三角形中位线复习课

授课教师：毕德松指导教师：董卫红

连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线

三角形有三条中位线

∵D、 E 分别为 AB 、 AC 的中点

∴DE 为△ ABC 的中位线

三角形的中位线和三角形的中线不同注意

DF 、 EF 也为△ ABC 的中位线

ED

F

A

CB

三角形中位线的两端点都是三角形边 的中点。三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的一个顶点。

复习提问：1 、三角形的中位线定义

连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线

ED

A

CB

2 、三角形的中位线与第三边有什么关系 ?

三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

已知：如图， DE 是△ ABC 的中位线 .

求证： BCDE2

1//

三角形的中位线平行且等于第三边的一半 . 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 .

几何语言表述：

∵DE 是△ ABC 的中位线（或 AD=BD,AE=CE)

C

ED

B

A

BC21

//DE

① 证明平行问题（角）

② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半（边）

适用范围 :

6cm

2. 若在△ ABC 中， D 、 E 、 F 分别是 AB 、 AC 、BC 的中点 , AB 、 AC 、 BC 的长分别为 6cm 、 8cm和 10cm. 则△ DEF 的周长是 cm △DEF 的面积是 cm .

10cm

8cm

A

C

BD

E F

1. 如图，在△ ABC 中， D、 E分别为 AB 、 AC的中点 ,DE=3cm, ∠C ＝ 70°, 那么 BC= cm, ∠AED ＝ °.

ED

CB

A练一练：

667070

121266

4 、如图：四边形 ABCD 中， AB=CD,E 、 F 分别是 AD,BC 的中点， G 是 BD 的中点，已知∠ ABD=20°, BDC=70°,∠ 求∠ GFE 的度数。

3 、如图、已知长方形 ABCD ， P 、 R 分别是 B

C,DC 上的点， E,F 分别是 PA,PR 的中点，若 D

R=3 ， AD=4 ，那么 EF= ＿

第 3 题 第 4 题

例 1 、已知：如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点 .求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .

A

B C

D

E

F

G

H证明：如图，连接 AC∵EF 是△ ABC 的中位线

AC21

//EF同理得： AC

21

//GH

EF//GH ∴四边形 EFGH 是平行四边形

① 有中点连线而无三角形 , 要作辅助线产生三角形② 有三角形而无中位线 , 要连结两边中点得中位线

温馨提示：

顺次连接顺次连接四边形各边中点四边形各边中点的线段组的线段组成一个成一个平行四边形平行四边形

例 2 ．如图 , 梯形 ABCD 中， AD∥BC ， E﹑F 分别是AC﹑BD 的中点（１） EF 与 AD﹑BC 的关系如何？为什么？　

（２）若 AD=a ， BC=b ，求 EF 的长。

A

B C

DE F

G

解：（１） AD∥EF∥BC 　

因为 AD∥BC 　，则∠ DAF ＝∠ GCF ，∠ ADF ＝∠ CGF连接 DF 并延长 DF 交 BC 于 G

又 AF ＝ FC

所以△ ADF≌△CFG(AAS)所以 DF=FG而 DE=EB

所以 EF∥ BC 　　理由是：三角形的中位线平行于第三边

又 AD∥BC

所以 AD∥EF∥BC

例 2 ．如图 , 梯形 ABCD 中， AD∥BC ， E﹑F 分别是AC﹑BD 的中点（１） EF 与 AD﹑BC 的关系如何？为什么？　

（２）若 AD=a ， BC=b ，求 EF 的长。　　解：（ 2 ） 所以 EF=BG=½(BC-GC) 　

理由是：三角形的中位线等于第三边的一半。而 GC=AD

所以 EF=½(BC-AD)=½(b-a)

由（１）可知： EF 是△ DBG 的中位线

A

B

DE F

G C

例 3 、已知：如图，△ ABC 中， D 是 BC 边的中点，AE 平分∠ BAC ， BE AE⊥ 于 E 点，若 AB ＝ 5 ， A

C ＝ 7 ，求 ED ． ∵AE 平分∠ BAC

BAE∴∠ ＝∠ CAE

BE AE∵ ⊥ ， AE ＝ AE

ABE AFE∴△ ≌△AF∴ ＝ AB ， BE ＝ EF

AB∵ ＝ 5

AF∴ ＝ 5

AC∵ ＝ 7

CF∴ ＝ AC-AF ＝ 7-5 ＝ 2

D∵ 为 BC 中点∴ BD ＝ CD

DE∴ 是△ BCF 的中位线∴ DE ＝ CF/2 ＝ 1

解：延长 BE 交 AC 于点F

F

提升训练1 、等腰三角形的两腰长为 9 和 8 ，则连接

两腰中点的线段长为＿

2 ．如图， ΔABC 中，DE 是 ΔABC 的中位线，AF 是中线，则 DE 与 AF 的关系是＿＿＿＿

3. 如图，已知△ ABC 是锐角三角形，分别以 AB,AC 为边向外侧做两个等边三角形 ABM 和 CAN, 点 D,E,F 分别是 MB,BC,CN 的中点，连接 DE,FE.求证： DE=EF

4. 如图所示，已知 :AO 是△ BAC 中∠ BAC 的角平分线， BD⊥AO 交 AO 的延长线于点 D ，点 E是的中点，求证： DE= (AB-AC)

2

1

F

5 、已知：如图，在□ ABCD中， E是 CD的中点，F是 AE的中点， FC与 BE交于 G．求证： GF＝

GC．

∵F 是 AE 的中点， H 是BE 的中点，

∴FH 是三角形 ABE 的中位线∴ FH 1/2AB∥ ，又点 E 是 DC 的中点，∴ EC=1/2DC ，又 AB DC∥ ，∴ FH E∥C ．∴四边形 EFHC 是平行四边形，

∴GF=GC ．

H

证明：取 BE 的中点 H, 连结 FH 、 C

H.

小结：1. 三角形中位线的定义。

3. 三角形中位线定理的作用 : （ 1 ）位置关系：可以证明两条直线平行。 （ 2 ） 数量关系：可以证明线段的相等或倍分。

2. 三角形中位线定理。

1 、如图在△ ABC 中， D 、 E 分别为 AB 、 AC 上的点，且 BD ＝ CE ， M 、 N 分别是 BE 、CD 的中点．过 MN 的直线交 AB 于 P ，交 AC于 Q ，线段 AP 、 AQ 相等吗 ? 为什么 ?

2 、已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD ＝ BC ，E 、 F 分别是 DC 、 AB 边的中点， FE 的延长线分别与 AD 、 BC 的延长线交于 H 、 G 点．求证：∠AHF ＝∠ BGF ．

∵E 是 CD 的中点，且 EM AD∥ ，

∴EM= 1 ／ 2AD ， M 是 AC 的中点，又因为 F 是AB 的中点

∴MF BC∥ ，且 MF= 1 ／ 2BC ．

∵AD=BC ，

∴EM=MF ，三角形 MEF 为等腰三角形，即∠ M

EF= MFE∠ ．

∵EM AH∥ ，∴∠ MEF= AHF∠

∵FM BG∥ ，∴∠ MFE= BGF∠

∴∠AHF= BGF∠ ．

M

证明：连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 EM 、FM