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5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 1
Erste Stufe der Informationsgewinnung
Interpretationszyklus für Einzelbilder
Zuordnung von Modellausprägungen zu Bilddaten
Generische räumliche Beschreibung(parametrisierte Modelle für Szene,Objekte, Beleuchtung, Abbildung)
Modellausprägungen(Parametersätze)
Parameterschätzung,Klassifikation
Merkmale,Primitive
Modellelemente
ProjektionModellwelt-Bild
DigitalisiertesBild
Modellwelt
Synthetisches Bild,Szenenskizze
Bildsensor Display
Signal-verarbeitung
Bildauswertung
Synthese
BestimmtArt
Verfahrenextrahieren
BestimmtArt
Modifiziert
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 2
Objektberandung Grauwertunterschiede Lokalisierung(Geometrie) Texturunterschiede Segmentierung
FreiheitsgradeForm
Oberflächeneigenschaft Grauwert Klassifikation(Radiometrie) Textur
Modellähnlichkeit Klassifikation(geometrisch, radiometrisch)
Bildmerkmale Informationsgewinnung
Bild
Merkmal 1-Bild
Merkmal N-Bild
......Merkmal 1 - Operator
Merkmal N - Operator
N Kanten-bilder
N Fleck-bilder
...
Kanten-operator
Fleck-operator
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 3
Diskrete Signale
Videokamera
TDDn xnxnxnr ,,, 2211
D
dddde xnnxxxxd
1
22´´´ )(),(
D
dddb nnxxd
1
´´),(
´
,...,1
´ max),( ddDd
c nnxxd
Abstandsmaße im diskreten Gitter
Euklidische Distanz
City-block-Distanz
Schachbrett-Distanz
Aliasing räumlich und zeitlich:Signale halbe Abtastfrequenz!
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 4
Textur-Deskriptoren• Texturelle• Statistische• Fourier
Berandungsdeskriptoren• Einfache• shape numbers• Fourier• Momente
Regionale Deskriptoren• Einfache• Topologische
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 5
Grauwert-Deskriptoren: Textur
Keine formale Beschreibung von Textur.Maße für Glattheit, Rauhigkeit, Regelmäßigkeit, etc.
Drei Ansatzpunkte zur Beschreibung von Textur:• Statistisch: glatt, rauh, körnig,grob• Strukturell: Anordnung geometrischer Primitive (z.B. reguläre Anordnung v. Linien)• Spektral: Detektion globaler Periodizitäten als Peaks im räumlichen Frequenzspektrum
Merkmale Informationsgewinnung
Rauhfraktal
homogen
periodisch
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 6
Textur: Statistische Ansätze
Merkmale Informationsgewinnung
Rauhfraktal
homogen
.
.
.
.
.
.
0 255 g
h
1. Auswertung des Histogrammsdes durch die Maske definierten Bildbereichs
h
0 255 g
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 7
Textur: Statistische Ansätze: Momente des Grauwerthistogramms
0 255 g
h
L
iii
L
ii
nin
ghgm
ghmgg
1
1
)(
)()()(
Wenn L die Anzahl der Grauwerte ist und h(gi) das Histogramm in der Maske, so sind die n-ten Momente:
Das zweite Moment heisst Varianz und wird mit ² bezeichnet. Es ist ein Maß des Grauwertkontrasts. Z.B. ist
R=0 für konstanten Grauwert und geht gegen 1 für große .n=3: Skewness des Histogrammsn=4: relative Plattheit des Histogramms
h
0 255 g 21
11
R
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 8
Ergibt die und damitMatrix Cooccurrence
Matrix
ci,j ist ein Schätzwert für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Paar von Punkten, das P erfüllt die Werte i,j hat.
Textur: Statistische Ansätze: 2. Auswertung der Coocurrence-Matrix
Nachteil der reinen Histogramm-Ansätze: keine Information über relativen Position der Pixel zueinander (Phase).
Information über die Positionen von Pixeln mit gleichem oder ähnlichem Grauwert: Coocurrence-Matrix.Positionsoperator Pk,l : In Bezug auf aktuellen Punkt (u,v) wähle aus Punkt (u+k, v+l).Anzahl der unterschiedlichen Grauwerte GMatrix A mit GxG Elementen ai,j : Anzahl, wie oft g(u,v)=i und g(u+k,v+l)=j. Coocurrence-Matrix C: Matrix A dividiert durch Anzahl der Punktpaare, die P erfüllen.
