材料力学

材料力学材料力学总复习总复习

主要知识点主要知识点::

··材料力学的研究对象：构件（变形体），杆、板、壳、块材料力学的研究对象：构件（变形体），杆、板、壳、块··强度、刚度、稳定性的概念强度、刚度、稳定性的概念··变形固定及其理想化的四种基本假设变形固定及其理想化的四种基本假设··变形的四种基本形式变形的四种基本形式

第一章绪论第一章绪论

第一章绪论第一章绪论重点内容重点内容·· 强度、刚度、稳定性的概念强度、刚度、稳定性的概念

所谓所谓强度强度是指构件受力后不发生破坏或不产生不可是指构件受力后不发生破坏或不产生不可恢复的变形的能力；恢复的变形的能力；所谓所谓刚度刚度是指构件受力后不发生超过工程允许的弹性是指构件受力后不发生超过工程允许的弹性变形的能力；变形的能力；

所谓所谓稳定性稳定性是指构件在压缩载荷的作用下，保持平是指构件在压缩载荷的作用下，保持平衡形式不发生突然转变的能力（例如细长直杆在轴向压衡形式不发生突然转变的能力（例如细长直杆在轴向压力作用下，当压力超过一定数值时，在外界扰动下，直力作用下，当压力超过一定数值时，在外界扰动下，直杆会突然从直线平衡形式转变为弯曲的平衡形式）。杆会突然从直线平衡形式转变为弯曲的平衡形式）。

第一章绪论第一章绪论重点内容重点内容·· 变形固体及其理想化的四种基本假设变形固体及其理想化的四种基本假设

连续性假设连续性假设微观不连续，宏观连续微观不连续，宏观连续

均匀性假设均匀性假设物体内各处的力学性能完全相同物体内各处的力学性能完全相同

各向同性假设各向同性假设固体在各个方向上的力学性能完全相同固体在各个方向上的力学性能完全相同

小变形假设小变形假设假设物体的几何尺寸、形状的改变与其总的尺寸相比是很微小的。假设物体的几何尺寸、形状的改变与其总的尺寸相比是很微小的。

第一章绪论第一章绪论重点内容重点内容·· 变形的四种基本形式变形的四种基本形式

1.1. 轴向拉伸（压缩）轴向拉伸（压缩） Tension (Compression)Tension (Compression)2.2. 剪切（剪切（ ShearingShearing ））3.3. 扭转（扭转（ TorsionTorsion ））4.4. 弯曲（弯曲（ BendingBending ））


··内力和截面法内力和截面法··轴向拉伸（压缩）时的内力图轴向拉伸（压缩）时的内力图··直杆扭转时的内力图直杆扭转时的内力图··梁弯曲时的内力图梁弯曲时的内力图

第二章杆件的内力分析第二章杆件的内力分析

第二章杆件的内力分析第二章杆件的内力分析重点内容重点内容·· 内力的概念、截面法内力的概念、截面法

这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力内力。。用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被截开的构用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被截开的构件截面上的受力情况，这样的方法称为件截面上的受力情况，这样的方法称为截面法截面法。。


截面法的归纳截面法的归纳

1.1.切一刀；切一刀；

2.2.取一半；取一半；

3.3.加内力；加内力；

4.4.列平衡。列平衡。


O x

z

yF1

F2

Fx

Fy

Fz

Mx

My

Mz

六个六个内力分量内力分量产生的效果可归产生的效果可归纳为四种基本变形方式的原因纳为四种基本变形方式的原因

11 、、轴力轴力 axial force; normal force axial force; normal force FFNN ~ ~ FFx x 沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）22 、、剪力剪力 shearing force shearing force FFss ~ ~ FFyy, F, Fz z 使杆件产生剪切变形使杆件产生剪切变形33 、、扭矩扭矩 torque torque MMx x 力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形

44 、、弯矩弯矩 bending moment bending moment MMy y , , MMzz 力偶，使杆件产生弯曲变形力偶，使杆件产生弯曲变形

第二章杆件的内力分析第二章杆件的内力分析重点内容重点内容·· 轴力图轴力图

F FN

截面

FFN N ~ ~ 轴向力，简称轴力轴向力，简称轴力

FFN N ~ ~ 拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位重合，单位 : : Ｎ　　Ｎ　　 kNkN


FFN N ~ ~ 轴向力正负号规定及其他注意点轴向力正负号规定及其他注意点11 、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号号22 、、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负

截面

FN FN 符号为正符号为正

截面

FN FN符号为负符号为负

33 、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截面有不同的轴力面有不同的轴力


2

4 kN 6kN

x

FN (kN)

－

+

－

0

-2

-4

2 kN

第二章杆件的内力分析第二章杆件的内力分析重点内容重点内容·· 扭矩图扭矩图

功率和转速计算外力矩的公式功率和转速计算外力矩的公式

)mN(9549)mkN(549.9)rpm(π2

)kW(60

n

P

n

P

n

PT


扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定

按照右手螺旋法则，按照右手螺旋法则，扭矩扭矩矢量矢量的指向与的指向与截面外法线截面外法线方向一方向一致为正，反之为负。致为正，反之为负。

T T

T

截面截面

nnMMxx

力矩旋转方向力矩旋转方向

力矩矢方向力矩矢方向


扭矩的计算及扭矩图的绘制扭矩的计算及扭矩图的绘制

11 、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；

22 、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；

33 、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；平衡方程，计算扭矩矢的大小；

44 、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。


－

-2

A CB D

2kN·m5kN·m 3kN·m

0

Mx（kN·m）

x

+

3

第二章杆件的内力分析第二章杆件的内力分析重点内容重点内容·· 弯矩剪力图弯矩剪力图

剪力和弯矩的正负号约定剪力和弯矩的正负号约定凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。

M

M为正

M

M为负

MM


上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以下方法预先设置剪力和弯矩为正。下方法预先设置剪力和弯矩为正。

