现金流

1《 Fixed Income Securities Analysis 》讲义， Copyrights © 2004 ，吴文锋

现金流贴现率

定价

风险管理寻求套利金融创新


第三讲债券的定价、合成与套利

国债的定价

债券的合成与套利

公司债和嵌入期权的债券定价


3.1 国债的定价

国债的定价


公司债与嵌入期权的债券定价


1 、给出到期收益率，计算债券价值

• 例子： 6 年期国债，面值 1000 ，息票率 3.25% ，年付息 1 次，如果到期收益率为 4 ％，问发行时候的价值多少？


现金流贴现公式：

•三个问题？– 到期收益率 y 如何影响债券当前价值？– 息票率 c 如何影响现值？– 到期期限 T 如何影响现值？

2

1...

1 (1 ) (1 ) (1 )T T

c c cp

y y y y


(1) 到期收益率的影响

• 到期收益率越大，债券当前价值越小• 含义：

– 贴现率越大，现值越小– 要求的回报率越高，当前要支付的成本越

低。


(2) 息票率的影响

• 先考虑一个问题：对于一个 5 年后到期的国债，息票率为

5 ％，每年付息 1 次，你希望持有到期，而且期望获得的到期收益率为 5 ％，问当前价值多少？


• 前面的例子中，息票率为 5 ％，到期收益率也为 5 ％时候，债券价值刚好等于面值。

• 问题：– 如果息票率变为 6 ％，价值比面值大呢？

还是比面值小？– 如果息票率变为 4 ％呢？


2

2 1

1...

1 (1 ) (1 ) (1 )

1 1 1 11 ...

1 1 (1 ) (1 ) (1 )

1 11 1*

(1 ) (1 )

T T

T T

T T

c c cp

y y y y

c

y y y y y

c

y y y

假设面值为 1 ，定价公式作个变换：


经济含义：

(1) 债券价值是 c/y 和 1 的加权平均。推论：

票面利率，到期收益率，与价格 YTM = coupon rate: par value bond

coupon rate > YTM : premium bond

coupon rate < YTM : discount bond


(2) 特例 1 ： c=0 时，即为零息券，价格即为时间为 T 的贴现因子

(3) 特例 2 ：到期期限趋近于无穷大时，即为 Perpetual bond ，永续债券

1

(1 )Tp

y

cp

y


Perpetual bond

• 永续债券：实际上是一种类似于优先股的权益性产品– 定期支付固定股息– 没有到期日，即永久性支付

• 成熟性公司的股价估值– 市盈率概念


• 附息债券的合成– 买入 1 个零息券– 买入当前的永续债券– 卖出到期日时候的永续债券


(3) 到期时间的影响

• 再看前面的例子， 3 年期国债，每年付息 1 次，息票率 7 ％，到期收益率 7 ％，如果发行后经过半年，问现在价值多少？


•计算方法：

•如果到了发行后 1 年的付息日呢？考虑付息之前和付息之后两个时刻？

5.103

100*%)71(

%)71(

107

%)71(

7

%)71(

7%)71(

%)71(

107

%)71(

7

%)71(

7

5.0

3215.0

5.25.15.0

P


•付息之前：

•付息之后：

107

%)71(

107

%)71(

77

21

P

100

%)71(

107

%)71(

721

P


两个问题

• 在两个付息日中间，债券的价值如何随时间变化呢？

• 在付息日，债券价值又是如何变化？


全价和净价

• 消除付息日当天付息对价格造成的跳跃式影响

• 市场报价引入净价的概念 (clean price)– 把原来用现金流贴现公式计算得到的称为

全价 (Full Price) ，也称为 dirty price

• 把全价拆成两部分：– 净价– 应计利息：全价 - 净价


应计利息 (accrued interest) 的计算

上次付息日下次付息日交割日再下次付息日

交割日前利息 ws

交割日后利息 wb

t1 t2

应计利息


• 应计利息相当于把利息的现金流均匀化，保证报价的连续性

• 再看前面的例子：– 3 年期国债，每年付息 1 次，息票率 7 ％，

到期收益率 7 ％，如果当前时间为发行后的半年，问现在的全价和净价分别多少？


•全价

•应计利息： 7*0.5=3.5•净价：全价 – 应计利息 =103.5-3.5=100

5.103

%)71(

107

%)71(

7

%)71(

75.25.15.0

P


•在一年后的全价：

•应计利息： 7•在一年后的净价：全价 – 应计利息 =100

107

%)71(

107

%)71(

77

21

P


Exercise:

• 进入中国国债投资网 http://www.gz998.com/

• 国债收益率：名称代码收益率03 国债 (8) 010308 4.73

03 国债 (11) 010311 4.46

04 国债 (1) 010401 2.2

04国债(3) 010403 4.16

04 国债 (4) 010404 4.49

04 国债 (5) 010405 2.66

04 国债 (7) 010407 4.48


04 国债 (3) 的资料债券名称： 2004 年记账式三期国债证券代码： 010403

上市日期： 2004-4-30债券发行总额

： 641.6 亿发行价格： 100 元债券期限： 5 年

年利率： 4.42

计息方式：付息付息日：每年 4 月 20 日到期日： 2009-4-20

交易市场：跨市场收市价： 100.94

收益率： 4.16

更新时间： 2005/02/02 15:08

如何根据上面信息计算得到

呢？


总结：

（ 1 ）计算应计利息；（ 2 ）全价 = 净价 + 应计利息（ 3 ）用现金流贴现公式计算出 YTM ；

214.4214.3214.2214.1214.0 )0416.1(

42.104

)0416.1(

42.4

)0416.1(

42.4

)0416.1(

42.4

)0416.1(

42.4414.104

0.214)-1*42.4474.3 （

104.414 = 100.94 3.474


Excel 2003 中的 Yield 函数

• YIELD(settlement,maturity,rate,pr,redemption,frequency,basis)

• 注意事项：– 使用函数 DATE(2008,5,23) 表示 2008 年 5 月 2

3 日• 相关函数

– YIELDDISC(settlement,maturity,pr,redemption,basis) ：不付息的债券的 yield

– YIELDMAT(settlement,maturity,issue,rate,pr,basis) ：到期日付息的债券的 yield


1 、 Settlement 是成交日2 、 Maturity 为到期日3 、 Rate 为年息票利率。4 、 Pr 为面值 $100 的价格 ( 净价 )

5 、 Redemption 为面值 $100 的有价证券的清偿价值


6 、 Frequency 为年付息次数：– 1 ：按年支付； 2 ：按半年期支付；– 4 ：按季支付

7 、 Basis 为日计数基准类型– 0 或省略： US (NASD) 30/360

– 1 ：实际天数 / 实际天数– 2 ：实际天数 /360

– 3 ：实际天数 /365

– 4 ：欧洲 30/360


举例：

• 期限： 5 年• 发行时间： 2004 年 4 月 30 日• 息票率： 4.42%• 每年付息一次• 当前时间 2005 年 3 月 6 日，当前债券价值为

104.5 元• 公式：Yield(date(2005,3,6),date(2009,4,30),4.42 ％ ,100.

94,100,1,3)


Clean price-yield-time

• 前面我们发现， 3 年期息票率为 7 ％的国债，每年付息 1 次，如果 yield = 7% ，那么当前净价、半年后净价和 1 年后的净价都等于 100 。

• 问题：– 是否可推测，如果 yield 不变，所有时间的

净价都是 100 呢？


息票利率, 到期收益率与债券价格随时间的变化

800

850

900

950

1, 000

1, 050

1, 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

时间

Premi um Par di scount


Price-Yield-Time Relationship

• Price of premium bond converges to par value at maturity (premium is getting lower)

• Price of discount bond converges to par value at maturity (discount is getting higher)


2 、给定到期收益率曲线，计算债券价格

• 例子：假定到期收益曲线向下倾斜，有效年收益率如下：

Y1 = 9.9%Y2 = 9.3%Y3 = 9.1%到期收益率是根据 3 个到期时间分别为 1 年、 2 年、3 年的零息债券的价格计算出来的。

• 问题：票面利率 11% 期限 3 年的债券的价格为多少呢？


69.104091.1

111

093.1

11

099.1

1132P


Exercise:

• 一个 3 年期债券，息票率 8 ％，每年支付利息 1 次，到期收益率为 9 ％，当前的即期利率为：– 1-Year: 6.5%, 2-Year: 7.0%, 3-Year: 9.2

%

• 问 :

这个债券值得花 980 元去购买吗 ?


A) 可以 , 因为它被低估大约 24.50 元 .

B) 不可以 , 它被高估大约 5.60 元 .

C) 不可以，它被高估 18.60 元 .

D) 可以，它被低估 15.42 元 .


• 总结：如果债券未来的现金流确定，则可根据到期

收益率曲线计算得到任何债券的价格。

• 问题：为什么要这么定价？

nn

nn

tt

t

t

y

M

y

CP

)1()1(10


3.2 债券的合成与套利

债券的定价




• 任何现金流量都看成零息债券的合成物– 比如，附息债券就是零息债券的合成物– 举例： 3 年期，息票率为 5 ％，每年付息

1 次的附息券相当于 3 个零息券• 反过来：

– 零息债券也是附息债券的合成物


• 例 : 有三个附息债券 Time A B C 0 -90.284 -103.004 -111.197 1 5 10 15 2 5 10 115 3 105 110 0• 问题：如何通过 A 、 B 、 C 来构建一个 1 年