Beispiel:G=3: g {0,1,2}; Positionsoperator P1,1
10100
02011
00122
11011
21000Angewendetauf das Bild
021
232
024
A(
021
232
024
16
1C(
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 9
Textur: Statistische Ansätze: Coocurrence-Matrix
Aus der Coocurrence-Matrix C können Maße zur Charakterisierung einer Textur gewonnen werden. Eine solche Menge von Deskriptoren ist z.B.:
(1) Maximale Wahrscheinlichkeit Stärkste Antwort auf P
(2) Moment der Elemente-Differenz der Ordnung k relativ kleiner Wert, wenn hohe Werte nahe Hauptdiag.
(3) Moment der inversen Elemente-Differenz der Ordnung k Gegenteiliger Effekt wie (2)
(4) Entropie Maß für die Unordnung
(5) Gleichförmigkeit Entgegengesetzt zu (4)
i jij
iji j
ij
i jk
ij
i jij
k
ijji
c
cc
ji
c
cji
c
2
,
)(log
)(
)(
)(max
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 10
Textur: Statistische Ansätze: Unser´s Summen- und DifferenzhistogrammeVereinfachung gegenüber Coocurrence-Matrix
Bildfenster gleicher Größe, deren Mitte um du und dv gegeneinander verschoben ist:{gm´,n´ } = {gm+du, n+dv }, m = 1, ... ,M; n = 1, ... ,N
Summen und Differenzen der Grauwerte:
Summen- und Differenzhistogramme:
}{}{};{}{ ,,,,,, vuvu dndmnmnmdndmnmnm ggdggs
is
ssnmnmsvus iN
iNihissAnzahliNddiN)(
)()();|}({)(),;( ,,
id
ddnmnmdvud iN
iNihiddAnzahliNddiN)(
)()();|}({)(),;( ,,
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 11
du
dvgm,n
sm,n = gm,n + gm+du,n+dv dm,n = gm,n - gm+du,n+dv
gm+du,n+dv
is
ss iN
iNih)(
)()(
id
dd iN
iNih)(
)()(
0 i
hs
Merkmale Informationsgewinnung
hd
0 i
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 12
Textur: Statistische Ansätze: Unser´s Summen- und Differenzhistogramme
Maße aus den normierten Histogrammen:
können berechnet werden für verschiedene du und dv, meist(1,0), (1,1), (0,1), (-1,0)
Merkmale Informationsgewinnung
G
Gidd
UnserEntrds
G
is
UnserEntrs
G
Gid
UnserMitd
UnserKontrd
G
is
UnserMits
UnserKontrs
G
Gid
UnserZwMomd
G
is
UnserZwMoms
G
Gid
UnserMitd
G
is
UnserMits
ihihMihihM
ihMiMihMiM
ihMihM
ihiMihiM
)(ln)();(ln)(
)()(;)()(
)(;)(
)(;)(
,
2
0,
2,,
2
0
2,,
2,
2
0
2,
,
2
0,
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 13
Textur: Statistische Ansätze: Momente
Zweidimensionale, kontinuierliche Funktion f(x,y): Moment der Ordnung (p+q):
für p,q = 0,1,2,...Wenn f(x,y) kontinuierlich und nicht-verschwindende Elemente nur in einem Teil derxy-Ebene, existieren Momente jeder Ordnung und sind eindeutig durch f(x,y) bestimmt.Die Menge aller Momente bestimmt seinerseits f(x,y).