B

F

ll1

m

m

剪力和弯矩均按图示设为正。剪力和弯矩均按图示设为正。

剪力和弯矩均按图示设为正。剪力和弯矩均按图示设为正。

取截面左右两侧的部分构件计算，取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相所得到的内力大小相等，方向相反，反，但符号是一样的但符号是一样的。。


剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标面位置而变化，若以横座标 x x 表示横截面在梁表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为可以表示为 x x 的函数。的函数。

)(ss xFF

剪力方程剪力方程

)(xMM

弯矩方程弯矩方程

依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图( x( x 轴轴 -- 横截面位置，横截面位置， yy 轴轴 -- 剪力弯矩剪力弯矩 ) ) 称为剪称为剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。

弯曲剪力、弯矩与外力间的关系弯曲剪力、弯矩与外力间的关系

对称性与反对称性的应用：

对称结构在对称载荷作用下， Fs 图反对称，M图对称；对

称结构在反对称载荷作用下， Fs 图对称，M图反对称。



不列剪力弯矩方程，画剪力弯矩图的基本步骤不列剪力弯矩方程，画剪力弯矩图的基本步骤11、正确计算出约束反力；、正确计算出约束反力；22、按照剪力图的相关规则快速绘出剪力图；、按照剪力图的相关规则快速绘出剪力图；33 、按照载荷集度、剪力、弯矩的微分关系绘出弯矩图的大、按照载荷集度、剪力、弯矩的微分关系绘出弯矩图的大致样式；致样式；

44、计算弯矩在各段的极值。、计算弯矩在各段的极值。


弯曲内力部分的其他需要注意的问题弯曲内力部分的其他需要注意的问题11、梁的类型、梁的类型 : : 简支梁、悬臂梁、外伸梁简支梁、悬臂梁、外伸梁22、利用叠加原理绘制剪力图和弯矩图、利用叠加原理绘制剪力图和弯矩图

44、剪力图和弯矩图的特点、剪力图和弯矩图的特点

此类铰接，铰处无法承受弯此类铰接，铰处无法承受弯矩，因此矩，因此 M M = 0= 0

此类铰接，此类铰接， M M 不一定为不一定为 00

33、组合结构和单个梁的剪力图和弯矩图、组合结构和单个梁的剪力图和弯矩图

当 q = 0时 FS(x)=常数，剪力图为一水平直线段 M(x) 为一次函数，弯曲图为一斜直线段

当 q =常数时（均布载荷） FS(x) 为一次函数，剪力图为一斜直线段

当 q > 0 时（分布载荷向上），单调上升当 q < 0 时（分布载荷向下），单调下降

M(x) 为二次函数，弯曲图为一抛物线段当 q > 0 时（分布载荷向上），抛物线上凸当 q < 0 时（分布载荷向下），抛物线下凸


当剪力 FS(x) = 0 时，弯矩取极值

当 FS(x) > 0 时，弯矩为递增函数

当 FS(x) < 0 时，弯矩为递减函数

集中载荷作用处，剪力有突变，弯矩连续，但呈现一个尖点

集中力偶作用处，弯矩有突变，剪力连续



··应力应变的概念及其相互关系应力应变的概念及其相互关系··轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力··圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力··平面图形的几何性质平面图形的几何性质··梁的弯曲正应力和切应力梁的弯曲正应力和切应力

第三章杆件的应力应变分析第三章杆件的应力应变分析

重点内容重点内容 ::

··应力应变的概念及其相互关系应力应变的概念及其相互关系


F1

F2p

pp 一般来说既不与截面垂一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，对其进直，也不与截面相切，对其进行分解行分解

垂直于截面的应力分量垂直于截面的应力分量 : : σσσ

相切于截面的应力分量相切于截面的应力分量 : : ττ

τ

σ σ 正应力（正应力（ normal stressnormal stress ））τ τ 切应力（切应力（ shearing stressshearing stress ））应力单位应力单位 : : 牛顿牛顿 // 米米 2 2 帕斯卡（帕斯卡（ PaPa ））1KPa=1000Pa 1MPa=1000KPa 1GPa=1000MPa1KPa=1000Pa 1MPa=1000KPa 1GPa=1000MPa

第三章杆件的应力应变分析第三章杆件的应力应变分析胡克定律胡克定律试验表明，对于工程中常用试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（构件只发生弹围内加载时（构件只发生弹性变形），若所取单元体只性变形），若所取单元体只承受单方向正应力或只承受承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存以及切应力与切应变之间存在线性关系。在线性关系。

EE x

xxx

,

GG

,

τ

γO

σx

εxO

G-G- 材料的切变模量材料的切变模量


·· 轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力


F F

F FN

横截面上的各点正应力亦相等，横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀且分布均匀

截面积A

有有 NFA

得到横截面上得到横截面上正应力公式为正应力公式为 ::

