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5 ． 3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性，关键是如何构造一个满足条件的李氏函数，而李氏第二法本身并没有提供构造李氏函数的一般方法。所以，尽管李雅普诺夫第二法在原理上是简单的，但实际应用并不是一件易事。尤其对复杂的系统更是如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方法来构造李氏函数。

3

5.3.1 线性定常连续系统

式中， x 是 n 维状态矢量， A 是 n×n 常数阵，且是非奇异的。在平衡状态 xe = 0 处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵 Q ，存在一个正定对称矩阵 P ，且满足矩阵方程

ATP + PA = Q 而标量函数 v(x)=xTPx 是这个系统的一个二次型形式

的李雅普诺夫函数。

Axx

1. 渐近稳定的判别方法 定理 5-9 线性定常系统

4

证明 充分性 如果满足上述要求的 P 存在，则系统在 xe = 0 处是渐近稳定的。

设 P 是存在的，且 P 是正定的，故选 v(x) = xTPx 。由塞尔维斯特判据知 v(x) > 0 ，则

xPxPxxPxxx TT)()( T

dt

dv

= (Ax)TPx + xTP (Ax)

= xTATPx + xTP Ax

= xT (ATP + PA)x

= xT ( Q) x < 0由定理 5-4 知，系统在 xe = 0 处是渐近稳定的。

5

0

T

dtee tt AA QP

00

TT TT

dtQeedtee tttt AQAPAPA AAAA

0

)(T ttQeed AA

QQ AA 0

T tt ee

必要性 如果系统在 xe = 0 是渐近稳定的，则必存在矩阵 P ，满足矩阵方程 ATP + PA = Q 。 设合适的矩阵 P 具有下面形式

那么被积函数一定是具有 t keλt 形式的诸项之和，其中λ 是矩阵 A 的特征值。因为系统是渐近稳定的，必有Re(λ) < 0 ，因此积分一定存在。

若将 P 代入上述矩阵方程，可得

6

1 ）如果任取一个正定矩阵 Q ，则满足矩阵方程 ATP + PA = Q 的实对称矩阵 P 是唯一的。若P 是正定的，系统在 xe = 0 处是渐近稳定的。 P 的正定性是一个充要条件。

3 ）为计算方便，在选定正定实对称矩阵 Q 时，可取 Q = I ，于是矩阵 P 可按下式确定：

ATP + PA = I

然后检验 P 是不是正定的。

2 ）如果 沿任意一轨线不恒等于零，则 Q 可取为正半定的，结论不变。

xQxx )()( T v

7

解：系统平衡点为坐标原点。 取 Q = I ，则矩阵 P 由下式确定 ATP + PA = I

例 5-8 设系统的状态方程为

试判断该系统的稳定性 。

2

1

2

1

11

10

x

x

x

x

10

01

11

10

11

10

2221

1211

2221

1211

pp

pp

pp

pp

2p11= 1p11 p12 p22 = 0 2p12 2p22 = 1

8

12

12

1

2

3

2221

1211

pp

ppP

01

2

12

1

2

3

02

3

2221

12112

111

pp

pp

p

可知 P > 0 ，正定，所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。而系统的李氏函数为

v(x) = xTPx = 0.5( 3x12 + 2 x1 x2 + 2x2

2 )

9

5.3.2 线性时变连续系统 1 ． 渐近稳定的判别方法定理 5-10 线性时变连续系统

0

)(

e

t

x

xAx

在平衡点 xe = 0 处，渐近稳定的充要条件是：对任意

给定的连续对称正定矩阵 Q(t) ，存在一个连续的对称正定矩阵 P(t) ，使得

并且 v(x,t) = xT(t)P(t)x(t) 是系统的李氏函数。

)()()()()()( T tttttt QAPPAP

10

证明 只证充分性，即如果满足上述要求的 P 存在，则系统在 xe = 0 处是渐近稳定的。

设 P(t) 是存在的，且 P(t) 是正定的，即 P(t)>0 。故选 v(x ， t)= x(t)TP(t)x(t) > 0 ，（正定的）。又

xPxxPxxPxx )()()(),( TTT ttttv

])()[()()(])([ TT xAxPxPxxPxA ttttt

xAPxxPxxPAx )()()()()( TTTT ttttt

xAPPPAx )]()()()()([ TT ttttt

xQx )(T t

)()()()()()( T tttttt APPPAQ

11

若是 Q 正定对称矩阵，则 是负定的。由定理 5-

4 知，系统在 xe = 0 处是渐近稳定的。 [ 证

毕 ]

