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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 120

8.CALCUL PRATIQUE DES FORCES DE

LIAISON

8.1POUTRES DROITES

La poutre droite est un corps unidimensionnel caractris par un

axe qui est une ligne droi t et une section transversale.

8.1.1 Poutre droite simplement appuye

Est une poutre droi te avec un appui simple et une arti culation, les

appuis tant situsaux extrmits.

EXEMPLE 1 :Dterminer les ractions pour la poutre droite simplement appuye, figure 8.1.

Fig. 8.1

Caractrisation gomtrique et statique:

G1= 3x1 - (2x1 + 1x1) =0 gomtrique strictement invariable

E = 3 ; N = 3 ; E - N = 0 isostatique

Le systme des quations dquilibre:

x = 0 >> H1

M1= 0 >> V2M2= 0 >> V1

vrification : y

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


2/43


x = 0 ; H1- 10qa cos 30= 0 H1= 8.7 qa

M1= 0 ; -(q 6a) (a + 3a) - 10qa sin 308a + V29a = 0 V2= 7.11qa

M2= 0 ; +10qa sin 30a + (q 6a) (2a + 3a) - V19a = 0 V1= 3.89qa

vrification. : y = 3.89qa + 7.11qa - 10qa sin 30- (q 6a) = 0

8.1.2 Poutre droite en console

Est une poutre droite qui a un appui de type encastrement une

extrmit.

EXEMPLE 2 :

Dterminer les ractions pour la poutre droite en console, figure 8.2.


G1= 3 x 1 - (3 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable

E = 3 ; N = 3 ; E - N =0 isostatiqueLe systme des quations

dquilibre:

x = 0 >> H1

y = 0 >> V1

M1= 0 >> M1vrif. : MA

Fig. 8.2

x = 0 ; - H1+1

23q a

= 0 H1= 1.5qa

y = 0 ; V1- qa = 0 V1= qa

M1= 0 ; M1-1

23

1

33q a a

= 0 M1= 1.5qa

2

------------------

vrif. : MA= 1.5qa2+

a3

3

2a3q2

1 - 1.5qa 3a = 0

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


3/43


8.1.3 Poutre droite avec console

Est une poutre droi te avec un appui simple et une articulation

situent suivent laxe.

EXEMPLE 3 :

Dterminer les ractions pour la poutre droite avec console, figure 8.3.


G1= 3 x 1- (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable


Le systme des

quationsdquilibre:

x = 0 >> H1

M1= 0 >> V2

M2= 0 >> V1

vrif. : y

Fig. 8.3

x = 0 H1= 0

M1= 0 ; -(20 x 10) (5 - 2)30 x 4 + V2x 8 = 0 V2= 90 kN

M2= 0 ; ( 20 x 10)5 + 30 x 4 - V1x 8 = 0 V1= 140 kN

vrif. : y = 140 - (20 x 10)30 + 90 = 0

EXEMPLE 4 :Dterminer les ractions pour la poutre droite, figure 8.4.

Observation : lappuy simple (2) a une direction incline. Linconnue 2R est

dcompose en deux composantsverticale et horizontale.


G1= 3 x 1 - (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable


Le systme des quationsdquilibre:

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


4/43


x = 0 >> H1

M1= 0 >> R2

M2= 0 >> V1vrif. : y

Fig. 8.4

x = 0 ; H1- R2cos 30= 0 H1= 9.09 qa

M1= 0 ; -(q 3a) 1.5a - 2qa x 3a + R2sin 30 x 2a = 0 R2= 10.5qa

M2= 0 ; +(q 3a) (1.5a - a) - 2qa x a - V12a = 0 V1= - 0.25qa

vrif. : y = - (q 3a) - 2qa - 0.25qa +10.5qa sin 30= 0

8.2

STRUCTURES

8.2.1 Structure simplement appuye

EXEMPLE 5 :

Dterminer les ractions pour la structure de la figure 8.5.

Fig. 8.5

Caractrisation gomtrique et statique:G1= 3 x 1 - (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable


Les quations: x = 0 >> H1

M1= 0 >> V2

20pa

10pa

p2a

4a4a4a

21

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


5/43


M2= 0 >> V1vrif. : y

x = 0 ; H1+ 10 pa = 0 H1= 10 pa

M1= 0 ; - 20 pa 4a + V28a + (p 4a) 10a + 10 pa 2a = 0 V2= 2,5 pa

M2= 0 ; - V18a + 20 pa 4a + (p 4a) 2a + 10 pa 2a = 0 V1= 13,5 pa

vrif. : y = 13,5 pa - 20 pa + 2,5 pa + (p 4a) = 0

8.2.2 Structure en console

EXEMPLE 6 :

Vrifier vos calcules, fig. 8.6 :

Fig. 8.6


G1= 3 x 1 - (3 x 1) = 0 gomtrique strictement invariableE = 3 ; N = 3 ; E - N =0 isostatique