A

FN适用条件：适用条件：

AA 、弹性体，符合胡克定律；、弹性体，符合胡克定律；BB 、轴向拉压；、轴向拉压；CC 、离杆件受力区域较远处的横截面。、离杆件受力区域较远处的横截面。


A

FN 正应力，拉应力为“正应力，拉应力为“ +”+” ，压应力为，压应力为“－”“－”FFN N 轴力轴力 A A 横截面面积横截面面积

1Pa1m

1N2

1MPa1mm

1N2


··圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力


dAAd)(

O

Mx

p

x

I

M )(

截面上某点的切应力截面上某点的切应力

该截面上的该截面上的扭矩扭矩 -- 内力内力矩矩

所求的点至圆心的距离所求的点至圆心的距离

截面对圆心的极惯性矩截面对圆心的极惯性矩


p

x

I

M )( 对某一截面而言，对某一截面而言， MMx x 为常数，为常数， IIp p 也是常数，因此也是常数，因此横截面上的切应力是横截面上的切应力是的线性函数的线性函数

dAAd)(

O

Mx

圆心处圆心处

外表面外表面 maxmaxmaxmax

RI

M

I

RM

I

M

p

x

p

x

p

x

/max

max

取取 pp WRI /p

x

W

Mmax

WWp p ∶ ∶ 截面的抗扭截面模量截面的抗扭截面模量，单位，单位 mmmm33 m m33


p

x

I

M )( 按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图

Mx

O

max

max


D

OdA

d

dq 32

π 4DI p

16

π

2/

3D

D

IW p

p


纯剪切的切应力互等定理纯剪切的切应力互等定理

dxdx

dx

在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，这一规律成为这一规律成为切应力互等定理切应力互等定理。。单元体四个侧面均只有切应力而无正应力单元体四个侧面均只有切应力而无正应力纯剪切状态纯剪切状态。。

圆轴扭转时横截面上的应力状态是圆轴扭转时横截面上的应力状态是纯剪切状态纯剪切状态。。

重点内容重点内容::

··平面图形的几何性质平面图形的几何性质形心的位置；形心的位置；静矩；静矩；惯性矩；惯性矩；极惯性矩。极惯性矩。··组合截面图形的惯性矩计算（平行移轴公式）组合截面图形的惯性矩计算（平行移轴公式）



O z

y

dA

z

y

设该图形形心设该图形形心 ( ( yyc c , z, zc c ))

C

zC

y C

与均质等厚薄板重心坐标相同与均质等厚薄板重心坐标相同

A

Azz

A

Ayy A

CA

C

dd

A

Sz

A

Sy y

Cz

C

zS A Cy

y C

Cy AzS

由以上可知，若由以上可知，若 S S zz= 0= 0 和和 S S yy=0=0 ，，则则 y y cc= 0= 0 和和 z z c c =0=0 。图形对某轴的静。图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形矩等于零，则该轴必通过图形的形心。心。

11 、静矩与形心、静矩与形心

静矩的量纲静矩的量纲 [L][L]3 3 mm3 3 mmmm33


惯性矩和极惯性矩惯性矩和极惯性矩

O z

y

dA

z

y

定义：定义：

Az AyI d2

平面图形对平面图形对 z z 轴的轴的惯性矩惯性矩（二次矩）（二次矩）

平面图形对平面图形对 y y 轴的轴的惯性矩惯性矩（二次矩）（二次矩）

Ay AzI d2

若以若以表示微面积表示微面积 ddAA至原点至原点 OO 的距离的距离

Ap AI d2

图形对坐标原点图形对坐标原点 O O 的的极惯性矩极惯性矩


O z

y

dA

z

y

222 yzρ

zyp III

n

ii

n

iyiy IIII

1zz

1

惯性矩、惯性积、极惯性矩量纲惯性矩、惯性积、极惯性矩量纲 :: [L][L]44 mm4 4 mmmm44


64

π 4dII yz

z

y

Od 32

π 4

z

dIII yp

4

di

16

π 3dWp

32

π 3

z

dW


z

y

b

h

1212

33 hbI

bhI yz

66

22 hbW

bhW yz

第三章杆件的应力应变分析第三章杆件的应力应变分析平行移轴公式平行移轴公式

O y

z

C yC

zC

a

bAaII yCy

2

AbII zCz2


·· 梁弯曲时的正应力和切应力公式梁弯曲时的正应力和切应力公式


F F

A BC D

a a

FQ

x+

－

F

F

M

x+

Fa Fa

ACAC 、、 DBDB段既有剪力又有弯矩，段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为应力，这种情况称为横力弯曲横力弯曲

CDCD段只有弯矩，横截面上就只段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情有正应力而无切应力，这种情况称为况称为纯弯曲。纯弯曲。


C C'

M

A A'

B B'

中性层

横截面bb

aa

cc

cc cc 是中性层和横截面的交线，称为是中性层和横截面的交线，称为中性轴中性轴


zI

Myy )( 对对对对对对对对对对对对对对对对 MM 和和 IIzz 若都是确定的，当横截面的若都是确定的，当横截面的

弯矩为弯矩为正正时，则时，则 ( ( y y )) 沿截面高度的分布规沿截面高度的分布规律律 ::

截面

弯矩M

压应力

拉应力

受压一侧正应力为负，受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正受拉一侧正应力为正


zI

Myy )(

截面

弯矩M

压应力

拉应力

由公式可知，某一截面的最大正应力发生在由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。距离中性轴最远处。

maxmax yI

M

z

取取maxy

IW z

z

zW

Mmax


梁的正应力问题的基本解法梁的正应力问题的基本解法11 、计算约束反力；、计算约束反力；22 、画出剪力弯矩图；找到弯矩极大值的截面、画出剪力弯矩图；找到弯矩极大值的截面33 、计算截面图形的相关几何性质，形心位置，惯性矩等；、计算截面图形的相关几何性质，形心位置，惯性矩等；44 、计算应力（注意拉、压应力在截面上的不同位置）。、计算应力（注意拉、压应力在截面上的不同位置）。


