EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

¿Qué pasos debo seguir para plantear una ecuación?

1º.Leer bien el enunciado y entenderlo.2º.Ubicar la incógnita y representarla.3º.Traducir el enunciado del problema por partes.4º.Teniendo la ecuación planteada, resolverla.5º.Comprobar el resultado.

Ahora debes conocer el equivalente matemático de frases muy comunes.

Para resolver un problema de planteo de ecuaciones se debe comprender la lectura del problema, si es posible debemos de relacionarlo con la realidad y a partir de ahí, traducir el enunciado de la forma verbal a la forma simbólica

(+)AGREGAR

______________________________

______________________________

(–)QUITAR

______________________________

______________________________

(X)EL PRODUCTO DE DOS

NUMEROS_____________________________

______________________________

( : )EL COCIENTE DE DOS NUMEROS_____________________________

______________________________

_

( = )ES IGUAL A

______________________________

______________________________

A continuación algunos ejemplos de cómo se traduce expresiones verbales a expresiones matemáticas. Las cantidades desconocidas debes representarlas por LETRAS.

EXPRESION VERBAL EXPRESION MATEMÁTICA

1. El doble de un número más cinco

2. El doble de un número aumentado en 7

3. La tercera parte de un número, disminuido en 4

4. El cuadrado de un número, aumentado en 12

5. El exceso de un número sobre 8

6. El triple de un número, menos 9

7. La tercera parte de un número más 2

8. El cuadrado de un número aumentado en 3

9. La mitad del cuadrado de un número

10. El cubo de la mitad de un número

11. La suma de cuatro números consecutivos

12. Un número más su quinta parte

13. Un número aumenta en sus 2/3

14. Un número disminuido en sus 3/8

15. 4 veces el exceso de un número sobre 10

16. La sexta parte de un número, disminuido en ½

17. El doble del cubo de un número

18. En un aula por cada 3 niños hay 5 niñas

19. Por cada docena de libros que compro, me regalan 3

20. En una reunión se cuentan tantos caballeros como 4 veces el número de damas.

El triple de un número, disminuido en 8 El triple de un número disminuido en 8

3x – 8

3x – 8

3 ( x – 8 )

Estimada alumna, para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta “ la

coma ” (,)

Ejemplo:

Como se observa las dos frases que se acaban de enunciar son semejantes, lo que las diferencia es la “la coma” de la primera frase, pues esta coma hace que las dos expresiones sean diferentes, o sea

2x–5 2(x–5)Ejemplo.El cuadrado de un número, aumentado en 7 El cuadrado de un número aumentado en 7

PRACTICANDO EN CLASE

Traduce cada una de las siguientes expresiones verbales a expresiones matemáticas, usando letras para las cantidades desconocidas.

EXPRESION VERBAL EXPRESION MATEMÁTICA

1. Un número aumentado en 9

2. Un número disminuido en 12

3. El triple de un número

4. La tercera parte de un número

5. El triple de un número aumentado en 34

6. El triple de un número, aumentado en 34

7. Las tres quintas partes de un número

8. El quíntuplo del cuadrado de un número

9. La mitad del cubo de un número

Resolución

Resolución

10. la suma de tres números consecutivos

11. Un número disminuido en sus 3/7

12. Un número aumentado en sus 4/9

13. 2 veces el exceso de un número sobre 15

14. El cubo de la cuarta parte de un número

15. La quinta parte de un número, aumentado en 1/3

16. El cubo de un número aumentado en 12

17. Cinco veces un número disminuido en 2

18. En mi colegio por cada 7 profesores hay 5 profesoras

19. Por cada docena de libros que vendo, regalo 2

20. En una reunión se cuentan tantos caballeros como 3 veces el número de damas

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:

1. El triple de un número, disminuido en 8 es igual al mismo número. ¿Cuál es ese número?

2. El doble de un número, aumentado en 16 equivale al número aumentado en 30. ¿Qué número es?

3. Dos números consecutivos suman 25. El menor de ellos es:

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

4. Andrea tiene el triple de dinero de lo que tiene Melisa. Entre las dos tienen 60 soles ¿Cuánto tiene cada una?

5. Dos números pares consecutivos suman 82. El triple del menor es:

6. La suma de dos números impares consecutivos es igual al cuadrado de 6, el número mayor es:

7. Hace 9 años la edad de Betsy era 4 años ¿Qué edad tiene actualmente?

8. la tercera parte de un número es igual a la mitad del mismo, pero disminuido en 5 ¿De qué número se trata?

