ДЕЛИМОСТЬОЛИМПИАДНЫЕ

ЗАДАЧИ

ПРОЕКТ ВЫПОЛНИЛИ: БУКРЕЕВ КОНСТАНТИН, ЛАЗУТКИН ДАНИЛА

6 Б КЛАСС

Вернулся Дядя Фёдор со школы домой и начал делать домашнее

задание по математике.

Вдруг пришли к нему Кот

Матроскин и Шарик. Начали его звать гулять, а он

отвечает: «Не могу я решить задачи

на делимость. Вот решу их, тогда и пойду гулять».

И начали помогать Дяде Фёдору Кот Матроскин и Шарик делать домашнее задание.

А вы хотите помочь Дяде Фёдору решить

задачи???

ЗАДАЧА №1

Доказать признак делимости на 3.

Решение: abcdef = 100000а + 10000b + 1000с + 100d +10е + f =

= (99999а + 9999b + 999с + 99d + 9е) +(а+b+с+d+е+f ).

Первое слагаемое кратно 9, все зависит от второго слагаемого.

Если a+b+c+d+e+f делится на 9, то и вся сумма делится на 9, т.е. abcdef делится на 9.

ЗАДАЧА №2Доказать признак делимости на 4.

Решение: abcde=(10000a+1000b+100c)++(10d+e).

Первое слагаемое делится на 4, все зависит от числа, образованного цифрами десятков и единиц.

Если de делится на 4, то и все число делится на 4.

ЗАДАЧА №3Делится ли число 11∙21∙31∙41∙51 - 1

на 10?

Решение: Да, т.к. последняя цифра будет 0.

ЗАДАЧА №4К числу 43 припишите слева и справа по одной, цифре так,чтобы полученное число делилось на 45.

Решение: А = а43b - искомое число, оно должно делится на 9 и 5,

поэтому А = а430 или А = а435 (по признаку делимости на 5),

а чтобы сумма цифр делилась на 9 а=2 или а=6.

Ответ: 2430, 6435.

Спасибо!!! Задачи решены,

теперь мы можем идти гулять!!!

Пока наши герои ищут грибы, вы , ребята Найдите двухзначное

число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

Решение:аb = 10а+b, 10a+b=2ab, значит, b -четное, пусть b = 2k.10a+2k= 2ab b=6, k=3,a=35a+k = ab b=8, k =4, a =3/4 k = a(b-5) - не цифраa = k/(b-5) b = 10 - не

может быть!Ответ: число 36.

Внезапно набежала туча и нашим героям пришлось укрыться под деревом. Они было заскучали, но тут Дядя Фёдор вспомнил, что прихватил с собой учебник. И друзья продолжили решать задачи.

ЗАДАЧА №6Написали подряд два раза трехзначное число. Докажите, чтополученное число делится на 7, 11 и 13.

Решение:аbсаbс = abc∙1000 + abc = =abc(1000 +1)= 1001abc = 7∙11∙13abc.

ЗАДАЧА №7Произведение каких четырёх натуральных последовательных чисел является числом 3024?

Решение:Среди множителей 5 и 10 нет (по признаку);

11∙12∙13∙14 не может быть т.к. 10∙10∙10∙10=10000, а это значительно больше 3024;

1∙2∙3∙4 - слишком мало,

остаётся 6∙7∙8∙9.

Ответ: 6, 7, 8, 9.

ЗАДАЧА №8Бывают ли натуральные числа, произведение цифр, которыхравно 66?

Решение: 66=2∙3∙11, а цифры 11 нет.

Ответ: нет.

Ура! Мы дома! Ребята, смотрите какой большой гриб! Давайте он достанется тому кто решит следующую задачу!

ЗАДАЧА №11Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчиков орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?

Решение:Заметим, что в каждой паре суммарное число орехов должно делится на 3, значит, и общее число орехов должно делиться на 3 и не может быть равно 1000.

ЗАДАЧА №9Определить день и месяц рождения Шарика, если произведение числа месяца на 12, сложенное с произведением номера месяцана 31, равно 436.

Решение: Пусть X — номер месяца, Y - число, тогда 31Х+12У=436.

Т.к. 12 и 436 кратны 4, то и X кратно 4, т.е. Х=4,8,12,

но X не равен 12, т.к. 436 не делится на 12.

Если Х=8, то Y=(436-31∙4):12 не является целым числом, значит Х=4, тогда Y=(436-31∙4):12=26.

Ответ: 26 апреля

апрель

ЗАДАЧА №12Два рыбака поймали 70 рыб, причем 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго - окуни. Сколько рыб поймал каждый?

Решение:Число рыб, пойманных вторым рыбаком, кратно 17, оно может быть равно 17, 34, 51 или 68;

число же рыб, пойманных первым, может быть равно соответственно 53, 36, 19 или 2,

но оно должно быть кратно 9, т.е. 36.

Ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, второй — 34.

До свидания,до новых встреч,до новых задач.