期的零息债券，面值 100 ？


• 债券的合成（组合）方法：也就是如何决定附息债券的购买数量，使得组合的未来现金流量满足要求。

00110105

0115105

10015105

CBA

CBA

CBA

NNN

NNN

NNN


• 求解方程

1

15.24

3.25

C

B

A

N

N

N


• 如果两个金融工具的未来现金流相等，那么它们的现值也必相等：

• 所以零息债券价值为： 90.284*(-25.3)+103.004*(24.15)+ 111.197*(-1) = 92.16


合成债券的一般方法

QQQQQQ

QQ

QQ

WCNCNCN

WCNCNCN

WCNCNCN

2211

22222121

11212111


年金债券

• 年金债券 (annuity)– 指未来现金流等额 ( 单位 1) 、定期的债券。– 比如，分期付款购物，等额按揭贷款

未来现金流￥ 1 ￥ 1 ￥ 1 ￥ 1

0 1 2 3 4 时点


如何计算年金债券的现值？

•第一种方法 ( 期限结构 ) ：– 根据贴现因子求解，则 n 期年金现值 an 等于：

•第二种方法 ( 到期收益率为 RA)

•第三种方法 ( 用永续债券组合 ) ，结果同第二种方法

2

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

1 11

(1 )

n nA A A

nA A

aR R R

R R

1

n

n ii

a d


• 如果零息债券看成票面利率最小化 (0) 的债券

• 则年金证券可以被理解为票面利率极大化的债券– 面值为 0 ，票面利率无穷大

• 因此，一般附息债券可以被理解为这两种债券的合成物。


例 . 有三个债券 A,B,C, 偿还期都是 10 年 , 付息日相同 , 面值都是 100. 票面利率与价格如下 :– bond 票面利率价格到期收益率– A 8 117.83 5.62– B 6 103.64 5.52– C 4 87.46 5.68


• 例子中的附息债券 A 、 B 、 C 都可以被分解为两个部分 : 年金证券和零息债券

• 比如， A 债券：

可看成 8 个年金债券和 1 个 10 年期零息票债券组合而成。

10

10

1

100883.117 ddt

t


• 假设 A 债券的到期收益率为 x, 年金债券的到期收益率为 RA ， 10 年期零息票债券的到期收益率为 R10 ，则：

• 可得出：

1010

102

10102

)1(

100

)1(

8

)1(

8

)1(

8

)1(

100

)1(

8

)1(

8

)1(

8

RRRR

xxxx

AAA

之间和介于 10RRx A


• 附息债券到期收益率一定介于这两个证券到期收益率之间

• 票面利率越低，年金证券的权重越低，该附息债券的到期收益率越靠近零息债券；如果票面利率很高，年金证券的权重就越大，那么附息债券的到期收益率就越靠近年金证券


• 再回到例子，三个债券可写出三个式子：

• 有什么问题吗？

)3(1004460.87

)2(100664.103

)1(100883.117

1010

1010

1010

da

da

da


• [(1) + (3)]/2 ，称为 (4) 式子，再与 (2) 比较：

• 问题出在哪里 ?

)2(100664.103

)4(1006645.102

1010

1010

da

da


• 用债券 A 和债券 C 来合成 B 得出的价格要小于债券 B 的市场价格– 即相对于 A 、 C 而言，债券 B 的市场定价

过高。• 买进 1 份债券 A 和 C 的同时 , 卖出 2 份

债券 B, 则可获得套利


市场无套利定价理论认为：– 存在两个不同的资产组合，如果它们的未

来损益（ payoff ）相同，那么他们的现值应该相同


Example ：

• 年付息的国债，市场价格如下：期限 YTM Coupon 市场价格 1 3% 0 97.087

2 7% 0 87.344

2 7% 7% 100• 问题：根据上面三种债券的定价，市场是否存在套

利机会？如果存在，如何构造套利组合？


解答：第一种方法

• 各个债券的现金流如下： Time 0 1 2

债券 A -97.087 100 0

债券 B -87.344 0 100

债券 C -100 7 107

• 债券 C 由 0.07 份 A 和 1.07 份 B 合成，则： 97.087*0.07 + 87.344*1.07 = 100.2542

所以，相对于 A 和 B ，债券 C 被市场低估，应该买进 C 和卖出 A 、 B


• 套利组合构造如下： (1) 买进 1 份债券 C

(2) 卖出 0.07 份 A 和 1.07 份 B• 组合的成本为： -100+ 97.087*0.07 + 87.344*1.07 = 0.2542

• 由于将来现金流刚好为零，所以 0.2542 为净盈利。


第一种方法的另外写法：

•把各个债券看成零息债券的合成，则：

(1)*0.07+(2)*1.07 即为：

1

2

1 2

97.087 100* (1)

87.344 100* (2)

100.00 7* 107* (3)

d

d

d d

1 297.087*0.07 87.344*1.07 7* 107*d d


解答：第二种方法

• 把各个债券看成年金债券和零息债券的合成，则：

• (1)+(2) 可得： 100a2 =184.4, a2=1.844

• (1)+(3) 可得： 107a2 =197.087, a2 =1.842

)3(*100*700.100

)2(*100344.87

)1(*100*100087.97

22

2

22

da

d

da


• 则，相对于 A 和 B 债券，债券 C 定价偏低，可通过如下策略实现套利：

(1) 买进 A 和 C 债券各 1 份 ( 相当于 107a2)

(2) 卖出 A 和 B 债券各 1.07 份（相当于 -107a2)

