分數的乘除法

張美玲老師製作

生活中乘法

• 3×5 代表什麼意思？• 4×6 代表什麼意思？• 2×7 代表什麼意思？

有 5 堆蘋果，每堆 3 個，共有幾個？

數東西

3×5 ＝ 3+3+3+3+3 ＝ 15

排列

有 6 排，每排 4 人，總共有多少人？

4×6 ＝ 4+4+4+4+4+4 ＝ 24

長方形面積

7公 分

2公 分

長 7 公分，寬 2 公分的長方形面積為多少平方公分？

2×7 ＝ 2+2+2+2+2+2+2=14

乘法的起源

• 乘法產生於求若干個相同數之和的運算，它可以說是加法的一種特殊形式，因此早期的乘法既有點像加法又不等同於加法。

乘法的歷史 ( 埃及 )

• 埃及人四千年前使用的“倍乘疊加法”就屬於這種既有點像加法又不等同於加法。比如 32×17 ，算法是：先將 32 倍乘，得 32×2 ＝ 64 ；再將 64 倍乘，得 64×2 ＝ 128 ；再將 128 倍乘，得 128×2 ＝ 256 ；再將 256 倍乘，得 256×2 ＝ 512 ；最後將 512 與 32 加起來，得 544 。

32 1764 8128 4256 2512 1乘

2

除以2

乘法的歷史 ( 巴比倫 )

•古代巴比倫人有乘法表，它的樣子是有些和現代的乘法表一樣，他們在做整數的乘法時，將取分乘相加的方法。

•例如： A×27 他們先乘 A×20 及A×7然後把結果相加 A×27 ＝ A×20 ＋ A×7

乘法的歷史 ( 中國 )

• 乘法不會憑空掉下來，在中國，由於生產的需要，逐漸發現一些數字遞加的規律，才總結出這乘法，以後為了記憶方便，就有九九表的口訣。

•中國最早出現乘法表的可信記載是在春秋戰國時代（約西元二千多年前）的文獻。當時的「乘法表」歌訣是由「九九八十一」開始，一直往下到「二二而四」。

乘法的歷史 ( 中國 )

•公元五～十世紀才把「九九歌」擴充到「一一如一」，大約在公元十三、四世紀時人們覺得九九歌的順序不合理 ,才把他反轉過來 ,由「一一如一」直到「九九八十一」。

乘法的歷史 ( 歐洲 )

• 世界上最笨拙的乘法，要算十二世紀之前廣泛流行於歐洲的羅馬數字乘法。當時的歐洲學生，把學習乘法當作是一件可怕的事情。

• 在歐洲人為乘法傷透腦筋的時侯，中國人卻在這之前一千多年就發明了一種十分簡便的方法，這種方法與現在直式乘法的原理完全一樣，所不同的是古代從高位算起。

分數的乘法

真分數乘以正整數

=

52 3= 5

252

52+ + = 5

6 =151

帶分數乘以正整數

=

1 32

1 324=1 3

21 32 1 3

2+ + + =4 3

8=63

2

乘法具有交換性

5 43 =4

3 5= 43 5

= 415

4 365 =36

5 4=12 620=156

2=153

1

真分數乘以真分數 ( 範例一 )

範例二

範例三

帶分數乘以帶分數

先將帶分數化為假分數，然後再分母乘以分母，分子乘以分子

1 53 33

2 =58

311 =5 3

8 11= 1588

2 31 43

2 = 37

314

=3 37 14

= 998

乘法小技巧

分數本身能約分盡量約分，不同的分數亦可上下同除以相同正整數，使數字盡量變小，計算較不易出錯

5 31 34

3 =316

415

316

415 5

1=

316

415 5

1=

1

4=1 14 5

= 120 =20

範例四

6103 314

8= 6103 3 7

4=1063

725

1063

725

2

5=

1063

725

2

5

1

9= =2 1

9 5= 245

自我練習 ( 一 )

