Upload
risnandar-ramdani
View
448
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Ukuran Statistik
Ir. Moden Purba, MT
Pendahuluan
Ukuran penyebaran Suatu ukuran baik parameter atau statistik
untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya
Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data
Data yang belum dikelompokan Grouped data
Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi
Ukuran PenyebaranUkuran penyebaran: Range Mean Deviasi Rata – rata Modus Median Varian Deviasi standar Range inter-kuartil Deviasi kuartil
Ukuran kecondongan dan keruncingan
Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan
Range – Jarak Merupakan perbedaan antara nilai
terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel
Rumusan RangeRange = Nilai terbesar – nilai
terkecilPerusahaan Harga Saham
Sentul City 530
Tunas Baru 580
proteinprima 650
total 750
Mandiri 840
Range = 840 – 530= 310
Deviasi Rata – rata Populasi
Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnyaRumusan Deviasi rata –rata ( MD)
∑|x - x| MD =
N
X = Nilai data pengamatanX = Rata – rata hitungN = Jumlah data
Contoh Deviasi Rata - RataPerusahaan Indek x - X Nilai Mutlak
Sentul City 7.5 1.14 1.14
Tunas Baru 8.2 1.84 1.84
proteinprima 7.8 1.44 1.44
total 4.8 -1.56 1.56
Mandiri 3.5 -2.86 2.86
Total 31.8 8.84
Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768
MD == ∑|x - X| / n= 8.84 / 5= 1.768
Varians dan Standar Deviasi Populasi
Varians Rata – rata hitung deviasi kuadrat
setiap data terhadap rata – rata hitungnya
Rumus varians populasi (X - µ )2
2= N
µ = (∑ X) / N
X = Nilai data pengamatanµ = Nilai rata – rata hitungN = Jumlah total data
Contoh Kasus Varians
Perusahaan Indek X - µ (X - µ)²
Sentul City 7.5 1.14 1.2996
Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856
proteinprima 7.8 1.44 2.0736
total 4.8 -1.56 2.4336
Mandiri 3.5 -2.86 8.1796
Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372
Rata - rata (µ) 6.36 s² 3.4744
(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5
Standar deviasi Akar kuadrat dari varians dan
menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya
Rumus standar deviasi
(X - µ )2
= N
Standar Deviasi
atau = ²
Contoh Kasus Standar Deviasi
(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744
N 5
Nilai varians :
Nilai standar deviasi : = 3.4744 = 1.864
Nilai penyimpangan sebesar 1.864
Varians dan Standar Deviasi Sampel
Varians
Standar deviasi
(x - x )2
s 2= n -1
S = s²
Contoh Kasus SampelNo Perusahaan
Harga saham x - X (x - X)²
1 Jababeka 215 -358 128164
2 Indofarma 290 -283 80089
3 Budi Acid 310 -263 69169
4 Kimia farma 365 -208 43264
5 Sentul City 530 -43 1849
6 Tunas Baru 580 7 49
7 proteinprima 650 77 5929
8 total 750 177 31329
9 Mandiri 840 267 71289
10 Panin 1200 627 393129
Jumlah 5730 824260
Rata - Rata (X) 573 s² 91584.44
S 302.63
Varians : ∑(x – X)²s² = n – 1s² = 824260 / 9s² = 91584.44
Standar deviasi :S = s²S = 91584.44S = 302.63
Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan
Range – Jarak Merupakan selisih antara batas
atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah
Rumusan RangeRange = Batas atas kelas
tertinggi – nilai terkecil
Kelas1 215 21222 2123 40303 4031 59384 5939 78465 7847 9754
Interval
Contoh RangeBatas atasKelas terendah
Batas atas Kelas tertinggi
Range := 9754 – 215= 9539
Deviasi Rata - Rata
Rumus deviasi rata - rata
f. |x - x| MD = n
Rata – rata hitung data dikelompokanx = ( f.x ) / n
Contoh Kasus Kelas
Interval Kelas f
Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X|
1 16 24 10 20 200 13.68 136.8
2 25 33 18 29 522 4.68 84.24
3 34 42 14 38 532 4.32 60.48
4 43 51 4 47 188 13.32 53.28
5 52 60 2 56 112 22.32 44.64
6 61 69 2 65 130 31.32 62.64
Total 50 255 1684 89.64 442.08
Rata - rata (X) 33.68
MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416
Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan
Varians
Standar deviasi
f. (x - x )2
s2= n -1
s = s²
Contoh Kasus Kelas Interval Kelas f
Titik tengah (x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|²
1 16 24 10 20 200 13.68 187.1424 1871.424
2 25 33 18 29 522 4.68 21.9024 394.2432
3 34 42 14 38 532 4.32 18.6624 261.2736
4 43 51 4 47 188 13.32 177.4224 709.6896
5 52 60 2 56 112 22.32 498.1824 996.3648
6 61 69 2 65 130 31.32 980.9424 1961.885
Total 50 255 1684 89.64 1884.254 6194.88
Rata - rata (X) 33.68
Varians :s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 = 6194.88 / 49 = 126.4261
Standar deviasi :S = s² = 126.4261 = 11.2439
Modus
Modus untuk Ungrouped DataContoh : Sumbangan Mahasiswa (Rp)
7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) bisa terjadi data tanpa modus a. Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus)b. Umur Mahasiswa : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17Modus : 18 dan 19
Modus untuk Grouped Data
