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ネットワーク理論講義補助資料. Text. 組合せ最適化とアルゴリズム 4.5 節 主・双対法 pp. 132-141. 副読本：組合せ最適化短編集（朝倉書店）第１章：マッチング問題に対する主・双対法のお話がある． ここでは，主・双対法を点被覆問題を例として解説する．. 点の上に警備員（１人１万円）を配置して，すべての 道（グラフでは枝）をなるべく安く見張ろう！. 問題. 点の被覆（ cover ）. 警備員が点３にたつと点線の道の見張りができる（枝が被覆される）．. グラフによる問題の記述. 無向グラフ G=(V,E) - PowerPoint PPT Presentation
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４．５節 主・双対法 1
ネットワーク理論講義補助資料
副読本：組合せ最適化短編集（朝倉書店）第１章：マッチング問題に対する主・双対法のお話がある．
ここでは，主・双対法を点被覆問題を例として解説する．
Text.組合せ最適化とアルゴリズム4.5 節 主・双対法pp. 132-141
４．５節 主・双対法 2
問題
32
4
15
6
ク レ オ パ ト ラ
ニ ュ ー ト ン
ゴ ッ ホ
モ ナ リ ザ
ラ ス プ ー チ ン
シ ェ イ ク ス ピ ア
ベ ー ト ー ベ ン
点の上に警備員（１人１万円）を配置して，すべての道（グラフでは枝）をなるべく安く見張ろう！
４．５節 主・双対法 3
点の被覆（ cover ）
32
4
1
6
5
警備員が点３にたつと点線の道の見張りができる（枝が被覆される）．
４．５節 主・双対法 4
グラフによる問題の記述 無向グラフ G=(V,E) 点上の重み関数 w （警備員の雇用費）：
以下では簡単のため wv=1 （万円）とする． 目的：点の部分集合 S ですべての枝 E
を被覆するものの中で， S 内の点の重みの合計を最小にするものを求める．
NP- 困難 -> 近似解法を設計しよう！
４．５節 主・双対法 5
整数計画としての定式化と線形計画緩和問題 （変数） xv ：点 v 上に警備員を配置す
る 1 ，しない 0
Vvx
Evwxx
x
v
wv
Vvv
条件
最小化
1,0
1
Vvxv 0
整数計画問題
線形計画問題に緩和
４．５節 主・双対法 6
双対問題の導出（ Lagrange 緩和を用いる方法）（１）
Vvx
Evwxx
x
v
wv
Vvv
条件
最小化
0
1
Vvwxx wv )0(1
実行可能解なら必ず 0 以下
非負の Lagrange 乗数 yvw を乗じて目的関数に加える！
４．５節 主・双対法 7
双対問題の導出（ Lagrange 緩和を用いる方法）（２）
Vvx
Evwxx
yxxx
v
wv
Evwvwwv
Vvv
条件
最小化
0
1
)1(
緩和（式を外す）と実行可能領域が広がるので，目的関数値は良くなる！
０以下の値
下界になる！
４．５節 主・双対法 8
双対問題の導出（ Lagrange 緩和を用いる方法）（３）
Vvx
yxy
v
Evwvwv
Vv vee
条件
最小化
0
1)(
下界が－∞にならないためには， x の係数がすべて 0 以上！欲しいのは最良（最も大きな）下界 -> 目的関数を最大化！
目的関数を x について整理 点 v に接続している枝の集合
４．５節 主・双対法 9
双対問題の導出（ Lagrange 緩和を用いる方法）（４）
Eey
Vvy
y
e
vee
Evwvw
条件
最大化
0
1)(
相補性条件を導こう！（忘れた人はテキスト p.47 参照）
双対問題のできあがり！
双対変数の解釈：枝（道） e に置いておく警備員へのご褒美 ye
４．５節 主・双対法 10
相補性条件（主と双対の関係式）
最適な x,y においては，必ず 0 になる！