• 最终的套利组合为：(1) 买进 1 份 C(2) 卖出 0.07 份 A 和 1.07 份 B

• 组合的成本为： -1*100+0.07*97.087+1.07*87.344=0.2544


• 上面的例子说明：– 有时候息票剥离，或者说把付息债券的利

息和本金分开来卖，则可赚取套利– It is possible to strip coupons from U.S.Treas

uries and resell them, and aggregates tripped coupons and reconstitute them into U.S. Treasury coupon bonds


Exercise：

• 假定到期收益曲线向下倾斜，有效年收益率如下： Y1 = 9.9%

Y2 = 9.3%Y3 = 9.1%到期收益率是根据 3 个到期时间分别为 1 年、 2 年、3 年的零息债券的价格计算出来的。已知票面利率 11% 期限 3 年的债券的价格为 $102 .

• 问题：是否存在套利机会，如何得到这一机会？


例子

• 有两种债券 A 和 B. 债券 A 在时点1,2,3 年各支付 $1.A 的当前价格为 $2.24 。债券 B 在时点1 和 3 支付 $1 ，在时点2 支付 $0,其当前价格为 $1.6.

• 问题– 1) 计算 2 年期零息债券的到期收益率– 2 ）如果存在债券 C ，在时点2 支付 $1 ，

价格为 $0.74. 如何获得 $10 的无风险收益。假设 A,B,C 都可以卖空。


• 答案 :

(1) r2 = 25%

(2) 买进 1 份 A ，卖空１份 B ，再卖空1 份 C ，则可获得无风险套利 $0.1 ，把这交易放大 100 倍，即可。


例子－不允许卖空：

• 三种债券 A 、 B 、 C 的价格和现金流量分别为

0 1 2A -90 100 0B -75 0 100C -155 100 100

• 假定不允许卖空• 问题：

1 ）是否存在一组贴现因子，与上述债券价格相对应？


2 ）张三如何构建一个成本最低的债券组合甲，该组合的现金流为：在 1 时点 200 ，在 2 时点 100 ？

3 ）张三为了让组合甲在 1 时点多产生 100 的现金流，那么该额外增加的 100 的利率（年复利）是多少？如果额外现金流发生在 2 时点，情况又怎样？


答案

1 ）不存在。因为联立方程

无解。2 ）张三有两个选择

– Choice one ： 1 个单位 A 和 1 个单位 C ，成本 245 ；– Choice two： 2 个单位 A 和 1 个单位 B ，成本 255因此，张三应该选择Choice one 。

21

2

1

100100155

10075

10090

dd

d

d


答案

3 ）如果组合甲的现金流变为：– 时点 1 ， 300 ；时点 2 ， 100 此时的最优组合是 2 单位 A 和 1 单位 C ，所以在原

有的 1 单位 A 和 1 单位 C 的基础上，只要再另外持有 1 单位 A 即可。所以年收益率为 100/90 - 1＝ 11.11%。

– 时点 1 ， 200 ；时点 2 ， 200

此时的最优组合是 2 份 C ，所以在原有的 1 单位 A和 1 单位 C 的基础上，卖出 1 单位 A 和买进 1 单位C ，此时的成本为： 155-90＝ 65 ，则收益率为：

65*(1+r)2 = 100, 解得 r=24.03%


Exercise

4 ）李四如何构建一个最低成本的组合乙，该组合的现金流为：在 1 时点 100 ，在 2 时点 200 ？

5 ）李四为了让组合在 1 时点多产生 100 的现金流量，那么该额外增加的 100 的利率（年复利）是多少？如果额外现金流量发生在 2 时点，情况又怎样？

6 ）二人收益率差别的主要原因是什么？


无风险套利与 Fisher 方程

• 6 年期国债，面值 1000 ，息票率 3.25% ，年付息 1 次，如果到期收益率为 4％，当前价值为 960.68 。

• 问题：– 假设 1 年后， 5 年期国债的 YTM 仍然为 4

% ，不用贴现率公式计算，能否写出 1 年后的债券价值 ( 付完利息后 ) ？


• 债券的 1 年投资回报率应该等于无风险利率 960.68*(1+4%)=32.5+ x

• Fisher 方程： B0(1+i) = c + B1

i=c/B0+ΔB/ B0，即 y=current yield+ΔB/ B0

• 葡萄园租金与名义利率


Fisher 方程的应用

• Current yield, coupon rate, YTM 三者孰大孰小？

• Exampl1 ：– 04 国债 03 期 , 息票率为 4.42%– 2005 年 3 月 6 日，价格为 104.5 元– 到期收益率为 4.16%– 比较这个国债的三者大小？


Example2:

• 2001 记帐 7 期 (20 年 )• 上市日期： 2001-8-20• 息票率为： 4.26% ，年支付 1 次• 到期日： 2021-8-20• 当前时间： 2005-3-6 ，价格： 93.85• 问题： Current yield, coupon rate, YTM 三者孰大孰小？


总结

利率期限结构

同类产品

定价无套利定价

原理

合成

套利“三镜”

