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叠代法. 以力矩分配法为依托 含结点叠代及侧移叠代 中间计算错误不影响最后精度 叠代收敛. …………… （ 1 ）. 改写为：. 考虑如下线性方程组. 预备知识. 解此线形方程组采用两种叠代方法. 第一种叠代：（雅可比叠代）. 2. 以新值 ， 再代入（ 1 ）式右边，得更新的 x 1 ， x 2 为 ： ，. 3. 重复 2 的计算，第 7 次叠代得： ，. - PowerPoint PPT Presentation
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叠代法1. 以力矩分配法为依托2. 含结点叠代及侧移叠代3. 中间计算错误不影响最
后精度4. 叠代收敛
预备知识考虑如下线性方程组
252
54
21
21
xx
xx
改写为：
12
21
4.04.0
25.025.1
xx
xx …………… （ 1 ）
解此线形方程组采用两种叠代方法
第一种叠代：（雅可比叠代）
)1(4.0
25.1
04.0
25.00
2
1
12
1
nnx
x
x
x
1. 给定 x1 ， x2 的初值 ， ，代入方程（ 1 ）的右边后得 x1=1.0 ， x2 = -0.8 ，记为 ， ； 0.11
1 x 8.012 x
0.101 x 0.10
2 x
2. 以新值 ， 再代入（ 1 ）式右边，得更新的 x1 ， x2 为 ： ，
0.111 x 8.01
2 x45.12
1 x 8.022 x
3. 重复 2 的计算，第 7 次叠代得： ， 499.171 x 996.07
2 x
4. 一般地，如果第 n 次叠代与第 n+1 次叠代满足给定的精度，叠代即可结束。
nnnn xxxx 21
211
1 ,max给定精度
此值与准确值 x1=1.5 ， x2 = -1.0 ， 相差很小
第二种叠代：（赛德尔叠代）
)2(4.04.0
)1(25.025.1
12
21
xx
xx
1. 给定 x1 ， x2 的初值 ， ，以 x20=1.0 代入
（ 1 ）的右边后得 0.111 x
0.101 x 0.10
2 x
2. 以 代入方程（ 2 ）的右边，又得 0.111 x 8.01
2 x
3. 以 代入方程（ 1 ）的右边，得 8.012 x 45.12
1 x
4. 以 代入方程（ 2 ）的右边，又得 45.121 x 98.02
2 x
重复以上过程，直到满足精度 本问题上述两种叠代都收敛时，赛德尔叠代快些。在后面的叠代计算中，一般以第二种叠代方法进行计算 。
叠代法计算简式多层刚架 简式刚架的定义：
梁是贯通该楼层，每层各柱有共同的线位移
简式多层刚架 非简式多层刚架
一、基本公式推导
Fikik
ik
ikkikiikik MH
iiiM
624
i kki
ik
k
i
Fkiik
ik
ikkikiikki MH
iiiM
642
考虑 i k 杆，由杆端转角位移方程
Fikik
ik
ikk
ik
iki
ik
ikik V
H
i
H
i
H
iV
2
1266
记 iikik iM 2
kikki iM 2ik
ikikkiik HiMM
6
则，上面 3 个方程变为：
Fikikkiikik MMMMM 2 ………
（ 1 ）Fkiikkiikki MMMMM 2 ………
（ 2 ）
Fikikkiik
ikik VMMM
HV 233
1………（ 3 ）
式中： ， 分别表示 i ， k 两端的转角弯矩， 表示侧移弯矩
ikM kiM
ikM
1 ．转角弯矩 的计算公式 ikM
假定与结点 i 相连的杆件有若干个，则由结点 i 的弯矩平衡，结合方程（ 4 ），有：
i
02 Fikikkiikik MMMMM …..
（ 4 ）
Fik
Fi MM记，
它是与 i 结点相连各杆在 i 端的固端弯矩之和，称为不平衡力矩
（ 4 ）式可写成 02 F
iikkiik MMMM
即
04 Fiikkiiik MMMi
注意到 i 结点各杆 i 端转角相同，得：
F
iikkiik
i MMMi4
1
由 的定义 ikM
F
iikkiik
ikiikik MMM
i
iiM )(
22
Fiikkiikik MMMM )( ……….. （ 5 ）
ik
ikik i
i
2记 称为 i 结点的转角弯矩分配系数
当结构为无侧移刚架时， 0ikM
2 ．侧移弯矩 的计算公式 ikM
考虑第 r 层以上为研究对象。如图，第 r 层柱顶剪力分别为： Vr1 ， Vr2 ， Vri ， Vrj ， Vrs
由∑ X=0 ，得
∑P+∑qH -∑Vik =0
Pn
Pm
q
Vr1 Vr2 Vri VrjVrs
第 r 层
H
Fikikkiik
ikik VMMM
HV 233
1代入
得：
023
Fik
ik
ikkiik
ik
VH
MMM
HqHP
ik
ikikkiik HiMM
6注意到
Fikr VqHPP并记 称为楼层剪力，得：
0123
2 ik
ik
ikkiik
ikr H
iMM
HP
同层楼的 相同，由上式 解得 ik
kiik
ik
r
ik
ikik MM
H
P
H
i1
34
1
2
ik
ikikik HiM
6由定义，
ikkiik
r
ik
ik
ik
ik
ik HMM
P
Hi
Hi
M1
32
3
2
记， 为第 r 层各柱中众数较多的柱高，则上式右端分子、分母同乘 ，得：
rH2rH
ik
rkiik
rr
ik
ikr
ik
ikr
ik H
HMM
HP
HiH
HiH
M32
3
2
2
ik
rik H
H记 称为柱高简化系数，得：
kiikikrikik MMMM ………..（ 6 ）
式中，
3rr
r
HPM 称为楼层力矩
ikik
ikikik i
i22
3
称为侧移弯矩分配系数
当同层柱高相同，即 =1 ，则（ 6 ）变为： ik
rik H
H
kiikr
ik
ikik MMM
i
iM