Le schma de forces:

Les quations et les rsultats:

4pa

2,5p

13,5p

10pa

20pa10pa

2a

2a2a4a4a

21

20pa

10pa

p2a

4a4a4a

1

4pa

20pa

10pa

2a

2a2a4a4a

V1

H1 1

M1

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


6/43


8.2.3 Structure avec trois appuis simples

EXEMPLE 7 :Vrifier vos calcules, fig. 8.7:

Fig. 8.7

Le schma de forces


G1= 3 x 1 - (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable


x = 0 >> H1

y = 0 >> V1

M1= 0 >> M1

vrif. : MA

4pa

20pa

10pa

2a

2a2a4a4a16pa

10pa 1

20pa2

A

20pa

10pa

p2a

4a4a4a

21

3

A

4pa

V2

V3

H1

20pa10pa

2a

2a2a4a4a

21

3

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


7/43


x = 0 >> H1

MA= 0 >> V2

M2= 0 >> V3

vrif. : y

Les

rsultats:

8.3POUTRES CONSSOLEE

EXEMPLE 8 :Dterminer les forces de liaisons pour la structure de la figure 8.8.

Fig. 8.8


G1= 3 x 3 - (3 x 1 + 2 x 2 + 1 x 2) = 0 gomtrique strictement invariableE = 3 x 3 ; N = 3 + 4 + 2 ; E - N = 0 isostatique

I . En appli quant la mthode disolation des corps,Le schma de forces est donne dans la fig. 8.8.a

La structure est compose par trois barres droites. La barre 1-2 est porte

droite ; la barre 2-3-4 est porteuse gauche et porte droite; la barre 4-5 est lecorps porteur.

En appliquant la mthode disolation des corps toutes les forces de liaisons

(extrieures et intrieures) sont mises en vidence.Pour chaque corps on va crit trois quations dquilibre.

2a6a4a 2a2a6a

p

54

32

110pa

20pa2

4pa

27pa

43pa

10pa

20pa

10pa

2a

2a2a4a4a

21

3

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


8/43


Fig. 8.8.a

Corps I

x = 0 H2= 0

M1= 0 V210a(p 6a) (4a + 3a) = 0 V2= 4,2 pa

M2= 0 - V110a + (p 6a) 3a = 0 V1= 1,8 pa

vrification: 1,8 pa(p 6a) + 4,2 pa = 0

Corps II

x = 0 H2H4= 0 H4= 0M3= 0 4,2 pa 2a + V46a(p 8a) (4a - 2a) = 0 V4= 1,27 paM4= 0 4,2 pa 8a - V36a + (p 8a) 4a = 0 V3= 10,93 pa

vrification: - 4,2 pa + 10,93 pa(p 8a) + 1,27 pa = 0

Corps IIIx = 0 H5= 0

y = 0 - 10 pa - 1,27 pa + V5 = 0 V5= 11,27 pa

M5 = 10 pa 4a +1,27 pa 4a + 20 pa2 + M5 = 0 M5= - 65,08 pa

2

vrification: M4= 20 pa2 + 11,27 pa 4a - 65,08 pa2

= 0

V2

2a2a 4a

432

8pa

H4

V4

V3

II

H2

3a3a4a

21 H2

V1

6pa

I

V2

2a2a

5

4 20pa2

H5

V5

III

M5

10pa

H4

V4

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


9/43


I I . Ou, en appli quant la mthode mixte:Le schma de forces comprit seulement les forces extrieures : actives et deliaisons (ractions), fig. 8.8.b.

Fig. 8.8.b

Pour calculer les ractions on commence aves les parties portes: 1-2, 2-3-4.

Le thorme de l'quilibre desparties

3gh4

1gh2

V0M

V0M

Une fois les ractionssur les parties portesconnues, il est possible de

dterminer les ractions sur la partieporteuse.

Le thorme de la solidification

Vrification densemble:

0M2 lquation de vrification doit tre une quation de tipe momentparce quune inconnue 5M est de tip moment.

Les rsultats:

2a2a3a3a4a 2a2a4a

5

432

110pa

20pa2

8pa

11,27p

10,93p

1,8p

4pa

65,1pa2

2a2a3a3a4a 2a2a4a

5

432

110pa

20pa2

8pa

M5

H5

V5V3V1

4pa

55

5

5

M0M

H0x

V0y

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


10/43


11/43


b) Le thorme de l'quilibre des parties

3dr2

1gh2

H0M

H0M

Vrification pour les forces horizontales : x

0a12xVa10xpa8a4xpa4

0a12xVa8xpa4a2xpa8

1

2

vrification: 0pa4)a4xp9)a8xp(pa8y

0a4xHa6xpa4a2xpa4

0a4xHa6xpa8a4xpa8

3

1

vrification: 0pa4pa4x Les rsultats:

8.4.2. Portique trois articulations, avec des appuis dnivels

EXEMPLE 10 :

Dterminer les ractions pour le portique trois articulations de la figure 8.10.

