6_Cisalhamento Em Vigas

04/02/2012

1

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAIS CAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotações, ábacos, tabelas, fotos e

gráficos contidas neste texto, foram

retiradas dos seguintes livros:

-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

Hill-4ª edição-2006

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-

2004

-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James

M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel

C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,

Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003

6 Vigas:

Tensões de

Cisalhamento.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Introdução

1 - 2

00

0

00

xzxzz

xyxyy

xyxzxxx

yMdAF

dAzMVdAF

dAzyMdAF

• A distribuição dessas tensões satisfazem as

condições:

• Cargas transversais aplicadas em barras,

produzem tensões normais e de

cisalhamento nas diversas seções

transversais.

• Quando tensões de cisalhamento atuam nas

faces verticais de um elemento, tensões

iguais devem atuar nas faces horizontais,

para que haja o equilíbrio

• Tensões de cisalhamento longitudinal

devem atuar em qualquer elemento

submetido a cargas transversais.

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Cisalhamento na Face Horizontal de Uma Viga

1 - 3

• Considere a viga primática

• Para o equilíbrio do elemento:

D

+ D >

A

C D

A C D x

dA y I

M M H

dA=0 H F 0

I

QVq

I

QV

I

Q

dx

dM

dx

dH

QI

MH

dAyQA

.

.

D

D

• Observe que,

Logo:

q = fluxo de cisalhamento (N/m)


Exemplo 5.1

46

2

3

121

3

121

36

m1020,1

]m060,0m100,0m020,0

m020,0m100,0[2

m100.0m020.0

m10120

m060.0m100.0m020.0

+

+

I

yAQ

1 - 4

Uma viga é construída de três pranchas de madeira fixadas

atravé de pregos. Sabendo-se que o espassamento entre os

pregos é de 25mm e que o esforço cortante vertical na viga é V =

500 N, determine a força de corte em cada prego.

SOLUÇÃO:Determine a força horizontal por unidade de comprimento, ou fluxo

de cisalhamento q na superfície inferior da prancha superior.

mN3704

m1016.20

)m10120)(N500(46-

36

I

VQq

• Calcule a correspondente força

cortante em cada prego para o

espassamento de 25mm.

mNqF 3704)(m025.0()m025.0(

N6,92F

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3


Exemplo 5.2

mNI

QVq /6920

1087,13

10801200.6

6

1 - 5

Uma viga caixão, quadrada, de madeira é construída de

quatro pranchas de madeira, fixadas através de pregos,

conforme figura ao lado. Sabendo que o espaçamento

entre os pregos é de 30mm e que a viga está submetida

a um esforço cortante vertical V = 1200N, determine a

força de corte em cada prego.

80 20 20

20

120

Dimensões em mm.

36_

108005,008,002,0 myAQ Para prancha superior:

Para a seção da viga como um todo: 464

1214

121 1087,1308,012,0 mI

Fluxo de cisalhamento ao longo de cada borda da prancha superior:

Em cada face, atua um fluxo de q/2 = 3460N/m,

Logo:

F = (0,30 m) (3460 N/m) = 103,8N

SOLUÇÃO:


Determinação da Tensão de Cisalhamento nas Vigas

1 - 6

• A tensão média de cisalhamento na face

horizontal do elemento é obtida pela divisão

do esforço cortante no elemento pela área da

sua face.

I.t

x VQ x q H D D D

V.Q

x t I A A med

D

D

D

• Na superfície superior e inferior da viga, yx= 0.

Isto implica em xy= 0 na parte superior e

inferior da seção transversal.

• Se a largura da viga é bem maior que sua

altura, a tensão de cisalhamento em D1 e D2 é

significativamente maior que em D.

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Distribuição das Tensões xy em Tipos Comuns de Vigas

1 - 7

• Para uma viga retangular,

A

V

c

y

A

V

Ib

VQxy

2

3

12

3

max

2

2

• Para perfis I e W (abas largas)

alma

med

A

V

It

VQ

max


122,2mm

110mm

19,6mm

132mm

264mm

Exemplo 5.3

1 - 8

O perfil laminado W250 x 101 está submetido a

uma força cortante vertical de 220 KN.

Determinar as tensões horizontais de

cisalhamento no ponto a da aba superior do

perfil, situado a 110mm da borda da viga.

SOLUÇÃO:

• Para a área sombreada: 341064,21222,00196,011,0 mQ

• A tensão de cisalhamento em a,

0196,010164

1064,2102206

43

It

VQ MPa07,18

Da tabela de perfis, encontramos I = 164 x 10-6 m4

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Distribuição das Tensões Em Uma Viga Retangular

1 - 9

2

2

12

3

c

y

A

Pxy

I

Pxyx +

• Considere uma viga retangular, estreita, em balanço,

submetida a uma carga P em sua extremidade livre:

• A tensão de cisalhamento independe da distância do

ponto de aplicação da carga.

• A tensão normal e a deformação normal não são

afetadas pela tensão de cisalhamento.

• Pelo princípio de Saint-Venant, o efeito do modo de

aplicação da carga pode ser desprezado, exceto nas

vizinhanças do ponto de aplicação da mesma.

• Para vigas submetidas a carregamento distribuído, a

força cortante varia ao longo da viga, variando

também a tensão de cisalhamento em uma certa

fibra, distante de “y” do eixo neutro.