2
3…….. （ 6-1 ）
3 ．最终杆端弯矩求解公式 在叠代结束后，求得各杆杆端的 及 ，依（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）式可求最终杆端弯矩和剪力
ikM ikM
Fikikkiikik MMMMM 2 ………
（ 1 ）Fkiikkiikki MMMMM 2 ………
（ 2 ）
Fikikkiik
ikik VMMM
HV 233
1………（ 3 ）
二、计算步骤1 ．计算各杆的固端弯矩，并求各结点的不平衡力矩
FiM
2 ．计算各楼层剪力 ，楼侧力矩 （计算无侧移刚架时，
可省略） rP rM
3 ．计算各结点的弯矩分配系数 和楼层侧移弯矩分配系数
ikik
4 ．事先任意选择叠代结点顺序、结点编号后顺序进行 的
叠代，楼层编号后进行 叠代 （ 5 ， 6 两式）ikM
ikM
5 ．满足精度后，依
确定杆端弯矩 （ 1 ， 2 ， 3 式）
Fikikkiikik MMMMM 2
6 ．作出弯矩图
三、计算例题
1.2
0.1 0.1
1.5 1.5
0.2 0.2
0.3
4m 4m
2m
4m
6m
12
3 45
6 7
8
1 kN/m
解：1.2
0.1 0.1
1.5 1.5
0.2 0.2
0.3
4m 4m
2m
4m
6m
1 2
3 4 5
6 7
8
1 kN/m
1 ）固端弯矩和结点不平衡力矩 MF
13=MF36= -MF
31= -MF63= 3
kNm ， MF1=3kNm ，其
余为零
2 ）计算楼层力矩
柱顶固端剪力 VF13=VF
36= -3kN ，上层剪力： 3 kN ， 下层剪力： 1×6+3=9 kN M 上 =3×6/3=6kNm ，M 下 =9×6/3=18kNm
3 ）计算转角分配系数
1.2
0.1 0.1
1.5 1.5
0.2 0.2
0.3
4m 4m
2m
4m
6m
1 2
3 4 5
6 7
8
1 kN/m
以结点 4 为例
015.0)2.05.15.11.0(2
1.0
)(2 47454342
4242
iiii
i
2275.0)2.05.15.11.0(2
5.1
)(2 47454342
434543
iiii
i
030.0)2.05.15.11.0(2
2.0
)(2 47454342
4747
iiii
i
4 ）计算侧移分配系数 1.2
0.1 0.1
1.5 1.5
0.2 0.2
0.3
4m 4m
2m
4m
6m
1 2
3 4 5
6 7
8
1 kN/m75.02413
（因为 13 杆与 24 杆相同）
mH r 6
0.14736
5.14
658
279.03.05.122.00.1
0.12.0
2
3224736
627.03.05.122.00.1
5.13.0
2
32258
5 ）选叠代顺序 由于楼层力矩大于结点力矩，故，先进行楼层叠代，后进行结点弯矩叠代。楼层顺序：先上层，后下层结点顺序： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5
6 ）叠代步骤 第一轮
侧移弯矩叠代 kiikikrikik MMMM
上层： ，设初值为零，即 ， 。 此处 ik=13 和 42 两柱。
0.1ik 0ikM 0kiM
42243113314231 MMMMMMM r kNm5.40000675.0
下层： 855847743663364736 MMMMMMMMM r
kNm022.500000018279.0
kNmM 286.1100000018627.058
转角弯矩叠代 Fiikkiikik MMMM )(
结点 1 ： FMMMMMM 1133112211212
693.035.4000462.0
结点 1
FMMMMMM 1122113311313 057.03005.40038.0
结点 2 ：
注意：结点 2 的两个远端中， 此时已有值 12M
FMMMMMM 2422421122121
759.105.400693.0462.0
FMMMMMM 2211224422424
145.00005.40038.0
结点 3 注意：结点 3 的三个远端中， 是已有值 12M
FMMMMMMMM 33443366331133131
26502.0000022.505.4057.0028.0
93744.3022.55.4057.0416.034 M
5300.0022.55.4057.0056.036 M
结点 4 注意：结点 4 的四个远端中， ， 是已有值 24M
34M
FMMMMMMMMMM 447744554433442244242
0815934.00022.5000093744.35.4145.0015.0
2375.10022.5000093744.35.4145.04343 M
2375.10022.5000093744.35.4145.04545 M
1632.00022.5000093744.35.4145.04747 M
结点 5 ： 注意：结点 5 的两个远端中， 是已有值 45M
FMMMMMM 5588554455454
1902.40286.11002375.1417.0
381843.00286.11002375.15858 M
第二轮计算
注意： 在进行第二轮计算时，使用第一轮的结果。
-0.627
-0.038
3 -0.462
-0.038
0-0.462-0.038
6.0
楼层力矩
楼层力矩
18.0
分配系数
-0.75
侧移弯矩
-4.5 -0.75
侧移弯矩
-4.5
-0.028
-0.056
-0.4610
-0.279 -0.279
-0.015-0.2275
-0.03
-0.22750 0-0.417
分配系数 侧移弯矩
-5.022 -5.022 -11.286
0.693 1.759
0.057
0.265
0.530
3.937 1.238
0.145
0.082
1.238 4.190
0.163
0.3818