Fig. 8.10

4a

3

4a 2a 2a2a 2a

1

2

2a

4pa8pa

8pa

4pa

4pa

4pa H3

6a

2a

2a

2a

2pa

2a2a2a

p

32

1

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


12/43


On applique les mmes quations mais elles sont couples deux par deux. La

vrification est au finale en appliquant le thorme de la solidification:

0M

0M

dr2

1 >>

33H,V

0M

0M

gh2

3 >> 11 H,V

Vrification

y

x

Faire les calcules et vrifier les rsultats:

8.4.3.Portique trois articulations, avec des appuis totalement dnivels

EXEMPLE 11 :

Dterminer les ractions pour le portique trois articulations avec des appuis

totalement dnivelsde la figure 8.11.

4a

2a

2a

2a

2pa

2a2aa

32

1

2pa8pa

2a a

V1

H3

V3H1

4a

2a

2a

2a

2pa

2a2aa

32

1

2pa8pa

2a a

4,857p

7,143p

H3

2,714p

2,714p

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


13/43


Fig. 8.11

On applique les mmes quations, mais elles sont utilises de la manire

suivante :

31

3dr2

H0M

V0M

0M

0M

gh2

3 >> 11 H,V

Vrification

y

x

Faire les calcules et vrifier les rsultats:

10a

4a

2a 12a

p

321

6a4a

4a V3

H3

12pa

2a 6a 6a

32

1

12pa

V1

H1

6a4a

4a 6pa

12pa

2a 6a 6a

32

1

12pa

18pa

27pa

27pa

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


14/43


APPLICATION 8.1. :

Dterminer les forces de liaisons extrieures (les ractions)pour la structuredonne dans lafigure A.8.1

Fig. A.8.1

Solution :Caractrisation gomtrique et statique:

G1= 3 x 2 - (2 x 3) = 0 gomtrique strictement invariable

E = 3 x 2 ; N = 2 x 3 ; E - N = 0 isostatique

Le schma des

forces :

Les quations:

21

2ba,3

V0M

H0M

112

ha,3H,V

0M

0M

-----------------------

Vrification:

y

x

0a10xVa2xpa10a12pa2

0a4xHa2xpa10

2

2

0a2xpa10a2xpa2a10xV

0a2xpa2a4xHa10xV

1

11

--------------------

Vrification:

0pa2pa4,0pa6,1

0pa10pa5pa5

2pa

10pa2a

2a

2a10a

3

1 2

V1

H1

V2

H2

2pa

10pa

2a10a

2a

2a

3

12

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


15/43


Les rsultats:

APPLICATION 8.2. :Dterminer les ractions pour la structure donne dans lafigure A.8.2.

Fig. A.8.2

Solution :

La structure de la figure A.8.2 est compose par unportique encastre porteur etunportique trois articulations porte droite.


G1= 3 x 3 - (3 x 1 + 2 x 3 + 1 x 0) = 0 gomtrique strictement invariableE = 3 x 3 ; N = 2 + 2 + 2 + 3 ; E - N = 0 isostatique

On commence les calculs avec la partie porte 1-2-3, en appliquant le thorme

de lquilibredes parties :

11gh,3

gh,2

V,H0M

0M

Apres la structure porteuse, en appliquant le thorme de la solidification:

0,4p

1,6p

5pa5pa

2pa

10pa

2a10a

2a

2a

3

12

24pa22a

p

4a

4a 6a

4

32

1

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


16/43


0M

0y

0x

4

--------------------

Vrification: 3M

Le schma des

forces :

0a2xpa4a4xVa6xH

0a4xH

11

1

>> pa2V,0H 11

0a10xpa2a8xpa4a3xpa6pa24M

0pa6pa4Vpa200H

24

4

4

>> 2444 pa54M,pa8V,0H

Vrification: 0pa54a6xpa8pa24a3xpa6a2xpa4a4xpa2 22

Les rsultats:

V4

M4H4

4pa 6pa

24pa2

V1

H1

2a

4a

2a2a 3a3a

4

32

1

8pa 54pa2

4pa 6pa

24pa2

M4

2pa

2a

4a

2a2a 3a3a

4

32

1

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


17/43


APPLICATION 8.3. :

Dterminer les forces de liaisons intrieures et extrieures pour la structure de lafigure A.8.3

Fig. A.8.3

Solution :

La structure est compose par deux portiques trois articulations.La structure 4-5-6 est totalementporteet la structure 1-2-3 est porteuse.

La structure porte forme un contour ferm. Pour dterminer les ractions est

ncessaire douvrir le contour.

On doit commencer les

calcules avec la structure 4-5-

6. Donc est ncessaire dedterminer des forces de

liaisons intrieures dans les

articulations 4 et 6.

