等腰三角形的判定等腰三角形的判定

我们在上一节学习了我们在上一节学习了等腰三角形的性质。等腰三角形的性质。现在你能回答我一些现在你能回答我一些

问题吗？问题吗？

一、复习：1 、等腰三角形的性质定理是什么？等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：等边对等角）

2 、这个定理的逆命题是什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

3 、这个命题正确吗？你能证明吗？

导入新课

如图，位于在海上 A 、 B 两处的两艘救生船接到 O 处遇险船只的报警，当时测得∠ A= B∠ ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发， � 能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

A B

0

在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 　现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等， � 那么它们所对的边有什么关系？ 为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明．

在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 　现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等， � 那么它们所对的边有什么关系？ 为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明．

已知：△ ABC 中，∠ B= C∠

求证： AB=AC

证明：作∠ BAC 的平分线 AD

在△ BAD 和△ CAD 中，∠1= 2∠ ，∠B= C∠ ，AD=AD

∴△ BAD ≌△ CAD （ AAS ）∴AB=AC （全等三角形的对应边 相等）

1

A

B CD

2

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

注意：使用“等边对等角”前提是－－－在同一个三角形中

例 1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

A

B C

D

E

12

已知： 如图，∠ CAE 是△ ABC 的外角，∠ 1= 2∠ ，

AD BC∥ 。求证： AB=AC

分析：从求证看：要证 AB=AC ，需证∠ B= C∠ ，从已知看：因为∠ 1= 2∠ ，AD BC∥

可以找出∠ B ，∠ C 与的关系。

证明：∵AD BC∥ ，

A

B C

D

E

12

∴∠1= B∠ （两直线平行， 同位角相等），∠2= C∠ （两直线平行，内错角相等）。

∵∠1= 2∠ ，

∴∠B= C∠ ，∴AB=AC （等边对等角）。

练习 1

B

A D

C

已知：如图，

AD BC∥ ， BD平分∠ ABC 。

求证： AB=AD解答

B

A D

C

证明： ∵ AD ∥BC

∴∠ADB=∠DBC

∵∠ABD=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB

∴AB=AD

[例 2]如图（ 1），标杆 AB的高为 5米，为了将它固定，需要由它的中点 C� 向地面上与点 B距离相等的 D、 E两点拉两条绳子，使得 D、 B、 E在一条直线上，量得DE=4米， � 绳子 CD和 CE要多长？

(1)ED

C

A

B

这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．

(2)

ED

C

B

M

N

•解：选取比例尺为 1 ： 100 （即为 1cm 代表 1m ）． （ 1 ）作线段 DE=4cm ； （ 2 ）作线段 DE 的垂直平分线 MN ，与 DE 交于点 B ；

（ 3 ）在 MN 上截取 BC=2.5cm ； （ 4 ）连接 CD 、 CE ，△ CDE 就是所求的等腰三角形，量出 CD 的长， � 就可以算出要求的绳长．

练习 2

CB

A

D

12

已知：如图， ∠ A= D∠BC =360 ， ∠ C=720 。计算∠ 1 和∠ 2 ，并说明图中有哪些等腰三角形？

∠1=720 2=36∠ 0

等腰三角形有：△ ABC ， △ ABD ， △ BCD

练习 3

2 ．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？

2

1

解解答答

答案：是等腰三角形．因为，如图可证∠ 1= 2∠ ．

2

1

练习 4

如图， AC 和 BD 相交于点 O ，且 AB DC∥ ， OA=OB ，求证：OC=OD ．

D C

A B

0

证明：

∵OA=OB ，

∴∠A= B∠ ．（等边对等角）

又∵ AB DC∥ ，

∴∠A= C∠ ，∠ B= D∠ ．（两直线平行，内错角相等）

∴∠C= D ∠ （等量代换）

∴OC=OD （等角对等边）

D C

A B

0

2 、等腰三角形的判定方法有下列几种：。

3 、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是 。4 、运用等腰三角形的判定定理时，应注意 。

1 、等腰三角形的判定定理的内容是什么？

①定义，②判定定理

条件和结论刚好相反。

在同一个三角形中

作业：

课本 P149 － 150 ：

第 5 ， 6 ， 9 ， 13题

敬请各位老师指

导 再见再见