Zentrale Momente
Für ein digitales Bild wird daraus
dydxyxfyxm qppq ),(
00
01
00
10),()()(m
myund
m
mxmitdydxyxfyyxx qp
pq
x y
qppq yxfyyxx ),()()(
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 14
Textur: Statistische Ansätze: MomenteZentrale Momente bis zur Ordnung 3:
012
020330
03
012
20112112
21
102
02111221
12
102
203003
30
00
201
0220
02
00
210
2000
210
00
210
2002
20
00
011011
1111
0000
1010
0110
23),()()(
22),()()(
22),()()(
23),()()(
),()()(
2),()()(
),()()(
),()()(
mymymyxfyyxx
mxmymxmyxfyyxx
mymxmymyxfyyxx
mxmxmyxfyyxx
m
mmyxfyyxx
m
mm
m
m
m
mmyxfyyxx
m
mmmyxfyyxx
mm
mmyxfyyxx
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
Normierte zentrale Elemente: ,...3,21200
qpfürqp
mitpqpq
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 15
Textur: Statistische Ansätze: Invariante Momente
Eine Menge von 7 invarianten Momenten aus den zweiten und dritten Momenten:
Translations-, rotations- und skaleninvariant
])()(3)[)(3(
])(3))[()(3(
))((4])())[((
])()(3)[)(3(
)]3(3)[())(3(
)()3(
)3(
4)(
20321
2123003123012
20321
21230123003217
03211230112
03212
120302206
20321
2123003210321
12302
1230123012305
20321
212304
212303
211
202202
02201
C
Merkmale Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 16
Textur: Vergleich der Trennungswirksamkeit von Texturmerkmalen
Merkmale Informationsgewinnung
Quelle: Handbook of Computer Vision
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 17
Detektion von Diskontinuitäten• Kanten• Ecken• Linien
Detektion von Ähnlichkeiten
Segmentierung Informationsgewinnung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 18
Detektion von DiskontinuitätenKanten
Segmentierung
Grauwertprofil erste Ableitung zweite Ableitung(Gradient) (Laplace)
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 19
Merkmal Gradient
Motivation: Wenn Objekte homogen bezüglich Grauwert oder Texturmerkmal sind, dann treten an Objektgrenzen starke Gradienten auf.
Grauwertbild Gradientenbild
Bildmerkmale
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 20
Merkmal Gradient
Bildmerkmale
xyxg
yyxg
eyxgyxg
y
yxg
x
yxgyxg
yxi
T
),(
),(
arctan
),(),(
),(,
),(),(
),(
Betrag gibt Stärke des Grauwertübergangs.• Rotationsinvariant• Invariant gegen homogene GW-ÄnderungenPhase gibt Richtung.• Invariant gegen homogene GW-Änderungen
Diskretisierung im Bild -> Differenzenquotienten
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 21
Merkmal Gradient
Bildmerkmale
T
y
yxg
x
yxgyxg
),(,
),(),(
Diskretisierung im Bild -> Differenzenquotienten
x
yxxfyxxfx
yxfyxxfx
yxxfyxf
x
yxg
2
),(),(
),(),(
),(),(),( Rückwärts-x-Gradient –Dx
Vorwärts-x-Gradient +Dx
Symmetrischer-x-Gradient SDx
Ergibt Faltungsmaske
1,0,12
1x
SD
und analog für y
1
0
1
2
1y
SD
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 22
Erinnerung: Faltung
Bildmerkmale
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 190
5
10
15
20
25
30
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
j k
knjmgkjKnmgnmKnmg ),(),(),(),(),(~
j
jmgjKmgmKmg )()()()()(~
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
g(m) K(m)
m=17
Eindimensional, diskret
2D, diskret
ddyxgKyxgyxKyxg ),(),(),(),(),(~2D, kontinuierlich
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 23
Erinnerung: Faltung
Bildmerkmale
2D, diskret, endl. Faltungskern
g1,1 g1,2 g1,3 g1,4 g1,5 g1,6 g1,7 g1,8 g1,9 g1,9 ...
g2,1 g2,2 g2,3 g2,4 g2,5 g2,6 g2,7 g2,8 g2,9 g2,9 ...
g3,1 g3,2 g3,3 g3,4 g3,5 g3,6 g3,7 g3,8 g3,9 g3,9 ...
g4,1 g4,2 g4,3 g4,4 g4,5 g4,6 g4,7 g4,8 g4,9 g4,9 ...
g5,1 g5,2 g5,3 g5,4 g5,5 g5,6 g5,7 g5,8 g5,9 g5,9 ...
g6,1 g6,2 g6,3 g6,4 g6,5 g6,6 g6,7 g6,8 g6,9 g6,9 ...
g7,1 g7,2 g7,3 g7,4 g7,5 g7,6 g7,7 g7,8 g7,9 g7,9 ...
g8,1 g8,2 g8,3 g8,4 g8,5 g8,6 g8,7 g8,8 g8,9 g8,9 ...
g9,1 g9,2 g9,3 g9,4 g9,5 g9,6 g9,7 g9,8 g9,9 g9,9 ...
... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ...