Structure 4-5-6portique

trois articulations avec desappuis dnivels:

0M

0M

dr5

4 >> 66 H,V

0M

0M

gh5

6 >> 44 H,V

Vrification

y

x

4a 6a

a

2a

2a

3a

p

6

5

4

3

21

2a2a 3a 3a

V4

H4

a

2a

V6

H6

4pa 6pa

6

5

4

4a 6aV1

H1

a

2a

3a

V2

H2

V4

V6H4

H66

4

3

21

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


18/43


La structure 1-2-3portique trois articulations avec les appuis au mme

niveau :

13

31

V0M

V0M

Vrification pour les forces verticales: y

3dr2

1gh2

H0M

H0M

Vrification pour les forces horizontales: x

Vrifier voscalcules :

APPLICATION 8.4. :

Dterminer les ractions en calculant le nombre minime des forces de liaisons

intrieures, fig. A.8.4.

Solution :La structure est compose par quatre sous ensembles:

- la barre 4-6 est une barre droite avec des articulations aux extrmits pas

charge- elle porte le nome le pendule et reprsente une seule liaisonne quia la direction de la barre ; la force de liaison port le nome effort axial ;- aussi la barre 3-5 ;

2a2a 3a 3a

4,5p

5pa

a

2a

H6

4pa 6pa

6

5

4

5pa

5,5p

4,5p

5pa

4a 6a

H1

a

2a

3a

H66

4

3

21

5pa5pa

5pa

5,5p

4,333p

4,333p

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


19/43


- la partie 6-5 est totalement porte;

- la partie 1-4 est simplement appuye et porte droite;- la barre 4-5 est totalement porte;

- la barre 2-4 est une console - la structure porteuse.

Fig. A.8.4

Le schma

des forces :

Les quations:

La structure 5-6

56

5

465

V0M

H0x

N0M

Vrification: y

4a

16pa2

8a4a

2a p

6

54

321

8a4a

2a

2a

V2

M2H2

V1

N354pa

N46

V5

H5

54

21

16pa2

2a

6

5

N46 V5

H5

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


20/43


La structure 1-2-3-4-5

- en appliquant le thorme dquilibre des partis:

1gh4

35dr4

V0M

N0M

- en appliquant le thorme de la solidification:

24

2

2

M0M

V0y

H0x

Vrification: CM

0a8xVpa16

0H0pa16a8xN

52

5

246

>> pa2V;pa2N 546

0a4xVa2x)a4p(

0a8xpa2a8xN

1

45

>> pa2V;pa2N 145

0a8xpa2a8xpa2Ma2x)a4p(a4xpa2

0pa2pa2Vpa2pa2

0H)a4p(

2

2

1

8a2a2a

2a

2a

4pa

4pa

V2

16pa2

H2

2pa

2pa4pa

N46

2pa

2pa

54

21

16pa2

2a

6

5

2pa

2pa

N46

C

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


21/43


>> 2221 pa16M;pa4V;pa4H

Vrificationdensemble: CM 0a10xpa2a2xpa4a4xpa4pa16a2xpa2pa16a2x)a4p( 22

APPLICATION 8.5. :

Dterminer les ractions en calculant le nombre minime des forces de liaisonsintrieures, fig. A.8.5.

Fig. A.8.5

Solution :La structure est compose symtrique et charge symtrique.

On peut faire le schma des forces par moiti parce quon connat que:

- les forces de liaison extrieures sont symtriques;

- dans larticulation qui est place sur laxe de la symtrie il y a seulement une

force de liaison intrieure la force horizontale H (la force verticale intrieure

est nulle).

10pa2 10pa2

6pa

6a

6a

2a2a 2a 2a2a2a

6pa

10pa10pa

31

2

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


22/43


Les quations:

12

1

21

H0M

V0y

H0M

Vrification: CM

Le schma des forces Les rsultats

0a2xpa10pa10a6xHa4xpa10

0Vpa10

0a6xHa2xpa10pa10a6xpa6

21

1

22

pa5H;pa11V;pa11H 112

Vrification: 0a2xpa10a12xpa5pa10a6xpa11a6xpa6 2

V1

H1

2a 2a 2a

6pa

10pa

H2

1

2

10pa2

6a

6a

10pa

5pa

2a 2a 2a

6pa

10pa

11pa

1

2

10pa2

6a

6a

C

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


23/43


9.POUTRES A TREILLIS

Poutre treillis est un systme plan de barres lies entre elles

par des rotules et qui est li avec le milieu extrieur par un

nombre de li aisons suf fi sant pour la fi xer dans son plan, fi g.

9.1.

Les poutres treillissont utilises comme poutres pour les ponts de voie ferre,

poutres pour les hales industrielles, pour les poteaux qui soutiennent les cbles,pour les grues, pour les coupoles des pavillons d'exposition et pour d'autres

structures grande porte.