),( tv x

2. 判断的一般步骤1 ）确定系统的平衡状态。2 ）任选正定对称矩阵 Q(t) ，代入矩阵方程

)()()()()()( T tttttt QAPPAP

解出矩阵 P(t) 。该矩阵方程属于 Riccati 矩阵微分方程，其解为

dttttttttt

t0

),()(),(),()(),()( T000

T ΦQΦΦPΦP

12

3 ）判断矩阵 P(t) 是否满足连续、对称正定性。若满足，则线性时变系统是渐近稳定的，且

v(x,t) = xT(t)P(t)x(t)

同样，为计算方便，可选 Q(t) = Q = I ，则 dtttttttt

t

t0

),(),(),()(),()( T000

T ΦΦΦPΦP

13

5.3.3 线性定常离散系统

式中， G 是 n × n 阶常系数非奇异矩阵。系统在平衡点 xe = 0 处渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵 Q ，存在一个正定对称矩阵 P ，且满足如下矩阵方程：

GTP G P = Q 并且 v[x(k)]= xT(k)Px(k) 是这个系统的李雅普诺夫函

数。

1. 渐近稳定的判别方法 定理 5-11 线性定常离散系统

0

)()1(

e

kk

x

Gxx

14

证明 设所选李氏函数为 v[x(k)]=xT(k)Px(k)因为 P 是正定的实对称矩阵，所以 v[x(k)] 是正定的。 v[x(k)]= v[x(k+1)] v[x(k)] =xT(k+1)Px(k+1) xT(k)Px(k) = [Gx(k)]TP Gx(k) xT(k)Px(k) = xT(k)[GTPG P ]x(k) = xT(k)[ Q ]x(k)由于 v[x(k)] 是正定的，根据渐近稳定的条件 v[x(k)] < 0 Q = GTPG P < 0对于 P > 0 ，系统渐近稳定的充分条件是 Q > 0 。

15

解：系统平衡点为坐标原点。 取 Q = I ，则矩阵 P 由下式确定 GTPG P = I

p11 (1 1) = 1p12 (1 1 2 ) = 0 p22 (1 2

2) = 1

例 5-9 设离散系统的状态方程为

试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。

)(0

0)1(

2

1 kk xx

10

01

0

0

0

0

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1

pp

pp

pp

pp

16

22

21

1

10

01

1

P

要使 P 为正定的实对称矩阵，则要求

1 < 1 2 < 1

也就是说，当系统的特征根位于单位圆内时，系统的平衡点是渐近稳定的。显然，这一结论与经典理论中采样系统稳定的充要条件是完全相同的。

17

5.3.4 线性时变离散系统

x(k+1)=G(k+1, k)x(k)

系统在平衡点 xe=0 处是大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正对称矩阵 Q(k) ，存在一个实对称正定矩阵 P(k+1) ，且满足如下矩阵方程：

GT(k+1, k)P(k+1)G(k+1, k) P(k) = Q(k)

并且 v[x(k), k)]= xT(k)P(k)x(k) 为系统的李雅普诺夫函数。

1. 渐近稳定的判别方法定理 5-12 线性时变离散系统

18

证明 只证充分性。设选取李氏函数为 v[x(k), k]= xT(k)P(k)x(k)

因为 P(k) 是正定的实对称矩阵， v[x(k), k] 是正定的。 v[x(k), k]= v[x(k+1), k +1] v[x(k), k]

= xT(k+1)P(k+1)x(k+1) xT(k)P(k) x(k)

= xT(k)GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)x(k) xT(k)P(k) x(k)

= xT(k)[GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k) P(k)]x(k)

= xT(k)[Q(k)]x(k)

Q(k)= [GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k) P(k)]

由渐近稳定的充分条件当 P(k)>0 正定时， Q(k) 必须是正定的，才能使 v[x(k), k] < 0 [ 证毕 ]

19

2 . 判断的一般步骤 1 ）确定系统的平衡状态。 2 ）任选正定对称矩阵 Q(k) ，代入矩阵方程 GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k) P(k) = Q(k)

解出矩阵 P(k+1) 。该方程为矩阵差分方程，其解的形式为

3 ）判断 P(k+1) 的正定性，若正定，则系统是渐近稳定的，且李氏函数为

v[x(k), k]= xT(k)P(k)x(k)