矩形矩形截面梁的切应力公式截面梁的切应力公式

bI

SF

z

zQ*

QF 横截面上的剪力横截面上的剪力

zI 整个截面对中性轴的惯性矩整个截面对中性轴的惯性矩*zS 梁横截面上距中性轴为梁横截面上距中性轴为 y y 的横线以外的横线以外

部分的面积对中性轴的静矩部分的面积对中性轴的静矩b 所求切应力点的位置的梁截面的宽度。所求切应力点的位置的梁截面的宽度。


bI

SF

z

zQ*

y

z

b

h/2

h/2

y

dA

x

dx

在截面的两端，在截面的两端， y y = ±= ±hh/2/2 0在中性层，在中性层， y y =0=0

bh

F

bh

hFh

I

F Q

z 2

312

842 3

2Q

2Q

max

如图切应力分布规律如图切应力分布规律bh

F

2

3 Qmax


··拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形··圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转变形及相对扭转角··梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程··积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形··叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形

第四章杆件的变形计算第四章杆件的变形计算

第四章杆件的变形计算第四章杆件的变形计算重点内容重点内容 ::

·· 拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形

l

F F

l1

公式的适用条件公式的适用条件

EA

lFl N

11 ）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律

22 ）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时， l l 长度内其长度内其 FFNN 、、 AA 、、 l l 均应为均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。算。

第四章杆件的变形计算第四章杆件的变形计算F1 F2 F3

l1 l2 l3

n

i i

ii

EA

lFl

1

N

l

F F

l1

bb 1 横向应变横向应变

b

bb

b

b

1

泊松比泊松比泊松比泊松比、弹性模量、弹性模量 E E 、切变模量、切变模量 G G 都是材料的弹性都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系之间存在着下面的关系

)1(2

EG


A

B C

F

通过节点通过节点 CC 的受力分析可以判断的受力分析可以判断 AACC 杆受拉而杆受拉而 BCBC 杆受压，杆受压， ACAC 杆将伸长，杆将伸长，而而 BCBC 杆将缩短。杆将缩短。因此，因此， CC节点变形后将位于节点变形后将位于 CC33 点点

C1C2

C3

由于材料力学中的由于材料力学中的小变形假设小变形假设，可，可以近似用以近似用 CC11 和和 CC22 处的圆弧的切线来代处的圆弧的切线来代替圆弧，得到交点替圆弧，得到交点 CC00C0


··圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转变形及相对扭转角

dj

dx

p

x

GI

M

x

d

djq

相对扭转角相对扭转角jj的单位的单位 : rad: rad

l

p

x xGI

M0

dj

当为常数时：当为常数时：p

x

GI

M

p

x

GI

lMj

请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别

同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时 ::

n

i pi

ixi

GI

lM

1

j

单位长度扭转角单位长度扭转角qq的单位的单位 : rad/m: rad/m


·· 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程

梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x x 轴方向的直线变轴方向的直线变成一条在成一条在 xy xy 平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为挠曲线挠曲线。。

xx

y

A C B

w

q

C’ q

B’

wB

某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为该截面的该截面的挠度挠度

wwB

某截面的法线方向与某截面的法线方向与 xx轴轴的夹角称为该截面的的夹角称为该截面的转角转角

q

挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的 x x 方向的位方向的位置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于 x x 的函数。的函数。

挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程） )(1 xfw

转角方程转角方程 )(2 xfq


··积分法求梁的变形积分法求梁的变形

梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程zEI

xMw

)(

对上式进行一次积分对上式进行一次积分 ,,可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁 EI EI 为常数）为常数）

CxxMwEIEI d)(zq再进行一次积分再进行一次积分 ,,可得到挠度方程可得到挠度方程

DCxxxxMwEI d)d)((z

其中，其中， C C 和和 D D 是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过边界条件边界条件或者或者连续条件连续条件来来确定其大小。确定其大小。


A B

lx

边界条件边界条件

在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定F

0x 0| 0 xw 0| 0 xq

lx

A B

F0x 0| 0 xw 0| 0 xq

lx 0| lxw 0| lxq


连续条件连续条件

在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n n 段积分，则要出现段积分，则要出现 22n n 个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到 22n n 个相应的个相应的边界条件或连续条件将其确定。边界条件或连续条件将其确定。

021 || xax ww

l

a

A B

F

x2

bx1

021 || xax qq


··叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形

在杆件符合在杆件符合线弹性、小变形线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。。

用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材教材 778~798~79 页表页表 4-24-2计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应。（对应。（考试时若用到相应的结果会在试卷中给出考试时若用到相应的结果会在试卷中给出））


类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。

一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法逐段刚化法）。）。


AB C

q

l l/2

EI

怎样应用表怎样应用表 4-24-2 中已有的结果？中已有的结果？对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理首先刚化首先刚化 ABAB段，这样段，这样 BCBC 段段就可以作为一个悬臂梁来研究，就可以作为一个悬臂梁来研究，

l/2B

Cq

1Cw

1Cq 再刚化再刚化 BCBC 段，由于段，由于 BCBC 段被段被刚化，可将作用于刚化，可将作用于 BCBC 段的均布载段的均布载荷简化到荷简化到 BB支座，得到一个力和支座，得到一个力和一个力偶一个力偶

2

qlF

8

2qlM

力力 FF 直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶 MM 引起简支引起简支梁梁 ABAB 的变形，同样，段上的均布的变形，同样，段上的均布载荷也将引起载荷也将引起 ABAB段变形，段变形，

l/2

B

l

EI

8

2qlM

1Bq2Cq

2CwC


··应力状态的概念应力状态的概念··二向应力状态的解析法和图解法二向应力状态的解析法和图解法··三向应力状态的概念三向应力状态的概念··广义胡克定律广义胡克定律

第五章应力状态分析第五章应力状态分析

第五章应力状态分析第五章应力状态分析重点内容重点内容 ::

