6.- Capitulo IV - Formulacion Matematica

5/19/2018 6.- Capitulo IV - Formulacion Matematica

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CAPITULO IV

FORMULACION MATEMATICA DE LA METODOLOGIA PROPUESTA

4.1 INTRODUCCIN

El propsito principal de este captulo es presentar un modelo robusto, donde

se incluya las ecuaciones de control y cuya nueva variable de estado sea el

valor del dispositivo shunt.

Las dificultades en la operacin de los sistemas de potencia, se ha

incrementado en los ltimos aos, esto en funcin a la complejidad del

sistema y a las restricciones de orden econmica. Dentro de este escenariose

puede observar que los problemas relacionados a la incapacidad del sistema

de mantener las tensiones detodas las barras en niveles aceptables en

r!imen permanente, tanto en condiciones normales de operacin como

despus de la ocurrencia de un disturbio, que pueda ser causada por el

incremento en la demanda. En este ambiente, uno de los principales

problemas que deben hacer frente las empresas de ener!a, es como

mantener los niveles de tensin adecuados y de la forma m"s econmica.

Es importante definir el concepto de estabilidad de entre todas las que e#isten

en la literatura especiali$ada, en este trabajo, estabilidadest" definida por% &'n

punto de operacin de un sistema de potencia es estable s, a continuacin de


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cualquier pequeo disturbio, el estado del sistema de potencia retorna al

inicial o cerca del punto de operacin(.

) partir de este punto de vista, la utili$acin de dispositivos shunt, basado en

el control de tensin, forman un soporte de potencia reactiva a la red y en lapr"ctica es una alternativa m"s atractiva, debido a que es m"s econmico,

por este motivo, estos dispositivos son ampliamente utili$ados en los sistemas

*+.

'na de las caractersticas de los sistemas de potencia es la variacin de la

demanda, la cual dificulta la representacin de dispositivos shunt en

pro!ramas de flujo de potencia. -or este motivo, el mtodo de representacin

de dispositivos de control, presentado en */ presenta una !ran sensibilidad

de las variables de control en relacin al estado del sistema. 0omo

consecuencia, de la inclusin de los dispositivos de control, es que se

incremente el nmero de iteraciones y en condiciones e#tremas, el proceso

iterativo no pueda conver!er.

'n breve resumen sobre la metodolo!a !enrica de representacin de

dispositivos de control en problemas de flujo de potencia es representada eneste captulo.

El tem 1.2.3 presenta una visin !eneral del impacto de la utili$acin de

dispositivos shunt en la evaluacin de la m"#ima transferencia de potencia en

un sistema tradicional de dos barras. El principal objetivo de este estudio es

e#plorar los conceptos b"sicos, relacionados a la se!uridad de tensin.

4.2 METODOLOGA PROPUESTA PARA EL CLCULO DE FLUJO DE

POTENCIA CONTINUO

Este tem tiene por objetivo%

Llevar al lector a una comprensin del 4todo de 0ontinuacin el cual

tiene por objetivo eliminar los problemas relacionados con la

sin!ularidad de la matri$ 5acobiana en pro!ramas de flujo de car!a. La utili$acin del mtodo propuesto por )jjarapu y 0hristy en ++3.

Este mtodo es tambin conocida con el nombre de parametri$acin


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local, el cual consiste en determinar el punto de m"#imo de

car!abilidad 6-407. En el mtodo del vector tan!ente, la variable

esco!ida es aquella que presenta la mayor variacin, haciendo que el

factor de car!abilidad pase a ser, a partir de ah, una variable

dependiente y en cuanto a la variable esco!ida pasa a ser un nuevo

par"metro

4.2.1 Parametr!a"#$ %e&m'tr"a (ara e) F)*+& ,e P&te$"a C&$t$*a -aa,a

e$ )a /ara-)e ,e te$#$ 0 e) a"t&r ,e "ar%a-),a,.