（最適解においては）双対定理より主問題と双対問題の最適値は一致！
Evw
vwwvVv
v yxxx )1(
Evwvwv
Vv vee yxy
)(
1
Lagrange 緩和による導出の途中の式
10)(
ve
ev yx
＞ 10 wve xxy
４．５節 主・双対法 11
相補性条件の解釈主相補性条件
10)(
ve
ev yx
＞
10 wve xxy
双対相補性条件
点 v に警備員が立つ -> 住民は合計１万円を支払う
道（枝）の住民がお金を支払う -> 道の両端のいずれかに警備員が立つ
上の２条件を満たしていれば（主も双対も）最適！主・双対法のアイディア： 主相補性条件は常に満たしたまま，双対問題の目的関数値を改善（大きくする）．（双対相補性条件は満たさない可能性あり！）
４．５節 主・双対法 12
主・双対法（基本形）
1. 警備員なし（ xv=0 ），ご褒美なし（ ye=0) から出発（主相補性は必ず満たす！）
2. 被覆されていない枝 e=(v,w) を選択
3. 双対変数 yvw を
を満たすまで増やす（等号になった点を v とする）．4. 点 v に警備員を立てて（立てても主相補性条件は常に
満たすことに注意）， 2. へ
または 11)()(
we
evee yy
0 wv xx
４．５節 主・双対法 13
主・双対法のスナップショット（１）
32
4
1
6
5
枝 (2,3) を選択．点 2 もしくは３に警備員が立つまでご褒美（ y23 ）を増やす．１万円を配置．
４．５節 主・双対法 14
主・双対法のスナップショット（２）
32
4
1
6
5
枝 (2,3) に１万円のご褒美があるので点２にも警備員が公募してくる！
４．５節 主・双対法 15
主・双対法のスナップショット（３）
32
4
1
6
5
警備されていない枝 (5,6) の住民が道 (5,6) 上に１万円配置．Y56=1 と設定．点 5 上に警備員が配置される．
４．５節 主・双対法 16
主・双対法のスナップショット（４）
32
4
1
6
5
点 6 にも警備員が公募してくる．すべての枝が被覆されたので終了．答え（主・双対法による近似解）は４人．
双対問題の実行可能解 y23 =y56=1 より，下界は 2 ．よって 2倍以下の保証をもつ！
４．５節 主・双対法 17
主・双対法（一様増加＜公平にご褒美を払おう > ， 逆削除ステップつき <無駄な警備員はクビにしよう！＞）
1. 警備員なし（ xv=0 ），ご褒美なし（ ye=0) から出発2. 被覆されていない枝 e の集合 Violated を求める．3. Violated内の枝 e(=vw) の双対変数 ye を
を満たすまで一様に増やす（等号になった点を v とする）．4. 点 v に警備員を立てて， 2. へ5. xv を１にした（警備員を立たせた）逆順に，除いても
実行可能（すべての枝が被覆されている）なら警備員を削除．
または 11)()(
we
evee yy
->逆削除ステップ：基本形の例だと，点５の警備員をクビにする！
４．５節 主・双対法 18
逆削除ステップ付き一様増加
32
4
1
6
514
14
14
14
14
14
14
14
すべての枝が Violated ；点 3 に警備員が立つまで一様に y を増加．
４．５節 主・双対法 19
逆削除ステップ付き一様増加
32
4
1
6
538
38
38
38
14
14
14
14
枝 (1,2) ，枝 (2,4) ，枝 (4,6) ，枝 (5,8) が Violated ；点２に警備員が立つまで，Violated内の y を一様に 1/8だけ増やす．
４．５節 主・双対法 20
逆削除ステップ付き一様増加
5
3
6
2
4
138
38
12
12
14
14
14
14
枝 (4,6) ，枝 (5,6 ）が Violated ；点 6 に警備員が立つまで，Violated内の y を一様に 1/8だけ増やす．近似解は 3 人．
下界（ y の値の合計）は 2.75 ．