Cisalhamento Em Uma Seção Longitudinal Arbitrária

1 - 10

• Examinamos a distribuição das

componentes verticais xy em uma seção

transversal de uma viga. Queremos agora,

considerar as componentes horizontais xz

das tensões.

• Considere uma viga primática com um

elemento definido pela superfície CDD’C’.

+Da

dAHF CDx 0

• Exceto pela integração, isto é o

mesmo obtido antes, onde:

I

VQ

x

Hqx

I

VQH

D

DDD

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Cisalhamento Em Elementos de Paredes Finas

1 - 11

• Considere um segmento de um perfil de

abas largas de uma viga, submetida a um

esforço cortante V.

• A força cortante longitudinal no elemento

é:

xI

VQH DD

It

VQ

xt

Hxzzx

D

D

• A correspondente tensão de cisalhamento

é:

• NOTA: 0xy

0xz

nos flanges

na alma

• Anteriormente encontramos uma

expressão similar para a tensão de

cisalhamento na alma:

It

VQxy


Cisalhamento Em Elementos de Paredes Finas

1 - 12

• A variação do fluxo de cisalhamento através da

seção transversal, depende somente da variação

do momento estático.

I

VQtq

• Para uma viga caixão, q cresce lentamente de zero em A até um

máximo em C e C’ e então decresce de volta até zero emE.

• Para uma viga de perfil

de abas largas, o

cisalhamento aumenta

simetricamente de zero

em A e A’, encontra um

máximo em C e decresce

para zero em E e E’.

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Deformações Plásticas

1 - 13

• A seção se torna completamente plástica

quando (yY = 0) :

pY MMPL 2

3

• Para PL > MY , o escoamento é iniciado em B e

B’. Para um material elastoplástico, a eq.

abaixo fornece o valor de yY, que é a metade da

espessura do núcleo elástico.

2

2

3

11

2

3

c

yMPx Y

Y

• Para M = PL < MY , teremos a tensão normal

sempre abaixo da tensão de escoamento.

• E a carga máxima que a viga pode suportar é:

L

MP

pmax

• Sendo: Momento elástico máximo Y Y c

I M


Deformações Plásticas

1 - 14

• A discussão precedente foi baseada

apenas na tensão normal.

• Considere o esforço cortante em uma

seção que se tornou parcialmente

plastificada,

0D dAdAH YYDC

No entanto, a tensão de cisalhamento é

nula no ponto C`.

• A força cortante é distribuída na porção

elástica EE` da seção.

• Se A’ diminuí, max aumenta e pode

atingir Y.

A

P

by A y

y

A

P Y

Y xy

2

3

2 Onde: 1 2

3

max

2

2

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Carregamento Assimétrico: Centro de Cisalhamento.

1 - 15

• Vigas carregadas em um plano

de simetria vertical, deformam

neste plano, sem que haja

torção.

It

VQ

I

My med x

• Vigas sem um plano de

simetria, fletem e se torcem

sob ação do carregamento.

It

VQ

I

My med x


Carregamento Assimétrico: Centro de Cisalhamento.

1 - 16

• A figura ao lado, mostra a força P, aplicada a

uma distância “e” da face esquerda da viga.

Nestas condições, a viga flete no plano vertical ,

sem se torcer. O ponto “O” é chamado de

Centro de Cisalhamento da seção.

• Se o esforço cortante atua de modo que não

tenhamos torção e sim somente flexão, ela deve

atender:

FdsqdsqFdsqVIt

VQE

D

B

A

D

B

med

• F e F’ formam um conjugado de momento Fh e

para eliminar o efeito desse conjugado, é

preciso que o esforço cortante V seja deslocado

para esquerda, de uma distância “e”, onde:

V

hFeVehF

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Exemplo 5.4

1 - 17

• Determinar o centro de cisalhamento do perfil da

figura, de espessura uniforme e dimensões: b=100mm,

h=150mm e t=3 mm.

I

hFe

• onde

I

Vthb

dsh

stI

Vds

I

VQdsqF

b bb

4

2

2

0 00

hbth

hbtbtthIII flangealma

+

+++

6

212

12

12

12

2

121

2

33

• Substituindo,

mm

mm

b

h

be

1003

1502

100mm

32 +

+

mme 40

SOLUÇÃO:


Exemplo 5.5

1 - 18

• Determine para o perfil do exemplo

5.4 a distribuição das tensões de

cisalhamento, causada por uma força

cortante vertical V=800 N, aplicada

no centro de cisalhamento “O”.

It

VQ

t

q

• Cisalhamento nas flanges:

MPa

hbth

Vb

hbth

Vhb

sI

Vhhst

It

V

It

VQ

B

422,1150,0100,06150,0003,0

100,08006

6

6

62

22

2

121

+

+

+

• Cisalhamento na alma:

MPa

hbth

hbV

thbth

hbhtV

It

VQ

956,1150,0100,06150,0003,02

150,0100,048003

62

43

6

42

121

81

max

+

+

+

+

+

+

150mm

3mm

100mm

40mm

800N

SOLUÇÃO:

1,422MPa

1,422MPa

1,956MPa

Documents

6_Cisalhamento Em Vigas