Teste de Hipóteses Para Médias e Proporções

Teste de Hipóteses é um processo de Inferência Estatística,

que permite decidir por um valor do parâmetro Ѳ ou por sua

modificação com um grau de risco conhecido.

Exemplos de hipóteses testadas:

Os chips da marca A tem vida média = ;

O equipamento A produz peças com menor variabilidade

que o equipamento B: <

;

O aço produzido pelo processo A é mais duro que o aço

produzido pelo processo B: > .

O processo de inferência começa com a formulação de duas

hipóteses básicas :

: hipótese nula ou da existência.

: hipótese alternativa.

Exemplos de hipóteses genéricas:

: Ѳ = Para testes bilaterais

: Ѳ ≠

: Ѳ = Para testes unilaterais à direita

: Ѳ >

: Ѳ = Para testes unilaterais à esquerda

: Ѳ <

: Ѳ = Para testes aplicados a valores do parâmetro

: Ѳ = obtidos após a decisão tomada em um dos

três testes anteriores.

O procedimento padrão para a realização de um Teste de

Hipóteses é o que se segue:

Definem-se as hipóteses do teste: nula e alternativa;

Fixa-se um nível de significância α;

Levanta-se uma amostra de tamanho n e calcula-se uma

estimativa do parâmetro Ѳ;

Usa-se para cada tipo de teste uma variável cuja

distribuição amostral do estimador do parâmetro seja a

mais concentrada em torno do verdadeiro valor do

parâmetro;

Calcula-se com o valor do parâmetro , dado por , o

valor crítico, valor observado na amostra ou valor

calculado ( );

Fixam-se duas regiões: uma de não rejeição de

(RNR) e uma de rejeição de ou crítica (RC) para o

valor calculado, ao nível de risco dado;

Se o valor observado ( ) Região de Não Rejeição, a

decisão é a de não rejeitar ;

Se Região crítica, a decisão é a de rejeitar .

Pode-se observar que quando se fixa α, determina-se para

os testes bilaterais, por exemplo, valores críticos

(tabelados), , tais que:

P( < ) = 1 – α → RNR

P( ≥ ) = α → RC

Testes de Hipotéses para a média de populações

normais com variâncias (σ²) conhecidas

Testes Bilaterais

Exemplo:

De uma população normal com variância 36, toma-se uma

amostra casual de tamanho=16, obtendo-se = 43. Ao nível

de 10%, testar as hipóteses:

: μ =

: μ ≠

Teste Unilateral (Monocaudal) à Esquerda

Exemplo :

Uma fábrica anuncia que a taxa de nicotina dos seus

cigarros é abaixo de 26mg por cigarro. Analisando-se 10

cigarros obteve-se : 26, 24,23,22,28,25,27,26,28,24.

Sabe-se que esta taxa distribui-se normalmente com

variância 5,36mg. Pode-se aceitar a afirmação do fabricante

ao nível de 5%?

Teste Unilateral à Direita

Exemplo :

Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo

material em sua fabricação e acredita que aumentará a

resistência média, que é de 206Kg. A resistência das lajotas

tem distribuição normal com desvio padrão de 12Kg. Retira-

se uma amostra de 30 lajotas, obtendo = 210Kg. Ao nível

de 10%, pode o fabricante aceitar que a resistência média

de suas lajotas tenha aumentado?

Testes de Hipotéses para proporções

Procedimento

1. Fixam-se as Hipóteses : =

: ≠ , > , <

2. Fixa-se o nível α.

3. Retira-se uma amostra de tamanho n e define-se x:

no de sucesso, calculando =

.

4. Determina-se com dados por , =

5. Define-se como variável Critério: Z=

6. Definem-se as regiões RNR e RC da mesma forma

anterior e, com o mesmo procedimento, rejeita-se ou não

Exemplo:

Sabe-se por experiência que 5% da produção de um

determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é

contratado e produz 600 peças com 82 defeituosas. Ao

nível de 15%, verificar se o novo empregado produz peças

com maior índice de defeitos que o existente.

