時間數列分析

時間數列分析時間數列分析

15.1 時間數列的性質

15.2 長期趨勢分析

15.3 季節變動分析

15.4 循環變動分析

15.5 時間數列的綜合分析

15.6 指數平滑法

Chapter 15

本　章　綱　要

統計學導論 Chapter 15 時間數列分析

14-2

15.1 15.1 時間數列的性質時間數列的性質企業對經營管理的各種問題決策，常需藉由預測結果用以決定問題處理或決策走向。由過去歷史資料所構成的時間數列，便成為重要預測基礎，例如處理：

材料與零件庫存產品銷售量員工薪資與產品價格水準生產過程之品質控制等

時間數列是一組統計資料，依其發生時間的先後順序排成的序列 (sequence) 。


14-3

15.2 15.2 時間數列之特性時間數列之特性1. 時間數列之時間單位通常可以是年、季、月、週、

日等。並採用相同間隔以利分析。2. 時間數列中的時間為自變數，而其他變數為因變數，

可為總數、平均數、比例、指數等。3. 時間數列各觀察值皆存在關聯性，時間間隔愈短則

相關性愈大。故時間數列不滿足「各個觀察值為獨立」之假設。

4. 時間數列中之各個觀察值乃案時間先後順序排列，不可任意變更。


14-4

15.2 15.2 時間數列之特性時間數列之特性5. 不同時間單位得時間數列若為分析上需要，則可轉

換為相同時間單位的資料。6. 分析一些社會現象或經濟現象的時間序列，常需要

對人口變動與價格變動等因素加以調整或轉換。例如轉換為每人平均消費額…

7. 時間數列的各個觀測值為該時期許多影響因素的組合，因此進行時間數列分析時，須先將時間數列依其組合成分加以分解方進行之。


14-5

時間數列的成分時間數列的成分長期趨勢：是時間數列依時間之進行而逐漸增加或減少的長期性變化之趨勢。季節變動：時間數列之季節變動是指一年中，呈現固定週期的規則變動。循環變動：是沿著長期趨勢或做週而復始的上下變動，又稱為景氣循環變動 (business cycle movement) 。不規則變動：是沿著長期趨勢或做不規則的變動或偶然的波動。


14-6

時間數列時間數列 YY 及其組合成分及其組合成分 TT..SS..CC..II.. 之圖之圖例例


14-7

時間數列時間數列 YY 及其組合成分及其組合成分 TT..SS..CC..II.. 之圖之圖例例


14-8

時間數列各成分結合的模型時間數列各成分結合的模型相加模型 (additive model) ︰假定時間數列是基於四種成分相加之結果。

Y=T+S+C+I

相乘模型 (multiplicative model) ︰假定時間數列是基於四種成分相乘之結果。

Y=T×S×C×I

基本上於時間數列分析中，由於乘法模式之假設較切合實際，即各種成分間存在相依關係，故大都採行乘法模式。

(15-1)

(15-2)


14-9

15.2 15.2 長期趨勢分析長期趨勢分析長期趨勢為時間數列的主要成分，經由長期趨勢分析所得結果為一序列的數值，稱之為趨勢值 (trend v

alue) 。由於長期趨勢之趨勢值的變動具有規律性，故可依一趨勢方程式表示之。趨勢值繪製於圖上，可為一直線或曲線，稱之為趨勢線 (Trend curve)

半平均數法 ( 直線趨勢方法 )

移動平均法

最小平方法


14-10

半平均數法半平均數法

年別 t 銷售額：千元半平均數趨勢值

Y

民國 80年 1 484 709.867

81 2 600 777.834

82 3 1009 3 845.8 845.801

83 4 1100 913.768

84 5 1036 981.738

85 6 876 捨去不用 1049.702

86 7 891 1117.669

87 8 1090 1185.636

88 9 1334 9 1253.6 1253.603

89 10 1401 1321.570

90 11 1552 1389.537

t Y Y

表 15.1 某公司民國 80 年至 90 年銷售額表 15.1 某公司民國 80 年至 90 年銷售額


14-11

移動平均法移動平均法 (1/3)(1/3)

移動平均法是以若干期的移動平均代替原有時間數列之觀察值，用以表示其長期趨勢。其可為若干期之中位數或幾何平均數。但一般採用算術平均數。

設有一時間數列 {Yt}, t=1,2,…,n；先取 Y1,Y2,…,Yk求取平均，次取 Y2,Y3,…Yk+1求平均數，依此類推，直至求完 Yn–k+1,Yn–k+2,…,Yn 的平均數，則這些平均數即構成原時間數列之 k 期移動平均的趨勢值。

See example 15.2.