衍生产品

理论

空间

时间


3.3 公司债与嵌入期权的债券定价

国债的定价

债券的合成与定价



例子

• “02电网 3” （上证代码： 111017 ）即 02 年发行的国家电力公司债，可参见附录1

• 三年期债券到期一次还本付息，票面利率 3.50% ， 2005 年 6 月 19 日到期

• 在 2005 年 2 月 21 日收盘时全价为 109.19• 问题：

– 这 109.19 是用即期收益率曲线定价得出的吗？


Yield Spread

• Yield Spread– 利差、到期收益率差– 指两种同样期限的债券的到期收益率的差

值，一般称为 Nominal Spread ，名义利差– 一般把要比较的到期收益率称为参考到期

收益率（ reference yield ），很多情况是国债 yield


• 举例：两种 10 年期的债券（可用前面例子）息票率价格到期收益率国债 6% 100.00 6.00%

债券 A 8% 104.19 7.40%

• 这两种债券的名义利差为：7.40%-6.00% ＝ 1.40% ，即 140 bp


利差的度量方法

• Absolute spread yield A － yield B

• Relative spread（ yield A － yield B ） / yield B

• Yield ratioyield A / yield B


Example:

• Two bonds, A and B have yields of 4.75%

and 5.5%, respectively. Using bond A as a

reference bond, we get three yield spreads.

Absolute = 5.5 – 4.75 = 75bp

Relative = 0.75 / 4.75 = 0.158

Yield ratio = 5.5 / 4.75 = 1.158


Yield Spread Measures

• Absolute yield spread is the most commonly used.– May stay at the same level if interest rates are

rising or falling

• The relative yield spread and yield ratio are better measures


Yield Spread Measures

Embedded options affect yield spreads

– Higher yield to offset risk

– Overstatement and understatement of the true yield


板块间利差与板块内利差

• 板块间利差 ( Intermarket yield spread)– 国债– 政府机构债券、市政债券– 公司债券– MBS– ABS– 外国债券

• 板块内利差 ( Intramarket yield spread)– on-the-run and off-the-run– AAA and BBB,etc.


举例

• 相对于美国国债的利差（ 7/23/99 ） , bp

issuer Rating 2-year 5-year 7-year 10-year 30-year

Merrill Lynch Aa3 90 115 125 148 167Citicorp Aa2 84 118 123 135 160Bank America Aa3 86 120 128 138 162Time Warner Baa3 87 111 120 138 158Philip Morris A2 97 120 135 155 175Sprint Baa1 85 105 116 140 158MCI/World com A3 74 95 106 119 136

问题：为什么不同公司债券利差不同？


S&P’s Fitch Moody’s

投资级别

极优 AAA AAA Aaa优 AA+ AA+ Aa1

AA AA Aa2

AA- AA- Aa3

良 A+ A+ A1

A A A2

A- A- A3

尚可 BBB+ BBB+ Baa1

BBB BBB Baa2

BBB- BBB- Baa3



投机级别

投机性 BB+ BB+ Ba1

BB BB Ba2

BB- BB- Ba3

高风险 B+ B+ B1

B B B2

B- B- B3



投机级别

难以存活 CCC+ CCC+ Caa1

CCC CCC Caa2

CCC- CCC- Caa3

即将倒闭 CC CC Ca

C C C

SD DDD

D DD

D


影响利差的因素

• 信用风险• 流动性• 税收待遇• 嵌入期权


信用利差

•信用利差 ( Credit Yield Spread )

– 不同信用评级的两种债券之间的到期收益率差，但其他方面都一样，包括期限，息票率等

• 信用利差与经济周期– During an expanding economy, credit spreads

decline– “Flight to quality” in weak markets/economy


信用利差

• 不同行业的利差（ 7/23/99 ）

Sector AAA AA A BBB

Industrials 90 97 128 152Utility 88 94 110 137Finance 94 120 134 158

Banks 120 130 145


流动性

• 流动性越好，利差越小– Greater liquidity = lower spread

• 影响流动性的因素– on-the-run and off-the-run– 规模– 投资需求– 其他风险


税收待遇

• 有些债券的利息是减税或免税的– 市政债券 (municipal bond) 就是免税的

• 不同投资者的税率也不同• 高税率的投资者偏好免税债券

– 这两个因素会影响投资者对债券的需求，从而影响不同债券的利差


• 税后收益率After-tax yield

税后收益率 = 税前收益率 *(1- 边际税率）• 等税收益率

Taxable-equivalent yield

等税收益率 = 免税收益率 /(1- 边际税率）


Example:

• 比如甲和乙投资者的边际税率分别为 18% 和 33% ，债券 A 和 B 的到期收益率分别为 7% 和 5% ，其中债券 B 为免税债券

• 问题：投资者甲和乙分别应该投资哪种债券？


实际中的税收问题很复杂

• 持有债券的性质不同时候，采用不同的会计处理方式，税收也不同– 交易性金融资产– 持有到期投资– 可供出售金融资产

• 不同机构，不同品种债券，税收不同– 基金和银行– 国债和其他债券


基金的债券投资税收

债券类型

营业税所得税

利息收入价差利息收入价差

国债免免免不征

金融债免免免不征

其他债券免免 20% 不征


银行的交易性金融资产账户

债券类型

营业税所得税


国债 5.5% 5.5% 免 25%

金融债 5.5% 5.5% 25% 25%

其他债券 5.5% 5.5% 25% 25%


银行的持有到期投资

债券类型

营业税所得税


国债免 - 免 25%

金融债免 - 25% 25%

其他债券 5.5% - 25% 25%


会计处理与债券征税的方式对比( 以银行为例 )