Mo = b1 + i(d1/(d1+d2)Mo = Modusb1 : Batas Bawah Kelas Modusd1 : frekwensi kelas modus dikurangi
frekwensi sebelum kelas modusd2 : frekwensi kelas modus dikurang
frekwensi sesudah kelas modus
Mengitung Modus
fi 16 24 15.5 24.5 1025 33 24.5 33.5 1834 42 33.5 42.5 1443 51 42.5 51.5 452 60 51.5 60.5 261 69 60.5 69.5 2
Kelas Interval
Kelas Bounderies
Kelas Modus : 24.5 – 33.5b1 : 24.5i : 9Frekwensi Mo : 18Frekwensi seb Mo : 10Frekwensi ses Mo : 14d1 = 18-10 = 8d2 = 18-14 = 4
Mo = b1 + i(d1/(d1+d2))
Mo = 24.5 + 9( 8/(8+4)) = 30.5
Median (Me)Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Median untuk Ungrouped Data
Letak Median berada dalam gugus data yang telah tersortir Letak Median = (n + 1)/2 n: banyak dataContoh 1: Tinggi Badan 5 mahasiswa: 1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meterSorted : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 metern = 5 Letak Median = (n+1)/2 =(5+1)/2 = 3 Median = Data ke-3 = 1.75
Median Cont’s
Contoh 2:
Tinggi 6 Mhs : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 1.80 meter (Sorted) n = 6Letak Median = (n+1)/2 = 3.5
Me = (Data ke 3 + Data ke 4) = (1.75 + 1.78)/2 = 1.765
= Data ke-3 + 0.5 (Data ke-4 – Data ke-3) = 1.75 + 0.5 (1.78 – 1.75) = 1.75 + (0.5 0.02) = 1.75 + 0.015 = 1.765
Median untuk Grouped Data
Letak Me = n/2 n: banyak dataKelas Median : Kelas di mana Median beradaKelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi KumulatifMe = b1 + i((1/2)n - F))/fMe
Me : Median i : Interval KelasF : Kumulatif Frekwensi Sebelum kelas MedianfMe : Frekwensi Kelas Median
Mengitung Median Grouped Data
Letak Median n/2 = 50/2 =25Letak Median / Frekwensi Kumulatif = 25Kelas Median : 24.5 – 33.5b1 : 24.5i : 9(1/2)n : 25Frekwensi Kumulatif seb Me : 10Frekwensi Me (fMe) : 18
Me = b1 + i((1/2)n - F))/fMe
Me = 24.5 + 9(( 25-10))/18= 32.0
fi Sfi
16 24 15.5 24.5 10 1025 33 24.5 33.5 18 2834 42 33.5 42.5 14 4243 51 42.5 51.5 4 4452 60 51.5 60.5 2 4661 69 60.5 69.5 2 48Total 50 50
Kelas Interval
Kelas Bounderies
Ukuran Penyebaran Relatif
Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatifPenggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : Data mempunyai satuan pengukuran
yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang
sama
Ukuran Penyebaran Relatif
Koefisien rangeKoefisien deviasi rata-rataKoefisien deviasi standar
Koefisien Range
Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatifRumusan :
KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %
La : Batas atas data atau kelas tertinggiLb : Batas bawah data atau kelas terendah
Contoh Koefisien Range
KelasInterval Kelas f
1 16 24 102 25 33 183 34 42 144 43 51 45 52 60 26 61 69 2
La : Kelas tertinggi = 69Lb : Kelas terendah = 16
KR := (La – Lb) / (La + Lb)= (69 – 16 ) / (69 + 16)= 53 / 85= 0.6235 x 100 %= 62.35 %
Koefisien Deviasi Rata - Rata
Koefisien deviasi rata – rata Ukuran penyebaran dengan
menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya
Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100%MD = Deviasi rata - rataX = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus
Data dikelompokan : MD = 8.8416 X = 33.68
Koefisien deviasi rata – rata :KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 % = 0.2625 x 100 %
= 26.25 %
Koefisien Standar Deviasi
Koefisien standar deviasi Ukuran penyebaran yang
menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase
Rumus KSD = [ s / x ] x 100 %
S = Standar deviasiX = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus
Data dikelompokan Standar Deviasi = 11.2439 Rata – Rata hitung (x) = 33.68
Nilai Koefisien Standar Deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 %
= 33.38 %
Ukuran Kecondongan - Skewness
Ukuran kecondongan – kemencengan Kurva tidak simetris
Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan mediaPendekatan : Jika Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke
kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke
kanan
Kuartil
Letak Ki = (i(n+1)/4i = 1,2,3Suatu data setelah diurutkan :
52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94Cari :K1 K3
Kuartil [cont’]
Letak K1K1 = (1(n+1))/4
= (1(12+1))/1= 3.25, = Data ke 3+ 0.25(Data4-
Data3)= 57 + 0.25(60-57)= 57.75
Kuartil [cont’]
K3 = (3(n+1))/4= (3(12+1))/4= 9.75= Data9 + 0.75(Data10-
Data9)= 82 + 0.75(86-82)= 85
Kuartil Dist. Frekwensi
Ki = b + p(((in/4)-F)/f))b = Batas Bawah Kelas Ki dimana
terletakP = panjang KelasF = Frekwensi dengan tanda lebih
kecilf = Frekwensi kelas Ki
Kuartil Dist Frekwensi [cont’]
f31 40 141 50 251 60 561 70 1571 80 2581 90 2091 100 12
80
Nilai Ujian
Jumlah
Letak K3? in/4 = (3x80)/4 = 60
K3 = b+p(((in/4)-F)/f)) = 80.5 + 10((60-48)/20) = 86.5
Desil
Letak Di = (i(n+1))/10i = 1,2,3,4, …,9 Contoh Data setelah diurutkan52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,9
4D7 =?