Este mtodo consiste en incrementar un sistema de ecuaciones a la

ecuacin 63.87, descrito en la ecuacin 61.7, el cual pasa por un punto

esco!ido O (0,V

0) en el plano V 6variable del factor de car!abilidad

y la ma!nitud de la tensin nodal de una barra cualquiera k6 Vk 77.

W( ,V , , )=(0 )(VkVk0 )=0 (4.1)

Donde el par"metro es el coeficiente an!ular que se resta. 0omo una

nueva ecuacin es adicionada, puede ser tratado como una variable

dependiente y como una variable independiente, siendo este valor

esco!ido como par"metro de continua 6su valor es fijado7. )s mismo, el

nmero de inc!nitas es i!ual al nmero de ecuaciones, esto es una

condicin necesaria para que se obten!a una solucin al sistema deecuaciones y de esta manera hace que la matri$ 5acobiana 6 J7 no sea

sin!ular.

0on la solucin del caso base 6 1,V

1y

1

7 obtenida a partir de un flujo de

potencia, procedemos al c"lculo de 1

a partir del punto inicial esco!ido


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O(0 ,V0) y de los respectivos valores obtenidos en el caso base

P(1 , Vk1)

1=

Vk1Vk

0

10

(4.2)

En se!uida, el flujo de potencia continua propuesta, es utili$ado para calcular

las dem"s soluciones a travs de sucesivos decrementos ( ) para el

valor de . -ara =1+ , la solucin para la ecuacin 63.87 y 61.7

formara un nuevo punto de operacin 6 2,V

2y

2

7 correspondiente a la

interseccin de la trayectoria de soluciones 6curva -9:7 haciendo que el

nuevo valor del coeficiente an!ular 6 1+ 7 ser" calculado y lue!o

especificado. -ara =1

, representara una solucin de conver!encia

cuando =1 . 'na e#pansin al sistema de ecuaciones 63.87 y 61.7 con

Figura 4.1 Grafica de la Tensin en funcin de


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81

respecto a la serie de ;aylor, incluyendo solo los trminos de primer orden y

considerando un valor pre fijado del valor del par"metro , el que fue

calculado del caso base, resulta en%

[ Jac GW/ z ][ z ]=Jm[ z ]=[GW](4.3)

Dnde%

z=[ V ]T

Jac es la matri$ 5acobiana de flujo de potencia.

G corresponde a la derivada de G en relacin a factor de

car!abilidad .

Los valores de G y W representan los factores de correccin 6vector

de errores7 de las ecuaciones 63.87 y 61.7. Debemos de observar que estos

valores deben ser cero 6o pr"cticamente nulos, esto es con referencia a la

tolerancia adoptada7 para que se di!a que el caso base conver!i.

)simismo, el valor de W ser" diferente de cero debido a las variaciones

de que a su ve$ es afectado por el incremento de .


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haciendo que la estructura de la matri$ 5acobiana 6 Jac 7 sea modificada.

En caso del mtodo propuesto, es muy importante la mudan$a de

par"metros a lo lar!o de todo el tra$ado de la curva - = :, la cual implicara

la mudan$a de la matri$ 5acobiana, en relacin al valor del elemento,

correspondiente a la derivada de W respecto a 6valor conocido como

7.

4.2.2 A)%&rtm& ,e) Pr&%rama ,e Parametr!a"#$ Ge&m'tr"a (ara e) F)*+&

,e P&te$"a C&$t$*a.

. Condiciones iniciales.- En este paso, se proporciona o iniciali$a la

informacin necesaria para arrancar el proceso iterativo, lo cual

incluye%a. -ar"metros de las lneas, transformadores y car!as.b. -ara nodos -:, se especifica los lmites m"#imo y mnimo de

potencia reactiva de !eneracin.c. -otencia base, valor del dispositivo, valor de la tolerancia

3. Seleccin.9 se eli!en%a. La car!a activa a variar, el cual representa el factor de

car!abilidadb. El mdulo de tensin, donde se encuentra ubicado la car!a

activa a variar.c. El punto inicial &. #ctualiacin de la $endiente.9con el fin de obtener un nuevo punto de

operacin y un incremento en el factor de car!abilidad, se disminuye el

valor de la pendiente en /./>, este proceso continuara hasta que se

alcance la cantidad de puntos deseados en la curva - 9 :.