Problemas:

1. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros

consomem, em média, 11 litros por 100 km rodados,

com desvio padrão de 0,8 lt. Uma revista decide testar

esta afirmação e analisa 35 carros desta marca,

obtendo 11,4 lts/100 km como consumo médio.

Supondo que o consumo siga uma distribuição normal,

ao nível de 10% o que a revista concluirá sobre o

anúncio da fábrica?

2. A altura dos adultos de uma cidade tem distribuição

normal com média de 164 cm e desvio padrão de 5,82

cm. Para saber se as condições sociais desfavoráveis

vigentes na parte pobre da cidade redundam em

alturas mais baixas, levantou–se uma amostra de 144

adultos desta parte da cidade, obtendo-se a média de

162cm. Pode-se afirmar que os residentes desta parte

da cidade são em média mais baixos que a média da

cidade ao nível de 5%?

3. Em uma experiência sobre percepção extra-sensorial,

um indivíduo A, é solicitado a declarar a cor vermelha

ou preta de cartas tiradas ao acaso de um baralho de

50 cartas (proporção 50% preta ou vermelha). Se A

identifica corretamente 32 cartas, este resultado é

significativo ao nível de 5% para indicar que A tem

PES?

4. Um candidato a deputado estadual afirma que terá

60% dos votos dos eleitores de uma cidade. Um

instituto de pesquisa colhe uma amostra de 300

eleitores desta cidade, encontrando 160 que votarão no

candidato. Este resultado mostra que a afirmação do

candidato é correta, ao nível de 5%?

5. A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas

produzidas por uma firma foi calculada em 1570 horas,

com desvio padrão de 120 horas. Sabe-se que a

duração das lâmpadas dessa firma tem distribuição

normal com média de 1600 horas. Ao nível de 1%

testar se houve alteração na duração média das

lâmpadas.

6. A população de um país apresenta altura média de 170

cm e desvio padrão de 5 cm. A altura tem distribuição

normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou

média de 167 cm. Podemos afirmar, ao nível de 5%,

que esta amostra é representativa do país?

7. Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40

caras. Baseado neste resultado pode-se afirmar, ao

nível de 5%, que a moeda não é honesta?

8. O salário dos empregados das indústrias siderúrgicas

tem distribuição normal com média de 4,5 salários

mínimos, com desvio padrão de 0,5 salários mínimos.

Uma amostra de 49 empregados de uma grande

empresa apresentou um salário médio de 4,3 s.m. Ao

nível de 5%, podemos afirmar que esta empresa paga

salários inferiores à média das indústrias siderúrgicas?

9. Um exame padrão de inteligência tem sido usado por

vários anos com média de 80 pontos e desvio padrão

de 7 pontos. Um grupo de 25 estudantes é ensinado,

dando-se ênfase à resolução de testes. Se este grupo

obtém média de 83 pontos no exame, há razões para

se acreditar que a ênfase dada mudou o resultado do

teste ao nível de 10%?

10. Um fabricante de medicamento afirma que ela é 90%

eficaz na cura de uma alergia, em um determinado

período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga

curou 150 pessoas. Testar ao nível de 1% se a

afirmação do fabricante é legítima?

T.H. Com variância desconhecida

Distribuição t de Student

11. A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por

uma empresa era de 1120 horas. Uma amostra de 8

lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida

média de 1070 horas, com desvio padrão de 125h e

distribuição normal para a vida útil. Testar a hipótese

de que a vida média das lâmpadas não se alterou ao

nível de 1%.

TH para a variância de uma População Normal

com Média Conhecida

: =

: ≠ ou >

ou <

=

ou =

Exemplo :

De uma população normal com média 300, levantou-se

uma amostra de 26 elementos, obtendo-se :

= 129000

Ao nível de 5%, testar as hipóteses :

: =

: < 0

TH para a da População Normal com Desconhecida

Distribuição de pode ser demonstrada como

uma com (n-1) graus de liberdade.