··应力状态的概念应力状态的概念

应力应力

对对对对对对对对对对

对对对对对对对对对对

对对对对

过一点不同方向面上应力的集合，过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的称之为这一点的应力状态应力状态（（ State of the StressState of the Stresses of a Given Pointes of a Given Point）。）。


xx

y

y

z

z

主单元体主单元体 (Principle body)(Principle body) ：：

各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体。

主平面主平面 (Principle Plane)(Principle Plane)

：：

切应力为零的截面。切应力为零的截面。主应力主应力 (Principle Stress (Principle Stress ）：）：

主面上的正应力。主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，

321


·· 二向应力状态的解析法和图解法二向应力状态的解析法和图解法

上述方向均为正方向上述方向均为正方向

y

x

x

yx

xy

y


y

y

x

x

yx

xy

a

a

aa

a sin2cos222 xy

yxyx

aa

a cos2sin22 xy

yx


aa

a sin2cos222 xy

yxyx

aa

a cos2sin22 xy

yx

y

y

x

x

yx

xyx

n

aa

a

第五章应力状态分析第五章应力状态分析应力极值应力极值

yx

xy

a

2

tan2 02

2

min

max

22 xyyxyx

xy

yx

a2

tan2 1

2

2

max

max

2 xyyx

第五章应力状态分析第五章应力状态分析应力圆的绘制

y

y

x

x

yx

xy

O

Step1: 确定点 D(x,xy)D(x,xy)

Step2: 确定点 D'(y,yx) yx= -xy

D'(y,yx)

Step3: 连接 DD' 与轴交于 C 点C

Step4: 以 C 为圆心， CD （ CD' ）为半径画圆。

第五章应力状态分析第五章应力状态分析利用应力圆确定a角上的正应力和切应力

y

y

x

x

yx

xyx

aa

a

D(x,xy)

D'(y,yx)

C

作法 :

x

xyx

x

D 点代表的是以 x 轴为斜面外法线的面上的应力

a

nn

2a

a

a

由 x 轴到任意斜面法线 n 的夹角为逆（顺）时针的a角，在应力圆上，从 D 点也按逆（顺）时针转动，且使对应的圆心角为 2a 。（ 2 倍角关系）

第五章应力状态分析第五章应力状态分析利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）

D(x,xy)

D'(y,yx)

C

注意 A1,A2 两点

y

y

x

x

yx

xy

A1A2

这两点的切应力为 0 主应力

1

2min22

max11

A

A

：：

?3 A3

03


A1A2A3

1

2

3

OA1A2 A3 2

13

OA1A2 A3

2

1

3

主应力是按照代数值排序的，而不是按照绝对值排序。

第五章应力状态分析第五章应力状态分析最大切应力

A1A2A3

3

2

1

G3

max

231

max


C A1A2

1

2

A3

G1

二向应力状态的最大切应力和三向应力状态最大切应力的区别

' m

ax

1

2

1

2

'max

G3

221

max

m

ax

1

3

2

1

3

2

max

22131

max

无论是二向还是三向应力状态，最大切应力的公式都应为 :

231

max


··广义胡克定律广义胡克定律

xz

z

yz

zy

zx

yx

xy

x

y

z

xy

x

y

y

z

x

xz

zx

yx

zy

yz

xyzz

zxyy

zyxx

E

E

E

1

1

1

切应变和切应力之间，与正应力无关，因此 : GGG

zxzx

yzyz

xyxy

以上被称为广义胡克定律。

主要知识点主要知识点 ::

·· 材料拉伸压缩时的力学性能材料拉伸压缩时的力学性能··电测法原理及其应用电测法原理及其应用

第六章材料力学性能和实验应力基础第六章材料力学性能和实验应力基础

第六章材料力学性能和实验应力基础第六章材料力学性能和实验应力基础重点内容重点内容 ::

·· 材料拉伸压缩的力学性能—低碳钢材料拉伸压缩的力学性能—低碳钢

L0

d0

0.8

试件中段用于测量拉伸变形，此段长度称为“标距” L0 ，两端较粗部分是夹持部分，为装入试验机夹头用。

长试件： 00 10dL 短试件： 00 5dL


对低碳钢 Q235试件进行拉伸试验，通过对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对

• 弹性阶段• 屈服阶段• 强化阶段• 局部变形（颈缩）阶段


对低碳钢 Q235试件进行拉伸试验，通过对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对

• 弹性阶段• 屈服阶段• 强化阶段• 局部变形（颈缩）阶段

掌握四个阶段的各自特点


O

a

p t

b s

e

b


（ 1）延伸率 %1000

l

l

0l ——断裂时试验段的残余变形， l——试件原长5%的材料为塑性材料； 5%的材料为脆性材料。

（ 2）断面收缩率 %1001

A

AA

1A——断裂后断口的横截面面积， A——试件原面积

Q235的断面收缩率 60%。

第六章材料力学性能和实验应力基础第六章材料力学性能和实验应力基础对对对对对对对对对对对对对对对对对对

O

a

p t

b

s

e

b

d

d'O

卸载后短期内再次加载 :

可见在再次加载时，直到 d 点以前的材料的变形都是弹性的，过了 d点才开始出现塑性变形。第二次加载时，其比例极限得到了提高，但是塑性变形和延伸率却有所下降，这种现象称为冷作硬化

第六章材料力学性能和实验应力基础第六章材料力学性能和实验应力基础对对对对对对对对对对铸铁拉伸的应力应变曲线

O 0.2

MPa

0.4

100

200

b


低碳钢压缩的应力应变曲线

O

s

拉伸

压缩

对对对对对对对对对对在屈服阶段以前，低碳钢压缩力学性能与拉伸力学系能相同。在屈服阶段以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，抗压能力也继续增高，因而测不出压缩时的强度极限。