)1,0()0()1,0()1( T kkk GPGP

)1,()()1,(0

T

kiikik

i

GQG

20

5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用 5.5.1 状态反馈的设计 在控制系统的设计中，若需通过状态反馈使闭环系统渐近稳定，除可利用状态反馈极点配置的方法外，还可以采用李氏第二法来确定系统的校正方案。 设单输入、单输出线性定常系统的状态方程为

若选取二次型函数为李氏函数，即 v(x) = xTPx

BuAxx

xxxxx PPv TT)( = (Ax+Bu)TPx + xTP (Ax+Bu)

= xTATPx + (Bu)TPx +xTPAx +xTPBu

= xT (ATP+PA)x +[(Px)TBu ]T+ xTPBu

21

uv PBxxPAPAxx TTT 2)()(

如果选 P 使 ATP + PA 为负定的，同时选输入量为

u = kxTPB k > 0

此时， 为负定的，则系统是渐近稳定的。而输入 u= kxTPB 是状态变量的线性组合，也正是前面介绍的状态反馈。

)(xv

22

uxx 11

例 5-14 设系统的结构图如图所示，对应的微分方程为

显然系统处于临界等幅振荡状态，属于李氏意义下的稳定系统。若用李氏第二法来决定控制规律u(t) ，使系统变为渐近稳定的，如何选取校正方案。

解： 系统的状态方程为

1 s2

u x1

uxx

xx

12

21

23

取标准二次型函数作为李氏函数，即

v(x) =x12 + x2

2 = xTPx P = I uxxxxxv 22211 222)( x

02)( 22 kxv x

除平衡点 xe = 0 外， 其值均不恒等于零，故系统是渐近稳定的。

)(xv

当 u = kx2 k > 0

r 1 s

u x2 1 s

x1 1 s

u x2 1 s

x1

k

控制规律取自对 x1 的速度反馈，用速度反馈来镇定控制系统也是工程设计中常用的经典方法。

24

5.5.3 参数最优化设计 在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系统的控制品质。如误差绝对值积分（ IAE ）指标、误差平方积分（ ISE ）指标以及其他二次型积分指标。用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察在二次型积分指标最小意义下，如何利用李雅普诺夫第二法使系统的参数最优。

设线性系统的状态方程为其中系统矩阵 A()表示 A 的某些元素依赖于可调参数。参数的选择原则是使二次型积分指标

xAx )(

0

T tdJ xQx

达到最小，其中 Q 为正定或正半定常数矩阵。

25

由于矩阵 A() 所描述的系统应当是渐近稳定的，因此由指标 J 中给定的 Q 阵，可以通过李雅普诺夫方程 AT() P + PA() = Q 解出正定的含参数的矩阵 P() 。也就可以选取李氏函数为 v(x) = xTP() xxQxx T)( v

00

T

0)()(

t

tvdtvdtJ xxxQx

= xT(0)P() x(0) xT()P() x() = xT(0)P() x(0) = v(x)t=0

这样问题转化为选择什么样的参数使上式的 J最小。

26

0J

0J 0

2

2

J

或充分必要条件

解出。

这是函数求极值问题，可由其必要条件

27

0,)(0

22

dteeJ

例 5-16 设控制系统的结构图如图所示，假设系统开始是静止的。试确定阻尼比 > 0 ，使系统在单位阶跃函数 r(t) = 1(t) 的作用下，性能指标

达到最小，其中为给定的加权系数。

1

s (s + 2)

r ce

解： ⑴ 列写状态方程选取二阶系统的两个状态变量为

cex

crex

2

1

28

2

1

2

1

21

10

x

x

x

x

0

1

)0(

)0(

2

1

x

x

dtxxdteeJ )()(0

22

210

22

dtx

xxx

2

1

0 21 0

01

⑵ 二次型积分指标

0

01Q

（ 3 ）由李雅普诺夫方程求 P()由 ATP + PA = Q ，可解得

4

1

2

12

1

4

1

P

29

2122

21

21

T )(4

1)( xxxxxv

pxxx

)0()4

1()( 2

10 xvJ t

x

0J

（ 4 ）写出李雅普诺夫函数

（ 5 ）求 J 的最小值

令 ，即

因为 x2(0) = 0 ，得

04

11

J

2

2

1

30

结 束