会计科目

交易性金融资产持有到期投资可供出售类金融资产

会计税法会计税法会计税法

交易费用

计入当期损益

计入投资成本

计入取得成本

计入投资成本

计入取得成本

计入投资成本

利息收入

按收到利息征税

按收到利息征税

实际利率法摊销

可按实际利率法或实际收到利息

实际利率法摊销

可按实际利率法或实际收到利息


会计科目交易性金融资产持有到期投资可供出售类金融资产

会计税法会计税法会计税法

公允价值变动

计入当期损益

不做调整不做调整不做调整计入资本公积

不做调整

处置收益价格－账面价值

卖价－(买价－持有期间收到的利息 )

无不做调整或将价差计入应纳税额

价格－账面价值，转回资本公积

卖价－ (买价－持有期间收到的利息 )


再回到公司债券的定价问题

• 名义利差：– 能用来比较公司债券与国债之间的信用风

险程度• 但存在一个问题：

– 如果是息票率为 10% 的 10 年期公司债，那么就要找息票率为 10 ％的国债？

– 而息票率为 10 ％的国债不一定存在


• 名义利差的缺陷：（ 1 ）没有考虑到期收益率的期限结构（ 2 ）对于嵌入期权的债券，未来利率改变时，现

金流会变化• 解决办法：

（ 1 ）零波动率利差 Zero-volatility

（ 2 ）经过期权调整的利差 OAS ， option-adjusted spread


Z- 利差 (静态利差 )

• Z- 利差– 零波动率利差 zero-volatility spread– 也称为静态利差 (static spread)

• 假设未来的利率不发生变化，即波动率为 0 ，那么此时债券的现金流也不发生变动

• 用于衡量非国债债券与国债债券之间的价格差异


Z- 利差的计算方法

• Z- 利差是债券所实现的收益率会在国债到期收益曲线之上高多少个基点。– 指假定投资者持有至偿还期– 不是债券与国债在到期收益率曲线一个点上的差

别，而是反映债券收益率曲线超过国债收益率曲线的程度。

nssn

nn

tt

sst

t

rr

M

rr

CP

)1()1(10


举例

• 例子：某一公司债券，票面利率 8% （半年付息），期限 3 年，价格 106.56 ，各个期限的即期利率如下。名义利差和 Z- 利差是多少？

Period years spot rate 1 0.5 3 2 1 3.3 3 1.5 3.6 4 2 3.8 5 2.5 4 6 3 4.2


（ 1) 先计算名义利差– 计算同期限同息票率国债的 YTM– 计算公司债券的 YTM

（ 2) 计算 Z 利差


• 根据即期收益率曲线，可得国债的价格为：

Period years spot rate cash flow

discount factor

present value

1 0.5 3 4 0.99 3.942 1 3.3 4 0.97 3.873 1.5 3.6 4 0.95 3.794 2 3.8 4 0.93 3.715 2.5 4 4 0.91 3.636 3 4.2 104 0.88 91.92 price 110.87


• 通过 EXCEL 过程，算出– 国债的 YTM=4.14– 公司债券的 YTM=5.66

• 名义利差：– 5.66 – 4.14 = 1.52 ，即 152 个 bp


• Z 利差计算过程– 分别加上一定的 Z- 利差后，对现金流进行

贴现，以使得价格等于贴现值总和– 采用数值算法


计算 Z －利差Period

spot rate treasury Zs-100 Zs-200 Zs-150

1 3 3.94 3.92 3.90 3.91

2 3.3 3.87 3.84 3.80 3.82

3 3.6 3.79 3.74 3.69 3.71

4 3.8 3.71 3.64 3.57 3.61

5 4 3.63 3.54 3.46 3.50

6 4.2 91.92 89.33 86.83 88.07

price 110.87 108.01 105.25 106.61


• 在 EXCEL 中的计算可得：– Z 利差为： 150bp


Exercise

• 一公司债，票面利率 4% ，期限 3 年，假设年付息 1 次，价格为 98.21 ，即期利率如下：

Period years spot rate 1 1 3.3 2 2 3.8 3 3 4.2• 问题：

– 名义利差和 Z- 利差分别是多少呢？


Period years spot rate cash discount present

factor value

1 1 3.3 4 0.9681 3.8722 2 2 3.8 4 0.9281 3.7125 3 3 4.2 104 0.8839 91.9243 price 99.51


• 答案：– 国债的 YTM ： 4.176%– 公司债的 YTM ： 4.653%– 名义利差： 4.653% - 4.176% = 47.7bp– Z- 利差： 47.5bp