DESARROLLANDO MIS CAPACIDADES

1. El doble de un número, aumentado en 9, es igual al quíntuplo del mismo número. ¿Cuál es ese número?a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

2. El triple de un número, disminuido en 20, equivale al número disminuido en 8. ¿Qué número es?a) 12 b) 8 c) 16 d) 6 e) 9

3. Un número sumado con su mitad es 12. El doble de dicho número es:a) 8 b) 12 c) 16 d) 32 e) 14

4. Betsy tiene 5 soles más que Andrea. Entre las dos tienen 45 soles ¿Cuánto tiene Andrea?a) 15 soles b) 20 soles c) 25 soles d) 30 soles e) 35 soles

5, Halla un número cuyo quíntuplo, disminuido en 20 es igual a su duplo, aumentado en 10.a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 10

6. La suma de tres números consecutivos es 126. El número intermedio es:a) 41 b) 40 c) 42 d) 44 e) 43

7. la suma de cuatro números consecutivos es igual a seis veces el meno. ¿Cuál es el número mayor?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

8. Paola y Betsy se van a repartir 80 caramelos. Betsy recibe 30 caramelos menos que Paola. ¿Cuántos caramelos recibe Paola?a) 25 b) 30 c) 45 d) 55 e) 65

9. Una señora sale a vender cierto número de huevos. Vende la tercera parte y regresa a su casa con 32 huevos ¿Cuántos huevos vendió?a) 48 b) 16 c) 24 d) 26 e) 18

10. La suma de cuatro números consecutivos es 130. El número mayor es:a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

11. María tiene 20 años menos que su mamá. Entre las dos tienen 48 años ¿Cuántos años tiene María?

a) 34 b) 24 c) 28 d) 14 e) 26

12. La suma de tres números pares consecutivos es igual a 4 veces el menor. El número intermedio es:a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

13. Un libro de Aptitud Matemática cuesta 5 soles menos que un libro de Aptitud Verbal, los dos cuestan 31 soles. ¿Cuánto cuestan dos libros de Aptitud Matemática?a) 36 b) 26 c) 28 d) 42 e) 31

14. Tres hermanos reciben su propina para ir de paseo; Antonio Recibe 3 soles más que Betsy pero 4 soles menos que Fernando. Si entre los tres reciben 31 soles ¿Cuánto recibió Betsy?a) S/.10 b) S/.7 c) S/.14 d) S/.17 e) S/.21

15. El profesor Antonio siempre sale a correr tres veces por semana: El lunes corre 2 km menos que el miércoles y el viernes corre 3 kilómetros más que el miércoles. Si semanalmente corre 22 km. ¿Cuántos kilómetros recorre el lunes?a) 10 b) 5 c) 7 d) 12 e) 16

16. Al preguntársele por su edad, Sharon contestó: El cuádruple de mi edad, menos 4 años es igual al doble de mi edad, más 32 años. ¿Cuál es su edad?a) 16 años b) 17 años c) 18 años d) 20 años e) 24 años

17. La suma de 3 números impares consecutivos es igual al intermedio aumentado en 10. El número mayor es:a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

18. Al preguntársele por su edad, la profesora Ana María contesto: “El triple de mi edad, mas el doble de la misma edad, aumentada en cuatro años es igual a 144 años. ¿Qué edad tiene la profesora Ana María?a) 38 años b) 36 años c) 30 años d) 28 años e) 24 años

19. La quinta parte de un número es igual a su novena parte, aumentado en cuatro. ¿Qué número es?a) 36 b) 54 c) 45 d) 52 e) 32

20. Carolina tiene el doble del dinero de Cecilia; Rosa tiene diez soles menos que Cecilia. Si entre Cecilia y Rosa tienen 70 soles, ¿Cuánto tiene Carolina?a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90

REFORZANDO MI APRENDIZAJE

1. Juan le dice a Rosa: «Mi edad es el resultado de restar 24 al doble de 18. ¿Qué edad tengo?»a) 14 b) 13 c) 12 d) 8 e) 6

2. Gasté los 3/8 de mi dinero, sí aún me quedan S/. 25. ¿Cuánto dinero tenía?a) 20 b) 40 c) 80 d) 120 e) 140

3. He gastado los 4/7 de mi dinero, si hubiera gastado S/. 39 más me quedaría los 2/9 de lo que tenía inicialmente. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?a) 180 b) 189 c) 210 d) 270 e) 288

4. La edad de Luis es 18 y la edad de Carlos es 6. ¿Dentro de cuántos años Luis tendrá el doble de la edad de Carlos?a) 1 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

5. Al dividir cierto número entre 12 se obtuvo 7 de cociente. Hallar dicho número, si el residuo fue máximo.a) 95 b) 96 c) 97 d) 98 e) 99

6. Un granjero tiene aves y reses, todos estos animales juntos tienen 50 cabezas y 130 patas. ¿Cuántas aves tiene el granjero?a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38

7. Hay cierta cantidad de manzanas; si se cuentan de 8 en 8 sobran 7, de 6 en 6 sobran 5, de 4 en 4 sobran 3. ¿Cuántas manzanas hay?a) 18 b) 23 c) 25 d) 21 e) 27

8. La diferencia de dos números es 19, si al mayor se Io divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 1. Hallar los números: a) 19 y 36 b) 15 y 50 c) 18 y 37 d) 21 y 34 e) 30 y 25

9. Alexandra tiene 6 años más que Sandra. Hace 7 años la suma de sus edades era 52 años. ¿Qué edad tiene Alexandra?a) 28 b) 26 c) 36 d) 30 e) 32

10. La edad de una persona es tal que multiplicando su duplo, su triple y su cuádruplo resulta 81000. ¿Cuál es el cuadrado de dicha edad?a) 100 b) 125 c) 144 d) 169 e) 225

