al variare dellacoordinata z lungo la struttura e, cos come lo spostamento relativo vD e la reazionevincolare RB, si determina operando per sovrapposizione degli effetti:

M(z) = M(0)(z) + X1M(1)(z) + X2M

(2)(z) + X3M(3)(z)

vD = v+D vD = v(0)D + X1v(1)D + X2v(2)D X3v(3)D

RB = R(0)B + X1R

(1)B + X2R

(2)B X3R

(3)B

essendo M(0)(z), M(i)(z) (i = 1, 2, 3) le funzioni momento flettente relative ai diversischemi considerati e risultando:

v(0,el)

D = v(0,k)D + v

(0,F)D =

F

k+ 2

F3

EI

v(1)D = v

(1,k)D + v

(1,X1=1)D =

2

k

2

6EI

v(2)D = v(2,X2=1)D =

3

2EI

v(3)D = v(3,k)D + v

(3,X3=1)D = 1k +

232EI



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R(0)B = F

R(1)B =

2

R(2)B = 0

R(3)B =

1

avendo indicato con v(0,el)D lo spostamento relativo verticale in D associato a soli

contributi elastici e cioe ottenuto non considerando il contributo anelastico associato

alla distorsione angolare distribuita .



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scrivendo le condizioni di congruenza in modo diretto. Si determini inoltre il lavoro

di deformazione.


La struttura proposta e 3 volte iperstatica. Come vincoli iperstatici possono consi-derarsi il pendolo BE (rigido assialmente) ed i pendoli CE, CH (cedevoli elastica-mente). La figura 6.6 illustra il sistema S(eq) staticamente equivalente alla strutturaassegnata, insieme con le condizioni di congruenza che ne assicurano lequivalenzacinematica. Inoltre, sempre in figura 6.6, insieme con i corrispondenti diagrammi delmomento flettente, sono riportati gli schemi S(0), S(1), S(2) e S(3) di modo che, persovrapposizione degli effetti, risulta: S(eq) = S(0) +X1S

(1) +X2S(2) +X3S

(3), essendoXi (i = 1, 2, 3) le incognite iperstatiche.

I versori e1, e

2indicati nella figura 6.6 risultano: e

1=

2

2(j

k), e2

=

2

2(j + k).

Pertanto, assumendo indeformabili assialmente i tratti costituenti la struttura, le treequazioni di congruenza associate ai vincoli iperstatici scelti si pongono nella forma:

vE vB = 02

2(vE vC) = X2

2

EA2

2(vH vC) = X3

2

EA

Si vuole far notare che lipotesi di indeformabilita assiale dei tratti costituenti lastruttura consente, per il caso in esame, di porre: wC = wE = wH = 0.



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Fig. 6.6: Schema equivalente e schemi parziali utilizzati per la risoluzione della struttura

relativa al tema 6.3.

Corrispondentemente, operando per sovrapposizione degli effetti, si ricava il seguentesistema risolvente nelle tre incognite iperstatiche Xi (i = 1, 2, 3):

v(0)E v(0)B + X1(v(1)E v(1)B ) + X2(v(2)E v(2)B ) + X3(v(3)E v(3)B ) = 0

22

v

(0)E v(0)C + X1(v(1)E v(1)C ) + X2(v(2)E v(2)C ) + X3(v(3)E v(3)C )

= X2

2

EA

2

2

v

(0)H v(0)C + X1(v(1)H v(1)C ) + X2(v(2)H v(2)C ) + X3(v(3)H v(3)C )

= X3

2

EA

In particolare, operando nei diversi schemi per composizione cinematica e trascurandogli effetti di deformabilita tagliante ed assiale sui diversi tratti, si ricava:



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v(0)B = v

(0,k)B + v

(0,q)B =

2q3

k+

17q4

24EI

v(0)C = v

(0,k)C + v

(0,q)C =

4q3

k+

2q4

EI

v(0)E = v

(0,)E + v

(0,m)E =

2 m

2

4EI

v(0)H = v

(0,)H + v

(0,m)H =

3

2+m2

3EI

v(1)B = v

(1,k)B + v

(1,X1=1)B =

2

k

3

3EI

v(1)C = v

(1,k)C + v

(1,X1=1)C =

22

k 5

3

6EI

v(1)E =

3

6EI

v(1)H =

3

4EI

v(2)B = v

(2,k)B + v

(2,X2=1)B =

22k

523

12EI

v(2)C = v

(2,k)C + v

(2,X2=1)C =

2

22

k 4

23

3EI

v(2)E =

23

12EI

v(2)H =

23

8EI

v(3)B = v

(3,k)B + v

(3,X3=1)B =

22k

523

12EI

v(3)C = v

(3,k)C + v

(3,X3=1)C =

2

22

k 4

23

3EI

v(3)E =

23

8EI

v(3)H =

23

2EI

Al solito, determinata la soluzione (X1, X2,X3), lenergia elastica immagazzinatadalla struttura risulta



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E= 12

Struttura

[M(z)]2

EIdz +

1

2

M2Ak

+1

2

X22

2

EA+

1

2

X23

2

EA

essendo

M(z) = M(0)(z) + X1M(1)(z) + X2M

(2)(z) + X3M(3)(z)

MA = M(0)A + X1M

(1)A + X2M

(2)A X3M

(3)A

con

M(0)A = 2q

2

M(1)A =

M(2)A =

2

M(3)A =

2



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