• 问题：– 什么情况下名义利差会与 Z 利差相等？– 什么因素影响它们之间的差别？


• Z- 利差与名义利差间的差距取决于– 票面利率– 偿还期限– 本金偿还的结构

• 比如按揭贷款的等额还款– 利率期限结构


公司债券的定价过程

• 确定即期收益率曲线• 确定 Z-Spread

• 按照即期收益率曲线加上 Z-Spread ，进行现金流贴现


(2) 嵌入期权债券的定价

• 例子：“02电网 15” ，（上证代码： 111018 ）即 02 年发行的国家电力公司债，可参见附录1

• 票面利率为 4.86% ，按年付息， 2017年 6月 19日到期

• 假如在 2008 年 6 月 19 日后，允许公司以面值赎回债券

• 问题：能否用前面的方法进行定价呢？


• 问题：– 未来的现金流可能会产生变动– 因为有期权在作用– 比如，可赎回债券，赎回以后的现金流就变为 0 。

• 是什么因素导致未来现金流发生变动呢？


利率模型

• Interest rate model– 以概率对利率可能随时间而变化的情况进

行分析的模型– 比如，一般假设利率水平变化符合布朗运动（随机对数正态模型）

– 模型：二叉树模型、三叉树模型等


一个利率二叉树模型

• 模型的基本假设（ 1 ）下一期的利率波动只有两种可能的情况：上行（上升）或下行（下降）

（ 2 ）利率水平的分布为随机对数正态分布（ 3 ）利率的波动率保持不变

• 根据当前的利率水平和利率波动率可以画出利率变化的二叉树


两期的利率树

3.00%

4.4225%

3.6208%

6.9146%

5.6612%

4.6350%


• 利率树中的期，为时间单位，比如 1 年，半年等

• 出现两种变化的概率相等• 根据布朗运动假设，两种可能的变化值与波动率之间符合一定的关系：

其中： rH, rL 分别为两种可能利率水平中较大的一个和较小的一个，为波动率。

LH rer 2


债券未来现金流的变动

利率树债券未来现金流的变动债券估价

(2) 如何构造利率树？

(1) 如何根据利率树对债

券估价？


如何根据利率树估价？

• 先考虑一个不含期权的债券– 2 年期，息票率为 4 ％债券，利息按年支

付– 现金流如下：第 1 年末第 2 年末 4 104

– 未来现金流不随利率变化而变化


利率树和未来现金流树

3.00%

4.4225%

3.6208%

？

4

4

1004

1004

利率树未来现金流树


利率树和现金流树合并

? P0

3.00%

44.4225%

43.6208%

1004

1004

?P1.H

?P1.L


根据利率树贴现

1,

100 4

1 4.4225%99.5954

HP

1,

100 4

1 3.6208%100.3659

LP

9521.100

3.00%1

43659.100

3.00%1

45954.99

2

10

P


100.95213.00%

99.595444.4225%

100.365943.6208%

1004

1004


可赎回债券定价

• 再考虑可赎回债券– 2 年期，息票率为 4 ％债券，利息按年支

付– 在第 1 年末发行人可以 100 元赎回

• 这时候根据利率树如何定价呢？


?3.00%

99.595444.4225%

100.365943.6208%

1004

1004

根据可赎回条件，发行人会

以 100 赎回


? P0

3.00%

99.595444.4225%

10043.6208%

1004

1004

7748.100

3.00%1

4100

3.00%1

45954.99

2

10

P


简单总结：• 先算出第 1 年末的现金流• 根据可赎回条件，重新设定现金流• 再按照利率树进行贴现，求得现值


Exercise:

• 如果上面例子改为可回售债券– 2 年期，息票率为 4 ％债券，利息按年支

付– 在第 1 年末投资者可以 100 元回售

• 这时候如何根据利率树定价呢？


利率树债券未来现金流的变动债券估价

(2) 如何构造利率树？

(1) 如何根据利率树对债

券估价？


如何构造利率树

• 基本原则：– 先确定波动率（利率变化的标准差）– 每一期的两种可能变化，只需要确定一个

值 rL

– 根据新发行国债的价格对 rL进行无套利定价

LH rer 2


Example:

• 假设新发行国债的到期收益率如下，利息按年支付：期限到期收益率市场价格 1 年 3.0 100

2 年 3.5 100

3 年 4.2 100

4 年 4.7 100


题外话：回顾 Bootstrapping

• 运用 Bootstrapping 技术可求得即期利率：期限到期收益率市场价格即期利率 1 年 3.0 100 3.00

2 年 3.5 100 3.5088

3 年 4.2 100 4.2373

4 年 4.7 100 4.7689


• 问题：假设波动率 = 10%

如何根据新发行国债构建 1 期利率树？

3.00%

r1,H = r1,Le2

? r1,L


• 1 期利率树，只需要 2 年期债券– 到期收益率 3.5% ，市场价 100

• 采用试错法，求 r1L– 目标：构造出来的利率树，使得 2 年期债券定价

刚好等于 100

– 先假设 r1L =4% ，如果 P0 > 100, 则说明 r1L 偏小，需要增加 r1L；反过来，如果 P0 < 100, 则说明 r1L 偏大，需要减少 r1L；