11. Se tiene un número de 3 cifras que comienza en 5, termina en 2, dichas cifras son cambiada por 1 y 8 respectivamente. ¿En cuánto ha disminuido dicho número?a) 388 b) 432 c) 406 d) 280 e) 394

12. Dentro 4 años la suma de las edades de 4 hermanos será 73 años. ¿Cuánto sumaban hace 4 años?

a) 73 b) 53 c) 41 d) 65 e) 42

13. Si vendo mis libros de primaria en S/.13 cada uno, perdería S/.49; pero si los vendo a S/.24 cada uno, ganaría S/.28. ¿Cuántos libros tengo para vender?a) 7 b) 8 c) 2 d) 9 e) 3

14. En un taller encontramos 80 vehículos entre autos y motocicletas, contando 176 lIantas. ¿Cuántas motocicletas encontramos?a) 8 b) 6 c) 72 d) 66 e) 52

15. Un examen de 30 preguntas, por respuesta correcta solo asigna 5 y por respuesta incorrecta 1, si obtuvo 110 puntos, ¿cuántas respondió correctamente? Dar como respuesta la suma de las cifrasa) 20 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2

16. Dentro de 10 años tendré el doble de la edad que tenía hace 5 años ¿Qué edad tuve hace 2 años?

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

17. Perdí 1/5 de mi dinero y preste 1/8 de lo que me quedaba. ¿Qué parte de mi dinero me queda?

a) 7/10 b) 8/10 c) 9/10 d) 3/4 e) 5/8

18. En una tienda el precio de una plancha es de S/.272. ¿Cuánto se debe pagar en caja si nos hacen un descuento de los 7/16 del precio?a) 153 b) 145 c) 138 d) 217 e) 236

19. Hace «m» años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de «n» años. ¿Cuántos años tengo?

a) n+2m b) (n+m)/2 c) nxm d) (n–m)/2 e) N.A

20. EI producto de dos números es 72, si al multiplicando se Io aumenta 3 unidades, entonces el nuevo producto es 90. Hallar el multiplicador.a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Aparte del sistema de numeración decimal el cual utilizamos en la vida cotidiana para contar y realizar operaciones existen otros sistemas de numeración que también son posicionales y se les conoce como sistema binario: ternario; cuaternario… y así sucesivamente para ello debemos tener en cuenta qué cifras se permiten utilizar en un cierto sistema de numeración y como se nombra a cada sistema respectivamente.

SISTEMA BASESIMBOLOS O CIFRAS

DISPONIBLESBinario 2 O; 1; Ternario 3 0; 1; 2; Cuaternario 4 0; 1; 2; 3Quinario 5 0; 1; 2; 3; 4Senario 6 0; 1; 2; 3; 4; 5Eptal 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6Octal 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7Nonal 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

Enesimal n 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;...:(n – 1)

VALOR RELATIVO (V.R.) Y VALOR ABSOLUTO (V.A.) DE UNA CIFRA

EjemploDel numeral: 7 2 3 5 6 (8)

NOTAS:

Existen infinitos sistemas de numeración. La base de un sistema de numeración debe ser un numero

natural mayor que la unidad.. Al cero (0) se le llama cifra auxiliar o cifra no significativa y a

las cifras diferentes de cero se les llama cifras significativas. La máxima cifra que se utiliza en un cierto sistema de

numeración, es una unidad, menos que la base.

84 83 82 81 1

Se tiene:V.A(7) = 7 y V.R(7) = 7 . 84

V.A(2) = 2 y V.R(2) = 2 . 83

V.A(3) = 3 y V.R(3) = 3 . 82

V.A(5) = 5 y V.R(5) = 5 . 81

V.A(6) = 6 y V.R(6) = 6 . 1V.A(7) = 7 y V.R(7) = 7 . 84

REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL

Para representar a un numeral en base “n” se escriben tantas letras como cifras tiene el numeral cubierto con un segmento indicando la base “n” entre paréntesis en la parte inferior izquierda.Ejemplo:

• Numeral de dos cifras en base 8 :ab (8 )

• Numeral de tres cifras en base 9 :abc (9 )

• Numeral de cuatro cifras en base 11 :xyzw (11)

• Numeral de cinco cifras iguales en base 7 :aaaaa (7 )

NOTAS:

El valor relativo de una cifra es: dicha cifra multiplicada por la base elevado a un exponente que indica cuantas cifras hay a la derecha.Ejemplo:

Del numeral:

9 3 0 8 6 7 5 2 4 1⏟4 cifras

⏞8 cifras

(12)

Se tienen que: V.R.(3) = 3 . 128 y V.R.(7) = 7 . 124

NOTAS:

Si en un numeral observamos paréntesis significa que cada paréntesis es una cifra.Ejemplo:a (a+1 )( a+2)9 : es un numeral de tres cifras en base 9.

( b2 )( b3 )45a7 : es un numeral de cinco cifras en base 7.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Es la suma de los valores relativos de cada una de sus cifras.Ejemplo:

4 3 (5) = 4 . 51 + 3 . 1 51 1

2 0 4 3 7 (9) = 2 . 94 + 0 . 93 + 4 . 92 + 3 . 9 + 7 94 93 92 9 1

MÉTODOS DE CONVERSIÓN PARA NÚMEROS NATURALES

PRIMER CASO: DEL SISTEMA DECIMAL A OTRO SISTEMA NO DECIMAL.