K-1,-
1
K-1,0 K-1 1
K0,-1
XK0,0
K0,1
K1,-1 K1,0 K1,1
Bild {gm,n}, 0 m M, 0 n N Faltungskern {Km,n}
K
K
K
K
J
Jj
K
Kkhshs knjmKknjmgnmg ),(),(),(~
)1,1()3,3(
)0,1()4,3()1,1()5,3(
)1,0()3,4()0,0()4,4(
)1,0()5,4()1,1()3,5(
)0,1()4,5()1,1()5,5(
),()4,4()4,4(~1
1
1
1
Kg
KgKg
KgKg
KgKg
KgKg
kjKkjggj k
Beispiel:m = 4, n = 4, mhs=0Jk = 1, Kk = 1, nhs=0
K-1,-
1
K-1,0 K-1 1
K0,-1
XK0,0
K0,1
K1,-1 K1,0 K1,1
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 24
Merkmal Gradient
Einige gängige Gradienten-Operatoren:
Bildmerkmale
121
000
121
101
202
101
121
000
121
101
202
101
111
000
111
101
101
101
10
01
01
10Roberts
Prewitt
Sobel
Isotrop
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 25
Merkmal Gradient
Gradienten-Operatoren verstärken Rauschen:Vorzugsweise Operatoren mit Glättungseigenschaften
Sobel
Alternativ: Tiefpassfilterung mit Gaussfunktion und anschließende AbleitungGaussfunktion
Bildmerkmale
)2()2(
121
000
121
101
202
101
131211333231 ggggggDDD xyx
)()(2
1
2
1
2
1),(
2
2
2
2
2
22
22
22
yGxG
ee
eyxG
yx
yx
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 26
Merkmal Gradient
Faltung mit der Ableitung der Gaussfunktion: Canny-Filter
Bildmerkmale
),(,1
,2
1),(
22
4
2
22
yxGyxyxeyxGyx
Separierbar in x und y
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 27
Merkmal Laplace
Laplace-Operator einer 2-dimensionalen Funktion f(x,y):Im Fall einer diskreten 3x3-Maske:
Laplace-Operatoren verstärken Rauschen:Glättung mit Gauss-Funktion
Nulldurchgänge des Hildreth-Marr-gefilterten Bildes geben Kantenpixel-Kandidaten.Überschwellige Pixel des Gradientenbildes geben Kantenpixel-Kandidaten.
Bildmerkmale
2
2
2
22
y
f
x
ff
)(4
010
141
010
3,22,32,11,22,222 gggggfDdamitD
2
22
2
22
2
22
2
22
22224
22
2222
1
),(),(
yxyx
yxyx
eyxe
yxfeyxfe
Hildreth-Marr- oder Mexican Hat-Operator
2
2
22
222
2
2
1
yx
eGH
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 28
Konturpunktextraktion beim Canny-Operator1. Faltung mit Filter
2. Im faltungsgefilterten Bild: Gradientenbetragsmaximum in Gradientenrichtung
Konturextraktion
),(,1
,2
1),(
22
4
2
22
yxGyxyxeyxGyx
dy
ydgyxGygycGyxG
)(),()(),(),(
BCD
AME
HGF
0°
45°90°135°
180°
225° 270° 315°
Gradienten-Richtung in M Maximumbedingung1°...22°, 158°...202°, 338°...360° b(A) b(M) und b(E) b(M)23°...67°, 203°...247° b(B) b(M) und b(F) b(M)68°...112°, 248°...292° b(C) b(M) und b(G) b(M)113°...157°, 293°...337° b(D) b(M) und b(H) b(M)
Wenn M Maximum, trage in Ergebnisbild Betrag und Richtung ein, sonst 0.
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 29
Konturpunktextraktion beim Canny-Operator1. Faltung mit Filter
Konturextraktion
Betra
g
Richtung
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 30
Konturpunktextraktion beim Canny-Operator2. Gradientenbetragsmaximum in Gradientenrichtung
Konturextraktion
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 31
Konturpunktextraktion beim Canny-Operator1. Faltung mit Filter
Betra
g
Richtung
Konturextraktion
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 32
Konturpunktextraktion beim Canny-Operator2. Gradientenbetragsmaximum in Gradientenrichtung
Konturextraktion
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 33
Kantenpixel-Verkettung
Vorgestellte Methoden liefern Intensitäts-DiskontinuitätenLeider nicht immer Objektränder: Zusätzliche Struktur undKantenunterbrechungen durch Rauschen und
Beleuchtungsdiskontinuitäten. Daher weitere Verarbeitung zur Zusammenstellung von
Kantenpixelkandidaten zu Rändern.