14-12



14-13圖 15.3 3 年移動平均與 4 年移動平均圖 15.3 3 年移動平均與 4 年移動平均

4 年移動平均數

3 年移動平均數

年別


See page. 652 forMore explanations


14-14

最小平方法最小平方法使用最小平方法的兩個條件

各期的趨勢值 ( 　 ) 對實際觀測值 (Yt) 的誤差之總和必為 0 ，亦即；所有誤差的平方和為最小，亦即 =

最小。See page. 654 for more details

2ˆ( ) 0t tY Y 2ˆ( )t tY Y

tY


14-15

直線趨勢方程式直線趨勢方程式 (1/2)(1/2)

2

2

2 2

2 2

1,2, ,

( )

( )

i i

i i

i i i i

i i i i i

i i

i i i i

i i

Y a bt i n

Y n a b t

t Y a t b t

t Y t t ya

n t t

n t Y t Yb

n t t

(15-4)

(15-5)

(15-6)

(15-7)


14-16

年別銷售額：( 千元 )yi

ti t i yi

民國 80 年 484 –5 25 –2420 608.727 81 600 –4 16 –2400 693.763 82 1009 –3 9 –3027 778.799 83 1100 –2 4 –2200 863.835 84 1036 –1 1 –1036 948.871 85 876 0 0 0 1033.907 86 891 1 1 891 1118.943 87 1090 2 4 2180 1203.979 88 1334 3 9 4002 1289.015 89 1401 4 16 5604 1374.051 90 1552 5 25 7760 1459.087

總計 11373 0 110 9354

表 15.1 某公司民國 80 年至 90 年銷售額表 15.1 某公司民國 80 年至 90 年銷售額

2it iY

直線趨勢方程式直線趨勢方程式 (2/2)(2/2)

See page 656 for Year 92’s forecasting


14-17

二次方程式二次方程式 ((拋物線方程式拋物線方程式 ))2

2

2 3

22 3 4

4 2 2

4 2 2

2

( )

i i i

i i i i i

i i i ii

i i i i i

i i

i i

i

Y a bt ct

Y na b t c t

t Y a t b t c t

Y a t b t c t

t Y t t Ya

n t t

t Yb

t

2 2

4 2 2( )i i i i

i i

n t Y t Yc

n t t

(15-10)

(15-11)

(15-12) (15-13)

4322iiiii tctbtaYt


14-18

指數方程式指數方程式

2

2

log log (log )

log log (log )

( log ) (log ) (log )

loglog

( log )log

t i

i i i i

i

i i

i

Y a b t

Y n a b t

t Y a t b t

Ya

n

t Yb

t

(15-14)

(15-15)

最小平方法tabY

∑


14-19

15.3 15.3 季節變動分析季節變動分析

季節變動的特性

簡單平均法

比率移動平均法


14-20

季節變動的特性季節變動的特性季節變動為時間數列所有週期中最主要的一種，通常是以一年為週期波動。其發生原因可分為兩大類：1) 自然原因 ( 氣候季節變化或地理位置不同 ), 2) 社會原因 (風俗習慣、法律、制度等 ) 。測定季節變動的目的：1. 分析過去季節變動型態已建立季節模型。2. 進行短期預測，擬定短期計畫。3. 消除季節變動的影響以顯示時間數列之真正循

環週期。


14-21

季節變動的特性季節變動的特性季節變動的特性，可歸納為下列三點

有規律的波動，且週期固定。每年重複出現。各年的變化幅度約略相同。

固定型態 (Fixed pattern)

季節指數 (seasonal index) ：指季節變動以百分比表示之，亦即所有年份之平均為 100% ，計算各月( 季 ) 指數，高於 100% 或低於 100% ，即產生一年內之起浮變動，由此觀察季節規律變化。


14-22

簡單平均法簡單平均法簡單平均法 (method of simple average) ：同月或同季平均法。當同一時間數列中未包含有顯著上升或下降之長期趨勢，亦即長期趨勢為常數時則適用此法。計算方法：1. 分別求出各年相同月份 ( 同季 ) 之平均數，並求出此 12 月份 ( 或四季 ) 之平均數的總平均。

2. 將求得之總平均數分別除以各月份 ( 各季 ) 之平均數並乘上 100% ，即可求出季節指數。

See example. 15.4 on page 659 and next slide


14-23

簡單平均法簡單平均法


14-24

15.3.3 15.3.3 比率移動平均法比率移動平均法

比率移動平均法 (Ratio-to-moving average method)

乃先求 12 個月 ( 或 4 季 ) 之移動平均，再求各月( 各季 ) 實際觀察值與移動平均數的比，皆著求出相同月份 ( 相同季 ) 各比值的平均值，最後再修正調整此等平均數，則可求得季節指數。See 計算步驟與意義 on page 661.

See example 15.5 on page 662 and next slide.