Método: “DIVISIÓN SUCESIVA”

Procedimiento: El numeral de base 10 se divide sucesivamente entre la base “n” al cuál se debe convertir, hasta obtener un cociente inferior a la base luego el numeral de la base “n” tendrá como cifras al último cociente y los residuos tomados de la “izquierda a la derecha”

EjemploExprese 37 en el sistema binario (base 2)

37 = 100 101(2)

Ejemplo:Convertir 583 al sistema octal (base 8)

En general: abcde (n ) = an4 + bn3 + cn2 + dn + e

583 = 1107(8)

SEGUNDO CASO: Del sistema decimal al sistema no decimal

Método: “DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA”

Procedimiento: El numeral del sistema no decimal de base “n” se descompone polinómicamente y el resultado de operar es el numeral con base 10.

Ejemplo:Representar 453(6) en el sistema decimal

453(6 )=4⋅62+5⋅6+3=144+30+3=177 453(6) = 177

Ejemplo:Expresar 210345 al sistema decimal

2103(5) = 2 54 + 1 53 + 0 52 + 3 5 = 1 250 + 125 + 15 = 1390 21 034(5) = 1390

TERCER CASO: Del sistema de base “n” al sistema de base “m”

Procedimiento: Primero lo convertimos de base “n” a base 10 por “descomposición polinómica” luego mediante “división sucesiva” lo convertimos a base “m”.

EjemploExprese 453(6) en el sistema cuaternario (base 4)

1° La pasamos a base 10 (Descomposición polinómica).

453(6) = 4 . 62 + 5 . 6 + 3 = 144 + 30 3 177

2º. Ahora lo pasamos a base 4 (División sucesiva)

453(6) = 2301(4)

+

–

Ejemplo:Convertir 21403(5) en el sistema undecimal (base 11).

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

1. Completa y expresa en el sistema decimal cada uno de los siguientes números:

a) 465(7) = + + =

b) 351(6) = + + =

c) 243(5) = + + =

d) 332(4) = + + =

e) 221(3) = + + =

–

+

OJO: Podemos notar que la base a disminuido ( 6 4)y la representación aumentó (453 2301) y eso lo expresamos así:

453(6) ----- 2301(4)

Observación: De base 5 a base 11 aumento y las representaciones respectivas 21 403 y 1124 han disminuido.

21403(5) = 1124(11)

2. Coloca > , < o =, según corresponda.

a) 58(9) 58

b) 26(7) 26(8) Sugerencia:

c) 88 88(9) Transforma los

d) 21(5) 21(4) números al sistema

e) 111(2) 111(5) de base decimal

3. Transforma al sistema decimal para determinar la secuencia. Luego convierte al sistema de numeración en su base respectiva:

a) 1(2), 11(2), 101(2), (2)

b) 1(3), 10(3), 12(3), (3)

c) 2(4), 11(4), 20(4), (4)

d) 4(5), 12(5), 20(5), (5)

e) 7(9), 24(9), 41(9), (9)

4. Relaciona con una flecha según corresponda

153 441(5)

121 712(8)

458 1103(5)

326 1023(4)

75 326(10)

5. Indica cuál de los siguientes números NO existe:

a) 2341(5)

b) 102(2)

c) 301(4)

d) 7801(9)

6. Convierte CCCXXIV a base 6

7. Hallar la suma de 1010101(2) y 1111(2)

8. Si ab(5)+ba(5)=42. Halla a + b

9. Halla el valor de c2, si: c 0c (5 )=52

10.Halla la base en la que está 1103, si es equivalente a CLIII

11.Encuentra los números naturales comprendidos entre 1023(4) y 230(6)

12.Una empresa solicita 240 uniformes para sus trabajadores, pero la tienda donde las solicitan

trabajan en base 7. ¿Cómo escriben en el envío el número de uniformes?

13. Luana dice: compré varios kilogramos de carne que expresados en base tres equivalen a

201(3) ¿Cuántos kg de carne compró Luana?

14.¿Cuáles de estos números son impares?

a) 1001(8) e) 2401(6)

b) 1000(9) f) 732(9)

c) 365(7) g) 2100(3)

d) 3001(5) h) 1000(2)

15.Una zapatería recibe de una fábrica de calzados 2013 pares de zapatos y al controlar el envío

se da cuenta que el número de zapatos estaba en base 4. ¿Cuántos pares de zapatos

realmente recibió?

01.Hallar en base 5 el equivalente de DLXV

a) 6 b) 9 c) 7 d) 5 e) 8

02.Halla la base n en: 61 427(n), sabiendo que n < 9

a) 6 b) 9 c) 7 d) 5 e) 8

03. Convierte el número 143(5) a base decimal.

a) 8 b) 20 c) 48 d) 50 e) 12

04. Convierte el número 365(7) a base decimal y halla la suma de sus cifras.

a) 13 b) 12 c) 14 d) 10 e) 11

05. Siendo: 135(6) = ab . Hallar a + b

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 10

06. El menor de los números dados a continuación es:

a) 52(8) b) 121(5) c) 1220(3) d) 142(6) e) 124(8)

07. Si 53(n) = 102(6). Hallar el valor de “n”.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

08.Si: nnn (9)=ab7 . Hallar (a + b) . n

a) 45 b) 50 c) 40 d) 42 e) 63

09.¿Cuál de las Siguientes afirmaciones es correcta?