=

como =

- )2

→ - )2

= ( →

= ( →

=

TH para

: =

: ≠ ou >

ou <

=

ou =

Exemplo:

Avaliou-se em 240kg o desvio padrão das tensões de

ruptura de certos cabos produzidos por uma fábrica. Depois

de ter sido introduzida uma mudança no processo de

fabricação destes cabos, as tensões de ruptura de uma

amostra de 8 cabos apresentaram o desvio padrão de

300kg. Investigar a significância do aumento aparente da

variância, ao nível de 5%.

Problemas

1. De uma população normal X com média 1000, levanta-

se uma amostra de 15 elementos, obtendo-se

= 200. Ao nível de 1%, testar.

: =

: >

2. De uma população normal levantou-se uma amostra

de 10 observações, obtendo os seguintes valores: 10,

8, 15, 11, 13, 19, 21, 13, 15 e 14. Sabendo-se que a

população tem média = 14, ao nível de 5%, testar :

: =

: ≠

3. Observou-se durante vários anos a produção mensal

de uma indústria, verificando-se que essa produção se

distribuía normalmente com variância 300. Foi adotada

uma nova técnica e, durante 24 meses, verificou-se a

produção mensal, constatando-se que = 10000 e

= 400. Há razões para se acreditar que a qualidade da

produção piorou, ao nível de 10%?

4. De uma população normal com média desconhecida,

levantou-se uma amostra casual de 21 elementos:

1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

Ao nível de 10%, testar se a variância populacional é

menor que 4.

Erros De Decisão

Nos Testes de Hipóteses podemos cometer dois tipos

de erros:

1. Rejeitarmos uma hipótese nula verdadeira; é

denominado erro de espécie ou erro tipo I.

2. Não rejeitamos uma falsa; é chamado erro de

espécie ou erro tipo II.

Probabilidade de cometer os erros do tipo I e II

P(I)-Probabilidade de se cometer erro tipo I =

P ( cair na RC do teste), isto é :

(-∞, ] U [ , +∞)

Se verdadeiro, concluímos que P(I) = P( α →

P(I) = α

P(II)-Probabilidade de se cometer erro tipo II : P(II)=β

P(II)= β=P{ - . ≤ ≤ + . | = }

Exemplos

1. De uma população normal, levantou-se uma amostra e

calculou-se ao nível de 1% que . = 5. Admitindo as

hipóteses :

: μ =

: μ = 110

probabilidade de cometermos um erro do tipo II,

isto é, de não rejeitarmos , sendo verdadeira.

Não rejeitamos quando (95 , 105)

2. Calcular P(I) ou P(II) conforme o caso no seguinte problema.

De uma população normal levantou-se uma amostra de

tamanho 16, obtendo-se = 18. Sabendo-se que a variância

da população é 64, analisar ao nível de 10% as hipóteses (usar

teste bi-lateral):

: μ = = 1,64 =

=

= 2 →

: μ = 25 . = 3,28

3. De uma população normal com σ = 100 tiramos uma amostra

de n=100 observações, obtendo-se 1016,4 para limite crítico

(num teste mono-caudal à direita). Ao nível de 5%, determinar

a Função Poder de um Teste (P( =1-β) sendo:

: μ =

: μ = 1018

Problemas

1. Determine para α=10%, n=35 e σ=10 os valores de que

levariam a rejeitar : μ = (usar teste bi-caudal). Calcule β

se : μ = 53

2. Afirma-se que 50% das pessoas tem 2 resfriados por ano.

Decidimos rejeitar esta afirmação se, entre 400 pessoas, 216

ou mais tiverem 2 resfriados ou mais por ano. Qual a

probabilidade de cometer um erro do tipo I.

3. Um químico deseja testar a dureza de certo material,

composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão.

Obtém 322, 328, 326 e 320 graus centígrados numa amostra.

Entretanto, o químico não possui o ponto de fusão do

chumbo, mas quando verifica este índice, a distribuição é

normal com variância 4. O químico estabelece, ao nível de

10% de risco, o teste:

: μ = (metal puro)

: μ ≠ 325 (metal não puro)

Que resultado obtém o químico no teste?

4. Posteriormente o químico verifica que o ponto de fusão do

chumbo é 327,4C. Se o químico realizasse 100 testes, com 100

amostras do mesmo tamanho, em quantos aceitaria que o

metal é puro?