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8. $roceso iterati%o.-0on los valores actuales de V , y , calcular las

potencias netas inyectadas, tanto real e ima!inaria, usando las

ecuaciones 63.217 y 63.2>7, con ayuda de estos valores se determina el

vector errores de P , Q y W , con las ecuaciones 63.>/7, 63.>7 y

61.7, hasta que el m"#imo valor del vector de errores sea menor o

i!ual a la tolerancia ele!ida. En caso de cumplir con las tolerancias

especificadas, ir al paso ?, de otra manera, reali$ar el si!uiente paso.

@. Solucin del con&unto de ecuaciones lineales ' actualiacin de

%aria"les.-0on los valores actuales de V , y , determinar los

elementos de la matri$ jacobiana, con el fin de encontrar el vector de

correcciones y actuali$ar las variables de estado mediante las

ecuaciones 63.>>7, 63.>87 y 61.37.

?. C(lculos finales.-0uando ya se tiene conocido el estado del sistema

6mdulos de voltaje, "n!ulos de voltajes, factor de car!abilidad7, se

obtiene un punto de operacin del sistema 6punto de la curva - = :7.

'na ve$ obtenido este punto de operacin se re!resa al paso >, hasta

obtener el nmero de puntos de la curva deseada.

+. Calculo del deter)inante- 0on cada punto de operacin obtenida en el

paso ?, se tiene una matri$ jacobiana e#pandida, donde se calcula el

determinante de dicha matri$, hasta obtener una cantidad de valoresi!uales al nmero de puntos deseados de la curva - = :.


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4.2. Da%rama ,e F)*+& ,e) M't&,& Pr&(*et& (ara e) "3)"*)& ,e F)*+& ,e

P&te$"a C&$t$*a.


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Figura 4.*+a, iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el c(lculo de Flu&o de

$otencia Continua "asadas en las %aria"les de Tensin ' el Factor de Carga"ilidad

Fuente ela"oracin propia


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Figura 4.* +", iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el c(lculo de Flu&o de

$otencia Continua "asadas en las %aria"les de Tensin ' el Factor de Carga"ilidad



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4. REPRESENTACINDE DISPOSITIVOS DE CONTROLEN FLUJO DECARGA

4..1 Re(ree$ta"#$ ,e D(&t/& ,e C&$tr&)

'na representacin fle#ible de dispositivos shunt en problemas de flujos de car!a

es obtenida, acrecentando el sistema ori!inal de ecuaciones de potencia,

obtenidas a partir de las ecuaciones 63.217 y 63.2>7. Las ecuaciones que

describen a cada dispositivo de control, posee una variable de estado,

form"ndose un sistema de ecuaciones de orden 2n+nc , donde%

2n es el nmero de ecuaciones del sistema de potencia 6potencia activa

y reactiva7.

nc

es el nmero de ecuaciones que modelan a los dispositivos decontrol 6control de tensin remota o local7.

'na forma !enrica de lineali$ar este sistema de ecuaciones resuelta del proceso

iterativo de AeBton Caphson y mostrada a travs de la ecuacin 61.17

[ P

Q

y ]=[P

P

V

P

x

Q

y

Q

V

Q

x

y

V

y

x ] .[

Vx](4.4)

En esta ecuacin el vector y representa el vector de errores de las

ecuaciones adicionales que modelan el equipamiento de control. El vector x

est" formado por las variables de estado incorporado al problema de flujo de

potencia, al final de cada iteracin las variables de estado son actuali$adas de la

si!uiente forma%


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x(k+1 )=x (k)+ x( k)(4.5)

El mtodo de AeBton Caphson, para la solucin de ecuaciones no lineales, utili$a

como criterio de conver!encia, que el vector de errores sea menor a la tolerancia,

que es relativo al vector de errores de potencia activa y reactiva en barras del

sistema. 0on la inclusin de las nuevas ecuaciones al problema ori!inal, utili$a

como criterio de conver!encia que el vector de errores de potencia activa y

reactiva junto al vector de errores de la tensin controlada, sea menor a la

tolerancia.