1. Unterdrückung zusätzlicher Strukturen:I.A. kleiner GradientenbetragVorgehen:Zwei Schwellen zur Unterdrückung: 1. Größere Schwelle zur Filterung ausgeprägter Konturpunkte2. Dort Verfolgung der Kontur mit kleinerer Schwelle
Konturextraktion
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 34
2. Verdünnung auf pixelbreite Strukturen:Durch Diskretisierung bis zu 3 Pixel breite Strukturen.Gütekriterium in 3x1-Maske in Gradientenrichtung (Lacroix)
3. Lokale Verarbeitung:Analyse in einer kleinen Nachbarschaft (z.B. 3x3 oder 5x5) um einenKandidaten:Alle ähnlichen Kandidaten werden verbunden. Rand von Pixeln ähnlicher Eigenschaft.Verwendete Maße: (1) Gradientenstärke und (2) Gradientenrichtung
TyxyxTyxgyxg ´)´,(),(´)´,(),(
Konturextraktion
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 35
Eckpunkte
Eckpunkt-Detektor
Zweck: Zuverlässiges Punkt-Merkmal von Objekten , weitgehend beleuchtungsunabhängig, z.B. für Tracking-Aufgaben.
Eckpunkt-Detektor nach Harris und StephensMatrix G gibt ein Maß für die lokale Variation des Grauwertgradienten:
Ein Eckpunkt liegt dann vor, wenn G gut konditioniert ist, d.h. wenn beide Eigenwerte der Matrix groß sind.Ausprägungsmaß für Ecken:
k: max. Verhältnis der Eigenwerte, für das R positiv ist. Harris und Stephens: k=25
Glättung. Gauss´schebedeutet
bilderGradientender Produkt punktweise dasist
und mit 2
2
(
yx
yx
yyx
yxx
II
y
II
x
II
III
IIIG
222
2222
2 1)(spur
1)det( yxyxyx II
k
kIIIIG
k
kGR
((
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 36
Histogramm-Auswertung
Bild eines Merkmals, das sich für das Objekt charakteristisch ausprägt:
Bildsegmentierung durch Schwellwerte
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
An
zah
l B
ild
pu
nkte
Helligkeit (Grauwert)
Hintergrund Objekt
Histogrammsegmentierung
Schwelle T
g(x,y) H(x,y)=0, wenn g(x,y) TH(x,y)=1, wenn g(x,y) T
SegmentierungMerkmalsbild
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 37
Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (1)
Verteilungsfunktionen (Wahrscheinlichkeitsdichten) eines Merkmals z für Objekt pO(z) und Hintergrund pH(z)
mit a priori Auftrittswahrscheinlichkeiten von Objektpunkten PO und Hintergrundpunkten PH. Bedingung PO + PH = 1.
Ergibt Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte p(z) = PO pO(z) + PH pH(z)
Im Gauss´schen Fall:
Bildsegmentierung durch Schwellwerte
2
2
2
2
2
)(
2
)(
22)( H
H
O
O z
H
H
z
O
O eP
eP
zp
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 38
Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (2)
Wahrscheinlichkeit einer Fehlzuordnung E:
Minimierung von E
Einsetzen, logarithmieren und vereinfachen ergibt quadratische Gleichung
mit
Bildsegmentierung durch Schwellwerte
HO
OHHOOHHOOHHOHO
HHOO
T
OOO
T
HH
P
PCBA
CTBTA
TpPTpPdT
TdE
dzzpPPdzzpPTE
ln2);(2;
0
)()(0!)(
)()()(
2222222222
2
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 39
Auffinden der Schwelle mittels Histogramm-Auswertung (3)
Vorgehen nach obiger Methode:
1. Trainingsstichprobe Bildmaterial2. Histogramm für Objektpixel hO
3. Histogramm für Hintergrundpixel hH
4. Berechnung von O und O aus hO
5. Berechnung von H und H aus hH
6. Berechnung von A, B und C:
7. Berechnung der Schwelle durch Lösung der quadratischen Gleichung
8. Anwenden der Schwelle auf neues Bildmaterial
Bildsegmentierung durch Schwellwerte
HO
OHHOOHHOOHHOHO P
PCBA
ln2);(2; 2222222222
02 CTBTA
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 40
Darstellung der Objekt-Berandung: Ketten-Code
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
2
2
1
10 0 6
7
Kettencode-Erstellung:Folge der Richtungen entlang der Kontur ab beliebigem Startpunkt.Beispiel: 22110067665654323
AnfangspunktinvarianzStartpunkt-Normierung:Verschiebe zirkular so, dass die Sequenz eine Zahl minimaler Größe bildet.Beispiel: 22110067665654323 00676656543232211
RotationsinvarianzRotationsnormierung:Erste Differenz: Anzahl der Richtungen, die zwei aufeinanderfolgende Elemente des Codes trennen.Beispiel: 22110067665654323 07070617071777717
Anfangspunkt- und RotationsinvarianzKettencode Rotationsnormierung StartpunktnormierungBeispiel: 22110067665654323 07070617071777717 06170717777170707
1
0
23
4
5 6 7
1
0
23
4
5 6 7
7
654
3
21
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 41
Darstellung der Objekt-Berandung: Polygon-Approximationen
Polygon-Approximationen einer digitalen Berandung mit beliebiger Genauigkeit.