• 当 r1,L = 4.0%

99.61083.00%

98.67893.504.8856%

99.51923.504.00%

100.003.50

100.003.50


• 减少 r1,L ，变为 3.50%

100.12473.00%

99.25693.504.2749%

100.003.503.50%

100.003.50

100.003.50


• 最后，得到无套利定价的利率树

100.00003.00%

99.11663.504.4225%

99.88343.503.6208%

100.003.50

100.003.50


Exercise:

• 如何构造两期的利率树

100.00003.00%

4.4225%

3.6208%

？ r2,LL


答案：

100.00003.00%

97.90904.204.4225%

99.69114.203.6208%

97.46104.206.9146%

98.61714.205.6612%

99.58434.204.6350%

100.004.20

100.004.20

100.004.20


• 为什么说利率树体现无套利定价原则？(1) 本身的构造使得新发行国债的定价等于市场价格(2) 利用利率树对无期权的债券的定价等于利用即期

收益率曲线的定价。• 对 (2) 的解释：

– 前面例子中： 2 年期，息票率为 4 ％，利息按年支付的债券，按利率树模型定价为： 100.9521

– 按即期收益率曲线定价：

9521.100

3.5088%)1(

4100

3.00%1

420

P


两个问题• 前面例子中，不含期权的息票率 4.0% ， 2 年

期债券价格为 100.9521– 但同样的债券，可赎回时其理论价格为 100.7748 ，

而可回售时，理论价格为 101.148

• 问题 1 ：– 嵌入期权与不含期权的债券的价格差别在哪里？

• 问题 2 ：– 市场中，可赎回债券的价格仅为 100.5 ，而可回售债券的价格也比理论价格低，为 100.9 ，为什么？


嵌入期权的债券价值分解

• 嵌入期权的债券价值的组成– 不含期权的债券价值– 期权本身的价值

• 期权本身的价值– 与期权的条件有关– 赋予发行人时，期权是负价值（变成成本）– 赋予债券持有人时，期权才有价值


• 可赎回债券：– 赋予发行人看涨期权– 债券持有人卖出一个看涨期权

• 可赎回债券的价值＝不含期权债券价值－看涨期权价值

• 期权成本＝不含期权债券价值－可赎回债券价值


• 可回售债券– 赋予债券持有人看跌期权– 发行人卖出一个看跌期权

• 可回售债券的价值＝不含期权债券价值＋看跌期权价值

• 期权价值＝可回售债券价值－不含期权债券价值


回到第二个问题

• 为什么可赎回债券的实际市场价格低于理论价格？回想利差的概念– 名义利差– Z－利差（信用风险、流动性风险引起）

• 方法：– 如何用利差概念来刻画嵌入期权的债券理论价值与市场价格之间的差异呢？


期权调整利差

• Option-Adjusted Spread – 将债券价值与市场价格之间的差异转化为

收益率之间的差异– 相对于某条基准收益率曲线– 利用利率树计算时，把整条利率树全部加

上 OAS ，使得等于市场价格


• Z – Spread (static spread)

• OAS

nssn

nn

tt

sst

t

rr

M

rr

CP

)1()1(10

? P0

3.00%+rOAS

99.595444.4225% +rOAS

10043.6208% +rOAS

1004

1004


例子：

• 3 年期，嵌入期权的公司债• 如果不考虑期权，采用基于国债的期限

结构直接贴现，计算得到的价格为 101

• 如果考虑期权，采用基于国债的利率树，计算得到的价格为 103

• 而市场价格为 100.5 ，这里面就包含 OAS


OAS 的经济含义

• 利差：– 信用风险– 流动性风险– 期权风险

• OAS ：已经扣除了期权风险– 信用风险– 流动性风险


Example:

• OAS 反映的风险补偿与基准利率曲线有关• 如果采用新发行国债价格来构造利率树，则

OAS 反映的是：– 非国债的信用风险– 非国债的流动性风险

• 如果采用公司本身的新发行债券价格来构造利率树，则 OAS 反映的什么风险补偿？

• 如果采用公司所属行业的新发行债券价格呢？


(3) 一般债券定价的总结

现金流贴现率

定价

到期收益率 YTM

即期收益率曲线

利差、 Z －利差、 OAS

无违约国债

信用风险

嵌入期权


定价过程

• Estimate the cash flows

• Determine the appropriate discount rate—risk-free rate + a risk premium

• Calculate the sum of present values of the estimated cash flows

• The value of a bond is a function of the present

value of future cash flow from coupons and the

principal


1 、计算即期收益率曲线

2 、估计 Z-spread 和 OAS

3 、估值模型计算

4 、输出债券价值

直接现金流贴现

二叉树模型

信用风险估计

流动性风险估计


Difficulties in valuing bonds

• Credit problems

• Embedded options—e.g. call features

• Variable rate coupons

• Conversion privileges

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