La ecuacin 61.7 puede ser convenientemente considerada de la si!uiente forma%

[w y ]=[Jac JwxJyu Jyx]. [u x](4.6)

Donde los vectores w y u son dados por%

[w ]=

[ P

Q

](4.7)

[ u ]=[ V](4.8)

La matri$ Jac en la ecuacin 61.87 representa la matri$ jacobiana de formulacin

tradicional del mtodo de AeBton Caphson, Jwx contiene las derivadas de las

ecuaciones de potencia en relacin con las nuevas variables de estado del

problema. Los bloques Jyu y Jyx representa las derivadas de las ecuaciones

que modelan el control de tensin en relacin a las variables de estado ori!inal y

adicionales respectivamente. La matri$ J es denominada matri$ 5acobiana

E#pandida.


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J=[ Jac JwxJyu Jyx](4.9)

Esta formulacin e#pandida permite !ran facilidad de incorporacin de

dispositivos shunt, tenindose en cuenta que la matri$ Jac es preservada.

4..2 E/a)*a"#$ ,e )a Re(ree$ta"#$ ,e C&m(e$a"#$ S*$t e$ e) mar%e$ ,eCar%a-),a, ,e) Stema

La capacidad de transmisin de un sistema de potencia, esta frecuentemente

asociado a su lmite de estabilidad de tensin. Las curvas que relacionan la

tensin en una determinada barra del sistema con respecto a su demanda de

potencia activa 6- 9 :7 formanuna informacin valiosa sobre los m"r!enes de

car!amento del sistema, tanto para sistemas radiales como para sistemas

complejos.

4..2.1 Ca)"*)& ,e )a M35ma Car%a-),a, ,e) Stema

-ara el sistema de la i!ura 1.2, la m"#ima capacidad de transferencia de

potencia activa depende principalmente de la impedancia del sistema de

transmisin, del !rado de compensacin de la car!a y del factor de potencia. La

i!ura 1.1 representa un circuito equivalente para este sistema.

ES VR

PR+jQR

Figura 4.0 Siste)a 2adial de Carga %ersus Generador


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Este pequeo sistema consiste en una fuente de voltaje constante 6 Es 7

abasteciendo a una car!a 6 !" 7 a travs de una impedancia serie 6 ln 7.

Esta es una representacin de un alimentador radial simple que sirve a un "rea

de car!a !rande a travs de una lnea de transmisin.

La e#presin para la corriente # en la fi!ura 1.1 es%

#=Es

ln+!"(4.10)

Donde # y Es son fasores, y%

ln=ln(4.11)

!"=!"(4.12)

0uya impedancia equivalente es%

ln

VR

PR+jQR

#

!"ES

Figura 4.4 Circuito 3ui%alente de un Siste)a 2adial de Carga %ersus Generador


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( )ln s$n ( )+!" s$n

ln+!"=ln cos ( )+!"cos ( )+j

La ma!nitud de la corriente est" dada por%

lns$n ( )+!"s$n ( )

2

#=ES

Esto puede ser e#presado como%

#= 1

%

E s

ln(4.15)

Dnde%

%=1+(!"

ln)2

+2(!"

ln)cos ( )(4.16)

La ma!nitud del voltaje en la barra de recepcin est" dada por%

VR=!" & #(4.17 )

VR= 1

%

!"

ln& ES(4.18)

La potencia suministrada a la car!a es%

PR=VR# &cos ( )(4.19)

PR=!"