Fig. 9.1

Les dnominations caractristiques sont: les nuds, les membrures (semelles)

infrieure et suprieure, les diagonales, les montants, les panneaux [15].

Les nuds sont numrots; les barres portent aussi des nombres diffrents.On remarque que ce systme de corps peut tre aussi compos spatial. Le terme

poutre treillis est utilis seulement pour les systmes plans.

Au point de vu de la forme les poutres treillis sont trs varies, fig. 9.2. Elles

peuvent tre classifies:

a) poutres treillis simples, fig. 9.2.a

b) poutres treillis composes, fig. 9.2.b

c) poutres treillis complexes, fig. 9.2.c.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

13

12

11

1

P2

V3,4

S2,4

I7,9D2,3

P1

nud

membrure(semelle)

infrieuremontant

panneau

membrure

(semelle)

suprieure

diagonale P3

14

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


24/43


Fig. 9.2

9.1HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES

Les hypothses qui sont en gnrale faites pour le calcul des poutres treillissont les suivantes :

1) Les nudssont considrs comme des articulations idalesen permettantsans aucune restriction la rotation, fig. 9.3.

REMARQUE :

En ralit, par la manire de raliser le nud, la liaison empche en certaines

limites la rotation, elle offre une certaine rigidit.

* L'effet de la rigidit des nuds change les rsultats dans des limites

acceptables, donc l'hypothse "le nud = articulation parfaite" est utilise pour

les poutres treillis avec une porte < 70.0 m.

Fig. 9.3

2)

Les axes des barressont concourants aux nuds (cela dpend de la solutionconstructive).

3) Les barres sont des lments droits entre chaque nud.

p. triangulaire p. trapzodale

(a)

p. parabolique

(b) (c)

6

5

4

3

2

1

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


25/43


4) Les forces extrieures effectivement appliques et les forces de liaisonextrieures agissent seulement dans les nuds.

Les consquences de ces hypothses:

1.

Toute barre d'une poutre treillis est une barre qui a deux articulations sesbouts et aucune force entre ces deux points, fig. 9.4.a.

a. b.

Fig. 9.4

2.

Chaque barre se trouve en quilibre sous l'action des forces de liaison dans

les articulations. Ces deux forces ont comme support l'axe de la barre, fig.

9.4.b

Conclusion:Chaque barre d'une poutre treillis est sollicite par une force qui a

la direction de la barre, nomme effort axial, qui peut tre de tension ou de

compression.

Par convention on travail avec l'effort qui agit sur le nud, pas au bout de la

barre, fig. 9.5.

Fig. 9.5

9.2

CARACTERISATION GEOMETRIQUE ET STATIQUE

Pour qu'une poutre treillis soit en quilibre, chaque nud de la poutre doit tre

N21

N12= effort axial

1

22

1 R2R1= R2

R1

i j RjRi

i j

barre

nudsRj

NjNi

NjNiRi

i j

i j RjRi

i j

barre

nudsRj

NjNi

NjNiRi

i j

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


26/43


27/43


9.3METHODES POUR LE CALCUL DES EFFORTS DANS LES BARRES.

Pour lespoutres treillis simples, les mthodes de calcul sont :- la mthode des nuds;

- la mthode de la section simple.

Nous allons considrer une poutre treillis avec 3 conditions extrieurs d'appuiset la premire tape est de dterminer ces 3 forces de liaison extrieures en

crivant 3 quations d'quilibre pour l'ensemble de la poutre. On applique le

thorme de la solidification, fig. 9.8:

0M

0M

0x

16

1

11616 V;V;H

vrification y

S

Fig. 9.8

1. La mthode des nuds.

Chaque nud de la poutre est isol. Il doit tre en quilibre

sous l'action des forces extrieures et des efforts des barres.

Dans chaque nud, les forces connues et inconnues forment un systme de

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 1615

14

13

12

11

V1 V16

H16

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


28/43


forces concourantes en plans. Donc on peut crire deux quations d'quilibre

pour chaque nud:

0y

0x

inud (9.2)

Soit lapoutre treillisdonne dans la figure 9.8. Dans quelques barres on aura

des efforts de tension, dans dautres barres on aura des efforts de compression,

mais pour les calcules on considre les efforts inconnus comme des efforts de

tension, fig. 9.9. Bien sure quaprs leffectuation des calcules rsulte lesens

rel des efforts (voire lapplication 9.2).

Fig. 9.9

Pour la poutre donne on peut crire 2x16=32 quations d'quilibre pourdterminer 29 inconnues - les efforts dans les barres. La diffrence entre 32

quations et 29 inconnues reprsente 3 quations qui doivent tre satisfaites,

donc la possibilit de vrifier les rsultats.

REMARQUE:

La succession des nuds n'est pas alatoire. Parce qu'on peut crire seulement

deux quations d'quilibre, il faut commencer et continuer par de nuds o il y a

seulement deux barres d'effort inconnu.