I. 342 (4) = 66II. 63 = 12(7) III. 102(3) = 12

a) I b) II c) III d) I y II e) I y III

10.Determinar la suma de cifras del numeral capicúa de tres cifras del sistema heptal que en base 10 se expresa como 221.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 8

11.Si: pqp (7) =221 , hallar el valor de: “p + q”

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

12.Un número de 3 cifras del sistema un decimal, al convenirse al sistema heptal encuentra las mismas cifras, aunque en orden invertido. Calcular el producto de las cifras de dicho número.

a) 10 b) 18 c) 11 d) 7 e) 28

13.Si en 1965 una persona tiene a . b años y en 19ab tuvo (a + b) ¿Cuándo murió?

a) 1945 b) 1954 c) 1965 d) 1956 e) 1937

14.¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a 7 veces la suma de sus cifras?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Más de 5

15.¿Cuántos números de dos cifras son iguales a 5 veces la suma de sus cifras?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Ejemplo:De cuántas maneras se puede vestir al niño Fernando si tiene un polo negro, un polo blanco y una camisa además tiene un short, un pantalón, sandalia y zapatilla.

Graficamos:

Las formas de vestirse pueden ser:

El número de formas de vestirse en total es: n(A) . n(B) . n(C) = 3 . 2 . 2 = 12

EjemploEl ratoncito desea comer el queso ¿De cuántas formas distintas puede llegar a comer el queso si el ratoncito no puede retroceder?

Como el número de caminos de A a B es : 2Y el número de caminos de B a C es: 3

El número de combinaciones que se puede establecer entre los elementos de dos o más conjuntos independientes es igual al producto de los números cardinales de los conjuntos.

# Formas distintas para llegar a C es: 2 . 3 = 6

Ejemplo:¿Cuántos números de dos cifras se tienen en el sistema cuaternario?

Recordemos que en base 4 sólo se pueden utilizar las cifras (0; 1; 2; 3)

Si el numeral tiene dos cifras será de la forma: ab4 donde a y b deben ser menores que 4

además a debe ser diferente de cero.

La cantidad de números de la forma ab es 3 . 4 = 12

CANTIDAD DE NUMERALES

CASO I: DETERMINACIÓN DE LA CANTIDAD DE NUMERALES EN EL CUAL LAS CIFRAS SE PUEDEN REPETIR.

Ejemplo:¿Cuántos numerales de dos cifras se pueden formar con el 0; 1; 2; 3; 4?

Para determinar la cantidad de numerales de una cierta forma se procede del modo siguiente:

Paso (1): Planteamos la forma general del numeral en este caso tiene dos cifras y la forma general es:

abPaso (2): Debajo de cada letra colocamos los valores que puede tomar:

Paso (3):

Calculamos la cantidad de valores que pueden tomar dichas variables o letras diferentes.

Paso (4):Ahora la cantidad de numerales que existen se obtiene multiplicando la cantidad de valores que toman dichas variables.

Cantidad de numerales = 4 . 5 = 20

Ejemplo:¿Cuántos numerales capicúas de 5 cifras existen en el sistema octal?

Recordemos que el sistema octal tiene como base al “8”, además las cifras que se permiten utilizar en dicha base son: (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7)

El numeral capicúa de cifras es de la forma siguiente: abcba8

Del cual sólo vamos a considerar las letras independientes es decir si la letra se repite se analiza sólo a una de ellas.Aplicando el procedimiento del ejemplo anterior tenemos:

Cantidad de numerales es: 7 .8. 8 = 448

CASO II : DETERMINACIÓN DE LA CANTIDAD DE NUMERALES DE CIFRAS DIFERENTES

Ejemplo:¿Cuántos numerales impares de 3 cifras diferentes existen en base 10?

Problemas de este tipo debemos tener mucho cuidado, lo resolveremos del modo siguiente.

Paso (1):

Planteamos la forma general del numeral: abc (c debe ser impar)

7 8 8

Paso (2):Ubicamos los valores que toma cada letra debajo de ella

Paso (3): Observamos la inclusión de los conjuntos de valores el cual es importante para saber por dónde empezamos y donde terminamos a contar los valores de las letras (a; b y c)

( 1; 3; 5; 7; 9 ) ( 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: 9 ) ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6: 7; 8; 9 )

Valores de “c” Valores de “a” Valores de “b”

Siempre debemos empezar colocando la cantidad de valores de letra que tienen menos valores pero que dichos valores figuren en los otros conjuntos de valores en este caso empezamos por “c” luego “a” y finalmente “b”

Veamos cómo se resuelve:

La cantidad de numerales es: 8 . 8 . 5 = 320

Ejemplo:

OBSERVACION

A la cantidad de valores de “a” le hemos quitado un valor (x) porque ese valor ya lo tomo “c” y a “b” le hemos quitado dos valores (x) que son los valores que han tomado “c” y “a”.