%( ESln)2

cos ( )(4.20)


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La !rafica de # , VR y PR son mostrados en la fi!ura 1.> en funcin de

ln/!" , con cos ( )=0.95 . -ara hacer aplicables para cualquier valor de

ln , los valores de # , VR y PR est"n apropiadamente normali$ados.

0uando la demanda de la car!a se incrementa por decremento de !" , PR

se incrementa r"pidamente al inicio y lue!o lentamente antes de alcan$ar sum"#imo, lue!o del cual decrece. E#iste as un valor m"#imo de potencia activa

que puede ser transmitida a travs de una impedancia de una fuente de voltaje

constante.

La potencia transmitida es m"#ima cuando la cada de voltaje en la lnea es i!ual

en ma!nitud a VR y esto es cuando ln /!"=1 . 0uando !" se

disminuye !radualmente, la corriente # se incrementa y VR decrece.

Figura 4.5 6olta&e de entrega7 corriente ' potencia en funcin de la de)anda de

carga para el siste)a de la figura 4.0


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nicialmente, en altos valores de !" el incremento en la # domina sobre el

decremento en VR y por lo tanto PR se incrementa r"pidamente con el

decremento de !" . 0uando !" se apro#ima a ln , el efecto del

decremento en la corriente es solo un poco mayor que aquel decremento en

VR . 0uando !" en menor que ln , el decremento en VR domina

sobre el incremento en la # y el efecto neto es un decremento en PR .

La condicin de operacin crticacorresponde a la m"#ima potencia que

representa el lmite de operacin satisfactoria. -ara una mayor demanda de

car!a, el control de potencia por variacin de la car!a sera inestableF esto es,

un decremento en la impedancia de car!a, reduce la potencia. Gi el voltaje se

disminuyera pro!resivamente y el sistema lle!ara a ser inestable depender" de

las caractersticas de la car!a. 0on una caracterstica de car!a est"tica de

impedancia constante, el sistema se estabili$a en niveles bajos de potencia y

voltaje que los valores deseados. De otro lado, con una caracterstica de car!a

de potencia constante, el sistema lle!ar" a ser inestable a travs del colapso

voltaje de la barra de car!a. 0on otras caractersticas, el voltaje es determinado

por la composicin de caractersticas de la lnea de transmisin y de la car!a. Gi

la car!a es suministrada por transformadores con cambiadores autom"ticos de

taps bajo car!a, la accin del cambiador de taps tratar" de elevar el voltaje en la

car!a. Esto tiene el efecto de reducir la !" efectiva que ve el sistema. H para

bajos voltajes de VR lleva a una reduccin pro!resiva de voltaje. Ista es pura

y simplemente una clase de inestabilidad de voltaje.

Desde el punto de vista de estabilidad de voltaje, la relacin entre PR y VR

es de inters.

De las ecuaciones 61.?7 y 61.3/7, se puede observar que el factor de potencia

de la car!a tiene un efecto si!nificativo en la caracterstica -otencia = :oltaje del

sistema.


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Esto es de esperarse, debido a que la cada de voltaje en la lnea de transmisin

est" en funcin de la potencia activa as como tambin la potencia reactiva

transferida. La estabilidad de voltaje, de hecho depende de la relacin entre P

, Q y V . La forma tradicional de la relacin entre P y V , se muestra

en la fi!ura 1.8

Aormalmente, solo los puntos de operacin por encima del punto crtico

representan las condiciones satisfactorias de operacin. 'na repentina

reduccin en el factor de potencia 6incremento de QR 7 puede causar que el

sistema cambie de una condicin estable de operacin a una insatisfactoria y

posiblemente inestable, esta condicin se representa por la parte baja de la

curva - = :.