L'avantage de la mthode: elle permet de calculer les efforts dans toutes les

barres. Elle se trouve la base de tous les logiciels spcialiss dans le calcul de

ce type de structure en barre.

Le dsavantage:le grand nombre d'inconnues qu'on doit dterminer sans avoirla possibilit de vrifier la correction qu' la fin.

2. La mthode de la section simple

Cette mthode utilise le thorme d'quilibre des parties, encomprenant par partie un ensemble de barres et de nuds,

f ig. 9.10.b.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 1615

14

13

12

11

V1 V16

H16

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


29/43


a.

b.

Fig. 9.10

On pratique une section, fig. 9.10.a, qui doit satisfaire les conditions suivantes:

1. La section doit diviser la poutre en deux parties distinctes,

2. De sectionner au maximum trois barres d'effort inconnu.

On choit une de ces deux parties, fig. 9.10.b, qui doit tre en quilibre sousl'action des forces extrieures (connues) et des efforts dans les barres

sectionnes (inconnus).

Sur cette partie agisse un systme de forces coplanaires. On peut crire trois

quations distinctes d'quilibre.

L'avantage de la mthode: elle permet de calculer directement l'effort dans une

barre sans connatre les efforts d'autres barres.

La mthode est aussi utilise surtout pour vrifier les rsultats.

9.4L'IDENTIFICATION DES BARRES AYANT L'EFFORT EGAL A ZERO

Il y a les situations suivantes:

I.Si dans un nud se rencontrent deux barres de directions diffrentes, il y a

deux situations:

I.a On n'agit aucune force extrieure, les efforts dans ces deux barres sont

gaux zro, fig. 9.11.a.

ID

S

d

V1I

D

Sd

V1

CID

S

d

V1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 1615

14

13

12

11

V1 V16

H16

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


30/43


a. b. c.

Fig.9.11

I.b La force extrieure a la direction d'une barre, l'effort dans la deuxime

barre est gale a zro, fig. 9.11.b

II.Si dans un nud se rencontrent trois barres dont deux ont la mme directionet la troisime a une direction quelconque et sur le nud nagit aucune force

extrieure, fig. 9.11.c, les efforts dans les barres colinaires sont gaux et

leffort dans la troisime barre est nul.

APPLICATION 9.1. :

Dterminer les efforts dans les barres de la poutre treillis, fig. A.9.1.a

a.

Les tapes de calcul:

b.Fig. A.9.1

12

N1

N2x

X

Y

0

0

N2

2Px

y

N1

N

N

1

2

P

0

N3 N23

x

N1

N N

N

1 2

3

0

6a

3a 3a 3a

6P

0

0

2P

H2V2

H17

6

5

4

3

2

1

6a

3a 3a 3a

6P2P

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


31/43


1. Vrification de la condition pour laquelle la poutre est isostatique

2n (b + 3) = 2 x 7 - (11 + 3) = 0 gomtrique: strictement invariable

2. Dterminer les ractions dans les liaisons extrieures. Le schma des forcesest donn dans la figure 9.1.b

x:Verif

P11H0M

P11H0M

P8V0y

12

21

2

3. Identifier les barres ayant l'effort gal zro

V1,2 = 0le cas Ib ; V3,4 = 0le cas II

4. Dterminer les efforts dans les barres en utilisant une de deux mthodes de

calcul.

* en appliquant la mthode des nuds

555,0sin;832,0cos;895,0sin;447,0cos

Lisolation du nud 1 donne la valeur de leffort P11N 31

On peut passer au nud 2:

4232 N;N0y0x)2(

V2

H2

N23N210 N24

2

6a

3a

00

3a 3a

6P2P

2P

8P

11P 9P 9P

1,11P

10,81P

12,62P

12,62P

11P

11P

7

6

5

4

3

2

1

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


32/43


0sinNsinN0P8

0P11cosNcosN

3242

3242

>> P62,12N;P11,1N 4232

Maintenant le nud 3:

5363 N;N0y

0x)3(

0cosP11,1sinN

0P11cosP11,1NcosN

63

5363

>> P9N;P8,1N 5363

Le nud 4

P62,12NNP62,12N;0N 42644243

Le nud 5

P2N;P9NN0y

0x)5( 657535

Le nud 7

6757 NN0y

0x

)7(

0sinNP6

0NcosN

67

5767

>> P9N;P81,10N 5767

Lquilibre du nud 6 peut tre utilis commevrification:

N63

N64

N67N65

6

N53

N56

N57

2P5

N75

N76

6P

7

N32N340

N31

N36

N35

3

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


33/43


0P2sinP62,12sinP81,10sinP8,1y

0cosP81,10cosP8,1cosP61,12x)6(

APPLICATION 9.2. :

En utilisant les schmas suivants dterminer les efforts dans les barres notes de la poutre

a treillis de la figure A.9.2

a.

b.