Aber gesucht: Repräsentation der wesentlichen Berandungseigenschaften mit möglichst kleiner Anzahl an Segmenten.
Nicht-triviales Problem iterativer Suche.
Einfache Methode für Polygone mit minimalem Umfang:
1. BedeckungRandkurve mitrechtwinkligangeordnetenQuadraten
2. Gerade Verbindungen der Außenecken des „Quadrate-schlauches“
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 42
Beschreibung der Objekt-Berandung: Polardarstellung
r
Schwerpunkt
Ar
Schwerpunkt
A
r
r
A/2 A/2
A/2
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 43
Beschreibung der Objekt-Berandung: Momente
1. Umwandlung einer Berandung in eine 2. Berechnung Momente der Kurve
eindimensionale Kurve (z.B. Polardarst.)
r
Schwerpunkt
A
r
A/2
A/2
K
iii
K
ii
nin
K
iii
K
ii
nin
r
mit
r
ellungPolardarstBei
p
mit
p
1
1
1
1
)(
)()()(
:
)(
)()()(
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 44
Beschreibung der Objekt-Berandung: Umschreibendes Rechteck (Bounding box)
1. Große Halbachse: Gerade, welche die am weitesten entfernten Punkte der Objektberandung verbindet.
2. Kleine Halbachse: Zur großen Halbachse senkrechte kürzeste Gerade, so dass die Objektberandung im damit gebildeten Rechteck liegt.
3. Exzentrizität: Verhältnis von großer zu kleiner Halbachse
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 45
Beschreibung der Objekt-Berandung: Fourier-Deskriptoren
Rand ermittelt: Zähler s längs Berandung ergibt Menge {x(s),y(s)} s=0,...,L-1
Als komplexe Zahl: u(s) = x(s) + iy(s)L-periodisch für geschlossene Konturen.
DFT:
a(k): Fourier-Deskriptoren der Berandung.
Transformationseigenschaften:Identität u(s) a(k)Translation u´(s) = u(s)+u0 a´(k) = a(k)+ u0(k)Skalierung u´(s) = u(s) a´(k) = a(k) Anfangspunkt u´(s) = u(s-s0) a´(k) = a(k) exp(-is0k/L)Rotation u´(s) = u(s) exp(i2) a´(k) = a(k) exp(i2)
10,)()(
10,)(1
)(
1
0
2
1
0
2
Lkesuka
LsekaL
su
L
s
L
ksi
L
k
L
ksi
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 46
Beschreibung der Objekt-Berandung: Fourier-Deskriptoren
Ähnlichkeit der Form von Randkurven mit Fourier-DeskriptorenRandkurven u(s) und v(s) mit a(k) und b(k):
Für mittelwertfreie u(s) und v(s) ist u0=0 und mit
1
0
2)(
,,0 )()(min),,(
0
L
k
ki
sekbkasd
1
0
2
00,,,
00 )(v)(umin),,,(00
L
s
i
suuessssud
2)()()(min)(miningungMinimalbed die Damit wird kiekbkadd
10,)(v)(;10,)(u)(1
0
21
0
2
MkeskbLkeska
M
s
M
ksiL
s
L
ksi
)()(* )()()()()(durch und c(k) von Definitionmit kkiik
bak ekbkaekckbka
kk
kk
k
kk
kkc
kkc
kb
kkc
)cos()(
)sin()(tan und
)(
)cos()(man erhält 2
Ls /2 0
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 47
Beschreibung der Objekt-Berandung: Fourier-Deskriptoren
Erkennung
10,)()(1
0
2
11
Lkesuka
L
s
L
ksi
10,)()(1
0
2
22
Lkesuka
L
s
L
ksi
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 48
Beschreibung der Objekt-Berandung: Fourier-Deskriptoren
Erkennung
z.B. Canny
10,)()(:Kontur 1
0
2
LkesvkbC
L
s
L
ksi
nnn
…
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 49
Beschreibung der Objekt-Berandung: Fourier-Deskriptoren
Erkennung
2
2)(222
1
2)(111
)()(min)(min
)()(min)(min
cCthreshekbkadd
cCthreshekbkadd
nki
n
nki
n
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
Hough-Transformation: Abstimmungsverfahren zur Parameterschätzung
Gegegeben: eine parametrisierte Beschreibung (Modell) y= f(x, a0, a1,…, aN) der Koordinaten einer Objektberandung mit den Parametern a0, a1,…, aN, z.B. Geraden y= a0 + a1x.Ein Konturpunkt [x0,y0]T im Bild kann dann ein Element einer Schar von Modellausprägungen sein, welche die Beziehung y0=f(x0, a0, a1, …, aN) erfüllen.