4..2.2 Ee"t& ,e )a C&m(e$a"#$ S*$t

Figura 4.8 Caracter9stica $otencia 6olta&e del siste)a de la figura *


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De una forma !eneral, la compensacin shunt consiste en la inyeccin de

potencia reactiva al sistema, con el objetivo de mejorar el desempeo del

sistema durante su operacin. Desde un punto de vista m"s especfico, el

objetivo es mantener el mdulo de tensin de las barras lo m"s pr#imo posible

de su valor nominal, reducindose de esta forma la corriente en las lneas de

transmisin y por tanto reduciendo las perdidas y contribuyendo a una mejora

del mar!en de se!uridad del sistema.

recuentemente, la compensacin de potencia reactiva de un sistema es posible

a travs de un banco de capacitores en contrapartida a las caractersticas

inductivas de la car!a.

Del sistema de la fi!ura 1.1, modificamos el factor de potencia debido a lainyeccin de potencia reactiva a travs de dispositivos shunt en la barra de

car!a, donde lo!ramos obtener una familia de caractersticas - = : para

diferentes valores del factor de potencia, el cual es mostrado en la fi!ura 1.@.

Figura 4.: Caracter9stica $otencia 6olta&e para diferentes factores de potencia


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Ge observa que e#isten diferentes lmites de potencia al variar el factor de

potencia. Esto reflejara el efecto positivo del compensador de potencia reactiva

en la determinacin del lmite de trasmisin por voltaje.

Las curvas - = : son usualmente adoptadas, para poder evaluar la se!uridad de

tensin en an"lisis de r!imen permanente, donde tambin observamos el

comportamiento de la tensin al aumentar la car!a del sistema en relacin al

factor de potencia de la car!a.

La utili$acin de bancos de capacitores, presenta al!unas limitaciones en cuanto

a su utili$acin, para la mejora de la se!uridad de tensin de un sistema.

Aosotros damos al!unos aspectos relevantes en relacin a este tipo de

compensacin.

En sistemas altamente compensados, la re!ulacin de la tensin tiende a

ser menos eficiente. La potencia reactiva, formada por dispositivos shunt es directamente

proporcional al cuadrado del valor de la tensin en el punto de cone#in.

Este comportamiento podra conllevar a un problema, si retiramos la

inyeccin de potencia reactiva justamente cuando es m"s necesaria.

4.4 ANLISIS MODAL A PARTIR DE LA MATRI6 JACO7IANA E8PANDIDA

4.4.1 Matr! ,e Se$-),a, ,e C&$tr&)e

La metodolo!a propuesta en este trabajo, es basada en la utili$acin del

an"lisis modal para la evaluacin de la interaccin,de dispositivos de control.

Esta metodolo!a consiste en la descomposicin de valores propios y vectores

propios de la matri$ de sensibilidad de controles, que es obtenida, reduciendola matri$ jacobiana e#pandida, definida en la ecuacin 61.17.

Los valores propios, identifican los diferentes modos de interaccin entre los

dispositivos de control. Los vectores propios derechos e i$quierdos, asociados

a los respectivos modos, proporcionan informacin sobre la observabilidad y la

controlabilidad de cada modo. En otras palabras, se tendr" informacin relativa

de los dispositivos de control, que envuelven estas interacciones y de las


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ecuaciones de equipamiento, donde las medidas correctivas ser"n m"s

efectivas.

) partir del modelo lineali$ado, en r!imen permanente, del problema de flujo

de potencia, dado por la ecuacin 61.17,se puede determinar la matri$ de

sensibilidad de controles 6matri$ Jsc 7. Esta matri$ es calculada a partir de la

manipulacin de lasecuaciones 63.217 y 63.2>7, con el objetivo de obtener la

sensibilidad entre el vector de errores de las ecuaciones de control y y el

vector de las variables de estado adicional x .

Gi se utili$a la ecuacin 61.17 para el an"lisis de sensibilidad, donde se

considera que P=Q=0 , y se define que no e#iste variacin en las

demandas de potencia activa y reactiva, de las barras del sistema, haciendo la

reduccin de la matri$ 5acobiana e#pandida, definida en 61.17,se obtiene una

matri$ Jsc , dada por la ecuacin 61.3?7.