第六章材料力学性能和实验应力基础第六章材料力学性能和实验应力基础对对对对对对对对

铸铁压缩的应力应变曲线

O 0.2

MPa

0.4

压缩

压缩后破坏的形式 :

拉伸

其他脆性材料抗压强度也远高于抗拉强度。

第六章材料力学性能和实验应力基础第六章材料力学性能和实验应力基础重点内容重点内容 ::

··应变电测法应变电测法

掌握电测法的原理；电测法的半桥，全桥接法；温度补偿片的作用；纯弯曲梁正应力的电测法实验方法和原理。


··压杆稳定的概念压杆稳定的概念··压杆临界力的确定，临界应力总图压杆临界力的确定，临界应力总图··提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施

第七章压杆稳定第七章压杆稳定



·· 压杆稳定的概念压杆稳定的概念

Fcr

稳稳定定平平衡衡

不不稳稳定定平平衡衡

临界状态

临界压力 : Fcr

过度

对应的

压力

压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称定，简称失稳失稳。。当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时，当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时，临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。

第七章压杆稳定第七章压杆稳定重点内容重点内容 ::

··临界应力总图临界应力总图

cr

0

s

p

s p

scr ba cr

2

2

cr

π

E

以以 Q235Q235 为例，为例，

10010200

10620π6

92

P

6.6112.1

235304s

aa=304MPa =304MPa bb=1.=1.12MPa12MPa ，，

·· 各种约束情形下的临界力计算：各种约束情形下的临界力计算：

cr crF A

cri

l

压杆的临界力

临界应力的计算公式与压杆的柔度

所处的范围有关。

p 2

2cr

E

s p cr a b •中柔度杆 :

s cr s •小柔度杆 :

注意 :— 长度系数（或约束系数） . 与杆端的约束情况有关 , 约束愈强，其值愈小，反之 , 其值愈大 .

•大柔度杆 :


·· 压杆的稳定计算有两种方法：压杆的稳定计算有两种方法：

安全系数法 :

crst

Fn n

F

stn 为稳定安全系数。

[ ] [ ]st

F

A j

j 为折减系数。

折减系数法 :


欧拉公式2

2

)( l

EIFcr

越大越稳定crF

•减小压杆长度 l

•减小长度系数 μ （增强约束）

•合理选择截面形状

•增大弹性模量 E （合理选择材料）

尽可能使 I 增大；尽可能使各方向值相等

··提高压杆承载能力的措施提高压杆承载能力的措施



··杆件的强度计算、刚度计算和稳定性计算杆件的强度计算、刚度计算和稳定性计算··剪切和挤压实用计算（了解概念及公式）剪切和挤压实用计算（了解概念及公式）··强度理论强度理论··组合变形组合变形··提高杆件承载能力的措施提高杆件承载能力的措施

第八章杆类构件静力学设计第八章杆类构件静力学设计

第八章杆类构件静力学设计第八章杆类构件静力学设计重点内容重点内容 ::

·· 杆件的强度刚度稳定性计算杆件的强度刚度稳定性计算

杆件在基本变形下，危险点处一般只有正应力或切应力，杆件在基本变形下，危险点处一般只有正应力或切应力，因此只要使用以下两式就可以进行强度计算因此只要使用以下两式就可以进行强度计算 ::

max max

根据工程要求的不同，强度计算一般有以下类型根据工程要求的不同，强度计算一般有以下类型 ::

强度校核强度校核 : : 验证危险点的工作应力是否满足强度条件；验证危险点的工作应力是否满足强度条件；

截面设计截面设计 : : 根据强度条件设计杆件的横截面尺寸；根据强度条件设计杆件的横截面尺寸；

许用载荷确定许用载荷确定 : : 确定杆件或结构所能承受的最大载荷；确定杆件或结构所能承受的最大载荷；

材料选择材料选择 : : 根据安全、经济的原则以及工程要求，选择合根据安全、经济的原则以及工程要求，选择合理的材料。理的材料。

第八章杆类构件静力学设计第八章杆类构件静力学设计拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算

拉压杆的特点是横截面上的正应力均匀分布，而且各点均拉压杆的特点是横截面上的正应力均匀分布，而且各点均处于单向应力状态，因此对于等截面直杆其强度条件为处于单向应力状态，因此对于等截面直杆其强度条件为 ::

A

FNmaxmax

FFNmaxNmax 是杆中的最大轴力（内力）。是杆中的最大轴力（内力）。


圆轴的强度计算圆轴的强度计算

圆轴扭转时，横截面上每点都处于纯剪切状态，切应力沿圆轴扭转时，横截面上每点都处于纯剪切状态，切应力沿径向线性分布，横截面上最大切应力位于圆轴表面，因此，等径向线性分布，横截面上最大切应力位于圆轴表面，因此，等直圆轴的强度条件是直圆轴的强度条件是 ::

p

x

W

M maxmax


梁的强度计算梁的强度计算

一般情况下梁的各个横截面上既有剪力又有弯矩，因此必一般情况下梁的各个横截面上既有剪力又有弯矩，因此必须要进行正应力强度计算和切应力强度计算，对于等截面梁，须要进行正应力强度计算和切应力强度计算，对于等截面梁，其基本公式是其基本公式是 ::