14-25

比率移動平均法比率移動平均法 (1/4)(1/4)

83878447

÷4


14-26

四季移動平均

原時間數列

2198.00

圖 15.4 四季移動平均與原時間數列曲線之比較圖 15.4 四季移動平均與原時間數列曲線之比較

銷售額(

千

元)



14-27

年別第Ⅰ季第Ⅱ季第Ⅲ季第Ⅳ季80 – – 114.8 89.6

81 89.0 107.4 115.3 92.6

82 88.6 108.0 106.4 92.0

83 93.5 100.6 111.7 91.8

84 94.5 109.8 – –

調整總和 182.5 215.4 226.5 183.8

調整平均數 91.25 107.70 113.25 91.90

表 15.6 季節指數第 4 運算步驟之說明表 15.6 季節指數第 4 運算步驟之說明



14-28

年別季銷售額 ÷(季節指數／ 100)=消除季節變動的銷售額80 Ⅰ 　 1861÷(90.32/100) = 2060

80 Ⅱ 　 2203÷(106.62/100) = 2066

80 Ⅲ 　 2415÷(112.10/100) = 2154

80 Ⅳ 　 1908÷(90.97/100) = 2097

表 15.7 消除季節指數的實例表 15.7 消除季節指數的實例

比率移動平均法比率移動平均法 (4/4) (4/4) – – 修正調整平均數修正調整平均數

See page. 665


14-29

15.4 15.4 循環變動分析循環變動分析

循環變動的特性

年別資料求算循環變動

月別或季別資料求算循變動


14-30

循環變動的特性循環變動的特性

一時間數列的循環變動 C ，必須從此時間數列 Y內消除其他的構成因素；即在年別的資料中消除長期趨勢 T 及不規則變動 I；而於月別 ( 或季別 ) 的資料中，尚需消除其季節變動 S 始可。


14-31

年別資料求算循環變動年別資料求算循環變動 (1/3)(1/3)

ˆ-100%

ˆY Y

Y=相對循環剩餘 (15-18)


14-32



14-33

原始數列 (Y)

循環波動 (C)

趨勢直線 ( 　 )Y

圖 15.5 循環變動圖 15.5 循環變動

生產量

時間



14-34

月別或季別資料求算循變動月別或季別資料求算循變動

100% (%)ˆY

C IY S

循環指數= (15-19)


14-35

15.5 15.5 時間數列的綜合分析時間數列的綜合分析

綜合分析的一般步驟可按下列三個步驟來進行消除季節變動的影響。建立趨勢方程式。探討沿著此趨勢線之循環變動。 See example 15.8


14-36


14-37

年別第Ⅰ季第Ⅱ季第Ⅲ季第Ⅳ季80 – – 56.7 115.2

81 96.0 127.0 62.5 107.5

82 96.5 129.7 68.4 115.0

83 89.5 134.2 59.1 111.3

84 92.9 128.4 – –

調整總和 188.9 258.1 121.6 226.3

調整平均數 95.1 129.9 61.2 113.9

表 15.10 季節指數運算的過程 (參考表 15.6)表 15.10 季節指數運算的過程 (參考表 15.6)

時間數列例題時間數列例題

188.8/2=94.45 129.05 60.8 113.45

94.45+129.05+ 60.8+113.45 = 397.45 less than 400 adjust400/397.45=1.0064 -> 94.45*1.0064=95.05=95.1


14-38



14-39


error


14-40



14-41

15.6 15.6 指數平滑法指數平滑法 (1/6)(1/6)

指數平滑法的基本公式本期預測值 =前期預測值＋ (權數 )． (前期實際值–前期預測值 )

以符號表示則為Ft=Ft–1+α(Yt–1–Ft–1)

其中， α= 平滑常數 (smoothing constant)

　　　 t=當期期數　　 Ft= 在時間 t 期的預測值　　 Yt-1= 在時間 t–1 期的實際值

(15-20)


14-42

α 準則0.05–0.20 時間數列呈不規則變動，但接近較穩定的常數0.10–0.40 時間數列波動不大，長期趨勢變動緩慢0.60–0.90 時間數列波動較大，長期趨勢變動快速且明顯

表 15.13 α值選取之參考準則表 15.13 α值選取之參考準則

15.6 15.6 指數平滑法指數平滑法 (2/6)(2/6)


14-43

15.6 15.6 指數平滑法指數平滑法 (3/6)(3/6)


14-44

銷售額

時間

實際值

Aα=0.5

Bα=0.2

圖 15.7 實際值與指數平滑曲線圖 15.7 實際值與指數平滑曲線

15.6 15.6 指數平滑法指數平滑法 (4/6)(4/6)


14-45

1 1 1

1 1

1 2 2

21 2 2

21 2 3

33

21 2 3

3 44 4

( )

(1 )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

t t t t

t t

t t t

t t t

t t t

t

t t t

t t

F F Y F

Y F

Y Y F

Y Y F

Y Y Y

F

Y Y Y

Y F

L L

15.6 15.6 指數平滑法指數平滑法 (5/6)(5/6)


14-46

0 11 2

23 1

10

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 )

n n n

jn n j

n

F Y Y

Y Y

Y

15.6 15.6 指數平滑法指數平滑法 (6/6)(6/6)

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