Fig. A.9.2

Solution :Vrification de la condition pour laquelle la poutre est isostatique

2n (b + 3) = 2 x 16 - (29 + 3) = 0 gomtrique: strictement invariable

Le schma des forces est donn dans la figure 9.1.b.

La dtermination des ractions dans les liaisons extrieures:

2a

a

8P4P

a a a a aa a a

c

c

V16V1

H16

2a

a

8P 4P

a a a a aa a a

a

a

b

b

d

d10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 1615

14

13

12

11

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


34/43


y:Verif

V0M

V0M

H0x

116

161

16

P8V;P4V;0H 11616

Lidentification des barres ayant l'effort gal zro aucune barre

La dtermination des efforts dans les barres en utilisant une des deux mthodes

de calcul.

Pour dterminer les efforts dans les barres 5-6 et 4-6la section a-a

645

65C

N0M

N0M

P4NP79.1N

64

65

894.05a

a2sin;447.0

5a

acos

On peut dterminer leffort dans la barre 8-9 en deux modes :

i) la section b-b pour dterminer leffort dans la barre 7-9 et aprs lisolement

du nud 9 pour dterminer leffort dans la barre 8-9

N46N56

N57

V1

a

a

aa 8P

a a a2a

7

6

5

4

1

C

N68

N79

N78

V1

1,5a

a

bb

8P

a a a a2a

9

8

7

6

C

1

N98

N911N97

9

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


35/43


978 N0M

0y

0x >> 89119 N;N

P98.2N 97 P67.2N;P98.2N 89119

929.025.7a

a5.2sin;371.0

25.7a

acos

447.025.1a

a5.0sin;894.0

25.1a

acos

ii) la section b-b pour dterminer leffort dans la barre 6-8 et aprs lasection c-c pour dterminer leffort dans la barre 8-9

867 N0M

P20.3N 86

98D N0M

P67.2N 98

a5h;a2x

Pour dterminer leffort dans la barre

11-13la section d-d

111312 N0M

P58.3N 1113

N87

N86V16

N89

N11

9

cc

H16

h

1,5a

a

4P

x a aa a a

9

8

7

6

16

11

D

N1311

N1412

N1312H16

V16

a

a

dd

4P

a a a 2a

16

14

13

12

11

C

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


36/43


APPLICATION 9.3. :

Dterminerles efforts dans les barres notes de la poutre a treillis, fig. A.9.3.a

a.

b.

Fig. A.9.3

Solution :Vrification de la condition pour laquelle la poutre est isostatique

2n - (b + 3) = 2 x 15 - (26 + 4) = 0 gomtrique: strictement invariable

Observation : le schma statique de la structure est un portique troisarticulations.

Le schma de calcul est dans la figure A.9.2.b

3a

6a

3a

6P

3a 3a 3a3a 3a

20P6a

C

B

A

3a

6a

3a3a 3a 3a3a

3a

00 0

c

c

ba

a

20P

b

6a

HA

VA

HC

VC

HC

VC

HB

VB

3a

00000

6P

CA

B

C10

9

8

7

6

5

4

3

2

1312

11

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


37/43


Les ractions dans les liaisons extrieures: du point de vue statique la structure

est une ossature avec trois articulations totalement dniveles

0P10P20P10y

0P3P6P3x:Verif

P10V0M

P3)(H0M

P3)(H0MP10V0M

BA

BdrC

AB

A

gh

C

Les forces des liaisons intrieures ont les valeurs P10V;P3H CC

Les barres avec les efforts nuls sont 2-3, 3-4, 4-5, 5-6

10-11, 11-8, 8-9, 9-6

6-7

12-C, 12-B

Donc leffort dans la barre note 0N 54

La section a-a est utilise pour dterminer les efforts dans la barre 5-7

832,0cos

555,0sin

P18N

0a3xsinNa4xcosNa9xP10

N0M

75

7575

756

Leffort dans la barre 6-7 est zro, dtermin avec les rgles connues de la

thorie. Si nous ne connaissons pas a, on peut dterminer leffort dans la barre6-7 en deux modes :

HA=3P

aa N46

N560

N57

2a

2a

3a3a 3a

VA=10P

A

7

6

5

4

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


38/43


i) en appliquant la mthode

de la sectionsection b-b

Parce que leffort dans la barre 5-6 est connu on crit:

0N0M 76C

ii) en appliquant lisolement du nud7,

leffort P18N 57

9767 N;N0y

0x)7(

0P20sinNNsinN

0cosNcosN

976757

9757

>> 0N;P18NN 679757

Pour dterminer les efforts dans la barre 12-C, B-C et

B-13 on fait la section c-c ; leffort 0N C12 dtermin avec les rgles connues

CB

13B

N0y

N0x

0NsinNP10

0cosNP3

CB13B

13B

>> P16N;P71,6N CB13B

447,0cos;894,0sin

Si leffort C12N nest pas connu, on peut le dterminer en crivant une

quation de moment par rapport au point B. Il en rsulte 0N C12 .