So gehört zu jedem Konturpunkt eine Menge von Parametervektoren
bzw. eine Menge von Punkten im Parameterraum.
x
y
x0
y0
Geradenschar mit ,,
12
022
11
011
a
aa
a
aa
,,12
022
11
011,
0
0
00 a
aa
a
aaa
y
xyx
a1
a0
y0
1000 axya
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
Hough-Transformation: Abstimmungsverfahren zur Parameterschätzung
Gehören Punkte zur parametrisierten Modellfunktion, so schneiden sich ihre Punktemengen im Parameterraum. Dort ergibt sich die höchste Punktedichte.
Diskretisierung:Aufteilung des Parameterraums in diskrete Gitterzellen mit jeweils einem Kumulator -> Kumulatorraum.Für alle Konturpunkte: Inkrementierung der Kumulatoren der Gitterzellen, durch welche die Parameterkurve der Modellfunktion geht.
x
y
x0
y0
a1
a0
y0
1000 axya
Kumulatorraum
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
Hough-Transformation für Geraden
Parameterform Hessesche Normalform für Geraden
x
y
r sincos yxr
r
o
Kumulatorraum
Vereinfachung unter Zuhilfenahme der Richtung:Annahme, dass Konturpixel Element einer Geraden mit bekannter Richtung
K
KKc
xr
xyx
xxy
2
0
0
0
tan1
tan
tan
Erhöhung des Kumulators nur bei r,K
Kontur
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
Hough-Transformation für Kreise
Parameterformergibt drei-dimensionalen Kumulator.
Vereinfachung, wenn nur Kreise mit festem Radius gesucht werden:Um jeden Konturpunkt auf Kreis mit Radius R im xZ-yZ-Raum Kumulatoren erhöhen.
Weitere Vereifachung bei bekannter Richtung:Kumulator im xZ-yZ-Raum in Richtung K erhöhen.
222 ryyxx ZZ
x
y
o
xc
yc
o
o
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
Hough-Transformation für allgemeine Konturen
Beschreibung der Form durch Polarkoordinaten in Bezug auf Referenzpunkt (z.B. Schwerpunkt): Lookup-Tabelle für Richtung und Abstand in Abhängigkeit Grundlage ist die Konturpunkt-Richtung.
Erstellen einer Lookup-Tabelle mit c und rc in Abhängigkeit von K.Für jeden Konturpunkt: Erhöhung des Kumulators in Enfernung rc in Richtung c.
x
y
o
xc
yc
o
o
K1 c11 rc11
c12 rc12
c13 rc13
K2 c21 rc21
c22 rc22
Darstellung, Beschreibung und Erkennung von Konturen
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 55
Ortsraum - Frequenzraum
Signale können als Überlagerung (Summe) harmonischer Funktionen
mit Frequenzen undmit Amplituden F
dargestellt werden:F(): Darstellung im FrequenzraumDiskrete Funktion y(x0, x1, ..., xN-1)k
Diskrete Fourier-(Rück)Transformation
Frequenzraum-Darstellung gibt an,mit welcher Stärke die jeweiligenharmonische Funktionen im Signal vertreten sind.
