问题提出t

57301p

2

对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置 . 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题 .

知识探究（一）：空间直角坐标系 思考 1: 数轴上的点 M 的坐标用一个实数 x 表示，它是一维坐标；平面上的点 M 的坐标用一对有序实数（ x ， y ）表示，它是二维坐标 .设想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表示？

O xxO x

(x,y) y

思考 2: 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？

三条交于一点且两两互相垂直的数轴

思考 3: 在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴： x 轴、 y轴、 z 轴，组成空间直角坐标系Oxyz ，在平面上如何画空间直角坐标系？

x

y

z

O

∠xOy=135°∠yOz=90°

思考 4: 在空间直角坐标系中，对三条数轴的方向作如下约定：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90 指向为 y 轴正方向，此时大拇指指向为 z 轴正方向，并称这样的坐标系为右手直角坐标系 .

x

y

z

O

思考 5: 在空间直角坐标系 Oxyz 中，其中点 O 叫做坐标原点， x 轴、 y轴、 z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，并分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 xOz平面 . 这三个坐标平面的位置关系如何？

x

y

z

O

思考 6: 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以点 D 为坐标原点建立空间右手直角坐标系，那么 x轴、 y 轴、 z 轴应如何选取？

A B

CDA1 B1

C1D1

x

y

z

思考 7: 在空间直角坐标系 Oxyz中，三个坐标平面将空间分成几个部分？

x

z

y

知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标

思考 1: 在平面直角坐标系中，点 M的横坐标、纵坐标的含义如何？

O x

(x,y)y

|x||y|

思考 2: 在空间直角坐标系中，设点 M为空间的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，垂足为 A 、B 、 C. 设点 A 、 B 、 C 在 x 轴、 y轴、 z 轴上的坐标分别为 x 、 y 、 z ，那么点 M 的位置与有序实数组（ x ， y ，z ）是一个什么对应关系？

A

O

x

M

y

z

x

x

C

OM

y

z

z

BO

x

M

y

z

y

思考 3: 上述有序实数组（ x ， y ， z ）称为点 M 的空间坐标，其中 x 、 y 、 z 分别叫做点 M的横坐标、纵坐标、竖坐标，这三个坐标的值一定是正数吗？

A

B

C

O

x

M

y

z

xy

z

思考 4:x 轴、 y 轴、 z 轴上的点的坐标有何特点？ xOy 平面、 yOz平面、 xOz 平面上的点的坐标有何特点？x 轴上的点 :(x,0,0)

xOy 平面上的点 :(x,y,0)

x

y

z

O

思考 5: 设点 M 的坐标为（ a ， b ，c ）过点 M 分别作 xOy 平面、 yOz 平面、 xOz 平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？

A

B

C

O

x

M

y

z

A(a,b,0)

B(0,b,c)C(a,0,c

)

思考 6: 设点 M 的坐标为（ x ， y ，z ）那么点 M 关于 x 轴、 y 轴、 z轴及原点对称的点的坐标分别是什么？

x

y

z

O

M(x,y,z)

N(x,-y,-z)

思考 7: 设点 A （ x1 ， y1 ， z

1 ），点 B （ x2 ， y2 ， z2 ），则线段 AB 的中点 M 的坐标如何？

1 2 1 2 1 2( , , )2 2 2

x x y y z zM

+ + +

理论迁移

例 1 如图，在长方体 OABC-D′A′B′C′ 中， |OA|=3,|OC|=4 ，|OD′|=2 ，写出长方体各顶点的坐标 .

A B

CO

x

A′y

z

B′C′D′

例 1已知长方体 ABCD－A′B′C′D′的边长 AB＝12，AD＝8，AA′＝5，

以这个长方体的顶点 A为坐标原点，射线 AB，AD，AA′分别为 x轴、

y轴和 z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．

思维导引： ① 坐标原点的坐标是什么？

②哪些点在坐标轴上？坐标轴上的点的坐标怎么确定？

③哪些点不在坐标轴上？不在坐标轴上的点的坐标怎么确定？

④若以 C点为原点，以射线 CB，CD，CC′方向分别为 x，y，z

轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？

规范解答：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0）， A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5）， D′（0，8，5），C′（12，8，5）