¿Cuántos numerales de cuatro cifras diferentes existen en base 6?

Resolvamos rápidamente:

Observación importante: Valores de “a” valores de “c” valores de “d”

La Cantidad de numerales es: 5 . 5 . 4 . 3 = 300

EJERCICIOS APLICATIVOS

01.Determinar cuántos numerales de tres cifras existen en el sistema nonal.

02.¿Cuantos numerales capicúas de cuatro cifras en base 8 existen?

03.¿Cuántos números pares de cuatro cifras significativas y diferentes entre sí existen?

04.¿Cuántos números impares de tres cifras diferentes existen en el sistema senario?

A

B

F

C

E

D

A B C

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

01.¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos (0; 1: 2; 3; 5; 7)

a) 12 b) 20 c) 25 d) 28 e) 30

02.¿Cuántos números de cuatro cifras cumplen que sus dos últimas cifras son iguales?

a) 720 b) 810 c) 900 d) 1000 e) 840

03.¿De cuántas maneras distintas, se puede ir de la ciudad A hacía F sin retroceder?

a) 36 b) 72 c) 108 d) 126 4) 140

04.¿Cuántos números de la forma bacba(5) existen?

a) 100 b) 200 c) 120 d) 40 e) 80

05.De cuántas maneras distintas se puede ir de A hacia C y luego regresar hasta A sabiendo que no está permitido regresar por un camino de ida.

a) 96 b) 42 c) 60 d) 72 e) 132

06.Determinar cuántos numerales de tres cifras diferentes existen en el sistema quinario.

a) 46 b) 48 c) 50 d) 60 e) 100

07.¿Cuántos números de la forma abcd (a; b; c y d; diferentes entre sí) son pares y además la cifra “b” puede ser 4 u 8.

a) 398 b) 422 c) 394 d) 392 e) 390

08. ¿Cuántos números de la forma aba existen?a) 80 b) 100 c) 90 d) 900 e) 1000

09. ¿Cuántos números de la forma abba existen?a) 80 b) 100 c) 90 d) 900 e) 1000

10. ¿Cuántos números de la forma abc(6 )existen?

a) 180 b) 216 c) 125 d) 626 e) 200

11. ¿Cuántos números de la forma a (a+1 )existen? (a es diferente de 0)a) 8 b) 9 c) 10 d) 90 e) 20

12. ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el sistema de base 4?a) 678 b) 768 c) 786 d) 687 e) 876

13. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen en el sistema de base 10?a) 9 000 b) 900 c) 1 000 d) 10 000 e) 999

14. ¿Cuántos números de la forma

a ( a+12 )existen?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. ¿Cuántos números PARES de la forma abc existen?a) 550 b) 500 c) 450 d) 900 e) 449

16. ¿Cuántos números IMPARES de la forma aba existen?a) 100 b) 50 c) 45 d) 900 e) 90

17. ¿Cuántos números de la forma a (2a )b existen?a) 30 b) 50 c) 40 d) 45 e) 450

18. Se escriben los números naturales desde 1 hasta 120. ¿Cuántas cifras se utilizan?a) 120 b) 240 c) 362 d) 283 e) 252

19. En la enumeración de las páginas de un libro se han utilizado 270 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas tiene el libro?a) 120 b) 126 c) 130 d) 136 e) 140

20. Se escriben todos los números impares de tres cifras a partir de 300 ¿De cuántos números se trata?a) 240 b) 270 c) 300 d) 350 e) 360

10m

7m6m

9m5m

2m8m

Estas longitudes se expresan en diferentes unidades: centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc.

Cuando una figura se representa en una cuadrícula, se toma como unidad de medida el lado de cada cuadrado. Por ejemplo en la siguiente figura:

Perímetro = 8m + 2m + 10m + 7m + 5m + 9m + 6m = 47m

Su perímetro es 22 unidades

El perímetro de una región es la suma de las longitudes de sus lados

1cm

1cm 1cm2

ll

l

h

b

a

b

a

a

1. Área del triángulo Triángulo equilátero

2. Área del Rectángulo

3. Área del cuadrado

Si los lados de un cuadrado miden 1 cm, entonces el área del cuadrado es una unidad de área llamada un

centímetro cuadrado (1cm2)

Área es la medida de la extensión de una región limitada. Una unidad de medida es un cuadrado

cuyo lado mide una unidad de longitud

h

b

d

D

B

h

b

a

4. Área del romboide

5. Rombo

6. Trapecio

7. Polígono regular

8. Círculo

r

2x

3x

x+2A

B

C

1. Hallar el área de la llave, cada cuadradito es una unidad de área.

2. Si el perímetro del triángulo mostrado es 20 cm, ¿Cuánto mide el lado BC?

3. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene menor perímetro?