52

43

43

5

52

5

32

41

32

64

41

8 2

65

731

158

65

2

2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

自我練習 ( 一 )解答

52

43

43

5

52

5

32

41

32

64

41

8 2

65

731

158

65

2

2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

=103

=415

= 2

=32

=28

=18

=2185

=94

生活中的除法

• 12÷4= ？• 20÷5= ？• 28÷4= ？

分配

• 有 12 個蘋果，分給 4 位小朋友，每人可分得幾個？

12÷4 ＝ 3

所以每人可分得 3 個

平均

• 有 5 本書，共重 20 公斤，平均每本書重幾公斤？

20÷5 ＝ 4

所以每本書重 4 公斤

除法的歷史（中國）

• 如果說現在的除法是古代人所追求的除法的最終目標的話，那麼世界上最先達到這個目標的是中國。

• 公元五世紀左右寫的兩本算書──《孫子算經》和《夏侯陽算經》。據書中的記述，中國古代的除法很早就與現在的除法相一致了。

金除法

• 當中國除法由印度經阿拉伯傳入歐洲時，歐洲人驚喜地把它叫做“金除法”而把算盤除法叫做“鐵除法”。可見，當時中國先進的數學，在歐洲人的心目中有很高的聲譽。

除法的歷史（印度）

• 而古印度的數學文化則把除數寫於被除數之下，跟我們現在計算分數的方式相似。

5 7=75

符號的誕生

• 1659 年，瑞士的雷恩（ Johann Heinrich Rahn ， 1510-1588 ）在蘇黎世（ Zurich ）出版一本著作《代數》（ Teutsche Algebra ）中，首次以「 ÷ 」號代表除法運算。以致今天「 ÷ 」最終成為世界通用的符號。

分數的除法

生活中的例子

• 一塊蛋糕，分給 3 位小朋友，每位可分得 _____

• 公尺長的繩子，剪成等長的 3段，則每段 ____ 公尺

31÷1 3=

41

121÷1 3=4 4

131 = 4 3

1 1=

範例一

• 有一匹長 公尺的布，每 公尺剪成一段，可剪成多少段？

43

41

43

41=3 1=3÷ ÷

動態展示

範例二

• 有 5 個大西瓜，每塊切成 個，共可切成幾塊？

31

5÷ 31=5 3=15 答：共分成 15

塊

範例三

• 有 公斤的黏土，每 公斤分成一小塊，共可分成幾小塊？

53

151

53÷ 15

1÷ 15

1 = 9 ÷ 1=9=159

範例四

• 有 公升的果汁，每 公升裝一瓶，可裝成幾瓶？

1 41

85

1 41

85

÷ = 45

÷ 85

= 810

÷ 85

=10 ÷ 5=2動態展示

除法解題步驟

ab ÷ c

d= a cb c

a ca d

÷ =(b c)÷ (a d)

= a db c = a

bdc

所以 ab ÷ c

d ＝ ab

dc

解題小技巧

• 1. 帶分數先化為假分數• 2. 除法改為乘法，除數改為倒數，在運用乘法小技巧化簡之

• PS ：兩數乘積等於 1 ，兩數互為倒數。例如： 的倒數為 ； 的倒數為

的倒數為 ； 的倒數為

75

57

43

34

661

81 8

範例五

43 ÷ 5

12 3 = 411÷ 5

16= 411

165

= 4 1611 5 = 64

55

43 ÷ 12

13 2 = 415÷ 12

25= 415

2512

= 1 53 3 = 5

9

= 415

2512

1

3

= 415

2512

1

33

5

自我練習 ( 二 )

÷

÷

÷

÷

÷

÷5

6

52

31

自我練習 ( 二 )解答

÷

÷

÷

÷

÷

÷5

6

52

31

=158

=203

= 225

= 548

= 910

= 310

=3049

= 2516

範例一動態展示

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範例四動態展示

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