W

M maxmax

bI

SF

z

zQ*

maxmax


梁的强度计算梁的强度计算1) [1) []] 是弯曲许用正应力，作为近似，可取为材料在轴向拉压时是弯曲许用正应力，作为近似，可取为材料在轴向拉压时的许用正应力。的许用正应力。2) 2) 必须根据必须根据弯矩图弯矩图和和剪力图剪力图综合判断危险面，然后再确定危险综合判断危险面，然后再确定危险点。梁上可能存在三种危险点：正应力最大的点；切应力最大点。梁上可能存在三种危险点：正应力最大的点；切应力最大的点；正应力和切应力都比较大的点。的点；正应力和切应力都比较大的点。3)3)若材料的许用拉应力和许用压应力不相等（如铸铁等脆性材若材料的许用拉应力和许用压应力不相等（如铸铁等脆性材料），以及中性轴不是截面的对称轴，则需分别对最大拉应力料），以及中性轴不是截面的对称轴，则需分别对最大拉应力和最大压应力作强度计算。和最大压应力作强度计算。4)4) 对于实心截面杆，在一般受力情况下，正应力强度起控制作对于实心截面杆，在一般受力情况下，正应力强度起控制作用，不必校核切应力强度。但对于薄壁截面，如焊接工字型钢用，不必校核切应力强度。但对于薄壁截面，如焊接工字型钢梁，以及集中载荷作用在靠近支座处，从而使梁的最大弯矩较梁，以及集中载荷作用在靠近支座处，从而使梁的最大弯矩较小而最大剪力较大等这些情况，则需要校核切应力强度。小而最大剪力较大等这些情况，则需要校核切应力强度。


各种基本变形下，等直杆的刚度条件具体可表示为：各种基本变形下，等直杆的刚度条件具体可表示为：

轴向拉压轴向拉压 :: ][ lEA

lFl N

扭转扭转 :: ][maxmax qq

p

x

GI

M

弯曲弯曲 :: ][ ],[ maxmax qq ww


压杆稳定问题和强度问题一样，为了保证压杆正常工作，允许压杆承受的轴向压力 F 必须小于临界压力 Fcr, 或允许承受的压应力必须小于临界应力 cr 。引进一个大于 1的安全因数 :　稳定安全因数　［ ncr

］压杆的稳定条件为：

][ cr

cr

n

FF

][ cr

cr

n

在工程中，常把稳定条件改写成如下形式进行计算：

][ crcr

cr nF

Fn

ncr 被称为工作安全因数


·· 强度理论强度理论

四个强度理论的强度条件可写成如下统一的格式][ r

r 称为相当应力。

])()()[(2

1

)(

213

232

2214

313

3212

11

r

r

r

r


··提高杆件承载能力的措施提高杆件承载能力的措施

1 ）合理安排杆件的受力情况； 2 ）选用合理的截面形状； 3 ）合理选择材料； 4 ）减小杆件的计算长度； 5 ）增强支承的刚性。

1. 本章处理组合变形构件的强度和变形问题，以强度问题为主。

2. 按照圣维南原理和叠加原理可以将组合变形问题分解为两种以上的基本变形问题来处理。

3. 根据叠加原理，可以运用叠加法来处理组合变形问题的条件是①线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；②小变形，保证内力、变形等与诸外载加载次序无关。

4. 叠加法的主要步骤为： 1 ）将组合变形按基本变形的加载条件或相应内力分量

分解为几种基本变形；


··组合变形组合变形

2 ）根据各基本变形情况下的内力分布，确定可能危险面；根据危险面上相应内力分量画出应力分布图，由此找出可能的危险点；根据叠加原理，得出危险点应力状态；

3 ）根据构件的材料选取强度理论，由危险点的应力状态，写出构件在组合变形情况下的强度条件，进而进行强度计算。

•典型的组合变形问题

1) 斜弯曲中性轴不再与加载轴垂直，并且挠度曲线不再为加载面内的平面曲线 .

强度条件 : max


FN

2 2,max ,maxmax ,max

min

[ ]

[ ]Z Y tN

c

M MF

A W

如对矩形类截面 : ,max ,maxmax W W

y z

y z

M M

2) 拉伸（压缩）与弯曲


FN

,maxmax ,max

min

[ ]

[ ]y tzN

cz y

MMF

A W W


3)3) 扭转与弯曲的组合变形扭转与弯曲的组合变形

4r 2 23

3 1 3r 2 24

圆

形

截

面

2 2M T

W

2 20.75M T

W

4)4) 扭转与弯曲的组合变形扭转与弯曲的组合变形

2 23 ( ) ( )r

N M T

A W W

2 24 ( ) 0.75( )r

N M T

A W W

若双向弯曲若双向弯曲先合成先合成 MM 总总


y

z

ay

az 21 0P y

z

y a

i

21 0P z

y

z a

i

已知 ay ， az 后，由

当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力

可求 P 力的一个作用点 ( , )P Pz y

0 02 2

1 0P P

z y

y y z z

i i

中性轴),( PP yzP

截面核心

•（偏心拉、压问题的）截面核心



叠加原理的适用条件：叠加原理的适用条件：要求应力、应变、内力与外力成线要求应力、应变、内力与外力成线性关系。性关系。

材料不服从胡克定律材料不服从胡克定律不能用不能用

大变形，不能使用原始尺寸求静力问题大变形，不能使用原始尺寸求静力问题不能用不能用

注意：注意：


··静不定的概念，静定基，相当系统，静不定次数静不定的概念，静定基，相当系统，静不定次数··拉压静不定问题和扭转静不定问题拉压静不定问题和扭转静不定问题··装配应力和温度应力的概念装配应力和温度应力的概念 ··静不定梁静不定梁

第九章简单的静不定问题第九章简单的静不定问题

重点内容：重点内容：

· · 简单的拉压、扭转静不定问题及静不定梁的求解简单的拉压、扭转静不定问题及静不定梁的求解

超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。

静定结构或系统：其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出的结构或结构系统。

多余约束：多于维持平衡所必须的支座或杆件 , 称为多余约束。

多余约束反力：与多余约束相应的支反力或内力。

一 .基本概念


超静定次数：所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。也等于多余约束或多余支反力的数目。

基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同的选择。

相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统变形协调条件 : 相当系统在多余未知约束反力作用处相

应的位移应满足原超静定结构的约束条件 .