A) 10B) 15C)16D)13E) 18

A) 20B) 5C)6D)9E) 8

a b c

d

A 1cm AA

A

(x+2)cm

2 cm

4. Si el área del cuadrado mostrado es 9cm2, ¿Cuánto mide el perímetro de cada región no sombreada?

5. Dibujar un polígono de 8 lados con un área de 4 unidades

6. Si el perímetro de la pieza rectangular A es 8cm. Hallar el perímetro de la figura formada por 3 piezas A.

7. Del rectángulo, su perímetro es 20cm, ¿Cuál es su área?

a) 16 cm2 b) 15 cm2 c) 20 cm2 d) 30 cm2 e) 6 cm2

A) aB) bC)cD)dE) Todas son

iguales

A) 1cmB) 12cmC)4cm2

D)9cm2

E) 4cm

A) 20 cmB) 18cmC)16cmD)24cmE) 10cm

30

20

A

D O C

B

8. El siguiente marco de 30 cm de largo y 20 cm de alto, tiene un ancho uniforme de 2 cm, ¿Cuál es el área que queda para la fotografía?

a) 200 cm2 b) 600 cm2 c) 416 cm2 * d) 240 cm2 e) 100 cm2

9. Si el área del cuadrado de mayor tamaño es 36 cm2, el área de la región sombreada menos el área de la región no sombreada es:

10. Si el perímetro del cuadrado grande mostrado es 48cm, calcular el área de la región sombreada.

11. Calcular el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de 6cm de lado y “O” es el punto medio entre D y C

a) 4 cm2 *

b) 20 cm2

c) 15 cm2

d) 30 cm2

e) 5 cm2

A) 36 cm2

B) 32 cm2

C)24 cm2

D)18 cm2

E) 48 cm2

A) 12 cm2

B) 13 cm2

C)15 cm2

D)18 cm2

E) 20 cm2

12. Un terreno tiene forma cuadrada y es dividido en 4 partes iguales tal como se muestra en el gráfico y cada parte tiene forma cuadrada con una superficie de 9 cm2, calcular el perímetro de la región sombreada.

13. El área del cuadrado mostrado es 16 cm2. Si se retiran 4 cuadraditos de 1cm2 (como se indica en la figura), ¿Cuál es el perímetro de la nueva figura?

14. Hallar el perímetro de la región sombreada, si todos los triángulos son equiláteros y el perímetro del triángulo mayor es 48 cm.

15. Una parcela que tiene forma rectangular y cuyo ancho mide menos de 15m, es dividida en 8 partes iguales. Si cada parte tiene forma cuadrada con una superficie de 100 m2, ¿Cuánto mide el perímetro de la parcela?A) 240 m B) 120 m C) 60 m D) 280 m E) 280 m

A) 72 cmB) 18 cmC)12 cmD)24 cmE) 9 cm

A) 10 cmB) 12 cmC)8 cmD)16 cmE) 9 cm

A) 24 cmB) 12 cmC)6 cmD)28 cmE) 5 cm

A

B

C

D

A B

C

E

60º 60º

6cm

1. Cuánto mide el área del triángulo ABC, si cada cuadrado mide 2 cm2

2. En el rectángulo ABCD, AB=4 cm ¿Cuál es el perímetro, en centímetros, del triángulo DCE?

3. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo perímetro es 5/4 de m?a) 0,04m2 b) 0.4 m2 c) 2 m2 d) 0,004m2 e) N.A

4. El triángulo dado tiene un área de 24 cm2. ¿Cuánto mide en centímetros, una de sus alturas?

5. Un club decidió iluminar su campo deportivo colocando en el cerco un reflector cada tres metros, por lo que se necesitaron en total 36 reflectores. Se sabe que el cerco es rectangular y que mide el doble de largo que de ancho ¿Cuánto mide el ancho del cerco?A) 9 m B) 12 m C) 18 m D) 36 m E) 54 m

A) 32cm2

B) 64 cm2

C)18 cm2

D)18 cm2

E) 16 cm2

A) 8B) 6C)12D)10E) N.A

A) 8B) 4C)12D)6E) N.A

B

A C

E D

4

60º

60º

10

4

6

6

6. Calcula cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el m2 de tela cuesta 20 soles.A) S/. 245 B) S/. 145 C) S/. 254 D) S/. 250 E) S/. 260

7. Un cuadrado mide 120 cm x 60 cm. Si el metro de marco cuesta 6 soles. ¿Cuánto cuesta ponerle marco al cuadro?A) S/. 21,5 B) S/. 21,6 C) S/. 26,1 D) S/. 22,6 E) S/. 20,6

8. Se dan las coordenadas de los vértices de tres triángulos: Triángulo A : (1 ; 2) ; (5 ; 0) ; (5 ; 6) Triángulo B : (1 ; 5) ; (6 ; 5) ; (6 ; 0) Triángulo C : (1 ; 0) ; (6 ; 0) ; (4 ; 5)Son verdaderas:I) Área de A > Área de BII) Área de B = 12 u2III) Área de C < Área de BA) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III

9. El profesor Antonio Rodríguez pidió ubicar en el plano cartesiano el punto (3 ; 2); pero Sandra por distraída, ubicó el punto (2 ; 3). El profesor pidió que tracen paralelas por dichos puntos a los ejes coordenados y hallen el área de la figura geométrica que se forma. ¿Qué error ocasiona la equivocación de Sandra?

