第三节　复合函数的导数第三节　复合函数的导数

一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则

第三模块 函数的微分学第三模块 函数的微分学

二、复合函数的求导举例二、复合函数的求导举例

一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则

定理 2 　设函数 y = f (u) ， u = (x) 均可导，

则复合函数 y = f ( (x)) 也可导 .

且

，)()( xufyx

.d

d

d

d

d

d

x

u

u

y

x

y

，xux uyy

或

或

x

u

u

y

x

yxx 00

limlimx

u

u

yxx

00

limlim

，xuxu

uyx

u

u

y

00

limlim

.xux uyy 即

证　设变量 x 有增量 x ，

.0lim0

ux

所以

由于 u 可导，　　　　　　　　　　　　　 相应地变量 u

有增量 u ，从而 y 有增量 y.

　　推论　设 y = f (u) ， u = (v) ， v = (x)

均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，

.xvux vuyy

且

例 1 　设 y = (2x + 1)5 ，求 y

.　　解　把 2x + 1 看成中间变量 u ，

y = u5 ， u = 2x +

1复合而成，,5)( 45 uuy u

.2)12( xux所以

.)12(1025 44 xuuyy xux

将 y = (2x + 1)5 看成是

由于

二、复合函数求导举例二、复合函数求导举例

例 2 　设 y = sin2 x ，求 y

.　　解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式，将 y = sin2 x 看成是由 y = u2 ， u = sin x 复合而成 .

而

,2)( 2 uuy u .cos)(sin xxux

所以

.cossin2cos2 xxxuuyy xux

这里，我们用复合函数求导法 .

　　解　 y = etan x 可以看成是由 y = eu ， u = tan

x 复合而成，所以

xuu

xux xuyy )(tan)e(

.esecsece tan22 xu xx

例 3 　设 y = etan x ，求 y

.

　　复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出 .

求 y .,1 2xy 设

解　将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中 .

. )1(2

1

2

1)( 2

122

1

也在心中运算

xuuyu

这样可以直接写出下式

xx xxy

)1()1(2

1 22

12 .

1 2x

x

例 4

例 5 　设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).

解 xxx

xf

)(1

1)( 2

4.

1

24x

x

例 6 ,sinln xy 设 求 y .

解　这个复合函数有三个复合步骤. ,sin ,ln xvvuuy

把这些中间变量都记在脑子中．

xx xx

xy )(sinsin

1)(

xxxx

)(cossin

1.cot

2

1x

x

例 7 ,e xxy 设 求 y .

解

xxx

x xxy )e()e(2

12

1

xx

xx xx )e()()e(

2

1 2

1

xxx xx )(e1)e(

2

1 2

1

).e1()e(2

1 2

1xxx

　　解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则 .

22

22

)1(

)1(1)(

x

xxxxy

2

2

2

11

221

1

x

xx

xx

.

)1(

1

)1(1

)1(

2

32

22

22

xxx

xx

例 8 , 求 y .21 x

xy

设

例 9 　设 y = sin(xln x) ，求 y .

解　先用复合函数求导公式， 再用乘法公式

y = cos(xln x) · (xln x)

= cos(xln x) · (x · (ln x) + x ln x )

= (1 + ln x)cos(x ln x) .

例 10 ])1[ln( 2 xx求

解　先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数 的求导 .21 x

])1[ln( 2 xx

)1(1

1 2

2xx

xx

])1(1[1

1 2

2

x

xx

22 11

1

1

x

x

xx

.1

12x

例 11 　设 y = sh x ，求 y .

解 ])e()e[(2

1

2

ee)sh(

xx

xx

xy

))(ee(2

1 xxx

.ch)ee(2

1xxx

即 (sh x) = ch x .

同理可得 (ch x) = sh x .

补证一下 (x) = x -1 .

，因为 ee lnln xxx

所以 (x) = (elnx)

= elnx · (ln x)

xx 1

e ln

.1 1 xx

x

例 12 , 222 zyxu 设 求证：

.1222

z

u

y

u

x

u

证明

xzyxzyxx

u)(

2

1 222

222

,222 u

x

zyx

x

, u

y

y

u

同理，得 ,u

z

z

u

代入等式左边得

,12

2

2

222222

u

u

u

zyx

z

u

y

u

x

u

所以有

.1222

z

u

y

u

x

u