8/15/2019 5_Lista de Exercicios

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Exercícios de Estado Sólido (5a lista) Entrega: 7 6 

45] Considere que o potencial químico, em primeira aproximação, possa ser escrito como:

22

112

 F 

 F 

kT    

 

 

 

Use essa aproximação para escrever o potencial químico e a energia do exercício anterior

[44] como:

2 42 4

22

112 80

3 51

5 12

 F 

 F F 

 F 

kT kT  

kT  E N 

   

 

  

 

 

46] Usando a expansão do exercício anterior para a energia até o termo de segunda ordem

na temperatura, mostre que o calor específico pode ser escrito como:

2 2

( )3

  F 

V 

 E k C D T 

T 

  

 

onde3

( )2

 F 

 F 

 N  D   

    é a densidade de estados no nível de Fermi.

47] Provar o teorema de Bloch, isto é, se o potencial for periódico V(x) = V(x+a) a função

de onda terá a seguinte forma:

( ) exp( ) ( )k k  x ikx x    

onde ( ) ( )k k  x x a    é uma função periódica.

48] Substituindo a função de Bloch ( ) exp( ) ( )k k  x ikx x    na equação de Schrödinger

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mostre que teremos a seguinte equação

49] Considere o potencial periódico, ver Fig. abaixo. Mostre que as soluções da

equação do problema [48] são dada por:

50] Num semicondutor, as concentrações de elétrons (ne) na banda de condução e buracos(n b) na banda de valência, escritas em termos do potencial químico μ, são dadas por:

3/ 2

2

3/ 2

2

2 exp[ ( )]2

2 exp[ ( )]2

ee c

bb V 

m kT n

m kT n

    

    

 

Mostre que o produto dessas grandezas não depende do nível de Fermi, sendo dado por:

3

3/ 2

24 ( ) exp[ ]

2e b e b G

kT n n m m    

 

 

51] Num semicondutor intrínseco temos ne = n b, ver relações do problema [50]. Mostre que

o potencial químico num semicondutor intrínseco é dada por:

b   a

0V 

( )a b

( )V x

 

2

2 2

2( ( )) ( ) 0k 

d mV x x

dx  

22

2 2

22 [ ( ( )) ] 0k k  k 

d u du   mik V x k u

dx dx 

k u

(1) ( ) ( ) (2) ( ) ( )

2 2

02 2

( ) ( )

2 20 , 0 , : ( )

i k x i k x i k x i k x

k k u x Ae Be e u x Ce De

m m para x a e b x respectivamente sendo e V 

 

 

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3ln( / )

2 4

C V b ekT m m

  

   

52] Considere a relação de dispersão para um elétron livre:

2 2 2 2( , , ) ( )2

 x y z x y z k k k k k k  m

     

e mostre que o tensor de massa inversa é dado por:

53] Considere a relação de dispersão abaixo onde mt é a massa transversal e m l é a massa

longitudinal do elétron no cristal.

2 2   22

( , , ) ( )2

 x y   z  x y z 

t l 

k k    k k k k 

m m 

 

As superfícies de ( , , ) x y z k k k   constantes são elipsóides. Mostrar que a freqüência de

oscilação do elétron em presença de um campo magnético estático e uniforme ˆ B Bx é

dada por:

c

t l 

eB

m m     (ressonância de cíclotron para uma superfície elipsoidal)

Dica: considere a força magnética resultante no elétron dada por  F eV B  sendo as

componentes da aceleração relacionadas com as componentes da força através do tensor de

massa efetiva inversa 1 ( , , , )i ij ja m F i j x y z   .

54] Mostre que a função de onda abaixo é normalizada e satisfaz o teorema de Bloch.

.

1

1( ) ( )i

 N ik R

ik i

r e r R N 

 

,

onde ( )ir R    são funções de onda do átomo no sítio i R   e não se superpõem com as

funções do átomo no sítio j R , isto é,

* 3( ) ( )i j ijr R r R dr     .

55] Mostre que para uma estrutura cristalina fcc (12 primeiros vizinhos) com parâmetro de

rede a , a relação de dispersão, k   , é dada por:

2 2 2 2 2 2( , , ) 4 [cos cos cos cos cos cos ] y y x x z z 

k a k ak a k ak a k a

 x y z k k k     

21

2

1, , ,

ij

ij

i j

m onde i j x y z  k k m