Darstellung im Frequenzraum
Cosinus Funktionen Sinus Funktionen
io
N
kie
kiko
N
kikei
xN
kkFx
N
kkF
NkxkFxkFxy
2sin)(
2cos)(
2;sin)(cos)()(
1
0
1
0
y(x)
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 56
Ortsraum - Frequenzraum
Im Frequenzraum sind viele Operationen günstiger.Alle linearen Operationen z.B.
Hochpass, Tiefpass, Bandpass und Bandsperremit hoher Güte
Erkennung periodischer StrukturenManipulation periodischer Strukturen
Nach einer Bearbeitung im Frequenzraum Fe(k)→Fe
~(k) und Fo(k)→Fo~(k)
kann wieder in den Ortsraum zurück transformiert werden.
Darstellung im Frequenzraum
N
kxxy
NkF
N
kxxy
NkF
N
kxxy
NkFxy
NkF
N
xo
N
xe
xx
N
xo
N
xxe
2sin)(
1)(;
2cos)(
1)(
2;sin)(
1)(;cos)(
1)(
1
0
1
0
1
0
1
0
Signal y im Ortsraum, Abtastwerte y(i)
Analyse:TransformationOrtsraum Frequenzraum
Synthese:TransformationFrequenzraum Ortsraum
N
xkkF
N
xkkF
N
xkkFkFxy
o
N
ke
kko
N
kke
2sin)(
2cos)(
2;sin)(cos)()(~
~1
0
~
~1
0
~
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 57
Ortsraum – Frequenzraum
Polare Notation – komplexe Schreibweise
Darstellung im Frequenzraum
a(k)
b(k)
F(k)
)(
)(arctan)(
;)()()( 22
kF
kFk
kFkFkF
e
o
oe
Amplitude (Magnitude)
Phase)](sin[)()(
)](cos[)()(
kkFkF
kkFkF
o
e
Komplexe Schreibweise )()()( kiekFkF
|F(k
)|
N
kxxy
NkF
N
kxxy
NkF
N
kxxy
NkFxy
NkF
N
xo
N
xe
xx
N
xo
N
xxe
2sin)(
1)(;
2cos)(
1)(
2;sin)(
1)(;cos)(
1)(
1
0
1
0
1
0
1
0
N
xkekFxy
N
kxexy
NkF k
N
x
ix
N
x
i kx 2
;)()(;2
;)(1
)(1
0
1
0
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 58
Ortsraum – Frequenzraum
Filterung der abgetasteten Funktion y:1. Analyse
2. Multiplikation mit Filterfunktion
3. Synthese
Darstellung im Frequenzraum
Filterfunktion, Abtastwerte f(k)
)()()(~
)()()(~
kFkfkF
kFkfkF
oo
ee
N
kxxy
NkF
N
kxxy
NkF
N
kxxy
NkFxy
NkF
N
xo
N
xe
xx
N
xo
N
xxe
2sin)(
1)(;
2cos)(
1)(
2;sin)(
1)(;cos)(
1)(
1
0
1
0
1
0
1
0
N
xkkF
N
xkkF
N
xkkFkFxy
o
N
ke
kko
N
kke
2sin)(
~2cos)(
~
2;sin)(
~cos)(
~)(~
1
0
1
0
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 59
Ortsraum – FrequenzraumEigenschaften der Fourier-Transformation
Darstellung im Frequenzraum
Aus: Handbook of Computer Vision
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 60
Ortsraum – Frequenzraum
Eigenschaften der Fourier-Transformation
Darstellung im Frequenzraum
Aus: Handbook of Computer Vision
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 61
Ortsraum – FrequenzraumBezüglich Fourier-Transformation invariante Funktionen
Darstellung im Frequenzraum
Aus: Handbook of Computer Vision
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 62
Ortsraum – FrequenzraumWichtige Fourier-Transformationspaare
Darstellung im Frequenzraum
Aus: Handbook of Computer Vision
5_Informationsgewinnung_StatBild Seite 63
Ortsraum – Frequenzraum2-Dimensionale diskrete Fourier-Transformation eines Grauwertbildes
g(j,k)
Darstellung im Frequenzraum
1
0
1
0
)v(2
1
1
0
1
0
)v(2
)v,(1
)v,()k,(
),(1
),()v,(
N
j
N
k
kujN
i
N
j
N
k
kujN
i
eugN
ugFjg
ekjgN
kjgFug