Võ Tiến Trình - PTNK

toan999.wordpress.com 1

Vị trí tương đối của hai đường tròn.

Vị trí tương đối của hai đường tròn ;O R và '; 'O R 'R R

Số điểm chung Liên hệ giữa OO’ với R, R’

Hai đường tròn cắt nhau

2 ' ' 'R R OO R R

Hai đường tròn tiếp xúc nhau + Tiếp xúc ngoài + Tiếp xúc trong

1

' 'OO R R

' 'OO R R Hai đường tròn không giao nhau + O và 'O ở ngoài nhau + O đựng 'O + O và 'O đồng tâm

0 ' 'OO R R

' 'OO R R

' 0OO

Một số tính chất.

1.Nếu hai đường tròn cắt nhau thì giao điểm của chúng đối xứng với nhau qua đường nối tâm, nghĩa là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

2.Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Bài tập.

Bài 1. Cho hai đường tròn ;12 , ';5 , ' 13O cm O cm OO cm

a) Chứng tỏ hai đường tròn , 'O O cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn , 'O O . Chứng minh rằng OA là tiếp

tuyến của 'O , O’A là tiếp tuyến của O . Tính độ dài AB.

Bài 2. Cho hai đường tròn hai điểm O, I thỏa OI = 5;

a) Chứng minh rằng đường tròn (O; 4) và (I; 3) cắt nhau tại hai điểm A và B.

Võ Tiến Trình - PTNK

toan999.wordpress.com 2

b) Chứng minh I, O, A, B cùng thuộc một đường tròn. c) Vẽ đường kính AD và AE của (O) và (I). Chứng minh D, B, E thẳng hàng. d) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại M và cắt (I) tại N. Chứng minh rằng

đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định và trung điểm của MN thuộc một đường tròn cố định.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. Đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn (O’) đường kính CH.

a) Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau. b) (O) cắt AB tại M và (O’) cắt AC tại N. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung ngoài

của hai đường tròn. c) Chứng minh AM.AB = AN.AC d) Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN.

Bài 4. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A, B (O, O’ nằm hai phía đối với đường thẳng AB). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O’) tại D và tiếp tuyến tại A của (O’) cắt (O) tại C.

a) Gọi E là điểm đối xứng của A qua trung điểm của OO’. Chứng minh EB vuông góc với AB.

b) Gọi F là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh 4 điểm A, C, F, D cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 5. Cho hai đường tròn ; , '; 'O R O R tiếp xúc ngoài nhau tại A. BC là tiếp tuyến

chung ngoài của hai đường tròn (B, C là các tiếp điểm, , 'B O C O )

a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO’ b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường thẳng BC

c) Giả sử 0' 60BOO . Chứng minh 3'

RR

d) Đường tròn ,K x tiếp xúc với cả hai đường tròn , 'O O và tiếp xúc với BC tại

M. Chứng minh 1 1 1

'x R R

Bài 6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B (O, O’ nằm về hai phai đối với đường thẳng AB). Đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (E thuộc (O) và F thuộc (O’)). Đường thẳng EF cắt đường thẳng OO’ tại P. Vẽ bán kính O’A’ của đường tròn (O’) sao cho O’A’ // OA. Chứng minh A, A’, P thẳng hàng.

Võ Tiến Trình - PTNK

toan999.wordpress.com 3

Bài 7.Cho đường tròn ;O R đường kính AB, C là một điểm tùy ý nằm giữa A và B. Vẻ đường tròn tâm I, đường kính CA, đường tròn tâm K đường kính CB.

a) Hai đường tròn ,I K có vị trí tương đối như thế nào?

b) Đường vuông góc với AB tại C cắt đường tròn O tại D, E. DA cắt đường tròn

(I) ở M, DB cắt đường tròn K ở N. Chứng minh đường thẳn MN là tiếp tuyến

chung ngoài của hai đường tròn ,I K c) Xác định vị trí điểm C trên đường kính AB sao cho MN có độ dài lớn nhất. d) Xác định vị trí điểm C trên đường kính AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích

lớn nhất.

Bài 8. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (AC > BC). Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC và đường tròn tâm O’ đường kính BC.

a) Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau. b) Gọi I là trung điểm của AB. Đường thẳng d qua I và vuông góc với AB cắt đường

tròn (O) tại hai điểm E, F. Đường thẳng EC cắt (O’) tại K. Chứng minh F, K, B thẳng hàng và IK là tiếp tuyến của (O’)

c) EB cắt (O’) tại P. Chứng minh FP đi qua giao điểm của EK và AB.

Bài 9. Cho đường tròn O và một điểm A cố định trong đường tròn. Qua A vẽ dây BC của đường tròn.

a) Nêu cách dựng đường tròn 1O qua A và tiếp xúc với đường tròn O tại B, đường

tròn 2O qua A và tiếp xúc với đường tròn O tại C. b) Chứng minh tứ giác 1 2OO AO là hình bình hành. Dây BC phải có điều kiện gì để tứ

giác 1 2OO AO là hình thoi.

c) Gọi M là giao điểm thứ hai của 1O với 2O . Khi cát tuyến BAC quay quanh A thì M chạy trên đường nào?P