A) 6 u2 B) 3 u2 C) 9 u2 D) 10 u2 E) Ningún error

10. Halla el perímetro de :

11. Halla el perímetro de

A) 20

B) 15

C)16

D)24

E) 28

A) 36

B) 30

C)24

D)16

E) 32

200cm

0,4 m

4 m

500

cm

10 m

N

M

B C

O

DP

A

12. Halla el perímetro en metros de:

13. Calcular lo que costará sembrar césped en un jardín como el de la figura, si 1m2 de césped plantado cuesta 8 soles.

14. Hallar el área de la región sombreada. Si el radio del círculo es 8 m

15. Hallar el área sombreada. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10m y M, N, O, P son puntos medios.

16 m

A) 18 m

B) 20 m

C)36 m

D)24 m

E) 18,4 m

10 m

25 m

A) 1 600

B) 1 700

C)1 620

D)1 640

E) 1 720

RPTA: _________

RPTA: _________

r = 2m

r = 2m

6m10m

B

C D

E

FA

2 m

4 m

16. Hallar el área sombreada:

17. Hallar el área sombreada. Si ABCD es un cuadrado

18. Hallar el área de la región sombreada:

RPTA: _________

RPTA: _________

RPTA: _________

aa

a

a

cb

1. Cubo: Un cubo o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.

2. Paralelepípedo: Un paralelepípedo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces se le denomina paralelepípedo recto, en caso contrario se trata de un paralelepípedo oblicuo

3. Prisma: Un prisma es un poliedro con dos caras que son regiones poligonales congruentes en planos paralelos y las caras laterales son rectángulos. La altura es la distancia entre las caras paralelas

El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Se halla multiplicando las tres

dimensiones

V=a3

V=a .b . c

B

B

r

h

PRISMA OBLICUO

PRISMA RECTO

4. PIRÁMIDE: Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera; y por caras, que son triángulos y coinciden en un punto denominado ápice. El ápice o cúspide también es llamado en ocasiones vértice de la pirámide, aunque la pirámide tiene más vértices.

5. Cono: Es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

6. Cilindro: Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

V=13Bh

r

r

7. Esfera: Es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

1. Hallar el volumen en m3 de un refrigerador que mide 60 cm de largo, 48 cm de ancho y 1,7 m de alto.A) 0, 4896 B) 0, 4986 C) 4,8 D) 4,89 E) 4, 896

2. Un cubo tiene 20 cm de arista ¿Cuál es su volumen en m3?A) 0,8 m3 B) 0, 08 m3 C) 0, 008 m3 D) 8 m3 E) 80 m3

3. Las dimensiones de una caja son 20 cm x 40 cm x 60 cm. ¿Cuál es si volumen en m3?A) 0, 048 m3 B) 0,48 m3 C) 4,8 m3 D) 48 m3 E) 480 m3

4. Halla el volumen de un cubo cuya arista mide 6 cmA) 243 cm3 B) 36 cm3 C) 64 cm3 D) 256 cm3 E) 216 cm3

5. ¿Cuántos cubos de 1 cm de arista se necesitan para formar un cubo de 3cm de arista?A) 3 B) 6 C) 27 D) 12 E) 15

6. ¿Cuántos cubos de 1 cm de arista se pueden obtener de un cubo de 4 cm de arista?

12 cm 30 cm

8 cm

75 cm

15 cm

A) 64 B) 16 C) 12 D) 26 E) 18

7. Pepito desea envolver un regalo para su padre con una cinta que tiene una longitud de 2 m. Si para hacer el nudo necesita 25 cm, ¿Es suficiente la cantidad de cinta si debe usar como indica la figura?

8. Se dispone de un cartón rectangular de 12 cm por 7 cm. En cada esquina se corta un cuadrado de 2 cm de lado, tal como indica la figura siguiente. Luego se construye una caja como la indicada. ¿Cuál es el volumen de la caja?

a) 48 cm3 b) 50 cm3 c) 148 cm3 d) 960 cm3 e) 24 cm3

9. Halla el área lateral del siguiente prisma, cuya base es un triángulo equilátero

10.Una hoja de papel mide 10 cm por lado. Si Paola quisiera hacer cilindros de 1 cm de diámetro y 10 cm de altura, ¿cuántos podría confeccionar con esa hoja de papel?A) 6 B) 10 C) 1 D) 4 E) 3

11.Si el área de la base del prisma mostrado en la figura mide 12 cm2, determina su volumen sabiendo que la altura del prisma mide el triple que la altura de su base.

a) No, le falta 30 cmb) Noc) Sí, le sobra 70 cmd) Sí, le sobra 59 cm e) No, le falta 75 cm

A) 3 375 cm2

B) 3 370 cm2

C)3 357 cm2

D)3 300 cm2

E) 3 000 cm2

2rr

12.En la figura se tiene una esfera cuyo volumen mide 32 m3. Determina el volumen del cubo observado

13.El volumen de un cono es igual a 600 cm3 y su altura es igual a 18 cm. Halla el área de su base.

14.¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 2m? (π=3)

15.Una pirámide de base cuadrada cuyo lado mide 14 cm tiene una altura igual a 24 cm ¿Cuál será su volumen?

6 cm