Desil [cont’]
Letak D7 = (7(n+1))/10 = (7(12+1))/10
= 9.1
= Data9 + 0.1(Data10-Data9)
= 82 + 0.1(86-82)= 82.4
Desil Dist. Frekwensi
Di = b + p(((in/10)-F))/f)Di = Desil ke Ib = Batas Bawah Kelas Bounderies Letak
Di
P = panjang kelasN jumlah dataF= Jumlah Frekwensi dgn tanda lebih
kecil dari DiF = frekwensi kelas Di
Desil [cont’]
f31 40 141 50 251 60 561 70 1571 80 2581 90 2091 100 12
80
Nilai Ujian
Jumlah
Cari Nilai D3
Letak D3 = (3x80)/10 =24
D3 = 70.5 + (10(24-23))/25D3 = 70.9
Persentil
Letak Pi = (i(n+1))/100 untuk non DF
Pi = b+p(((in/100)-F)/f)) untuk DF
Kemiringan
Kemiringan = (Rata-rata – Modus)/s
Kemiringan = (3(Rata-rata – Median))/s
Momen
m’r = (p(Sficir))/n
m2 = m’2 – (m’1)2
m3 = m’3 – 3m’1m’2 + 2(m’1)3
m4 = m’4 – 4m’1m’3 + 6(m’1)2m’2 – 3(m’1)4
Momen
fi ci fici fici2 fici
3 fici4
16 24 15.5 24.5 10 -1 -10 10 -10 1025 33 24.5 33.5 18 0 0 0 0 034 42 33.5 42.5 14 1 14 14 14 1443 51 42.5 51.5 4 2 8 16 32 6452 60 51.5 60.5 2 3 6 18 54 16261 69 60.5 69.5 2 4 8 32 128 512Total 50 9 26 90 218 762
Interval Bounderies
Kurtosis
a4 = m4/m22
Kurtosis
a4 = 3 Dist. Normala4 > 3 Dist. Leptokurtik
a4 < 3 Dist. Platikurtik
Kurtosis
Koefisien Skewness
Sk = [µ - Mo ] / atau = 3.[µ - Md] / µ = Nilai rata – rata hitung
Mo = Nilai modusMd = Nilai median = Standar deviasi
Contoh kasus data dikelompokanµ = 33.68Mo = 30.5Md = 32 = 11.2439
Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439Sk = 15.68 / 11.2439Sk = 1.394
Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439Sk = 5.04 / 11.2439Sk = 0.4482
Ukuran Keruncingan - Kurtosis
Keruncingan disebut juga ketinggian kurvaPada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : Leptokurtis = Sangat runcing Mesokurtis = Keruncingan sedang Platykurtis = Kurva datar
Koefisien Kurtosis
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis Mesokurtik 4 = 3 Leptokurtik 4 > 3 Platikurtik 4 < 3
Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)
4 =
1/n ∑(x - )4
4
Nilai data
Koefisien Kurtosis
Koefisien kurtosis (data dikelompokan)
4 =
1/n ∑ f. (X - )4
4
Nilai rata – rata hitungStandar deviasi
Nilai tengah kelas
Jumlah Frekuensi
Rata – Rata Geometrik
Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rateRumus :
G = n (x1 . x2 . x3 . … xn )
G = [log x1 + log x2 +… log xn]
n G = Antilog (log G)
Contoh
Data pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 %Tingkat pertumbuhan :G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 +
log 1.2 + log 2.5 ] / 5G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079
+ 0.397] / 5G = 1.5464 / 5 = 0.30928G = antilog 0.30928 = 2.03
Terimaksih