De este modo, manipulando la primera ecuacin 61.87se obtiene la e#presin

de u mostrada en la ecuacin 61.317.

'=[00 ](4.21)

0=Jac &u+J'x & x (4.22)

Jac &u=J'x & x (4.23 )

u=Jac1& J'x & x (4.24 )


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acilit"ndose la sustitucin de u en la se!unda ecuacin de 61.87, se

obtiene Jsc .

y=Jyu &u+Jyx & x (4.25)

y=Jyu &Jac1& J'x & x+Jyx & x (4.26 )

y=(JyxJyu & Jac1& J'x ) & x (4.27)

Lue!o, la matri$ de sensibilidad de controles, es dado por%

Jsc=JyxJyu & Jac1& J'x(4.28 )

y=Jsc & x (4.29 )

x=Jsc1 & y (4.30)

La matri$ de sensibilidades de controles Jsc determina la relacin entre la

variacin incremental de las variables de estado 6variable de control7

conrespecto a la variacin incremental de las ecuaciones de control. El sistema

de ecuaciones, que modelan los dispositivos de control, hace que la matri$

jacobiana tradicional ten!a una estructura de orden superior.

Es importante destacar que el c"lculo de la matri$ de sensibilidad de control

debe de ser, el efecto de un punto de equilibrio de las ecuaciones de potencia,

que es obtenida a travs de la solucin completa o parcial del problema

ori!inal. El costo computacional de este procedimiento no es si!nificativo,

tenindose en vista que en !ran parte del modelaje de estos dispositivos, se

someten e incorporan a la solucin de flujo de potencia a partir de la

conver!encia parcial de las ecuaciones de potencia *>.


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4.4.2 A$3) M&,a) ,e )a Matr! ,e Se$-),a, ,e C&$tr&)e

'na de las principales ventajas del an"lisis modal, aplicado a la matri$ de

sensibilidades de control, es que nos brinda informacin importante sobre la

interaccin de aquellos equipamientos presentes, mediante las ecuaciones decontrol y la participacin de cada uno de estos dispositivos, con respecto a

cada modo del sistema, pudiendo entonces, tomar las medidas correctivas que

deben ser adoptadas. Esta informacin, es obtenida a travs de los vectores

propios, asociados a un valor propio crtico del sistema.

Ge supone que los valores propios de la matri$ Jsc est" representada por 6

1 , 2 ,(,nc 7. En este caso, la matri$ Jsc puede ser dia!onali$ado de

acuerdo a la ecuacin 63.?>7.

De la misma manera que la ecuacin 63.+?7, tambin se puede descomponer la

matri$ Jsc , mediante la ecuacin 61.3?7.

Jsc=)& * &+ (4.31

)

Dnde%

Jsc es la matri$ de sensibilidad de controles, de dimensin nc x nc .

) es la matri$ de vectores propios derechos.

+ es la matri$ de vectores propios i$quierdos.

La ecuacin 63.++7, se puede escribir de la si!uiente forma para la matri$ Jsc

%

Jsc1=)& *1& +(4.32)

Donde la inversa de la matri$ dia!onal, es dada por%


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100

*1=[

1/1

0

0

00

1/20

01/n](4.33)

Gustituyendo la ecuacin 61.237 en 61.2/7, se obtiene%

x=)& *1 & + y (4.34)

x==1nc ) &+

& y(4.35)

Ge puede observar, que en esta ltima ecuacin, cada valor propio , en

conjunto, con sus respectivos vectores propios derechos e i$quierdos, define el

i9simo modo.