HC =3P

N67

bb

N97

650

N64

3a3a 3a

2a

2a

2a

VC= 10P

C

97

6

5

4

6a

3a

0=N12C

NB13

NBC

HB=3PVB=10P

B

C

12

20P

N75 N79N76

7

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


39/43


10.EQILIBRE DES FILS

Le fil idal * est un corps matriel qui se caractrise par les proprits

sui vantes :

- i l a une dimension, la longueur, beaucoup plus grande que les

deux autr es dimensions de la section transversalecorps

unidimensionnel ;

- i l est inextensible ;

- i l est parfaitement fl exible* on peut considrer le fil comme un systme de petites barres

rigides articule entre elles [11, 33].

Ltude de lquilibre dun fil comporte deux aspectes:

-

la dtermination de la forme dquilibre;

- la dtermination de la tension.

Soit le fil AB, fig. 10.1, soumis aux forces distribues p . Une partie ds'PP

charge avec la force lmentaire dsp et les tensions T et TdT , est enquilibre. Les quations vectorielles dquilibre sont :

0M

0R

'P

Fig. 10.1

Il en rsulte:

- lquation diffrentielle dquilibre dun lment de longueur ds:

0pds

Td (10.1)

o: T est la tension, tangente au fil

p est la force distribue, qui agit sur le fil sur lunit de longueur

- la tension a la direction de la tangente au fil.

A

T

B

P

PTdT

ds

dsp

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


40/43


Lquation vectorielle (10.1) peut tre dcompose sur divers systme de

rfrence:1. si on prend un systme 2. si on prend un systme

cartsien intrinsque (Frenet)kPjPiPP zyx PPPP

0P)ds

dzT(

ds

d

0P)ds

dyT(

ds

d

0P)ds

dxT(

ds

d

z

y

x

0P

0PT

0Pds

dT

o est le rayon de courbure

Fil soumis aux forces concentres fig. 10.2.

Fig. 10.2

La forme dquilibre est une ligne polygonale. Dans chaque point application

dune force, la tension a une discontinuit.

APPLICATION 10.1. :

Pour le fil de la figure A.10.1.a, on doit dterminer:

- les tensions ;- la longueur ;

- la flche du point C

Fig. A.10.1,a

P1P2

A

B C

D

noeud

2

a A D

B C

P 2

P

a a a

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


41/43


Solution :

on exprime lquilibre pour lensemble, fig. A.10.1.b; langle est connu.

Fig. A.10.1.b

0cos3

Tcos1

T;0x

02

P3sinTsinT;0y 31

0sinaT32

PaPa2;0M 1D

a2,3CDBCABL10

1

a

fftg;tgaf

5

2tg;

3

P29T;

6

P55T

CBC

31

pour dterminer T2on isole le nud B

0cosTcosT;0x 21

6

101PT2

APPLICATION 10.2. :

Soit le fil de la fig. A.10.2, dterminer:- les tensions dans le fil;

- la flches dans les points B et D.

Solution :Parce que le fil est compos symtrique et charg symtrique, la forme dformeet les tensions sont aussi symtriques.

A D

B C

P

T1 T3

2

P

P

x

y

T1T2

noeud B

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


42/43


Fig. A.10.6

On exprime lquilibre pour lensemble, lquilibre de la partie CDE etlquilibre de nud C;

a

4

3ff

;P2

17TT;P

2

5TT

DB

3241

On peut faire une vrification en exprimant lquilibre de nud B:

17

4cos;

5

4cos

0

5

4P

2

5

17

4P

2

17x

a a a a

a

B

C

D

E

P

P

P

T1

T2 T3

T4

A

T1

a a a a

a

B

C

D

E

P

P

P

T1

T2 T3

T4

A

T4

P

x

y

T2T3

noeud C

P

x

y

T1

T2

noeud B

C

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E


43/43


APPLICATION 10.3. :

Un fil a le poids total G et la longueur totale l, fig. A.10.3.a. Une partie du fil setrouve sur un plan inclin avec langle par rapport lhorizontale et le

coefficient de frottement ; une autre partie de longueur l1 est librementsuspendue.

Dterminer la longueur l1.

a. b.

Fig. A.10.3

Solution :Parce quon suppose que le fil est idal, les problmes spciaux qui apparaissent

dans son point de courbure (au sommet du plan) ne sont pas pris en

considration, fig. A.10.3.a.

indication : *l

Gest le poids de lunit de longueur du fil

* lquilibre de la partie du fil qui se trouve sur le plan, sexprimepour les deux possibilits de la tendance de glissement

cossin1

cossinll

cossin1

cossinl 1

G,

1=?f

1

G

1

G

x

y

Ff

N

tg

O

P

I

T

D

E

PE

S

IT

E

Documents

5f_Calcul pratique des forces de liaison (1).pdf