•列静平衡方程

•从变形几何方面列变形协调方程

•利用力与变形之间的关系，列补充方程

•联立平衡方程、补充方程，即可求未知力

•强度、刚度的计算与静定问题相同

二 .解题步骤：

三 .超静定结构的特点 :各杆的内力按其刚度分配；温度变化，制造不准确等都可能使杆内产生初应力。



··变形能，功能原理，卡氏第一定理，卡氏第二定理变形能，功能原理，卡氏第一定理，卡氏第二定理··卡氏定理的应用卡氏定理的应用··莫尔积分是求解结构变形莫尔积分是求解结构变形··用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统

第十章能量法第十章能量法

•线弹性材料杆件变形能普遍表达式


2 2 2( ) ( ) ( )

2 2 2N

L L Lp

F x dx T x dx M x dxV

EA GI EI 注意： 1. 变形能是广义力或广义位移的二次函数，不能简单叠加。 2. 变形能仅与外力的最终值有关，而与加力次序无关。 3. 当杆件的各段截面不相同或内力由不同函数表示时，应分段计算变形能。 4. 扭转杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁） .

5. 杆件是满足虎克定律的线弹性体 .


•利用功能原理计算杆件的变形

杆件承受外载荷 F作用，沿 F 的作用方向上发生位移 ,那么

1

2V W F

卡氏定理 1.卡氏第一定理：杆件的变形能对于杆件上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的值。即有：

εi

i

VF

(i=1,2, …,n)

第十章能量法第十章能量法重点内容重点内容 ::

线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导数等于相应于该力的广义位移，即

ii

V

F

2.卡氏第二定理 .

(i=1,2, …,n)注意：

0, P

（ 1）广义力与广义位移须相对应。（ 2）当所求位移的截面处没有相应的集中力或集中力偶时，可采用附加力的方法。

• 莫尔定理

莫尔积分是求解结构变形的有效方法。其基本公式为

N N

pl l l

F F dx MMdx TTdx

EA EI GI


•用能量法解超静定系统

首先要合理地选择静定基，使用力法正则方程求解

1 1 1 11 2 12

2 2 1 21 2 22

0

0

P

P

X X

X X

力法正则方程本质上就是变形协调条件。

(2 次超静定 )

1

1

iP

l

ij i j ji

l

MMdxEI

M M dxEI

第十章能量法第十章能量法重点内容重点内容 ::


· · 动荷载的概念动荷载的概念· · 动应力的计算动应力的计算··交变应力的概念交变应力的概念··交变应力的特点及疲劳破坏的发生过程交变应力的特点及疲劳破坏的发生过程··交变应力的循环特性和应力幅值交变应力的循环特性和应力幅值 ··材料的疲劳极限及材料的疲劳极限及S~NS~N图图

第十一章动荷载与交变应力第十一章动荷载与交变应力

第十一动荷载与交变应力第十一动荷载与交变应力

简单动载荷问题即：构件作等加速度直线运动时的动应力分析；构件

等角速转动时动应力分析；冲击问题的简化计算。1.基本概念动载荷 ; 冲击载荷 ;动应力 ; 冲击应力 ;动荷系数

2. 本节涉及的基本原理和基本方法动静法，其依据是达朗贝尔原理。这个方法把动荷的问题转化为静荷的问题。能量分析法，其依据是能量守恒原理。这个方法

重点内容：重点内容：

为分析复杂的冲击问题提供了简略的计算手段。在运用此法分析计算实际工程问题时应注意回到其基本假设逐项进行考察与分析，否则有时将得出不合理的结果。

1d

aK

g

3.关于动荷系数不同情形下动荷系数具有不同的形式

等加速度直线运动构件的动荷系数。

自由落体冲击时的动荷自由落体冲击时的动荷系数。

dst

21 1

hK

Δ ＝d

st

21 1

hK

Δ ＝


疲劳破坏和疲劳强度计算本章研究交变应力作用下构件的疲劳破坏和疲劳强度

计算。引入了一系列与疲劳和疲劳破坏有关的基本概念，分析了影响疲劳极限的因素，给出了对称循环下构件疲劳强度的强度准则，讨论了提高构件疲劳强度的措施。

交变应力，疲劳破坏，应力循环，循环特征，平均应力，应力幅，对称循环，脉动循环，疲劳极限，（条件疲劳极限），应力寿命（ S—N）曲线，有效应力集中系数，尺寸系数，表面质量系数，构件的疲劳工作安全系数等。

1.基本概念

第十一动荷载与交变应力第十一动荷载与交变应力重点内容：重点内容：

对称循环下构件的疲劳极限分析是本章的基础性内容。光滑小试件的疲

劳极限（或）通过实验测得，构件的持久极限（或）由下式计算

101

k 或 101

k

二者的比例系数是由影响构件持久极限的三大因素—应力集中系数、尺寸系数和表面质量系数组合而成。

2．对称循环下构件的疲劳极限分析

1 101 0

1


一旦确定了构件的疲劳极限，则构件在对称循环下的疲劳强度计算在方法和数学形式上与静强度计算差别不大，相应有

nk

n

max

1

nk

n

max

1

3.对称循环下构件的疲劳强度计算

或


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材料力学