Gi se considera que y=$k , donde $k es un vector columna, con todos

sus elementos i!uales a cero, e#cepto en su J9simo termino, el cual

corresponde a la posicin del dispositivo de control del sistema, teniendo

ense!uida una relacin de sensibilidad entre las variables de estado, asociado

a los dispositivos que modelan las ecuaciones de control%

xk

yk=

=1

nc )k &+k

(4.36)

;ambin se puede constatar en la ecuacin 61.287, que el numerador esta

e#presado por )k&+k , el cual representa el factor de participacin -k .

4.4. A)%&rtm& ,e) Pr&%rama (ara e) A$3) M&,a) ,e )a matr! Ja"&-a$a

E5(a$,,a


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101

. Condiciones iniciales.- En este paso, se proporciona o iniciali$a la

informacin necesaria para arrancar el proceso iterativo, lo cual incluye%a. -ar"metros de las lneas, transformadores y car!as.b. -ara nodos -:, se especifica los lmites m"#imo y mnimo de

potencia reactiva de !eneracin.

c. -otencia base, valor de la tolerancia.

3. Seleccin.9 se eli!en%a. La tensin en la barra 6 j 7 a controlar.b. La ubicacin del dispositivo shunt a conectar.

2. Calculo de la Matri !"us.9 se utili$a la ecuacin 63.387

1. $roceso iterati%o.-0on los valores actuales de V , y s/un0 , calcular las

potencias netas inyectadas, tanto real e ima!inaria, usando las ecuaciones63.217 y 63.2>7, con ayuda de estos valores se determina el vector errores

de P , Q yV c1n0213 , con las ecuaciones 63.>/7, 63.>7, hasta que el

m"#imo valor del vector de errores sea menor o i!ual a la tolerancia

ele!ida. En caso de cumplir con las tolerancias especificadas, ir al paso 8,

de otra manera, reali$ar el si!uiente paso.

>. Solucin del con&unto de ecuaciones lineales ' actualiacin de %aria"les.-

0on los valores actuales de V , y . s/un0 , determinar los elementos de la

matri$ jacobiana, con el fin de encontrar el vector de correcciones y

actuali$ar las variables de estado mediante las ecuaciones 63.>>7, 63.>87 y

61.>7.8. C(lculos finales.- 0uando ya se tiene conocido el estado del sistema

6mdulos de voltaje, "n!ulos de voltajes, valor del dispositivo shunt7, seobtiene un punto de operacin en estado estacionario del sistema.

@. eter)inacin de los %alores ' %ectores propios de la )atri JR .9 Ge

procede a reducir la matri$ jacobiana e#pandida obtenida a partir del paso

8, de la matri$ jacobiana reducida JR se utili$a las ecuaciones 63.@7,

63.@37 y 63.@>7 para determinar los valores y vectores propios.


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?. eter)inacin de los Factores de $articipacin ' an(lisis de sensi"ilidad

de la )atriJR .9 0on los valores obtenidos en el paso @, se calcula los

factores de participacin y la sensibilidad V 4 Q , de acuerdo a las

ecuaciones 63.+27 y 63.//7.

+. eter)inacin de los %alores ' %ectores propios de la )atri JS5 .9 Ge

procede a reducir la matri$ jacobiana e#pandida obtenida a partir del paso

8, de la matri$ jacobiana reducida JS5 se utili$a las ecuaciones 63.@7,

63.@37 y 63.@>7 para determinar los valores y vectores propios.

/.#n(lisis de Sensi"ilidad de la )atri JS5 .9 0on los valores obtenidos en

el paso +, se calcula la sensibilidad V 4 s/un0 , de acuerdo a la ecuacin

61.287.

4.4.4 Da%rama ,e F)*+& ,e) M't&,& (r&(*et& (ara e) C&$tr&) ,e Te$#$ 0

A$3) M&,a)


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Figura 4.;+a, iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el Control de Tensin '

#n(lisis Modal



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Figura 4.; +", iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el Control de Tensin

' #n(lisis Modal



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Figura 4.;+c, iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el Control de Tensin '

#n(lisis Modal


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6.- Capitulo IV - Formulacion Matematica